一阶微分方程积分因子探讨

一阶微分方程积分因子的求法探讨数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导教师：郑丽丽 职称：教授摘 要：针对满足某些条件的微分方程，本文将给出几种直接、有效地求积分因子的方法．关键词：一阶微分方程；积分因子The Solution of Integral Factor for the First Order OrdinaryDifferential EquationAbstract ：This paper has made a special effort to study how to quadrate integral factors directly and efficiently ．When the differential equations meet some conditions ， therefore ， the common method we can get from it ．Key Words ：the first order ordinary differential equation ；integral factor０前 言一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础，一般的有两种处理方式：一是以变量可分离的方程为基础，通过适当的变量代换把一阶微分方程化为可积型方程；另外就是以全微分方程为基础，采取积分因子法把一个一阶微分方程化为全微分方程求．这里我们讨论了积分因子存在的充要条件，给出了确定若干特殊类型的积分因子的求法．1 积分因子的定义若对于一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy += （1）其中(),M x y ，(),N x y 在矩形域内是,x y 的连续函数，且有连续的一阶偏导数．若存在连续可微的函数(),0x y μ≠，使得()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+≡，为一恰当方程，即存在函数V ，使M dx N dy dV μμ+=．则称(),x y μ为方程（1）的积分因子． 通过计算可得，函数(),x y μ为0M dx N dy +=积分因子的充要条件为：()()M N xyμμ∂∂=∂∂，即M N N Mxy yx μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭（2） 这是个以μ为未知数的一阶线性偏微分方程，要想通过解方程()2来求积分因子通常很困难，但在若干特殊情况下，求积分因子还是容易的，下面总结了几种可以方便求出特殊类型的积分因子的方法．2 积分因子存在的充要条件定理1[5] 方程()(),,0M x y dx N x y dy +=具有形如(),x y μμφ=⎡⎤⎣⎦的积分因子的充要条件为：()1,M N M N f x y y x x y φφφ-⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂--=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭．证明 因为()(),,0M x y dx N x y dy +=有积分因子的充要条件为M N N Mxy y x μμμ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭．令(),x y μμφ=⎡⎤⎣⎦，则有()d d M N N Md xd y y x μφμφμφφφ⎛⎫∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭， 即()1,d M N N M f x y yx x y μφφφμ-⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=--=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭．并由此得出其积分因子为()(),f d x y e φφμ⎰=．根据这个定理可以得出以下特殊类型的积分因子的充要条件． 2.1 具有()x μμ=形式的积分因子[1]方程0M dx N dy +=具有特殊因子()x μμ=的充要条件为()M N yxx N ϕ∂∂-∂∂=，这里()x ϕ仅为x 的函数．于是积分因子为()x d xe ϕμ⎰=．例1[2] 求()20y x dx xdy --=的积分因子．解 因为2M y x =-，N x =-，且1M y∂=∂，1N x∂=-∂，则2MN yxN x∂∂-∂∂=-，于是积分因子为22dxx exμ--⎰==．2.2 具有()y μμ=形式的积分因子[1]方程0M dx N dy +=具有特殊因子()y μμ=的充要条件为()M N yxy Mψ∂∂-∂∂=-，这里()f y 仅为y 的函数．于是积分因子为()y dye ψμ⎰=．例2[5]求()()cos sin sin cos 0y x x x dx y x x x dy -++=的积分因子．解 因为cos sin M y x x x =-，sin cos N y x x x =+，且1MN yxM∂∂-∂∂=-，于是积分因子为(),dyy x y e e μ⎰==．2.3 具有()x y μμ=±形式的积分因子[8]方程0M dx N dy +=具有特殊因子()x y μμ=±的充要条件为()()1M N M N fx y y x -⎛⎫∂∂-±=± ⎪∂∂⎝⎭．例3[3] 求方程()()3223322223230x x y y y dx y xy x x ++-+++-=的积分因子． 解 因为322323M x x y y y=++-， 322223N y xy x x =++-，且()12M N N M yx x y-⎛⎫∂∂--=-⎪∂∂+⎝⎭，只与x y +有关，于是有积分因子()()22,d x y x y x y ex yμ-++⎰==+．2.4 具有()22x y μμ=±形式的积分因子[8]方程0M dx N dy +=具有特殊因子()22x y μμ=±的充要条件为()()122M N N x M y f xyy x -⎛⎫∂∂-±=± ⎪∂∂⎝⎭．例4[3] 求方程()220x y y dx xdy ++-=的积分因子． 解 因为22M x y y =++， N x =-，且()1221M N N x M y yx x y-⎛⎫∂∂--=-⎪∂∂+⎝⎭，于是积分因子为()22221221d xyx y ex yμ-++⎰==+．推广[7] 方程0M dx N dy +=具有特殊因子()x y αβμμ=+的充要条件是：()()111M N x N y M fxyyx αβαβαβ---⎛⎫∂∂--=+ ⎪∂∂⎝⎭．2.5 具有()x y αβμμ=形式的积分因子方程0M dx N dy +=具有特殊因子()x y αβμμ=的充要条件为()11M N N M fxyx yy x x y αβαβαβ-⎛⎫⎛⎫∂∂--= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭．由此又可分为二种类型：()1 方程0M dx N dy +=具有特殊因子()xy μμ=的充要条件为()11M N N x M y yx xy -⎛⎫∂∂--=- ⎪∂∂⎝⎭;()2 方程0M dx N dy+=具有特殊因子x y μμ⎛⎫= ⎪⎝⎭的充要条件为12M N M N y y f yx x x x -⎛⎫∂∂⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭．例5[4] 求方程()()22324430y x y dx xy x dy +++=的积分因子． 解 设积分因子为p q x y ，于是有()()2232443p q p q x y y x y x y xy x y x ∂∂⎡⎤⎡⎤+=+⎣⎦⎣⎦∂∂，或写成()()()()121222414133pqpq p qpqq x yq xy p x yp xy+++++++=+++．上式对任意x 和y 都满足时，必须有()()2241q p +=+，()()4133q p +=+，解之得1p =，2q =．于是有积分因子2xy μ=．注 此种类型中α，β的确定可用待定系数法．以上所讨论的是微分方程具有特殊因子的求法．而有些方程具有特殊结构，我们可根据其特殊结构求出其积分因子．3 特殊结构方程的积分因子[6]定理2 方程()()()()0M x N y dx P x Q y dy +=有积分因子：()()1Ny P x μ=．定理3 如果0xM yN +≠，而M 和N 皆为m 次齐次函数，则方程0M dx N dy +=有积分因子：1xM yNμ=+．4 分组求积分因子法[9]对于一些复杂的方程，往往不容易直接求出它们的积分因子，这是可以把它的左边分组，分别求出各组的积分因子，然后再求总的式子的积分因子．例如分成两组：()()11220M dx N dy M dx N dy +++=（3） 可分别求出各组的积分因子1μ和2μ，也就是如果有1u ，2u 使：11111M dx N dy du μμ+=，22222M dx N dy du μμ+=．于是借助1μ，2μ常可求得0M dx N dy +=得积分因子．定理4[4] 如果μ是0M dx N dy +=的一个积分因子，且M dx N dy du μμ+=，则()u μϕ也是0M d x N d y +=的积分因子．此处()u ϕ是u 的任一连续函数．而()()()()()()u Mdx u Ndy u Mdx Ndy u du d u μϕμϕϕμμϕφ+=+==，其中φ是ϕ的一个原函数．据此知，对任意的函数()u ϕ，()u ψ，()11u μϕ及()22u μψ都分别是()3的第一组和第二组的积分因子．函数ϕ、ψ有着广泛选择的可能性，若能选择ϕ、ψ使：()()1122u u μμϕμψ==，则μ就既是()3的第一组也是第二组的积分因子．因而也就是0M dx N dy +=的积分因子．例6[9] 求方程()32420x y y dx x dy -+=的积分因子． 解 原方程改写为()34220x ydx x dy y dx +-=，显然131xμ=，1u xy =，221yμ=，2u x=．为使()()123211g xy g x xy=，只需取()()121g xy xy =，()251g x x=．于是求的原方程的一个积分因子：521x yμ=．综上所述，该文介绍一些特殊类型的积分因子的求法及部分特殊结构的微分方程的积分因子的求法，只要掌握这几种方法，就能很容易的解出一些方程的积分因子，将大大提高解微分方程的效率和可操作性．参考文献：[1] 焦宝聪，王在洪，时红廷．常微分方程[M]．北京：清华大学出版社，2008．[2] 孙清华，李金兰．常微分方程内容、方法和技巧[M]．武汉：华中科技大学出版社，2006．[3] 钱伟长．常微分方程的理论及其解法[M]．北京：国防工业出版社．1992．[4] 丁同仁，李承浩．常微分方程教程[M]．北京：高等教育出版社．1991．[5] 王高雄，周之铭，王寿松．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社．2006．[6] 潘鹤鸣．几种特殊类型积分因子的求法及在解微分方程中的应用[J]．巢湖学院学报，2003（3）：18-22．[7] 李德新．两类特殊微分方程的积分因子解法[J]．福建农林大学学报，2004，33（2）：269-271．[8] 李君士．积分因子的求法[J]．九江师专学报：自然科学版，1989，8（2）：64-68[9] 吴淼生．关于非恰当方程0M dx N dy+=积分因子的求法[J]．宜春师专学报，1994，2（2）：15-23．。