三维空间中的向量

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三維空間中的笛卡耳坐標 (8)
圖4
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圖5
13
三維空間中的笛卡耳坐標 (9)
- 距離公式 考慮三度空間中兩個點 P1 (x1, y1, z1) 及 P2 (x2, y2, z2) (x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 , z1 ≠z2) ， 它們可決定其一矩形體 (如平行六面體) ， 其中 P1 及 P2 為對角頂點，其邊平行於 坐標軸 (如圖6) 。
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三維空間中的笛卡耳坐標 (3)
首先，考慮三點互相垂直的坐標軸 (x-, y-及z-軸)，而且其零點定在一共同點O ， 稱為原點 (Origin)。雖然這些直線可任意 定向，我們仍遵照一個標準的規定，可將 y-及z-軸視做形成一張紙的平面，其正方 向分別代表向右及向上， x-軸垂直於此紙 張， 且假設正端點指向我們， 因此形成 一右手系 (right-handed system)。
圖2
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三維空間中的笛卡耳坐標 (6)
對空間中每一點，有一有序三元組 (x, y, z) 與其對應，它的笛卡耳坐標以其三個 平面的有向距離表示如下 (圖3):
圖3
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三維空間中的笛卡耳坐標 (7)
在第一卦限內標出各點 (此卦限的三個 坐標全為正) 是相當簡單。在圖4及圖5兩 個圖形中，我們說明標出在不同卦限的兩 點是較困難的，點 P (2, -3, 4) 及 Q (-3, 2, 5) 。
三維空間概論與多元函數及 多元函數之極限與連續
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子題一 : 三維空間概論 子題二 : 多元函數 子題三 : 多元函數之極限與連續
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子題一 : 三維空間概論
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子題一 : 三維空間概論課程內容摘要
1. 三維空間中的笛卡耳坐標 2. 三維空間中的向量 3. 外積 (略) 4. 三維空間中的直線與曲線 (略) 5. 速度, 加速度及曲率 (略) 6. 三維空間中的曲面 (略) 7. 柱面與球面坐標 (略)
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三維空間中的笛卡耳坐標 (12)
例1. 求點 P (2, -3, 4) 及Q (-3, 2, -5) 之間的 距離。
解答
PQ
3 2
2
2 3 5 4
2
2
131 11.45
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三維空間中的笛卡耳坐標 (13)
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三維空間中的笛卡耳坐標 (4)
我們稱它為右手乃是因為右手指由正 x-軸向著正 y-軸彎曲時，拇指指向正 z-軸 的方向 (圖1)。
Baidu Nhomakorabea圖1
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三維空間中的笛卡耳坐標 (5)
三個軸決定三個平面，即yz-，xz-及xy平面，它們將空間分成 8 個卦限 (octants) (圖2)。
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三維空間中的笛卡耳坐標 (10)
圖6
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三維空間中的笛卡耳坐標 (11)
上圖三角形 P1 Q P2 及P1 RQ為直角三 角形 ，根據畢氏定理， | P1 P2|2 = |P1Q|2 + |QP2|2 且 | P1 Q|2 = |P1R|2 + |RQ|2 因此， | P1 P2|2 = |P1Q|2 +|RQ|2 +|QP2|2 = (x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2
- 球 (spheres) 及其方程式 根據距離公式我們很容易地得到球的 方程式。一球亦指一固定點 (球心) 等距離 (半徑) 之所有點所成集合。事實上，若 (x, y, z )，為一半徑為 r，球心在 (h, k, l) 之球 上，則 (請參見圖7)
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三維空間中的笛卡耳坐標 (14)
x h y k z l
2 2
2
r
2
圖7
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三維空間中的笛卡耳坐標 (15)
此稱為一球的標準方程式。 以展開式表示此方程式，以上公式可 寫成 x 2 y 2 z 2 Gx Hy Iz J 0 相反地，任何具有此形式的方程式之圖形 為一球，一點 (退化球) 或空集合。
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三維空間中的笛卡耳坐標 (16)
例2. 求方程式x2+y2+z2-10x-8y-12z+68 = 0 之球的球心及半徑，並畫出圖形。
解答
先利用配方
x2 10x y 2 8 y z2 12z 68
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三維空間中的笛卡耳坐標 (10)
圖6
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三維空間中的笛卡耳坐標 (11)
上圖三角形 P1 Q P2 及P1 RQ為直角三 角形 ，根據畢氏定理， | P1 P2|2 = |P1Q|2 + |QP2|2 且 | P1 Q|2 = |P1R|2 + |RQ|2 因此， | P1 P2|2 = |P1Q|2 +|RQ|2 +|QP2|2 = (x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2
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三維空間中的笛卡耳坐標 (2)
問題呈現在面前，我們想要針對三維空 間來探討，甚至 n 維空間。我們將討論多 變數微積分 (multiple variable calculus)， 它用在含有兩個以上變數的函數。所有熟 悉的觀念 (如極限、導函數、積分) 將以較 高層次的觀點再探討。
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子題一 : 三維空間概論課程內容摘要
1. 三維空間中的笛卡耳坐標 2. 三維空間中的向量
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三維空間中的笛卡耳坐標 (1)
我們學習微積分，此時將面臨一個轉變。 直到現在我們已經廣泛且簡易地討論過所 謂的歐氏平面或二度空間。微積分的觀念 以引用在單一變數的函數，而其圖形可被 畫在平面上。