新课标人教版八年级数学上册第十五章整式的乘除与因式分解全章教案
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第十五章整式的乘除与因式分解§15．1．1 同底数幂的乘法教学目标（一）教学知识点1．理解同底数幂的乘法法则．2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．（二）能力训练要求1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力．2．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，•使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律．（三）情感与价值观要求体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神．教学重点正确理解同底数幂的乘法法则．教学难点正确理解和应用同底数幂的乘法法则．教学方法透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力．教具准备投影片（或多媒体课件）．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境复习a n的意义：a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，•n是指数．（出示投影片）提出问题： （出示投影片）问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？ [生]运算次数=运算速度×工作时间所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1012×103． [师]1012×103如何计算呢？ [生]根据乘方的意义可知1012×103=121010)⨯⨯个(10×（10×10×10）=15101010)⨯⨯⨯个(10=1015． [师]很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法． Ⅱ．导入新课 1．做一做 出示投影片：你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题． [生]（1）25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2）计算下列各式： （1）25×22 （2）a 3·a 2 （3）5m ·5n （m 、n 都是正整数）=27=25+2．因为25表示5个2相乘，；22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得a3·a2=（a·a·a）·（a·a）=a5=a3+2．5m·5n= (555)⨯⨯⨯m个5×(555)⨯⨯⨯n个5=5m+n．（让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）．[生]我们可以发现下列规律：（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．2．议一议出示投影片[师生共析]a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：a m·a n=()a a am个a ·()a a an个a=a a a(m+n)个a=a m+n于是有a m·a n=a m+n（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．[生]a m表示n个a相乘，a n表示n个a相乘，a m·a n表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有（m+n）个a相乘，根据乘方的意义可得a m·a n=a m+n．[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．3．例题讲解出示投影片[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？[生1]（1）、（2）、（4）可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．[生2]（3）也可以，先算2个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，•看谁算得又准又快． 生板演：（1）解：x 2·x 5=x 2+5=x 7． （2）解：a ·a 6=a 1·a 6=a 1+6=a 7．（3）解：2×24×23=21+4·23=25·23=25+3=28． （4）解：x m ·x 3m+1=x m+(3m+1)=x 4m+1．[师]接下来我们来看例2．受（3）的启发，能自己解决吗？•与同伴交流一下解题方法．解法一：a m ·a n ·a p =（a m ·a n ）·a p =a m+n ·a p =a m+n+p ；解法二：a m ·a n ·a p =a m ·（a n ·a p ）=a m ·a n+p =a m+n+p ． 解法三：a m ·a n ·a p =a a a m 个a·a aa n 个a·a aa p 个a=a m+n+p ．评析：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还用了乘法的结合律；•解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，•就一定是底数不变，指数相加．[师]是的，能不能用符号表示出来呢？[生]a m1·a m2·…·a mn=a m1+m2+mn[师]太棒了．那么例1中的第（3）题我们就可以直接应用法则运算了．2×24×23=21+4+3=28．Ⅲ．随堂练习1．课本P166练习Ⅳ．课时小结[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，•请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，•我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m·a n=a m+n（m、n是正整数）．Ⅴ．课后作业1．课本P175习题15．2─1．（1）、（2），2．（1）、8．《三级训练》板书设计§15．2．3幂的乘方教学目标：1、经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。
初二数学上册第十五章整式的乘除与因式分解教学案
初二数学上册第十五章整式的乘除与因式分解教学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址15.1.1同底数幂的乘法（第一课时）学习目标：经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述，并会熟练地进行计算。
通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，发展推理能力和有条理的表达能力．学习重点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用．学习过程：一、创设情境引入新课复习乘方an的意义：an表示个相乘，即an=．乘方的结果叫a叫做，•n是问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？列式为，你能利用乘方的意义进行计算吗？二、探究新知：探一探：根据乘方的意义填空（1）23×24=（2×2×2）×（2×2×2×2）=2；（2）55×54=_________=5；（3）（－3）3×（－3）2=_________________=（－3）；（4）a6•a7=________________=a．（5）5m•5n猜一猜：am•an=你能证明你的猜想吗？说一说：你能用语言叙述同底数幂的乘法法则吗？同理可得：am•an•ap=三、范例学习：【例1】计算：（1）103×104；（2）a•a3；（3）m•m3•m5；（4）xm•x3m+1x•x2+x2•x1.填空：⑴10×109=；⑵b2×b5=；⑶x4•x=；⑷x3•x3=.2.计算：a2•a6；•3；8m•3•8n；b3••4．【例2】：把下列各式化成（x+y）n或（x－y）n的形式．（1）（x+y）4•（x+y）3（x－y）3•（x－y）•（y－x）－8（x－y）2•（x－y）（x+y）2m•（x+y）m+1四、学以致用：.计算：⑴10n•10m+1=⑵x7•x5=⑶m•m7•m9=⑷－44•44=⑸22n•22n+1=⑹y5•y2•y4•y=2.判断题：判断下列计算是否正确？并说明理由⑴a2•a3=a6；⑵a2•a3=a5（）；⑶a2+a3=a5；⑷a•a7=a0+7=a7（）；⑸a5•a5=2a10（）；⑹25×32=67（）。
八年级数学上册 第十五章整式的乘除与因式分解导学案全章 人教新课标版
15.1 整式的乘法第一课时同底数幂乘法【教师信息】主备人：实施人：实施时间【学生信息】班级：姓名：所属小组编号学习日期____【教材信息】课题：§15.1 整式的乘法第二课时幂的乘方课型课时总课时【教师信息】主备人：实施人：实施时间【学生信息】班级：姓名：所属小组编号学习日期____圣源学校八年级数学高效课堂导学案【教材信息】课题：§15.1 整式的乘法第三课时积的乘方课型课时总课时【教师信息】主备人：实施人：实施时间【学生信息】班级：姓名：所属小组编号学习日期____【教材信息】课题：§15.1 整式的乘法第四课时幂的运算综合练习课型课时总课时【教师信息】主备人：实施人：实施时间【学生信息】班级：姓名：所属小组编号学习日期____【教材信息】课题：§15.1 整式的乘法第五课时单项式乘以单项式课型课时总课时【教师信息】主备人：实施人：实施时间【学生信息】班级：姓名：所属小组编号学习日期____圣源学校八年级数学高效课堂导学案【教材信息】课题：§15.1 整式的乘法第六课时单项式乘以多相式课型课时总课时【教师信息】主备人：实施人：实施时间【学生信息】班级：姓名：所属小组编号学习日期____【教材信息】课题：§15.1 整式的乘法第七课时多项式乘以多项式课型课时总课时【教师信息】主备人：实施人：实施时间【学生信息】班级：姓名：所属小组编号学习日期____学习目标⒈让学生理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.⒉经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，培养学生计算能力.⒊发展有条理的思考，逐步形成主动探索的习惯. 学习重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用. 学习难点：多项式与多项式的乘法法则的应用. 学习过程：一.预习与新知：⑴叙述单项式乘以单项式的法则？⑵计算;①()12+-x x x ②()y x xy xy 225351+⎪⎭⎫⎝⎛-⑶在硬纸板上用直尺画出一个矩形，并且分成如图所示的四部分标上字母， 则面积为多少？na① b⑷请把矩形沿竖线剪开分成如图所示的两部分。
整式的乘除与因式分解全单元的教案范文
整式的乘除与因式分解全单元的教案范文一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解整式的乘除概念，掌握整式乘除的运算方法；（2）掌握因式分解的方法，能够对简单的一元二次方程进行因式分解。
2. 过程与方法：（1）通过实例演示和练习，培养学生的运算能力；（2）通过小组讨论和探究，培养学生合作解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学科的兴趣；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
二、教学内容：1. 整式的乘法：（1）单项式乘以单项式；（2）单项式乘以多项式；（3）多项式乘以多项式。
2. 整式的除法：（1）单项式除以单项式；（2）多项式除以单项式。
3. 因式分解：（1）提取公因式法；（2）十字相乘法；（3）公式法。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）整式的乘除运算方法；（2）因式分解的方法及应用。
2. 教学难点：（1）整式乘除中的复杂运算；（2）因式分解中的技巧与策略。
四、教学过程：1. 导入：通过复习相关概念，引导学生进入整式乘除与因式分解的学习。
2. 教学新课：（1）整式的乘法：通过具体例子，讲解单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算方法；（2）整式的除法：通过具体例子，讲解单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算方法；（3）因式分解：讲解提取公因式法、十字相乘法、公式法的运用。
3. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
4. 总结与拓展：总结整式乘除与因式分解的关键点，引导学生思考如何解决实际问题。
五、课后作业：1. 完成练习册的相关题目；2. 选取一道复杂的整式乘除或因式分解题目，进行深入研究和分析。
六、教学策略与方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究整式乘除与因式分解的方法；2. 利用多媒体课件，展示整式乘除与因式分解的运算过程，增强学生的直观感受；3. 设计具有梯度的练习题，让学生在实践中巩固知识，提高运算能力；4. 组织小组讨论，鼓励学生分享解题心得，培养合作精神。
新课标人教版八年级数学上册第十五章整式的乘除与因式分解全章教案
第十五章整式的乘除与因式分解§15．1．1 整式教学目标1．单项式、单项式的定义．2．多项式、多项式的次数．3、理解整式概念．教学重点单项式及多项式的有关概念．教学难点单项式及多项式的有关概念．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题1．要表示△ABC的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？2．小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？结论：1、要表示△ABC的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ABC•的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设BC=a，AC=b，AB=c．AB边上的高为h，•那么△ABC的周长可以表示为a+b+c；△ABC的面积可以表示为12·c·h．2．小王的平均速度是St．问题：这些式子有什么特征呢？（1）有数字、有表示数字的字母．（2）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接．归纳：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．判断上面得到的三个式子：a+b+c、12ch、St是不是代数式？（是）代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．Ⅱ．明确和巩固整式有关概念思考：先填空，再看看列出的代数式有什么特点． （1）边长为x 的正方形的周长为_________； （2）一辆汽车的速度是v 千米/时，行驶t 小时所走过的路程为_______千米． （3）如图，正方体的表面积为_______，正方体的体积为________； （4）设n 表示一个数，则它的相反数是________． （出示投影）结论：（1）正方形的周长：4x ． （2）汽车走过的路程：vt ．（3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，•所以它的表面积为6a 2；正方体的体积为长×宽×高，即a 3． （4）n 的相反数是－n ． 分析这四个数的特征．它们符合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c 、12ch 、St中还有和与商的运算符号．还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念． 根据这些定义判断4x 、vt 、6a 2、a 3、-n 、a+b+c 、12ch 、St这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．结论:4x 、vt 、6a 2、a 3、-n 、12ch 是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-1、12．它们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x 、-n 都是一次单项式；vt 、6a 2、•12ch 都是二次单项式；a 3是三次单项式．问题:vt 中v 和t 的指数都是1，它不是一次单项式吗？结论:不是．根据定义，单项式vt 中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt 是二次单项式而不是一次单项式． 生活中不仅仅有单项式，像a+b+c ，它不是单项式，和单项式有什么了解呢？写出下列式子（出示投影）结论:（1）t-5．（2）3x+5y+2z ．（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即12ab-3.12r 2．（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x 2+2x+18． 我们可以观察下列代数式：a+b+c 、t-5、3x+5y+2z 、12ab-3.12r 2、x 2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？ 这样推理合情合理．请看投影，熟悉下列概念．根据定义，我们不难得出a+b+c 、t-5、3x+5y+2z 、12ab-3.12r 2、x 2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数． a+b+c 的项分别是a 、b 、c ．t-5的项分别是t 、-5，其中-5是常数项． 3x+5y+2z 的项分别是3x 、5y 、2z ．12ab-3.12r 2的项分别是12ab 、-3.12r 2．x 2+2x+18的项分别是x 2、2x 、18．找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次数，•二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式． 这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式． Ⅲ．随堂练习 1．课本P162练习 Ⅳ．课时小结通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，•发展符号感．Ⅴ．课后作业1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题． 2．预习“整式的加减”． 课后作业：《课堂感悟与探究》§15．1．2 整式的加减（1）教学目的：1、解字母表示数量关系的过程，发展符号感。
整式的乘除与因式分解教案
第十五章整式乘除与因式分解教材内容本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式和因式分解。
这些知识是以后学习分式和根式运算、函数知识的基础，也是学习物理、化学等学科不可或缺的数学工具。
幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是学习整式乘法的基础，作为它的直接应用，接着安排了单项式乘法，在此基础上，引进单项式与多项式及多项式与多项式的乘法。
这样安排从简到繁，由易到难，层层递进。
乘法公式是在学习整式乘法基础上得到的。
教材安排了三个多项式乘法的计算，通过总结它们的共同点，把它们作为公式，即平方差公式。
接着用类似的方式引进了乘法的完全平方公式，之后，适时引进添括号法则，以满足整式运算的需要。
同底数幂的除法是学习整式除法的基础，教材首先介绍同底数幂的除法性质，接着根据乘、除互为逆运算的关系，并以分配律、同底数幂的除法为依据，由计算具体的实例得到单项式除法的法则。
多项式除以单项式的基本点就是把多项式除以单项式转化为单项式除法。
从整式乘法与因式分解的关系认识因式分解的概念，同时从整式乘法与因式分解的关系介绍了因式分解的基本方法，即提公因式法和公式法。
这些内容是多项式因式分解中一部分最基本的知识和基本方法。
教学目标[知识与技能]1、使学生掌握正整数幂的乘、除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。
使学生掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算。
2、使学生会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算。
3、使学生掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
4、使学生理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形，掌握提公因式法和运用公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。
数学初二上人教新资料第15章整式的乘除与因式分解全章教案
数学初二上人教新资料第15章整式的乘除与因式分解全章教案教学目标：〔一〕教学知识点：1、理解同底数幂的乘法法那么、2、运用同底数幂的乘法法那么解决一些实际问题、〔二〕过程与方法：1、在进一步体会幂的意义时，进展推理能力和有条理的表达能力、 2、通过“同底数幂的乘法法那么”的推导和应用，•使学生初步理解特别──一般──特别的认知规律、〔三〕情感与价值观：体会科学的思想方法，同意数学文化的熏陶，激发学生探究创新的精神、教学重点:正确理解同底数幂的乘法法那么、教学难点:正确理解和应用同底数幂的乘法法那么、教学方法：透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发明，在对新知识的再创造和再发明的活动中培养学生的探究创新精神与创新能力、 教学过程：一、提出问题，创设情境复习an 的意义：an 表示n 个a 相乘，我们把这种运算叫做乘方、乘方的结果叫幂；a 叫做底数，•n 是指数、问题：1、一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？2、1012×103如何计算呢？ 依照乘方的意义可知1012×103=121010)⨯⨯个(10×〔10×10×10〕=15101010)⨯⨯⨯个(10=1015、特别好，通过观看大伙能够发明1012、103这两个因数是同底数幂的形式，因此我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法、依照实际需要，我们有必要研究和学习如此的运算──同底数幂的乘法、 二、导入新课 1、做一做出示投影片：处理方法：让学生自主探究，在启发性设问的引导下发明规律，并用自己的语言表达〕、 发明以下规律：〔一〕这三个式子基本上底数相同的幂相乘、〔二〕相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和、 2、议一议 出示投影片：am ·an 表示同底数幂的乘法、依照幂的意义可得： am ·an=()a aa m 个a·()a aa n 个a=a aa(m+n)个a=am+n因此有am ·an=am+n 〔m 、n 基本上正整数〕，用语言来描述此法那么即为： “同底数幂相乘，底数不变，指数相加”、 3、例题讲解 出示投影片 学生活动:板演三、随堂练习课本P142练习：计算四、课时小结这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，•请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？ 五、课后作业课本P148习题15、1─1、〔1〕、〔2〕，2、〔1〕、3、〔1〕、〔2〕。
人教版八年级数学上册第十五章整式的乘除与因式分解(教案)
举例：计算（a+b）（c+d），重点强调如何正确处理符号和合并同类项。
（2）多项式乘以单项式的法则：理解和运用单项式乘以多项式的法则，注意乘法分配律的应用。
举例：计算3x（2x^2+4x-1），重点在于如何将单项式3x分别与多项式中的每一项相乘。
（3）平方差公式和完全平方公式的应用：掌握平方差公式（a^2-b^2）和完全平方公式（a^2±2ab+b^2），并能灵活运用到实际计算中。
举例：化简表达式a^2-4，重点在于应用平方差公式得到（a+2）（a-2）。
（4）因式分解的方法：掌握提公因式法、平方差公式法和完全平方公式法，能够将多项式分解为整式的乘积。
3.平方差公式：掌握平方差公式的结构特点，能够灵活运用平方差公式进行乘法运算。
4.完全平方公式：理解并掌握完全平方公式的结构，学会运用完全平方公式进行乘法运算。
5.因式分解：掌握提公因式法、平方差公式法和完全平方公式法等因式分解方法，解决实际问题。
本节课将结合实际例题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
在学生小组讨论环节，我注意到有些学生在分享成果时表达不够清晰，可能是因为他们在讨论过程中没有充分整理自己的思路。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强学生的语言表达训练，让他们学会如何条理清楚地表达自己的观点。
最后，总结回顾环节，我发现在这个阶段，部分学生仍然存在疑问。这说明我在课堂上的讲解和引导可能还不够到位，需要进一步关注学生的学习反馈，及时调整教学方法，提高教学效果。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了整式的乘除与因式分解，回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思。首先，我在导入新课环节提出了与日常生活相关的问题，希望通过这种方式激发学生的兴趣，但从学生的反应来看，可能问题设置得还不够贴近他们的实际经验，导致部分学生的参与度不高。在今后的教学中，我需要更加注意问题的设计，使其更具有针对性和吸引力。
人教新课标八年级数学上册第15章整式的乘除与因式分解全章教案
§15．1．1 同底数幂的乘法 教学目标：（一）教学知识点：1．理解同底数幂的乘法法则．2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．（二）过程与方法：1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力．2．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，•使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律．（三）情感与价值观：体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神． 教学重点:正确理解同底数幂的乘法法则．教学难点:正确理解和应用同底数幂的乘法法则．教学方法：透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力． 教学过程：一．提出问题，创设情境复习an 的意义： an 表示n 个a 相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a 叫做底数，•n 是指数．问题：1、一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？2、1012×103如何计算呢？ 根据乘方的意义可知 1012×103=121010)⨯⨯个(10×（10×10×10）=15101010)⨯⨯⨯个(10=1015．很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法． 二．导入新课 1．做一做出示投影片：处理方法：让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）． 发现下列规律：（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和． 2．议一议 出示投影片： am·an 表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得： am·an=()a aa m 个a·()a aa n 个a=a aa(m+n)个a=am+n于是有am·an=am+n（m 、n 都是正整数），用语言来描述此法则即为： “同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． 3．例题讲解 出示投影片学生活动:板演 三．随堂练习课本P142练习：计算四．课时小结这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，•请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？五．课后作业课本P148习题15．1─1．（1）、（2），2．（1）、3．（1）、（2）。
!初二数学第15章《整式的乘除与因式分解》教案
第十五章 整式的乘除与因式分解课题： 15.1.1 同底数幂的乘法教学目标：1、探究同底数幂的乘法法则。
2、会用式子和文字正确描述同底数幂的乘法法则。
3、熟练运用同底数幂的乘法法则进行计算。
重点：同底数幂的乘法法则及应用。
难点：熟练运用同底数幂的乘法法则进行计算。
学习方法：自学、归纳、交流、练习课前准备：布置前置性作业。
一．知识要点１．２３×２４＝(２×２×２)(２×２×２×２) ＝2( )a 2×a 6=______________________________=a ( )2.根据1中的规律,以幂的形式写出结果:102×104=____ 32×33=____ (-10)2×(-10)4=____ a 2×a 3=____ 3.a m· a n=_________ (m 、n 都是正整数）4.同底数幂相乘，___________________,______________________。
5.am•a n •ap=___________________。
二．知识应用1、计算：(1)(-5) (-5)2 (-5)3 (2)(a+b)3 (a+b)52、10×10×10×10×10可以写成 形式？3、26表示 ？4. 什么叫作乘方？ 。
5、 a n 表示的意义是什么？其中a 、n 、a n分别叫做什么？6、判断正误： ⑴222743=+（ ） ⑵ 222743=•（ ）⑶xx x 1262=•（ ） ⑷x2x x 666=•（ ）7、选择： ⑴x2m 2+可写成 （ ）A 、x1m 2+ B 、xx2m2+C 、xx 1m 2+•D 、xx2m2•⑵在等式()aaa 1142=••中，括号里面的代数式应当是（ ）A 、a7B 、a6C 、a5D 、a4⑶若3x a =，5x b =，则xba +的值为 （ ）A 、8 B 、15 C 、35D 、53教学过程：一、检查前置性作业的完成情况。
八年级数学上册 第15章整式的乘除与因式分解复习教案 人教新课标版
第十五章整式的乘除与因式分解（复习）教学目标：1.知识与技能：掌握运用提公因式法、公式法分解因式，培养学生应用因式分解解决问题的能力.2.过程与方法：经历探索因式分解方法的过程，培养学生研讨问题的方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，得出因式分解的方法.3.情感态度与价值观：通过因式分解的学习，使学生体会数学美，体会成功的自信和团结合作精神，并体会整体数学思想和转化的数学思想.教学重、难点：用提公因式法和公式法分解因式.教具准备：多媒体课件（小黑板）教学方法：活动探究法教学过程：引入:在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这种变形就是因式分解.什么叫因式分解？知识详解知识点1 因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.例如：(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.怎样把一个多项式分解因式？知识点2 提公因式法多项式m a+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.m a+mb+mc=m(a+b+c)就是把m a+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是m a+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4a b+2a=2a(4a b-2b+1).探究交流下列变形是否是因式分解？为什么？(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)； (2)x2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)； (4)x n(x2-x+1)=x n+2-x n+1+x n.典例剖析师生互动例1 用提公因式法将下列各式因式分解.(1) -x3z+x4y； (2) 3x(a-b)+2y(b-a)；分析：(1)题直接提取公因式分解即可，(2)题首先要适当的变形，再把b-a化成-(a-b)，然后再提取公因式.小结运用提公因式法分解因式时，要注意下列问题：(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号内不能再分解.(2)如果出现像(2)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少。
初中八年级初二数学教案 第十五章整式的乘除与因式分解教学案
15.1.1同底数幂的乘法（第一课时）学习目标：经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述，并会熟练地进行计算。
通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，发展推理能力和有条理的表达能力．学习重点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用．学习过程：一、创设情境引入新课复习乘方a n的意义：a n表示个相乘，即a n= ．乘方的结果叫a叫做，•n是问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？列式为，你能利用乘方的意义进行计算吗？二、探究新知：探一探：1根据乘方的意义填空（1）23×24=（2×2×2）×（2×2×2×2）=2( )；（2）55×54=________ _=5( )；（3）（－3）3×（－3）2=__ _______________ =（－3）( )；（4）a6·a7=_______________ _ =a( )．（5）5m·5n猜一猜：a m·a n = (m、n都是正整数) 你能证明你的猜想吗？说一说：你能用语言叙述同底数幂的乘法法则吗？同理可得：a m·a n ·a p = (m、n、p都是正整数)三、范例学习：【例1】计算：（1）103×104；（2）a·a3；（3）m·m3·m5；（4）x m·x3m+1 (5)x·x2 + x2·x1.填空：⑴10×109= ；⑵b2×b5= ；⑶x4·x= ；⑷x3·x3= .2.计算：(1) a2·a6；(2)(-x)·(-·(-8)3·8n；(4)b3·(-b2)·(-b)4．【例2】：把下列各式化成（x+y）n或（x－y）n的形式．（1）（x+y）4·（x+y）3(2)（x－y）3·（x－y）·（y－x）(3)－8（x－y）2·（x－y）(4) （+1四、学以致用：1.计算：⑴10n·10m+1= ⑵x7··m7·m9=⑷－44·44= ⑸22n·22n+1= ⑹y5·y2·y4·y=2.判断题：判断下列计算是否正确？并说明理由⑴a2·a3= a6( )；⑵a2·a3= a5（）；⑶a2+a3= a5( )；⑷a·a7= a0+7=a7（）；⑸a5·a5=2a10（）；⑹25×32=67（）。
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第十五章整式的乘除与因式分解知识要点1．整式的有关概念：整式、单项式、多项式；单项式的次数与系数、•多项式的次数 2．整式的加减：整式的加减的过程就是合并同类项．3．幂的运算性质：(1) a m·a n=a m+n（m，n都是正整数）(2)（a m）n=a mn（m，n）都是正整数）(3)（ab）n=a n b n（n是正整数）（4）a m÷a n=a m-n（a≠0，m，n都是正整数，且m>n）4．零指数幂的意义：a0=1（a≠0）（要注意隐含条件的运用）5．整式的乘法6．乘法公式：①（a+b）（a-b）=a2-b2；②（a±b）2=a2±2ab+b27．因式分解．常用方法有：提公因式法、公式法．典型例题例．如果多项式a2+（b-2）a+25是完全平方式，则b的值是（）A．10 B．12或-8 C．12 D．10或-10分析：完全平方式是三项式，其中两项是两个数的平方和，•第三项是这两个数的积的2倍，因为这个代数式中已有a、5（或-5）的平方和，所以（b-2）a=2·a·5或（b-2）a=2·a·（-5），因此b=12或b=-8．解：选B．练习题一、选择题1．化简（-2）3+（3.14-）0的值是（）A．-8 B．-7 C．-9 D．无意义2．下列各式结果为负数的是（）A．-（-11） B．（-10）0 C．（-8）2 D．-723．下列各式中，能用平方差公式来计算的是（）A．（m+n）（-m-n） B．（-m+n）（-m-n）C．（-m+n）（m-n） D．（m-n）（n+m）二、填空题4．多项式-8x2y2z-13xy2-7yz2-9xy+1的次数是________，项数是_______，•二次项的系数是_______．5．把4a2b2-4ab+1分解因式，结果是____________．6．已知2m+5n-3=0，则4m·32n的值是_________．7．已知a+b=7，ab=12，则a-b的值是__________．8．计算：（-）11×224=_________．三、解答题:9．计算①-（15x-2y）-[3x-（2x-3y）] ②（2a-b）2-（a+2b）（a-2b）③（2m3n）3÷（-4m3n2）·（-3n）2④（-a6b3+a3b4-a b3）÷（-a b3）10．化简求值：（x-2）（x-3）+2（x+5）（x-5）-3（x2-5x-13），其中x=-2.11．利用乘法公式计算：①20052-4012×2005+20062②998×100212．已知多项式3x2-kxy-8y2除以x-2y，商式为3x+4y，余式为0，试求k的值．四、探究题:13．请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答问题：①a2+5a+4=（a+1）（a+4）②a2-10a+21=（a-3）（a-7）④a2+4a-12=（a+6）（a-2）④a2-7a-18=（a-9）（a+2）（1）请用一个式子表示你观察到的规律：x2+（a+b）x+ab=________．（2）请用你观察并总结出来的结论把下列各式分解因式：①m2-15m+56 ②x2-7x-30 ③（y+2）2+6（y+2）+8 ④x2-xy-12y2答案:1．B 2．D 3．B 4．5；5；-9 5．（2ab-1）2 6．8 7．±1 8．-49．①-16x-y；•②3a2-4ab+5b2；③-18m6n3；④a5-2a2b+ 10．-25 11．①1；②999996 12．k=213．（1）（x+a）（x+b）（2）①（m-7）（m-8）；②（x-10）（x+3）；③（y+4）（y+6）；④（x-4y）（x+3y）。
八年级数学上册_第十五章整式乘除与因式分解学案_人教新课标版
⼋年级数学上册_第⼗五章整式乘除与因式分解学案_⼈教新课标版第⼗五章整式乘除与因式分解全章学案 15.1 整式的乘法第⼀课时 15.1.1同底数幂乘法⼀、课前展⽰，精彩⼀练⼆、学习⽬标⒈在推理判断中得出同底数冪乘法的运算法则，并掌握“法则”的应⽤.⒉经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能⼒和表达能⼒，提⾼计算能⼒.⒊在组合作交流中，培养协作精神,探究精神，增强学习信⼼. 重点：同底数冪乘法运算性质的推导和应⽤. 难点：同底数冪的乘法的法则的应⽤. 三、创设激趣，导⼊新课四、学习过程：（⼀）、预习与新知：⒈⑴阅读课本P 141-142（2）32 表⽰⼏个2相乘？23表⽰什么？5a 表⽰什么？m a 呢？（3）把22222表⽰成na 的形式.⒉请同学们通过计算探索规律.（1）()())(222222222243==?(2)35 ?45= )(5= （3）7)3(-?6)3(-= ())(3-= （4）)(?= 1011011013（5）3a ?4a = =()a⒊计算（1）32?4a ?4a 和7a (代数式表⽰)；观察计算结果，你能猜想出m a ?na 的结果吗？问题：（1）这⼏道题⽬有什么共同特点？（2）请同学们看⼀看⾃⼰的计算结果，想⼀想这个结果有什么规律？⒋请同学们推算⼀下ma ?na 的结果？同底数幂的乘法法则：（⼆）、课堂展⽰：（1）计算①310?410 ②3a a ? ③53a a a ?? ④532333??思考：三个以上同底数幂相乘，上述性质还成⽴吗？ ama n ?ap=___________________。
（2）计算①11010+?m n②57x x ? ③ 97m m m ?? ④-4444?⑤()3922-? ⑥ 12222+?n n⑦ y y y y 425 ⑧x x x x ?+?22（三）、随堂练习：（1）课本P 142练习题（2）课本P 148页15.1第1①②，2①补充练习：1.填空：（1）x 5 ·（）=x 8（4）x m ·（）＝x 3m2.填空：（1）8×4 = 2x，则 x = ；（2）3×27×9 = 3x，则 x = . 3.计算:(1) x n · x n+1 (2) 35(－3)3(－3)2 (3) －a(－a)4(－a)3 (4) 32×(－2)2n (－2)（n 为正整数）(四)、课堂检测 1、判断正误：⑴2 22743=+（）⑵ 222743=（）⑶xx x 1262=（）⑷x2x x 666=（）2、选择：⑴x2+ B 、xx 2m2+C 、xx 1m 2+?D 、xx 2m2?⑵在等式()aaa 1142=中，括号⾥⾯的代数式应当是（）A 、a7B 、a6C 、a 5D 、a45x b=，则xba +的值为（）A 、8B 、15C 、35D 、53C 组能⼒拓展1.计算：①10432b b b b ②()()8 76x x x -?- ③()()()562x y y ----④()()()3645p p p p ?-+-?-2.把下列各式化成()n y x +或()ny x -的形式.y x y x ++ ②()()()x y y x y x ---23③()()12+++m m y x y x3.已知9x x x n m nm =?-+求m 的值.五．⼩结与反思第⼆课时 15.1.2幂的乘⽅⼀、课前展⽰，精彩⼀练⼆、学习⽬标⒈理解幂的乘⽅的运算性质，进⼀步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘⽅的运算性质，并且掌握这个性质.⒉经历⼀系列探索过程，发展学⽣的合情推理能⼒和有条理的表达能⼒，通过情境教学，培养学⽣应⽤能⼒.⒊培养学⽣合作交流意识和探索精神，让学⽣体会数学的应⽤价值. 重点：幂的乘⽅法则.难点：幂的乘⽅法则的推导过程及灵活应⽤. 三、创设激趣，导⼊新课四、学习过程：（⼀）、预习与新知：1填空①同底数幂相乘不变，指数。
新人教版八年级数学上册第15章整式的乘除与因式分解教案
第15章整式的乘除与因式分解15.1.1 整式的乘法教学目标①感受生活中幂的运算的存在与价值．②经历自主探索同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述这些性质，并会运用它们熟练地进行计算．③逐步形成独立思考、主动探索的习惯．④通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，培养学生一定的说理能力和归纳表达能力．教学重点与难点重点：幂的三个运算性质．难点：幂的三个运算性质．教学设计创设情境导入新课问题：一种电子计算机每秒可以进行1012次运算，它工作103s可以进行多少次运算?你能用学过的知识解决吗?从实际问题的导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识．从而构建新的知识体系，同时因为关于底数、指数、幂等概念是在有理数的乘法中学习的，学生可能生疏或遗忘，在新课讲解之前利用这个实际问题进行复习．学生略作思考后得出，它工作103s可以进行的运算次数是1012×103．怎样计算1012×103?根据乘方的意义可以知道：探究新知1．探一探根据乘方的意义填空：从引例到“探一探”，“猜一猜”，“说一说”是一个从特殊到一般，从具体到抽象，把幂的底数与指数分两步有层次地进行概括抽象的过程．在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得运算法则．学生独立思考后回答，教师板演．2．猜一猜问：看看计算结果，你能发现结果有什么规律吗?学生小组讨论后交流结果：不管底数是什么数，只要底数相同，结果就是指数相加．3．说一说a m×a n(m，n是正整数)?学生说出理由，教师板演共同得出结论：a m×a n=a m+n(m，n都是正整数)即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．注意性质中的m、n的取值范围．注：要求学生用语言叙述这个性质，即“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．4．想一想a m×a n×a p=?5．做一做例1教科书第142页的例1(1)～(4)(5)-a3·a5；(6)(x+1)2·(x+1)3同底数幂的性质很容易推广到三个以上的同底数幂相乘．在例1的课堂教学中教师要求学生说明底数是什么，指数是什么，引导学生观察是不是同底数幂相乘，再利用性质进行计算．例1(5)中注意让学生说清“-a3”的底数是“a”还是“-a”．性质中的字母可以是单项式也可以是多项式，如例1(6)，把底数进一步扩充到式的范围．6．自主学习根据乘方的意义及同底数幂的乘法，让学生自主探究教科书第170页探究问题．学生在独立思考、合作交流的基础上，得出幂的乘方运算性质：(a m)n=a mn(m，n都是正整数)即幂的乘方，底数不变，指数相乘．7．做一做例2教科书第171页的例2(1)～(4)(5) -(x3)4·x28．想一想让学生自主探究教科书第171页的探究问题，并完成填空．尝试分析运算过程中用到哪些运算律?运算结果有什么规律?学生自己归纳出积的乘方的运算性质：(ab)n=a n b n(n为正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．那么，(abc)n=?注：和前两个性质的教学一样，这个性质也是先用具体指数为例说明积的乘方的意义和导出性质的每一步依据，从而归纳出一般指数情形的性质．这个性质也很容易推广到三个以上因式的乘方．9．做一做例3教科书第172页的例3(1)～(4);补充：(5) [-3(x+y)2]3例4 计算：x·(x2)3-2x4·x2比一比这节课我们学习了三个运算性质：“同底数幂的乘法”、“幂的乘方”和“积的乘方”．组织学生进行计时比赛，在规定时间内完成教科书第170页、17l页、172页的练习．深入探究例5计算：(1)(-8)2004·(-0.125)2005(2)(-2)2n+1+2·(-2)2n(n为正整数)．在这三个性质中的底数、指数中，指数注明为正整数，而底数可以是数、字母或式．把底数进一步扩充到式的范围．议一议下面的计算对不对?如果不对，应当怎样改正．(1)a3·a3=a6； (2)b4·b4=2b4；(3)x5+x5=x10; (4)y7·y=y8；(5)(a3)5=a8； (6)a3·a5=a15;(7)(a2)3·a4=a9； (8)(xy3)2=xy6；(9)(-2x)3=-2x3注：补充议一议与辨析题的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算性质的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．小结组织学生讨论和辨析三个运算性质．课外巩固1．必做题：教科书第148页习题15.1第1、2题．2．备选题：(1)计算：(2)计算：a m-1·a n+2+a m+2·a n-1+a m·a n+1(3)已知：a m=7，b m=4，则(ab)2m=______(4)已知：3x+2y-3=0，则27x·9y=___________教学后记15.1整式的乘法(2)教学目标:①探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．②让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力．教学重点与难点重点：单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则．难点：单项式与多项式相乘去括号法则的应用．教学设计复习引新1．知识回顾：回忆幂的运算性质：a m·a n=a m+n(m，n都是正整数)即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．(a m)n=a mn(m，n都是正整数)即幂的乘方，底数不变，指数相乘．(ab)n=a n b n(n为正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．2．练一练口答：幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对上述内容做复习．创设情境引入新课问题光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?注：从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．地球与太阳的距离约为(3×105)×(5×102)千米．问题是(3×105)×(5×102)等于多少呢?学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决：(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107(为什么?)在此处再问学生更加规范的书写是什么?应该是地球与太阳的距离约为1.5×lO8千米．请学生回顾，我们是如何解决问题的．探究新知1．问题：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，你会算吗?学生独立思考，小组交流．注：从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．学生分析：跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2分别看成a·c5和b·c2，再利用乘法交换律和结合律．ac5·bc2=(a·c5)·(b·c2)=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7注：在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题．2．试一试：类似地，请你试着计算：(1)2c5·5c2；(2)(-5a2b3)·(-4b2c)ac5和bc2，2c5和5c2，(-5a2b3)和(-4b2c)都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法?注：先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生类比，自己动手试一试，再相互交流，自己小结出如何进行单项式的乘法．要求学生用语言叙述这个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．学生小结：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．3．算一算例1教科书第145页例4在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算，如何利用运算性质和法则。
人教版 八年级数学 第15章 整式乘除与因式分解 (教学设计共9课时,39页)
15.1.1 同底数幂的乘法（第一课时）【教学目标】知识与能力（1）经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，进一步体会幂的意义；（2）了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题.过程与方法在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力；学习同底幂乘法的运算性质，提高解决问题的能力.情感与态度在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心.【教学重点】同底数幂的乘法运算法则及其应用.【教学难点】同底数幂的乘法运算法则的灵活运用.【教学方法】创设情境—主体探究—合作交流—应用提高.【教学过程设计】一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1问题：2002年9月，一个国际空间站研究小组发现了太阳系以外的第100颗行星，距离地球约100光年.1光年是光经过一年所行的距离，光的速度大约是3×105 km/s.这颗行星距离地球多远？3× 10 5×365 ×24 ×60×60×100= 3×105×（31536×103）×100=3×31536 × 105×103×102.105×103×102等于多少呢？活动2 回顾、思考，根据乘方的意义填空，观察计算的结果有什么规律？ a n 表示的意义是什么？其中a 、n 、a n 分别叫做什么？ （1）32×33＝______； （2）a 4×a 3＝______； （3）2m ×2 n ＝______. 学生活动设计学生根据自己的理解独立完成分析，然后观察结果，发现同底数幂在进行乘法运算时可以转化为指数的加法运算.教师活动设计在解决问题后，引导学生归纳同底数幂的乘法法则，a m 表示m 个a 相乘，a n 表示n 个a 相乘，a m ·a n 表示m 个a 相乘再乘以n 个a 相乘，即有(m +n )个a 相乘，根据乘方的意义可得a m ·a n =a m +n .同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 即：a m ×a n ＝a m+n （m 、n 都是正整数）. 二、知识应用，巩固提高 活动3计算下列各式，结果用幂的形式表示：(1) 78 × 73 ； (2) (－2) 8×(－2) 7； (3) －x 3·x 5 ； (4) (a －b )2 (a －b ) . 是不是都能利用同底数幂的乘法的性质计算呢？ 学生活动设计学生自主探索发现(1)、(2)、(4)都能直接用同底数幂乘法的性质——底数不变，指数相加.(3)也能用同底数幂乘法的性质，因为－x 3·x 5中的－x 3相当于(－1)×x 3，也就是说－x 3的底数是x ，x 5的底数也为x ，只要利用乘法结合律即可得出.教师活动设计 请四个同学板演：(1)(－3)7×(－3)6=(－3)7+6=(－3)13； (2)(101)3×(101)=(101)3+1=(101)4；(3)－x 3·x 5=［(－1)×x 3］·x 5=(－1)(x 3·x 5)=－x 8；(4)b2m·b2m+1=b2m+2m+1=b4m+1.师生共同分析可能存在的问题.巩固练习：教材第142页练习.判断，正确的打“√”，错误的打“×”.(1)x3·x5=x15 ( )(2)x·x3=x3( )(3)x3+x5=x8 ( )(4)x2·x2=2x4( )(5)(－x)2·(－x)3=(－x)5=－x5 ( )(6)a3·a2－a2·a3=0 ( )(7)a3·b5=(ab)8 ( )(8)y7+y7=y14 ( )学生分析：(1)×.因为x3·x5是同底数幂的乘法，运算性质应是底数不变，指数相加，即x3·x5=x8.(2)×.x·x3也是同底数幂的乘法，但切记x的指数是1，不是0，因此x·x3=x1+3=x4.(3)×.x3+x5不是同底数幂的乘法，因此不能用同底数幂乘法的性质进行运算，同时x3+x5是两个单项式相加，x3和x5不是同类项，因此x3+x5不能再进行运算.(4)×.x2·x2是同底数幂的乘法，直接用运算性质，应为x2·x2=x2+2=x4.(5)√.(6)√.因为a3·a2－a2·a3 = a5－a5=0.(7)×.a3·b5中a3与b5这两个幂的底数不相同.(8)×.y7+y7是整式的加法且y7与y7是同类项，因此应用合并同类项法则，得出y7+y7=2y7.例题：我国自行研制的“神威I”计算机的峰值运算速度达到每秒3 840亿次.如果按这个速度工作一整天，那么它能运算多少次（结果保留3个有效数字）？由乘法的交换律和结合律，得(3.84 × 103×108)×( 24 ×3.6×103)= (3.84 × 24×3.6)×(103×108×103)= 331.776 ×1014≈3.32×1016(次) .三、应用提高、拓展创新问题：计算：2－22－23－24－25－26－27－28－29+210 .学生分析：注意到210－29=29·2－29×1=29·(2－1)=29，同理，29－28=28，…23－22=22，即2n+1－2n=2·2n－2n=(2－1)·2n=2n.逆用同底数幂的乘法的运算性质将2n+1化为21·2n .教师活动设计引导学生进行探索，必要时进行适当的启发和提示.〔解答〕原式=210－29－28－27－26－25－24－23－22+2=2·29－29－28－27－26－25－24－23－22+2=29－28－27－26－25－24－23－22+2=…=22+2=6.想一想：a m·an·ap等于什么？猜想：a m·an·ap= am+n+p（m、n、p都是正整数）四、归纳小结、布置作业小结：同底数幂的乘法法则.作业：预习下一节内容.15.1.2 幂的乘方（第二课时）【教学目标】知识与能力（1）经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义；（2）了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.过程与方法在探索幂的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力；学习幂的乘方的运算性质，提高解决问题的能力.情感与态度在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美.【教学重点】幂的乘方的运算性质及其应用.【教学难点】幂的运算性质的灵活运用.【教学方法】创设情境—主体探究—合作交流—应用提高.【教学过程设计】一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1知识回顾活动2一个正方体的边长是102毫米，你能计算出它的体积吗？如果将这个正方体的边长扩大为原来的10倍，则这个正方体的体积是原来的多少倍？学生活动设计正方体的体积等于边长的立方．所以边长为102毫米的正方体的体积V =（102）3立方毫米；如果边长扩大为原来的10倍，即边长变为102×10毫米即103毫米，此时正方体的体积变为V 1=（103）3立方毫米．（102）3，（103）3很显然不是最简，此时在教师的引导下进一步探索其结果．根据幂的意义可知，（102）3表示三个102相乘，于是就有（102）3=102×102×102=102+2+2=106；同样根据幂的意义可知（103）3=103×103×103=103+3+3=109．于是就求出了V =106立方毫米，V 1=109立方毫米．活动3 计算下列各式并说明理由．（1）（62）4； （2）（a 2）3； （3）（a m ）2； （4）（a m ）n ． 学生活动设计学生根据自己的理解独立完成分析． （1）略；（2）（a 2）3=a 2·a 2·a 2 = a 2+2+2 = a 6 = a 2×3；（3）（a m ）2 = a m ·a m = a m +m = a 2m ； （4）（a m）n=man mm m aa a 个∙∙∙⋅⋅⋅ =m n mm m a个+⋅⋅⋅++ = a mn ．观察结果，发现幂在进行乘方运算时，可以转化为指数的乘法运算． 教师活动设计在解决问题后，引导学生归纳同底数幂的乘法法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即：（a m ）n ＝a mn （m 、n 都是正整数）． 二、知识应用，巩固提高 活动4 计算（1）（102）3； （2）（b 5）5； （3）（a n ）3；（4）－（x 2）m ； （5）（y 2）3·y ； （6）2（a 2）6－（a 3）4．学生活动设计首先分析第（1）、（2）、（3）题，可以发现它们都是幂的乘方的运算．请几个同学回答．（1）（102）3=102·102·102 = 102+2+2 = 102×3= 106；（2）（b 5）5=b 5·b 5·b 5·b 5·b 5=b 5+5+5+5+5 = b 5×5 = b 25； （3）（a n ）3=a n ·a n ·a n =a n +n +n =a 3n ．接着让学生分析其余各个问题，这几个问题要注意符号问题．（4）－（x 2）m 表示（x 2）m 的相反数，所以－（x 2）m=－2222xm x x x 个∙∙∙⋅⋅⋅=－ 2222个m x+⋅⋅⋅++=－x 2m ；（5）（y 2）3·y 中既含有乘方运算，也含有乘法运算，按运算顺序，应先乘方，再做乘法，所以，（y 2）3·y =（y 2·y 2·y 2）·y =y 2×3·y =y 6·y =y 6+1=y 7；（6）2（a 2）6－（a 3）4按运算顺序应先算乘方，最后再化简．所以， 2（a 2）6－（a 3）4=2a 2×6－a 3×4=2a 12－a 12=a 12．教师活动设计我们开始练习幂的乘方的运算性质，不要着急直接套入公式（a m ）n =a mn 中，而应进一步体会乘方的意义和幂的意义．只要明白了算理，熟悉后就可直接代入，师生对学生的解答共同分析可能存在的问题．巩固练习：活动5 幂的乘方法则的逆用 m n n m mn a a a )()(==． 幂的乘方的逆运算：（1）x 13·x 7=x （ ）=（ ）5=（ ）4=（ ）10； （2）a 2m =（ ）2 =（ ）m （m 为正整数）． 练习：1．已知3×9n =37，求n 的值． 2．已知a 3n =5，b 2n =3，求a 6n b 4n 的值．3．设n 为正整数，且x 2n =2，求9（x 3n ）2的值． 三、应用提高、拓展创新问题 如果甲球的半径是乙球的n 倍，那么甲球的体积是乙球的n 3倍．地球、木星、太阳可以近似地看做是球体．木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？学生分析根据问题中的前提条件，可得木星的体积是地球体积的103倍；太阳的体积是地球体积的（102）3倍即106倍．教师活动设计引导学生进行探索，必要时进行适当的启发和提示．〔解答〕略．四、归纳小结、布置作业小结：幂的乘方法则．作业：预习下一节内容．15.1.3 积的乘方（第3课时）【教学目标】知识与能力（1）经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义；（2）了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题．过程与方法在探索积的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力；学习积的乘方的运算性质，提高解决问题的能力．情感与态度在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，进一步培养学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美．【教学重点】积的乘方的运算性质及其应用．【教学难点】积的运算性质的灵活运用．【教学方法】创设情境—主体探究—合作交流—应用提高．【教学过程设计】一创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1 复习1．叙述同底数幂乘法法则，并用字母表示．语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．字母表示：a m·a n=a m+n(m，n都是正整数)．2．叙述幂的乘方法则，并用字母表示．语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．字母表示：(a m)n=a mn(m，n都是正整数)活动2 计算（1）(3×5)7=3（ ）·5（ ）； （2）(3×5)m =3（ ）·5（ ）； （3）(ab )n =a（）·b（ ）．你能说出得出结论的理由吗？你能运用自己的语言描述你发现的规律吗？ 学生活动设计学生自己分析其中的结果并进行讨论，主要讨论每一步的依据，感受乘法交换律和结合率的作用．（1）(3×5)7——积的乘方 =)53(7)53()53()53(⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯个 ——幂的意义=37)333(个⨯⨯⨯× 57)555(个⨯⨯⨯ ——乘法交换律、结合律 =37×57；——乘方的意义（2）(3×5)m=)53()53()53()53(⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯个m ——幂的意义=3)333(个m ⨯⨯⨯×5)555(个m ⨯⨯⨯ ——乘法交换律、结合律 =3m ·5m ；——乘方的意义（3）(ab )n=abn ab ab ab 个)()()(⋅⋅⋅ ——幂的意义= an a a a a 个)(⋅⋅⋅⋅·bn b b b b 个)(⋅⋅⋅⋅——乘法交换律、结合律=a n b n ．——乘方的意义由（1）、（2）、（3）的化简，得出 （1）(3×5)7=37×57； （2）(3×5)m =3m ×5m ； （3）(ab )n =a n b n ．由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质： 积的乘方等于把每一个因式分别乘方的积． 即：(ab )n =a n ·b n教师活动设计在本活动中教师主要关注：（1）学生能否自己主动参与探索过程；（2）学生能否自行分析每一步的依据；（3）学生在交流中所投入的情感和态度．二、知识应用，巩固提高活动3 计算（1）(3x)3；（2）(－2b)5；（3）(－2xy)4；（4）(3a2)n．学生活动设计应用积的乘方的运算性质进行计算、化简，得首先看积中含有哪些因数或因式．同时要明白算理，开始练习积的运算，可以不直接套用，多写几步，等熟悉后可直接套用．学生板演：（1）(3x)3=(3x)(3x)(3x)=(3×3×3)(x·x·x)=27x3或(3x)3=33·x3=27x3；（2）(－2b)5=(－2b)(－2b)(－2b)(－2b)(－2b)=(－2)(－2)(－2)(－2)(－2)(b·b·b·b·b)=(－2)5·b5=－32b5或(－2b)5=(－2)5b5=－32b5；（3）(－2xy)4=(－2xy)(－2xy)·(－2xy)·(－2xy)=(－2)(－2)(－2)(－2)(x·x·x·x)(y·y·y·y)=(－2)4x4y4=16x4y4或(－2xy)4=(－2x)4·y4=(－2)4x4y4=16x4y4；（4）(3a2)n=3n(a2)n=3n a2n．教师活动设计教师根据学生板演情况和学生一起分析可能出现的问题，然后经过讨论解决．巩固练习：教材第144页 练习．三、应用提高、拓展创新活动4 例题（1）a 3·a 4·a +(a 2)4+(－2a 4)2；（2）2(x 3)2·x 3－(3x 3)3＋(5x )2·x 7．教师活动设计引导学生进行探索，必要时进行适当的启发和提示．〔解答〕略．拓展训练1：（1）若x 3= -8a 6b 9，则x =；（2）若645×82=2x ，则x =；（3）()()==++-22031xy y x ，则； （4）已知16m =4×22n -2，27 n =9×3 m+3，求m 、n 的值．拓展训练2：逆用公式：b aab n n n =）（，即）（ab b a n n n = 练习：（1）0．12516·(－8) 17；（2）20032004532135⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-； （3）31515)2.(125.0-．拓展训练3：已知2m =3，2n =5，求23m +2n 的值．学生活动设计求23m +2n 的值，由已知条件不能求出m ，n 的值，因此可以想到将2m ，2n 整体代入，这就需要逆用同底数幂乘法的运算性质和幂的乘方的运算性质．教师活动设计引导学生作以下探索和分析，必要时提醒学生．23m +2n =23m ·22n =(2m )3·(2n )2=33·52=27×25=675．拓展训练4：猜想是否可以把(ab )n =a n b n 推广？即(abc )n =a n b n c n 吗？大家可以亲自推理一下．学生活动设计学生小组讨论、分组合作，交流本组得到的结论．(abc )n =abcn abc abc abc 个)())((⋅⋅ =a n a a a 个)(⋅⋅⋅b n b b b 个)(⋅⋅⋅c n c c c 个)(⋅⋅⋅=a n b n c n ．教师活动设计让学生在交流中完善自己的答案，进一步引导学生分析活动3中的第（3）小题．将(ab )n =a n b n 推广后，得到了(abc )n =a n b n c n ．所以第（3）小题也可为： (－2xy )4=(－2)4x 4y 4=16x 4y 4．四、归纳小结、布置作业小结：积的乘方法则．作业：习题 15.1 第1，2，9题．15.1.4 整式的乘法（第4课时）【教学目标】知识与能力经历探索单项式与单项式、多项式；多项式与多项式相乘的运算法则的过程，会进行整式相乘的运算．过程与方法在探索运算法则的过程中体会乘法交换律和结合律的作用和转化的思想．情感与态度使学生从中获得成就感，培养学习数学的兴趣，建立学习数学的信心和勇气．【教学重点】单项式与单项式、多项式；多项式与多项式相乘的运算法则的探索．【教学难点】灵活运用法则进行计算和化简．【教学方法】创设情境—主体探究—合作交流—应用提高．【教学过程设计】二、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1问题光的速度约为3×105千米／秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗？学生活动设计学生独立思考得出问题的答案：（3×105）×（5×102）千米．（1）怎样计算（3×105）×（5×102）?计算过程中用到哪些运算律及运算性质？（2）如果将上式中的数字改为字母，比如ac5•bc2怎样计算这个式子？教师活动设计学生得出答案后，引导学生分析这个运算：（3×105）×（5×102），它们相乘是单项式与单项式相乘．ac5•bc2是两个单项式ac5与bc2相乘，我们可以利用乘法交换律，结合律及同底数幂的运算性质来计算：ac5•bc2＝（a•b）•（c5•c2）=abc5+2=abc7．在本活动中教师主要关注：（1）学生能否自己主动参与探索过程；（2）学生能否自行分析每一步的依据；（3）学生在交流中所投入的情感和态度．类似地，3a2b·2ab3 = 6a2+1b1+3 = 6a3b4．最后归纳：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．活动2例题计算：（1）（－5a2b）（－3a）；（2）（2x）3（－5xy2）．1．计算：（1）3x25x3；（2）4y（－2xy2）；（3）（3x2y）3•（－4x）；（4）（－2a）3（－3a）2．2．下面计算的对不对？如果不对，应当怎样改正？（1）3a3•2a2= 6a6；（2）2x2•3x2= 6x4；（3）3x2•4x2= 12x2；（4）5y3•y5 = 15y15．二、问题引申，探究单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的法则活动3三家连锁店以相同的价格m（单位：元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：瓶）分别是a、b、c．你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？学生活动设计学生独立思考，然后讨论交流．经过思考可以发现一种方法是先求出三家连锁店的总销量，再求总收入，为：m（a＋b＋c）．另一种计算方法是先分别求出三家连锁店的收入，再求它们的和，即：ma ＋mb ＋mc ．由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此m （a ＋b ＋c ）＝ma ＋mb ＋mc ．教师活动设计教师根据学生讨论情况适当提醒和启发，然后对讨论结果m （a ＋b ＋c ）＝ma ＋mb ＋mc 进行分析，这个等式就提供了单项式与多项式相乘的方法．学生归纳：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．此时引导学生体会：单项式与多项式相乘，就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘，这样新知识就转化成了我们学过的知识．这种“转化”的思想是我们学习数学非常重要的一种思想．我们在处理一些问题时经常用到它，例如，新知识学习转化为我们学过的、熟悉的知识；复杂的知识转化为几个简单的知识等．例题 计算：（1）（－4x 2）（3x +1）；（2）ab ab ab 21)232(2⋅-． 活动4如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a 米、宽m 米的长方形绿地，增长了b 米，加宽了n 米．你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？学生活动设计学生独立思考，然后讨论交流． 一种计算方法是先分别求出四个长方形的面积，再求它们的和，即（am+an+bm+bn ）米2．另一种计算方法是先计算大长方形的长和宽，然后利用长乘以宽得出大长方m n a b形的面积，即（a +b ）（m ＋n ）米2．由于上述两种计算结果表示的是同一个量，因此（a +b ）（m ＋n ）= am+an+bm+bn ．教师活动设计教师根据学生讨论情况适当提醒和启发，然后对讨论结果（a +b ）（m ＋n ）=am+an+bm+bn 进行分析，可以把m ＋n 看做一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得（a +b ）（m ＋n ）＝a （m ＋n ）＋b （m ＋n ），再利用单项式与多项式相乘的法则，得a （m ＋n ）＋b （m ＋n ）= am+an+bm+bn ．学生归纳：多项式与多项式相乘，就是先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．三、应用提高、拓展创新活动51．计算（1）（2xy 2）·（31xy ）； （2）（－2a 2b 3）·（－3a ）； （3）（4×105）·（5×104）； （4）（－3a 2b 3）2·（－a 3b 2）5；（5）（－32a 2bc 3）·（－43c 5）·（31ab 2c ）． 2．计算（1）2ab （5ab 2+3a 2b ）； （2）（32ab 2－2ab ）·21ab ； （3）－6x （x －3y ）； （4）－2a 2（21ab +b 2）． 3．计算（1）（1－x ）（0.6－x ）； （2）（2x +y ）（x －y ）；（3）（x －y ）2； （4）（－2x +3）2；（5）（x +2）（y +3）－（x +1）（y －2）．学生活动设计适当数量的学生进行板演，其余学生分析：1．（1）（2xy 2）·（31xy ）=（2×31）·（x ·x ）（y 2·y ）=32x 2y 3； （2）（－2a 2b 3）·（－3a ）=［（－2）·（－3）］（a 2a ）·b 3=6a 3b 3；（3）（4×105）·（5×104）=（4×5）·（105×104）=20×109=2×1010；（4）（－3a 2b 3）2·（－a 3b 2）5=［（－3）2（a 2）2（b 3）2］·［（－1）5（a 3）5（b 2）5］=（9a 4b 6）·（－a 15b 10）=－9·（a 4·a 15）·（b 6·b 10）=－9a 19b 16；（5）（－32a 2bc 3）·（－43c 5）·（31ab 2c ）=［（－32）×（－43）×（31）］·（a 2·a ）（b ·b 2）（c 3·c 5·c ）=61a 3b 3c 9． 2．（1）2ab （5ab 2+3a 2b ）=2ab ·（5ab 2）+2ab ·（3a 2b ） =10a 2b 3+6a 3b 2；（2）（32ab 2－2ab ）·21ab =（32ab 2）·21ab +（－2ab ）·21ab =31a 2b 3－a 2b 2； （3）－6x （x －3y ）=（－6x ）·x +（－6x ）·（－3y ）=－6x 2+18xy ；（4）－2a 2（21ab +b 2）=－2a 2·（21ab ）+（－2a 2）·b 2=－a 3b －2a 2b 2． 3．（1）（1－x ）（0.6－x ）=（0.6－x ）－x （0.6－x ）=0.6－x －0.6x +x 2 =0.6－1.6x +x 2；或（1－x ）（0.6－x ）=1×0.6－1×x －0.6x +x ·x =0.6－x －0.6x +x 2=0.6－1.6x +x 2；（2）（2x +y ）（x －y ）=2x （x －y ）+y （x －y ）=2x 2－2xy +xy －y 2=2x 2－xy －y 2； 或（2x +y ）（x －y ）=2x ·x －2x ·y +xy －y 2 = 2x 2－xy －y 2；（3）（x －y ）2=（x －y ）（x －y ）=x （x －y ）－y （x －y ）=x 2－xy －xy +y 2 =x 2－2xy +y 2；或（x －y ）2=（x －y ）（x －y ）=x ·x －x ·y －x ·y +y ·y =x 2－2xy +y 2；（4）（－2x +3）2=（－2x +3）（－2x +3）=－2x （－2x +3）+3（－2x +3） = 4x 2－6x －6x +9 = 4x 2－12x +9；或（－2x +3）2=（－2x +3）（－2x +3）=（－2x ）（－2x ）+3（－2x ）+3（－2x ）+9=4x 2－12x +9；（5）（x +2）（y +3）－（x +1）（y －2）=（xy +3x +2y +6）－（xy －2x +y －2） = xy +3x +2y +6－xy +2x －y +2= 5x +y +8．教师活动设计引导学生独立解决问题，对解题过程中所出现的问题加以讨论解决．问题若（a m+1b n+2）·（a2n－1b2m）=a5b3，则m+n的值为多少？师生活动设计学生小组讨论、分组合作，在讨论的基础上交流，在讨论的过程中，教师可以适当引导．经过讨论，发现根据单项式乘法的法则，可建立关于m，n 的方程，即（a m+1b n+2）·（a2n－1b2m）=（a m+1·a2n－1）·（b n+2·b2m）=a2n+m b2m+n+2=a5b3，所以2n+m=5．①2m+n+2=3即2m+n=1．②观察①②方程的特点，很容易就可求出m+n．①+②得3n+3m=6，3（m+n）=6．所以m+n=2．（或解方程组得出m、n的值，再代入求值．）四、归纳小结、布置作业小结：单项式与单项式、多项式相乘的法则、多项式与多项式相乘的法则．作业：课本第148页，第1、2、3题．15.2.1平方差公式（第5课时）【教学过程设计】一创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1 知识复习多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn．活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？（1）（x+1）（x－1）；（2）（a+2）（a－2）；（3）（3－x）（3+x）；（4）（2m+n）（2m－n）．再计算：（a+b）（a－b）=a2－ab+a b－b2=a2－b2．得出平方差公式（a+b）（a－b）= a2－b2．即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差．活动3 请用剪刀从边长为a的正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形（如图1），然后拼成如图2的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？图1 图2学生活动设计学生动手操作，观察图形，计算阴影部分的面积．经过思考可以发现，图1中剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为（a2－b2）．在图2中，长方形的长和宽分别为（a +b ）、（a －b ），所以面积为（a +b ）（a －b ）．这两部分面积应该是相等的，即（a +b ）（a －b ）= a 2－b 2．教师活动设计引导学生动手操作，自主探索，发现规律，进行归纳，初步感受平方差公式． 在本活动中教师主要关注：（1）学生能否自己主动参与探索过程；（2）学生在交流中所投入的情感和态度．例题 计算：（1）（3x ＋2）（3 x －2）； （2）（b +2a ）（2a －b ）；（3）（－x+2y ）（－x －2y ）．学生活动设计学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并进行归纳．学生板演，然后进行分析：上述算式都是两个数的和与差的积，根据结果发现平方差公式．两个数的和与差的积，等于这两个数的平方差．即：（a +b ）（a －b ）=a 2－b 2．教师活动设计在活动3的基础上，进一步验证两数差与两数和的积的规律，充分发挥学生主体性，让学生自主探索、发现归纳结论．二、知识应用，加深对平方差公式的理解活动4 下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）（1）（x +1）（1+x ）； （2）（21a +b ）（b －21a ）； （3）（－a +b ）（a －b ）； （4）（x 2－y ）（x +y 2）；（5）（－a －b ）（a －b ）； （6）（c 2－d 2）（d 2+c 2）． 学生活动设计学生分组讨论，合作交流，归纳何时才能运用平方差公式．只有（2）、（5）、（6）能用平方差公式．因为（2）（21a +b ）（b －21a ）利用加法交换律可得（21a +b ）（b －21a ）=（b +21a ）（b －21a ），表示b 与21a 这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；（5）（－a －b ）（a －b ），同样可利用加法交换律得（－a －b ）（a －b ）=（－b －a ）（－b +a ），表示－b 与a 这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；（6）（c 2－d 2）（d 2+c 2）利用加法和乘法交换律得（c 2－d 2）（d 2+c 2）=（c 2+d 2）（c 2－d 2），表示c 2与d 2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点．（1）、（3）、（4）不能用平方差公式，因为表示的不是两个数的和与差的积的形式．教师活动设计在交流中让学生归纳平方差公式的特征：（1）左边为两个数的和与差的积；（2）右边为两个数的平方差．利用平方差公式计算：（1）（5+6x ）（5－6x ）； （2）（x －2y ）（x +2y ）；（3）（－m +n ）（－m －n ）．师生活动设计首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式．（5+6x ）（5－6x ）是5与6x 这两个数的和与差的积的形式；（x －2y ）（x +2y ）是x 与2y 这两个数的和与差的积的形式；（－m +n ）（－m －n ）是－m 与n 这两个数的和与差的形式，于是可以运用平方差公式．答案：（1）25－36x 2； （2）x 2－4y 2； （3）m 2－n 2．三、应用提高、拓展创新活动5 科学探究给出下列算式：32－12 = 8 = 8×1；52－32 = 16 = 8×2；72－52 = 24 = 8×3；92－72 = 32 = 8×4．（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？连续两个奇数的平方差是8的倍数．（2）用含n 的式子表示，即（2n+1）2－（2n－1）2= 8n（n为正整数）．（3）计算20052－20032= 8016 , 此时n=1002．四、归纳小结、布置作业小结：1．通过本节课的学习我有哪些收获？2．通过本节课的学习我有哪些疑惑？3．通过本节课的学习我有哪些感受？作业：1．第153页练习习题15．2 第1题．15.2.2 完全平方公式（第6课时）[教学过程设计]一激发学生兴趣，引出本节内容活动1 探究，计算下列各式，你能发现什么规律？（1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________；（2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________；（3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________；（4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________．答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4．活动2 在上述活动中我们发现（a＋b）2＝222ba++，是否对任意的a、abb，上述式子都成立呢？学生活动设计学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并进行归纳，用多项式乘法法则可得（a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2．（a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab－ab+b2=a2－2ab+b2．所以（a+b）2 = a2+2ab+b2，（a－b）2 = a2－2ab+b2．教师活动设计引导学生利用多项式的乘法法则进行推理，证明活动1中发现的结论的正确性．二、问题引申，总结归纳完全平方公式活动3学生活动设计分组讨论，合作交流，归纳完全平方公式的特点．归纳两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即（a+b）2=a2+2ab+b2，（a－b）2=a2－2ab+b2．教师活动设计在交流中让学生归纳完全平方公式的特征：（1）左边为两个数的和或差的平方；（2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍．活动4 你能根据教材中的图15．2-2和图15．2-3中的面积说明完全平方公式吗?活动5 利用完全平方公式计算：（1）（－x+2y）2；（2）（－x－y）2；（3）（x+y－z）2；（4）（x+y）2－（x－y）2．学生活动设计部分学生板演，然后学生交流分析过程：此题需灵活运用完全平方公式：（1）题可转化为（2y－x）2或（x－2y）2，再运用完全平方公式；（2）题可以转化为（x+y）2，利用和的完全平方公式；（3）题利用加法结合律变形为［（x+y）－z］2，或［x+（y－z）］2、［（x－z）+y］2，再用完全平方公式计算；（4）题可利用完全平方公式，再合并同类项，也可逆用平方差公式进行计算．〔解答〕（1）方法一：（－x+2y）2=（2y－x）2 = 4y2－4xy + x2；方法二：（－x+2y）2=［－（x－2y）］2=（x－2y）2 = x2－4xy+4y2；（2）（－x－y）2 =［－（x+y）］2=（x+y）2 = x2+2xy+y2；（3）（x+y－z）2=［（x+y）－z］2 =（x+y）2－2（x+y）·z + z2= x2+y2+z2+2xy－2 zx－2yz；（4）方法一：（x+y）2－（x－y）2=（x2+2xy + y2）－（x2－2xy + y2）= 4xy；方法二：（x+y）2－（x－y）2 =［（x+y）+（x－y）］［（x+y）－（x－y）］= 4xy．教师活动设计让学生分析自己的计算过程中可能出现的问题．例运用完全平方公式计算（1）1022；（2）992．活动六思考（a+b）2与（－a－b）2相等吗？为什么?（a－b）2与（b－a）2相等吗？为什么?（a－b）2与a2－b2相等吗？为什么?练习：1．运用完全平方公式计算（1）（x+6）2；（2）（y－5）2；（3）（－2x+5）2．2．下面各式的计算错在哪里?应当怎样改正?（1）（a+ b）2 = a2 +b2；（2）（a–b）2 =a2–b2．三、应用提高、拓展创新活动7 添括号法则去括号a+（b+c）= a+b+c；a－（b+c）= a－b－c．a+b+c = a+（b+c）；a–b–c = a–（b + c）．添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．例运用乘法公式计算（1）（x +2y－3）（x－2y +3）；（2）（a + b+c）2．〔解答〕略练习拓展：已知x+y=8，xy=12，求x2+y2的值．学生活动设计学生进行讨论，观察等式的特点，适当变形，发现已知x+y=8，形式是1次的，而所求的x2+y2形式是二次的，因此想到把1次升到2次，于是可以考虑把x+y = 8两边同时平方，得到x2+2xy＋y2＝64，再把xy＝12代入即可（或者直接把x2+y2变形，x2+y2＝（x＋y）2－2xy．教师活动设计教师引导学生寻找不同解决问题的方法，鼓励学生大胆交流．〔解答〕略四、归纳小结、布置作业小结：完全平方公式．作业：习题15．2 第2、3、4、5、6、7、8、9题．15.3.1 同底数幂的除法（第7课时）【教学过程设计】一创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1 复习同底数幂的乘法：a m·a n=a m+n（m、n都是正整数）．幂的乘方：(a m)n=a mn（m、n都是正整数）．积的乘方：(ab)n= a n b n（n为正整数）．计算：（1）(－a)3(－a)2；（2）(ab)5；（3）(y m)3．活动2一种细胞每分裂一次，1个细胞变成2个细胞，细胞分裂的一个周期大约是12时，现有210个细胞经过分裂变成220个细胞，所需的时间大约是多少? 你是怎样计算的？列式：12×(220÷210)=？教师活动设计这是和数学有密切联系的现实世界中的一个问题，让同学们根据幂的意义和除法的意义，得出这个问题的结果，初步感受同底数幂的除法运算．根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律？（1）55÷53=________；（2）a3÷a2=________．学生活动设计学生独立思考，利用除法的意义填空，根据自己所填结果，探索、归纳同底数幂的除法法则．教师活动设计引导自主探索，发现规律，归纳同底数幂的除法法则．a m÷a n＝a m－n（a≠0，m、n都是正整数，并且m＞n）．即：同底数幂相除，底数不变，指数相减．例（1）a9÷a3；（2）212÷27；（3）(－x)4÷(－x)．练习活动3 根据除法意义填空，你有什么发现？（1）55÷52=________；（2）107÷107=________；（3）a6÷a6=______（a≠0）．师生活动设计学生独立完成填空，根据所填结果，教师引导学生根据幂的除法法则得出结论：a0=1（a≠0）．即：任何不等于0的数的0次幂都是1．在这个过程中要学生理解a不能等于0的原因．二、问题引申，巩固同底数幂的除法法则活动4 计算：（1）a7÷a4；（2）(－x)6÷(－x)3；（3）(xy)4÷(xy)；（4）b2m+2÷b2；（5）(m－n)8÷(n－m)3；（6）(－m)4÷(－m)2．学生活动设计让适当数量的学生板演，其余的学生自行分析过程和结果．（1）a7÷a4 = a7－4 = a3；（a≠0）；（2）(－x)6÷(－x)3=(－x)6－3=(－x)3=－x3 （x≠0）；（3）(xy)4÷(xy)=(xy)4－1=(xy)3=x3y3 （xy≠0）；（4）b2m+2÷b2=b（2m+2）－2=b2m （b≠0）；（5）(m－n)8÷(n－m)3=(n－m)8÷(n－m)3=(n－m)8－3=(n－m)5（m≠n）；（6）(－m)4÷(－m)2=(－m)4－2=(－m)2= m2（m≠0）．教师活动设计鼓励学生独立完成计算，之后引导学生探索．1．a m÷a n=a m－n（a≠0，m、n是正整数，且m>n）中的a可以代表数，也可以代表单项式、多项式等．2．第（5）题，(m－n)8÷(n－m)3不是同底的，而应把它们化成同底，或将(m－n)8化成(n－m)8，或把(n－m)3化成－(m－n)3．3．第（6）题，易错为(－m)4÷(－m)2=－m2．－m2的底数是m，而(－m)2的底数是－m，所以(－m)4÷(－m)2=(－m)2=m2．三、归纳小结、布置作业小结：同底数幂的除法法则，0指数幂的意义．作业：第160页练习，习题 15．3 第1题．15.3.2 整式的除法（第8课时）【教学过程设计】一 创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1 木星的质量约是1.90×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍么?木星的质量约为地球质量的)1098.5()1090.1(2124⨯÷⨯倍．活动2 提炼与引申你能利用上面的方法计算下列各式吗?2328a a ÷； xy y x 363÷； 232312ab x b a ÷． 你能根据上面的结果述说单项式除以单项式的运算法则吗? 学生活动设计学生独立思考得出问题的答案，然后交流如何化简，最后进行归纳． 教师活动设计学生得出答案后，引导学生分析这些运算：都是单项式与单项式相除的运算，。
八年级数学上册 第十五章整式乘法与因式分解教案 人教新课标版
第十五章整式的乘除与因式分解15.1.1同底数幂的乘法教学目标1．知识与技能在推理判断中得出同底数幂乘法的运算法则，并掌握“法则”的应用．2．过程与方法经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力．3．情感、态度与价值观在小组合作交流中，培养协作精神、探究精神，增强学习信心．重、难点与关键1．重点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用．2．难点：同底数幂的乘法的法则的应用．预习导航：幂的运算中的同底数幂的乘法教学，要突破这个难点，•必须引导学生，循序渐进，合作交流，获得各种运算的感性认识，进而上各项到理性上来，提醒学生注意－a2与（－a）2的区别．教学方法采用“情境导入──探究提升”的方法，让学生从生活实际出发，认识同底数幂的运算法则．教学过程一、创设情境，故事引入【情境导入】“盘古开天壁地”的故事：公元前一百万年，没有天没有地，整个宇宙是混浊的一团，突然间窜出来一个巨人，他的名字叫盘古，他手握一把巨斧，用力一劈，把混沌的宇宙劈成两半，上面是天，下面是地，从此宇宙有了天地之分，盘古完成了这样一个壮举，累死了，他的左眼变成了太阳，右眼变成了月亮，毛发变成了森林和草原，骨头变成了高山和高原，肌肉变成了平原与谷地，血液变成了河流．【教师提问】盘古的左眼变成了太阳，那么，太阳离我们多远呢？你可以计算一下，太阳到地球的距离是多少？光的速度为3×105千米/秒，太阳光照射到地球大约需要5×102秒，•你能计算出地球距离太阳大约有多远呢？【学生活动】开始动笔计算，大部分学生可以列出算式：3×105×5×102=15•×105×102=15×？（引入课题）【教师提问】到底105×102=？同学们根据幂的意义自己推导一下，现在分四人小组讨论．【学生活动】分四人小组讨论、交流，举手发言，上台演示．计算过程：105×102=（10×10×10×10×10）×（10×10）=10×10×10×10×10×10×10=107【教师活动】下面引例．1．请同学们计算并探索规律．（1）23×24=（2×2×2）×（2×2×2×2）=2( )；（2）53×54=_____________=5( )；（3）（－3）7×（－3）6=___________________=（－3）( )；（4）（110）3×（110）=___________=（110）( )； （5）a 3·a 4=________________a( )．提出问题：①这几道题目有什么共同特点？②请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？ 【学生活动】独立完成，并在黑板上演算．【教师拓展】计算a ·a=？请同学们想一想．【学生总结】a ·a=()()()()m aam n aa a a a a a a a a a +=个n个个=a m+n 这样就探究出了同底数幂的乘法法则． 二、范例学习，应用所学【例】计算：（1）103×104； （2）a ·a 3； （3）a ·a 3·a 5； （4）x ·x 2+x 2·x【思路点拨】（1）计算结果可以用幂的形式表示．如（1）103×104=103+4=107，但是如果计算较简单时也可以计算出得数．（2）注意a 是a 的一次方，•提醒学生不要漏掉这个指数1，x 3+x 3得2x 3，提醒学生应该用合并同类项．（3）上述例题的探究，•目的是使学生理解法则，运用法则，解题时不要简化计算过程，要让学生反复叙述法则． 【教师活动】投影显示例题，指导学生学习． 【学生活动】参与教师讲例，应用所学知识解决问题． 三、随堂练习，巩固深化 课本第142页练习题． 【探研时空】据不完全统计，每个人每年最少要用去106立方米的水，1立方米的水中约含有3.34×1019个水分子，那么，每个人每年要用去多少个水分子？ 四、课堂总结，发展潜能1．同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系，•使用方法：乘积中，幂的底数不变，指数相加．注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m ·a n =a m+n（m 、n 是正整数）．2．应用时可以拓展，例如含有三个或三个以上的同底数幂相乘，仍成立，•底数和指数，它既可以取一个或几个具体数，由可取单项式或多项式．练习（1）（a －b ）3·（a －b ）43．运用幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆． 五、布置作业，专题突破1．课本P148习题15．1第1（1），（2），2（1）题． 2．选用目标小练习． 六、板书设计§15．1．1 同底数幂的乘法同底数幂的乘法法则：【例】：计算（由学生板演）三、练习同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 1）103×104；（2）a·a3；……….. 即a m·a n=a m+n（m、n都是正整数） 3）a·a3·a5；（4）x·x2+x2·x七、教学反思15.1.2 幂的乘方喀拉布拉乡中学：权成龙、孙美荣课型：新授教学目标1．知识与技能理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质．2．过程与方法经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，通过情境教学，培养学生应用能力．3．情感、态度与价值观培养学生合作交流意义和探索精神，让学生体会数学的应用价值．重、难点与关键1．重点：幂的乘方法则．2．难点：幂的乘方法则的推导过程及灵活应用．预习导航：在引导这个推导过程时，步步深入，层层引导，•要求对性质深入地理解．教学方法采用“探讨、交流、合作”的教学方法，让学生在互动交流中，认识幂的乘方法则．教学过程一、创设情境，导入新知【情境导入】大家知道太阳，木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你，•木星的半径是地球半径的102倍，太阳的半径是地球半径的103倍，假如地球的半径为r，那么，•请同学们计算一下太阳和木星的体积是多少？（球的体积公式为V=43πr3）【学生活动】进行计算，并在黑板上演算．解：设地球的半径为1，则木星的半径就是102，因此，木星的体积为V木星=43π·（102）3=？（引入课题）．【教师引导】（102）3=？利用幂的意义来推导． 【学生活动】有些同学这时无从下手．【教师启发】请同学们思考一下a 3代表什么？（102）3呢？【学生回答】a 3=a ×a ×a ，指3个a 相乘．（102）3=102×102×102，就变成了同底数幂乘法运算，根据同底数幂乘法运算法则，底数不变，指数相加，102×102×102=102+2+2=106，•因此（102）3=106．【教师活动】下面有问题：利用刚才的推导方法推导下面几个题目：（1）（a 2）3；（2）（24）3；（3）（b n ）3；（4）－（x 2）2． 【学生活动】推导上面的问题，个别同学上讲台演示．【教师推进】请同学们根据所推导的几个题目，推导一下（a ）的结果是多少？ 【学生活动】归纳总结并进行小组讨论，最后得出结论： （a m）n=()n mmm m m m m ma a a a a+++=个n 个= a mn．评析：通过问题的提出，再依据“问题推进”所导出的规律，利用乘方的意义和幂的乘法法则，让学生自己主动建构，获取新知：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 二、范例学习，应用所学 【例】计算：（1）（103）5；（2）（b 3）4；（3）（x n）3；（4）－（x 7）7．【思路点拨】要充分理解幂的乘方法则，准确地运用幂的乘方法则进行计算． 【教师活动】启发学生共同完成例题．【学生活动】在教师启发下，完成例题的问题：并进一步理解幂的乘方法则： 解：（1）（103）5=103×5=1015； （3）（x n ）3=xn ×3=x 3n；（2）（b 3）4=b3×4=b 12； （4）－（x 7）7=－x 7×7=－x 49．三、随堂练习，巩固练习课本P143练习．提高练习：计算 5（P 3）4·（－P 2）3+2[（－P ）2]4·（－P 5）2 [（－1）m ]2n +1m-1+02002―（―1）1990若（x 2）m =x 8，则m=______若[（x 3）m ]2=x 12，则m=_______若x m ·x 2m =2，求x 9m的值。
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第十五章整式的乘除与因式分解§15．1．1 整式教学目标1．单项式、单项式的定义．2．多项式、多项式的次数．3、理解整式概念．教学重点单项式及多项式的有关概念．教学难点单项式及多项式的有关概念．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题1．要表示△ABC的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？2．小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？结论：1、要表示△ABC的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ABC•的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设BC=a，AC=b，AB=c．AB边上的高为h，•那么△ABC的周长可以表示为a+b+c；△ABC的面积可以表示为12²c²h．2．小王的平均速度是St．问题：这些式子有什么特征呢？（1）有数字、有表示数字的字母．（2）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接．归纳：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．判断上面得到的三个式子：a+b+c、12ch、St是不是代数式？（是）代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．Ⅱ．明确和巩固整式有关概念）如图，正方体的表面积为_______，正方体的体积为 表示一个数，则它的相反数是________（出示投影）结论：（1）正方形的周长：4x ． （2）汽车走过的路程：vt ．（3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，•所以它的表面积为6a 2；正方体的体积为长³宽³高，即a 3． （4）n 的相反数是－n ． 分析这四个数的特征．它们符合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c 、12ch 、St中还有和与商的运算符号．还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念． 根据这些定义判断4x 、vt 、6a 2、a 3、-n 、a+b+c 、12ch 、St这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．结论:4x 、vt 、6a 2、a 3、-n 、12ch 是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-1、12．它们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x 、-n 都是一次单项式；vt 、6a 2、•12ch 都是二次单项式；a 3是三次单项式．问题:vt 中v 和t 的指数都是1，它不是一次单项式吗？结论:不是．根据定义，单项式vt 中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt 是二次单项式而不是一次单项式． 生活中不仅仅有单项式，像a+b+c ，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？写出下列式子（出示投影）结论:（1）t-5．（2）3x+5y+2z ．（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即12ab-3.12r 2．（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3³2、4³3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x 2+2x+18． 我们可以观察下列代数式：a+b+c 、t-5、3x+5y+2z 、12ab-3.12r 2、x 2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？ 这样推理合情合理．请看投影，熟悉下列概念．根据定义，我们不难得出a+b+c 、t-5、3x+5y+2z 、12ab-3.12r 2、x 2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数． a+b+c 的项分别是a 、b 、c ．t-5的项分别是t 、-5，其中-5是常数项． 3x+5y+2z 的项分别是3x 、5y 、2z ．12ab-3.12r 2的项分别是12ab 、-3.12r 2．x 2+2x+18的项分别是x 2、2x 、18．找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次数，•二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式． 这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式． Ⅲ．随堂练习 1．课本P162练习 Ⅳ．课时小结通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，•发展符号感．Ⅴ．课后作业1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题． 2．预习“整式的加减”． 课后作业：《课堂感悟与探究》§15．1．2 整式的加减（1）教学目的：1、解字母表示数量关系的过程，发展符号感。
2、会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及语言表达能力。
教学重点：会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理。
教学难点：正确地去括号、合并同类项，及符号的正确处理。
教学过程： 一、课前练习：1、填空：整式包括 和2、单项式322y x -的系数是 、次数是3、多项式23523m m m +--是 次 项式，其中二次项 系数是 一次项是 ，常数项是4、下列各式，是同类项的一组是（ ）（A ）y x 222与231yx （B ）n m 22与22mn （C ）ab 32与abc5、去括号后合并同类项：)47()25()3(b a b a b a +-++- 二、探索练习：1、如果用a 、b 分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 交换这个两位数的十位数字和个位数字后得到的两位数为 这两个两位数的和为2、如果用a 、b 、c 分别表示一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字，那么这个三位数可以表示为 交换这个三位数的百位数字和个位数字后得到的三位数为这两个三位数的差为 ●议一议：在上面的两个问题中，分别涉及到了整式的什么运算？ 说说你是如何运算的？▲整式的加减运算实质就是 运算的结果是一个多项式或单项式。
三、巩固练习：1、填空：（1）b a -2与b a -的差是 （2）、单项式y x 25、y x 22-、22xy 、y x 24-的和为 （3）如图所示，下面为由棋子所组成的三角形，一个三角形需六个棋子，三个三角形需 （ ）个棋子，n 个三角形需 个棋子 2、计算：（1）)134()73(22+-++k k k k （2）)2()2123(22x xy x x xy x +---+ （3）[]14)2(53-++--a a a3、（1）求272--x x 与1422-+-x x 的和 (2)求k k 742+与132-+-k k 的差4、先化简，再求值：[]224)32(235x x x x ---- 其中21-=x四、提高练习：1、若A 是五次多项式，B 是三次多项式，则A+B 一定是（A ） 五次整式 （B ）八次多项式 （C ）三次多项式 （D ）次数不能确定2、足球比赛中，如果胜一场记3a 分，平一场记a 分，负一场 记0分，那么某队在比赛胜5场，平3场，负2场，共积多 少分？3、一个两位数与把它的数字对调所成的数的和，一定能被14 整除，请证明这个结论。
4、如果关于字母x 的二次多项式3322+-++-x nx mx x 的值与x 的取值无关，试求m 、n 的值。
五、小结：整式的加减运算实质就是去括号和合并同类项。
六、作业：第8页习题1、2、315．1．2整式的加减（2）教学目标：1.会进行整式加减的运算，并能说明其中的算理，发展有条理的思考及其语言表达能力。
2.通过探索规律的问题，进一步体会符号表示的意义，发展符号感，发展推理能力。
教学重点：整式加减的运算。
教学难点：探索规律的猜想。
教学方法：尝试练习法，讨论法，归纳法。
教学用具：投影仪 教学过程： I 探索练习：摆第1个“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个需要 枚棋子，摆第3个需要 枚棋子。
按照这样的方式继续摆下去。
（1）摆第10个这样的“小屋子”需要 枚棋子（2）摆第n 个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？你是如何得到的？你能用不同的方法解决这个问题吗？小组讨论。
二、例题讲解： 三、巩固练习： 1、计算：（1）（14x 3－2x 2）＋2（x 3－x 2） （2）（3a 2＋2a －6）－3（a 2－1）（3）x－（1－2x＋x2）+（－1－x2）（4）（8xy－3x2）－5xy－2（3xy－2x2）2、已知：A=x3－x2－1，B=x2－2，计算：（1）B－A （2）A－3B3、列方程解应用题：三角形三个内角的和等于180°，如果三角形中第一个角等于第二个角的3倍，而第三个角比第二个角大15°，那么（1）第一个角是多少度？（2）其他两个角各是多少度？四、提高练习：1、已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，并且A＋B＋C＝0，问C是什么样的多项式？2、设A＝2x2－3xy＋y2－x＋2y，B＝4x2－6xy＋2y2－3x－y，若│x－2a│＋（y＋3）2＝0，且B－2A＝a，求A的值。
3、已知有理数a、b、c在数轴上（0为数轴原点）的对应点如图：试化简：│a│－│小结作业：课本P习题1.3：1（2）、（3）、（6），2。
14《课堂感悟与探究》§15．2．1 同底数幂的乘法教学目标（一）教学知识点1．理解同底数幂的乘法法则．2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．（二）能力训练要求1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力．2．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，•使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律．（三）情感与价值观要求体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神． 教学重点正确理解同底数幂的乘法法则． 教学难点正确理解和应用同底数幂的乘法法则． 教学方法透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力． 教具准备投影片（或多媒体课件）． 教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境 复习a n 的意义：a n 表示n 个a 相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a 叫做底数，•n 是指数．（出示投影片）提出问题：（出示投影片）问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？ [师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？ [生]运算次数=运算速度³工作时间所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1012×103． [师]1012×103如何计算呢？ [生]根据乘方的意义可知 1012×103=121010)⨯⨯个(10×（10×10×10）=15101010)⨯⨯⨯ 个(10=1015． [师]很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法． Ⅱ．导入新课 1．做一做 出示投影片：你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题． [生]（1）25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2） =27=25+2．因为25表示5个2相乘，；22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得 a 3·a 2=（a·a·a ）·（a·a ）=a 5=a 3+2． 5m ·5n = (555)⨯⨯⨯ m 个5×(555)⨯⨯⨯n 个5=5m+n ．（让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）． [生]我们可以发现下列规律：（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和． 2．议一议 出示投影片[师生共析] a m ·a n 表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得： a m ·a n =()a a a m 个a·()a a a n 个a=a a a(m+n)个a=a m+n于是有a m ·a n =a m+n（m 、n 都是正整数），用语言来描述此法则即为：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则． [生]a m 表示n 个a 相乘，a n 表示n 个a 相乘，a m ·a n 表示m 个a 相乘再乘以n 个a 相乘，也就是说有（m+n ）个a 相乘，根据乘方的意义可得a m ·a n =a m+n ．[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加． 3．例题讲解出示投影片[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？ [生1]（1）、（2）、（4）可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则． [生2]（3）也可以，先算2个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，•看谁算得又准又快． 生板演： （1）解：x 2·x 5=x 2+5=x 7． （2）解：a·a 6=a 1·a 6=a 1+6=a 7． （3）解：2×24×23=21+4·23=25·23=25+3=28． （4）解：x m ·x 3m+1=x m+(3m+1)=x 4m+1．[师]接下来我们来看例2．受（3）的启发，能自己解决吗？•与同伴交流一下解题方法．解法一：a m·a n·a p=（a m·a n）·a p=a m+n·a p=a m+n+p；解法二：a m·a n·a p=a m·（a n·a p）=a m·a n+p=a m+n+p．解法三：a m·a n·a p=a a am个a ·a a an个a·a a ap个a=a m+n+p．评析：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还用了乘法的结合律；•解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，•就一定是底数不变，指数相加．[师]是的，能不能用符号表示出来呢？[生]a m1·a m2·…·a mn=a m1+m2+mn[师]太棒了．那么例1中的第（3）题我们就可以直接应用法则运算了．2×24×23=21+4+3=28．Ⅲ．随堂练习1．课本P166练习Ⅳ．课时小结[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，•请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义．了解了同底数幂乘法的运算性质．[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，•我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m·a n=a m+n（m、n是正整数）．Ⅴ．课后作业1．课本P175习题15．2─1．（1）、（2），2．（1）、8．《三级训练》板书设计§15．2．3幂的乘方教学目标：1、经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。