古典回归模型
第4章 回归模型中的随机误差项问题
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2
2
例4.1 根据随机抽取的21个农村家庭年底储蓄余额与年内家庭 纯货币收入的资料，按收入排序后的数据见下表。其中， x为 年内家庭纯货币收入（元）， y为年底家庭储蓄余额（元）。
表4.1 家庭储蓄余额与纯货币收入数据表
• 最小二乘估计量仍然是线性无偏的，但不再具有最小 方差性。 • 参数的显著性检验和置信区间的建立发生困难。 • 虽然最小二乘法参数的估计量是无偏的，但这些参数 方差的估计量、是有偏的。 • 预测的精确度降低。
2014年4月25日
山东财经大学统计学院计量经济教研室
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第二节 异 方 差 一、异方差及其产生的原因
当不能满足同方差的假设，即u的条件方差在不同 次的观测中不再是一个常数，而是取得不同的数值，即
Var(u | xi ) i2 常数
(i 1,2, ,n)
则称随机误差项u具有异方差性(Heteroscedasticity)。 如果被解释变量观测值的分散程度是随解释变量的 变化而变化的，如图4.1所示，可以把异方差看成是 由于某个解释变量的变化而引起的，则
Y X u
使得其中的 U 重新满足假定2(同方差性)和假定3(无序列 相关性)。这样就可以对上式使用OLS估计参数，从而 使得上式的OLSE仍然为BLUE。 若因假定2和假定3不满足时，有
2 Cov(u) E(uu) u
其中Ω≠I， Ω是一个n×n的正定对称方阵。
2014年4月25日 山东财经大学统计学院计量经济教研室 第 7页
古典线性回归模型
概率(Probability)对于一个随机事件A，用一个数P （A）来表示该事件发生的可能性大小，这个数P（A） 就称为随机事件A的概率，因此，概率度量了随机事 件发生的可能性的大小。 概率的定义 定义在事件域F上的一个集合函数P称为概率，如果 它满足如下三个条件： （i）P（A）≥0，对一切 F （ii）P（Ω）=1； P A A F （iii）若 ，i=1,2…，且两两互不相容，则 P( A ) 性质（iii）称为可列可加性（conformable addition） 或完全可加性。
某工厂用机器生产商品，当机器运转正常时，产品 合格率为98%，当机器发生故障时，产品合格率为 55%。每天开工的时候，机器运转正常的规律为95%。 已知某日早上第一件产品为合格品，则机器调整良 好的概率是多少？ A:机器运转正常。B：合格品
P( A | B) P( AB) P( B | A) P( A) P( B | A) P( A) P( B) P( B) P( B | A) P( A) P( B | A) P( A)
由这个定义，其取值一定在-1和1之间。如果X和Y是相互独 立的，那么ρXY =0。如果Y=aX+b，这里a,b是不等于0的常数， 那么|ρXY|=1，此时，我们说X和Y是完全相关的。X和Y的值越 接近线性关系，|ρXY|值接近1。
相关系数=0能证明两个变量 不相关吗？ 什么情况下等于1，什么情 况下等于-1？
3000
1500
2000
2500
a=5250,b=-800
回归的本质就是寻找y的平均值（在x的条 件下）
3
3.5 s w
4 Fitted values
计量经济学复习重点(1)
1．计量经济学是以揭示经济活动中客观存在的_ _为内容的分支学科，挪威经济学家弗里希，将计量经济学定义为_ __、__ _、__ _三者的结合。
2.被解释变量的观测值i Y 与其回归理论值)(Y E 之间的偏差，称为__ _；被解释变量的观测值i Y 与其回归估计值i Y ˆ之间的偏差，称为__ __。
3.在多元线性回归模型中，解释变量间呈现线性关系的现象称为_ 性问题，给计量经济建模带来不利影响，因此需检验和处理它。
4.以时间序列数据为样本建立起来的计量经济模型中的随机误差项往往存在_5．普通最小二乘法得到的参数估计量具有_ _、__ _、_ _统计性质。
1．时间序列数据和横截面数据有何不同？2. 给定一元线性回归模型：t t t X Y μββ++=10 n t ,,2,1 =（1）叙述模型的基本假定；（2）写出参数0β和1β的最小二乘估计公式；（3）说明满足基本假定的最小二乘估计量的统计性质；（4）写出随机扰动项方差的无偏估计公式。
5. 随机误差项包含哪些影响因素？1、判断模型是否存在异方差的主要方法包括 、 、 、 。
2、处理模型中异方差的主要方法是 。
3、检验模型中是否存在序列自相关的方法有 、 、 、 。
4、处理模型中序列自相关的方法是 和 。
5、处理模型中多重共线性的方法 。
1、建立与应用计量经济学模型要经过那些主要步骤？（ 8分）。
2、多元回归模型中应用普通最小二乘法的基本假设是什么？（6分）3、在多元线性回归中，t 检验与F 检验有何不同？在一元线性回归分析中，二者是否有等价作用（6分）？1、下列模型是否属于因果关系的计量经济学模型？为什么？（4分）（1）S t =112.0+0.12R t ，其中St 为第t 年农村居民储蓄增加额（单位：亿元），R t 为第t年城镇居民可支配收入总额（单位：亿元）。
（2）S t =112.0+0.12R t-1，其中S t 为第t 年底农村居民储蓄余额（单位：亿元），R t-1为第t-1年农村居民可支配收入总额（单位：亿元）。
3.1 多元线性回归模型及古典假定
第一节 多元线性回归模型及古典假设
一、多元线性回归模型及其矩阵表示 二、多元线性回归模型的古典假设
一、多元线性回归模型及其矩阵表示
1、在计量经济学中，将含有两个以上解释变量的回归模 型称为多元回归模型。相应地，在此基础上进行的回归分析 就叫多元回归分析。如果总体回归函数描述了一个应变量与 多个解释变量之间的线性关系，由此而设定的回归模型就称 为多元线性回归模型。例如：在生产理论中，C—D生产函 数描述了产量与投入要素之间的关系，其形式为： Y=AKαLβ (Y为产量，K、L分别为资本和劳动投入，α,β 为参数). 利用对数变换，可将其转化为：㏑Y=㏑A+α㏑K+β㏑L 在进行回归分析时，可设定如下形式的回归模型： (㏑Y)i= α0+α(㏑K)i+β(㏑L)i+μi （3.1.1） 回归模型3.1.1就是一个二元线性回归模型。
这就是多元线性回归模型的一般形式。（Yi,X2i,X3i,…,XKi ）为 第 i 次观测样本，βj(j=1,2, …,k) 为模型参数，μi为随机误差项。
在多元线性回归模型中，所有解释变量会同时对应变量Y的 变动发挥作用，所以，我们考察其中某个解释变量对应变量Y的 影响，必须是其它解释变量保持不变来进行。模型中的回归系 数βj(j=2, …,k) 就表示在其它解释变量不变的条件下，第 j 个解 释变量的单位变动对应变量Y的影响。由式3.1.3，可得Y的条件 期望函数：E(Y|X2i,X3i,…,XKi )= β1i+β2X2i+β3X3i+…+βKXKi
1 X 2n
X 31 X 32 X 3n
X K1
XK2
第二章回归模型
的部分（即由解释变量引起的变化），系 统外的影响（即回归模型无法说明的部分 ）只有100(１－R2)％。
二、模型的显著性检验F检验
1. F检验的步骤
假设： 检验统计量： 拒绝域：
2. F检验与R2检验的关系 公式：P49 关系： ①为R2的显著性检验； ②R2值较大时，F检验均能通过； ③实际应用中不必过分苛求R2值的大小
第二节 回归模型的参数估计
一、最小二乘估计（OLS）
原理：根据现有的统计资料（样本）， 选择一条直线，使其估计误差（残差）
的平方和达到最小“拟合总误差达 到最小”；
公式： e2 (，得到 的估计值称为“最小二乘估计” （OLS 估计）。
View\Actual,Fitted,Residual\Table.
二、最小二乘估计的性质
1. 参数估计量的评价标准 无偏性 有效性
2、高斯—马尔可夫定理
三、系数的估计误差与置信区间 1. 系数的估计误差 2. 系数的置信区间
第三节 回归模型的统计检验
一、模型的拟合优度检验R2检验
1.总平方和的分解
2.定义：(P46)
3.检验: R2１时，模型对样本的近似 程度越高；
第二章 回归模型
第一节 古典回归模型 一、回归分析 1. 总体回归函数 2. 样本回归函数 3. 回归分析的主要内容：
(1)根据样本观察值确定样本回归方程； (2)检验样本回归方程对总体回归方程的近似程度； (3)利用样本回归方程分析总体的平均变化规律。
二、回归模型的基本假定
（一）模型的随机设定 （二）模型的基本假定 1. 零均值假定 2. 同方差假定 3. 非自相关假定 4. 解释变量为非随机变量假定 5. 解释变量与随机误差项不相关假定 6. 无多重共线性假定
第3章-小样本OLS
6
假定 3.3 不存在“严格多重共线性”(strict multicolinearity)， 即数据矩阵 X 满列秩，rank( X ) K ，其中“rank”表示矩阵的秩。 如果不满足此条件，则 “不可识别”(unidentified)，因为 X 中 某个或多个变量为多余。 根据 OLS 估计， b ( X X ) 1 X y 。如果 X 满列秩， X X 正定，故 ( X X ) 1存在；反之， ( X X ) 1不存在。 实际数据不易出现严格多重共线性； 如出现， Stata 会自动识别。
ˆ。 因此， X e 0 ，其中残差向量 e y Xb y y
残差向量 e 与解释变量 X 正交，是 OLS 的一大特征。 求解可得 OLS 估计量：
b ( X X ) 1 X y
13
(3.10)
二阶条件要求黑赛矩阵(Hessian)
SSR 2 β (SSR) β β β 2 SSR 2 SSR 2 K 1 1 2 X X 2 2 SSR SSR 2 K K 1
协方差矩阵 Var( | X ) 的主对角线元素都等于 2 ，即满足“条件 同方差”(conditional homoskedasticity)；如果不完全相等，则存在 “条件异方差”(conditional heteroskedasticity)。 不同个体的扰动 协方差矩阵 Var( | X ) 的非主对角线元素都为0， 项之间无“自相关”(autocorrelation)；反之，则存在自相关。
如果样本容量 n 很大( n )，则
称 s s 2 为 “ 回 归 方 程 的 标 准 误 差 ” (standard error of the regression)，简称“回归方程的标准误” 。 更一般地，通常称某统计量的标准差为该统计量的“标准误” (standard error)。
计量经济学期末考试复习资料
《计量经济学》课程综合复习资料一、单选题1.个人保健支出的计量经济模型为：i i i i X D Y μβαα+++=221，其中i Y 为保健年度支出；i X 为个人年度收入；虚拟变量⎩⎨⎧=大学以下大学及以上012i D ；i μ满足古典假定。
则大学以上群体的平均年度保健支出为（）。
A.i i i i X D X Y E βα+==12)0,/(B.i i i i X D X Y E βαα++==212)1,/(C.21αα+D.1α答案：B2.假设根据某地区1970——1999年的消费总额Y （亿元）和货币收入总额X （亿元）的年度资料，估计出库伊克模型如下，则（）。
216.14323997.0)9166.12()7717.5()6521.1(8136.02518.09057.6ˆ21===-=++-=-DW F R t Y X Y t t tA.分布滞后系数的衰减率为0.1864B.在显著性水平05.0=α下，DW 检验临界值为3.1=l d ，由于3.1216.1=<=l d d ，据此可以推断模型扰动项存在自相关C.即期消费倾向为0.2518，表明收入每增加1元，当期的消费将增加0.2518元D.收入对消费的长期影响乘数为1-t Y 的估计系数0.8136答案：C3.设t u 为随机误差项，则一阶线性自相关是指（）。
答案：B4.设线性回归模型为i i i i u x x y +++=33221βββ，下列表明变量之间具有完全多重共线性的是（）。
其中v 为随机误差项。
答案：A5.已知模型的形式为u x y 21+β+β=,在用实际数据对模型的参数进行估计的时候,测得DW 统计量为0.52,则广义差分变量是（）。
A.1,148.048.0----t t t t x x y yB.117453.0,7453.0----t t t t x x y yC.1152.0,52.0----t t t t x x y yD.1174.0,74.0----t t t t x x y y答案：D6.已知模型的形式为01Y X u ββ=++,在用实际数据对模型的参数进行估计的时候,测得DW 统计量为0.6453,则广义差分变量是（）。
2第二节 回归模型的参数估计
（2）输入统计资料： 在EViews软件的命令窗口键入数据输入/编辑命令： DATA Y X 将显示一个数组窗口，此时可以按全屏幕编辑方式输 入每个变量的统计资料； （3）估计回归模型参数： 在数组窗口中点击Procs\Make Equation。 在EViews软件的命令窗口中，也可以直接键入LS命 令来估计模型。 命令格式为： LS 被解释变量 C 解释变量
（1）建立工作文件： ）建立工作文件：
先启动EViews软件（单击“开始”按钮→ 程序” 先启动EViews软件（单击“开始”按钮→“程序” → EViews软件 3” 单击“ 3.1”) ,出现Eviews软件 出现Eviews “Eviews 3 →单击“Eviews 3.1 ) ,出现Eviews软件 窗口,如下图所示: 窗口,如下图所示:
时间频率 年度 半年 季度 月度 起始期 周 日 非时序数据 终止期
图 2-3 工作文件对话框
选择时间频率为Annual（年度数据） 选择时间频率为Annual（年度数据），再分别点 Annual 击起始期栏和终止期栏，输入相应的年度85 98。 85和 击起始期栏和终止期栏，输入相应的年度85和98。 然后点击OK 将在EViews OK， EViews软件的主显示窗口显示 然后点击OK，将在EViews软件的主显示窗口显示 相应的工作文件窗口。 相应的工作文件窗口。
（ 3 ） 一致性：这是估计量的一个大样本性质，如果随着 一致性： 这是估计量的一个大样本性质， ˆ 样本容量的增加， 越来越接近于真值， 样本容量的增加 ， 估计量 β 越来越接近于真值 ， 则称 ˆ 的一致估计。严格地说， 是依概率收敛于β, β,即 β为β的一致估计。严格地说，ˆ是依概率收敛于β,即： β
在EViews软件的命令窗口中，也可以直接键 EViews软件的命令窗口中， 软件的命令窗口中 LS命令来估计模型 命令格式为： 命令来估计模型。 入LS命令来估计模型。命令格式为： LS 被解释变量 C 解释变量 其中， 表示常数项；例如： 其中，C表示常数项；例如： LS Y C X
第4章 回归模型中的随机误差项问题
xi递增(或递减) (i=1,2,…,n)
2020年4月4日 山东财经大学统计学院计量经济教研室
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G-Q检验的步骤：
1.将n对样本观察值(xi , yi)按观察值xi的大小排队。 2.将序列中间的c个观察值除去，并将剩下的观察值
GLSE的协方差矩阵为：
Cov(βˆ )
(
X%X%)1
2 u
(
X
1
X
)1
2 u
2020年4月4日 山东财经大学统计学院计量经济教研室
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第二节 异 方 差
一、异方差及其产生的原因
当不能满足同方差的假设，即u的条件方差在不同 次的观测中不再是一个常数，而是取得不同的数值，即
若因假定2和假定3不满足时，有
Cov(u) E(uu) u2
其中Ω≠I， Ω是一个n×n的正定对称方阵。
2020年4月4日 山东财经大学统计学院计量回 结束
此时可以觅得一个n×n的非奇异矩阵P，使得： PΩ P′=I 即 P′ P = Ω-1
然后用觅得的P乘以(4.7)的两边，有：
（三）White检验
White检验的基本思想：如果存在异方差，其方 差与解释变量有关，可以分析方差是否与解释 变量有某些形式的联系以判断异方差性。但是 方差一般是未知的，可用OLS 法估计的残差平 方作为其估计量。在大样本的情况下，做对常 数项，解释变量，解释变量的平方及其交叉乘 积等所构成的辅助回归，利用辅助回归相应的 检验统计量，即可判断是否存在异方差性。
高级计量经济学 第二章 多元线性回归模型
本章内容
古典线性回归(Ordinary Linear Squares)
模型估计方法和统计检验
其他模型估计方法
最大似然法（Maximum Likelihood） 广义矩法（Generalized Method of Moments）
模型设定与设定误差 虚拟变量的使用 建立多元回归模型时应注意的问题
斜率(dY/dX)
β1 β1Y/X β1Y β1/X -β1/X2 -β1Y/X2 β1+2β2X β1+β2Z
弹性(dY/dX)(X/Y)
β1X/Y β1 β1X β1/Y
-β1/(XY) -β1/X
(β1+2β2X)X/Y (β1+β2Z)X/Y
5
假定2：矩阵X是满秩的
X是一个n K 矩阵，X的秩应该等于K； 该假定也被称做识别条件。只有当识别条件得到
用下标R和UR区分有约束和无约束的回归方程R2 ，q为约束条件的个数，相应的F统计值计算公式 为：
F q ,N k 1E ER U S S E R N S S U S K R q S R 1 U 2 R R U 2 R R 2R N qK
最大似未知的总体分布，样 本数据提供了有关概率分布参数的信息，估计方法建立在 样本来自哪个概率分布的可能性最大基础之上。
对估计系数的统计检验
利用前述的估计量方差矩阵可以得到每个 估计参数的标准差sj，估计参数与该标准差 的比值为相应的t统计值。
利用t统计表（或相应的软件）可以得到与 模型自由度相对应的显著性水平，据此可 以判断结果在统计意义上的可靠性。
对模型参数的联合检验
同样的方法可以用于检验有关多个估计参数之间 关系的联合假设。
古典线性回归模型(金融计量浙大蒋岳祥)
上课材料之五第四章古典线性回归模型在引论中，我们推出了满足凯恩斯条件的消费函数与收入有关的一个最普通模型：C=α+βX+ε，其中α＞0，0＜β＜1ε是一个随机扰动。
这是一个标准的古典线性回归模型。
假如我们得到如下例1的数据例1 可支配个人收入和个人消费支出年份可支配收入个人消费1970197119721973197419751976197719781979来源：数据来自总统经济报告，美国政府印刷局，华盛顿特区，1984。
（收入和支出全为1972年的十亿美元）一、线性回归模型及其假定一般地，被估计模型具有如下形式：y i=α+βx i+εi，i=1,…,n,其中y是因变量或称为被解释变量，x是自变量或称为解释变量，i标志n个样本观测值中的一个。
这个形式一般被称作y对x的总体线性回归模型。
在此背景下，y称为被回归量，x称为回归量。
构成古典线性回归模型的一组基本假设为：1. 函数形式：y i=α+βx i+εi，i=1,…,n,2. 干扰项的零均值：对所有i，有：E[εi]=0。
3. 同方差性：对所有i ，有：Var[εi ]=σ2，且2σ是一个常数。
4. 无自相关：对所有i ≠j ，则Cov[εi ,εj ]=0。
5. 回归量和干扰项的非相关：对所有i 和j 有Cov[x i ,εj ]=0。
6. 正态性：对所有i ，εi 满足正态分布N （0，2σ）。
模型假定的几点说明：1、函数形式及其线性模型的转换 具有一般形式i i i x g y f εβα++=)()(对任何形式的g(x)都符合我们关于线性模型的定义。
[例] 一个常用的函数形式是对数线性模型：βAx y =。
取对数得：x y ln ln βα+=。
（A ln =α） 这被称作不变弹性形式。
在这个方程中，y 对于x 的变化的弹性是βη===xd yd x dx y dy ln ln //， 它不随x 而变化。
与之相反，线性模型的弹性是：x xdx dy x x x y dxdy βαββαη+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛=。
计量经济学复习知识要点
第一章导论第一节计量经济学的涵义和性质计量经济学是以一定的经济理论和实际统计资料为依据，运用数学、统计学方法和计算机技师，通过建立计量经济模型，定量分析经济变量之间的随机因果关系。
计量经济学是经济学的一个重要分支，以揭示经济活动中客观存在的数量关系的理论与方法为主要内容，其核心是建立计量经济学模型。
第二节计量经济学的内容体系及与其他学科的关系一、计量经济学与经济学、统计学、数理统计学学科间的关系计量经济学是经济理论、统计学和数学的综合。
经济学着重经济现象的定性研究，而计量经济学着重于定量方面的研究。
统计学是关于如何惧、整理和分析数据的科学，而计量经济学则利用经济统计所提供的数据来估计经济变量之间的数量关系并加以验证。
数量统计各种数据的惧、整理与分析提供切实可靠的数学方法，是计量经济学建立计量经济模型的主要工具，但它与经济理论、经济统计学结合而形成的计量经济学则仅限于经济领域。
计量经济模型建立的过程，是综合应用理论、统计和数学方法的过程。
因此计量经济学是经济理论、统计学和数学三者的统一。
二、计量经济学的内容体系1、按范围分为广义计量经济学和狭义计量经济学。
2、按研究内容分为理论计量经济学和应用计量经济学。
理论计量经济学的核心内容是参数估计和模型检验。
应用计量经济学的核心内容是模型设定和模型应用。
第三节基本概念(4、5、7、8了解即可)1.经济变量：经济变量是用来描述经济因素数量水平的指标。
2.解释变量：解释变量也称自变量，是用来解释作为研究对象的变量（即因变量）为什么变动、如何变动的变量。
它对因变量的变动作出解释，表现为议程所描述的因果关系中的“因”。
3.被解释变量：被解释变量也称因变量或应变量，是作为研究对象的变量。
它的变动是由解释变量作出解释的，表现为议程所描述的因果关系的果。
4.内生变量：内生变量是由模型系统内部因素所决定的变量，表现为具有一定概率颁的随机变量，其数值受模型中其他变量的影响，是模型求解的结果。
第4章 回归模型中的随机误差项问题讲解
变化而变化的，如图4.1所示，可以把异方差看成是
由于某个解释变量的变化而引起的，则
Var(ui2 )
2 i
2
f
( xi )
2019年6月7日
山东财经大学统计学院计量经济教研室
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f (y) y
E( y | xi ) 0 1xi
x 图4.1 异方差示意图
关于随机项正态性分布的假定，如果我们的目的仅仅 是估计，这种假定并不是绝对必要的。事实上，无论是否 是正态分布，OLSE估计式都是BLUE。
剩下的四个假定将在下面的四节中分别加以讨论。
2019年6月7日 山东财经大学统计学院计量经济教研室
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三、广义最小二乘法（GLS）
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所以，(4.14) 满足同方差性和无序列相关性，即可以采 用OLS估计参数了。其参数的OLSE为：
βˆ ( X X )1 X Y [(PX )(PX )]1(PX )PY [ X PPX ]1 X PPY [ X 1X ]1 X 1Y (4.16)
第四章 回归模型中的 随机误差项问题
第一节 概述 第二节 异方差 第三节 自相关
第一节 概 述
一、古典假定
பைடு நூலகம்
假定1：随机项ui具有零均值：
E(ui|xi)=0
i=1,2, …, n
假定2：随机项ui具有同方差：
Var (ui|xi)=u2
i=1,2, …, n
假定3：随机项ui无序列相关性：
Cov(ui , uj)=0 i≠j i,j= 1,2, …, n
线性回归分析——双变量模型
线性回归分析双变量模型回归分析的含义回归分析是研究一个叫做因变量的变量对另一个或多个叫做解释变量的变量的统计依赖关系。
其用意在于，通过解释变量的已知值或给定值去估计或预测因变量的总体均值。
双变量回归分析：只考虑一个解释变量。
（一元回归分析，简单回归分析）复回归分析：考虑两个以上解释变量。
（多元回归分析）统计关系与确定性关系统计（依赖）关系：非确定性的关系。
在统计依赖关系中，主要处理的是随机变量，也就是有着概率分布的变量。
特别地，因变量的内在随机性是注定存在的。
例如：农作物收成对气温、降雨、阳光以及施肥的依赖关系便是统计性质的。
这些解释变量固然重要，但是并不能使我们准确地预测农作物的收成。
确定性关系：函数关系。
例如物理学中的各种定律。
)/(221r m m k F回归与因果关系❑回归分析研究因变量对于解释变量的统计依赖关系，但并不一定意味着因果关系。
一个统计关系式，不管多强和多么具有启发性，都永远不能确立因果联系。
❑因果关系的确立必须来自于统计关系以外，最终来自于这种或那种理论（先验的或是理论上的）。
回归分析与相关分析（一）❑相关分析：用相关系数测度变量之间的线性关联程度。
例如：测度统计学成绩和高等数学成绩的的相关系数。
假设测得0.90，说明两者存在较强的线性相关。
❑回归分析：感兴趣的是，如何从给定的解释变量去预测因变量的平均取值。
例如：给定一个学生的高数成绩为80分，他的统计学成绩平均来说应该是多少分。
回归分析与相关分析（二）❑在相关分析中，对称地对待任何两个变量，没有因变量和解释变量的区分。
而且，两个变量都被当作随机变量来处理。
❑在回归分析中，因变量和解释变量的处理方法是不对称的。
因变量被当作是统计的，随机的。
而解释变量被当作是（在重复抽样中）取固定的数值，是非随机的。
（把解释变量假定为非随机，主要是为了研究的便利，在高级计量经济学中，一般不需要这个假定。
）双变量回归模型（一元线性回归模型）双变量回归模型（最简单的回归模型）模型特点因变量（Y）仅依赖于唯一的一个解释变量(X)。
简述古典线性回归模型的基本假定
简述古典线性回归模型的基本假定
简述古典线性回归模型的基本假定
古典线性回归模型是一种经典的机器学习方法，它使用最小二乘法，假设目标变量与输入特征存在线性关系，从而对非线性问题进行求解。
古典线性回归模型比较简单，它建立在以下基本假设之上：
1、自变量(X)与因变量(Y)之间存在线性关系：Y = β0 + β1*X1 + β2*X2 + … + βn*Xn；
2、误差项ε的期望值为0；
3、误差项ε与自变量无关，具有相同的方差σ2；
4、自变量之间无相关；
5、误差项ε具有正态分布。
以上基本假设为古典线性回归模型提供了有利条件，并使其具备求精度更高、可解释性更强的特性。
当观察数据与线性关系相符时，古典线性回归模型仍然是一个有效的方式。
如果数据离线性关系较远，古典线性回归模型可能会失败；同时，若在模型建模过程中发现自变量之间存在相关性则可能会导致误差放大。
通过深入了解古典线性回归模型的基本假设，可以在正确地使用模型的前提下最大化模型的效用。
第一节 古典回归模型(zhao)
yi = a + bxi ˆ ˆ ˆ ˆ 称为样本回归方程， 、分别为总体回归参数 、的 a b ˆ ˆ a b
估计。
因此，回归分析的主要内容是： 根据样本观察值确定样本回归方程； 检验样本回归方程对总体回归方程的近似程 度； 利用样本回归方程进行分析和预测。
二、回归模型的随机设定
1．随机误差项 εi＝y－E(yi)＝y－(a＋bxi) 其中εi是一个不可观测的、可正可负的随机变量， 所以称之为随机误差项。 y＝ a＋bxi＋εi 称为总体回归模型的随机设定形式
根据回归模型中包含的自变量个数的不同回归模型可分为一元回归模型和多元回归模根据因变量与自变量相关形式不同回归模型可分为线性回归模型和非线性回归模型根据回归模型中是否含有虚似变量回可分为普通回归模型和带虚拟变量的回归模型
第一节 古典回归模型
一、回归分析和回归模型
㈠ 相关分析和回归分析 1、相关分析 函数关系是指变量之间存在严格的数量依存关系， 当给定自变量的数值，因变量就有确定的值与其 相对应。 相关关系是指变量之间客观存在的非严格的数 量依存关系，也就是给定自变量的数值，因变 量的数值并不能唯一确定，而是可能有许多个 值与之相对应。
若样本回归方程为 yi = a + b xi ˆ ˆ ˆ
ˆ 则实际值 yi 与估计值 y 的离差用 ei 表示，即：
ˆ ˆ ˆ ei = yi - yi = yi - (a + bxi )
称 ei 为残差（或拟合误差），它可以作为随机 误差εi的估计。
ˆ ˆ ˆ yi = yi + ei = a + b x i + ei
Cov ( xi , ε i ) = 0
即解释变量与随机误差项互不相关，彼此独立的对y产 生影响。 6．无多重共线性假定。 7、εi服从正态分布，即εi ～N(0，σ2 )。
第二章_经典线性回归模型
(3)
2
(4)
此二式称为正规方程。解此二方程，得：
( X t X )(Yt Y ) n X t Yt X t Yt xt yt ˆ (5) 2 2 2 2 n X t ( X t ) (X t X ) xt ˆX ˆ Y (6)
21
二、最小二乘法估计
（1）最小二乘原理 为了便于理解最小二乘法的原理，我们用双
变量线性回归模型作出说明。
对于双变量线性回归模型Y = α+βX + u， 我们
的任务是，在给定X和Y的一组观测值 (X1 , Y1), (X2 , Y2) , ..., (Xn , Yn) 的情况下, 如何求出 和 , Yt = α + βXt + ut 中 α 和 β 的估计值 使得拟合的直线为“最佳”。
et
E( )
真实的回归直线
估计的回归直线
拟合的回归线
Y Yt *
残差
** * *
X Y
拟合方程或估 计方程
ˆ Y t
et
*
*
*
* *
* *
Y
*
* *
ˆ Y * t
*
Yt
Xt 图2
X
残差
拟合的直线 称为拟合的回归线。 对于任何数据点 (Xt, Yt), 此直线将Yt 的总值 分成两部分。
第二章 经典线性 回归模型
（Classical Linear Regression Model）
第一节 线性回归模型的概念
第二节 线性回归模型的估计
第三节
拟合优度
第四节 非线性关系的处理 第五节 假设检验
第六节 预测
第七节 虚拟变量
第五章 古典线性回归模型
1、线性估计
y y x x y a b x u xi x y y x x y x x y x x y x x y x x y x x y 0 x x y x x x x x x ˆ b y y ,令 w xi x xi x xi x ˆ ˆ是 y 的线性组合，即 ˆ是线性的。 b b w y 说明b
假设６ 数据产生过程是线性的 （Linearity of the Model）
• yi=a+b1xi1+b2xi2+b3xi3+＋bkxik+ui • (i=1,2, ,n) • 因变量yi=自变量的线性组合再加上一个随机 扰动项。自然，因变量yi也是一个随机变量， 于是必须对yi的分布做一番讨论。 • 而a、b等回归估计系数乃是由yi和xij估计出来 的，自然也需对它们的性质作进一步的讨论。 关于它们性质的讨论十分有用，影响到估计得 到规律（回归方程）的检验——可靠性。 19 • 如果是非线性就不能采用最小二乘法。
Var(Yi)
Y
E(yi)=a+b1x1+……+bkxk
X
27
二、高斯－马尔科夫定理 最小二乘估计量的样本分布
28
问题的提出
• 对于设计模型： • yi=a+b1xi1+b2xi2+b3xi3+＋bkxik+ui • (i=1,2, ,n) • 根据一组样本值，经最小二乘估计可以得到一条直线， 得到参数的估计值，根据另一组样本又会得到另一条 直线，另一组参数的估计值。如果给出多个样本，就 会得到多组参数估计值。 • 必须指出，每一条直线必定或多或少地反映了总体的 性质，就象子女象它们的父母，带来了总体（母体） 的信息，位于总体回归直线附近。 • 我们正是这样假设的数据生成过程。 • 估计得到的参数是一个随机变量（随抽样不同而不 同），因此有必要讨论参数估计量的性质。 29
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使用相关系数应注意的问题
X和Y 都是相互对称的随机变量。 简单相关系数只反映变量间的线性相关程度，
不能说明非线性相关关系。 样本相关系数是总体相关系数的样本估计值，
由于抽样波动，样本相关系数是个随机变量， 其统计显著性有待检验。 相关系数只能反映线性相关程度，不能确定因 果关系，不能说明相关关系具体接近哪条直线
y
...
...
.. .
. ..
..
.
x
图2.1
⒉相关关系的类型
•从涉及的变量数量看 简单相关——只有两个变量的相关关系 多重相关（复相关）——三个或三个以上变量的 相关关系。例：某人身高与体重与年龄的关系 •从变量相关关系的表现形式（可根据散点图） 线性相关 非线性相关 •从变量相关关系变化的方向 正相关：收入 对消费量影响 负相关：价格 不相关
由固定的解释变量去估计应变量的平均值。
相关分析与回归分析的联系及区别
联系：二者都是对变量间依存关系的研究，二 者可以互相补充。相关分析可以表明变量间相 关关系的性质和程度，只有当变量间存在一定 程度的相关关系时，进行回归分析去寻求相关 的具体数学形式才有意义。同时，在进行相关 分析时如果要具体确定变量间相关的具体数学 形式，又要依赖回归分析，而且相关分析中相 关系数的确定也是建立在回归分析的基础上。
⑵个别值表现形式（随机设定形式） 对于一定的Xi，Y的每一个值Yi分布在E(YXi)的周围， 若 是令随每机一变个量值Yi与条件均值E(YXi)的偏差i，显然i
则有 i＝ Yi-E(YXi)＝ Yi- 1-2Xi Yi= 1+2Xi ＋ i
对线性回归模型线性的两种解释
对变量而言是线性的——Y的条件均值是X的 线性函数
注意
实际的经济研究中总体回归函数通常是未知的， 只能根据经济理论和实践经验去设定。“计量” 的目的就是寻找PRF。
总体回归函数中Y和X的关系可以是线性的， 也可以是非线性的。
⒉总体回归函数的表现形式
⑴条件均值表现形式 假如Y的条件均值E(YXi)是解释变量X的线性函数， 可表示为 E(YXi)＝f(Xi)＝1＋2Xi 1 和 2 分别是总体回归函数的总体回归参数参数
二、古典回归模型的基本假定
为什么要作基本假定？ 模型中随机误差项，估计的参数是随机变量， 只有对随机误差的分布作出假定，才能确定所 估计的参数分布性质，也才可能进行假设检验 和区间估计。 只有具备一定的假设条件，所作出的估计才具 有较好的统计性质。
六大假定
⑴解释变量非随机，被解释变量随机 ⑵零均值假定（正态性假定） ⑶同方差假定 ⑷非自相关性假定 ⑸解释变量与随机误差项不相关假定 ⑹无多重共线性假定 补充：延伸到y
一、回归分析
㈠相关与回归（统计学知识介绍）
在统计学中考察经济变量间的依存关系，通常分
确定性的函数 Y=f(X)
函数关系
例子，商品销售量X和销售额Y Y=PX
不确定性的随机关系
相关关系
Y=f(X)＋ （为随机变量）
例子，居民消费函数 Y=a+bX+
没有关系
⒈相关关系的表现 对相关关系的描述通常最直观的是座标图
ei 在概念上类似总体回归函数中的 i ，可以视 为对 i 的估计
样本回归函数与总体回归函数的关系
Y
Yi
Yˆi
E(YXi)
SRF
i
ei
PRF
图2.5
Xi
X
总体回归模型
Yi E Y Xi i 0 1Xi i
总体回归函数(直线)
系统变 化部分
非系统 变化部分
样本回归线还不是总体回归线，至多只是未知 总体回归线的近似表现。
样本回归函数的表现形式
样本回归函数如果为线性函数，则表示为
Yˆi ˆ1 ˆ2 Xi
其中，Yˆi是与 X i相对应的Y的样本条件均值
ˆ1和 ˆ2分别是样本回归函数的参数
被解释变量Y的实际观测值 Yi 不完全等于样本条件
应对考虑的问题
确定作为研究对象的经济变量（如我国旅游业总收 入）
分析影响研究对象变动的主要因素（如我国居民收 入的增长）
分析各种影响因素与所研究经济现象的相互关系 （决定相互联系的数学关系式）
确定所研究的经济问题与影响因素间具体的数量关 系（需要特定的方法）
分析并检验所得数量结论的可靠性（多种检验） 运用数量研究结果作经济分析和预测（实际应用）
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复习
理解掌握总体回归模型和样本回归模型的区别； 比较总体回归模型、样本回归模型和总体回归函 数、样本回归函数。
了解随机误差项产生的原因；比较随机误差项和 残差项。
着重理解古典假设。
图2.3
产生随机误差的原因
（1）模型中被忽略的因素的影响； （2）变量观测值的观测误差的影响； （3）模型函数形式的设定误差的影响； （4）其它随机因素的影响。 见p20－21 设置随机误差的意义: p21
㈣样本回归函数（SRF）
样本回归线：
对于X的一定值，取得Y Y 的样本观测值，可计算其条 件均值，样本观测值条件均 值的轨迹，称为样本回归线。
⒋回归分析
回归的古典意义： 高尔顿在1889年发表的著作《自然的遗传》中，首次
提出了回归的概念 （父母身高与孩子身高的关系）
回归的现代意义： 一个应变量对若干解释变量依存关系的研究
回归分析的基本思想: 在相关分析的基础上,对具有相关关系的两个或多个变
量之间的数量变化的一般关系进行测定,确定一个相应的数 学表达式,以便从一个已知量来推断另一个未知量. 回归的目的（实质）:
⒊相关程度的度量
X和Y的总体线性相关系数：
CovX ,Y VarX VarY
X和Y的样本线性相关系数：
XY
2 XY
XY
Xi X Yi Y N
Xi X 2 N Yi Y 2 N
相关系数的特点
⑴相关系数取值在[-1,1] ⑵当r=0时，表明X与Y没有线性相关关系 ⑶当0<|r|<1时，表明X与Y存在一定的线性相关
对参数而言是线性的——Y的条件均值是的线 性函数 例子
计量经济学中的线性回归模型主要指参数“线 性”
㈢随机误差项
概念
各个Yi值与条件均值
E(YXi)的偏差i代表排
除在模型以外的所有因
素对Y的影响
Y
性质
i是期望为0，有一定
分布的随机变量
随机误差项的性质决
定着计量经济方法的选
X
择。
均值，二者之差用ei 表示，ei 称为剩余项或残差项：
或者
ei Yi Yˆi
Yi ˆ1 ˆ2 Xi ei
对样本回归的理解
Yi ˆ1 ˆ2 Xi ei
如果能够获得 ˆ1和ˆ2 的数值，显然：
ˆ1 和 ˆ2 是对总体回归函数参数 1和 2 的估计
Yˆi 是对总体条件期望E(YXi)的估计
研究变量相互之间的依存关系时，首先需要分 析它们是否存在相关关系，随后要明确相关关 系的类型，而且还应计量其相关关系的密切程 度，在统计上这种分析研究称为相关分析。相 关分析主要是指用一个指标（相关系数）去表 明现象间相互依存关系的性质和密切程度。
计量经济学关心的是：变量间的因果关系及隐 藏在随机性后面的统计规律性，这靠相关分析 无法完成.相关分析并不能说明变量间相关关 系的具体形式，还不能从一个变量的变化去推 测另一个变量的具体变化。这时就需要运用回 归分析。
• Y的条件期望
对于X的每一个取值， 对Y所形成的分布确定其期 望或均值，称为Y的条件期 望或条件均值E(YXi)
图2.2
xi
⒌回归线与回归函数
回归线：对于每一个X的取值，都有Y的条件 期的望点E的(Y轨X迹i)所与形之成对的应直，线代或表曲这线些，Y的称条为件回期归望线。
回归函数：被解释变量Y的条件期望随解释变 量X的变化而有规律的变化，如果把Y的条件 期望E(YXi)表示为X的某种函数 E(YXi)＝f(Xi) 这个函数称为回归函数。
引例
从2004年中国国际旅游交易会上获悉，到2020 年，中国旅游业总收入将达到3000亿美元，相 当于GDP的8％至11％。 ？
是什么决定性因素能使中国旅游业总收入到 2020年达到3000亿美元？ 旅游业的发展与这种决定性因素的数量关系究竟 如何？
怎样具体测定旅游业发展与这种决定性因素的数 量关系？
样本回归函数：
如果把被解释变量Y的 样本条件均值表示为解释变 量X的某种函数，这个函数 称为样本回归函数（SRF）
图2.4
xi
样本回归函数的特点
每次抽样都能获得一个样本，就可以拟合一条 样本回归线，所以样本回归线随抽样波动而变 化，可以有很多条（SRF不唯一）
样本回归函数的函数形式应与设定的总体回归 函数的函数形式一致
二者都只是从数据出发定量分析经济变量间相互联系的手 段，并不能决定经济现象之间的本质联系。本质需要结合 实际经验分析，并要从经济学原理上加以说明。对本来没 有内在联系的经济现象，仅凭数据进行相关分析和回归分 析，可能是一种“伪相关”和“伪回归”。
注意的几个概念
•Y的条件分布
当解释变量X取某固定 Y 值时（条件），Y的值不确 定，Y的不同取值形成一定 的分布，这就是Y 的条件 分布。
E Y Xi 0 1Xi
样本回归模型
样本回归函数(直线)
Yi ˆ0 ˆ1Xi ei
残差
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi