理论力学-第11章1
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合肥工业大学《理论力学》第十一章动量定理
dI = Fd t
力在有限时间内（瞬时t1至瞬时t2）的冲量
I t2 Fdt t1
(11－5)
冲量计算的投影式
若 I Ixi Iy j Izk,
F X (t)i Y (t) j Z (t)k
则冲量计算的投影式为
I x
t2 X (t)dt
t1
I y
t2 Y (t)dt
t1
I z
(2)
p带’ = d m2v L
2R mv mv 2(d R)
L
L
= m v = p带
例11-3 椭圆规机构如图，已知规尺 BD = 2L , 质量为2m1，滑
块 B、D 的质量均为 m2；曲柄OA = L，质量为 m1，以匀角速度ω 绕轴O 转动。求: 图示瞬时， ⑴ 曲柄 OA 的动量；⑵ 整个机
t1
质点动量定理 的积分形式
(11－7)
即：质点在 t1 至 t2 时间内动量的改变量等于作用于其上的力在同 一时间内的冲量。
二、质点系的动量定理
设质点系有 n 个质点，第 i 个质点的质量为 mi，速度为 vi；
受力Fi(e) ········外力，Fi(i) ········内力，
由质点的动量定理，有
已知 m1 = 2m2 = 4m3 ，v1 = v2 = v3 = v ，求系统动量。
v3
v2
y
m2
p
m1v1
m3
45°
m1 v1
m2v2
O
解： p m1v1 m2v2 m3v3
45° m3v3
x
px m2v2 m3v3 cos 45 2.707 m3v py m1v1 m3v3 sin 45 3.293m3v
《理论力学》课件 第十一章
第十一章动量定理动量定理、动量矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理.§11--1 动量与冲量1、动量的概念：产生的相互作用力⑴定义：质点的质量与速度的乘积称为质点的动量，-----记为mv。
质点的动量是矢量，它的方向与质点速度的方向一致。
kgms/单位)i p v 质点系的动量()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑质心公式：⑵、质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量。
)idr p v dt ()i i dm r dt∑注意：质量m i是不变的如何进一步简化？参考重心、形心公式。
李禄昌()i i i i c im r m r r m m ∑∑==∑) p r r cm v =质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。
求质点系的动量问题转化为求刚体质心问题。
cωv C =0v Ccωcov C2．冲量的概念：tF IF I d d IF d 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和方向有关，还与力作用时间的长短有关。
用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。
冲量是矢量，方向与常力的方向一致。
冲量的单位是N.S 。
§11-2 动量定理—-确定动量与冲量的关系由牛顿第二定律：F v m )F v m d )称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量v v ~ ⎰==-21d 12t t It F v m v m称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔⎰==-21d 12t t It F v m v m 2、质点系的动量定理(F (F外力：，内力：(F (F M FF F v tF F v i i d )(∑+)()(d d d e ie i It F p ∑=∑=)(d d e i F tp ∑=称为质点系动量定理的微分形式，即质点系动量的质点系动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和（主矢）动力学与静力学联系。
)(112e ini Ip p =∑=-p p ~ 称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间)(d d e xx F tp ∑=)(d d e yy Ftp ∑=)(d d e z z F tp ∑=动量定理微分形式的投影式：动量定理积分形式的投影式：)(12e xx x Ip p ∑=-)(12e yy y Ip p ∑=-)(12e zz z Ip p ∑=-动量定理是矢量式，在应用时应取投影形式。
理论力学第十一章 达朗贝尔原理(动静法)
讨论：1）脱离角α与滚筒的角速度和滚筒半径有关，而与钢球质量无关。
2）
筒壁。此时转筒
的转速称为临界转速，对球磨机而言，要求n小于nL，否则球磨机就不能工作。
§11－2 刚体惯性力系的简化
刚体平移时惯性力系的简化
当刚体平移时,任一瞬时体内各点的加速度相等。若记某瞬 时刚体质心加速度为aC，则该瞬时体内任一质量为m的质点 的加速度ai=aC，虚加在该点上的惯性力Fgi=-miai=-miaC 。 刚体内每一点都加上相应的惯性力，由静力学知,该空间平 行力系可简化为过质心的合力，即
式中，Fgτ=-maτ，称为切向惯性力 Fgn=-man称为法向惯性力（也称离心力）
负号表示它们分别与切向加速度和法向加速度的方向相反。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
质点系的动静法
对由n个质点组成的非自由质点系,设其中任一质点的质量 为mi,某瞬时加速度为ai，作用其上的主动力F，约束反力 Fni，假想在该质点上加上惯性力Fgi=-mai，由质点达朗贝 尔原理，则
=－ maC
该力偶的力偶矩等于惯性力系对刚体惯性力系的简化
结论 当刚体有质量对称面，且绕垂直于质量对称面的定轴 转动时，惯性力系可以简化为对称面内的一个力和一个力偶。 该力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速 度方向相反，且力的作用线通过转轴；
该力偶的力偶矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘 积，其转向与角加速度转向相反。惯性力系向点O简化的结 果如图b)所示。
Fg=-m a
质点的达朗伯原理:质点在运动的每一瞬时，作用 于质点上的主动力、约束反力与假想地在质点上 的惯性力，在形式上构成一平衡力系。
§11－1 惯性力与质点的达朗贝尔原理
《理论力学》课件 第11章
ds Rd
因此，力F的元功又可表示为 δW F cosds F cos Rd
由静力学可知， F cosR 即为力 F 对轴 Oz 的力矩 Mz (F) ，于是有
δW Mz (F )d
（11-16）
即作用于定轴转动刚体上力的元功，等于该力对转轴的矩（简称 转矩）和微转角的乘积。
图11-5
当刚体在力 F 的作用下，绕轴转过 角时，力 F 所做的功为
v2 v1
d
1 2
mv2
M2 F dr
M1
或
1 2
mv22
1 2
mv12
W12
（11-22）
这就是质点动能定理的积分形式，即质点在某运动过程中动能的改 变，等于作用于质点上的力在同一过程中所做的功。
质点动能定理建立了质点动能和力的功之间的关系，它把质点的速度、作 用力和质点的路程联系在一起，对于需要求解这三个物理量的动力学问题， 应用动能定理是方便的。此外，通过动能定理对时间求导，式中将出现加 速度，因此动能定理也常用来求解质点的加速度。
则这种约束力所做功的总和为零。
图11-8
4．无重刚杆
如图 11-9 所示，无重刚杆 AB 连接两个物体，由于刚杆重量不计，因此其约束 力 FN 与 FN 应是一对大小相等、方向相反，作用线相同的平衡力。设 A，B 两点的 微小位移分别是 drA 和 drB ，则 FN 与 FN 元功之和为
δW FN drA FN drB FN | drA | cosA FN | drB | cosB FN (| drA | cosA | drB | cosB )
当力偶矩 M 常量时，上式可写为
（11-19）
W M
五、约束力的功与理想约束
因此，力F的元功又可表示为 δW F cosds F cos Rd
由静力学可知， F cosR 即为力 F 对轴 Oz 的力矩 Mz (F) ，于是有
δW Mz (F )d
（11-16）
即作用于定轴转动刚体上力的元功，等于该力对转轴的矩（简称 转矩）和微转角的乘积。
图11-5
当刚体在力 F 的作用下，绕轴转过 角时，力 F 所做的功为
v2 v1
d
1 2
mv2
M2 F dr
M1
或
1 2
mv22
1 2
mv12
W12
（11-22）
这就是质点动能定理的积分形式，即质点在某运动过程中动能的改 变，等于作用于质点上的力在同一过程中所做的功。
质点动能定理建立了质点动能和力的功之间的关系，它把质点的速度、作 用力和质点的路程联系在一起，对于需要求解这三个物理量的动力学问题， 应用动能定理是方便的。此外，通过动能定理对时间求导，式中将出现加 速度，因此动能定理也常用来求解质点的加速度。
则这种约束力所做功的总和为零。
图11-8
4．无重刚杆
如图 11-9 所示，无重刚杆 AB 连接两个物体，由于刚杆重量不计，因此其约束 力 FN 与 FN 应是一对大小相等、方向相反，作用线相同的平衡力。设 A，B 两点的 微小位移分别是 drA 和 drB ，则 FN 与 FN 元功之和为
δW FN drA FN drB FN | drA | cosA FN | drB | cosB FN (| drA | cosA | drB | cosB )
当力偶矩 M 常量时，上式可写为
（11-19）
W M
五、约束力的功与理想约束
理论力学第十一章 质点系动量定理讲解
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
O
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
O
解： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力：
F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力；
W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
理论力学第十一章 动能定理[精]
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解:
动能: T m 2 v 2 A m 220 2 2 m 3 v c 2 2 1 r 2 2 m 3c 2 2 1 m 2 v B 2
功Cr:W xB g xCs2m 3 i C rx n A 0 M 0r 0 m 3 0Rg c xAm 2 x g PB m x vA A cg 3 o Mf s x 0 s
vB
B
§11-3 质点系动能定理
i 第 个质点
分别乘以 vid
mi
dvi
dt
tdr
Fi
m iv id v i F id r
d(12mivi2)dWi 叠加
d(12mivi2)dWi
d(12mivi2)dW i
dTdWi
质点系动能的微分等于作用于质点系的力的元功之和。
O
v
P
M v
dr M F
y
W s(F xd xF yd yF zd)z
M2 M1
dW
x
FR Fi
W F R d s F 1 d s ... ..W .i .
S
S
自然坐标形式 ：
WM M 1 2F drM M 1 2Fdrcos dr ds
Jo
1 3
P g
l2
Fy
Fx
（1）式两边对时间求导
Ql2 lPsinJ0 Q gl2
900
QP 2 sin 3 1P glQ gl
P2Q3g P3Q 2l
例11-9：已知：mA=m，mB=m/2，mC=m/3，鼓轮的廻转半径为， 质量为m，鼓轮小半径为r，大半径为R，C轮的半径为r，物体A 接触的摩擦系数为fs，求物体A下落时的速度。
理论力学第十一章,动量定理
的投影守恒。
y
α
px px0
vr m2g v
vm1
vr
A
FA m1g
x
vm1
α
B
FB
（b）
（a）
α
vm1
m2g x
p mi v i
p x mi vix
A
FA m1g
B
FB
例 题1
v
考虑到初始瞬时系统处于平衡，即有pox=0，于是有 px = m2vcos m1vm1 = 0 另一方面，对于炮弹应用速度合成定理，可得 v = ve + vr 考虑到 ve = vm1，并将上式投影到轴 x 和 y 上，就得到 vcos = vrcos vm1
质点系冲量定理投影形式
e e p2 y p1 y ( Fiy ) dt I iy t2 t1 e p2 z p1 z ( Fize ) dt I iz t2 t1
dp Fie dt
dpx e Fix dt
3，质点系动量守恒定律
Fi e 0 , 1）
y
α
vr vm1
m2g x
A
FA m1g
B
FB
(a)
例 题1
解: 取火炮和炮弹（包括炸药）这个系统作为研究对象。
设火炮的反座速度是 vm1，炮弹的发射速度是 v，对水平面的仰 角是 （图b）。 炸药（其质量略去不计）的爆炸力是内力，作用在系统上的外力 在水平轴 x 的投影都是零，即有Fx = 0；可见，系统的动量在轴 x 上
(m1 m2 ) C Fy m1 g m2 g y
质心 C 的坐标为
理论力学第十一章动量矩定理
JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga
JO
0
解： 令 2 mga
JO
——固有频率
得
2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中，
三根长度相等（l）的弹性线，等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie
③
即
drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 （rC
理论力学第11章的课后习题答案
轴O的回转半径为
求:重物A下降的加速度以及轮C与地面接触点处的静摩擦力。
C B rO R
D A
C
B
r OR
m2 g Fs
FN
解：分别选轮子和重物A为研究对象，受力分析和运动分析 如图所示。轮子作平面运动，应用刚体平面运动微分方程，有
C B
FT
Fs
m2aO
D
rO
R
FT r Fs R m2 2
JO g W1R2
g
小车上升的加速度为
aห้องสมุดไป่ตู้
R
M W1R sinR
JO g W1R2
gR
a
FT
W1
FN
由小车的运动微分方程，有
FT
W1 sin
W1 g
a
解得绳子的拉力为
FT
W1 sin
W1 g
a
11-18 如图11.52所示结构中，重物A、B的质量分别为m1和m2 B物体与水平面间摩擦系数为f，鼓轮O的质量为M，
重物A的运动微分方程为 A
m1g FT' m1aA
C B r OR
m2 g Fs
FN
FT
F T'
a
A
m1g
其中： aO R
aA (R r)
FT' FT
联立求解，可得重物A下降的加速度为
aA
m1(R
m1(R r)2 r)2 m2 (R2
2)
g
轮C与地面接触点处的静摩擦力为
Fs
(2
m1(R r)2
FT'A
A
aA
Mg
A
m1g
重物A： m1g FTA m1a A
求:重物A下降的加速度以及轮C与地面接触点处的静摩擦力。
C B rO R
D A
C
B
r OR
m2 g Fs
FN
解：分别选轮子和重物A为研究对象，受力分析和运动分析 如图所示。轮子作平面运动，应用刚体平面运动微分方程，有
C B
FT
Fs
m2aO
D
rO
R
FT r Fs R m2 2
JO g W1R2
g
小车上升的加速度为
aห้องสมุดไป่ตู้
R
M W1R sinR
JO g W1R2
gR
a
FT
W1
FN
由小车的运动微分方程，有
FT
W1 sin
W1 g
a
解得绳子的拉力为
FT
W1 sin
W1 g
a
11-18 如图11.52所示结构中，重物A、B的质量分别为m1和m2 B物体与水平面间摩擦系数为f，鼓轮O的质量为M，
重物A的运动微分方程为 A
m1g FT' m1aA
C B r OR
m2 g Fs
FN
FT
F T'
a
A
m1g
其中： aO R
aA (R r)
FT' FT
联立求解，可得重物A下降的加速度为
aA
m1(R
m1(R r)2 r)2 m2 (R2
2)
g
轮C与地面接触点处的静摩擦力为
Fs
(2
m1(R r)2
FT'A
A
aA
Mg
A
m1g
重物A： m1g FTA m1a A
理论力学第11章动量定理
动量定理关注物体的运动状态，而能量守恒定律关注物体的能量转化与守恒。在一些特定情况下，两个 定律是相关的。
总结和应用
动量定理是解释和分析物体运动的重要工具，可以应用于各个领域，帮助我们理解世界的运动规律。
理论力学第11章动量定理
动量定理是研究物体运动的基本定律之一。它包括动量的基本概念、动量守 恒定律、数学表达式、弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理、应用举例、与能 量守恒定律的关系等内容。
动量的概念
动量是描述物体运动状态的物理量，是质量和速度的乘积。它能够帮助我们理解物体如何受力而改变运 动状态。
动量守恒定律
动量定理的应用举例
1
汽车碰撞
动量定理可以帮助我们分析汽车碰撞的力学过程，对交通事故进行研究和安全设计提 供指导。
2
火箭发射
火箭发射过程中动量定理的运用可以帮助我们计算火箭的推力和速度变化，实现太空 探索。
3
球类运动
动量定理可以解释为什么球在击打或投掷时会有反冲，以及如何提高球的射击速度和 力量。
动量定理与能量守恒定律的关系
动量守恒定律指出，在一个封闭体系内，当没有外力作用时，系统的总动量保持不变。这个定律在研究 碰撞和爆炸等过程中非常重要。
动量定理的数学表达式
动量定理的数学表达式为力的作用时间等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ物体动量变化的量。它可以帮助 我们计算力对物体的作用效果以及物体的运动状态。
弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理
弹性碰撞中，动量守恒定律成立，而非弹性碰撞中，动量守恒定律不完全成立。这两种碰撞过程中动量 定理的应用有所不同。
总结和应用
动量定理是解释和分析物体运动的重要工具，可以应用于各个领域，帮助我们理解世界的运动规律。
理论力学第11章动量定理
动量定理是研究物体运动的基本定律之一。它包括动量的基本概念、动量守 恒定律、数学表达式、弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理、应用举例、与能 量守恒定律的关系等内容。
动量的概念
动量是描述物体运动状态的物理量，是质量和速度的乘积。它能够帮助我们理解物体如何受力而改变运 动状态。
动量守恒定律
动量定理的应用举例
1
汽车碰撞
动量定理可以帮助我们分析汽车碰撞的力学过程，对交通事故进行研究和安全设计提 供指导。
2
火箭发射
火箭发射过程中动量定理的运用可以帮助我们计算火箭的推力和速度变化，实现太空 探索。
3
球类运动
动量定理可以解释为什么球在击打或投掷时会有反冲，以及如何提高球的射击速度和 力量。
动量定理与能量守恒定律的关系
动量守恒定律指出，在一个封闭体系内，当没有外力作用时，系统的总动量保持不变。这个定律在研究 碰撞和爆炸等过程中非常重要。
动量定理的数学表达式
动量定理的数学表达式为力的作用时间等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ物体动量变化的量。它可以帮助 我们计算力对物体的作用效果以及物体的运动状态。
弹性碰撞和非弹性碰撞的动量定理
弹性碰撞中，动量守恒定律成立，而非弹性碰撞中，动量守恒定律不完全成立。这两种碰撞过程中动量 定理的应用有所不同。
理论力学第十一章动量矩定理
当物体作直线运动时，可以用质量作为物体运动惯性的度量； 而当物体绕某轴转动时，转动惯性的大小不仅与质量有关，而 且与半径有关。物体的质量分布距转轴的距离越远，转动惯性 就越大，亦即，越不容易改变转动运动的状态。
2．规则几何形状物体的转动惯量
J Z = ∫ r 2 dm
均质圆环：
J z = ∑ ΔmR 2 =MR 2
往三个坐标轴投影：得到质点对轴的动量矩定理： d m x (mv ) = m x ( F ) dt d m y (mv ) = m y ( F ) dt d m z (mv ) = m z ( F ) dt （1）若Σmo(F)≡0, mo(mv)=常矢量； 两种特殊情况： （2）若Σmx(F)≡0, mx(mv)=常量。 以上两种情况均称为动量矩守恒
R 别为J 1 和J 2 ，两轮的半径分别为 R1 、 2 ，传 动比 i12 = R2 / R1 。轴Ⅰ上作用主动力矩 M 1 ， 轴Ⅱ上有阻力矩 M 2，转向如图。忽略摩擦。 求轴Ⅰ的角加速度。
例 图示传动轴，轴Ⅰ和轴Ⅱ的转动惯量分
Ⅱ
M2
M1
Ⅰ
解 ：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象。受力如图。 两轴对各自轴心的转动微分方程分别为
体积
2π R
π R2
4 π R3 3
4π R 2
Δm
1 1 J O = ∑ ΔMR 2 = MR 2 2 2
N维球
均质直杆：
J z = ∫ x 2 ρ l dx =
0
l
ρl l 3
3
1 2 J z = Ml 3
z
1 1 2 2 J z = ∑ (Δm)l = Ml 3 3
l
x
z
dx
Δm
x
2．规则几何形状物体的转动惯量
J Z = ∫ r 2 dm
均质圆环：
J z = ∑ ΔmR 2 =MR 2
往三个坐标轴投影：得到质点对轴的动量矩定理： d m x (mv ) = m x ( F ) dt d m y (mv ) = m y ( F ) dt d m z (mv ) = m z ( F ) dt （1）若Σmo(F)≡0, mo(mv)=常矢量； 两种特殊情况： （2）若Σmx(F)≡0, mx(mv)=常量。 以上两种情况均称为动量矩守恒
R 别为J 1 和J 2 ，两轮的半径分别为 R1 、 2 ，传 动比 i12 = R2 / R1 。轴Ⅰ上作用主动力矩 M 1 ， 轴Ⅱ上有阻力矩 M 2，转向如图。忽略摩擦。 求轴Ⅰ的角加速度。
例 图示传动轴，轴Ⅰ和轴Ⅱ的转动惯量分
Ⅱ
M2
M1
Ⅰ
解 ：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象。受力如图。 两轴对各自轴心的转动微分方程分别为
体积
2π R
π R2
4 π R3 3
4π R 2
Δm
1 1 J O = ∑ ΔMR 2 = MR 2 2 2
N维球
均质直杆：
J z = ∫ x 2 ρ l dx =
0
l
ρl l 3
3
1 2 J z = Ml 3
z
1 1 2 2 J z = ∑ (Δm)l = Ml 3 3
l
x
z
dx
Δm
x
理论力学第11章分析运动学及刚体的合成运动
例如两个质点 P1 , P2 在运动过程中保持距离 l 不 变（图11-2），则存在1个独立约束方程
x1 x2
2
y1 y2 z1 z2 l 2
2 2
(d)
r 1 代入式(11-6)，得出该系统 将 n2 ， 的自由度为 f 5 。
若完整系统中各质点均被限制在一平面内运动，
(11-4)
广义坐标确定以后，多余坐标即可由约束方程 (11-4)确定，系统的位形也随之完全确定，成为 广义坐标和时间的函数：
xi xi q1 , q2 ,
, qf ,t
(11-5a) (11-5b)
yi yi q1 , q2 ,
, qf ,t
zi zi q1 , q2 ,
11.1 分析运动学
在工业生产及科学技术的发展中出现了许多复杂的机器， 其中包括能完成各种运动功能的新奇机构。例如汽车装配线上 的机械手，它是一个仿人机器，但比人的手臂有更多的关节， 因而它的手端可以越过各种障碍伸到车身内部隐蔽的角落进行 焊接、装配和其它加工。航天领域中的遥控火星车，是由车身 及各种外伸部件（天线、摄像机、探测仪、行走机构等）组成。 在火箭由地球表面发射时，这些外伸部件都收拢起来以便装进 位于火箭顶部的空间探测器中；火星车在火星着陆后，再由各 种伸展机构将它们从车身中陆续展开到预定位置锁定，或根据 控制指令做相应的运动。在这些复杂机构的设计、运行工程中， 运动学分析是极为重要的一环；包括了解机构各部件的位置范 围、运动规律、角速度与角加速度，各有关点的轨迹、速度、 加速度以及各点运动之间的关系。解析法可以分析运动的全过 程，而且操作过程规范；现代计算技术的发展与计算机的普及 又可以克服解析法存在的数学推导繁冗、计算量大的缺点；因 此，应用计算机进行电算在复杂机构的综合、设计、分析与优 化（统称CAD）中得到了愈来愈多的应用。
理论力学(机械工业出版社)第十一章动量矩定理习题解答
习 题11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。
其中a 、b 和w 均为常量。
试求质点对坐标原点O 的动量矩。
t a xv x ωωsin -==& t b y v y ωω2cos 2==& x mv y mv L y x O +-=)cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω⨯+⨯=)cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω⨯+⨯=)cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω⨯+⨯=)2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+=t mab ωω3cos 2=11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。
如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。
（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。
图11-25(1)θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =⨯= θω22sin 2l m L z = (2)θθ2202sin 32d )sin (2ml x x l m J l z ==⎰杆 θ22sin 38ml J z = θω22sin 38l m L z =11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。
各物体质量均为m 。
图11-26(a) ω231ml L O = (b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω291ml L O -= (c) 2222452312121ml l m l m J O =⨯⨯+⨯⨯= ω2245ml L O = (d) 2222321mR mR mR J O =+= ω223mR L O =11-4 如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m ，高为h ，试求对底边的转动惯量J x 。
理论力学 第11章 虚位移原理
rB rA tg (PQtg )rA 0
由rA的任意性，得 PQ tg
16
2、解析法 由于系统为单自由度，
可取为广义坐标。
xB lcos , yA lsin xB lsin , yA lcos
Py A QxB 0 ,
(Pcos Qsin )l 0
P1yC P2yD FxB 0 (a) 而 yC acos , yC asin
yD 2acos bcos , yD 2asin bsin xB 2asin 2bsin , xB 2acos 2bcos
代入(a)式，得： (P1a sin P2 2a sin F 2a cos) (P2bsin F 2b cos ) 0
M
Fh
sin 2
2用虚速度法:
ve
OB
h
sin
,
va
vC
h sin 2
代入到
M FvC
0,
M
Fh
sin2
3用建立坐标,取变分的方法,有
M F xC 0
xC h cot BC
xC
h sin 2
解得
M Fh
sin 2
6
(二) 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数
（ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分q1,q2 , ,qk ，各
质点的虚位移ri 在直角坐标上的投影可以表示为
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
由rA的任意性，得 PQ tg
16
2、解析法 由于系统为单自由度，
可取为广义坐标。
xB lcos , yA lsin xB lsin , yA lcos
Py A QxB 0 ,
(Pcos Qsin )l 0
P1yC P2yD FxB 0 (a) 而 yC acos , yC asin
yD 2acos bcos , yD 2asin bsin xB 2asin 2bsin , xB 2acos 2bcos
代入(a)式，得： (P1a sin P2 2a sin F 2a cos) (P2bsin F 2b cos ) 0
M
Fh
sin 2
2用虚速度法:
ve
OB
h
sin
,
va
vC
h sin 2
代入到
M FvC
0,
M
Fh
sin2
3用建立坐标,取变分的方法,有
M F xC 0
xC h cot BC
xC
h sin 2
解得
M Fh
sin 2
6
(二) 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数
（ q1,q2,……,qk），广义坐标分别有变分q1,q2 , ,qk ，各
质点的虚位移ri 在直角坐标上的投影可以表示为
xi
xi q1
q1
xi q2
q2
xi qk
qk
yi
yi q1
理论力学课件第十一章
主动力:
约束力: FN1 , FN 2 d ( J z ) M z ( Fi ) M z ( FNi ) dt M z ( Fi )
F1 , F2 ,
, Fn
d M z ( Fi ) 即: J z dt
或 J M (F ) z z
2 d 或 J M z (F ) z 2 dt
求:小车的加速度 a.
解:
顺时针转向为正
LO J m v R
(e) MO M mg sin R
d [ J mvR] M mg sin R dt
v 由 R
dv a ,得 dt
MR mgR 2 sin a 2 J mR
理论力学
例11-3 已知：两小球质量皆为
i i C i i C
有
LC ri mi vir
即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度还是以绝对 速度计算，质点系对于质心的动量矩的结果相同.
理论力学
对任一点O的动量矩：
理论力学
[例] 已知:
PA PB ; P ; 转动惯量J O ; r 。
求角加速度 。 解: 取整个系统为研究对象，逆时针转向为
正，受力分析如图示。
运动分析： v =ｒ
( e) M ( F O ) PAr PBr (PA PB )r
PA PB PA 2 PB 2 LO v r v r J O ( r r J O ) g g g g
d M O (mv ) M O ( F ) dt
理论力学
2.质点系的动量矩定理
d M O (mi vi ) M O ( Fi (i) ) M O ( Fi (e) ) dt d 0( Fi (i) ) M O ( Fi (e) ) M O (mi vi ) M O dt dLO d d M O (mi vi ) M O (mi vi ) dt dt dt
约束力: FN1 , FN 2 d ( J z ) M z ( Fi ) M z ( FNi ) dt M z ( Fi )
F1 , F2 ,
, Fn
d M z ( Fi ) 即: J z dt
或 J M (F ) z z
2 d 或 J M z (F ) z 2 dt
求:小车的加速度 a.
解:
顺时针转向为正
LO J m v R
(e) MO M mg sin R
d [ J mvR] M mg sin R dt
v 由 R
dv a ,得 dt
MR mgR 2 sin a 2 J mR
理论力学
例11-3 已知：两小球质量皆为
i i C i i C
有
LC ri mi vir
即：质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度还是以绝对 速度计算，质点系对于质心的动量矩的结果相同.
理论力学
对任一点O的动量矩：
理论力学
[例] 已知:
PA PB ; P ; 转动惯量J O ; r 。
求角加速度 。 解: 取整个系统为研究对象，逆时针转向为
正，受力分析如图示。
运动分析： v =ｒ
( e) M ( F O ) PAr PBr (PA PB )r
PA PB PA 2 PB 2 LO v r v r J O ( r r J O ) g g g g
d M O (mv ) M O ( F ) dt
理论力学
2.质点系的动量矩定理
d M O (mi vi ) M O ( Fi (i) ) M O ( Fi (e) ) dt d 0( Fi (i) ) M O ( Fi (e) ) M O (mi vi ) M O dt dLO d d M O (mi vi ) M O (mi vi ) dt dt dt
理论力学第11章(动量矩定理)
线相连，使杆AC与BD均为铅垂，系统绕 z 轴的角速度为0。如某时 此细线拉断，杆AC和BD各与铅垂线成a 角。不计各杆的质量，求这 时系统的角速度。
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r
理论力学第11章1
(e) y
p2z
p1z
I
(e) z
4. 动量定理特例
若∑ Fi (e) ，则 p = 恒矢量
若 Fx(e) 0 ， 则 px 恒量
质点系动量守恒定律
动量守恒定律是有条件的
这个条件就是系统所受的合外力必须为零。然而， 有时系统所受的合外力虽不为零，但与系统的内力相 比较，外力远小于内力，这时可以略去外力对系统的 作用，认为系统的动量是守恒的。
子质心O2，O1 O2=e，角速度为常量。求基础的水
平及铅直约束力。
ω O1
e φ O2
为 p m2e
y
方向如图所示
px m2e cost
py m2 esin t
由
dp x dt
Fx
dp y dt
Fy
m1g m2 g
ω O1
e
p
x
m1g
大小 ？
vA
x
方向 ？
画出图示速度矢量图
将（1）式向x轴取投影得
vBx
vA+ vBAcos
． vA+ l cos
=
0
cost
B
v v By BA vA vBx
vA l 0 sint cos( 0 cost)
质点系在x方向的动量守恒
于是 mAvA + mBvBx
即 mAvA + mB [vA l 0 sint cos( 0 cost)]
ri xi i +yi j +zi k rc xci +ycj +zck
于是
rc
mi m
xi
i
+
mi yi m
理论力学第十一章动量定理.
[例1] 已知：为常量，均质杆OA=AB = l, 两杆质量皆为 m1，
滑块B质量 m2。 求: 质心运动方程、轨迹及系统动量。
解：设 ，t 质心运动方程为:
xC
m1
l 2
m1
3l 2
2m1 m2
2m2l
cos t
yA
2(m1 m2 ) l cos t
C B
2m1 m2
0，
则
px
恒量
4．例题分析
[例1] 电动机外壳固定在水平基础上，定子和外壳的质
量为 m1，转子质量为 m2。定子和机壳质心 O1 ，转子质
心 O2，O1O2 e，角速度 为常量。求基础的水平及
铅直约束力。
解： p m2e
px m2e cos t py m2 e sin t
qV — 流体在单位时间内流过截面的体积流量
dt内流过截面动量变化为：
管壁对流体 的约束力
设 F F F
F —静约束力；F —附加动约束力
F p Fa Fb 0
F qV (vb va )
p p0 pa1b1 pab
( pbb1 pa1b ) ( pa1b paa1 ) pbb1 paa1
[思考题 P255 11-3，习题 P256 11-10]
v mBvr kmBol
mA mb mA mb
11-3 质心运动定理
1．质心
rC
m iri m
，m m i
质心位置的确定：
xC
mixi m
，yC
miyi， m
《理论力学》第十一章 动量矩定理
LO lOi ri mi v i
将动量矩投影到以O为原点的直角坐标轴上
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
Lx l x mv m yv z zv y
L y l y mv m zv x xv z Lz l z mv m xv y yv x
（二）质点系的动量矩L
设质点系由n个质点组成，其中第i个质点 的质量为mi，速度为vi。 质系对任意固定点O的动量矩：
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
LO lOi ri mi v i
质系对任意固定点O的动量矩为各质点 的动量对O点矩的矢量和。
3、刚体动量矩的计算
1）刚体平动
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
例1：均质细长直杆长l，质量m1，与质量为m2,半径
为r，均质圆盘固结。已知角速度为,试求对转轴的 动量矩。 解：
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
第十一章
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
动量矩定理
§1 动量矩（表征物体转动的物理量）
一、动量矩的定义及计算
1. 对任意固定点O的动量矩（矢量）：
质点对固定点的动量矩即质点的动量对固定点的矩： z lO r mv r p mv lo M r F
平轴z的转动惯量。轴z过O点垂直纸面
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等于零：
n M ( F O Ii ) 0
于是，刚体作定轴转动时惯性力系向点O简化，得到
FIR (mi ai ) maC ma ma
t C
t Ii 2
M I O M O (F ) ( mi ri ) J O
n C
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果
建立平衡方程，得到所需要的解答。
达朗贝尔原理应用示例
例题1
电动机外壳和定子的总 质量为m1，质心O与转子的 中心重合；转子的质量为 m2 ，由于制造或安装误差， 转子的质心O1到定子的质 心O的距离为e，已知转子 以等角速 转动。 求：电动机机座的约束力偶。
达朗贝尔原理应用示例
FI
惯性力系的简化
惯性力系的主矢与主矩 刚体平移时惯性力系的简化结果
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果 刚体作平面运动时惯性力系的简化与主矩
所有惯性力组成的力的系统，称为惯性力系。
与一般力系相似，惯性力系中所有惯性力的矢量 和称为惯性力系的主矢：
离心调速器
已知： O1 l A l
m1－球A、B 的质量；m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度；－ O1 y1轴的旋转角速度。 x1 求： － 的关系。 解： 1. 分析受力：以球 B(或A)和重锤C 为研究对象，分析所受的主动力和 约束力 FT2 B C FT1
l B l
C
FT3
对称面，而且刚体在平行于这一平面的平面内运动。 因此，仍先将惯性力系简化为对称面内的平面力系，
然后再作进一步简化。
设刚体的质量为m，对
质心轴的转动惯量为JC，角
速度和角加速度分别为ω和 。
惯性力系的简化
刚体作平面运动时惯性力系的简化结果
运动学分析的结果表明，平面图形的运动可以分解为 随质心的平移和绕质心的转动。
因此，简化到对称平面内的惯 性力系由两部分组成：刚体随质心平 移的惯性力系简化为一通过质心的力； 绕质心转动的惯性力系简化为一力偶。 该力和力偶分别为
FIR m aC
M I C M C (F ) ( mi ri ) J C
t Ii 2
惯性力系的简化
刚体作平面运动时惯性力系的简化结果
e F i FIi 0
e M O (Fi ) M O (FIi ) 0
这两个矢量式可以写出六个投影方程。 根据达朗贝尔原理，只要在质点系上施加惯性
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力，就可以应用上述方程求解动力学问题，这就是
质点系的动静法。
第11章 达朗贝尔原理及其应用
ait ri
ain 2 ri
t FIi mi ait mi ri n FIi mi ain mi 2 ri
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果
再将平面惯性力系向点 O简化，得一力和一力偶。
因为所有质点的法向惯性力
都通过O点，所以所有质点 法向惯性力对O点之矩的和
FT2
FT3
F´T1
B
FI
C m2 g
FT1 m1 g 解：
Fx1 0 F
y1
m1l 2sin ( FT1 FT2 )sin 0 m1 g ( FT1 FT2 )cos 0
0
＝FT3 , FT1
m2 g ＝ FT1 , 2cos
＝FT1 FT1
TSINGHUA UNIVERSITY
第11章 达朗贝尔原理及其应用
引入惯性力的概念，应用达朗贝尔原理，将静力学中求解 平衡问题的方法用于分析和解决动力学问题。这种方法称为 “动静法”。“动”代表研究对象是动力学问题；“静”代 表研究问题所用的方法是静力学方法。 达朗贝尔原理提供了有别于动力学普遍定理的新方法，尤 其适用于受约束质点系统求解动约束力和动应力等问题。因此 在工程技术中有着广泛应用，并且为“分析力学”奠定了理论 基础。 达朗贝尔原理虽然与动力学普遍定理具有不同的思路， 但却获得了与动量定理、动量矩定理形式上等价的动力学方 程，并在某些应用领域也是等价的。
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FIR F Ii (mi a i ) m a C
惯性力系中所有力向同一点简化，所得力偶的力 偶矩矢量的矢量和，称为惯性力系的主矩：
M IO MO ( FIi )
惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关；惯性力 系的主矩与刚体的运动形式有关。
M IO J O
2）刚体作匀角速度运动，角加速度 α 等于零，转轴 不通过刚体的质心， 惯性力系的简化成一个力： 惯性力大小：
FIR ma c
FIR mrc
2
刚体作平面运动时惯性力系的简化结果
在工程构件中，作平面运动的刚体往往都有质量
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F´T1
y1
m1 g
m2 g
m1－球A、B 的质量；m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度；－ O1 y1轴的旋转角速度。 FT2 FT3
2. 分析运动：
F´T1
B
FI
球绕 O1y1轴作等速圆周 运动，惯性力方向与法向 加速度方向相反，其值为
C
FI＝m1l 2sin
重锤静止，无惯性力。 m2 g
解：现在，采用动静法 可以确定约束力偶。
电机所受真实力有
aO2 m1g M2 g
m1g、 m2g 、 Fx 、Fy、M； 惯性力 F I
M Fy
Fx
FI m2 e 2
FI
aO2 m1g
刚体作定轴转动时惯性力系的简化结果
FIR ma C ma ma
t C
n C
讨论：
M I O MO ( FIti ) ( mi ri2 ) J O
1）转轴通过刚体的质心 ，角加速度 α 不等于零，
ac 0, FIR mac 0
惯性力系的简化成一个力偶：
3. 应用动静法：
FT1 m1 g 对于球 B:
Fx1 0 F
y1
m1l 2sin ( FT1 FT2 )sin 0 m1 g ( FT1 FT2 )cos 0
0
对于重锤 C
＝FT3 , FT1
m2 g ＝ FT1 , 2cos
＝FT1 FT1
惯性力与达朗贝尔原理
质点的惯性力与达朗贝尔原理
假想在运动的质点上加上惯性力，则可认为作用在质 点上的主动力、约束力以及惯性力，在形式上组成平衡力 系。此即达朗贝尔原理，亦即动静法。
动静法平衡方程的矢量形式
动静法平衡方程的投影形式
F FN FI 0
Fx FNx FIx 0 Fy FNy FIy 0 Fz FNz FIz 0
注意到质点系中各质点间的内力总是成对出现， 且等值、反向，故上式中
i F i 0
i M ( F O i )=0
上述方程变为:
e F i FIi 0
e M O (Fi ) M O (FIi ) 0
惯性力与达朗贝尔原理
质点系的达朗贝尔原理
FIR m aC
M I C M C (FIti ) ( mi ri2 ) J C
上述简化结果表明，有质量对称面的刚体作平面 运动，且运动平面平行于对称平面时，其惯性力系向 质心C简化的结果为对称面内的一力和一力偶。
这一力(通过质心的力) 大小为刚体质量与质心 加速度的乘积，方向与质心加速度相反；这一力偶的 力偶矩等于惯性力系对质心C的主矩，其大小为刚体 对轴C的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速 度的方向相反。
惯性力与达朗贝尔原理
质点的惯性力与达朗贝尔原理
动静法方程的矢量形式 动静法方程的投影形式
F FN FI 0
Fx FNx FIx 0 Fy FNy FIy 0 Fz FNz FIz 0
应用上述方程时，除了要分析主动力、约束力外，还 必须分析惯性力，并假想地加在质点上。其余过程与静力 学完全相同。 需要注意的是，惯性力只是为了应用静力学方法求解 动力学问题而假设的虚拟力，所谓的平衡方程，仍然反映 了真实力与运动之间的关系。
惯性力系的简化
刚体平移时惯性力系的简化结果
刚体平移时惯性力系的简化结果
刚体平移时，由于同一瞬时刚体内各质点的加 速度都相同，惯性力系为平行力系，所以，惯性力 系简化结果为通过质心C的合力，用FIR表示：
TSINGHUA UNIVERSITY
FIR m aC
其中m为刚体的质量; aC为刚体的质心加速度。
m a F FN
若将上式左端的ma移至右端，则有
F FN m a 0
FI m a
F FN FI 0
F FN FI 0
可以假想FI是一个力，它的大小等于质点的质量与 加速度的乘积，方向与质点加速度的方向相反。因其与 质点的质量有关，故称为达朗贝尔惯性力，简称惯性力。 上述方程形式上是一静力平衡方程。可见，由于引 入了达朗贝尔惯性力，质点动力学问题转化为形式上的 静力平衡问题。
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第11章 达朗贝尔原理及其应用
达朗贝尔原理应用示例
将达朗贝尔原理即动静法应用于分析和求 解刚体动力学问题，一般应按以下步骤进行： 进行受力分析－先分析主动力，再根 据刚体的运动，对惯性力系加以简化； 画受力图－分别画出真实力和惯性力；
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