复数的向量表示(一) 教案示例

复数的向量表示(一)·教案示例

目的要求

1．掌握复数的几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义．

2．理解共轭复数的概念，了解共轭复数的几个简单性质．

内容分析

1．如图5－1，复数的几何表示就是指用复平面内的点Z(a，b)来表示复数z＝a＋bi．其中复数z＝a＋bi中的z，书写时用小写，复平面内的点Z(a，b)中的Z，书写时用大写．

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．复平面除了是用来表示复数的平面这一特点之外，其他与直角坐标系是一样的．比如它也有四个象限，在此平面内也可研究曲线方程、曲线性质等．

因为任何一个复数z＝a＋bi，都是由一个有序实数对(a，b)唯一确定，所以复数集与复平面内所有的点所成的集合是一一对应的．比如点(a，0)与实数a对应，点(0，b)

与纯虚数bi对应，点(a，b)与复数a＋bi对应．

2．当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．共轭复数有许多有用的性质，随着后续学习，我们会逐步体会到应用这些性质来解题的优越性．

由共轭复数的定义，我们可以得到：

(4)互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称．

3．本课补充了三道例题．例1是为巩固共轭复数和复数相等的定义等知识而设计的．例2涉及复数的几何表示及解析几何等有关知识，其难点是解一元二次不等式组．估计部分学生会有些困难，教学中，教师要根据实际情况对学生进行启发和指导．例3涉及共轭复数的性质及解析几何中曲线与方程等有关知识，解题的关键是将问题化归成学生熟悉的问题——解析几何中动点轨迹问题．

教学过程

1．复习提问

(1)虚数单位i的两个规定的内容是什么？

(2)填空：

复数z的代数形式是________；当________时，z为实数；当________时，z为虚数；当________时，z为纯虚数；z的实部为________；虚部为________．

(3)已知(x ＋3y)＋(2x －10y)i ＝5－6i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y ．

(4)任意一个复数z ＝a ＋bi 与一个有序实数对(a ，b)之间有什么对应关系？

2．提出复平面等有关概念

在复习问题(4)的基础上，指出：任何一个复数z ＝a ＋bi 都可以由一个有序实数对(a ，b)唯一确定．而有序实数对(a ，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的．由此，可以建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的一一对应．

这时，提出复平面、实轴、虚轴等概念，并结合实例对这些概念进行一一说明． 由此可知，复数集C 和复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的，即

这就是复数的几何意义．这时提醒学生注意复数z ＝a ＋bi 中的字母z 用小写字母表示，点Z(a ，b)中的Z 用大写字母表示．

3．课堂练习

教科书中课后练习第2、3题．

4．提出共轭复数的概念

(1)当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不为0的两个共轭复数也叫做互为共轭虚数．

(2)z z a bi 复数的共轭复数用表示，即如果＝＋，那么z z a bi =-

(3)Z z Z 52在复平面内，如果点表示复数，点表示复数，那么点和

点关于实轴对称，如图－所示．Z z Z

(4)z R z z (5)z {}z z 0z 0(6)(z)z 复数∈＝．

复数∈纯虚数＋＝，且≠．＝．

⇔⇔

5．讲解例题．

例1 已知复数x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i(x ∈R)是4－20i 的共轭复数，求x 的值． 分析：根据互为共轭复数的定义，已知复数为4＋20i ．由复数相等的定义，可列出关于x 的两个方程，这两个方程的公共解就是所求x 的值．

解：因为4－20i 的共轭复数是4＋20i ，根据复数相等的定义，可得

x x 24 x 3x 220 22＋－＝，①－＋＝．②⎧⎨⎪⎩

⎪ 方程①的解是x ＝－3或x ＝2；方程②的解是x ＝－3或x ＝6．

所以x ＝－3．

例2 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在(1)第三象限？(2)第四象限？(3)直线x －y －3＝0上？

分析：因为x 是实数，所以x 2＋x －6、x 2－2x －15也是实数．若复数z ＝a ＋bi ，则当a ＜0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第三象限；当a ＞0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．

解：(1)当实数x 满足

x x 60x 2x 15022＋－＜，－－＜．⎧⎨⎪⎩

⎪ 即－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限．

(2)当实数x 满足

x x 60x 2x 15022＋－＞，－－＜．⎧⎨⎪⎩

⎪ 即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限．

(3)当实数x 满足

(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0．

即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．

例3 已知复数3x ＋2y ＋(x 2＋y 2－1)i(x ，y ∈R)的共轭复数是它本身，试在复平面内画出复数z ＝x ＋yi 对应的点Z 构成的图形．

分析：由条件求出x 、y 满足的曲线方程，就可得出点Z 在复平面内构成的图形． 解：因为x 、y ∈R ，所以3x ＋2y 、x 2＋y 2－1都是实数．由题设及共轭复数的定义，得

x 2＋y 2＝1．

即点Z(x ，y)的坐标满足方程x 2＋y 2＝1．因此，点Z 构成的图形是一个以原点为圆心，以1为半径的单位圆，如图5－3所示．

6．课堂练习

教科书中的课后练习第1、4、5题．

7．归纳总结

本小节内容包括复平面、共轭复数的概念，复数的几何表示等内容．教师对这些内容作一次简明扼要的概述．

布置作业

教科书习题5．2第2、5题．