勾股定理的逆定理(1)
勾股定理的逆定理知识点
要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如c ）.（2） 验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. 要点诠释：（1）22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（3）2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长；。
14.1 勾股定理的逆定理(1)--
他们用13个等距的结巴一根绳子分成 等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1 个结和第13个结，两个助手分别握住第4个 结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直 角三角形,其直角在第4个结处。
这个问题意味着:
如果围成的三角形的三边分别 为3、4、5．满足关系: 32＋42＝52．那么围成的三角 形是直角三角形．
a、b、c满足 a2
+ b2 = c2 ，那么这个
三角形是直角三角形。
例1：判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角
三角形? (1) a=15，b=17，c=8; (2) a=13，b=15，c=14 是直角三角形, 只要看两条较少边长的平方和是否等于 条边长的三个正整数，称为 勾股数. 最大边长的平方 .
猜想：如果三角形的三边长a、b、c满
足 a2
+
2 b
=
2 c ，那么这个三角形是直
角三角形。
已知△ABC，AB=c，AC=b，BC=a，且a2+b2=c2， 求证：∠C=900
证明：作Rt△A′B′C′， 使∠C′=900，A′C′=b，B′C′=a
则△ABC≌ △A′B′C′
∴∠C=900
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长
△ABC三边a,b,c为边向外作正 方形，正三角形，以三边为直 径作半圆，若S1+S2=S3成立，则 是直角三角形吗？
S1
a c
S2
B
C
b
C
B
S2
A
b
a c
S1
A
S3
S3
已知：如图，四边形 ABCD 中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四 边 形 ABCD的面积?
第5课 勾股定理的逆定理1
18.2 勾股定理的逆定理1学习目标掌握勾股定理的逆定理，并会用来判断一个三角形是不是直角三角形；熟记一些勾股数学习重点勾股定理的逆定理及其应用学习过程一、复习引入1．直角三角形有哪些性质？2．你有哪些方法说明一个三角形是直角三角形？二、探究新知1．将勾股定理的题设与结论互换，得到的命题是：．2．这个命题是真命题吗？（1）我们用几组符合222+=的三条线段a，b，c来围成三角形，看看它们是否是直角三角a b c形？（3，4，5）；（2.5，6，6.5）．（2）你会证明这个命题吗？已知：求证：证明：3．将一个命题的题设和结论互换，得到一个新命题，新命题与原命题互为逆命题．练习：写出下列命题的逆命题，并判断原命题和其逆命题的真假：（1）原命题：两直线平行，同位角相等．（）逆命题：．（）（2）原命题：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角互补．（）逆命题：．（）（3）原命题：如果AC=BC，那么点C是线段AB的中点．（）逆命题：．（）（4）原命题：对顶角相等．（）逆命题：．（）4．通过刚才的练习可知，原命题的真假与其逆命题的真假之间没有关联．当一个定理的逆命题也是真命题时，它也是一个定理，我们称这两个定理为互逆定理．练习：举出一些我们学过的互逆定理的例子三、巩固提高1．判断下面的三条线段能不能组成直角三角形：（1）15，8，17；（2）13，14，15；（3）n2-1，2n，n2+1．小结：能够构成直角三角形三条边长的三个正整数，成为勾股数．请你写出几组常见的勾股数：练习：书本77页 62．一个三角形的三边长分别为15，20，25，求这个三角形最长边上的高．练习：如果三角形的三边分别为2，2，2，那么这个三角形的三个角的度数分别为；如果三角形的三边分别为1，2的度数之比为．3．如果一个三角形的三边a，b，c满足4422220a b b c a c-+-=，试判断这个三角形的形状．4．正方形网格中，小格的顶点叫做格点。
《勾股定理的逆定理》PPT课件(第1课时)
理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.
总结：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三 角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
巩固练习
D
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为
斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
课堂小结
勾股定理 的逆定理
内容 作用 注意
如果三角形的三边长a 、b 、c满
下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( D )
A. 1,2,3
B. 2,3,4
C. 4,5,6
D. 1, 2, 3 C
满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是( C )
A.三个内角比为1：2：1
C.三边之比为 3 : 2 : 5
B. 三边之比为1：2： 5 D. 三个内角比为1：2：3
探究新知 考 点 2 勾股定理的逆定理和乘法公式判断三角形
b
根据勾股定理，则有 A1B1 2=B1C1 2+C1A1 2=a2+b2. B
B
∵a2+b2=c2, ∴A1B1 =c， ∴AB=A1B1.
A1
在△ABC和△A1B1C 1中，
aC
BC=B1C1,
b
CA=C1A1, AB=A1B1.
B1 a C1
∴∆ABC ≌ ∆A1B1C1. ∠C=∠ C1 =90°.
勾股定理逆定理(一)
⑤ A. 2个; B. 3个; C. 4个; D. 5个.
6、三角形的三边长为 ,则这个三角形是( )
A.等边三角形; B.钝角三角形; C.直角三角形; D.锐角三角形.
7、如图，在△ABD中，∠A是直角，AB=3，AD=4，BC=12，DC=13，△DBC是直角三角形吗？
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。
3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（）
A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15
C．a= ，b= ，c= D．a：b：c=2：3：4
【四、综合提升】
三角形的三边长分别为 ， ， （ 都是正整数），试判断三角形的形状
集兵镇中学八年级数学导学案
备课日期：2013年12月3日教学日期：12月日设计：周健审核：祝亮
课题：勾股定理逆定理（一）
学
习
目
标
1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
学习重点：掌握勾股定理的逆定理及证明
（1）这三组数满足 吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
猜想命题2：如果三角形的三边长 、 、 ，满足 ，那么这个三角形是三角形
问题二：命题1：
命题2：
命题1和命题2的和正好相反，把像这样的两个命题叫做命题，如果把其中一个叫做，那么另一个叫做
由此得到
勾股定理逆定理：
【五、知识梳理】
【六、当堂检测】
1、任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。
八年级-人教版-数学-下册-第1课时-勾股定理的逆定理
3
5
4
三边分别为 3，4，5， 满足关系：32＋42＝52， 则该三角形是直角三角形．
探究
画一画：下列各组数中的两数的平方和等于第三数的平方，
分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm）．
① 2.5，6，6.5；
② 6，8，10；
③ 4，7.5，8.5．
量一量：用量角器量一量，它们是什么三角形？ 直角三角形
例2 在△ABC 中，a∶b∶c＝9∶15∶12，试判断△ABC 是否 是直角三角形．
解：依题意知 b 是最长边， 设 a＝9k，b＝15k，c＝12k(k＞0)， ∵ a2＋c2＝(9k)2＋(12k)2＝225k2，b2＝(15k)2＝225k2， ∴ a2＋c2＝b2，即△ABC 是直角三角形．
本题易错点：没有弄清楚哪条边是最长边的情况下 就盲目地运用勾股定理的逆定理，从而导致错误．
勾股定理的逆定理
互逆命题：原命题、逆命题 勾股定理的逆定理的证明 勾股数
解：（3）对应角相等的两个三角形全等，不成立； （4）角平分线上的点到角两边的距离相等，成立．
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可 能不成立．
思考 命题 2 正确吗？如何证明呢？
∠C 是直角 ？
△ABC 是直角三角形
a2＋b2＝c2
画一个两条直角边分别为 a，b 的直角 三角形，如果△ABC 与这个直角三角形全等， 那么△ABC 就是直角三角形．
由前面几个例子，我们可以作出什么猜想？
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三 角形是直角三角形．
题设
命题 1 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2＋b2＝c2．结论
18.2勾股定理的逆定理(1)
具体训练步骤
1、情景引入2、典型例题3、针对性练习4、小结
训练内容实例
一、情景引入一起看书第73页上的故事引出命题2
命题2如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
思考：这个命题与命题1“如果直角三角形两直角边是a、b，斜边是c，那么a2+b2=c2”
(2)勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
(3)△ABC的三边之比是1：1： ，则△ABC是直角三角形。
2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）
A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。
B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。
⑴a= ，b= ，c= ；⑵a=5，b=7，c=9；
⑶a=2，b= ，c= ；⑷a=5，b= ，c=1。
5．若三角形的三边是⑴1、 、2；⑵ ；⑶32，42，52⑷9，40，41；
⑸（m＋n）2－1，2（m＋n），（m＋n）2＋1；则构成的是直角三角形的有（）
A．2个B．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个
三、本课知识能力提升训练
四、课堂梳理小结作业说明
小结具体内容
1、命题与逆命题2、勾股定理的逆定理3、直角三角形的判断
详细分层作业
布置要求说明
必做：书76页习题18.2 1、2导航33页18.2随堂练习
选作：书76页习题18.2 4、6
提升能力点
灵活运用“勾股定理的逆定理”解决问题
学生层面
综合运用因式分解等相关知识解决勾股定理的问题
提升内容
1、已知a , b , c是△ABC的三边长，且满足 ，
勾股定理的逆定理定义
勾股定理的逆定理1. 引言勾股定理是数学中最基本且重要的定理之一，它描述了直角三角形中三条边的关系。
而勾股定理的逆定理则是根据已知两条边的长度，判断这两条边是否能构成一个直角三角形。
在本文中，我们将详细介绍勾股定理的逆定理的定义、证明以及应用。
2. 定义勾股定理的逆定理可以简单表述为：如果给定一个三角形，其中两条边长分别为a和b，那么当且仅当a、b满足以下条件时，该三角形为直角三角形：•a和b是正数；•a、b存在一个整数m使得a=m^2；•a、b存在一个整数n使得b=n^2；•m和n互质（即最大公约数为1）。
3. 证明下面我们将对勾股定理的逆定理进行证明。
步骤1：假设给定一个符合条件的三角形假设给定一个三角形ABC，其中AB=c为斜边，AC=a为一条直角边，BC=b为另一条直角边。
步骤2：根据已知条件推导首先，我们可以根据已知条件得出以下结论：•根据直角三角形的定义，我们知道角C为直角。
•根据勾股定理，我们有c^2 = a^2 + b^2。
步骤3：证明a、b满足逆定理的条件接下来，我们将分两步证明a、b满足逆定理的条件。
步骤3.1：证明a和b是正数根据已知条件，我们可以得出a、b都是正数。
步骤3.2：证明存在整数m和n使得a=m2和b=n2，并且m和n互质假设m和n不互质，则存在一个正整数d能够同时整除m和n。
那么我们可以将m 表示为dm’，n表示为dn’，其中m’和n’是互质的。
由已知条件可得：• a = m^2 = (dm’)^2 = d2(m’)2；• b = n^2 = (dn’)^2 = d2(n’)2。
由此可见，a和b都能被d^2整除。
但是根据勾股定理可知c不可能被d整除（因为c是斜边），这与已知矛盾。
因此，假设不成立。
即m和n一定是互质的。
步骤4：得出结论根据步骤3的证明，我们可以得出结论：当且仅当a、b满足逆定理的条件时，三角形ABC为直角三角形。
即勾股定理的逆定理成立。
4. 应用勾股定理的逆定理在实际问题中有广泛的应用。
勾股定理逆定理1
三、合作探究 命题 2：如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 满足 a 2 b 2 c 2 ，那么这个三角形是直角三角形. 已 知 ： 在 △ ABC 中 ， AB=c ， BC=a ， CA=b ， 且
a2 b2 c2 求证：∠C=90°
思路：构造法——构造一个直角三角形，使它与原三 角形全等， A' A 利用对应角相等来证明 证明： c b b
3、在下列以线段 a、b、c 的长为三边的三角形中，不 A、a=9，b=41，c=40 C 、a∶b∶c=3∶4∶5
2、说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗? （1）两条直线平行，内错角相等． （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等． （3）全等三角形的对应角相等． （4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
主备人：
郭海琴
审核人 ：
姜瑞风Leabharlann 时间 ：六、课堂小测编号 1501
四、课堂练习 1、判断由线段 a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角 形： （1） a 15, b 8, c 17 ； （2） a 13, b 14, c 15 ．
1、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是 ____________ ， 能 构 成 直 角 三 角 形 的 是 ____________． （填序号） ①3，4，5 ② 1，3，4 ③ 4，4，6 ④ 6，8，10 ⑤ 5，7，2 ⑥ 13，5，12 ⑦ 7，25，24 2、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的 是（ ） B．1，4，9 D．5，11，12 ） B、a=b=5，c= 5 2 D a=11，b=12，c=15 ） A．5，6，7 C．5，12，13 能构成直角三角形的是（
18.2勾股定理的逆定理(1)[精选文档]
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（1）a=6，b=8，c=10； （2）a=5，b=12，c=13；
（3）a=5，b=7，c=9； （4）a=8，b=15，c=17；
尝试应用
4.说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗? (1)两条直线平行，内错角相等． (2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等． (3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等． (4)全等三角形的对应角相等． 5.如图所示△ABC三边a,b,c为边向外作正方形， 若S1+S2=S3成立，则△ABC是什么三角形？为什么？
情境引入
用一根钉上13个等距离结的细绳子，让同学操作， 用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结 上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起．然后用角尺量 出最大角的度数．可以发现这个三角形是直角三角形．
课中探究
探究一：动手实践.
（一）、画一画．画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）.
作用：根据边的 数量关系判定是 否是直角三角形.
尝试应用
1.“如果同旁内角互补，那么两条直线平行”的题设是
_____, 结论是 ，逆命题是_______.
2.“对顶角相等”的的题设是 结论是
，逆命题
是_______.
3. 已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、
c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？
（1）：3、4、5 ；（2）：3、6、8；（3）：6、8、10
（二）、量一量.用你的量角器分别测量一下小组内同学画出的三个三角形的
最大角的度数，并判断上述你们所画的三角形的形状：（按角分类）
（三）、算一算．请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和与最长边的
平方之间的大小关系. 你能发现什么规律？
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理（1）知识领航1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形． 2. 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用的勾股数有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等.3. 应用勾股定理的逆定理时，先计算较小两边的平方和再把它和最大边的平方比较.4. 判定一个直角三角形，除了可根据定义去证明它有一个直角外，还可以采用勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.e 线聚焦【例】如图，已知四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，CD =12，AD =13，求四边形ABCD的面积.分析：根据题目所给数据特征，联想勾股数，连接AC ，可实现四边形向三角形转化，并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD 是直角三角形.解：连接AC ，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2＋BC 2=32＋42=25， ∴ AC =5. 在△ACD 中，∵ AC 2＋CD 2=25＋122=169， 而 AB 2=132=169，∴ AC 2＋CD 2=AB 2，∴ ∠ACD =90°．故S 四边形ABCD =S △ABC ＋S △ACD =21AB ·BC ＋21AC ·CD =21×3×4＋21×5×12=6＋30=36.双基淘宝仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）A .4组B .3组C .2组D .1组2. 三角形的三边长分别为 a 2＋b 2、2ab 、a 2－b 2（a 、b 都是正整数），则这个三角形是（）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定3．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A .1倍B . 2倍C . 3倍D . 4倍 4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )A .两直线平行,同旁内角互补B .若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等C .对顶角相等D .如果a =b ,那么a 2=b 2 5．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D综合运用认真解答，一定要细心哟！6. 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ， AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积.7. 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？ABCDA B CD5312138. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =41BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.AA D C B拓广创新试一试，你一定能成功哟！9. 勾股数又称商高数，它有无数组，是有一定规律的.比如有一组求勾股数的式子：a =m 2-n 2,b =2mn ,c =m 2+n 2（其中m ，n 为正整数，且m ＞n ）.你能验证它吗？利用这组式子，完成下.123456 (2)3 4 5 6 …… … … … … ……勾股定理的逆定理（2）知识领航1．应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，建立数学模型．2．体会从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，培养转化、推理的能力.e 线聚焦【例】如图，南北向MN 为我国领域，即MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B .已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（1）△ABC 是什么类型的三角形？（2）走私艇C 进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇C 最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.解：设MN 交AC 于E ，则∠BEC =900.又AB 2+BC 2=52+122=169=132=AC 2， ∴△ABC 是直角三角形，∠ABC =900.又∵MN ⊥CE ，∴走私艇C 进入我领海的最近距离是CE ， 则CE 2+BE 2=144，（13-CE ）2+BE 2=25，得26CE =288， ∴CE =13144. 13144÷169144≈0.85（小时）， 0.85×60=51（分）. 勾股 数n m A ME NB9时50分+51分=10时41分.答：走私艇最早在10时41分进入我国领海.双基淘宝◆ 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A .7,24,25B .321,421,521 C .3,4,5 D .4,721,821 2．在下列说法中是错误的（ ）A ．在△ABC 中，∠C ＝∠A 一∠B ，则△ABC 为直角三角形.B ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝5：2：3，则△ABC 为直角三角形.C ．在△ABC 中，若a ＝53c ，b ＝54c ，则△ABC 为直角三角形. D ．在△ABC 中，若a ：b ：c ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形.3. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）A ．2，4，8B .4,8,10C .6,8,10D .8,10,124．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .5．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 . 6．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为 .综合运用◆ 认真解答，一定要细心哟！7．如图，已知等腰△ABC 的底边BC =20cm ，D 是腰AB 上一点，且CD =16cm ，BD =12cm ，求△ABC 的周长.8．如图，三个村庄A 、B 、C 之间的距离分别为AB =5km ,BC =12km ,AC =13km .要从B 修一条公路BD 直达AC .已知公路的造价为26000元/km ，求修这条公路的最低造价是多少？D B C AB12 59．如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D 处滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经路程都是15m，求树高AB.拓广创新试一试，你一定能成功哟！10．如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，P A=3，求∠BPC的度数．BACD.ACPB18.2 勾股定理的逆定理（1）参考答案1.B2.A3.B4.C5.C6.24m 27.符合 8.由勾股定理得AE 2=25，EF 2=5，AF 2=20，∵AE 2= EF 2 +AF 2，∴△AEF 是直角三角形 . 9.略18.2 勾股定理的逆定理（2）参考答案1.B2.D3.C4.5，12，13; 8，15，17; 11，60，61（此题答案不唯一）5.3或416.120cm 27.由BD 2+DC 2=122+162=202=BC 2得CD ⊥AB 又AC =AB =BD +AD =12+AD ，在Rt△ADC 中，AC 2=AD 2+DC 2，即(12+AD )2=AD 2+162，解得AD =314，故 △ABC 的周长为2AB +BC =3153cm 8.由勾股定理的逆定理可判定△ABC 是直角三角形，由面积关系可求出公路的最短距离BD =1360km ， ∴最低造价为120000元 9.设AD =x 米，则AB 为（10+x ）米，AC 为（15-x ）米，BC 为5米，∴(x +10)2+52=(15-x )2，解得x =2，∴10+x =12（米） 10．如图，将△APC 绕点C 旋转，使CA 与CB 重合，即△APC ≌△BEC ,∴△PCE 为等腰Rt △，∴∠CPE =45°，PE 2=PC 2+CE 2=8. 又∵PB 2=1，BE 2=9，∴PE 2+ PB 2= BE 2,则∠BPE =90°，∴∠BPC =135°.第10题图。
八年级下册数学勾股定理的逆定理1
勾股定理的逆定理1知识点1.勾股定理的逆定理 考点1.直角三角形的判别方法例1.判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形：（1）在△ABC 中，∠A=25°，∠C=65°； （2）在△ABC 中，AC=12，AB=20，BC=16； （3）一个三角形的三边长a 、b 、c 满足222c a b =-.练习：判断下列下列三角形的形状.（1）在△ABC 中，AC=5，AB=12， BC =13;（2）一个三角形三边长之比为1:1：.2考点2.利用三角形三边关系判定直角三角形.1.三边组成直角三角形的条件.例2.下面给出几组数：①7,8,9；②12,9,15；③均为正整数，n m mn n m n m ,(2,,2222-+ m>n);④2,1,222++a a a .以它们为边长的三角形一定是直角三角形的是（ ）.练习：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a,b,c,且,))((2c b a b a =-+则（ ）. A.∠A 为直角 B.∠C 为直角 C.∠B 为直角D.△ABC 不是直角三角形2.从三边满足的关系式中判断三角形的形状.例3.已知a,b,c 为△ＡＢＣ的三边长，且满足.ABC ,442222的形状试判断△b a c b c a -=-练习：已知ａ、ｂ、ｃ是△ＡＢＣ的三边长，且满足关系式：.ABC ,0222的形状试判断△=-+--b a b a c３．通过求三角形三边长判断三角形的形状例４．如图，Ｅ、Ｆ分别是正方形ＡＢＣＤ中ＢＣ和ＣＤ边上的点，且ＡＢ＝４，ＣＥ＝BC41，Ｆ为ＣＤ的中点，连接ＡＦ、ＡＥ，问：△ＡＥＦ是什么三角形？请说明理由．练习：如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠C是直角，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD.考点3.勾股定理及其逆定理的综合应用例5.如图，在△ABC中，AB=17，BC=16，BC边上的中线AD等于15，证明：AB=AC. 练习：如图，在四边形ABCD中，已知AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠B=90°，求：∠DAB的度数.考点4.勾股定理及其逆定理的实际应用某校把一块三角形的废地开辟为植物园，如图，测得AC=80m，BC=60m，ＡＢ＝１００ｍ．（１）若入口Ｅ在边ＡＢ上，且与Ａ，Ｂ的距离相等．求从入口Ｅ到出口Ｃ的最短路线的长（提示：直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半）；（２）若线段ＣＤ是一条小渠，且点Ｄ在边ＡＢ上，点Ｄ距点Ａ多远时，水渠的距离最短？。
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探索构建新课程理念下的课堂教学有效模式——“小组合作学习研究”之教案设计
教学内容：勾股定理的逆定理（1）
教学目标：1．掌握直角三角形的判别条件．2．熟记一些勾股数．3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
教学重难点：重点：如何用三角形三边之间的关系判断一个三角形是否为直角三角形。
难点：会应用直角三角形判别方法解决实际问题，教学时要给学生充分交流的时间和空间，让学生学会自主学习．
课前准备：课件
课时安排：一课时
教学过程
一、情景导入活动 1 (1)总结直角三角形有哪些性质． (2)一个三角形，满足什么条件是直角三角形?
设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否能够判断一个三角形为直角三角形，提升学生发现反思问题的水平．
师生行为学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆．
本活动，教师应重点注重学生：①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识；②能否“温故知新”．
生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余，(3)两直角边的平方和等于斜边的平方： (4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．
师：那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?
生：有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．
生：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否能够不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢?我们来看一下古埃及人如何做?
二、自主学习活动2 问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长蝇打上等距离的13个结，然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5．有下面的关系“32＋42＝52”．那么围成的三角形是直角三角形．
三、合作探究画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系，“2.52＋62＝6.52，画出的三角形是直角三角形吗?换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm．再试一试．
设计意图：由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就为直免三角形的结论，培养学生动手操作水平和寻求解决数学问题的一般方法．
师生行为让学生在小组内共同合作，协手完成此活动．教师参与此活动，并给学生以提示、启发．在本活动中，教师应重点注重学生：①能否积极动手参与．②能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论．③学生是否有克服困难的勇气．生：我们不难发现上图中，第(1)个结到第(4)个结是3个单位长度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5．因为32＋42＝52．我们围成的三角形是直角三角形．
生：如果三角形的三边分别是2.5cm，6cm，6.5cm．我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5cm的边所对的角是直角，并且2.52＋62＝6.52．再换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，目标能够发现8.5cm的边所对的角是直角，且也有42＋7.52＝8.52．
是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢?
活动3 下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c
5，12，13；7，24，25；8，15，17．
(1)这三组效都满足a2＋b2＝c2吗?
(2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗? 设计意图：本活动通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的相关边的条件．
师生行为：学生进一步以小组为单位，按给出的三组数作出三角形，从而更加坚信前面猜想出的结论，
教师对学生归纳出的结论应给予解释，我们将在下一节给出证明．本活动教师应重点注重学生：①对猜想出的结论是否还有疑虑．②能否积极主动的操作，并且很有耐心．生：(1)这三组数都满足a2＋b2＝c2．(2)以每组数为边作出的三角形都是直角三角形．
师：很好，我们进一步通过实际操作，猜想结论．
命题2 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2那么这个三角形是直角三角形．
同时，我们也进一步明白了古埃及人那样做的道理．实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角．直至科技发达的今天——人类已跨人21世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”．
“三四五放线法”是一种古老的归方操作．所谓“归方”就是“做成直角”。
譬如建造房屋，房角一般总是成90°，怎样确定房角的纵横两线呢?
四、交流反馈
如下图，欲过基线MN上的一点C作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测绳的0和12尺处，固定在C点；另一人拿4尺处，把尺拉直，在MN上定出A点，再由一人拿9尺处，把尺拉直，定出B点，于是连结BC，就是MN的垂线．
建筑工人用了3，4，5作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢?
生：能够，例如7，24，25；8，15，17等．
据说，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角．
活动4 问题：命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．命题2 如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2＋b2＝c2那么这个三角形是直角三角形．它们的题设和结论各有何关系?
设计意图：理解什么样的两个命题是互逆命题，明白什么是原命题，什么是逆命题?你前面遇到过有互逆命题吗?
师生行为：学生阅读课本，并回忆前面学过的一些命题．教师认真倾听学生的分析．教师在本活动中应重点注重学生；①能否发现互逆命题的题设和结论之间的关系．②能否积极主动地回忆我们前面学过的互逆命题．
生：我们能够看到命题2与命题1的题设．结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题．
生：我们前面学过平行线的性质和判定．其中“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆命题．“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”也是互逆命题．
生：“两直线平行，同旁内角互补”和“同旁内角互补，两直线平行”也是互逆命题．
六、巩固新知活动5问题：你对本节内容有哪些理解?
设计意图：这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功体验的机会，并为水准不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足学生多极化学习的需要．
师生行为：教师课前准备卡片，卡片上写出三个数，让学生随意抽出，判断以这三个数为边的三角形能否构成直角三角形．
在活动5中，教师应重点注重学生：(1)不同层次的学生对本节的认知水准．(2)学生再谈收获是对不同方面的感受．(3)学生独立面对困难和克服困难的水平．。