线性时变系统状态方程的解

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& φ (t , t0 ) = A(t )φ (t , t0 ) 即 将t=t0代入解中 x(t ) =φ(t ,t )x(t )
∴ x ( t ) = φ( t , t 0 ) x ( t 0 ) 是齐次矩阵的解
∴ (t0,t0) =I φ
0
00
0
证毕
讨论： 1 齐次解与定常系统一样，也是初始状态 的转移,φ(t,t0)称为时变系统的状态转移 矩阵。 2 将定常系统中的φ(t),φ(t-t0)改为 φ(t,t0)定常系统可推广到时变系统。 二、非齐次矩阵微分方程的解 & x (t) = A (t)x (t) + B(t)u (t) 解：
x ( t ) = φ( t, t 0 ) x (t 0 ) +
∫
t
t0
φ( t , τ) B ( τ) u ( τ)dτ
证明（略）
三，状态转移矩阵 φ( t , t 0 ) 1. φ( t , t 0 ) 与 φ( t ) φ( t − t 0 ) 对比 共同：形式和性质类似 区别：本质不同，但Φ(t,t0)既是t的函数，也 是t0的函数 Φ(t)是t的函数 e
0
其解为： x ( t ) = φ( t, t 0 ) x ( t 0 )
φ( t , t 0 ) 是n*n阶非奇异方阵，且满足
& φ(t,t0) = Aφ(t,t0) φ(t0,t0) = I
证明：将解带入齐次方程
d [φ ( t , t 0 ) x ( t 0 ) ] = A ( t )φ ( t , t 0 ) x ( t 0 ) dt
At
Φ(t-t0)是（t-t0）的函数 e
A( t −t0 )
2.Ф（t,t0）的计算式－展开成级数，可用
数值方法计算
τ1 A(τ )dτ dτ + L φ（t , t0 ) = I + ∫ A(τ )dτ + ∫ A(τ 1 ) ∫ 2 2 t0 t0 t0 1
t t
证明：两边各项求导，可得 & φ（t , t0 ) = A(t )φ (t , t0 ) φ (t0 , t0 ) = I + 0 + 0 + L = I 满足齐次解中的条件
2.4
线性时变系统状态方程的解
线性时变系统的状态方程为 & x = A ( t ) x + B( t )u （1）不一定有解 （2）当A（t)、B(t)在定义区间绝对可积时，对 每一初始态存在唯一解。 0 1 & 时变系统中A、B随t变化，如 x= x 0 t 一、齐次矩阵微分方程的解 & x(t ) = A(t ) x(t ) x ( t ) t = t = x ( t o )