正多边形与圆弧长扇形计算讲义教案

正多边形的定义：

各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形． 正多边形的相关概念：

⑴正多边形的中心角；⑵正多边形的中心；⑶正多边形的半径；⑷正多边形的边心距 正多边形的性质：

⑴正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形； ⑵正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有n 条通过正n 边形中心的对称轴； ⑶偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心． 正多边形的有关计算

⑴正n 边形的每个内角都等于

()2180n n

-⋅︒；

⑵正n 边形的每一个外角与中心角相等，等于

360n

︒

； ⑶设正n 边形的边长为n a ，半径为R ，边心距为n r ，周长为n P ，面积为n S ， 则222180180111

2sin

cos 422

n n n n n n n n n n n a R r R R r a P na S n r a r P n n ︒︒===+==⋅⋅=⋅，，，， 正多边形的画法

1.用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆. 2.用尺规等分圆

对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图. 精典例题：

若它们的面积都相等，那么_____________的周长最大．

例题3：在半径为1的圆中有一内接多边形，若它的各边长均大于1且小于2，

则这个多边形的边数必为___________．

例题4：下面给出六个命题：

①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；

③正多边形是中心对称图形；④各角均为120 的六边形是正六边形；

⑤边数相同的正n边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形

其中，错误的命题是_____________．

例题5：（1）正n边形内接于半径为R的圆，这个n边形的面积为2

3R，则n等于____________．（2）正八边形每一个外角是多数等于_______．N边形每一个内角等于________．

例题6：(09浙江台州)O

⊙的内接多边形周长为3，O

⊙的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是( )

A．6 B．8 C．10 D．17

例题7：已知圆内接正六边形面积为33，求该圆外切正方形边长．

例题8：已知圆内接正方形的面积为2，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积．

强化训练

1、正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为。

2、（2012•天津）若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为。

3、（2012•巴中）已知一个圆的半径为5cm，则它的内接六边形的边长为。

4、（2012•无锡）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（45，2）的是点．

5、（2011•绵阳）如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐

标原点重合，若A点的坐标为（-1，0），则点C的坐标为。

6、（2007•芜湖）如图，PQ=3，以PQ为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P，正方形ABCD的顶点A、B在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD切于点Q．则AB= 。．

7、（2007•天水）如图，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP上，并且∠POM=45°，则AB的长为

G

F

E D

C

B

O A

8、如图，两相交圆的公共弦AB 为32，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。

9、如图，△AFG 中，AF = AG ，∠FAG = 108°，点C 、D 在FG 上，且CF= CA ，DG = DA ，过点A 、C 、D 的⊙O 分别交AF 、AG 于点B 、E 。 求证：五边形ABCDE 是正五边形。

一、弧长扇形面积公式知识点讲解：

知识点

设O ⊙的半径为R ，n ︒圆心角所对弧长为l ， 1、弧长公式：π180

n R

l =

2、扇形面积公式：21π3602

n S R lR =

=扇形 3、圆柱体表面积公式：22π2πS R Rh =+ 4、圆锥体表面积公式：2ππS R Rl =+(l 为母线) 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：

① 公式法； ② 割补法； ③ 拼凑法； ④ 等积变换法

二、典型例题：

例1、如图，CD 切⊙O 于点D ，连结OC ，交⊙O 于点B ，过点B 作弦AB ⊥OD ，点E 为垂足，已知⊙O 的半径为10，DC=103．(1)求弦AB 的长；（2）OC 的长；（3）劣弧AB 的长.

2

O 1O ••

例1图

B

A

例题2：如图2，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于( )

Ａ．

6

π

Ｂ．

4

π

Ｃ．

3

π

Ｄ．

2

π

例题3：(20XX年郴州市)如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为

120，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为( )

A．2

4πcm B．2

6πcm C．2

9πcm D．2

12πcm

例题4：圆锥的母线长是3cm，底面半径长是1cm，E是底面圆周上一点，则从点M出发绕侧面一周，再回到M点的最短路线长是____________．

例5：如图，AB为⊙O的直径，CD AB

⊥于点E，交⊙O于点D，

OF AC

⊥于点F．

（1）请写出三条与BC有关的正确结论；

（2）当30

D

∠=，1

BC=时，求圆中阴影部分的面积．

例6：如图，线段AB与⊙O相切于点C，连结OA、OB，OB交⊙O于点D，已知6cm

OA OB

==，63cm

AB=. 求（1）⊙O的半径；（2）图中阴影部分的面积．

基础过关计算

1、已知扇形的半径为10cm，弧长为20πcm，则扇形的面积为；

2、扇形的圆心角度数60°，面积6π，则扇形所在圆的半径为；

C

B

A

O

F

D

E

O

A C B

D