微机原理第五章课后习题答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第5章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析习题与解答
5.3 试用李雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态的稳定性。
1123-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
x x
解 由于题中未限定利用哪一种方法，且系统为线性定常系统，所以利用李雅普
诺夫第一方法比较合适。经计算知矩阵1123-⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
的特征根为20-。由于第一
方法关于线性系统稳定性的结果是的全局性的，所以系统在原点是大范围渐近稳定的。
5.11 利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：
1123-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
x x
解 令矩阵
11
1212
22p p p p ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
P 则由T
+=-A P PA I 得
11
1211
1212
221222121110132301p p p p p p p p ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 解上述矩阵方程，有
1111121112222212
22127
42413420 826158p p p p p p p p p p ⎧=-+=-⎧⎪
⎪⎪-+=⇒=⎨⎨⎪⎪
-=-⎩=⎪⎩
即得
11
1212
227
54
85388p p p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
P 因为
11121112
22757
17480 det det
05346488p p P p p ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥=
>==>⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
可知P 是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。系统的李雅普诺夫函数及
其沿轨迹的导数分别为
T 221122T T 22121
()(14103)0
8()()0
V x x x x V x x ==++>=-=-=-+ =∞x x ，所以系统在原点处大范围渐近稳定。 5.12 给定连续时间的定常系统 12 2 2122 (1)x x x x x x ==--+ 试用李雅普诺夫第二方法判断其在平衡状态的稳定性。 解 易知(0, 0)为其唯一的平衡状态。现取22 12 ()V x x x =+，则有： 22 12(i) ()0V x x =+>x []12122122 1222 2 22()()(ii) ()22(1)2(1)x V x V x V x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤ ∂∂=⎢ ⎥⎢⎥∂∂⎣⎦ ⎣⎦⎡⎤ =⎢⎥--+⎣⎦=-+x 容易看出，除了两种情况： （a ）1x 任意，20x ≡ （b ）1x 任意，21x ≡- 时()0V =x 以外，均有()0V （iii ）检查0((;,0))V t x φ是否恒等于零。 考察情况（a ）：状态轨线 []T 01(;,0)(),0t x t =x φ，则由于2()0x t ≡，可导出 2()0x t ≡，将此代入系统的方程可得： 122 22211()()0 0()(1())()()() x t x t x t x t x t x t x t =≡==-+-=- 这表明，除了点（120, 0x x ==）外，[]T 01(;,0)(),0t x t =x φ不是系统的受扰运动解。 考察情况（b ）： []T 01(;,0)(),1t x x t =-φ，则由2()1x t =-可导出2()0x t =，将此代入系统的方程可得： 122 22211()()1 0()(1())()()() x t x t x t x t x t x t x t =≡-==-+-=- 显然这是一个矛盾的结果，表明[]T 01(;,0)(),1t x x t =-φ也不是系统的受扰运动解。综上分析可知， 0((;,0))0V t x ≠φ。 （iv ）当= ∞x 时，显然有2 ()V =→∞x x 。 于是，可以断言，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。