一阶微分方程积分因子探讨

一阶微分方程积分因子的求法探讨

数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导教师：郑丽丽 职称：教授

摘 要：针对满足某些条件的微分方程，本文将给出几种直接、有效地求积分因子的方法．

关键词：一阶微分方程；积分因子

The Solution of Integral Factor for the First Order Ordinary

Differential Equation

Abstract ：This paper has made a special effort to study how to quadrate integral factors directly and efficiently ．When the differential equations meet some conditions ， therefore ， the common method we can get from it ．

Key Words ：the first order ordinary differential equation ；integral factor

０前 言

一阶微分方程的求解是整个微分方程求解的基础，一般的有两种处理方式：一是

以变量可分离的方程为基础，通过适当的变量代换把一阶微分方程化为可积型方程；另外就是以全微分方程为基础，采取积分因子法把一个一阶微分方程化为全微分方程求．这里我们讨论了积分因子存在的充要条件，给出了确定若干特殊类型的积分因子的求法．

1 积分因子的定义

若对于一阶微分方程

()(),,0M x y dx N x y dy += （1）

其中(),M x y ，(),N x y 在矩形域内是,x y 的连续函数，且有连续的一阶偏导数．若存在连续可微的函数(),0x y μ≠，使得

()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+≡，

为一恰当方程，即存在函数V ，使

M dx N dy dV μμ+=．

则称(),x y μ为方程（1）

的积分因子． 通过计算可得，函数(),x y μ为0M dx N dy +=积分因子的充要条件为：

()

()

M N x

y

μμ∂∂=

∂∂，

即

M N N M

x

y y

x μμ

μ⎛⎫

∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭

（2） 这是个以μ为未知数的一阶线性偏微分方程，要想通过解方程()2来求积分因子通常很困难，但在若干特殊情况下，求积分因子还是容易的，下面总结了几种可以方便求出特殊类型的积分因子的方法．

2 积分因子存在的充要条件

定理1[5] 方程()(),,0M x y dx N x y dy +=具有形如(),x y μμφ=⎡⎤⎣⎦的积分因子的充要条件为：

()1

,M N M N f x y y x x y φφφ-⎛⎫⎛⎫

∂∂∂∂--=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦

∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭

．

证明 因为()(),,0M x y dx N x y dy +=有积分因子的充要条件为

M N N M

x

y y x μμ

μ⎛⎫

∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭

．

令(),x y μμφ=⎡⎤⎣⎦，则有

()d d M N N M

d x

d y y x μφμφ

μφφφ⎛⎫

∂∂∂∂-=- ⎪∂∂∂∂⎝⎭

， 即

()1

,d M N N M f x y y

x x y μ

φφφμ-⎛⎫⎛⎫

∂∂∂∂=--=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦

∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭．

并由此得出其积分因子为

()(),f d x y e φφ

μ⎰=．

根据这个定理可以得出以下特殊类型的积分因子的充要条件． 2.1 具有()x μμ=形式的积分因子[1]

方程0M dx N dy +=具有特殊因子()x μμ=的充要条件为

()M N y

x

x N ϕ∂∂-∂∂=，

这里()x ϕ仅为x 的函数．于是积分因子为()x d x

e ϕμ⎰

=．

例1[2] 求()20y x dx xdy --=的积分因子．

解 因为2M y x =-，N x =-，且

1M y

∂=∂，

1N x

∂=-∂，则

2M

N y

x

N x

∂∂-∂∂=-

，

于是积分因子为2

2

dx

x e

x

μ-

-⎰==．

2.2 具有()y μμ=形式的积分因子[1]

方程0M dx N dy +=具有特殊因子()y μμ=的充要条件为

()M N y

x

y M

ψ

∂∂-∂∂=-，

这里()f y 仅为y 的函数．于是积分因子为()y dy

e ψμ⎰

=．

例2

[5]

求()()cos sin sin cos 0y x x x dx y x x x dy -++=的积分因子．

解 因为cos sin M y x x x =-，sin cos N y x x x =+，且

1M

N y

x

M

∂∂-

∂∂=-，

于是积分因子为(),dy

y x y e e μ⎰==．

2.3 具有()x y μμ=±形式的积分因子

[8]

方程0M dx N dy +=具有特殊因子()x y μμ=±的充要条件为

()

()1

M N M N f

x y y x -⎛⎫

∂∂-±=± ⎪∂∂⎝⎭

．