微机原理第五章课后习题答案

第5章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析习题与解答
5.3 试用李雅普诺夫稳定性定理判断下列系统在平衡状态的稳定性。

1123-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
x x
解 由于题中未限定利用哪一种方法，且系统为线性定常系统，所以利用李雅普
诺夫第一方法比较合适。

经计算知矩阵1123-⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
的特征根为20-。

由于第一
方法关于线性系统稳定性的结果是的全局性的，所以系统在原点是大范围渐近稳定的。

5.11 利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：
1123-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
x x
解 令矩阵
11
1212
22p p p p ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
P 则由T
+=-A P PA I 得
11
1211
1212
221222121110132301p p p p p p p p ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣
⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 解上述矩阵方程，有
1111121112222212
22127
42413420 826158p p p p p p p p p p ⎧=-+=-⎧⎪
⎪⎪-+=⇒=⎨⎨⎪⎪
-=-⎩=⎪⎩
即得
11
1212
227
54
85388p p p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
P 因为
11121112
22757
17480 det det
05346488p p P p p ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥=
>==>⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
可知P 是正定的。

因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。

系统的李雅普诺夫函数及
其沿轨迹的导数分别为
T 221122T T 22121
()(14103)0
8()()0
V x x x x V x x ==++>=-=-=-+<x x Px x x Qx x x 又因为lim ()V →∞
=∞x x ，所以系统在原点处大范围渐近稳定。

5.12 给定连续时间的定常系统
12
2
2122
(1)x x x x x x ==--+
试用李雅普诺夫第二方法判断其在平衡状态的稳定性。

解
易知(0, 0)为其唯一的平衡状态。

现取22
12
()V x x x =+，则有： 22
12(i) ()0V x x =+>x
[]12122122
1222
2
22()()(ii) ()22(1)2(1)x V x V x V x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤
∂∂=⎢
⎥⎢⎥∂∂⎣⎦
⎣⎦⎡⎤
=⎢⎥--+⎣⎦=-+x 容易看出，除了两种情况：
（a ）1x 任意，20x ≡ （b ）1x 任意，21x ≡-
时()0V =x 以外，均有()0V <x 。

所以，()V x 为负半定。

（iii ）检查0((;,0))V t x φ是否恒等于零。

考察情况（a ）：状态轨线 []T
01(;,0)(),0t x t =x φ，则由于2()0x t ≡，可导出
2()0x t ≡，将此代入系统的方程可得：
122
22211()()0
0()(1())()()()
x t x t x t x t x t x t x t =≡==-+-=-
这表明，除了点（120, 0x x ==）外，[]T
01(;,0)(),0t x t =x φ不是系统的受扰运动解。

考察情况（b ）： []T
01(;,0)(),1t x x t =-φ，则由2()1x t =-可导出2()0x t =，将此代入系统的方程可得：
122
22211()()1
0()(1())()()()
x t x t x t x t x t x t x t =≡-==-+-=-
显然这是一个矛盾的结果，表明[]T
01(;,0)(),1t x x t =-φ也不是系统的受扰运动解。

综上分析可知， 0((;,0))0V t x ≠φ。

（iv
）当=
∞x 时，显然有2
()V =→∞x x 。

于是，可以断言，此系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。