4.1正弦和余弦

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5..4.1正弦函数、余弦函数的图象课件(人教版)

高中数学必修第一册
问题探究
高中数学必修第一册
典例精析
例1 画出下列函数的简图：
（1） = 1 + , ∈ [0,2]；（2） = −, ∈ [0,2].
高中数学必修第一册
典例精析
例1 画出下列函数的简图：
（1） = 1 + , ∈ [0,2]；
因此，以 0 为横坐标， 0 为纵坐标画点，即得到函数图象上的点
(0, 0).
高中数学必修第一册
问题探究
把轴上[0,2 ]这一段分成12等份，从而使0的值分别为0，

2

6
，

3
，பைடு நூலகம்
， … ，2；它们所对应的角的终边与单位圆的交点同样将圆周12等
份，再按照上述方法依次画点(0, 0).
高中数学必修第一册
问题探究
5
6
2
3

2
y
1

3
●
●

●
0
7
6
4
3
-1
3
2

6
5
3

6
●
2

3
2
11
6
●
●
2
3
5
6
7
6●
●
4 3 5
3 2
3
●
●
高中数学必修第一册
●
11
6●
●
2
x
问题探究
事实上，利用信息技术，可以在[0,2]上取足够多的点，并将这些点
简图吗？在确定图象形状时，应抓住哪些关键点？

九年级数学上册 4.1 正弦和余弦第2课时 45°,60°角的正弦值及用计算器求锐角的正弦值或对应

第2课时 45°，60°角的正弦值及用计算器求锐角的正弦值或对应的锐角01 基础题知识点1 45°，60°角的正弦值1．sin45°的值是(C)A.12B.32 C.22 D.332．sin60°的相反数是(C)A ．－12B ．－33C ．－32 D ．－223．在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝22，则∠B 的度数是(B)A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则sinB 的值为(A) A.32 B.33C. 3D.125．计算下列各题：(1)2sin30°－2sin45°；解：原式＝2×12－2×22＝1－1＝0.(2)sin 245°＋sin30°sin60°；解：原式＝(22)2＋12×32＝12＋34.(3)sin 230°＋sin 260°；解：原式＝(12)2＋(32)2＝1.(4)(sin30°－1)0－46sin45°sin60°.解：原式＝1－46×22×32＝1－6＝－5.知识点2 用计算器求锐角的正弦值及已知正弦值求锐角6．用计算器计算sin35°(精确到0.000 1)的结果是(D)A．0.233 5 B．0.233 6C．0.573 5 D．0.573 67．已知sinα＝0.893 8，则锐角α的值为(C)A．56°22′30″ B．60°18′27″C．63°21′17″ D．72°33′15″8．用计算器计算下列各锐角的正弦值(精确到0.000 1)．(1)20°；解：sin20°≈0.342 0.(2)75°；解：sin75°≈0.965 9.(3)23°13′；解：sin23°13′≈0.394 2.(4)15°32′.解：sin15°32′≈0.267 8.9．已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角(精确到0.1°)．(1)sinα＝0.822 1；解：α≈55.3°.(2)sinA ＝0.627 5；解：∠A≈38.9°.(3)sin α＝0.737 2；解：α≈47.5°.(4)sin α＝0.128 8.解：α≈7.4°.02 中档题10．点M(－sin60°，sin30°)关于x 轴对称的点的坐标是(B)A ．(32，12)B ．(－32，－12) C ．(－32，12) D ．(－12，－32) 11．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，a∶b＝3∶4，运用计算器计算，∠A 的度数(精确到1°)为(B)A ．30°B ．37°C ．38°D ．39°12．如果∠A 为锐角，且sinA ＝0.7，那么(B)A ．0°＜A≤30°B ．30°＜A ＜45°C ．45°＜A ＜60°D ．60°＜A≤90°13．已知α为锐角，且sin(α－10°)＝32，则α等于(C) A ．50° B ．60° C ．70° D ．80°14．如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则sin∠AOB 的值等于(C) A.12 B.22 C.32D. 315．如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则s in∠OMN 的值为(B)A.12B.22C.32D ．116．已知∠A，∠B 是△ABC 中的两个锐角，且(sinA －12)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinB －22＝0，求∠C 的度数．解：由非负数的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧sinA －12＝0，sinB －22＝0，∴sinA＝12，sinB ＝22. ∴∠A＝30°，∠B＝45°.∴∠C＝105°.17．(淮安中考)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点D 在AC 上，已知∠BDC＝45°，BD ＝102，AB ＝20.求∠A 的度数．解：在Rt△BDC 中，BC ＝BD·sin∠BDC＝102×sin45°＝10.在Rt△ABC 中，sinA ＝BC AB ＝12， ∴∠A＝30°.03 综合题18．数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为哪个三角形的面积大？解：分别过点A、D作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G、H，在Rt△ABG中，AG＝ABsinB＝5sin50°.在Rt△DHE中，∠DEH＝180°－130°＝50°，DH＝DEsin∠DEH＝5sin50°.∴AG＝DH.∵BC＝4，EF＝4，∴S△ABC＝S△DEF.。

湘教版九年级数学上册解直角三角形三角函数的教案

三角函数教案4.1 正弦和余弦（1）教学设计教学内容教学分析教学重点1、理解和掌握锐角正弦的定义。

2、根据定义求锐角的正弦值。

教学难点探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程教学准备教具学具补充材料课件、计算器、量角器、刻度尺教学流程第1 课时教学环节教师活动预设学生活动预设设计意图执教者个性化调整一、创设情景引入新课[活动1]1、上图是学校举行升国旗仪式的情景，你能想办法求出旗杆的高度吗？（课件演示）2、学习了本章内容你就能简捷地解决这类问题，本章将介绍的锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”（第一课时）学生可能会采用相似三角形的知识来解决，也可能无法解决，从而带着问题学习。

对章前图的说明和本章内容的简单介绍，明确本章研究的内容，让学生有个基本的了解。

通过实例创设情境，引入新课,体现了数学知识的实用性,也容易激发学生学习的兴趣和探索的热情。

二、师生互动探究新知[活动2]如图2一艘轮船从西向东航行到B学生观察，思考，建立几何模型，将实际问题转化为直角三角形中边角关让学生带着问题学习,激发探索欲望。

65°BAC⌒北东由于各人画的直角三角形大小不一样，所以量得的长度也不一样，但比值为什么相等呢？学生议论纷纷，激起疑问。

发现:在有一个锐角为65°的直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它约等于0.9。

的观点,激起疑问。

算结果大体一致，便于对后面知识的探究，故对教科书上要求的精确度进行了修改。

(3)为什么演扳的两位同学画的直角三角形大小不一样，但65°角的对边与斜边的比值：与相等呢？你能证明这个结论吗？∵∠D ＝∠D ′ ∠E ＝∠E ′ ∴△DEF ∽△D ′E ′F ′∴即：因此：在有一个锐角等于65°的所有直角三角形中，65°角的对边与同桌之间将各自所画图形放在一起，合作探究。

湘教版九年级上册教学设计4.1 正弦和余弦

湘教版九年级上册教学设计4.1正弦和余弦一. 教材分析湘教版九年级上册《数学》第4.1节“正弦和余弦”是本册教材中的重要内容，主要介绍了正弦和余弦的概念、性质和应用。

本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行教学的，为后续学习圆锥曲线、三角函数的图像和性质等知识打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数概念和数学思维能力，但对于正弦和余弦的理解还需要进一步引导。

在学习过程中，学生需要通过观察、分析、归纳等方法，掌握正弦和余弦的定义和性质。

同时，学生应能够运用正弦和余弦解决实际问题，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.了解正弦和余弦的概念，掌握正弦和余弦的定义和性质。

2.能够运用正弦和余弦解决实际问题，提高解决问题的能力。

3.培养学生的观察、分析、归纳能力，提高学生的数学思维能力。

四. 教学重难点1.重点：正弦和余弦的概念、性质。

2.难点：正弦和余弦在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生观察、分析、归纳正弦和余弦的性质。

2.运用案例教学法，让学生通过实际问题，掌握正弦和余弦的应用。

3.采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关正弦和余弦的案例和问题，用于课堂练习和拓展。

2.准备多媒体教学设备，用于展示正弦和余弦的图像和性质。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾锐角三角函数的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示正弦和余弦的图像，引导学生观察和分析正弦和余弦的性质。

3.操练（10分钟）教师提出相关问题，让学生运用正弦和余弦的知识进行解答。

教师及时给予指导和反馈，帮助学生巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）学生进行小组合作学习，共同解决正弦和余弦的实际问题。

教师巡回指导，解答学生疑问。

5.拓展（10分钟）教师提出拓展问题，引导学生运用正弦和余弦的知识进行探究。

学生独立思考或小组讨论，分享解题过程和结果。

4.1 任意角的正弦函数和余弦函数的定义

P
图6
y
（2）求出角的终边与单位圆的交点坐标；
（3）求出角的正弦、余弦函数值。
解：（2）由于 ,点P在第四象限，
4
M
o
1
4
P
所以点P的坐标为( 2 , 2 )
图6
22
（3）根据任意角的三角函数定义，易得sin( ) 2 ,cos( ) 2 .
y sin x y cos x
正弦、余弦函数的定义告诉我们，三角函数在各象限
内的符号，取决于u, v的符号，当点P在第一、二象限
时，纵坐标 y＞0；点P在第三、四象限时，纵坐标 y＜0。所以，正弦函数值对于第一、二象限角是正的，
对于第三、四象限角是负的。同样地，余弦函数值在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的。
o
x
sin y
r
2m 5m

25
5 （2）当
m＜0时，r
op

5m
cos x m 5 .
r 5m 5
sin y 2m 2 5
r 5m 5
cos x m 5 .
r 5m 5
例3求证：当且仅当不等式组
sin 0, cos 0.①
22
32
32
y
5
3
x
o
A
B
图7
例2如图8角终边与单位圆交于 p (u, v,) p '(x0, y0为)
终边上不同于P的任意一点，试用x0 , y0表示的正弦和
余弦。解：过 p, p '分别作 PH x轴
y
p '(x0 , y0 )

4.1正弦和余弦(3)

解：(1) cos∠D=cos∠ABC=
AB 4 = 0.94 BC 4.25
∴∠D≈20°．（2）EF=DEsin∠D=85sin20° ≈85×0.34=28.9(米) ，共需台阶28.9×100÷17=170级．
变式练习
某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于59°，否则就有危险，那么梯子的长至少为_______米。
4.1 正弦和余弦
第3课时用计数器求锐角的正弦和余弦值
复习提问
填表： 30º sin cos
1 2
45º
2 2 2 2
60º
3 2 1 2
3 2
新课引言
怎样求sin50º的值？
小明同学是这样做的：画一个直角三角形 ABC,使∠C=90º ,∠A=50º ,量出∠A的对边 BC=3cm,斜边AB=3.9cm。 3 计算sin50º 3.9 ≈0.77. =
变式练习
求锐角的正弦值和余弦值（精确到0.0001）（1）sin500 0.7660 0.628 ≈ _____,397 (2)sin70_0 ≈____ , 0.2588 (3) sin15º≈______,
0.3420 cos70º≈_________ 0.9659 cos 15º≈_____.
2、已知∠α为锐角，2sinα=1 ,∠α=___, º 30
3、在△ABC中，已知，则∠C=( D ) A 30 º B 45 º C ,
1 2 sin A cos B 0 2 2
60 º D
105 º
• •
• •
主题三、实际应用问题例4.(2010台州) 施工队准备在一段斜坡上铺上台阶方便通行．现测得斜坡上铅垂的两棵树间水平距离AB=4米，斜面距离BC=4.25米，斜坡总长DE=85米．（1）求坡角∠D的度数（结果精确到1°）；（2）若这段斜坡用厚度为17cm的长方体台阶来铺，需要铺几级台阶?

第2课时_4.1_正弦和余弦

2
2 = 3 AB2 .
4
于是因此
AC = 3 AB. 2 sin60 = AC = 3 . AB 2
至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）的正弦值，而对于一般锐角 α 的正弦值，我们可以利用计算器来求.
例如求50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键
，显示结果为0.7660…
31.5 （精确到0.1°）；（精确到0.1°）.
（3）若 sin α =0.5225，则 α ≈ （4）若 sin α =0.8090，则 α ≈
54.0
Байду номын сангаас
例2
计算： sin230°- 2 sin45°+sin260°
解
sin230°- 2 sin45°+sin260°
2 3 1 2 2 2 2
（3）sin 8054' = 0.9874.
2.已知下列正弦值，用计算器求对应的锐角（精确到0.1°）：（1）sin α =0.8071；（2）sin α =0.8660.
解: （1）α 53.8°;
（2）α 60.0° .
3. 计算：（1） sin260°+sin245°；（2） 1-2sin30°sin60°.
本章内容第4章
锐角三角函数
城关中学
彭中华制作
本课内容本节内容 4.1
正弦和余弦
动脑筋
如何求sin 45°的值？
如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°.
于是 ∠B=45°. 从而 AC=BC．
根据勾股定理，得
AB =AC +BC =BC +BC =2BC .

4.1正弦定理、余弦定理—讲义

第四章解三角形4.1正弦定理、余弦定理一．【课标要求】（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

二．【命题走向】对本讲内容的考察主要涉及三角形的边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。

今后高考的命题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、余弦定理及应用。

题型一般为填空题，也可能是中、难度的解答题。

三.【知识回顾】（1）12ABC S ∆=⋅⋅底高（2）ABC S ∆= = = ；3.三角形中常用结论（1）三个内角和为180，即A B C π++=（2）sin()A B += ，cos()A B += ， tan()A B += ，（3）sin2A B += ，cos 2A B+= ；（4）tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅（5）在三角形中，大角对大边，大边对大角，大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即：sin sin A B a b A B >⇔>⇔> （6）在锐角三角形中，sin cos 2A B A B π>⇔+>4.在ABC ∆中，已知,a b 和A 时，解的情况如下：【方法与规律】1. 解斜三角形问题往往用到正弦定理与余弦定理以及三角形面积公式，解题时角度的选取是关键，并注意角的取值范围，2. 解决三角形中的问题，要学会“统一”，或统一成角的关系，或统一成边的关系，视情况灵活掌握.四．【典例解析】考点一、利用正余弦定理求多边形的边或角例1.如下图所示，在四边形ABCD 中，已知,10,14,60AD CD AD AB BDA ⊥==∠=，135BCD ∠= ，求BD BC 及的长.考点二、有关三角形解的个数及形状的判定问题例2.在ABC ∆中已知22sin()()sin()A B a b A B -=-+,则ABC ∆的形状是 . 例3.钝角三角形三边长分别为,1,2a a a ++，其中最大角不超过120，则a 的取值范围是 .例4.在ABC ∆中,若22tan tan A a B b =,则判断该三角形的形状是 . 例5.在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C =,则ABC ∆的形状是 .考点三、三角形中的三角函数问题例6.(08年高考全国卷)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,且3cos cos 5a Bb A C -=.(1)求sin cos cos sin A BA B的值；（2）求tan()A B -的最大值.例7. ABC ∆的三个内角为,,A B C ，当A 为何值时，cos cos 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值.考点四、正、余弦定理及三角形面积公式的综合应用例8.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知2,3c C π==（1）若ABC ∆,a b 的值.（2）若sin sin()2sin 2C B C A +-=,求ABC ∆的面积.例9.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，且cos cos 2B bC a c=-+. （1）求角B 的大小；（2）若4b a c =+=，求ABC ∆的面积.例10．（2009浙江理）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c 且满足cos 32A AB AC =⋅=.（1）求ABC ∆的面积；（2）若6b c +=，求a 的值．题型五、三角形中的三角恒等变换问题例11．（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C =，求b .例12．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且，求A 的大小及sin b B c的值.例13．在ABC ∆中，已知,,A B C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan CA C A ++的值。

4.1(第四课时)正弦与余弦(练习课)湘教版

1 2 3 2 3 4
.
3 1 2 2
2 2 2 2
3 4
1 2
.
.
拓展练习
1、已知三角形 A B C 中， C ＝ 9 0 , sin A a 2, 求 co s A , b , c的值 . 1 3 ,
拓展练习
2、已知三角形 A B C 中， C ＝ 9 0 , a : b 2 : 3, 求 A的正弦与余弦值 .
sin A 7 8 ,
sin B 15 8 .
C
A
3 ．求下列各式的值．（１） sin 3 0 c o s 3 0 , （２） sin 6 0 co s 6 0 , （３） sin 4 5 co s 4 5 . 解（１）s in 3 0 c o s 3 0 （２） s in 6 0 c o s 6 0 （３） s in 4 5 c o s 4 5
3,
A
求 B C的值 .
C
D
B
1
对于任意角α是不是总有 2 2 sin co s 1 .
探究
sin co s 1(0 ＜＜ 9 0 )
2 2
设是任意一锐角，求证 sin cos 1.
2 2
分析：构造一直角三角形
证明： s in s in s in s in
b
c
AC AB

b c
co s B
BC AB

a c
C a B
cos 的取值范围 0＜ c o s ＜（ 0 ＜＜ 9 0 ） 1

4.1 正弦和余弦湘教版九年级上册

sinA=
A的对边斜边
斜边
B
cosA=
A的邻边斜边
A
∠A的对边 ┌ ∠A的邻边 C
名言警句
人生的白纸全凭自己的笔去描绘．每个人都用自己的经历填写人生价值的档案． ——佚名
A. m sin 米 C. m cos 米 B. m tan 米
m D. 米 tan
A m C
B
5．（2010·巴中中考）已知如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝8， ∠B＝60°，连结AC．
（1）求cos∠ACB的值（2）若E、F分别是AB、DC的中点，连结 EF，求线段EF的长。
3 B. 4
C.
3 5
D.
4 5
4 3．（2010·怀化中考）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= 5 则cosB的值等于（ B ）
A. 3 5 B. 4 5 C. 3 4
5 D. 5
4．（2010·东营中考）如图，小明为了测量其所在位置A点
到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α ，那么AB等于（ B ）
如图,梯子的倾斜程度与sinA和cosA 有关吗?
【例1】如图:在Rt△ABC 中,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6；求BC的长. 【解析】在Rt△ABC中,
sin A BC BC 0.6, AC 200
C
200
BC 200 0.6 120.
A
┌ B
第4章
4.1
锐角三角函数
正弦和余弦
1、理解锐角三角函数中正弦、余弦的意义，并能举
例说明；
2、能根据正弦、余弦的定义进行简单的计算．

湘教版数学九年级上册4.1.1《正弦和余弦》教学设计

湘教版数学九年级上册4.1.1《正弦和余弦》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册4.1.1《正弦和余弦》是本册教材中的重要内容，主要介绍了正弦和余弦的概念、性质及其应用。

本节课的内容对于学生来说，既是对以前知识的巩固，又是为后续学习更复杂三角函数奠定基础。

教材从实际问题出发，引入正弦和余弦的概念，并通过大量的例题和练习，使学生掌握正弦和余弦的性质和应用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数的概念和性质有一定的了解。

但是，对于正弦和余弦这两个三角函数的理解，还需要通过具体的例子和实际问题来进行引导和深化。

此外，学生对于实际问题的解决，还需要老师在教学中进行引导和培养。

三. 教学目标1.理解正弦和余弦的概念，掌握它们的性质和应用。

2.能够通过实际问题，引入正弦和余弦的概念，并解决问题。

3.培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.正弦和余弦的概念及其性质的理解和应用。

2.利用正弦和余弦解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实际问题引入正弦和余弦的概念，引导学生通过自主学习和合作学习，掌握正弦和余弦的性质和应用。

同时，运用多媒体教学手段，直观地展示正弦和余弦的变化规律，帮助学生理解和记忆。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.正弦和余弦的图示和实例。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程导入（5分钟）老师通过一个实际问题，如测量一个斜边为10的正弦三角形的两个直角边的长度，引导学生思考正弦和余弦的概念。

呈现（10分钟）老师通过多媒体展示正弦和余弦的图示和实例，让学生直观地感受正弦和余弦的变化规律。

同时，老师引导学生总结正弦和余弦的性质。

操练（10分钟）老师给出一些练习题，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。

通过这个过程，让学生加深对正弦和余弦的理解和应用。

巩固（10分钟）老师给出一些实际问题，让学生分组讨论和解决。

通过这个过程，培养学生的合作能力和解决实际问题的能力。

单位圆与任意角的正余弦函数定义

点P的_横___坐__标__u叫作角α的余弦函数，记作_u_＝_ cosα_．
【探究4】正弦、余弦函数值在各象限的符号
上正弦右余弦
【知识梳理】
正弦ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余弦函数在各象限的符号
三角函数
象限第一象限第二象限第三象限第四象限
sin α cos α
+
+
—
—
+
—
—
+
【应用】特殊角的正、余弦函数值
若取|OP|＝1时，sin α，cos α的值怎样表示？
sin y y y
r1
cos x x x
r1
【探究2】单位圆与锐角正、余弦函数的关系
y
1 P(u,v)
sin v v
1
O
x
cos u u
1
【探究3】单位圆与任意角正、余弦函数的定义
任给角
终边OP
点P
y
P
v
uO
x
v sin
解： sin 0
cos -1
y
-1
O
x
【作业】求特殊角的正、余弦函数值(课本第16页表格）
0 2 5 7 4 3 5 11 2
6 4 32 36
6 32 3 6
sin
cos
思维导图
锐角的正、余弦函数
r O
P(x,y)
任意角的正、余弦函数
v sin
u cos
上正弦右余弦
A
α
C
【探究1】用坐标来表示锐角的正弦函数和余弦函数
角α的正弦、余弦分别等于什么？
sin y
r
cos x

正弦函数和余弦函数的定义教案

1.4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式1.4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义（必修4 第一章三角函数）《正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式》教案一、教学目标1：知识与技能观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质，并灵活应用性质解题。

培养分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的能力。

2:过程与方法理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念。

通过初中知识的回顾，探索新知，会利用单位圆研究正弦函数、余弦函数的周期性及诱导公式。

通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程，感悟数形结合思想方法是学习数学的重要思想方法之一。

3:情感态度与价值观由锐角的正,余弦函数推广到任意鱼的正,余弦函数的过程中,体会特殊与一般的关系,形成一种辩证统一的思想;通过单位圆的学习,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题,解决问题的能力。

一二、学情分析初中运算以具体数字为主，运算量小；高中以字母为主，更加抽象(也更接近数学的本质)，并且引入对字母的分类讨论，对学生的发散思维能力提出了很高要求,教师讲的太多，会导致学生产生依赖心理，时间一长，会形成恶性循环；教师讲的太多，往往拔苗助长，适得其反；让学生积极动脑思考，过程虽然慢一些，但可以培养学生捕捉问题的敏捷性，对以后的数学学习非常有利，可谓“磨刀不误砍柴工”。

教师要从各方面引导学习数学要深入下去，不能浅尝辄止，半途而废，要适时鼓励学生，给学生以学好数学的勇气和信心。

鼓励学生不要怕出错，大胆尝试，大胆地写，给学生敢写、敢做树立自信心。

在初中学生已经学习过三步作图法（列表，描点、连线）——“描点作图”法，在第一册学生已经掌握了函数的有关对应的知识和概念,同时已经具备了一定的自学能力,这在我们今天学校用“五点法”作图提供了基础，让学生动手作出函数y＝sinx和y=cosx的图象，学生不会感到困难。

积极地鼓励学生自主的去完成作业。

遇到有疑问的问题积极的解决。

湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》教学设计1

湘教版数学九年级上册4.1《正弦和余弦》教学设计1一. 教材分析《正弦和余弦》是湘教版数学九年级上册第四章第一节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行的，是初高中数学的衔接部分。

本节课主要介绍了正弦和余弦的概念以及它们的定义方法。

通过本节课的学习，学生可以更好地理解三角函数的概念，为后续的三角函数学习打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于锐角三角函数的概念已经有了一定的了解。

但是，对于正弦和余弦的定义以及它们的联系和应用可能还不是很清楚。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过自主学习、合作交流等方式来深入理解正弦和余弦的概念，并能够应用到实际问题中。

三. 教学目标1.理解正弦和余弦的概念，掌握它们的定义方法。

2.能够运用正弦和余弦解决一些简单的实际问题。

3.培养学生的合作交流能力，提高学生的数学思维能力。

四. 教学重难点1.重点：正弦和余弦的概念及其定义方法。

2.难点：正弦和余弦在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.自主学习：引导学生通过自主学习，深入理解正弦和余弦的概念。

2.合作交流：学生进行小组讨论，分享学习心得，互相解答疑问。

3.实例分析：通过实际问题，让学生学会运用正弦和余弦解决实际问题。

4.媒体辅助：利用多媒体课件，生动形象地展示正弦和余弦的定义过程。

六. 教学准备1.多媒体课件：制作正弦和余弦的定义课件，以便于生动形象地展示教学内容。

2.实际问题：准备一些与正弦和余弦相关的实际问题，用于课堂练习和巩固。

3.学习资料：为学生准备相关的学习资料，以便于学生自主学习和合作交流。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些与正弦和余弦相关的实际问题，引导学生思考正弦和余弦的概念。

2.呈现（10分钟）通过多媒体课件，生动形象地展示正弦和余弦的定义过程，同时引导学生进行自主学习，深入理解正弦和余弦的概念。

3.操练（10分钟）学生进行小组讨论，分享学习心得，互相解答疑问。

新湘教版九年级数学上册课件：余弦

用计算器求锐角的余弦值,要用到 cos 键:
例如：求cos16°,cos42°的值.
cos16° cos cos42° cos
按键的顺序
1
6
=
4
2
=
显示结果 0.961 261 695 0.743 144 825
由于计算器的型号与功能的不同,按相应的说明书使用.
1．用计算器求锐角的正弦值和余弦值（精确到0.0001）：
的余弦，记作 cos，
cos

角的邻边
斜边
.
根据上述证明过程看出：对于任意锐角α，有
cos＝sin 90- ，
sin＝cos90 ．
例
题
求 cos30 ，cos 60 ，cos 45 的值．
cos30 sin 90 30 sin 60 3 ,
2
cos 60 sin 90 60 sin 30 1 ,
2
cos 45 sin 90 45 sin 45 2 .
2
1．在Rt △ABC 中， ∠C= 90º， AC=5，
练习
AB=7．求 cos A ，cos B 的值． B
答案： cos A 5 , cos B 2 6 .
操作（１） cos 50 0.6428 （２） cos 70 0.3420
（３） cos15 0.9659
如何用计算器求 sin1036, cos 7523 呢？
由于1si°n=6100′，因3660此 10，36就得1到0 它3660的值，．从而用计算器去求
2
45

cos2
45

1 2
2 2
2

4.1正弦和余弦课件数学九年级上册

(1)求∠ B 的余弦值；解：由题意得 b＝12(a＋c)．∵a2＋b2＝c2， ∴a2＋14(a＋c)2＝c2， (a＋c)(a－c)＋14(a＋c)2＝0， (a＋c)(54a－34c)＝0. ∵a＋c≠0，∴a＝35c，∴cosB＝ac＝35.
(2) 当 b=20 时，求 c的值．
解：当 b＝20 时，a＋c＝2b＝40. ∵a＝35c， ∴35c＋c＝40，解得 c＝25.
2 3.
归纳总结
定义
特殊角的正弦值和余弦值
正弦和余弦
正弦和同角正弦和余余弦互余角弦的关系
特别警示利用同角三角函数间的关系求三角函数值时，需注意各个锐角三角函数值的范围，即 0<sin α <1， 0< cosα<1，对于不在其范围内的函数值，应舍去.
课堂新授
例6
解题秘方：紧扣“同一锐角三角函数间的关系”求解.
3 5
课堂新授
例 7 计算：sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°. 解题秘方：紧扣sin A＝cos(90°－∠A)将原式变形，再根据sin2A＋cos2A＝1 求解.
例1 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果AB=2， BC=1，那么 sin B 的值是_________ ．
解题秘方：利用勾股定理求出 AC 的长，紧扣正弦的定义，明确∠ B 的对边和斜边，直接求得 sin B 的值 .
42
课堂新授
例2
解题秘方：紧扣特殊角的正弦值，直接代入并计算.
课堂新授
例4
解题秘方：紧扣正弦、余弦揭示了直角三角形的边角之间的数量关系，先利用勾股定理求出未知边的长度，然后根据定义求∠ A的正弦、余弦值.