反比例函数图象上的动点问题
反比例函数动点问题
反比例函数动点问题通常涉及到一些几何和代数的知识。
以下是一个典型例题的分析：
已知A、B是反比例函数y=k/x（k＞0，x≠0）的图像上的两点，当点A在第一象限时，与坐标轴围成的矩形AEOF的面积为3，则点B 与坐标轴围成的矩形的面积是（）。
A. 3
B. －3
C. 6
D. 无法确定
我们可以根据题意进行推理。
由于点A在第一象限，所以矩形AEOF 的面积可以表示为|k| = 3。
同时，由于点B在反比例函数的图像上，与x轴和y轴围成一个矩形，其面积也为|k|。
但是这个矩形的面积的具体数值无法确定，因为它与点A的坐标有关。
因此，正确答案是D. 无法确定。
希望这个例子能够帮助你理解反比例函数动点问题的一般思路和方法。
如果你有更多的例题需要分析，欢迎继续提问。
北师大初三数学上册反比例函数难题带答案解析
初三数学上册反比例函数一．选择题（共20小题）1．如图，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE、BE，若S△ABE＝7，则k的值为（）A．﹣12B．﹣10C．﹣9D．﹣62．如图，A、B、C是反比例函数y＝（k＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（）A．4条B．3条C．2条D．1条3．如图，正方形ABCO和正方形CDEF的顶点B、E在双曲线y＝（x＞0）上，连接OB、OE、BE，则S△OBE的值为（）A．2B．2.5C．3D．3.54．如图，点A是函数y＝的图象上的点，点B，C的坐标分别为B（﹣，﹣），C（，）．试利用性质：“函数y＝的图象上任意一点A都满足|AB﹣AC|＝2”求解下面问题：作∠BAC的内角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，已知当点A在函数y＝的图象上运动时，点F总在一条曲线上运动，则这条曲线为（）A．直线B．抛物线C．圆D．反比例函数的曲线5．如图，在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A在x轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象与△OAB的边OB、AB 分别交于点C，点D．若BC：BO＝2：3，BD：BA＝3：4，S△ABO＝，则k的值为（）A．﹣8B．﹣6C．D．﹣6．如图，点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，且点A是线段OB的中点，点D为x轴上一点，连接BD交反比例函数图象于点C，连接AC，若BC：CD＝2：1，S△ADC＝．则k的值为（）A．B．16C．D．107．如图，点A是双曲线y＝上一点，过A作AB∥x轴，交直线y＝﹣x于点B，点D是x轴上一点，连接BD交双曲线于点C，连接AD，若BC：CD＝3：2，△ABD的面积为，tan∠ABD＝，则k的值为（）A．﹣2B．﹣3C．﹣D．8．如图所示，已知双曲线y＝（x＜0）和y＝（x＞0），直线OA与双曲线y＝交于点A，将直线OA向下平移与双曲线y＝交于点B，与y轴交于点P，与双曲线y＝交于点C，S△ABC＝6，＝，则k＝（）A．﹣6B．﹣4C．6D．49．如图，已知A，B为反比例函数y1＝图象上两点，连接AB，线段AB经过点O，C是反比例函数y2＝（k＜0）在第二象限内的图象上一点，当△CAB是以AB为底的等腰三角形，且＝时，k的值为（）A．﹣B．﹣3C．﹣4D．﹣10．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，1），点B在x轴正半轴上，点D在第三象限的双曲线y＝上，过点C作CE∥x轴交双曲线于点E，则CE的长为（）A．B．C．3.5D．511．如图，已知A1，A2，A3，…A n，…是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n﹣1A n…＝1，分别过点A1，A2，A3，…，A n，…作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…，B n，…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n等于（）A．B．C．D．12．如图，O为坐标原点，点C在x轴上．四边形OABC为菱形，D为菱形对角线AC与OB的交点，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A与点D，若菱形OABC的面积为24，则点A的坐标为（）A．（1，6）B．（，5）C．（2，4）D．（3，3）13．如图，点A，B分别在y轴正半轴、x轴正半轴上，以AB为边构造正方形ABCD，点C，D恰好都落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，点E在BC延长线上，CE＝BC，EF⊥BE，交x轴于点F，边EF交反比例函数y＝（k ≠0）的图象于点P，记△BEF的面积为S，若S＝+12，则△CEP的面积是（）A．2+2B．2﹣2C．+2D．﹣214．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的边与函数y＝（x＞0）图象交于E，F两点，且F是BC的中点，则四边形ACFE的面积等于（）A．4B．6C．8D．不能确定15．如图，直线AD分别与x轴，y轴交于A，D两点，与反比例函数y＝的图象交于B，C两点，连接OB，OC，若AB＝BC，S△BOC＝4，则k的值为（）A．4B．C．D．16．如图，以矩形OABC的顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，使点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E．过OC边上一点F，把△BCF沿直线BF翻折，使点C 落在点C′处（点C′在矩形OABC内部），且C′E∥BC，若点C′的坐标为（2，3），则k的值为（）A．B．C．D．17．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作直线y＝﹣x的垂线，垂足为点B，再过点A作AC⊥AB交y＝（x＞0）的图象于点C，若△ABC是等腰三角形，则点B的坐标是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣2，2）D．（﹣3，3）18．如图，菱形四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝，y＝﹣的图象上，若该菱形的面积为78，则这个菱形的边长为（）A．B．C．13D．1319．反比例函数y＝的图象向右平移个单位长度得到一个新的函数，当自变量x取1，2，3，4，5，…，（正整数）时，新的函数值分别为y1，y2，y3，y4，y5，…，其中最小值和最大值分别为（）A．y1，y2B．y43，y44C．y44，y45D．y2014，y201520．如图，△ABC是等边三角形，顶点C在y轴的负半轴上，点A（1，），点B在第一象限，经过点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过顶点B，则△ABC的边长为（）A．3B．2C．4D．3二．填空题（共10小题）21．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为．22．如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；④若MF＝MB，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是．（只填序号）23．已知如图，直线y＝x分别与双曲线y＝（m＞0，x＞0）、双曲线y＝（n＞0，x＞0）交于点A，点B，且＝，将直线y＝x向左平移6个单位长度后，与双曲线y＝交于点C，若S△ABC＝4，则mn的值为．24．如图，等边△OBA和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y＝（k＞0）经过OB的中点C和AE的中点D，已知OB＝16，则点F的坐标为．25．如图，直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴的正半轴于点A，B，交反比例函数y＝﹣的图象于点C，D（点C在第二象限内），过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若，则CD的长为．26．如图，直线y＝x﹣8交x轴于点A，交y轴于点B，点C是反比例函数y＝的图象上位于直线AB上方的一点，CD∥/x轴交AB于点D，CE⊥CD交AB于点E，若AD•BE＝4，则k的值为．27．如图，△OBC的边BC∥x轴，过点C的双曲线y＝（k≠0）与△OBC的边OB交于点D，且OD：DB＝1：2，若△OBC的面积等于8，则k的值为．28．如图，一次函数y＝x与反比例函数y＝（k＞0）的图象在第一象限交于点A，点C在以B（7，0）为圆心，2为半径的⊙B上，已知AC长的最大值为7，则该反比例函数的函数表达式为．29．如图，C、D是双曲线y＝（x＞0，k＞0）上两点，延长CD交x轴于点E，DB⊥x轴于点B，点F是线段DE的中点，延长FB交y轴于点S，连接SE，若S△SBE＝，则k＝30．如图，已知动点A在函数y＝（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD ＝AB，延长BA至点E，使AE＝AC，直线DE分别交x轴，y轴于点P，Q，当QE：DP＝9：25时，图中的阴影部分的面积等于．三．解答题（共10小题）31．如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝的图象交于A（2，m），B（n，﹣2）两点．过点B作BC⊥x轴，垂足为C，且S△ABC＝5．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）根据所给条件，请直接写出不等式k1x+b＞的解集；（3）若P（p，y1），Q（﹣2，y2）是函数y＝图象上的两点，且y1≥y2，求实数p的取值范围．32．如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△P AB的面积；（2）设直线P A、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠P AQ与∠PBQ 的大小，并说明理由．33．如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足，▱ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线经过C、D两点．（1）求k的值；（2）点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；（3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3），点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．34．平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1＝（x＞0）与y2＝﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为a、b．（1）若AB∥x轴，求△OAB的面积；（2）若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；（3）作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD 边与函数y1＝（x＞0）的图象都有交点，请说明理由．35．如图1所示，已知y＝（x＞0）图象上一点P，P A⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M 是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q，连接AQ，取AQ的中点为C．（1）如图2，连接BP，求△P AB的面积；（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2，求此时P点的坐标；（3）当点Q在射线BD上时，且a＝3，b＝1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长．36．如图，直线y1＝﹣x+4，y2＝x+b都与双曲线y＝交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．37．如图1，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点C的坐标为（4，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象与矩形AOBC的边AC、BC分别相交于点E、F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上．（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；（2）求反比例函数的解析式；（3）如图2，P点坐标为（2，﹣3），在反比例函数y＝的图象上是否存在点M、N（M在N的左侧），使得以O、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．38．如图，直线y＝k1x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于点P（2，4）．已知点A（4，0），B（0，3），连接AB，将Rt△AOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到△A'PB'．过点A'作A'C∥y轴交双曲线于点C．（1）求k1与k2的值；（2）求直线PC的表达式；（3）直接写出线段AB扫过的面积．39．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知四边形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0）．若反比例函数y＝（x ＞0）的图象经过线段OC的中点A，交DC于点E，交BC于点F．设直线EF的解析式为y＝k2x+b．（1）求反比例函数和直线EF的解析式；（2）求△OEF的面积；（3）请结合图象直接写出不等式k2x+b﹣＞0的解集．40．如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．【分析】设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），由AB＝BC，推出B（，），根据点B在y ＝上，推出•＝k，可得mn＝3k，连接EC，OA．因为AB＝BC，推出S△AEC＝2•S△AEB＝14，根据S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，构建方程即可解决问题；【解答】解：设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），∵AB＝BC，∴B（，），∵点B在y＝上，∴•＝k，∴k+mn＝4k，∴mn＝3k，连接EC，OA．∵AB＝BC，∴S△AEC＝2•S△AEB＝14，∵S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，∴14＝•（﹣m）•+•n•（﹣m）﹣•（﹣m）•n，∴14＝﹣k﹣+，∴k＝﹣12．故选：A．2．【分析】如解答图所示，满足条件的直线有两种可能：一种是与直线BC平行，符合条件的有两条，如图中的直线a、b；还有一种是过线段BC的中点，符合条件的有两条，如图中的直线c、d．【解答】解：如解答图所示，满足条件的直线有4条，故选：A．3．【分析】连接CE．只要证明CE∥OB，推出S△OBE＝S△OBC，即可解决问题；【解答】解：连接CE．∵四边形ABCO，四边形DEFC都是正方形，∴∠ECF＝∠BOC＝45°，∴CE∥OB，∴S△OBE＝S△OBC，∵BC＝OC，点B在y＝上，∴BC＝OC＝2，∴S△OBE＝×2×2＝2，故选：A．4．【分析】如图：延长AC交BF的延长线于G，连接OF．只要证明OF是△BCG的中位线，可得OF＝CG＝，即可解决问题．【解答】解：如图：延长AC交BF的延长线于G，连接OF．∵AF⊥BG，∴∠AFB＝∠AFG＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠G+∠GAF＝90°，∵∠BAF＝∠F AG，∴∠ABF＝∠G，∴AB＝AG，∵AF⊥BG，∴BF＝FG，∵B（﹣，﹣），C（，），∴OB＝OC，∴OF＝CG，∵|AB﹣AC|＝2，AB＝AG，∴CG＝2，∴OF＝，∴点F在以O为圆心为半径的圆上运动．故选：C．5．【分析】设B（m，n），想办法求出A，D，C的坐标，构建方程求出mn的值即可解决问题．【解答】解：设B（m，n），∵BC：BO＝2：3，∴C（m，n），∵BD：AB＝3：4，∴点D的纵坐标为n，∵C，D在y＝的图象上，∴D（m，），∴直线BD的解析式为y＝x﹣n，令y＝0，得到x＝m，∴A（m，0），∵S△ABO＝，∴×（﹣m）×n＝，∴mn＝﹣，∴k＝＝﹣×＝﹣，故选：C．6．【分析】作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．首先证明S△AOC＝S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF＝S梯形AEFC，由此构建方程即可解决问题；【解答】解：作AE⊥OD于E，CF⊥OD于F．连接AC，AD．∵BC：CD＝2：1，S△ADC＝，∴S△ACB＝，∵OA＝AB，∴B（2m，2n），S△AOC＝S△ACB＝，∵A、C在y＝上，BC＝2CD，∴C（m，n），∵S△AOC＝S△AOE+S梯形AEFC﹣S△OCF＝S梯形AEFC，∴•（n+n）×m＝，∴mn＝16，故选：B．7．【分析】如图作BH⊥OD于H．延长BA交y轴于E．由tan∠ABD＝tan∠BDH＝，设DH＝5m，BH＝9m，则BH ＝BE＝9m，OD＝4m，推出C（﹣6m，m），推出A（﹣m，9m），由△ABD的面积为，推出×m×9m＝，可得m2＝，推出k＝﹣6m×m＝﹣2；【解答】解：如图作BH⊥OD于H．延长BA交y轴于E．∵AB∥DH，∴∠ABD＝∠BDH，∴tan∠ABD＝tan∠BDH＝，设DH＝5m，BH＝9m，则BH＝BE＝9m，OD＝4m，∴C（﹣6m，m），∴A（﹣m，9m），∵△ABD的面积为，∴×m×9m＝，∴m2＝，∴k＝﹣6m×m＝﹣2，故选：A．8．【分析】设A（x a，y a），B（x b，y b），C（x c，y c），则有x a y a＝x b y b＝5，x c y c＝k，由OA∥BC可得：＝，过点A作AF⊥x轴于点F，BE⊥x轴于点E，CD⊥x轴于点D，由图可得：S△ABC＝S梯形AFEB+S梯形BEDC﹣S梯形AFDC，代入坐标可得到：（y a+y b）（x b﹣x a）+（y b+y c）（x c﹣x b）﹣（y a+y c）（x c﹣x a）＝6，整理得到：y a x b﹣x a y b+y b x c ﹣y c x b﹣y a x c+x a y c＝6，综上得到y b x c﹣y c x b＝12，已知＝，可得＝，y b＝＝，综合以上式子可得：10+x c y c＝12，所以x c y c＝4，即k＝4．【解答】解：设A（x a，y a），B（x b，y b），C（x c，y c），则有x a y a＝x b y b＝5，x c y c＝k，∵OA∥BC∴＝，整理得到：y a x b﹣y a x c＝x a y b﹣x a y c①过点A作AF⊥x轴于点F，BE⊥x轴于点E，CD⊥x轴于点D，∵S△ABC＝S梯形AFEB+S梯形BEDC﹣S梯形AFDC＝6∴（AF+BE）×EF+（BE+CD）×DE﹣（AF+CD）×DF＝6代入坐标可得到：（y a+y b）（x b﹣x a）+（y b+y c）（x c﹣x b）﹣（y a+y c）（x c﹣x a）＝6，整理得：y a x b﹣x a y b+y b x c﹣y c x b﹣y a x c+x a y c＝6，②①②联立得：y b x c﹣y c x b＝12，③由＝，可得：＝，即x b＝x c，∴y b＝＝，代入③得：10+x c y c＝12，解得：x c y c＝4，即k＝﹣4．解法二：如图连接OB，OC，作BE⊥OP于E，CF⊥OP于F．∵OA∥BC，∴S△OBC＝S△ABC＝6，∵PB：PC＝1：2，∴S△OPB＝2，S△OPC＝4，∵S△OBE＝，∴S△PBE＝，∵△BEP∽△CFP，∴S△CFP＝4×＝2，∴S△OCF＝2，∴k＝﹣4．故选：B．9．【分析】如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．首先证明△CFO∽△OEA，推出＝（）2，因为CA：AB＝5：8，AO＝OB，推出CA：OA＝5：4，推出CO：OA＝3：4，可得＝（）2＝，因为S△AOE ＝2，可得S△COF＝，延长即可解决问题；【解答】解：如图作AE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F．连接OC．∵A、B关于原点对称，∴OA＝OB，∵AC＝BC，OA＝OB，∴OC⊥AB，∴∠CFO＝∠COA＝∠AEO＝90°，∵∠COF+∠AOE＝90°，∠AOE+∠EAO＝90°，∴∠COF＝∠OAE，∴△CFO∽△OEA，∴＝（）2，∵CA：AB＝5：8，AO＝OB，∴CA：OA＝5：4，∴CO：OA＝3：4，∴＝（）2＝，∵S△AOE＝2，∴S△COF＝，∴＝，∵k＜0，∴k＝﹣，故选：A．10．【分析】证明△DHA≌△CGD（AAS）、△ANB≌△DGC（AAS）得到：AN＝DG＝1＝AH，而AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，即可求解．【解答】解：设点D（m，），如图所示，过点D作x轴的垂线交CE于点G，过点A过x轴的平行线交DG于点H，过点A作AN⊥x轴于点N，∵∠GDC+∠DCG＝90°，∠GDC+∠HDA＝90°，∴∠HDA＝∠GCD，又AD＝CD，∠DHA＝∠CGD＝90°，∴△DHA≌△CGD（AAS），∴HA＝DG，DH＝CG，同理△ANB≌△DGC（AAS），∴AN＝DG＝1＝AH，则点G（m，﹣1），CG＝DH，AH＝﹣1﹣m＝1，解得：m＝﹣2，故点G（﹣2，﹣5），D（﹣2，﹣4），H（﹣2，1），则点E（﹣，﹣5），GE＝，CE＝CG﹣GE＝DH﹣GE＝5﹣＝，故选：B．11．【分析】由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n﹣1A n＝1可知B1点的坐标为（1，y1），B2点的坐标为（2，y2），B3点的坐标为（3，y3）…B n点的坐标为（n，y n），把x＝1，x＝2，x＝3代入反比例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3…S n的值，故可得出结论．【解答】解：∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n﹣1A n＝1，∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…B n（n，y n），∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴y1＝1，y2＝，y3＝…y n＝，∴S1＝×1×（y1﹣y2）＝×1×（1﹣）＝（1﹣）；S2＝×1×（y2﹣y3）＝×（﹣）；S3＝×1×（y3﹣y4）＝×（﹣）；…S n＝（﹣），∴S1+S2+S3+…+S n＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝．故选：C．12．【分析】作AE⊥OC于E，DF⊥OC于F．设A（a，b）．想办法证明OE＝EF＝CF即可解决问题；【解答】解：作AE⊥OC于E，DF⊥OC于F．设A（a，b）．∵四边形ABCO是菱形，∴AD＝DC，∵AE∥DF，∴EF＝FC，∴DF＝AE＝b∵反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A与点D，∴D（2a，b），∴OE＝EF＝FC＝a，∴OA＝OC＝3a，∴AE＝＝2a，∵OC•AE＝24，∴3a•2a＝24，∴a2＝4，∵a＞0，∴a＝2，∴A（2，4），故选：C．13．【分析】如图作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N．设OA＝b，OB＝a．首先利用全等三角形的性质求出D、C两点坐标，再证明a＝b，再构建方程求出a、k，再求出直线EF的解析式，利用方程组确定点P坐标即可解决问题；【解答】解：如图作DM⊥y轴于M，CN⊥x轴于N．设OA＝b，OB＝a．∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，易证△AOB≌△BNC≌△DMA，∴DM＝OA＝BN＝b，AM＝OB＝CN＝a，∴D（b，a+b），C（a+b，a），∵点C，D恰好都落在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴b（a+b）＝a（a+b），∵a+b≠0，∴a＝b，∴OA＝OB，∴∠ABO＝45°，∠EBF＝45°，∵BE⊥EF，∴△BEF是等腰直角三角形，∵BC＝EC，∴可得E（3a，2a），F（5a，0），∴×4a×2a＝+12，∵D（a，2a），∴2a2＝k，∴a＝2，k＝8，∴E（6，4），F（10，0），∴直线EF的解析式为y＝﹣x+10，由，解得或，∴p（5+，5﹣），∴PE＝﹣，∴S△ECP＝•EC•EP＝•（﹣）×2＝2﹣2，故选：B．14．【分析】连接OF、OB、OE．首先证明EF是△BAC的中位线，利用相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：连接OF、OB、OE．∵四边形ABCO是矩形，∴S△ABO＝S△BCO，∵BF＝CF，∴S△CFO＝S△BFO，∵E、F在y＝（x＞0）上，∴S△AEO＝S△FCO＝S△ABO，∴AE＝EB，∵BF＝CF，∴EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝，∵S矩形ABCO＝16，∴S△BEF＝×8＝2，∴S四边形ACFE＝8﹣2＝6，故选：B．15．【分析】首先证明CD＝BC＝AB，设C的横坐标为x，则B的横坐标为2x，根据S△OBC＝S△OBD﹣S△OCD，构建方程，即可求得k的值；【解答】解：作BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，∴BE∥CF，∴＝，∵AC＝BC，∴CF＝2BE，∵S△COF＝S△OBE，∴CF•OF＝OE•BE，∴OE＝2OF，∵OD∥CF∥BE，∴DC＝BC＝AB，∴设C的横坐标为x，则B的横坐标为2x，∴C的纵坐标为，B的纵坐标为，∴CF＝，BE＝，OA＝3x∵S△OBC＝S△OAC﹣S△OAB，△OBC的面积为4，∴OA•CF﹣OA•C＝4，∴•3x•﹣•3x•＝4，∴k＝故选：B．16．【分析】首先证明点E是线段AB的中点，设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．在Rt△BEC′中，根据BC′2＝BE2+EC′2，构建方程求出m即可解决问题；【解答】解：连接OD、OE．设BC＝BC′＝m，则EC′＝m﹣2．∵CD＝BD，∴S△CDO＝＝S矩形ABCD，∵S△AOE＝＝S△CDO＝S矩形ABCD，∴AE＝EB，∵C′（2，3），∴AE＝EB＝3，在Rt△BEC′中，∵BC′2＝BE2+EC′2，∴m2＝32+（m﹣2）2，∴m＝，∴E（，3），∵点E在y＝上，∴k＝，故选：D．17．【分析】由题意，△ABC是等腰直角三角形，BC∥x轴，设B（a，﹣a），想办法证明A（﹣a，﹣3a），利用待定系数法求出a即可．【解答】解：由题意，△ABC是等腰直角三角形，BC∥x轴，设B（a，﹣a），∵AC∥OB，∴AC⊥直线y＝x，∴A、C关于直线y＝x对称，作OH⊥AC于H，则四边形ABOH是矩形，∴AH＝HC＝OB，AB＝2OB，∴A（﹣a，﹣3a），∴3a2＝6，∴a2＝2，∵a＜0，∴a＝﹣，∴B（﹣，），故选：A．18．【分析】据对称性可知，反比例函数y＝，y＝﹣的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，推出菱形ABCD 的对角线AC与BD的交点即为原点O．如图：作DM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N．连接OD，OC．由△DOM∽△OCN，S△DOM＝2，S△OCN＝，推出（）2＝，可以假设OD＝2k，OC＝3k，根据菱形的面积公式构建方程即可解决问题；【解答】解：根据对称性可知，反比例函数y＝，y＝﹣的图象是中心对称图形，菱形是中心对称图形，∴菱形ABCD的对角线AC与BD的交点即为原点O．如图：作DM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N．连接OD，OC．∵DO⊥OC，∴∠DOM+∠CON＝90°，∠CON+∠OCN＝90°，∴∠DOM＝∠OCN，∵∠DMO＝∠CNO＝90°，∴△DOM∽△OCN，∵S△DOM＝2，S△OCN＝，∴（）2＝，∴可以假设OD＝2k，OC＝3k，∵S菱形ABCD＝4••2k•3k＝78，∴k＝，∴CD＝＝k＝，故选：B．19．【分析】图象y＝向右平移个单位长度得到一个新的函y＝，因为44＜＜45，结合图形可知：当x＜44时，y＜0，y随x的增大而减小，x＝44时，得到y的最小值y44，当x＞45时，y＞0，y随x的增大而增大，x＝45时，得到y的最大值y45；【解答】解：图象y＝向右平移个单位长度得到一个新的函y＝，∵44＜＜45，∴当x＜44时，y＜0，y随x的增大而减小，x＝44时，得到y的最小值y44，当x＞45时，y＞0，y随x的增大而增大，x＝45时，得到y的最大值y45，故选：C．20．【分析】如图延长AB到D，使得AB＝BD，连接CD，作AH⊥y轴于H，DE⊥y轴于E．设C（0，c）．由△ACH ∽△CDE，推出＝＝＝，由A（1，），推出AH＝1，CH＝﹣c，推出EC＝，DE＝﹣c，推出D（﹣c，c﹣），根据BA＝BD，可得B（，），因为A、B在y＝上，可得＝×，解方程求出点C坐标即可解决问题；【解答】解：如图延长AB到D，使得AB＝BD，连接CD，作AH⊥y轴于H，DE⊥y轴于E．设C（0，c）．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵AB＝BD，∴BA＝BC＝BD，∴△ACD是直角三角形，∵∠CAD＝60°，∴DC＝AC，∵∠ACD＝∠AHC＝∠DEC＝90°，∴∠ACH+∠DCE＝90°，∵∠ECD+∠CDE＝90°，∴∠ACH＝∠CDE，∴△ACH∽△CDE，∴＝＝＝，∵A（1，），∴AH＝1，CH＝﹣c，∴EC＝，DE＝﹣c，∴D（﹣c，c﹣），∵BA＝BD，∴B（，），∵A、B在y＝上，∴＝×，整理得：4c2﹣16c﹣11＝0，解得c＝﹣或（舍弃），∴C（0，﹣），∴AC＝＝2，故选：B．二．填空题（共10小题）21．【分析】过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，由等腰三角形的判定与性质得出OA＝BA，∠OAB＝90°，证出∠AOM＝∠BAN，由AAS证明△AOM≌△BAN，得出AM＝BN，OM＝AN，即可得到求出B的坐标，代入反比例函数即可得出一元二次方程，解方程即可得到k的值．【解答】解：如图所示，过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∵∠AOB＝∠OBA＝45°，∴OA＝BA，∠OAB＝90°，∴∠OAM+∠BAN＝90°，∴∠AOM＝∠BAN，∴△AOM≌△BAN，∴AM＝BN＝1，OM＝AN＝k，∴OD＝1+k，BD＝OM﹣BN＝k﹣1∴B（1+k，k﹣1），∵双曲线y＝（x＞0）经过点B，∴（1+k）•（k﹣1）＝k，整理得：k2﹣k﹣1＝0，解得：k＝（负值已舍去），故答案为：．22．【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA＝OM＝AM，可得1+k2＝m2+，推出m＝k，根据OM＝AM，构建方程求出k即可判断．④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：①设点A（m，），M（n，），则直线AC的解析式为y＝﹣x++，∴C（m+n，0），D（0，），∴S△ODM＝n×＝，S△OCA＝（m+n）×＝，∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BM⊥AM，∴OM＝OA，∴k＝mn，∴A（m，n），M（n，m），∴AM＝（m﹣n），OM＝，∴AM不一定等于OM，∴∠BAM不一定是60°，∴∠MBA不一定是30°．故②错误，∵M点的横坐标为1，∴可以假设M（1，k），∵△OAM为等边三角形，∴OA＝OM＝AM，1+k2＝m2+，∵m＞0，k＞0，∴m＝k，∵OM＝AM，∴（1﹣m）2+＝1+k2，∴k2﹣4k+1＝0，∴k＝2，∵m＞1，∴k＝2+，故③正确，如图，作MK∥OD交OA于K．∵OF∥MK，∴＝＝，∴＝，∵OA＝OB，∴＝，∴＝，∵KM∥OD，∴＝＝2，∴DM＝2AM，故④正确．故答案为①③④．23．【分析】先求出直线y＝x向左平移6个单位长度后的解析式为y＝x+4，那么直线y＝x+4交y轴于E（0，4），作EF⊥OB于F．根据互相垂直的两直线斜率之积为﹣1得出直线EF的解析式为y＝﹣x+4，再求出F（，），EF＝＝，根据S△ABC＝4，求出AB＝，那么OA＝AB＝，进而求出A、B 两点坐标，求出m、n即可解决问题．【解答】解：直线y＝x向左平移6个单位长度后的解析式为y＝（x+6），即y＝x+4，∴直线y＝x+4交y轴于E（0，4），作EF⊥OB于F．可得直线EF的解析式为y＝﹣x+4，由，解得，即F（，）．∴EF＝＝，∵S△ABC＝4，∴•AB•EF＝4，∴AB＝，∵＝，∴OA＝AB＝，∴A（3，2），B（5，），∴m＝6，n＝，∴mn＝100．故答案为100．24．【分析】过点C作CG⊥OA于点G，根据等边三角形的性质求出OG、CG的长度，从而得到点C的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式；过点D作DH⊥AF于点H，设AH＝a，根据等边三角形的性质表示出DH的长度，然后表示出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式，解方程得到a的值，从而得解．【解答】解：过点C作CG⊥OA于点G，过点D作DH⊥AF于点H，∵点C是等边△OAB的边OB的中点，∴OC＝8，∠AOB＝60°，∴OG＝4，CG＝OG•tan60°＝4，∴点C的坐标是（4，4），∴k＝4×4＝16，∴该双曲线所表示的函数解析式为y＝，设AH＝a，则DH＝a．∴点D的坐标为（16+a，a），∵点D是双曲线y＝上的点，∴a×（16+a）＝16，即：a2+16a﹣16＝0，解得：a1＝﹣8+4，a2＝﹣8﹣4（舍去），∴AD＝2AH＝﹣16+8，∴AF＝2AD＝﹣32+16，∴OF＝AO+AF＝16﹣32+16＝16﹣16，即点F的坐标为（16﹣16，0）．故答案为：（16﹣16，0）．25．【分析】由题意B（0，b），A（b，0），推出OA＝OB＝b，因为直线y＝﹣x+b关于直线y＝x对称，反比例函数y ＝﹣关于y＝x对称，推出BC＝AD，设BC＝AD＝a，则C（﹣a，b+a），D（b+a，﹣a），想办法构建方程求出a、b的关系，求出点D的坐标（用b表示），再利用待定系数法即可解决问题；【解答】解：由题意B（0，b），A（b，0），∴OA＝OB＝b，∵直线y＝﹣x+b关于直线y＝x对称，反比例函数y＝﹣关于y＝x对称，∴BC＝AD，设BC＝AD＝a，则C（﹣a，b+a），D（b+a，﹣a），∵，∴＝，整理得：12a2+17ab﹣14b2＝0，解得a＝b或a＝﹣b（舍弃），∴D（b，﹣b），∵D在y＝﹣的图象上，∴b×（﹣b）＝﹣4，解得b＝3或﹣3（舍弃），∴D（4，﹣1），C（﹣1，4），∴CD＝＝5，故答案为5．26．【分析】过D作DF⊥AO于F，过EG⊥OB于G，则DF∥OB，GE∥AO，设C（x，y），则GE＝x，DF＝﹣y，由△ADF∽△ABO，可得AD＝﹣y，由△BEG∽△BAO，可得BE＝2x，再根据AD•BE＝4，即可得到k＝xy＝．【解答】解：如图，过D作DF⊥AO于F，过EG⊥OB于G，则DF∥OB，GE∥AO，由直线y＝x﹣8，可得A（，0），B（0，﹣8），∴AO＝，BO＝8，AB＝，设C（x，y），则GE＝x，DF＝﹣y，由△ADF∽△ABO，可得，即＝，∴AD＝﹣y，由△BEG∽△BAO，可得，即＝，∴BE＝2x，∵AD•BE＝4，∴﹣y×2x＝4，∴xy＝﹣，∴k＝xy＝﹣，故答案为：﹣．27．【分析】延长BC交y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点FBA⊥x轴于A．由矩形与反比例函数的性质，可得S四边＝S△OBC＝8，易证得△ODF∽△OBA，又由OD：DB＝1：2，即可得S△ODF＝S四边形ABDF＝×4＝，则形ABDF可求得答案．【解答】解：延长BC交y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，BA⊥x轴于A．∵梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，∴四边形OABE是矩形，∴S△OBE＝S△OAB，∵过点C的双曲线y＝交OB于点D，∴S△OCE＝S△ODF，∴S四边形ABDF＝S△OBC＝8，∵DF∥AB，∴△ODF∽△OBA，∵OD：DB＝1：2，∴OD：OB＝1：3，∴S△ODF：S△OAB＝1：9，∴S△ODF：S四边形ABDF＝1：8，∴S△ODF＝S四边形ABDF＝×8＝1，∴k＝2．故答案为：2．28．【分析】设A（m，m），因为点C在以B（7，0）为圆心，2为半径的⊙B上，已知AC长的最大值为7，可得AB ＝5，由此构建方程即可解决问题．【解答】解：设A（m，m），∵点C在以B（7，0）为圆心，2为半径的⊙B上，已知AC长的最大值为7，∴AB＝5，∴m2+（7﹣m）2＝25，解得m＝3或4，∴A（3，3）或（4，4），∵点A在y＝上，∴k＝9或16，∴反比例函数的解析式为y＝或y＝，故答案为y＝或y＝．29．【分析】连接OD．设D（m，n），只要证明△SBO∽△DEB，可得＝，推出DB•OB＝OS•BE，因为S△SBE ＝，可得•BE•SO＝，推出BE•SO＝，推出DB•OB＝，即可解决问题；【解答】解：连接OD．设D（m，n）∵DB⊥OE，∴∠DBE＝90°，∵DF＝FE，∴BF＝FE，∴∠FEB＝∠FBE，∵∠FBE＝∠SBO，∴∠SBO＝∠DEB，∵∠SOB＝∠DBE＝90°，∴△SBO∽△DEB，∴＝，∴DB•OB＝OS•BE，∵S△SBE＝，∴•BE•SO＝，∴BE•SO＝，∴DB•OB＝，∵D（m，n）在y＝上，∴k＝mn＝DB•OB＝，故答案为．30．【分析】作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，得到△QEG∽△PDF，于是得到，设EG＝9t，则PF＝25t，然后根据△ADE∽△FPD，据此即可得到关于t的方程，求得t的值，进而求解．【解答】解：作DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于G，∴△QEG∽△DPF，∴，设EG＝9t，则PF＝25t，∴A（9t，），由AC＝AEAD＝AB，∴AE＝9t，AD＝，DF＝，PF＝25t，∵△ADE∽△FPD，∴AE：DF＝AD：PF，9t：＝：25t，即t2＝，图中阴影部分的面积＝×9t×9t+××＝，故答案为：．三．解答题（共10小题）31．【分析】（1）把A、B的坐标代入反比例函数解析式求出m＝﹣n，过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥y轴于F，延长AE、BF交于D，求出梯形BCAD的面积和△BDA的面积，即可得出关于n的方程，求出n的值，得出A、B 的坐标，代入反比例函数和一次函数的解析式，即可求出答案；（2）根据A、B的横坐标，结合图象即可得出答案；（3）分为两种情况：当点P在第三象限时和当点P在第一象限时，根据坐标和图象即可得出答案．【解答】解：（1）把A（2，m），B（n，﹣2）代入y＝得：k2＝2m＝﹣2n，即m＝﹣n，则A（2，﹣n），过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥y轴于F，延长AE、BF交于D，∵A（2，﹣n），B（n，﹣2），∴BD＝2﹣n，AD＝﹣n+2，BC＝|﹣2|＝2，∵S△ABC＝•BC•BD∴×2×（2﹣n）＝5，解得：n＝﹣3，即A（2，3），B（﹣3，﹣2），把A（2，3）代入y＝得：k2＝6，即反比例函数的解析式是y＝；把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入y＝k1x+b得：，解得：k1＝1，b＝1，即一次函数的解析式是y＝x+1；（2）∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），∴不等式k1x+b＞的解集是﹣3＜x＜0或x＞2；（3）分为两种情况：当点P在第三象限时，要使y1≥y2，实数p的取值范围是p≤﹣2，当点P在第一象限时，要使y1≥y2，实数p的取值范围是p＞0，即P的取值范围是p≤﹣2或p＞0．32．【分析】（1）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA＝OB，由此可得S△P AB＝2S△AOP，要求△P AB的面积，只需求△P AO的面积，只需用割补法就可解决问题；（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH＝NH，根据垂直平分线的性质可得PM＝PN，即△PMN是等腰三角形；（3）过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c﹣4，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT＝ET，根据垂直平分线的性质可得QD＝QE，则有∠QDE＝∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠P AQ＝∠PBQ．【解答】解：（1）k＝4，S△P AB＝15．提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，把x＝4代入y＝x，得到点B的坐标为（4，1），把点B（4，1）代入y＝，得k＝4．解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），则点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB，∴S△AOP＝S△BOP，∴S△P AB＝2S△AOP．设直线AP的解析式为y＝mx+n，把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y＝mx+n，求得直线AP的解析式为y＝x+3，则点C的坐标（0，3），OC＝3，∴S△AOP＝S△AOC+S△POC＝OC•AR+OC•PS＝×3×4+×3×1＝，∴S△P AB＝2S△AOP＝15；（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．B（4，1），则反比例函数解析式为y＝，设P（m，），直线P A的方程为y＝ax+b，直线PB的方程为y＝px+q，联立，解得直线P A的方程为y＝x+﹣1，联立，解得直线PB的方程为y＝﹣x++1，∴M（m﹣4，0），N（m+4，0），∴H（m，0），∴MH＝m﹣（m﹣4）＝4，NH＝m+4﹣m＝4，∴MH＝NH，∴PH垂直平分MN，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形；（3）∠P AQ＝∠PBQ．理由如下：过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y＝px+q，则有，解得：，∴直线AQ的解析式为y＝x+﹣1．当y＝0时，x+﹣1＝0，解得：x＝c﹣4，∴D（c﹣4，0）．同理可得E（c+4，0），∴DT＝c﹣（c﹣4）＝4，ET＝c+4﹣c＝4，∴DT＝ET，∴QT垂直平分DE，∴QD＝QE，∴∠QDE＝∠QED．∵∠MDA＝∠QDE，∴∠MDA＝∠QED．∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM．∵∠P AQ＝∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ＝∠NBE＝∠PNM﹣∠QED，∴∠P AQ＝∠PBQ．33．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，设D（1，t），由DC∥AB，可知C （2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t的值即可；（2）由（1）知k＝4可知反比例函数的解析式为y＝，再由点P在双曲线上，点Q在y轴上，设Q（0，y），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标；（3）连NH、NT、NF，易证NF＝NH＝NT，故∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，∠TNH＝∠TAH＝90°，MN＝HT，由此即可得出结论．【解答】解：（1）∵+（a+b+3）2＝0，且≥0，（a+b+3）2≥0，∴，解得：，∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），∵E为AD中点，∴x D＝1，设D（1，t），又∵四边形ABCD是平行四边形，∴C（2，t﹣2），∴t＝2t﹣4，∴t＝4，∴k＝4；（2）∵由（1）知k＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，∵点P在双曲线上，点Q在y轴上，∴设Q（0，y），P（x，），①当AB为边时：如图1所示：若ABPQ为平行四边形，则＝0，解得x＝1，此时P1（1，4），Q1（0，6）；如图2所示；若ABQP为平行四边形，则＝，解得x＝﹣1，此时P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；②如图3所示；当AB为对角线时：AP＝BQ，且AP∥BQ；∴＝，解得x＝﹣1，∴P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（﹣1，﹣4），Q2（0，﹣6）；P3（﹣1，﹣4），Q3（0，2）；（3）连NH、NT、NF，∵MN是线段HT的垂直平分线，∴NT＝NH，∵四边形AFBH是正方形，∴∠ABF＝∠ABH，在△BFN与△BHN中，，∴△BFN≌△BHN，∴NF＝NH＝NT，∴∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，四边形ATNH中，∠ATN+∠NTF＝180°，而∠NTF＝∠NFT＝∠AHN，所以，∠ATN+∠AHN＝180°，所以，四边形ATNH内角和为360°，所以∠TNH＝360°﹣180°﹣90°＝90°．∴MN＝HT，∴＝．34．【分析】（1）如图1，AB交y轴于C，由于AB∥x轴，根据k的几何意义得到S△OAC＝2，S△OBC＝2，所以S△OAB ＝S△OAC+S△OBC＝4；（2）根据函数图象上点的坐标特征得A、B的纵坐标分别为、﹣，根据两点间的距离公式得到OA2＝a2+（）2，OB2＝b2+（﹣）2，则利用等腰三角形的性质得到a2+（）2＝b2+（﹣）2，变形得到（a+b）（a﹣b）（1﹣）＝0，由于a+b≠0，a＞0，b＜0，所以1﹣＝0，易得ab＝﹣4；（3）由于a≥4，AC＝3，则可判断直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1＝（x＞0）的图象一定有交点，设直线CD与函数y1＝（x＞0）的图象交点为F，由于A点坐标为（a，），正方形ACDE的边长为3，则得到C 点坐标为（a﹣3，），F点的坐标为（a﹣3，），所以FC＝﹣，然后比较FC与3的大小，由于3﹣FC ＝3﹣（﹣）＝，而a≥4，所以3﹣FC≥0，于是可判断点F在线段DC上．【解答】解：（1）如图1，AB交y轴于C，∵AB∥x轴，∴S△OAC＝×|4|＝2，S△OBC＝×|﹣4|＝2，∴S△OAB＝S△OAC+S△OBC＝4；（2）∵A、B的横坐标分别为a、b，∴A、B的纵坐标分别为、﹣，∴OA2＝a2+（）2，OB2＝b2+（﹣）2，∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，∴OA＝OB，∴a2+（）2＝b2+（﹣）2，∴a2﹣b2+（）2﹣（）2＝0，∴a2﹣b2+＝0，∴（a+b）（a﹣b）（1﹣）＝0，∵a+b≠0，a＞0，b＜0，∴1﹣＝0，∴ab＝﹣4；（3）∵a≥4，而AC＝3，∴直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数y1＝（x＞0）的图象一定有交点，设直线CD与函数y1＝（x＞0）的图象交点为F，如图2，∵A点坐标为（a，），正方形ACDE的边长为3，∴C点坐标为（a﹣3，），∴F点的坐标为（a﹣3，），。
反比例函数上的点平移规律
反比例函数上的点平移规律我们来简单了解一下反比例函数的定义。
反比例函数可以表示为y = k/x，其中k是常数，通常被称为比例常数。
该函数的图像是一个以原点为中心的对称图形，当x不等于0时，y的值与x成反比例关系。
在反比例函数中，当我们将点(x, y)沿x轴或y轴方向进行平移时，点的坐标也会发生相应的变化。
具体来说，当点(x, y)沿x轴方向平移h个单位时，其新的坐标为(x + h, y)；而当点(x, y)沿y轴方向平移k个单位时，其新的坐标为(x, y + k)。
这种平移规律使得反比例函数在坐标平面上的图像发生了移动。
举个例子来说明这个平移规律。
假设有反比例函数y = 2/x，其中k = 2。
现在考虑点(2, 1)在x轴方向平移3个单位，我们可以根据平移规律计算出新的坐标为(5, 1)。
同样地，如果将点(2, 1)在y轴方向平移2个单位，新的坐标将为(2, 3)。
通过这个例子，我们可以看到反比例函数上的点在平移过程中，其坐标发生了相应的变化。
这种变化是根据平移规律而产生的，可以用简单的加减法来实现。
这个规律在解决实际问题时非常有用，例如在物理学中，我们可以利用反比例函数来描述两个物体之间的关系。
除了在坐标平面上进行平移，反比例函数上的点还可以进行其他类型的变换，如旋转和缩放。
这些变换可以通过对坐标进行适当的计算来实现。
例如，如果我们要将点(2, 1)绕原点逆时针旋转90度，可以根据旋转公式计算出新的坐标为(-1, 2)。
总结起来，反比例函数上的点在平移过程中会发生相应的变化，这种变化遵循平移规律。
通过对坐标进行合适的加减运算，我们可以实现点在坐标平面上的平移、旋转和缩放等变换。
这些变换可以帮助我们更好地理解和应用反比例函数，从而解决实际问题。
在数学中，反比例函数是一种重要的函数类型，具有广泛的应用。
通过理解和掌握反比例函数上的点平移规律，我们可以更好地理解函数的性质和特点，为解决实际问题提供有力的工具。
中考数学反比例函数-经典压轴题
，解得
，
∴ 一次函数解析式为 y=2x+2，
∵ 点 A 的横坐标是 1，
∴ 当 x=1 时，y=4，即 A（1，4），
把 A（1，4）代入反比例函数 y= ，可得 k=4，
∴ 反比例函数解析式为 y=
（2）解：解方程组
，可得
或
，
∴ B（﹣2，﹣2），
又∵ A（1，4），BH⊥y 轴，
∴ △ ABH 面积= ×2×（4+2）=6． 【解析】【分析】（1）先由 tan∠ CDO=2 可求出 C 坐标，再把 D 点坐标代入直线解析式， 可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出 A 坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线 解析式；（2）△ ABH 面积可以 BH 为底，高=yA-yB=4-(-2)=6.
5．函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决 下面的问题．
（1）分别求出当 2≤x≤4 时，三个函数：y=2x+1，y= ，y=2（x﹣1）2+1 的最大值和最小 值；
（2）若 y= 的值不大于 2，求符合条件的 x 的范围；
（3）若 y= ，当 a≤x≤2 时既无最大值，又无最小值，求 a 的取值范围； （4）y=2（x﹣m）2+m﹣2，当 2≤x≤4 时有最小值为 1，求 m 的值． 【答案】 （1）解：y=2x+1 中 k=2＞0， ∴ y 随 x 的增大而增大， ∴ 当 x=2 时，y 最小=5；当 x=4 时，y 最大=9．
联立
，解得直线 PA 的方程为 y= x+ ﹣1，
联立
，解得直线 PB 的方程为 y=﹣ x+ +1，
∴ M（m﹣4，0），N（m+4，0），
2020上海市八年级数学第二学期期末压轴题一(解析版)
例2020年上海市宝山区初二下学期期末第24题如图1，反比例函数4yx=的图像与过原点的直线y＝kx（k≠0）相交于点A、B，点A的横坐标是－4．点P是第一象限内反比例函数图像上的动点，且在直线AB的上方．（1）求k的值和点B的坐标；（2）若点P的坐标是(1, 4)，且以点P、A、B、C为顶点的四边形为矩形时，写出点C 的坐标以及此时的矩形面积；（3）设点Q是动点P关于x轴的对称点，直线P A、PB与x轴分别交于点M、N，试用数学方法判断四边形PMQN是怎样的特殊四边形．图1动感体验打开几何画板文件名“20宝山24”，拖动点P在双曲线上运动，可以体验到，当点P的坐标为(1, 4)时，以A、P、B、Q为顶点的矩形只存在一种情况．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点P在双曲线上运动，可以体验到，四边形PMQN始终保持菱形的形状．满分解答（1）将x＝－4代入4yx=，得y＝－1．所以A(－4,－1)．将A(－4,－1)代入y＝kx，得－1＝－4k．解得k＝14．因为点B与点A关于原点对称，所以B(4, 1)．（2）如图2，已知A(－4,－1)、B(4, 1)、P(1, 4)，所以AP2＝52＋52＝50，BP2＝32＋32＝18，AB2＝82＋22＝68．所以AP2＋BP2＝AB2．所以△ABP是直角三角形，∠APB＝90°．因此以点P、A、B、C为顶点的矩形，只存在一种情况，点C与点P关于原点对称，所以C(－1,－4)．所以S矩形P ACB＝AP∙PB＝5232＝30．图2（3）如图3，设P(m,4m)，那么Q(m,4-m)．设MN与PQ交于点G．由P(m,4m)、A(－4,－1)，得直线AP的解析式为141=+-y xm m．所以M(m－4, 0)．由P(m,4m)、B(4, 1)，得直线AP的解析式为141=-++y xm m．所以N(m＋4, 0)．所以MG＝NG＝4．所以PQ垂直平分MN．又因为P、Q两点关于x轴对称，所以MN垂直平分PQ．所以四边形PMQN是菱形．图3例2020年上海市宝山区初二下学期期末第25题如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，如果AD＝4，BC＝10，点E在线段AB上，将△BCE沿CE翻折，线段CB恰好和线段CD重合．（1）求梯形ABCD的高以及点E与点B之间的距离；（2）如图2，EF⊥CE交CD的延长线于点F，过点F作FG⊥BA于点G，求梯形ADFG 的中位线的长度；（3）动点M在线段CE上，当△DEM为等腰三角形时，求线段CM的长．图1 图2动感体验打开几何画板文件名“20宝山25”，可以体验到，△BCE与△DCE全等，△GEF与△DEF 全等．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，拖动点M在EC上运动，可以体验到，△DEM 的三个顶点各有一次机会落在对边的垂直平分线上．满分解答（1）如图3，过点D作DH⊥BC于H．在Rt△DHC中，DC＝BC＝10，CH＝BC－AD＝10－4＝6，所以DH＝8．如图4，在Rt△AED中，AD＝4，设AE＝x，那么ED＝EB＝AB－AE＝8－x．由勾股定理，得AE2＋AD2＝ED2．所以x2＋42＝(8－x)2．解得x＝3．所以EB＝8－x＝5．图3 图4（2）如图5，因为EF⊥CE，所以∠2＋∠3＝90°．所以∠1＋∠4＝90°．又因为∠1＝∠2，根据等角的余角相等，得∠3＝∠4．又因为∠FGE＝∠FDE＝90°，EF＝EF，所以△GEF≌△DEF．所以EG＝ED＝5．所以GA＝GE－AE＝5－3＝2．如图6，过点F作FN⊥BC于N．在Rt△FNC中，FN＝GA＋AB＝2＋8＝10，设FD＝FG＝m，那么FC＝FD＋DC＝m＋10，NC＝BC－FG＝10－m．由勾股定理，得FN2＋NC2＝FC2．所以102＋(10－m)2＝(10＋m)2．解得m＝52．所以梯形ADFG的中位线＝1()2FG AD+＝15(4)22⨯+＝134．图5 图6（3）如图7，在Rt△BCE中，BE＝5，BC＝10，所以CE＝55．分三种情况讨论等腰三角形DEM．①如图7，当EM＝ED＝5时，CM＝CE－EM＝555．②如图8，当MD＝ME时，可证得DM是Rt△DEC斜边上的中线．所以CM＝EM＝12CE＝55．③如图9，当DE＝DM时，可证得DN//AN，CM是Rt△MNC的斜边．在Rt△MNC中，MN＝DN－DM＝8－5＝3，NC＝BC－AD＝10－4＝6，所以CM＝35．图7 图8 图9上面第②、③两种情况的解题过程如下：如图8，当MD＝ME时，∠MDE＝∠MED．根据等角的余角相等，得∠MDC＝∠MCD．所以DM＝CM．所以CM＝EM＝12CE55．如图9，当DE＝DM时，∠2＝∠5．又因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠5．所以DM//AB．所以∠MNC＝∠B＝90°．在Rt△MNC中，MN＝DN－DM＝8－5＝3，NC＝BC－AD＝10－4＝6，所以CM＝35例2020年上海市崇明区初二下学期期末第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知点A(2, 0)、B(0, 4)，点C为线段AB的中点，点D为x轴上的动点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）当直线CD与直线AB互相垂直时，求点D的坐标；（3）以A、C、D三点为顶点的三角形能否成为等腰三角形？若能，请直接写出D点的坐标；若不能，请说明理由．图1动感体验打开几何画板文件名“20崇明24”，拖动点D在x轴上运动，可以体验到，△ACD的顶点C、D各有一次机会落在对边的垂直平分线上，顶点A有两次机会落在对边的垂直平分线上．满分解答（1）设直线AB的函数表达式为y＝kx＋4（k≠0）．将A(2, 0)代入，得2k＋4＝0．解得k＝－2．所以直线AB的函数表达式为y＝－2x＋4．（2）如图2，因为CD垂直平分AB，所以DA＝DB．设点D(x, 0)，根据DA2＝DB2列方程，得(x－2)2＝x2＋42．解得x＝－3．所以D(－3, 0)．（3）如图3，在Rt△AOB中，OA＝2，OB＝4，所以AB＝25．图2因为点C为线段AB的中点，所以AC＝5，C(1, 2)．分三种情况讨论等腰三角形ACD．①如图3，当AD＝AC＝5时，点D坐标为(2＋5, 0)或(2－5, 0)．②如图4，当DA＝DC时，根据DA2＝DC2列方程，得(x－2)2＝(x－1)2＋22．解得x＝12-，所以D(12-, 0)．③如图5，当CA＝CD时，点C在AD的垂直平分线上，所以D(0, 0)，此时点D与点O重合．图3 图4 图5例2020年上海崇明区初二下学期期末第25题如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P为边AD上一动点，把△ABP沿BP翻折后得到△EBP．（1）当点E恰好落在矩形对角线BD上时，求线段AP的长；（2）当直线PE与边BC相交于点F时，△FBP是否一定是等腰三角形？请给出你的结论，并证明你的结论；（3）当直线PE与边BC相交于点F，且点E在线段PF上时，设AP＝x，BF＝y，求y 关于x的函数解析式，并写出函数定义域．图1 备用图动感体验打开几何画板文件名“20崇明25”，拖动点P在AD上运动，观察左图，可以体验到，当点E落在矩形对角线BD上时，△DPE是直角三角形．观察中间图，可以体验到，△FBP 始终保持等腰三角形的形状不变．观察右图，可以体验到，当点E、F两点重合时，四边形ABFP是正方形．满分解答（1）如图2，在Rt△ABD中，AB＝6，AD＝8，所以BD＝10．在Rt△DPE中，DE＝BD－BE＝10－6＝4，设AP＝EP＝x，那么PD＝8－x．由勾股定理，得EP2＋DE2＝PD2．所以x2＋42＝(8－x)2．解得x＝3．所以AP＝3．（2）△FBP一定是等腰三角形．理由如下：如图3，因为AD//BC，所以∠1＝∠3．又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠3．所以PF＝BF，△FBP是等腰三角形．（3）如图4，在Rt△BEF中，BE＝AE＝6，BF＝y，EF＝PF－PE＝y－x，由勾股定理，得BE2＋EF2＝BF2．所以62＋(y－x)2＝y2．整理，得y＝2362+xx．定义域是827-≤x≤6．当F、C两点重合，y＝8，解得x＝827-；当E、F两点重合时，x＝6．图2 图3 图4例2020年上海市奉贤区初二下学期期末第25题如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－3x＋15交x轴于点A，交y轴于点B，点C在直线AB上，点D与点C关于原点对称，联结AD，过点C作CE∥AD交x轴于点E．（1）求点A、B坐标；（2）当点C的横坐标为2时，求点E坐标；（3）过点B作BF∥AD交直线DE于点F，如果四边形ABFD是矩形，求点C的坐标．图1动感体验打开几何画板文件名“20奉贤25”，拖动点C在直线AB上运动，可以体验到，四边形ACED和四边形ABFD始终保持平行四边形的形状不变，矩形ABFD只存在一种情况，此时△ACD是直角三角形．满分解答（1）由y＝－3x＋15，当x＝0时，y＝15；当y＝0时，x＝5．所以A(5, 0)，B(0, 15)．（2）如图2，因为点D与点C关于原点对称，所以OC＝OD．因为CE∥AD，所以∠OCE＝∠ODA．又因为∠COE＝∠DOA，所以△COE≌△DOA．所以OE＝OA＝5．所以E(－5, 0)．也就是说，不论点C在直线AB上什么位置，点E 的位置都是确定的．（3）如图2，因为OC＝OD，OE＝OA，所以四边形ACED是平行四边形．所以AC//ED．如图3，又因为BF∥AD，所以四边形ABFD是平行四边形．如果四边形ABFD是矩形，那么∠CAD＝90°．所以AO是Rt△ACD斜边上的中线，所以OA＝OC＝OD＝5．设C(m,－3m＋15)，那么OC2＝m2＋(－3m＋15)2＝52．整理，得m2－9m＋20＝0．解得m1＝4，或m2＝5（此时点C与点A重合，舍去）．所以点C的坐标为(4, 3)．图2 图3例2020年上海市奉贤区初二下学期期末第26题如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝4，DC＝5，过点C作CE∥BD 交AD延长线于点E，联结BE交CD于点F．（1）当AB＝AD时，求BC的长；（2）设BC＝x，四边形BCED的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△BDF为直角三角形时，求BC的长．图1动感体验打开几何画板文件名“20奉贤26”，拖动点C运动，可以体验到，点C的运动轨迹是以点D为圆心，半径为5的圆，四边形BCED始终保持平行四边形的形状不变．点击按钮“∠DFB＝90°”，可以体验到，四边形BCED是菱形．点击按钮“∠BDF＝90°”，可以体验到，△BDC 是直角三角形．满分解答（1）如图2，作DH⊥BC于H，得到矩形ABHC和直角三角形DHC．在Rt△DHC中，DH＝AB＝AD＝4，DC＝5，所以HC＝3．所以BC＝BH＋HC＝AD＋HC＝4＋3＝7．（2）如图2，在Rt△DHC中，DC＝5，HC＝BC－BH＝x－4．由勾股定理，得DH2＝DC2－HC2＝52－(x－4)2．整理，得DH＝289-++x x．如图3，因为AE∥BC，CE∥BD，所以四边形BCED是平行四边形．所以y＝S四边形BCED＝BC∙DH＝289-++x x x．定义域是0＜x＜9．当点C落在AD的延长线上时，A、B两点重合，此时x＝BC＝AD＋DC＝4＋5＝9．图2 图3（3）分两种情况讨论直角三角形BDF．①如图4，当∠BFD＝90°时，BE垂直DC．所以四边形BCED是菱形．所以BD＝BC＝x．在Rt△DBH中，DH2＝DB2－BH2＝x2－42．在Rt△DCH中，DH2＝DC2－CH2＝52－(x－4)2．所以x2－42＝52－(x－4)2．整理，得2x2－8x－25＝0．解得1466+=x，或2466-=x（舍去）．所以BC 466+．②如图5，当∠BDC＝90°时，△BDC也是直角三角形．在Rt△DBH中，DB2＝DH2＋BH2＝52－(x－4)2＋42．在Rt△BDC中，由勾股定理，得BC2＝DB2＋DC2．所以x2＝52－(x－4)2＋42＋52．整理，得x2－4x－25＝0．解得1229 =+x，或2229 =-x（舍去）．所以BC＝229+．图4 图5例2020年上海市虹口区初二下学期期末第24题如图1，一次函数y＝2x＋4的图像与x、y轴分别相交于点A、B，以AB为边作正方形ABCD，点C、D在直线AB的下方．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求直线CD的表达式；（3）设直线CD与x轴交于点E，点F为直角坐标平面xOy内一点，当四边形AECF 为等腰梯形时，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．图1动感体验打开几何画板文件名“20虹口24”，可以体验到，四个直角三角形都全等，正方形ABCD 的外接矩形MNPQ也是正方形．点击屏幕左下方的按钮“第（3）题”，可以体验到，以A、E、C、F为顶点的四边形为等腰梯形存在三种情况．满分解答（1）由y＝2x＋4，得A(－2, 0)，B(0, 4)．如图2，构造正方形ABCD的外接正方形MNPQ．因为∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3．又因为∠M＝∠N＝90°，AB＝BC，所以△ABM≌△BCN．所以CN＝BM＝OA＝2，BN＝AM＝OB＝4．所以C(4, 2)．（2）因为CD//AB，设直线CD的表达式为y＝2x＋b．代入点C(4, 2)，得8＋b＝2．解得b＝－6．图2所以直线CD的表达式为y＝2x－6．（3）由y＝2x－6，得E(3, 0)．分两种情况讨论四边形AECF为等腰梯形．①如图3，当FC//AE时，设等腰梯形的对称轴与x轴交于点H，与FC交于点G．由A(－2, 0)、E(3, 0)，得对称轴GH为直线x＝12．所以点C(4, 2)关于直线x＝12的对称点F的坐标为(－3, 2)．②如图4，当AF//CE时，点F在直线AB上．设F(m, 2m＋4 )．根据FC2＝AE2列方程，得(m－4)2＋(2m＋4－2)2＝52．解得m1＝1，或m2＝－1（此时四边形AECF为平行四边形，舍去）．所以F(1, 6)．图3 图4 图5拓展延伸第（3）题，问题若改为以A、E、C、F为顶点的四边形为等腰梯形，则还有一种情况．如图5，EF//AC．由A(－2, 0)、C(4, 2)，得直线AC的表达式为1233=+y x．设直线EF的解析式为13=+y x b，代入E(3, 0)，得1＋b＝0．解得b＝－1．所以直线EF的解析式为113=-y x．设F(n,113-n)．根据AF2＝CE2列方程，得(n＋2)2＋(113-n)2＝12＋22．整理，得2101093+=n n．解得n1＝0，或n2＝－3（此时四边形AECF为平行四边形，舍去）．所以F(0,－1)．例2020年上海市虹口区初二下学期期末第25题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，点D是射线CB上一点（点D与点C不重合），以AD为边作等边△ADE，且点E与点C在直线AD的异侧，过点E作EF⊥AB于点F．（1）求证：△ACD≌△AFE；（2）联结BE，设CD＝x，BE＝y，当点D在线段CB上时，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△ADB为等腰三角形时，求△ADB的面积．图1 备用图动感体验打开几何画板文件名“20虹口25”，拖动点D在CB上运动，可以体验到，△ACD与△AFE 始终保持全等．点击屏幕左下方按钮“第（3）题”，拖动点D在射线CB上运动，可以体验到，△ADB是等腰三角形存在两种情况．满分解答（1）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，所以AC＝2，∠BAC＝60°．因为△ADE是等边三角形，所以AD＝AE，∠DAE＝60°．所以∠BAC＝∠DAE．所以∠BAC－∠DAF＝∠DAE－∠DAF，即∠1＝∠2．又因为EF⊥AB，所以∠AFE＝∠C＝90°．所以△ACD≌△AFE（AAS）．图2（2）如图2，由△ACD≌△AFE，得AF＝AC＝2，FE＝CD＝x．所以FB＝AB－AF＝4－2＝2．在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2＝FE2＋FB2．所以y2＝x2＋22．整理，得24y x．=+定义域是0＜x≤23．（3）分两种情况讨论等腰三角形ADB．①如图3，当点D在线段CB上时，∠ADB是钝角，只存在DA＝DB的情况，所以∠3＝∠B＝30°．因此∠1＝30°．在Rt△ACD中，AC＝2，设CD＝m，那么AD＝2m．由勾股定理，得m2＋22＝(2m)2．解得m＝23±（舍去负值）．所以BD＝CB－CD＝2323-＝43．此时S△ADB＝12⋅BD AC＝43．②如图4，当点D在线段CB的延长线上时，∠ABD是钝角，只存在BA＝BD＝4的情况．此时S△ADB＝12⋅BD AC＝4．图3 图4。
中考数学专题：反比例函数与三角形(难题)(题目含详细答案)
《反比例函数—三角形》难度题【典型例题1】如图，已知点A 是双曲线y =x4在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线xky =（k ＜0）上运动，则k 的值是 ﹣12 ．【类型训练1】（2016眉山）如图，已知点A 是双曲线6y x=在第三象限分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边三角形ABC ，点C 在第四象限内，且随着点A 的运动，点C 的位置也在不断变化，但点C 始终在双曲线ky x=上运动，则k 的值是 。
解：∵双曲线6y =∴点A 与点B 关于原点对称．∴OA ＝OB ．连接OC ，如图所示．∵△ABC 是等边三角形，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ．∠BAC ＝60°．∴3OCtan OAC OA∠==．∴，3OC OA =，过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F ，∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ，∴∠AEO ＝∠OFC ，∠AOE ＝90°－∠FOC ＝∠OCF ．∴△OFC ∽△AEO ．相似比3OCOA=，∴面积比3OFC AEOS S = ．∵点A 在第一象限，设点A 坐标为 （a ，b ），∵点A 在双曲线6y x =上，∴S △AEO ＝12ab ＝62，∴S △OFC ＝12FC OF ⋅= 362．∴设点C 坐标为（x ，y ），∵点C 在双曲线ky x =上，∴k ＝xy ∵点C 在第四象限，∴FC ＝x ，OF ＝－y ．∴FC•OF ＝x•（－y ）＝－xy ＝－36 6．∴xy ＝－36．．故答案为：－36．【类型训练2】如图，已知点A 是双曲线xy 4=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线xky =（k ＜0）上运动，则k 的值是 ﹣4 ．【解答】解：连接OC ，过点A 作AE ⊥y 轴于点E ，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，如图所示．∵线段AB 过原点O ，且反比例函数图象关于原点对称，∴点O 为线段AB 的中点． ∵△ACB 为等腰直角三角形，∴OC ⊥AB ，OC=OA ．∵∠AOE+∠AOF=90°，∠COF+∠AOF=90°，∴∠AOE=∠COF ．在△AOE 和△COF 中，有，∴△AOE ≌△COF ，∴S △AOE =S △COF ．∵点A 在反比例函数x y 4=的图象上，点C 在反比例函数xky =的图象上， ∴有×4=|k|，解得：k =±4．∴点C 在第四象限，∴k =﹣4．【典型例题2】如图，等腰直角三角形OAB 和BCD 的底边OB 、BD 都在x 轴上，直角顶点A 、C 都在反比例函数y ＝kx图象上，若D （－8，0），则k ＝___8-_______．【方法】利用特殊形的角度、长度与坐标的关系，巧设坐标，联立方程求值 A （－a , a ），C （－4－a , 4－a ） 82-=-=a k【类型题训练2】如图，等边三角形OAB 和BCD 的底边OB 、BD 都在x 轴上，直角顶点A 、C 都在反比例函数y ＝kx图象上，若D （－12，0），则k ＝__________．【典型例题3】如图，Rt △AOB 中，O 为坐标原点，∠AOB ＝90°，∠B ＝30°，如果点A 在反比例函数xy 1=（x ＞0）的图象上运动，那么点B 在函数xy 3-=（填函数解析式）的图象上运动．x【方法】A 、B 两点分别向y 轴作垂线段，利用相似直角三角形的比例关系，用A 点坐标表示B 点坐标 设A )1,(00x x , B (x ，y )，得：B )3,3(00x x -【类型题练习3A 】如图，Rt △ABO 中，∠AOB =90°，点A 在第一象限、点B 在第四象限，且AO ：BO =1：2，若点A ),(00y x 的坐标0x 、0y 满足001x y =，则点B （x ，y ）的坐标x ，y 所满足的关系式为 xy 2-=【类型题练习3B 】已知点A ，B 分别在反比例函数x y 2=（x ＞0），xy 8-=（x ＞0）的图象上且OA ⊥OB ，则tanB 为21AOBxyAOBxy【解】相似比【典型例题4】如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 9【解】∵点D 为△OAB 斜边OA 的中点，且点A 的坐标（﹣6，4）， ∴点D 的坐标为（﹣3，2）， 把（﹣3，2）代入双曲线)0(<=k xky ，可得k =﹣6，即双曲线解析式为x y 6-=，∵AB ⊥OB ，且点A 的坐标（﹣6，4）， ∴C 点的横坐标为﹣6，代入解析式xy 6-=，y=1， 即点C 坐标为（﹣6，1），∴AC=3，又∵OB=6，∴S △AOC =×AC×OB = 9． 故答案为：9．【类型题训练4A 】如图，已知双曲线)0(＞k xky =经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝_____2_____A BOxy DCABOx y DC【方法】设D ),(a k a ， 则B )2,2(a k a , C )2,2(ak a【类型题训练4B 】（2014•孝感）如图，Rt △AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线x ky(x >0)经过斜边OA 的中点C ，与另一直角边交于点D ．若S △OCD =9，则S △OBD 的值为 6 ．【类型题训练4C 】如图，等腰直角三角形ABC 顶点A ，C 在x 轴上，∠BCA =90°，AC =BC =22，反比例函数y =x3（x ＞0）的图象分别与AB ，BC 交于点D ，E ．当△BDE ∽△BCA 时，点E 的坐标为 )2,223(【方法】设坐标；联立方程【类型题训练4D 】（2014•浙江湖州）如图，已知在Rt △OAC 中，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数xky =（k ≠0）在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，连接OD ．若△OCD ∽△ACO ，则直线OA 的解析式为解：设OC =a ，∵点D 在xky =上，∴CD =， ∵△OCD ∽△ACO ，∴=，∴AC ==，∴点A （a ，），∵点B 是OA 的中点，∴点B 的坐标为（，），∵点B 在反比例函数图象上，∴=，解得，a 2=2k ，∴点B 的坐标为（，a ），设直线OA 的解析式为y =mx ，则m •=a ，解得m =2，所以，直线OA 的解析式为y =2x ． 故答案为：y =2x【类型题训练4E 】如图，Rt △AOC 的直角边OC 在x 轴上，∠ACO=90o ，反比例函数xky =经过另一条直角边AC 的中点D ，3=∆AOC S ，则k = 3【典型例题5】如图，A 、B 是双曲线)0(>=k xky 上的点， A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC = 6．则k= 4【方法】向坐标轴作垂线段，将坐标与长度、角度建立等量关系 C(3a , 0)【类型题训练5A 】（2014•重庆）如图，反比例函数xy 6-=在第二象限的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别为﹣1，﹣3，直线AB 与x 轴交于点C ，则△AOC 的面积为（ ）A ．8B ．10C ．12D ．24【类型题训练5B 】yxOBCA如图，点A 、B 在反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图像上，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，延长线段AB 交x 轴于点C ，若OM MN NC ==,AOC ∆的面积为6，则k 的值为 4.【类型题训练5C 】如图，点A 、B 在反比例函数y ＝ kx的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 、2a （a ＜0），若S △AOB＝3，则k 的值为____－4____．【方法】等面积法设A(a , 2b ), B(2a, b ) 梯形AFEB 面积为3 4-=∴k】如图，若双曲线y =kx与边长为5的等边△AOB 的边OA ，AB 分别相交于C ，D 两点，且OC =3BD ，则实数k 的值为 ．OABxyO AB xyEF 934【典型例题6】已知点A 是双曲线y ＝4x上一动点，且OA ＝4，OA 的垂直平分线交x 轴于点B ，过A 作AC ⊥x轴于点C ，则△ABC 的周长为________62________，∠ABC ＝____︒30_____【方法】设而不求，求比例；勾股定理；AB = 21AC【类型题训练6A 】如图，点A 在双曲线6y x=上，且OA ＝4，过A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，则△ABC 的周长为_______7OCA BxyM【变式训练1】如图，点P 1（x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2），…，点P n （x n ，y n ）在函数xy 1=（x ＞0）的图象上，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n ﹣1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1、A 1A 2、A 2A 3，…，A n ﹣1A n 都在x 轴上（n 是大于或等于2的正整数），则点P 3的坐标是)23,23(-+ ；点P n 的坐标是 )1,1(---+n n n n （用含n 的式子表示）．【变式训练2】如图，点P 是反比例函数y ＝x34 （x ＞0）图象上的动点， 在y 轴上取点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形是一个含有30°的直角三角形，则符合条件的点Q 的坐标是 (0,2), (0,8),(0,23),(0,338) ． OC A B x yM【变式训练3】如图，点A （m ，6），B （n ，1）在反比例函数图象上，AD ⊥x 轴于点D ，BC ⊥x 轴于点C ，DC =5．线段DC 上有一点E ，当△ABE 的面积等于5时，点E 的坐标为 （5，0） ．【解】由题意得：，解得：，∴A （1，6），B （6，1），设反比例函数解析式为xk y ，将A （1，6）代入得：k =6，则反比例解析式为y =； 设E （x ，0），则DE =x ﹣1，CE =6﹣x ，∵AD ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，∴∠ADE =∠BCE =90°，连接AE ，BE ，则S △ABE =S 四边形ABCD ﹣S △ADE ﹣S △BCE=（BC +AD ）•DC ﹣DE •AD ﹣CE •BC =×（1+6）×5﹣（x ﹣1）×6﹣（6﹣x ）×1【变式训练4】如图，以原点O 为顶点的等腰直角三角形ABO 中，∠BAO ＝90°，反比例函数k y x = 过A 、B 两点，若点A 的横坐标为2，则k ＝ 252- ．【变式训练5】（2015•眉山）如图，A 、B 是双曲线xk y =上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为【变式训练6】如图，已知点A 在反比例函数)0(<=x xk y 上，作RT ⊿ABC ，点D 为斜边AC 的中点，连DB 并延长交y 轴于点E ，若⊿BCE 的面积为8，则k = 16【解】由题意，12BCE S BC OE =＝8【变式训练7】 （2010•长春）如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，∠ABO=90°，点A 的坐标为（1，2），将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应点C 恰好落在双曲线xk y =（x ＞0）上，则k 的值为 3解答：解：易得OB=1，AB=2，∴AD=2，∴点D 的坐标为（3，2），∴点C 的坐标为（3，1），∴k =3×1=3．【变式训练8】如图，△AOB 和△ACD 均为正三角形，顶点B 、D 在双曲线x y 4=（x ＞0）上，则S △OBP = 4 ．【解】过A 作AF ⊥OB ，作P 作PG ⊥OB ，∵△OAB 与△ADC 都为等边三角形，∴∠BOA=∠DAC=60°，∴AD ∥OB ，∴AF=PG （平行线间的距离处处相等），∵OB 为△OBA 和△OBP 的底，∴OBAF=OBPG ，即S △OBP =S △OAB （同底等高的三角形 面积相等），过B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，可得S △OBE =S △ABE =S △OBA ，∵顶点B 在双曲线y=（x ＞0）上，即k=4，∴S △OBE ===2，则S △OBP =S △OBA =2S △OBE =4，故答案为：4【变式训练9】如图，点A 是反比例函数xk y =的图象上的一点，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ．点C 为y 轴上的一点，连接AC ，BC ．若△ABC 的面积为3，则k 的值是 ﹣6【解】连结OA ，如图，∵AB ⊥x 轴，∴OC ∥AB ，∴S △OAB =S △C AB =3， 而S △OAB =|k|，∴|k|=3，∵k ＜0，∴k=﹣6．【变式训练10】 如图在反比例函数x y x y 32=-=和的图象上分别有A 、B 两点，若AB ∥x 轴且OA ⊥OB,则=OB OA 36 ．【变式训练11】如图，A 、B 是函数xy 2=的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴， △ABC 的面积记为S ，则S= ( )．(A)S ＝2(B)S ＝4 (C)2＜S ＜4 (D)S ＞4【变式训练12】如图，等腰直角△POA 的直角顶点P 在反比例函数xy 4=)0(>x 的图象上，A 点在x 轴正半轴上，则A 点坐标为 ． 第15题O B A y x【变式训练13】如图，已知点A ，B 在双曲线)0(>=x xk y 上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 交于点P ，P 是AC 的中点，若△ABP 的面积为3，则k 的值为 ．【变式训练14】如图，过点C （1,2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y=－x +6于A 、B 两点，若反比例函数k y x=（x ＞0）的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．2≤k ≤9 B. 2≤k ≤8 C. 2≤k ≤5 D. 5≤k ≤8答案：A【变式训练15】如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线x y 23=与双曲线xy 6=相交于A ，B 两点，C 是第一象限内双曲线上一点，连接CA 并延长交y 轴于点P ，连接BP ，BC ．若△PBC 的面积是24，则点C 的坐标为 （6，1）．【解答】设BC 交y 轴于D ，如图，设C 点坐标为（a ，） 解方程组得或，∴A 点坐标为（2，3），B 点坐标为（﹣2，﹣3），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，把B （﹣2，﹣3）、C （a ，）代入得，解得，∴直线BC 的解析式为y=x+﹣3，当x=0时，y=x+﹣3=﹣3，∴D 点坐标为（0，﹣3）设直线AC 的解析式为y=mx+n ，把A （2，3）、C （a ，）代入得，解得，∴直线AC 的解析式为y=﹣x++3，当x=0时，y=﹣x++3=+3，∴P 点坐标为（0， +3）∴PD=（+3）﹣（﹣3）=6，∵S △PBC =S △PBD +S △CPD ，∴×2×6+×a×6=24，解得a=6，∴C 点坐标为（6，1）．【变式训练16】 如图，在平面直角坐标系中，双曲线3y x =（x >0）上的一点C 过等边三角形OAB 三条高 的交点，则点B 的坐标为____________．答案： (3，3)【变式训练17】如图，A 、B 是双曲线xk y =上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴，交OB 于D 点，垂足为C ．若△ADO 的面积为1，D 为OB 的中点，则k 的值为【变式训练18】（2012武汉）如图，点A 在双曲线y ＝x k 的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC ＝2AB ，点E 在线段AC 上，且AE ＝3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为___316_____． 【方法】等面积法，设A （a , 2b ）, 则C （2a ,0）4=∆ACD S ACD COD ABD ABCD S S S S ∆∆∆++=梯形【变式训练19】（2014山东济南）如图，OAC ∆和BAD ∆都是等腰直角三角形， 90=∠=∠ADB ACO ,反比例函数xk y =在第一象限的图象经过点B ，若1222=-AB OA ，则k 的值为________. 【变式训练20】（2013浙江省）如图，已知动点A 在函数4(0)y x x=>的图象上，AB x ⊥轴于点B ，AC y ⊥轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD=AB ，延长BA 至点E ，使AE=AC 。
专题66 反比例函数中的动点最值问题(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
例题精讲【例1】．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为________解：当x＝0时，y＝×0+4＝4，∴点B的坐标为（0，4）；当y＝0时，x+4＝0，解得：x＝﹣6，∴点A的坐标为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，∴点C的坐标为（﹣3，2），点D坐标为（0，2）．作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D交x轴于点P，此时PC+PD的值最小，如图所示．∵点C的坐标为（﹣3，2），∴点C′的坐标为（﹣3，﹣2）．设直线C′D的解析式为y＝kx+b（k≠0），将C′（﹣3，﹣2），D（0，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直线C′D的解析式为y＝x+2．当y＝0时，x+2＝0，解得：x＝﹣，∴点P的坐标为（﹣，0），即点P的坐标为（﹣1.5，0）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线y＝（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB 的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小解：设点P的坐标为（x，），∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，∴四边形OAPB是个直角梯形，∴四边形OAPB的面积＝（PB+AO）•BO＝（x+AO）•＝+＝+•，∵AO是定值，∴四边形OAPB的面积是个减函数，即点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．故选：C．【变1-2】．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点M在以C（2，0）为圆心，半径为1的⊙C上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为，则k的值是．解：方法一、联立，∴，∴，∴A（），B（），∴A与B关于原点O对称，∴O是线段AB的中点，∵N是线段AM的中点，连接BM，则ON∥BM，且ON＝，∵ON的最大值为，∴BM的最大值为3，∵M在⊙C上运动，∴当B，C，M三点共线时，BM最大，此时BC＝BM﹣CM＝2，∴（，∴k＝0或，∵k＞0，∴，方法二、设点B（a，2a），∵一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，∴A与B关于原点O对称，∴O是线段AB的中点，∵N是线段AM的中点，连接BM，则ON∥BM，且ON＝，∵ON的最大值为，∴BM的最大值为3，∵M在⊙C上运动，∴当B，C，M三点共线时，BM最大，此时BC＝BM﹣CM＝2，∴＝2，∴a1＝或a2＝0（不合题意舍去），∴点B（，），∴k＝，故答案为：．【例2】．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x 轴上，则PM+PN的最小值是2．解：∵正方形OABC 的边长是6，∴点M 的横坐标和点N 的纵坐标为6，∴M （6，），N （，6），∴BN ＝6﹣，BM ＝6﹣，∵△OMN 的面积为10，∴6×6﹣×6×﹣×6×﹣×（6﹣）2＝10，∴k ＝24，∴M （6，4），N （4，6），作M 关于x 轴的对称点M ′，连接NM ′交x 轴于P ，则NM ′的长＝PM +PN 的最小值，∵AM ＝AM ′＝4，∴BM ′＝10，BN ＝2，∴NM ′＝＝＝2，故答案为2．变式训练【变2-1】．已知在平面直角坐标系中有两点A （0，1），B （﹣1，0），动点P 在反比例函数y ＝的图象上运动，当线段PA 与线段PB 之差的绝对值最大时，点P 的坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1）．解：如图，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（0，1）、B（﹣1，0）代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+1，直线AB与双曲线y＝的交点即为所求点P，此时|PA﹣PB|＝AB，即线段PA与线段PB 之差的绝对值取得最大值，由可得或，∴点P的坐标为（1，2）或（﹣2，﹣1），故答案为：（1，2）或（﹣2，﹣1）．【变2-2】．如图，一次函数y1＝mx+n（m≠0）的图象与双曲线y2＝（k≠0）相交于A（﹣1，2）和B（2，b）两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D．（1）求双曲线的解析式；（2）经研究发现：在y轴负半轴上存在若干个点P，使得△CPB为等腰三角形．请直接写出P点所有可能的坐标．解：（1）∵点A（﹣1，2）在双曲线y2＝（k≠0）上，∴k＝﹣1×2＝﹣2，∴反比例函数解析式为y2＝﹣，（2）∵点B在双曲线y2＝﹣上，∴2b＝﹣2，∴b＝﹣1，∴B（2，﹣1），将点A（﹣1，2），B（2，1）代入一次函数y1＝mx+n（m≠0）中，得，∴，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1；令x＝0，则y＝1，∴C（0，1），设P（0，p）（p＜0），∵B（2，﹣1），∴BC＝＝2，BP＝，CP＝1﹣p，∵△CPB为等腰三角形，∴①当BC＝BP时，2＝，∴p＝1（舍）或p＝﹣3，∴P（0，﹣3），②当BC＝CP时，2＝1﹣p，∴p＝1﹣2，∴P（0，1﹣2），③当BP＝CP时，＝1﹣p，∴p＝﹣1，∴P（0，﹣1），故满足条件的点P的坐标为（0，﹣3）或（0，1﹣2）或（0，﹣1）．1．如图，点N是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，过点N作MN∥x轴，交直线y＝﹣2x+4于点M，则△OMN面积的最小值是（）A．1B．2C．3D．4解：设点N的坐标为（，m），则点M的坐标为（2﹣m，m）（m＞0），∴MN＝﹣（2﹣m）＝m+﹣2，＝MN•m＝m2﹣m+3＝（m﹣2）2+2，∴S△OMN∴当m＝2时，△OMN面积最小，最小值为2．故选：B．2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，动点P、Q分别在直线BC上运动，且始终保持∠PAQ＝99°．设BP＝x，CQ＝y，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为（）A．B．C．D．解：∵AB＝AC＝a，∠BAC＝18°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣18°）＝81°，∴∠ABC＝∠APB+∠PAB＝81°，∵∠PAQ＝99°，∠BAC＝18°，∴∠PAB+∠QAC＝99°﹣18°＝81°，∴∠APB＝∠QAC，同理可得∠PAB＝∠AQC，∴△APB∽△QAC，∴＝，即＝，整理得，y＝，∵x、y都是边的长度，是正数，∴y与x之间的函数关系用图象表示是反比例函数在第一象限内的部分，纵观各选项，只有A符合．故选：A．3．如图，已知A、B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作PM ⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（）A．B．C．D．解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S＝K，保持不变，故排除B、D；②点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为a，则S＝OC×CP＝OC×（l﹣at），因为l，OC，a均是常数，所以S与t成一次函数关系．故排除C．故选：A．4．已知点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为一边作等边△ABC．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但始终在一个函数的图象上运动，则这个函数的表达式为y＝﹣．解：设A（a，），∵点A与点B关于原点对称，∴OA＝OB，∵△ABC为等边三角形，∴AB⊥OC，OC＝AO，∵AO＝，∴CO＝，过点C作CD⊥x轴于点D，则可得∠AOD＝∠OCD（都是∠COD的余角），设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD＝tan∠OCD，即＝，解得：y＝﹣a2x，在Rt△COD中，CD2+OD2＝OC2，即y2+x2＝3a2+，将y＝﹣a2x代入，（a4+1）x2＝3×可得：x2＝，故x＝，y＝﹣a2x＝﹣a，则xy＝﹣3，故可得：y＝﹣（x＞0）．故答案为：y＝﹣（x＞0）．5．如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝x﹣2于点Q，连接OP，OQ．当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是3．解：∵PQ⊥x轴，∴设P（x，），则Q（x，x﹣2），∴PQ＝﹣x+2，＝（﹣+2）•x＝﹣（x﹣2）2+3，∴S△POQ∵﹣＜0，∴△POQ面积有最大值，最大值是3，故答案为3．6．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象经过点C．已知点P是反比例函数y＝（k≠0，x＞0）图象上的一个动点，则点P到直线AB距离最短时的坐标为（，）．解：（1）设直线AB的解析式为y＝ax+b，将点A（1，0），点B（0，2）代入得，解得，∴直线AB为y＝﹣2x+2；∵过点C作CD⊥x轴，∵线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，∴△ABO≌△CAD（AAS），∴AD＝OB＝2，CD＝OA＝1，∴C（3，1），∴k＝3，∴y＝；设与AB平行的直线y＝﹣2x+h，联立﹣2x+h＝，∴﹣2x2+hx﹣3＝0，当△＝h2﹣24＝0时，h＝2或﹣2（舍弃），此时点P到直线AB距离最短，解方程﹣2x2+2x﹣3＝0得x＝＝，∴P（，），故答案为P（，）．7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是（用含k的代数式表示）．解：如图，因为反比例函数关于直线y＝x对称，观察图象可知：当线段AB与直线y＝x 垂直时，垂足为M，此时AM＝BM，OM的值最小，∵M为线段AB的中点，∴OA＝OB，∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴点A与点B关于直线y＝x对称，∵AB＝4，∴可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），∴（m+4）（﹣4）＝k，整理得k＝m2+4m，∴A（m，m+4），B（m+4，m），∴M（m+2，m+2），∴OM＝＝＝，∴OM的最小值为．故答案为．8．如图，点A是反比例函数y＝在第一象限的图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B．连接AO，以点A为圆心，分别以AB，AO为半径作直角扇形BAC和OAD，并连接CD，则阴影部分面积的最小值是2π+2．解：如图，过点D作DE垂直于CA的延长线于点E，则∠AED＝90°，由题意可知，AB＝AC，AO＝AD，∠BAC＝∠DAO＝90°，∵AB⊥y轴，∴∠ABO＝90°，∴∠BAO+∠OAE＝90°，∠DAE+∠OAE＝90°，∴∠BAO＝∠DAE，∴△BAO≌△EAD（AAS），∴DE＝OB．∵点A是反比例函数y＝在第一象限的图象上的一点，∴OB•AB＝4，∴S△AOB＝OB•AB＝2，∴S△ACD＝AC•DE＝OB•AB＝2，∴S阴影＝S△ACD+S扇形OAD＝2+＝2+∵（AB﹣OB）2≥0，∴AB2﹣2AB•OB+OB2≥0，∴AB2+OB2≥2AB•OB，∴S阴影≥2+×2AB•OB＝2+2π．故答案为：2+2π．9．如图，点A是反比例函数y＝（k＞0）图象第一象限上一点，过点A作AB⊥x轴于B 点，以AB为直径的圆恰好与y轴相切，交反比例函数图象于点C，在AB的左侧半圆上有一动点D，连接CD交AB于点E．记△BDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，连接BC，△ACB是等腰直角三角形，则若S1﹣S2的值最大为1，则k的值为4+4．解：如图连接BC、O′C，作CH⊥x轴于H．由题意⊙O′与反比例函数图象均关于直线y＝x对称，∴点A、C关于直线y＝x对称，设A（m，2m）则C（2m，m），∴BO′＝CH＝m，BO′∥CH，∴四边形BHCO′是平行四边形，∵BH＝CH，∠BHC＝90°，∴四边形BHCO′是正方形．∴∠ABC＝45°，∴△ACB是等腰直角三角形，∵S1﹣S2＝S△DBC﹣S△ACB，△ABC的面积是定值，∴△DBC的面积最大时，S1﹣S2的值最大，∴当DO′⊥BC时，△DBC的面积最大，∴m•（m+m）﹣•2m•m＝1，∴m2＝2（+1），∵k＝2m2，∴k＝4+4，故答案为：等腰直角三角形，4+4．10．如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，P为x轴上一点，求使PA+PB的值最小时点P的坐标．解：（1）设A点的坐标为（a，b），则由，得ab＝2＝k，∴反比例函数的解析式为；（2）由条件知：两函数的交点为，解得：，，∴A点坐标为：（2，1），作出A点关于x轴对称点C点，连接BC，P点即是所求则点C（2，﹣1），∵B（1，2），设直线BC的解析式为：y＝kx b，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣3x+5，当y＝0时，x＝，∴点P（，0）．11．如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，若△ABC面积为2．（1）求k的值（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积＝2÷2＝1，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2．故这个反比例函数的解析式为y＝；（2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．将y＝2x与y＝联立成方程组得：，解得：，，∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形∴∠ADB＝90°，如图3，∵O为线段AB的中点，∴OD＝AB＝OA，∵A（1，2），∴OC＝1，AC＝2，由勾股定理得：OA＝＝，∴OD＝，∴D（，0）．根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（﹣，0）．故x轴上存在一点D，使△ABD以AB为斜边的直角三角形，点D的坐标为（，0）或（﹣，0）．12．如图，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（1，a），B两点．（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）在x轴上找一点C，使|CA﹣CB|的值最大，求满足条件的点C的坐标及△ABC的面积．解：（1）∵直线y＝x+2经过点A（1，a），∴a＝3，∵反比例函数y＝经过A（1，3），∴k＝3，∴y＝，由，解得或，∴B（﹣3，﹣1）．（2）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，延长AB′交x轴于点C，点C即为所求；∵A（1，3），B′（﹣3，1），∴直线AB′的解析式为y＝x+，∴C（﹣5，0），＝S△CBB′+S△BB′A＝×2×2+×2×4＝6．∴S△ABC13．如图，一次函数y＝2x﹣3的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（﹣1，n），B 两点．（1）求反比例函数的解析式与点B的坐标；（2）连接AO、BO，求△AOB的面积；（3）点D是反比例函数图象上的一点，当∠BAD＝90°时，求点D的坐标．解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y＝2x﹣3的图象上，∴n＝﹣5，∴点A（﹣1，﹣5），∵点A（﹣1，﹣5）在反比例函数的图象上，∴k＝﹣1×（﹣5）＝5，∴；联立，解得：，，∴点；（2）设y＝2x﹣3与y轴的交点为点E，则点E（0，﹣3），∴OE＝3，＝S△AOE+S△BOE＝×3×1+×3×＝；∴S△AOB（3）设点，如图，分别过点D，B作y轴的平行线DM，BN，过点A作MN⊥DM于M，交BN于N，则MN⊥BN，∴∠M＝∠N＝90°，∴∠DAM+∠ADM＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAN+∠DAM＝90°，∴∠BAN＝∠ADM，∴△BAN∽△ADM，∴＝，即＝，解得：a1＝﹣10，a2＝﹣1（舍），∴．14．如图，直线y＝2x+3与y轴交于A点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0）．（1）求反比例函数的解析式；（2）点D（a，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PB+PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵BC⊥x轴于点C，且C点的坐标为（1，0），∴在直线y＝2x+3中，当x＝1时，y＝2+3＝5，∴点B的坐标为（1，5），又∵点B（1，5）在反比例函数y＝上，∴k＝1×5＝5，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）将点D（a，1）代入y＝，得：a＝5，∴点D坐标为（5，1）设点D（5，1）关于x轴的对称点为D′（5，﹣1），过点B（1，5）、点D′（5，﹣1）的直线解析式为：y＝kx+b，可得：，解得：，∴直线BD′的解析式为：y＝﹣x+，根据题意知，直线BD′与x轴的交点即为所求点P，当y＝0时，得：﹣x+＝0，解得：x＝，故点P的坐标为（，0）．15．如图，在矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC边交于点E．（1）当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．（2）设过（1）中的直线EF的解析式为y＝ax+b，直接写出不等式ax+b＜的解集．（3）当k为何值时，△AEF的面积最大，最大面积是多少？解：（1）∵四边形OABC为矩形，OA＝3，OC＝2，∴AB＝2，BC＝3，∵F为AB的中点，∴点F坐标为（3，1），∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝3×1＝3，∴反比例函数解析式为y＝，∵点E在BC上，∴E点纵坐标为2，在y＝中，令y＝2，可求x＝，∴E点坐标为（，2）；（2）不等式ax+b＜的解集即直线在反比例函数下方时对应的自变量的取值范围，由（1）可知点E、F两点的横坐标分别为、3，∴不等式ax+b＜的解集为：0＜x＜或x＞3；（3）由题意可知点E的纵坐标为为2，点F的横坐标为3，且E、F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴可设E（，2），F（3，），∴AF＝，CE＝，∴BE＝BC﹣CE＝3﹣，＝AF•BE＝••（3﹣）＝﹣k2+＝﹣（k﹣3）2+，∴S△AEF∵﹣＜0，是关于k的开口向下的抛物线，∴S△AEF有最大值，最大值为，∴当k＝3时，S△AEF即当k的值为3时，△AEF的面积最大，最大面积为．16．如图，直线OA：y＝x的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小．解：（1）设点A的坐标为（a，b），则，解得：k＝2．∴反比例函数的解析式为y＝．（2）联立直线OA和反比例函数解析式得：，解得：．∴点A的坐标为（2，1）．设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，﹣1），连接BC较x轴于点P，点P即为所求．如图所示．设直线BC的解析式为y＝mx+n，由题意可得：B点的坐标为（1，2），∴，解得：．∴BC的解析式为y＝﹣3x+5．当y＝0时，0＝﹣3x+5，解得：x＝．∴P点的坐标为（，0）．17．已知：如图，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点（A在B的右侧），点A横坐标为4．（1）求反比例函数解析式及点B的坐标；（2）观察图象，直接写出关于x的不等式﹣2x+10﹣＞0的解集；（3）反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把x＝4代入y＝﹣2x+10得y＝2，∴A（4，2），把A（4，2）代入y＝，得k＝4×2＝8．∴反比例函数的解析式为y＝，解方程组，得，或，∴点B的坐标为（1，8）；（2）观察图象得，关于x的不等式﹣2x+10﹣＞0的解集为：1＜x＜4或x＜0；（3）存在，理由：①若∠BAP＝90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y＝﹣2x+10，当y＝0时，﹣2x+10＝0，解得x＝5，∴点E（5，0），OE＝5．∵A（4，2），∴OH＝4，AH＝2，∴HE＝5﹣4＝1．∵AH⊥OE，∴∠AHM＝∠AHE＝90°．又∵∠BAP＝90°，∴∠AME+∠AEM＝90°，∠AME+∠MAH＝90°，∴∠MAH＝∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴，即，∴MH＝4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y＝mx，则有4m＝2，解得m＝，∴直线AP的解析式为y＝x，解方程组，得，，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．②若∠ABP＝90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16，﹣）．综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，﹣）．18．反比例函数（k为常数．且k≠0）的图象经过点A（1，3），B（3，m）．（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，①求满足条件的点P的坐标；②求△PAB的面积．解：（1）把A（1，3）代入y＝得，k＝3，∴反比例函数的关系式为：y＝；把B（3，m）代入y＝得，m＝1，∴点B的坐标为（3，1）；（2）①如图所示，作点B关于x轴的对称点B′，则B′（3，﹣1），连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB最小．设直线AB′的关系式为y＝kx+b，把A（1，3），B′（3，﹣1）代入得，，解得，，∴直线AB′的关系式为y＝﹣2x+5，当y＝0时，x＝，即：P（，0），也就是，OP＝，②S△P AB＝S梯形ABNM﹣S△AMP﹣S△BPN＝（1+3）×2﹣（﹣1）×3﹣（3﹣）×1＝．19．如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与反比例y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A （1，a），B两点．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）①在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；②在x轴上找一点M，使|MA﹣MB|的值为最大，直接写出M点的坐标．解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y＝﹣x+4，得a＝3，∴A（1，3），把点A（1，3）代入反比例y＝，得k＝3，∴反比例函数的表达式y＝，解得或，故B（3，1）．（2）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小∴D（3，﹣1）设直线AD的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣2x+5，令y＝0，则x＝，∴P点坐标为（，0）；（3）直线y＝﹣x+4与x轴的交点即为M点，此时|MA﹣MB|的值为最大，令y＝0，则x＝4，∴M点的坐标为（4，0）．20．如图，四边形ABCD是正方形，点A的坐标是（0，1），点B的坐标是（0，﹣2），反比例函数y＝的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点，两函数图象的另一个交点E的坐标是（m，3）．（1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式．（2）求出m的值，并根据图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P坐标．解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），∴AB＝1+2＝3，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝AB＝3，∴C（3，﹣2），把C（3，﹣2）代入y＝，得k＝3×（﹣2）＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝﹣；把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b，得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣x+1；（2）∵反比例函数y＝﹣的图象过点E（m，3），∴m＝﹣2，∴E点的坐标为（﹣2，3）；由图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数落在反比例函数图象上方，即当x＜﹣2或0＜x＜3时，一次函数的值大于反比例函数的值；（3）设P（t，﹣），∵△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，∴×1×|t|＝3×3，解得t＝18或t＝﹣18，∴P点坐标为（18，﹣）或（﹣18，）．21．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个动点，AC⊥x轴于点C；E是线段AC的中点，过点E作AC的垂线，与y轴和反比例函数的图象分别交于点B、D两点；连接AB、BC、CD、DA．设点A的横坐标为m．（1）求点D的坐标（用含有m的代数式表示）；（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；（3）当m为何值时，四边形ABCD是正方形？并求出此时AD所在直线的解析式．解：（1）∵点A的横坐标为m，∴点A的纵坐标为，∵E是AC的中点，AC⊥x轴，∴E（m，），∵BD⊥AC，AC⊥x轴，∴BD∥x轴，∴点B，E，D的纵坐标相等，为，∴点D的横坐标为2m，∴D（2m，）；（2）四边形ABCD是菱形，∵B（0，），E（m，），D（2m，），∴EB＝ED＝m，∵AE＝EC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BD⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形；（3）∵平行四边形ABCD是菱形，∴当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形，∴2m＝，∴m＝2，或m＝﹣2（舍），∴A（2，4），D（4，2），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴直线AD解析式为y＝﹣x+6，∴当m＝2时，四边形ABCD是正方形，此时直线AD解析式为y＝﹣x+6．22．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝交于点C、D，且点C坐标为（﹣2，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点M在y轴正半轴上，且与点B，C构成以BC为腰的等腰三角形，求点M的坐标．（3）点P在第二象限的反比例函数图象上，若tan∠OCP＝3，求点P的坐标．解：（1）∵点C（﹣2，m）在一次函数y＝﹣x+2的图象上，∴m＝﹣（﹣2）+2，解得：m＝4，∴C（﹣2，4），将C（﹣2，4）代入y＝，得k＝﹣8，∴反比例函数为y＝﹣；（2）如图1，过点C作CH⊥y轴于H，在直线y＝﹣x+2中，当x＝0时，则y＝2，∴B（0，2），由（1）知，C（﹣2，4），∴BC＝＝2，当BM＝BC＝2时，OM＝2+2，∴M（0，2+2），当BC＝MC时，点C在BM的垂直平分线，∴M（0，6），综上所述，点M的坐标为（0，2+2）或（0，6）（3）作OQ⊥PC于Q，过Q作HG⊥x轴于G，CH∥x轴，交HG于H，则△CHQ∽△QGO，∴，∵tan∠OCP＝3，∴，设CH＝x，则GQ＝3x，HQ＝4﹣3x，∴OG＝3HQ＝12﹣9x＝x+2，解得x＝1，∴Q（﹣3，3），∴直线CQ的解析式为y＝x+6，∴x+6＝﹣，解得x1＝﹣2，x2＝﹣4，∵点P与C不重合，∴P（﹣4，2）．。
反比例函数动点问题训练
反比例函数动点问题训练1.点B的坐标为（2，4），BA⊥x轴于点A，连接OB，将△OAB绕点A顺时针旋转90°，得到△DAE．（1）求经过OB中点C的反比例函数图象与线段DE的交点F的坐标．（2）点P是x轴上的一个动点，当△OBP为等腰三角形时，写出点P的坐标．2.如下图，一次函数y=−12x+b与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（2，6）和B（m，1）．（1）填空：一次函数的解析式为________，反比例函数的解析式为________；（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．第2页，共10页3. 如图，直线y =12x +2与x 轴交于点A ，与反比例函数y =kx （x ＞0）的图象交于点B ，BC⊥x 轴于C 点，且S △ABC =9． （1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 是反比例函数图象上的一动点，且位于直线BC 的右侧，过P 点作y 轴的平行线，交直线AB 于点M ，交x 轴于点N ．①若BC MN =35，在直线y =12x +2上有一点Q ，在x 轴上有一点D ，使得△DPQ 周长最小，请求出Q 点坐标以及此时△DPQ 的周长；②是否存在这样的P 点，使得△BPM 为PM 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，△ABO 的边AB 垂直x 轴于点B ，反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过AO 的中点C ，与边AB 相交于点D ，若D 的坐标为（4，m ），AD =3．（1）求反比例函数y =kx 的解析式；（2）经过C 、D 两点的直线的解析式是______；（3）设点E 是线段CD 上的动点，过点E 且平行y 轴的直线与反比例函数的图象交于点F ，则△OEF 面积的最大值是______．5.如图，双曲线y=kx (x>0)与直线y=−12x+b相交于A（2，m），B（6，n）两点．（1）直接写出：关于x的不等式12x+kx>b的解集是________，k＝________，b＝________；（2）把点A绕平面内的某一点M顺时针旋转90°，恰好与点B重合，已知点M关于点A的对称点为M′，求证：点M′在双曲线y=kx上；（3）如图，点P是双曲线y=kx(x>0)上的一个动点，PE⊥y轴于点E，过点P的直线l：y＝k1x＋b1交x轴的正半轴于点F，当点P向右运动时，四边形OEPF的面积S 如何变化？给出你的结论并说明理由．6.如图，一次函数y=ax+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），与双曲线y=k交第二象限于点C，点C的横坐标为−2．x的解析式；（1）求一次函数y=ax+b和反比例函数y=kx（2）点D为反比例函数y=k第四象限图象上一个动点，DE⊥y轴于点E，连接AE，xOD，当▵ABE的面积是▵OED面积的4倍时，求点D的坐标．第4页，共10页7.如图,在平面直角坐标系中,已知RtΔABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3,点A(6,5),B(2,8),反比例函数y=k(x>0)过点C,过点A作AD // y轴交双曲线于点D.x的表达式;(1)求反比例函数y=kx(2)动点P在y轴正半轴运动,当线段PC与线段PD的差最大时,求P点的坐标;(3)将RtΔABC沿直线CO方向平移,使点C移动到点O,求线段AB扫过的面积.第6页，共10页8. 矩形AOBC 中，OB =4，OA =3．分别以OB ，OA 所在直线为x 轴，y 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系．F 是BC 边上一个动点（不与B ，C 重合），过点F 的反比例函数y =kx （k ＞0）的图象与边AC 交于点E ．（1）当点F 运动到边BC 的中点时，求点E 的坐标； （2）连接EF ，求∠EFC 的正切值；（3）如图2，将△CEF 沿EF 折叠，点C 恰好落在边OB 上的点G 处，求此时反比例函数的解析式．9. 如图，已知直线y =12x +b 与y 轴交于点B （0，-3），与反比例函数y =kx （x ＞0）的图象交于点A ，与x 轴交于点C ，BC =3AC ． （1）求反比例函数的解析式；（2）若P 是y 轴上一动点，M 是直线AB 上方的反比例函数y =kx （x ＞0）的图象上一动点，直线MN ⊥x 轴交直线AB 于点N ，求△PMN 面积的最大值．(k>0,x>0)的图象经过▵OABC 10.如图，平面直角坐标系xOy中，点C（3，0）．函数y=kx的顶点A(m,n)和边BC的中点D．（1）求m的值；（2）若的面积等于6，求k的值；（3）在第（2）问的基础上，过点D作直线l平行于直线AB，点P为直线l的上一个动点，点Q为平面内一动点，若以A、P、O、Q为顶点的四边形为矩形，求点P的坐标．11.如图，直线AB与x轴交于点A(1,0)，与y轴交于点B(0,3)，将线段AB绕点A顺时针旋转(k≠0,x>0)的图象经过点C．90°得到线段AC，反比例函数y=kx（1）求直线AB和反比例函数y=k(k≠0,x>0)的解析式；x（2）已知点P是反比例函数y=k(k≠0,x>0)图象上的一个动点，求点P到直线AB最x短距离时的坐标.12.如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△AOB的斜边OB在x轴上，直线y=3x−4经过等腰Rt△AOB的直角顶点A，交y轴于C点，双曲线y=k也经过A点．连接BC．x(1)求k的值；(2)判断△ABC的形状，并求出它的面积．(3)若点P为x正半轴上一动点，在点A的右侧的双曲线上是否存在一点M，使得△PAM是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13.如图, 直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=m(m≠0)在第一象限交于点A、B,且该直线与x轴正x半轴交于点C, 过A、B分别作x轴的垂线, 垂足分别为E、D.已知A(4,1).(1)求双曲线的表达式;(2)若CD=4CE.求k,b的值;(3)在(2)的条件下, 若点M为直线AB上的动点,则OM长度的最小值为 .（x＞0）14.如图，直线y=﹣x+1与x，y轴分别交于A、B两点，P（a，b）为双曲线y=12x 上的一动点，PM⊥x轴与M，交线段AB于F，PN⊥y轴于N，交线段AB于E（1）求E、F两点的坐标（用a，b的式子表示）；第8页，共10页（2）当a=3时，求△EOF的面积．4（3）当P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，探究：BE、EF、FA这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由；的图象交于A、B两点，其中A（1，n），15.如图，已知直线y1=3x与反比例函数y2=kx点C是反比例函数在第一象限图象上不同于A的一动点（C在A右侧），BC交y轴于点F．（1）直接写出：①k的值为______；点B的坐标为______；②当y1＞y2时，x的取值范围是______；（2）若∠BAC=90°，求点C的坐标；（3）如图2，延长CA交y轴于点E，直接写出EF的长为______．的图像和一次函数y2=ax+b的图像交于A(3，4)、B(-6，n)。
初中数学反比例函数动点问题
反比例函数 --－动点、面积专项
k旳图象在第一象限旳分支上有一点A（3，4),P为x轴正半轴上旳1．反比例函数ｙ＝
x
一种动点,（1)求反比例函数解析式. （2)当P在什么位置时,△OPA为直角三角形，求出此时Ｐ点旳坐标.
2、如图，M点是正比例函数y＝kx和反比例函数旳图象旳一种交点.
（1）求这两个函数旳解析式；
（2)在反比例函数旳图象上取一点P,过点P做PA垂直于x轴,垂足为Ａ,点Q 是直线MO上一点，QB垂直于y轴,垂足为B，直线MO上与否存在这样旳点Q,使得△OBQ旳面积是△ＯPＡ旳面积旳２倍？如果存在，祈求出点Q旳坐标,如果不存在，请阐明理由．
3、如图１,已知正比例函数和反比例函数旳图象都通过点M（﹣2，﹣1）,且P(﹣1，﹣2）为双曲线上旳一点,Ｑ为坐标平面上一动点，ＰA垂直于x轴，QB垂直于y轴,垂足分别是A、B．
(１)写出正比例函数和反比例函数旳关系式;
(２)当点Q在直线MO上运动时,直线MO上与否存在这样旳点Q，使得△OＢQ与△ＯAP面积相等如果存在，祈求出点旳坐标,如果不存在,请阐明理由；
(3)如图2,当点Q在第一象限中旳双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边旳平行四边形OPCＱ，求平行四边形OPＣＱ周长旳最小值.。
反比例函数动点问题,面积问题
环球雅思学科教师辅导教案学员编号：年级:九年级课时数：3学员姓名：李宣锐辅导科目：数学学科教师：庄阳海授课类型T(专题）反比例函数（动点，面积问题）星级★★★★授课日期及时段教学内容反比例函数（动点，面积问题）兴趣导入甲乙两个人爬楼梯，甲到了4层，乙到了3层，那么问甲到了16层，乙到了哪一层？（楼层没有上限要求）知识讲解1、已知反比例函数y=错误!未找到引用源。
的图象经过点A（﹣错误!未找到引用源。
，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m，错误!未找到引用源。
m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是错误!未找到引用源。
，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2错误!未找到引用源。
n+9的值．2、已知：反比例函数错误!未找到引用源。
经过点B（1，1）．（1）求该反比例函数解析式；（2）连接OB，再把点A（2，0）与点B连接，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的坐标，试判断点P是否在此双曲线上，并说明理由；（3）若该反比例函数图象上有一点F（m，错误!未找到引用源。
）（其中m＞0），在线段OF上任取一点E，设E点的纵坐标为n，过F点作FM⊥x轴于点M，连接EM，使△OEM 的面积是错误!未找到引用源。
，求代数式错误!未找到引用源。
的值．3、如图，M点是正比例函数y=kx和反比例函数错误!未找到引用源。
的图象的一个交点．（1）求这两个函数的解析式；（2）在反比例函数错误!未找到引用源。
的图象上取一点P，过点P做PA垂直于x轴，垂足为A，点Q是直线MO上一点，QB垂直于y轴，垂足为B，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ的面积是△OPA的面积的2倍？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．4、如图，已知：一次函数：y=﹣x+4的图象与反比例函数：错误!未找到引用源。
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--反比例函数与动态几何
2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--反比例函数与动态几何1．如图，点 A ， B 在 x 轴上，以 AB 为边的正方形 ABCD 在 x 轴上方，点 C 的坐标为 (1,4) ，反比例函数 y =kx(k ≠0) 的图象经过 CD 的中点 E ， F 是 AD 上的一个动点，将 △DEF 沿 EF 所在直线折叠得到 △GEF .（1）求反比例函数 y =kx(k ≠0) 的表达式；（2）若点 G 落在 y 轴上，求线段 OG 的长及点 F 的坐标.2．如图，反比例函数y =mx 的图象与一次函数y =kx +b 的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为(2，6)，点B 的坐标为(n ，1)．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）结合图象，直接写出不等式mx <kx +b 的解集；（3）点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB =5，试求点E 的坐标．3．在矩形AOBC 中，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．A 点坐标为(0，3)，B 点坐标为(4，0)，F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数y =kx (x >0)的图象与AC 边交于点E ，连接OE ，OF ，作直线EF ．（1）若CF =2，求反比例函数解新式； （2）在（1）的条件下求出△EOF 的面积； （3）在点F 的运动过程中，试说明EC FC是定值．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y 1=−x +2 与反比例函数 y 2=k x(x <0) 相交于点B ，与 x 轴相交于点 A ，点 B 的横坐标为-2.（1）求 k 的值；（2）直接写出当 x <0 且 y 1<y 2 时， x 的取值范围；（3）设点 M 是直线AB 上的一点，过点 M 作 MN// x 轴，交反比例函数 y 2=k x (x <0) 的图象于点 N .若以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，求点 M 的坐标.5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y =x +1 的图象与反比例函数 y =k x(k ≠0)的图象交于一、三象限内的 A 、B 两点，直线 AB 与 x 轴交于点 C ，点 B 的坐标为 (− 2,n) .（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.6．如图，已知直线OA与反比例函数y=mx(m≠0)的图像在第一象限交于点A．若OA=4，直线OA与x轴的夹角为60°．（1）求点A的坐标；（2）求反比例函数的解析式；（3）若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标．7．如图，在Rt△AOB中，△ABO＝90°，OB＝4，AB＝8，且反比例函数y＝k x在第一象限内的图象分别交OA，AB于点C和点D，连结OD，△BOD的面积是4．（1）求反比例函数解析式；（2）将△AOB沿x轴向左运动，运动速度是每秒钟3个单位长度，求△AOB与反比例函数图象没有交点时，运动时间t的取值范围．8．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在正比例函数y＝32x（x＞0）的图象上，反比例函数y＝kx（x＞0）的图象经过点A，点P是x轴正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线，与正比例函数y＝32x（x＞0）的图象交于点C，点B是线段CP与反比例函数的交点，连接AP、AB．（1）求该反比例函数的表达式；（2）观察图象，请直接写出当x＞0时，32x≤kx的解集；（3）若S△ABP＝1，求B点坐标；（4）点Q是A点右侧双曲线上一动点，是否存在△APQ为以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．9．已知一次函数y1=kx+n(n<0)和反比例函数y2=mx(m>0，x>0)．（1）如图1，若n=−5，且函数y1，y2的图象都经过点A(3，4)①求m，k的值；②直接写出当y1>y2时x的范围；（2）如图2，过点P(1，0)作y轴的平行线l与函数y2为的图象相交于点B，与反比例函数y3= nx(x>0)的图象相交于点C，①若k=3．直线l与函数y2的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m−n的值：②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交于点E．当m−n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d10．如图，一次函数y1=k1x+4与反比例函数y2=k2x的图象交于点A(2，m)和B(−6，−2)，与y轴交于点C．（1）k1=，k2=；（2）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：SΔODE=4：1时，求点P的坐标．（3）点M是坐标轴上的一个动点，点N是平面内的任意一点，当四边形ABMN是矩形时，求出点M的坐标．11．已知：如图1，点A(4，n)是反比例函数y=8x(x>0)图象上的一点．（1）求n的值和直线OA的解析式；（2）如图2，将反比例函数y=8x(x>0)的图象绕原点O逆时针旋转45°后，与y轴交于点M，求线段OM的长度；（3）如图3，将直线OA绕原点O逆时针旋转45°，与反比例函数y=8x(x>0)的图象交于点B，求点B的坐标．12．如图，矩形ABCD的两边AB，BC的长分别为3，8，C，D在y轴上，E是AD的中点，反比例函数y=k x(k≠0)的图象经过点E，与BC交于点F，且CF−BE=1．（1）求反比例函数的解析式；（2）在y轴上找一点P，使得S△CEP=23S矩形ABCD，求此时点P的坐标．13．如图，直线y＝﹣x+2与反比例函数y=k x（k≠0）的图象交于A（a，3），B（3，b）两点，过点A作AC△x轴于点C，过点B作BD△x轴于点D．（1）求a，b的值及反比例函数的解析式；（2）若点P在直线y＝﹣x+2上，且S△ACP＝S△BDP，请求出此时点P的坐标；（3）在x轴正半轴上是否存在点M，使得△MAB为等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．14．如图1，在平面直角坐标系xOy中，函数y=mx（m为常数，m>1，x>0）的图象经过点P(m,1)和Q(1,m)，直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点.（1）求∠OCD的度数；（2）如图2，连接OQ、OP，当∠DOQ=∠OCD−∠POC时，求此时m的值：（3）如图3，点A，点B分别在x轴和y轴正半轴上的动点.再以OA、OB为邻边作矩形OAMB.若点M恰好在函数y=mx（m为常数，m>1，x>0）的图象上，且四边形BAPQ为平行四边形，求此时OA、OB的长度.15．已知点A（3，2）、点B（m，n）在反比例函数y＝k x（x＞0）图象上，点C是x轴上的一个动点．（1）求k的值；（2）若m＝1，C（﹣1，0），试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点C在x轴正半轴上，当△ABC为等腰直角三角形时，求出点C的坐标．16．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= mx的图象交于点A(1，4)、B(4，n)。
初中数学反比例函数及动点问题专题讲解及练习
(K>0)考点二、反比例函数的性质1.2.形状反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.因此称反比例函数的图象为双曲线;3.位置当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内;4.增减性反比例函数的图象,当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小; 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.5.图象的发展趋势反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴,画图象时,要体现出这个特点.6.对称性反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.7.任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k.温馨提示：反比例函数的涉及内容1.ⅰ当路程s 一定时，时间t 与速度v的函数关系t=s/v2.ⅱ当矩形面积S一定时，长a与宽b的函数关系a=s/b3.ⅲ当三角形面积S 一定时，三角形的底边y 与高x的函数关系y=2s/x动点问题（重点）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题。
“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
解决动点问题的关键是“动中求静”。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容。
动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系。
初三数学反比例函数试题答案及解析
初三数学反比例函数试题答案及解析1.如图，Rt△ABC的顶点B在反比例函数的图象上，AC边在x轴上，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，则图中阴影部分的面积是（）A．12B．C．D．【答案】D．【解析】先由∠ACB=90°，BC=4，得出B点纵坐标为4，根据点B在反比例函数的图象上，求出B点坐标为（3，4），则OC=3，再解Rt△ABC，得出AC=，则OA=。
设AB与y轴交于点D，由OD∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出，求得OD=，最后根据梯形的面积公式即可求出阴影部分的面积。
∵∠ACB=90°，BC=4，∴B点纵坐标为4，∵点B在反比例函数的图象上，∴当y=4时，x=3，即B点坐标为（3，4），∴OC=3。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=8，，OA=AC﹣OC=。
设AB与y轴交于点D．∵OD∥BC，∴，即，解得OD=，∴阴影部分的面积是：。
故选：D．【考点】1.反比例函数系数k的几何意义；2.含30度角的直角三角形；3.勾股定理。
2.如图，矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB∥x轴，AD∥y轴，且对角线的交点与原点重合，在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，若矩形ABCD的周长始终保持不变，则经过动点A的反比例函数中，k的值的变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大【答案】C．【解析】设矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b．∵矩形ABCD的周长始终保持不变，∴2（2a+2b）=4（a+b）为定值.∴a+b为定值．设（定值），则∵矩形对角线的交点与原点O重合, ∴k=AB•AD=ab=.∴k是a的二次函数，它的图象开口向下，当时，有最大值.∴在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，k的值先增大后减小．故选C．【考点】1.单动点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.矩形的性质；4.二次函数的性质. 3.矩形的面积一定，则它的长和宽的关系是（）A．正比例函数B．一次函数C．反比例函数D．二次函数【答案】C.【解析】设某矩形的面积为S，相邻的两条边长分别为x和y．那么当S一定时，x与y的函数关系式是y=，由于S≠0，且是常数，因而这个函数是:y是x的反比例函数．故选C.考点: 1.反比例函数的定义；2.正比例函数的定义．4.如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）.若函数在第一象限内的图像与△ABC有交点，则的取值范围是A．2≤≤B．6≤≤10C．2≤≤6D．2≤≤【答案】A．【解析】把A点的坐标代入即可求出k的最小值；当反比例函数和直线BC相交时，求出b2﹣4ac的值，得出k的最大值．把点A（1，2）代入得：k=2；C的坐标是（6，1），B的坐标是（2，5），设直线BC的解析式是y=kx+b，则，解得：，则函数的解析式是： y=﹣x+7，根据题意，得：=﹣x+7，即x2﹣7x+k=0，△=49﹣4k≥0，解得：k≤．则k的范围是：2≤k≤．故选A．【考点】反比例函数综合题．5.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2．写出一个函数，使它的图象与正方形有公共点，这个函数的表达式为．【答案】(答案不唯一）【解析】由图象可知过B点时图象与正方形只有一个公共点，此时k值最大∵正方形OABC的边长为2，∴B点坐标为（2，2），当函数y=（k≠0）过B点时，k=2×2=4，∴满足条件的一个反比例函数解析式为y=．故答案为：y=，y=（0＜k≤4）（答案不唯一）【考点】1、反比例函数；2、正方形6.反比例函数的图象在第象限．【答案】二、四【解析】反比例函数y=的图像是双曲线，当k＞0时，x,y 同号，所以图像在第一、三象限；当k<0时，x,y 异号，所以图像在第二、四象限．∴,因为k=-2<0,图像在二、四象限.【考点】反比例函数图像与k的关系.7.点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为3，则k=（）A．3B．6C．±3D．±6【答案】D.【解析】∴S△AOB =3，∴|k|=6，∴k=±6．故选D．考点: 反比例函数系数k的几何意义．8.如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E(4，n)在边AB上，反比例函数y＝(k≠0)在第一象限内的图象经过点D，E，且tan∠BOA＝.(1)求边AB的长；(2)求反比例函数的解析式和n的值；(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x，y轴正半轴交于点H，G，求线段OG的长．【答案】(1)2 (2)y＝ n＝ (3)【解析】解：(1)在Rt△BOA中，∵OA＝4，tan∠BOA＝，∴AB＝OA×tan∠BOA＝2.(2)∵点D为OB的中点，点B(4，2)，∴点D(2，1)，又∵点D在y＝的图象上，∴1＝，∴k＝2，∴y＝.又∵点E在y＝图象上，∴4n＝2，∴n＝.(3)设点F(a，2)，∴2a＝2，∴CF＝a＝1，连接FG，设OG＝t，则OG＝FG＝t，CG＝2－t，在Rt△CGF中，GF2＝CF2＋CG2，∴t2＝(2－t)2＋12，解得t＝，∴OG＝t＝.9.反比例函数y=过点(2,3),则k=_____________________;反比例函数y=过点(-2,3),则k=_________________.【答案】6 -5【解析】点在函数图象上，则点的坐标满足函数关系式，把点的坐标值代入解析式求k的值.3= ,k=6;=3,k-1=-6,k=-5.10.如图，已知点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB∥x轴，分别过点A、B作x轴作垂线，垂足分别为C、D，若，则k的值为_________．【答案】12.【解析】设A（a，b），∵点A在反比例函数y=的图象上，∴ab=4，∵OC=a，OC=OD，∴OD=3a，∴B（3a，b），∵点B在反比例函数y=(k≠0)的图象上，∴k=3ab=3×4=12，考点: 反比例函数综合题．11.已知点（﹣1,y1）,（2,y2）,（3,y3）在反比例函数的图象上．下列结论中正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1【答案】B．【解析】∵k2≥0,∴﹣k2≤0,﹣k2﹣1＜0,∴反比例函数的图象在二、四象限,∵点（﹣1,y1）的横坐标为﹣1＜0,∴此点在第二象限,y1＞0;∵（2,y2）,（3,y3）的横坐标3＞2＞0,∴两点均在第四象限y2＜0,y3＜0,∵在第四象限内y随x的增大而增大,∴0＞y3＞y2,∴y1＞y3＞y2．故选B．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．12.如图，直线y=2x与双曲线交于点A．将直线y=2x向右平移3个单位后，与双曲线交于点B，与x轴交于点C，若，则k= .【答案】8．【解析】根据直线平移的规律，即可得出直线BC的解析式；根据反比例函数的性质得出A，B 两点的坐标，根据xy=k即可得出k的值．试题解析：∵将直线y=2x向右平移3个单位后，得到的直线是BC，∴直线BC的解析式是：y=2（x-3）；过点A作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，∵直线BC是由直线OA平移得到的，∴，∵，∴，∴AD=2BE，又∵直线BC的解析式是：y=2（x-3），∴设B点的横坐标为3+x，∴B点的纵坐标为：y=2（x+3-3）=2x，∴BE=2x，∵AD=2BE，∴AD=4x，∵y=2x，∴，∴，∴A点的纵坐标为4x，根据A，B都在反比例函数图象上得出：∴2x×4x=（3+x）×2x，x=1，∴k的值为：2×1×4×1=8．考点: 反比例函数综合题．13.如图，双曲线经过的两个顶点、轴，连接，将沿翻折后得到，点刚好落在线段上，连接，恰好平分与轴负半轴的夹角，若的面积为3，则的值为。
九年级数学反比例函数经典习题解析
反比例函数内容讲解1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y 之间的关系可以表示成y＝或（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．2. 反比例函数的图象和性质3．k的几何含义：反比例函数y＝kx(k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝kx(k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为 .习题精选1.如图，过反比例函数图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结OA、OB，设AC与OB的交点为E，与梯形ECDB的面积分别为，比较它们的大小，可得( )A. B. C. D. 大小关系不能确定2.如图，直线y=mx与双曲线kyx=交与A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM=2，则k的值是（）A、2B、m-2C、mD、43.在同一直角坐标系中，函数y=kx+k,与y=xk-(k≠0)的图像大致（）4.如图，点A在双曲线6yx=上，且OA＝4，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为( )A.47B.5C.27D.225.在反比例函数xay=中，当x＞0时，y随x的增大而减小，则二次函数axaxy-=2的图象大致是下图中的（）6.反比例函数y=-5x的图像如图所示，P是图像上的任意点，过点P分别做两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB，点D是对角线OP上的动点，连接DA、DB，则图中阴影部分的面积是______ 。
k的符号k＞0 k＜0图像的大致位置经过象限第象限第象限性质在每一象限内y随x的增大而在每一象限内y随x的增大而oyxyxo7.如图，在直角坐标系中，△OBA∽△DOC，边OA、OC都在x轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），∠BAO=∠OCD=90°，OD=5．反比例函数(0)ky xx=>的图象经过点D，交AB边于点E．（1）求k的值．（2）求B E的长．8.已知一次函数与反比例函数的图象交于点(21)P-，和(1)Q m，．（1）求反比例函数的关系式；（2）求Q点的坐标；（3）在同一直角坐标系中画出这两个函数图象的示意图，并观察图象回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？9.如图，一次函数bkxy+=的图象与反比例数xmy=的图象交于A（-3，1）、B（2，n）两点.（1）求上述反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积.10.已知平行于x轴的直线)0(≠=aay与函数xy=和函数xy1=的图象分别交于点A和点B，又有定点P（2，0）.（1）若0>a，且tan∠POB=91，求线段AB的长；（2）在过A，B两点且顶点在直线xy=上的抛物线中，已知线段AB=38，且在它的对称轴左边时，y随着x的增大而增大，试求出满足条件的抛物线的解析式；（3）已知经过A，B，P三点的抛物线，平移后能得到259xy=的图象，求点P到直线AB的距离.11.如图，直线AB过点A（m, 0）、B（0, n）（其中m＞0, n＞0）．反比例函数xpy=（p>0）的图象与直线AB交于C、D两点，连结OC、OD．（1）已知m＋n＝10，△AOB的面积为S，问：当n何值时，S取最大值？并求这个最大值；（2）若m=8，n=6，当△AOC、△COD、△DOB的面积都相等时，求p的值。
专题. 反比例函数(动点问题)(巩固篇)(专项练习)八年级数学下册基础知识专项讲练(苏科版)
专题11.30反比例函数（动点问题）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．如图，点M 是反比例函数y ＝4x（x ＜0）图象上一点，MN ⊥y 轴于点N ．若P 为x 轴上的一个动点，则△MNP 的面积为（）A ．2B ．4C ．6D ．无法确定2．如图，点A 是双曲线3y x =在第一象限上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC ，点C 在第四象限．下列结论：①连接OC ，则AB OC ⊥；②点C 在函数()90y x x =->上运动．则（）A ．①对②错B ．①错②对C ．①②都对D ．①②都错3．如图，过双曲线(0)ky x x =>上的动点A 作AB x ⊥轴于点B ，P 是直线AB 上的点，且满足2AP AB =，过点P 作x 轴的平行线交此双曲线于点C ．如果APC △的面积为8，则k 的值为（）A ．10B ．8C ．16D ．124．如图，矩形OABC 的顶点О与坐标原点重合，边OA ，OC 分别落在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为()42，，点D 是边BC 上一动点，函数()0ky x x=>的图像经过点D ，且与边AB 交于点E ，连接OB 、OD ．若线段OB 平分AOD ∠，则点E 的纵坐标为（）A ．12B ．34C ．1D ．325．如图，A 、B 是函数y ＝12x上两点，P 为一动点，作PB ∥y 轴，PA ∥x 轴．若S △BOP ＝3.6，则S △ABP ＝（）A ．3.6B ．4.8C ．5.4D ．66．如图，在平面直角坐标系中，A (8，0)，点B 为一次函数y x =图像上的动点，以OB 为边作正方形OBCD ，当AB 最小时，点D 恰好落在反比例函数k y x =的图像上，则k =（）A ．-9B ．-12C ．-16D ．-257．如图，线段AB 是直线y =x +1的一部分，其中点A 在y 轴上，点B 横坐标为2，曲线BC 是双曲线k y x=（0k ≠）的一部分，由点C 开始不断重复“A−B−C”的过程，形成一组波浪线，点P(2019，m )与Q(2025，n )均在该波浪线上，G 为x 轴上一动点，则△PQG 周长的最小值为（）A ．16B ．6+C ．6+D ．98．如图，将边长为10的正三角形OAB 放置于平面直角坐标系xOy 中，C 是AB 边上的动点（不与端点A ，B 重合），作CD ⊥OB 于点D ，若点C ，D 都在双曲线y ＝k x上（k ＞0，x ＞0），则k 的值为（）A ．B ．C ．9D ．9．如图，已知点A 是直线y=x 与反比例函数y=（k ＞0，x ＞0）的交点，B 是y=图象上的另一点，BC ∥x 轴，交y 轴于点C ．动点P 从坐标原点O 出发，沿O→A→B→C （图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C ，过点P 作PM ⊥x 轴，PN ⊥y 轴，垂足分别为M ，N ．设四边形OMPN 的面积为S ，P 点运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．10．如图，反比例函数2y x =和正比例函数12y x =的图象交于点M ，N ，动点(),0P m 在x 轴上．若PMN 为直角三角形，则m 的值为（）A ．2m =5B ．52m =52C ．2m =±或52D ．52m =±或5二、填空题11．如图，点()2,2A -在反比例函数k y x=的图象上，点M 在x 轴的正半轴上，点N 在y 轴的负半轴上，且5OM ON ==．点(),P x y 是线段MN 上一动点，过点A 和P 分别作x 轴的垂线，垂足为点D 和E ，连接OA 、OP ．当OAD OPE S S < 时，x 的取值范围是________．12．如图，已知点A 是反比例函数3y x=-(0x <)的图像上的一个动点，连接OA ，若将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OB ，则点B 所在反比例图像的函数关系式是____．13．如图，点A 是双曲线4y x=在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为_____．14．如图，A 、B 是函数y ＝12x图象上两点，P 为一动点．作PB ∥y 轴．PA ∥x 轴，下列说法中：①AOP BOP ≌△△；②AOP BOP S S ＝；③若OA ＝OB ，则OP 平分∠AOB ；④若4BOP S ＝，则16ABP S ＝．正确的序号是___．15．如图，点A 为反比例函数k y x=图象上的一点，过点A 作AB ⊥y 轴于B ，点C 为x 轴上的一个动点，△ABC 的面积为3，则k 的值为________．16．如图，点A 、B 是反比例函数y 12x =图象上的两个动点，过点A 、B 分别作AC ⊥x 轴、BD ⊥x 轴，分别交反比例函数y 3x=-图象于点C 、D ，得四边形ACBD 是平行四边形．当点A 、B 不断运动时，现有以，结论：①▱ACBD 可能是菱形；②▱ACBD 不可能是矩形；③▱ACBD 可能是正方形；④▱ACBD 不可能是正方形．其中正确的是_____．(写出所有正确结论的序号)17．如图，函数112y x =+与函数(0)k y x x =>图像的交于点P ，点P 的纵坐标为4，PB x ⊥轴，垂足为点B ，点M 是函数(0)ky x x =>图像上一动点（不与P 点重合），过点M 作MD AP⊥于点D ，若45PMD ∠=︒，点M 的坐标是________．18．如图，点A 是反比例函数()280y x x=>的图象上的一动点，过点A 分别作x 轴、y 轴的平行线，与反比例函数1k y x=（0k ≠，0x >）的图象交于点B 、点C ，连接OB ，OC ．若四边形OBAC 的面积为5，则k =________．三、解答题19．如图，一次函数114y k x =+与反比例函数22k y x=的图象交于点()2,A m 和()6,2B --，与y 轴交于点C ．(1)1k =，2k =；(2)过点A 作AD x ⊥轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD 交于点E ，当:4:1ODE ODAC S S ∆=四边形时，求点P 的坐标．(3)点M 是坐标轴上的一个动点，点N 是平面内的任意一点，当四边形ABMN 是矩形时，求出点M 的坐标．20．如图，反比例函数1k y x=的图像与一次函数2y mx n =+的图像相交于(),1A a -，()1,3B -两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)点P 在线段AB 上，且:1:2AOP BOP S S = ，直接写出点P 的坐标；(3)设直线AB 交y 轴于点C ，点(),0N t 是x 轴正半轴上的一个动点，过点N 作NM x ⊥轴交反比例函数1k y x=的图像于点M ，连接CN ，OM ．若S 四边形COMN ＞3，直接写出t 的取值范围．21．如图，在平面直角坐标系中，直线y x =与反比例函数图象交于点(),A a a ，点1,22B a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为反比例函数()0k y x x =>图象上的点，连接OB ，AB ，且AOB S ∆为3．(1)求反比例函数的解析式；(2)点P 为y 轴上一动点，当ABP 的周长最小时，直接写出点P 的坐标．22．一次函数2y x =--的图象与反比例函数k y x=的图象相交于()3,A m -，(),3B n -两点．(1)求这个反比例函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数值不大于反比例函数值的x 的取值范围．(3)若动点E 在y 轴上，且6EBA S =△，求动点E 的坐标．23．如图，一次函数()110y k x b k =+≠的图象与反比例函数()220k y k x=≠的图象交于点()14A ，，()4B n -，两点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)连接AO 并延长交双曲线于点C ，点D 为y 轴上一动点，点E 为直线AB 上一动点，连接CD ，DE ，求当CD DE +最小时点D 的坐标；24．如图，点A 在反比例函数(00)m y m x x =>>，的图像上，点A 的纵坐标为3．过点A 作x 轴的平行线交反比例函数(0)n y n m x x=>>，的图像于点C ．点P 为线段AC 上一动点，过点P 作AC 的垂线，分别交反比例函数m y x =和n y x =的图像于点B ，D ．(1)当416m n ==，时，①若点P 的横坐标为4（如图1），求直线AB 的函数表达式；②若点P 是AC 的中点（如图2），试判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；(2)四边形ABCD 能否成为正方形？若能，求此时m ，n 之间的数量关系；若不能，说明理由．参考答案1．A 【分析】根据1()2MNP P M S MN y y ∆=⋅-求解．解：设点M 坐标为(,)a b ，点M 在反比例函数图象上，4ab ∴=，111()()()2222MNP P M S MN y y a b ab ∆∴=⋅-=⨯--==．故选：A ．【点拨】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，解题关键是掌握xy k =，掌握坐标系内求图形面积的方法．2．C【分析】设点A 的坐标为（a ，3a），连接OC ，则OC ⊥AB ，表示出OC ，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，设出点C 坐标，在Rt △OCD 中，利用勾股定理可得出x 2的值，进而得出结论．解：如图，设A （a ，3a ），点C 始终在双曲线()0k y x x=->上运动，∵点A 与点B 关于原点对称，∴OA =OB ，∵△ABC 为等边三角形，∴AB ⊥OC ，OC，∵AO =∴CO 过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则可得∠AOD =∠OCD （都是∠COD 的余角），设点C 的坐标为（x ，y ），则tan ∠AOD =tan ∠OCD ，即3x a a y =-，解得23a y x =-．在Rt △COD 中，CD 2+OD 2=OC 2，即2222273y x a a +=+，将23a y x =-代入，可得：2227x a =，故23a x y x ==-=，则xy =-9，即k =-9，所以，点C 在函数()90y x x=->上运动．所以，①②都对，故选：C ．【点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．3．D【分析】设AB =a ，则PB =3a ，从而得到B kx a =，3C k x a =，根据矩形的性质，得到PC =AD =BE =B C x x -，利用三角形面积为载体建立等式计算即可．解：设AB =a ，则PB =3a ，过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，过点A 作AD ∥x 轴，交CE 于点D ，则四边形APCD 是矩形，四边形BPCE 是矩形，∴CE =PB =3a ，∵点A 、点C 都在函数(0)k y x x =>的图像上，∴A B k x x a==，3C k x a =，根据矩形的性质，得到PC =AD =BE =B C x x -=3kk a a -，∵APC △的面积为8，∴1(2823kk a a a-⨯=，解得k =12，故选D ．【点拨】本题考查了反比例函数的图像及其性质，矩形的判定和性质，三角形面积计算，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．4．B【分析】先根据矩形的性质，角平分线定义得出DBO DOB ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定得出BD OD =，在Rt COD 中根据勾股定理可求出CD ，从而求出点D 的坐标，根据待定系数法求出反比例函数解析式，最后把4x =代入求解即可．解：解∶∵OB 平分AOD ∠，∴AOB DOB ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，()42B ，，∴BC OA ∥，4BC AO ==，2==OC AB ，90BCO ∠=︒，∴DBO AOB ∠=∠，∴DBO DOB ∠=∠，∴BD OD =，设BD OD a ==，则4CD BC BD a =-=-，在Rt COD 中，222CO CD OD +=，∴()22242a a -+=，解得52a =，∴32CD =，∴3,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴3232k =⨯=，∴3y x =，当4x =时，34y =，∴点E 的纵坐标为34．故选：B ．【点拨】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，待定系数法等知识，正确求出点D 的坐标是解题的关键．5．C【分析】延长BP ，交x 轴于点C ，由题意可设点1212,,,A a B b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有1212,,AP a b BP OC b b a=-=-=，然后由S △BOP ＝3.6可进行求解问题．解：延长BP ，交x 轴于点C ，如图所示：∵PB ∥y 轴，PA ∥x 轴，∴AP BP ⊥，BC x ⊥轴，由题意可设点1212,,,A a B b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有1212,,AP a b BP OC b b a =-=-=，∵S △BOP ＝3.6，∴1 3.62BP OC ⋅=，即12127.2b b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：25b a =，∴()111212130123 5.42225APB S AP BP a b a b a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅=--=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ；故选C ．【点拨】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的性质及几何意义是解题的关键．6．C【分析】根据垂线段最短可得，当AB 垂直直线y x =时AB 最短，此时△AOB 是等腰直角三角形，易求OB =42D 作DE ⊥x 轴于点E ，知△DEO 为等腰直角三角形，求出DE ，OE 的长即可得到结论．解：根据垂线段最短可得，当AB 垂直直线y x =时AB 最短，∵∠AOB =45°∴∠BAO =45°∴△AOB 是等腰直角三角形，∵点A 的坐标为（8，0）∴OA =8∴42BO BA ==∵四边形OBCD 是正方形，∴90DO BO DOB ==∠=︒∴45DOC BOC ∠=∠=︒过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，∴45ODE DOE ∠=∠=︒∴△DEO 为等腰直角三角形，∴4DE OE ==∵点D 在第二象限，∴D （-4，4）又点D 在反比例函数k y x=的图像上∴(4)416k =-⨯=-故选：C ．【点拨】本题考查了最短路径问题、待定系数法求函数解析式、正方形的性质等知识，解答此题的关键是正确求出点D 的坐标．7．B【分析】由点B 在直线y=x+1上，点B 横坐标为2，可求纵坐标，确定点B 的坐标，进而求出反比例函数的关系式，再确定点C 的坐标，由点C 开始不断重复“A-B-C”的过程，可以推断点P （2019，m ）与Q （2025，n ）具体所在的位置，再依据对称，求线段的和最小的方法求出答案．解：当x=2时，y=x+1=2+1=3，∴B （2，3）∵B （2，3）在双曲线k y x =上，∴k=6把x=6代入6y x=得：y=1，∴C （6，1）∵2019÷6=336……3，2025÷6=337……3，∴点P 落在第337个“A-B-C”的P 处，而点Q 落在第338个“A-B-C”的Q 处，示意如图：把3x =代入6,y x =2,y ∴=∴P （2019，2），Q （2025，2），PQG 周长的最小，PQ=6定值，∴只要GP+GQ 最小即可，过Q 作QH x ⊥轴，使Q,H 关于x 轴对称，连接HP 交x 轴于,G ()2025,2,H ∴-6,4,PQ QH ∴==由勾股定理得：PH =∴PQG 周长的最小值为PQ+GP+GQ=6PH PQ +=+故选B ．【点拨】考查反比例函数、一次函数的图象和性质，轴对称性质的应用，根据规律推断出点P 、Q 的位置，找出点G 的位置，依据勾股定理求出线段的长，是解决问题的关键．8．D【分析】根据等边三角形的性质表示出D ，C 点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出答案．解：过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过C 作CF ⊥x 轴于点F ，如图所示．可得：∠ODE ＝30°，∠BCD ＝30°，设OE ＝a ，则OD ＝2a ，DE a ，∴BD ＝OB ﹣OD ＝10﹣2a ，BC ＝2BD ＝20﹣4a ，AC ＝AB ﹣BC ＝4a ﹣10，∴AF ＝12AC ＝2a ﹣5，CF AF 2a ﹣5），OF ＝OA ﹣AF ＝15﹣2a ，∴点D （a a ），点C [15﹣2a 2a ﹣5）]．∵点C 、D 都在双曲线y ＝k x 上（k ＞0，x ＞0），∴a a ＝（15﹣2a ）2a ﹣5），解得：a ＝3或a ＝5．当a ＝5时，DO ＝OB ，AC ＝AB ，点C 、D 与点B 重合，不符合题意，∴a ＝5舍去．∴点D （3，∴k ＝故选D ．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质，解题的关键是找出点D 、C 的坐标．9．B解：设点P 的运动速度为v ，①由于点A 在直线y=x 上，故点P 在OA 上时，四边形OMPN 为正方形，四边形OMPN 的面积S=（vt ）2，②点P 在反比例函数图象AB 时，由反比例函数系数几何意义，四边形OMPN 的面积S=k ；③点P 在BC 段时，设点P 到点C 的总路程为a ，则四边形OMPN 的面积=OC•（a ﹣vt ）=﹣2OC v ⋅t+2OC a ⋅，只有B 选项图形符合．故选B ．考点：动点问题的函数图象．10．D 【分析】联立方程组212y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩并求解，得到(2,1),(2,1)M N --，由两点间距离公式求出,,PM PN MN 的长，再分90,90,90PMN PNM MPN ∠=︒∠=︒∠=︒三种情况依据勾股定理列出方程求解即可解：联立方程组得212y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得，21x y =-⎧⎨=-⎩或21x y =⎧⎨=⎩，(2,1),(2,1)M N ∴--∵(),0P m ∴[][]2222(2)0(1)45,PN m m m =--+--=++222(22)(11)20,MN =--+--=2222(2)(01)45,PM m m m =-+-=-+①若90PNM ∠=︒时，则有222PN MN PM +=，22452045m m m m ∴+++=-+，5,2m \=-②若90MPN ∠=︒时，则有222PM PN MN +=，22454520.m m m m ∴-++++=，m ∴=③若90PMN ∠=︒时，则有222PM MN PN +=，22452045m m m m ∴-++=++，52m ∴=；综上所述，m 的值为52±或故选：D ．【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确进行分类讨论是解题的关键．11．14x <<【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出线段MN 的解析式，最后联立两个解析式求出B 和C 两个点的坐标，再根据k 的几何意义，确定P 点位置，即可得到相应的x 的取值范围．解：∵点()2,2A -∴()224k =⨯-=-，所以反比例函数的解析式为：4y x=-，因为5OM ON ==，∴()()5,0,0,5M N -,设线段MN 解析式为：()05y px q x =+≤≤，∴505p q q +=⎧⎨=-⎩，∴15p q =⎧⎨=-⎩，∴线段MN 解析式为：()505y x x =-≤≤，联立以上两个解析式得：54y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：14x y =⎧⎨=-⎩或41x y =⎧⎨=-⎩，经检验，符合题意；由图可知，两个函数的图像交点分别为点B 和点C ，∴()1,4B -，()4,1C -，∵OAD OPE S S < ，∴P 点应位于B 和C 两点之间，∴14x <<，故答案为：14x <<．【点拨】本题涉及到了动点问题，考查了反比例函数的图像与性质、k 的几何意义、待定系数法等内容，解决本题的关键是牢记反比例函数的图像与性质，理解k 的几何意义，以及能联立两个函数的解析式求交点坐标等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．12．3y x=【分析】如图，设A （m ，n ），过A 作AC ⊥x 轴于C ，过B 作BD ⊥x 轴于D ，得到AC =n ，OC =-m ，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得3=-mn ，根据平角的定义及角的和差关系可得∠OAC =∠BOD ，根据旋转的性质可得OB =OA ，利用AAS 可证明△ACO ≌△ODB ，根据全等三角形的性质得到AC =OD =n ，CO =BD =-m ，可得点B 坐标，利用待定系数法即可得答案．解：如图，设A （m ，n ），过A 作AC ⊥x 轴于C ，过B 作BD ⊥x 轴于D ，∵点A 是反比例函数3y x=-(0x <)的图像上的一个动点，∴3=-mn ，AC =n ，OC =-m ，∵将线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OB ，∴∠AOB =90°，OA =OB ，∴∠OAC +∠AOC =∠BOD +∠AOC =90°，∴∠OAC =∠BOD ，在△ACO 和△ODB 中，ACO BDO OAC BOD OA OB ∠=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACO ≌△ODB ，∴AC =OD =n ，CO =BD =-m ，∴B （n ，-m ），设过点B 的反比例函数的解析式为k y x=，∴3k mn =-=，∴点B 所在反比例图像的函数关系式为3y x =，故答案为：3y x=【点拨】本题考查了坐标与图形变化-旋转，反比例函数图形上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．y =-4x【分析】连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，如图，设A 点坐标为4,a a骣琪琪桫，再证明△COD ≌△OAE （AAS ），表示C 点坐标为4,a a骣琪-琪桫，从而可得答案.解：连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，如图，设A 点坐标为4,a a骣琪琪桫，∵A 点、B 点是正比例函数图象与双曲线4y x =的交点，∴点A 与点B 关于原点对称，∴OA =OB∵△ABC 为等腰直角三角形，∴OC =OA ，OC ⊥OA ，∴∠DOC +∠AOE =90°，∵∠DOC +∠DCO =90°，∴∠DCO =∠AOE ，∵在△COD 和△OAE 中CDO OEA DCO EOA CO OAìÐ=ÐïïÐ=Ðíï=ïî∴△COD ≌△OAE （AAS ），∴OD =AE =4a，CD =OE =a ，∴C 点坐标为4,a a骣琪-琪桫，∵44a a -=-g ，∴点C 在反比例函数4y x =-图象上．故答案为：4y x=-【点拨】本题考查的是等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，反比例函数的图象与性质，利用三角形的全等确定C 的坐标是解本题的关键.14．②③##③②【分析】由点P 是动点，可判断出①错误，设出点P 的坐标，求出AP 、BP 的长，再利用三角形面积公式计算即可判断出②；利用角平分线定理的逆定理可判断③；先求出矩形OMPN 的面积为4，进而得出mn =4，最后用三角形的面积公式解答即可．解：∵点P 是动点，∴BP 与AP 不一定相等，∴BOP △与AOP 不一定全等，故①不正确；设P （m ，n ），∵BP ∥y 轴，∴B （m ，12m ），A (12n ，n )∴AP =|12n-m |∴S △AOP =12·|12n-m |n =12|12-mn |同理：S △BOP =12·|12m -n |m =12|12-mn |∴S △AOP ＝S △BOP ；故②正确；如图1，过点P 作PF ⊥OA 于F ，PE ⊥OB 于E ，∴BOP S =12OB ·PE ，AOP S =12OA ·PF∵BOP AOP S S = ，∴OB ·PE =OA ·PF∵OA =OB ，∴PE =PF ，∵PE ⊥OB ，PF ⊥OA∴OP 是∠AOB 的平分线，故③正确；如图2，延长BP 交x 轴于N ，延长AP 交轴于M ，∵AM ⊥y 轴，BN ⊥x 轴，∴四边形OMPN 是矩形，∵点A ，B 在双曲线y =12x 上，∴6AMO ONB S S == ，∵4BOP S = ，∴2PMO PNO S S == ，∴S 矩形OMPN =4，∴mn =4，∴m =4n ∴12|3|2||BP n n n n m=-=-=，8||12AP m n n =-=∴1182||822||APBS AP BP n n ∆=⨯=⨯⨯=故④不正确；故答案为②③．【点拨】本题属于反比例函数与几何综合题，主要考查了反比例函数的性质、三角形面积公式、角平分线定理逆定理、矩形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线并灵活应用所学知识是解答本题的关键．15．6【分析】连接OA ，可得S △ABO =S △ABC =3，根据反比例函数k 的几何意义，可求出k 的值．解：连接OA ，∵AB ⊥y 轴，∴AB ∥x 轴，∴S △ABO =S △ABC =3，即：12|k |=3，∴k =6或k =-6，∵在第二象限，∴k =-6，故答案为：-6．【点拨】考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数k 的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的前提．16．①②④【分析】设A(a,12a)，B(b,12b)，则C(a，-3a)，D(b，-3b)，由平行四边形的性质AC=BD列出方程求得a、b的关系，进而得B、C的坐标，根据坐标可以判断BC不与x轴平行，从而判断AC与BD垂直，进而判断③错误；②④正确；根据随着|a|不断变小，AC越来越大，BC越来越小，可以判断AC有可能与BC相等，进而判断①的正误．解：设A(a,12a)，B(b,12b)，则C(a，-3a)，D(b,-3b)，∵AC=BD，∴-15a=15b，∴a=-b，∴yC=-3a=3b≠yB=12b，∴BC不与x轴平行，∴AC与BC不可能垂直，∴▱ACBD不可能是矩形，▱ACBD不可能是正方形．故③错误；②④正确；∵随着|a|不断变小，AC越来越大，BC越来越小，∴AC有可能与BC相等，故①正确；故答案为①②④．【点拨】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，矩形、正方形的判定，解题的关键是由平行四边形的对边相等，得出a、b的关系．17．（12，2）【分析】过点D作GH⊥PB，交BP的延长线于G，作MH⊥HG于H，证得△PGD≅△DHM(AAS)，得PG=DH，DG=MH，设D(m，112m )，表示出点M的坐标，从而得出m的方程，解方程即可．解：过点D作GH⊥PB，交BP的延长线于G，作MH⊥HG于H，如图所示，∵△PMD 是等腰直角三角形，∴PD =DM ，∵∠PDG +∠MDH ＝90°，∠PDG +∠DPG =90°，∴∠DPG =∠MDH ，∵∠G =∠H ，∴△PGD ≅△DHM (AAS)，∴PG =DH ，DG =MH ，∵点P 的纵坐标为4，∴将y =4代入112y x =+，得x =6，∴P 点坐标为（6，4），将P （6，4），代入(0)k y x x =>，得：k =24，∴反比例函数解析式为：24(0)y x x=>设D (m ，112m +)，∴DG =m -6，PG =132m -，∴MH ＝m -6，DH =132m -，∴M （332m -，172m -），∵点M 在反比例24y x=的图象上，∴31372422m m ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，解得16m =，210m =，当m ＝6时，M （6，4）(舍去)，当m =10时，M （12，2），故答案为：（12，2）．【点拨】本题是反比例函数与一次函数图象的交点问题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，构造全等三角形表示出点M 的坐标是解题的关键．18．3【分析】延长,AB AC 分别交y 轴，x 轴于点,E D ，易得四边形OBAC 的面积等于8k -，即可得解．解：延长,AB AC 分别交y 轴，x 轴于点,E D ，∵AB x 轴，AC y 轴，则：四边形AEOD 为矩形，,OBE ODC 为直角三角形，∵点A 在反比例函数()280y x x=>的图象上，点B 、点C 在反比例函数1k y x =（0k ≠，0x >）上，∴8AEOD S =矩形，2OBE ODC k S S ==，∴四边形OBAC 的面积85OBE ODC AEOD S S S k =--=-= 矩形，∴3k =；故答案为：3．【点拨】本题考查一直图形面积求k 值．熟练掌握k 值的几何意义，是解题的关键．19．(1)1,12；(2)⎝；(3)()0,8-或()8,0-．【分析】(1)根据点B 的坐标，利用待定系数法即可求出1k 、2k 的值；(2)根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A 、C 的坐标，根据梯形的面积公式求出ODAC S 四边形的值，进而即可得出ODE S ∆的值，结合三角形的面积公式即可得出点E 的坐标，利用待定系数法即可求出直线OP 的解析式，再联立直线OP 与双曲线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P 的坐标；(3)过点B 作直线12M M AB ⊥交x 轴于点2M 交y 轴于点1M ，作出符合题意的图形，利用待定系数法求出直线12M M 的解析式，再求出1M 、2M 的坐标即可．（1）解：将点()6,2B --代入114y k x =+，1264k -=-+，解得：11k =，故一次函数的解析式为；14y x =+，将点()6,2B --代入22k y x =，226k -=-，解得：212k =，故反比例函数的解析式为12y x =；故答案为：1,12（2）解：依照题意，画出图形，如图所示．当2x =时，246m =+=，∴点A 的坐标为()2,6；当0x =时，14044y x =+=+=，∴点C 的坐标为()0,4，∵()114621022()ODAC S OC AD OD =+⋅=⨯+⨯=四边形，:4:1ODE ODAC S S ∆=四边形，∴111210224ODE S OD DE DE =⋅=⨯=⨯ ，∴52DE =，即点E 的坐标为52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线OP 的解析式为y kx =，将点52,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y kx =，得522k =，解得：54k =，∴直线OP 的解析式为54y x =，联立得1254y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：11x y ⎧⎪⎨⎪⎩22x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∵点P 在第一象限，∴点P的坐标为⎝；（3）解：过点B 作直线12M M AB ⊥交x 轴于点2M 交y 轴于点1M ，依照题意画出图形，如图所示．则1290CBM CBM ∠=∠=︒时，四边形11ABM N 与22ABM N 是满足题意的矩形，∵直线AB 的解析式为4y x =+，∴可设直线12M M 的解析式为y x b =-+，把点()6,2B --代入y x b =-+得到26b -=+，解得8b =-，直线12M M 的解析式为8y x =--，当0x =时，8088y x =--=-=-，当0y =时，08x =--，解得8x =-，∴()10,8M -，()28,0M -，故点M 的坐标为()0,8-或()8,0-．【点拨】本题考查了待定系数法求出一次函数及反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、梯形(三角形)的面积公式、矩形的性质，解题的关键是根据题意画出图形，作出辅助线．20．(1)反比例函数的解析式为3y x-=，一次函数解析式为2y x =-+；(2)点P 的坐标为（53，13）；(3)t ＞32【分析】（1）将点B ，点A 坐标代入反比例函数的解析式，可求a 和k 的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；（2）连接OA ，OB ，OP ，求得OC 的长，根据AOB AOC BOC S S S =+ ，:1:2AOP BOP S S = ，求得BOP BOC POC S S S =+ 进而求得点P 的坐标；（3）先求出点C 坐标，由面积关系可求解．解：（1）∵反比例函数k y x=的图像与一次函数y mx n =+的图像相交于(),1A a -，()1,3B -两点，∴()131k a =-⨯=⨯-，∴3,3k a =-=，∴点()3,1A -，∴反比例函数的解析式为3y x-=，由题意可得：313m n m n =-+⎧⎨-=+⎩，解得：12m n =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为2y x =-+；（2）连接OA ，OB ，OP ，令0x =代入22y x =-+，解得22y =，∴一次函数与y 轴的交点C 坐标为()0,2，∴2OC =，∵点P 在线段AB 上，∴设点P 为(),2m m -+，∵点A ()3,1-，点B ()1,3-，∴4AOB AOC BOC S S S =+= ，∵:1:2AOP BOP S S = ，∴2833BOP AOB S S == ，∵1BOP BOC POC S S S m =+=+ ，∴813m +=，解得53m =，∴123m -+=，∴点P 的坐标为51,33⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）∵直线AB 交y 轴于点C ，∴点C ()0,2，∴31222OMN OCN COMN S S S t =+=+⨯⨯ 四边形，∵3COMN S >四边形，∴312322t +⨯⨯>，∴32t >．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键．21．(1)4y x =；(2)100,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）先求出直线OA 的解析式为y x =，直线OB 的解析式为4y x =，过点A作AC x ∥轴，交OB 于C ，在求出1,4C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而得出1344AC a a a =-=，根据21313324244AOB AOC ABC S S S a a a a a =+=⨯⨯+⨯⨯= ，再根据面积即可得出a 的值，求出()2,2A ，即可得出答案；（2）根据（1）可得：()2,2A ，()1,4B ，由于点D 与点A 关于y 轴对称，可知当PA PB +的值最小，即B ，P ，D 三点在同一直线上时ABP 的周长最小，求出直线BD 的解析式为21033y x =+，即可得出答案．（1）解：∵设直线OA 的解析式为1y k x =，将(),A a a 代入，得出：11k =，∴直线OA 的解析式为y x =，设直线OB 的解析式为2y k x =，将1,22B a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得出：24k =，∴直线OB 的解析式为4y x =，过点A 作AC x ∥轴，交OB 于C ，∵(),A a a ，∴点C 的纵坐标为a ，∵点C 在直线OB 上，∴点c 的横坐标为：14a ，∴1,4C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴1344AC a a a =-=，∴21313324244AOB AOC ABC S S S a a a a a =+=⨯⨯+⨯⨯= ，∴2334a =，解得：12a =，22a =-（舍去），∴()2,2A ，∴224k =⨯=，∴反比例函数的解析式为：4y x=；（2）解：根据（1）可得：()2,2A ，()1,4B ，∵点D 与点A 关于y 轴对称，∴PA PD =，∴AB PA PB AB PD PB ++=++，∵AB 为定值，∴当PA PB +的值最小，即B ，P ，D 三点在同一直线上时ABP 的周长最小，∴()2,2D -，设直线BD 的解析式为y ax b =+，将()1,4B ，()2,2D -，代入得：422a b a b +=⎧⎨-+=⎩，解得：23103a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BD 的解析式为21033y x =+，当0x =时，103y =，∴100,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查反比例函数与一次函数，轴对称的性质，正确得出反比例函数解析式是解题的关键．22．(1)3y x=-；(2)-<3≤0x 或1x ≥；(3)()0,5-或()0,1【分析】（1）将点A 坐标代入直线表达式，求出m ，得到具体坐标，再将点A 坐标代入反比例函数表达式，求出k 值可；（2）求出点B 坐标，结合图像可得结果；（3）设点E 坐标为()0,a ，求出直线AB 与y 轴交点F 的坐标，再根据6EBA S =△，列出方程，解之可得．（1）解：将()3,A m -代入2y x =--得：()321m =---=，∴()3,1A -，代入k y x=中，得：()313k =-⨯=-，∴3y x=-；（2）将(),3B n -代入2y x =--中，得32n -=--，解得：1n =，∴()1,3B -，由图像可知：当一次函数图像在反比例函数图像下方时，对应的x 为-<3≤0x 或1x >，∴使一次函数值不大于反比例函数值的x 的取值范围是-<3≤0x 或1x ≥．（3）设点E 坐标为()0,a ，直线AB 与y 轴交于点F ，在2y x =--中，令0x =，则=2y -，∴()0,2F -，∵6EBA S =△，∴()162B A EF x x ⨯⨯-=，即12462a ⨯--⨯=，解得：5a =-或1a =，∴点E 的坐标为()0,5-或()0,1．【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，用待定系数法确定反比例函数的解析式；要能够熟练掌握待定系数法，学会表示交点形成的三角形面积是解题的关键．23．(1)一次函数解析式为3y x =+，反比例函数解析式为4y x=；(2)()03D -，【分析】（1）先把点A 坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B 的坐标，再把A 、B 的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；（2）设直线AB 与x 轴，y 轴分别交于N ，M ，作点C 关于y 轴的对称点H ，连接CH 交y 轴于G ，连接HD ，推出当H D E 、、三点共线且HD AB ⊥时，HD DE +最小，即CD DE +最小；求出()()3003N M -，，，，进而证明45OMN ONM ∠=∠=︒，即可退出45GHD GDH =︒=∠∠，得到DG HG =；由对称性可知()14C --，，则()14H -，，由此求出3OD =，则()03D -，．（1）解：把()14A ，代入到反比例函数()220k y k x=≠中得：241k =，∴24k =，∴反比例函数解析式为4y x =，把()4B n -，代入到()4B n -，4y x=中得：414n ==--，∴()41B --，；把()14A ，，()41B --，代入到一次函数()110y k x b k =+≠中得：11441k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，∴113k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为3y x =+；（2）解：设直线AB 与x 轴，y 轴分别交于N ，M ，作点C 关于y 轴的对称点H ，连接CH 交y 轴于G ，连接HD ，∴CD HD =，∴CD DE HD DE +=+，∴当H D E 、、三点共线且HD AB ⊥时，HD DE +最小，即CD DE +最小；在3y x =+中，令0x =，则3y =，令0y =，则3x =-，∴()()3003N M -，，，，∴3OM ON ==，∴45OMN ONM ∠=∠=︒，∴45GDH EDM ==︒∠∠，∴45GHD GDH =︒=∠∠，∴DG HG =；由对称性可知()14C --，，∴()14H -，，∴41OG DG HG ===，，∴3OD =，∴()03D -，．【点拨】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称最短路径问题，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定当H D E 、、三点共线且HD AB ⊥时，HD DE+最小，即CD DE +最小是解题的关键．24．(1)①直线AB 的解析式为344y x =-+；②四边形ABCD 是菱形，理由见分析；(2)四边形ABCD 能成为正方形，9m n +=．【分析】（1）①先确定出点A ，B 坐标，再利用待定系数法即可得出结论；②先确定出点D 坐标，进而确定出点P 坐标，进而求出PD PB ，，即可得出结论；（2）先确定出33m A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，33n C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，进而求出点P 的坐标，再求出B ，D 坐标，最后用BD AC =，即可得出结论．（1）解：①∵4m =，∴反比例函数为4y x=，当4x =时，1y =，∴()41B ，，当3y =时，∴43x =，∴43x =，∴433A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线AB 的解析式为y kx b =+，∴43341k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得344k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的解析式为344y x =-+；②四边形ABCD 是菱形，理由如下：由①知，433A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵AC x ∥轴，∴1633C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∵点P 是线段AC 的中点，∴1033P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，当103x =时，由4y x =得，65y =，由16y x =得，245y =，∴56359PB =-=，355249PD =-=，∴PB PD =，∵PA PC =，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵BD AC ⊥，∴四边形ABCD 是菱形；（2）解：四边形ABCD 能是正方形，理由：当四边形ABCD 是正方形，记AC BD ，的交点为P ，P 为AC 的中点，∴BD AC =，当3y =时，由m y x =得，3m x =，由n y x=得，3n x =，∴33m A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，33n C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴36m n P +⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴66m n m B m n +⎛⎫ +⎝⎭，，66m n n D m n +⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，∵BD AC =，∴6633n m n m m n m n -=-++，∴18m n +=．【点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形ABCD 是平行四边形是解本题的关键．。
反比例函数图象上的动点问题
反比例函数图象上的动点问题反比例函数图像上的动点问题——反比例函数复习一、开门见山揭示课题二、复习过程演绎(一)问题1教学出示右图:如图，坐标系内有一点A(2，4)，有一反比例函数图像经过A点。
则它的函数关系式是什么,(学生口答)A (2，4) y 变:过A作AD?x轴于D,连结OA,则S=___. ?C AOD学生口答。
O F 11D (预设两种:S=OD×AD=4, S=×8) ?? x AODAOD22O师:你是怎么知道的?总结:?把点的坐标转化为线段的长，往往是解决直角坐标系中有关图形计算的手段(预设1);变1:若C是图像上的一个动点，也构造这样的直角三角形COF，则面积为多1少,你的理由,S=,k,(根据学生回答，引出C为动点) ?AOD2师:提问:连结AC，在这个图形中，你还能找出其他面积相等的部分吗,(学生在工作单上试做)学生回答:(1)S =S;S =S板书 ?梯??AOMMDFCAOCADFC(移动几何画板观看)变2:若C点坐标为(4，2)，求S ?AOC生说师写过程(板书转化思想)变3:S=6，求C点坐标 ?AOC学生试做。
优生板演。
毕。
师:请大家仔细看黑板上同学所做题目。
请给与评价。
有哪些地方值得你欣赏的,哪些地方你觉得要修正的,(老师根据学生所言，共同规范书写过程)板书分类思想阶段评价(二)出示问题2变4:延长AO交图像于点B,则B点坐标为多少,(口答)师:你的理由,(中心对称图形)延长CO、AO交图像的另一分支于点E、B，连结AF、BF，四边形AEBC是什么1特殊四边形,理由,提问:四边形AEBC还有可能是其他特殊平行四边形吗, (教师用几何画板拖动点的位置，让学生感知点的运动)变5:点C是该反比例函数图像第一象限上的一个动点,若连结BC恰好经过点D，8求此时点C的坐标;6追问:是矩形吗, (2,4)A42CO-5510有可能是菱形吗,你有理由吗, -2EF-4 B三、总结:谈谈本节课的收获。
【2021中考数学】反比例函数图象上点的坐标特点含答案
2021中考数学反比例函数图象上点的坐标特点1．若函数的图象经过点（3，﹣4），则它的图象一定还经过点（）A．（3，4）B．（2，6）C．（﹣12，1）D．（﹣3，﹣4）2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为（）A．B．8C．10D．3．如图，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A'BC′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A'B的中点D，则k的值是（）A．19B．16.5C．14D．11.54．已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，点A的坐标为（10，0），对角线OB，AC相交于点D，反比例函数y＝（x＞0）经过点D，交BC的延长线于点E，且sin∠CBA＝，则点E的坐标是（）A．（6，8）B．（3，8）C．（6，）D．（，6）5．已知点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在反比例函数y＝﹣的图象上，若y1＜y2＜0，则x1与x2的大小关系是（）A．x1＜x2B．x1＞x2C．x1＝x2D．无法确定6．反比例函数y＝（k＜0）的图象上的两点A（﹣1，y1）和B（﹣3，y2），则y1与y2的关系为（）A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2D．无法确定7．如图，在平面直角坐标系内，矩形OABC的顶点O与原点重合，点A在第二象限，点B 和点C在第一象限，对角线OB的中点为点D，且D．C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若点B的纵坐标为4，且点BC：CO＝：1，则k的值为（）A．8﹣4B．1+C．4﹣2D．2+28．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，5），则这个函数的图象一定经过点（）A．（5，﹣1）B．（﹣，2）C．（﹣2，﹣5）D．（，﹣20）9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y2 10．如图，在直角坐标系内，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A在第二象限，点B，C在第一象限内，对角线OB的中点为D，且点D，C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，若点B的纵坐标为4，则k的值为（）A．1+B．3﹣C．2﹣2D．2+211．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（1，1）、B（3，1）．当函数y＝（x ＞0）的图象与线段AB有交点时，设交点为P（点P不与点A、B重合），将线段PB绕点P逆时针方向旋转90°得到线段PQ，以P A、PQ为边作矩形APQM，若函数y＝（x ＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点，则k的值不可能为（）A．B．2C．D．12．如图，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝3BO，OB在x轴上，OA在y轴上，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转至△Rt△A'OB'，其中点B'落在反比例函数y＝﹣的图象上，OA'交反比例函数y＝的图象于点C，且A′C＝，则k的值为（）A．6B．C．12D．13．如图，分别过反比例函数y＝（x＞0）图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2）…P n（n，y n）作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…A n，连结A1P2，A2P3，…A n﹣1P n，再以A1P1，A1P2为一组邻边作平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为邻边作平行四边形A2P2B2P3，以此类推，则B1的纵坐标为，B n的纵坐标为（用含n的代数式表示）14．如图，0为原点，A（4，0），E（0，3），四边形OABC，四边形OCDE都为平行四边形，OC＝5，函数y＝（x＞0）的图象经过AB的中点F和DE的中点G，则k的值为．15．已知M为双曲线y＝（x＞0）的点，点M作x轴，y轴的垂线分别交直线y＝﹣x+m （m＞0）于点D、C两点（点D在点M下方），若直线y＝﹣x+m（m＞0）与y轴交于点A，与x轴相交于点B，则AD•BC的值为．16．如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转α度，tanα＝，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为．17．已知点A（2，3）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，当x＞﹣2时，则y的取值范围是．18．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＜0）与y＝（x＞0）的图象上，且△OAB 是等边三角形，则点A的坐标为．19．两个反比例函数y＝，y＝在第一象限内的图象如图所示，点P1，P2，P3，…，P2015在反比例函数y＝图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2015，纵坐标分别是1，3，5，…，共2015个连续奇数，过点P1，P2，P3，…，P2015分别作y轴的平行线，与y＝的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…Q2015（x2015，y2015），则y2015＝．20．如果四边形有一组对边平行，且另一组对边不平行，那么称这样的四边形为梯形，若梯形中有一个角是直角，则称其为直角梯形．下面四个结论中：①存在无数个直角梯形，其四个顶点分别在同一个正方形的四条边上；②存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一条抛物线上；③存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一个反比例函数的图象上；④至少存在一个直角梯形，其四个顶点在同一个圆上．所有正确结论的序号是．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点A（0，2）和C（2，0），顶点B在x轴上，顶点D在反比例函数y＝的图象上，点E为边CD上的动点，过点E 作EF∥x轴交反比例函数图象于点F，过点F作FG∥CD交x轴于点G，当CE＝CG时，点F的坐标为．22．平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC中的顶点B在x轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C的坐标为（3，﹣4）．（1）点A的坐标为；（2）若将菱形OABC沿y轴正方向平移，使其某个顶点落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则该菱形向上平移的距离为．23．函数y＝（m﹣1）x是反比例函数．（1）求m的值；（2）判断点（，2）是否在这个函数的图象上．24．有三张正面分别标有数字：﹣1，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字．（1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所有结果；（2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求点（x，y）落在双曲线y＝上的概率．25．已知反比例函数y＝﹣．（1）若点（﹣t+，﹣2）在此反比例函数图象上，求t的值．（2）若点（x1，y1）和（x2，y2）是此反比例函数图象上的任意两点，①当x1＞0，x2＞0，且x1＝x2+2时，求的值；②当x1＞x2时，试比较y1，y2的大小．26．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么＝|a±b|，如何将双重二次根式化简．我们可以把5±2转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′）给出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点（3，2）的“横负纵变点”为（3，2），点（﹣2，5）的“横负纵变点”为（﹣2，﹣5）．问题：（1）点（）的“横负纵变点”为；点（﹣3，﹣2）的“横负纵变点”为；（2）化简：；（3）已知a为常数（1≤a≤2），点M（﹣，m）是关于x的函数y＝﹣（）图象上的一点，点M′是点M的“横负纵变点”，求点M′的坐标．27．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y满足x＝，y＝，那么称点T是点A、B的“和美点”．（1）已知A（﹣1，8），B（4，﹣2），C（2，4）．请判断点C（填“是”或“不是”）A、B两点的“和美点”．（2）平面直角坐标系中，有四个点A（8，﹣1），B（2，﹣4），C（﹣3，5），D（12，5），点P是点A、B的“和美点”，点Q是点C、D的“和美点”．求过P、Q两点的直线解析式．（3）若反比例函数y＝图象上有两点A、B，点T是点A、B的“和美点”，试问点T的横、纵坐标的积是否为常数？若是常数，请求出这个常数；若不是常数，请说明理由．28．如图，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝4．（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由．（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．29．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，点B在y轴上，BC∥x轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，交BC于点D．（1）若OB＝3，求k的值；（2）连接CO，若AB＝BD，求四边形ABOC的周长．30．已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣1）．（1）求k的值．（2）完成下面的解答．解不等式组解：解不等式①，得．根据函数y＝的图象，得不等式②的解集．把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．从图中可以找出两个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集．31．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B分别在y轴和x轴上，点C、D都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，设点A、B的坐标分别为（0，a）、（b，0）且a＞0，b＞0．（1）如果四边形ABCD是正方形，如图①，用a、b表示点C和点D的坐标；（2）如果四边形ABCD是矩形，如图②，若AB＝6，BC＝2，求k的值．32．如图，点A在双曲线y＝（x＞0）上，且OA＝，过A作AC⊥x轴，垂足为C，线段OA的垂直平分线交线段OC于B．（1）求点A的坐标．（2）求△ABC周长．参考答案1．解：∵函数的图象经过点（3，﹣4），∴k＝3×（﹣4）＝﹣12，符合题意的只有C：k＝﹣12×1＝﹣12．故选：C．2．解：过D作DE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴，BH⊥y轴，∴∠BHC＝90°，∵点D（﹣2，3），AD＝5，∴DE＝3，∴AE＝＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∴∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠DCP+∠BCH＝∠BCH+∠CBH＝90°，∴∠CBH＝∠DCH，∵∠DCP+∠CPD＝∠APO+∠DAE＝90°，∠CPD＝∠APO，∴∠DCP＝∠DAE，∴∠CBH＝∠DAE，∵∠AED＝∠BHC＝90°，∴△ADE≌△BCH（AAS），∴BH＝AE＝4，∵OE＝2，∴OA＝2，∴AF＝2，∵∠APO+∠P AO＝∠BAF+∠P AO＝90°，∴∠APO＝∠BAF，∴△APO∽△BAF，∴，∴＝，∴BF＝，∴B（4，），∴k＝，故选：D．3．解：作A′H⊥y轴于H．∵∠AOB＝∠A′HB＝∠ABA′＝90°，∴∠ABO+∠A′BH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠A′BH，∵BA＝BA′，∴△AOB≌△BHA′（AAS），∴OA＝BH，OB＝A′H，∵点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（0，6），∴OA＝1，OB＝6，∴BH＝OA＝1，A′H＝OB＝6，∴OH＝5，∴A′（6，5），∵BD＝A′D，∴D（3，5.5），∵反比例函数y＝的图象经过点D，∴k＝16.5．故选：B．4．解：如图所示，过B作BF⊥x轴于F，∵四边形ABCO是菱形，∴BC∥AO，∴∠ABC＝∠BAF，∵点A的坐标为（10，0），sin∠CBA＝，∴AO＝AB＝10，BF＝6，∴AF＝8，∴OF＝OA+AF＝18，∴B（18，6），∵D是OB的中点，∴D（9，3），∴反比例函数解析式为y＝，又∵点E的纵坐标为6，∴令y＝6，可得x＝，即点E的坐标是（，6），故选：D．5．解：∵反比例函数y＝﹣的图象过第二、四象限，当y1＜y2＜0时，则x1＜x2，故选：A．6．解：∵反比例函数y＝（k＜0），∴函数的图象在第二、四象限，并且在每个象限内，y随x的增大而增大，∵反比例函数y＝（k＜0）的图象上的两点A（﹣1，y1）和B（﹣3，y2），∴点A、B都在第二象限，∵﹣1＞﹣3，∴y1＞y2，故选：C．7．解：过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，设C（a，b），则OF＝a，CF＝b，∵四边形OABC为矩形，∴OA＝BC，AB＝CO，∠AOC＝90°，∴∠AOE+∠COF＝90°，∵AE⊥x轴，∴∠AOE+∠EOA＝90°，∴∠OEA＝∠COF，∴△OAE∽△COF，∴＝＝，∵BC：CO＝：1，∴AO：CO＝：1，∴AE＝OF＝a，OE＝CF＝b，∴A（﹣b，a），∵四边形OABC为矩形，D是OB的中点，∴D是AC的中点，∴D（，），∵点D，C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝ab＝•，即a2﹣b2＝2ab，∵B点的纵坐标为4，∴D点纵坐标为＝2，即a+b＝4，联立方程组，解得，或（舍去），∴k＝ab＝8﹣4．故选：A．8．解：把（﹣2，5）代入y＝得：5＝，解得：k＝﹣10，即y＝﹣，A．把（5，﹣1）代入y＝﹣得：左边≠右边，即反比例函数y＝﹣的图象不经过点（5，﹣1），故本选项不符合题意；B．把（﹣，2）代入y＝﹣得：左边≠右边，即反比例函数y＝﹣的图象不经过点（﹣，2），故本选项不符合题意；C．把（﹣2，﹣5）代入y＝﹣得：左边≠右边，即反比例函数y＝﹣的图象不经过点（﹣2，﹣5），故本选项不符合题意；D．把（，﹣20）代入y＝﹣得：左边≠右边，即反比例函数y＝﹣的图象经过点（，﹣20），故本选项符合题意；故选：D．9．解：∵反比例函数为y＝（k＜0），∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，又∵x1＜x2＜0＜x3，∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，且y1＜y2，∴y3＜y1＜y2，故选：D．10．解：过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，设C（a，b），则OF＝a，CF＝b，∵四边形ABCO为正方形，∴OA＝CO，∠AOC＝90°，∴∠AOE+∠COF＝90°，∵AE⊥x轴，∴∠AOE+∠OEA＝90°，∴∠OEA＝∠COF，在△OAE和△COF中，，∴△OAE≌△COF（AAS），∴AE＝OF＝a，OE＝CF＝b，∴A（﹣b，a），∵四边形ABCO为正方形，D是OB的中点，∴D是AC的中点，∴D（），∵点D，C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝ab＝，即a2﹣b2＝4ab，∵B点的纵坐标为4，∴D点纵坐标为，即a+b＝4，联立方程组，解得，，或（舍去），∴k＝ab＝2﹣2．故选：C．11．解：分析图形可知：当函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点为M时，k取得最大值，∵P在y＝上且y P＝1，∴P（k，1），设PB＝a，则Q（k，1+a），∵四边形APQM是矩形，∴M（1，1+a），而M在y＝上，∴1+a＝k，∵AP＝MQ，∴2﹣a＝k﹣1，由，解得，∴0＜k≤2，∴k＝不符合条件．故选：A．12．解：作CM⊥x轴于点M，作B′N⊥x轴于点N，由题意知OB＝OB′，OA＝OA′，∠BOB′＝∠AOC＝∠OCM．又∵∠ONB′＝∠OMC，∴△OB′N∽△COM，∵AO＝3BO，且A′C＝，∴OC＝2OB′，∴CM＝2ON，OM＝2B′N，∵ON•B′N＝3，∴CM•OM＝4ON•B′N＝12，即k＝12．故选：C．13．解：∵点P1（1，y1），P2（2，y2）在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝3，y2＝，∴P1A1＝y1＝3，又∵四边形A1P1B1P2，是平行四边形，∴P1A1＝B1P2＝3，P1A1∥B1P2 ，∴点B1的纵坐标是：y2+y1＝+3＝；同理求得，点B2的纵坐标是：y3+y2＝1+＝；点B3的纵坐标是：y4+y3＝+1＝；…∴点B n的纵坐标是：y n+1+y n＝+＝．故答案是：，．14．解：∵A（4，0），E（0，3），∴OE＝3，OA＝4，由▱OABC和▱OCDE得：OE∥DC，BC∥OA且DC＝OE＝3，BC＝OA＝4，设C（a，b），则D（a，b+3）、B（4+a，b），∵AB的中点F和DE的中点G，∴G（），F（），∵函数y＝（x＞0）的图象经过点G和F，则，3a＝4b，a＝，∵OC＝5，C（a，b），∴a2+b2＝52，，b＝±3，∵b＞0，∴b＝3，a＝4，∴F（6，），∴k＝6×＝9；故答案为：9．15．解：设M（a，b），则ab＝，y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴的交点为A（0，m）、B（m，0），∴OA＝OB＝m，即△AOB是等腰直角三角形，过点D作DN⊥y轴，垂足为N，则△ADN是等腰直角三角形，∴AD＝DN＝a，同理：BC＝b，∴AD•BC＝a•b＝2ab＝2．故答案为：2．16．解：如图，过B作BF⊥AC于F，过F作FD⊥y轴于D，过A作AE⊥DF于E，则△AEF∽△FDB，∵tanα＝，∴＝＝，∴设BD＝a，则EF＝2a，∵点A（2，3）和点B（0，2），∴DF＝2﹣2a，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，∴AE＝2DF＝4﹣4a，∵AE+OD＝3，∴4﹣4a+2﹣a＝3，∴F（，），设直线AF的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴y＝x+，∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴y＝，解方程组，可得或，∴C（﹣，﹣），故答案为（﹣，﹣）．17．解：∵点A（2，3）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝2×3＝6，∴图象在一三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当x＝﹣2时，y＝＝﹣3，∴当x＞﹣2时，y＜﹣3或y＞0．故答案为：y＜﹣3或y＞0．18．解：延长BA到C，使得BC＝AB，连接OC，作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N．设A （m，）．∵△OAB是等边三角形，∴OB＝BA＝BC，∴∠AOC＝90°，∵∠OAC＝60°，∴∠ACO＝30°，∴OC＝OA，∵∠AMO＝∠AOC＝∠CNO＝90°，∴∠AOM+∠MAO＝90°，∠AOM+∠CON＝90°，∴∠OAM＝∠CON，∴△AMO∽△ONC，∴＝＝＝，∵OM＝﹣m，AM＝﹣，∴ON＝﹣，CN＝﹣m，∴C（﹣，m），∴B（，），∵点B在y＝﹣上，∴×＝﹣4，整理得：m4+4m2﹣4＝0，解得m＝1﹣（不合题意的根已经舍弃），∴A（1﹣，﹣﹣1）．故答案为（1﹣，﹣﹣1）．19．解：由题意可知：P2015的坐标是（x2015，4029），又∵P2015在y＝上，∴x2015＝，∵Q2015在y＝上，且横坐标为x2015，∴y2015＝＝＝2014.5．故答案为2014.5．20．解：①如图1中，点P是正方形ABCD的边AD上的任意一点，则四边形ABCP是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故①正确．②如图2中，四边形ABCO是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故②正确．③如图3中，四边形ABCD是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故③正确．④直角梯形的四个顶点，不可能在同一个圆上，故④错误，故答案为①②③．21．解：连接AC，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，∵A（0，2）），C（2，0），∴OA＝2，OC＝2，∴AC＝＝4，tan∠OCA＝＝＝，∴∠OCA＝60°，∵菱形ABCD，∴△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝CA＝4＝AD＝CD，∴D（4，2），∴反比例函数的关系式为y＝，∵EF∥x轴，FG∥CD，CE＝CG，∴四边形CGFE是菱形，且∠ECG＝60°，在Rt△FMG中，∠GFM＝30°，设GM＝x，则CG＝GF＝2x，FM＝x，∴点F（2+3x，x），又∵点F（2+3x，x）在y＝的图象上，∴（2+3x）•x＝8，解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝，∴点F（6，），故答案为：（6，）．22．解：（1）∵菱形OABC关于x轴为对称，∴A，C关于x轴为对称，∵C的坐标为（3，﹣4），∴A（3，4），故答案为（3，4）；（2）∵A（3，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝3×4＝12，∴y＝，若将菱形OABC向上平移m个单位长度，当点C落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的坐标为（3，m﹣4），∵点C恰好落在反比例函数图象上，∴3（m﹣4）＝12，解得：m＝8；连接AC交x轴于于D，∵四边形AOCB是菱形，∴OB＝2OD＝6，∴B（6，0），若将菱形OABC向上平移m个单位长度，当点B落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点B的坐标为（6，m），∵点B恰好落在反比例函数图象上，∴6m＝12，解得：m＝2，∴将菱形OABC沿y轴正方向平移，使其某个顶点落在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则该菱形向上平移的距离为2或8，故答案为：2或8．23．解：（1）由题意：，解得m＝0．（2）∵反比例函数y＝﹣，当x＝，y＝﹣2，∴点（，2）不在这个函数图象上．24．解：（1）根据题意画出树状图如下：（2）当x＝﹣1时，y＝＝﹣2；当x＝1时，y＝＝2；当x＝2时，y＝＝1．∴一共有9种等可能的情况，点（x，y）落在双曲线y＝上有2种情况：（1，2），（2，1），∴点（x，y）落在双曲线y＝上的概率为：．25．解：（1）把点（﹣t+，﹣2）代入反比例函数y＝﹣得，（﹣t+）×（﹣2）＝﹣3，解得，t＝1；（2）①当x1＞0，x2＞0，且x1＝x2+2时，这两个点在第四象限，＝﹣＝﹣+＝＝﹣；②根据函数的图象可知，Ⅰ）当0＞x1＞x2时，y1＞y2＞0，Ⅱ）当x1＞0＞x2时，y1＜0＜y2，Ⅲ）当x1＞x2＞0时，0＞y1＞y2，26．解：（1）点（）的“横负纵变点”为（），点（﹣3，﹣2）的“横负纵变点”为（﹣3，2），故答案为（，﹣），（﹣3，2）；（2）∵2+5＝7，2×5＝10，∴＝＝；（3）∵1+（a﹣1）＝a，1•（a﹣1）＝a﹣1，∴＝+＝2，∴函数y＝﹣，∵点M（﹣，m）在y＝﹣上，∴m＝，∴M（﹣，），∴点M的“横负纵变点”M′的坐标为（﹣，﹣）．27．解：（1）∵点A（﹣1，8），B（4，﹣2），∴点A，B的“和美点”的横坐标为＝2，纵坐标为＝4，∴点A，B的“和美点”的坐标为（2，4），∴点C是A，B两点的“和美点”，故答案为：是；（2）∵点A（8，﹣1），B（2，﹣4），且点P是点A、B的“和美点”，∴P（4，2），∵点C（﹣3，5），D（12，5），且点Q是点C、D的“和美点”，∴Q（6，5），设直线PQ的解析式为y＝kx+m，∴，∴，∴直线PQ的解析式为y＝x﹣4；（3）点T的横、纵坐标的积是常数4，理由：设点A（n，），B（h，），∵点T是点A、B的“和美点”，∴T（，），∴点T的横、纵坐标的积是•＝＝4，28．解：（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，CP，∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝4，∴BP＝CP＝4，G是CD的中点，∴PG＝2，∴P（4，2），∵P在反比例函数y＝上，∴k＝8，∴y＝，连接AC交PB于G，则AC⊥PB，由正六边形的性质得A（2，4），∴点A在反比例函数图象上；（2）过Q作QM⊥x轴于M，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠EDM＝60°，设DM＝b，则QM＝b，∴Q（b+6，b），∵该反比例函数图象与DE交于点Q，∴b（b+6）＝8，解得：b＝﹣3+，b＝﹣3﹣（不合题意舍去），∴点Q的横坐标为3+；（3）连接AP，A（2，4），B（0，2），C（2，0），D（6，0），E（8，），F（6，4），设正六边形向左平移m个单位，向上平移n个单位，则平移后点的坐标分别为∴A（2﹣m，4+n），B（﹣m，2+n），C（2﹣m，n），D（6﹣m，n），E（8﹣m，2+n），F（6﹣m，4+n），①将正六边形向左平移4个单位后，E（4，2），F（2，4）；则点E与F都在反比例函数图象上；②将正六边形向右平移2个单位，再向上平移2个单位后，C（4，2），B（2，4）则点B与C都在反比例函数图象上；29．解：（1）过A作AE⊥BC于E交x轴于F，则AF∥y轴，∵BC∥x轴，∴四边形BOFE是矩形，∴EF＝OB＝3，∵AB＝AC＝，BC＝4，∴BE＝BC＝2，∴AE＝＝，∴A（2，），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，∴k＝2×＝9；（2）设OB＝a，∵BD＝AB＝，∴A（2，+a），D（，a），∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，交BC于点D，∴2（+a）＝a，解得：a＝6，∴OB＝6，∴OC＝＝＝2，∴四边形ABOC的周长＝AB+OB+OC+AC＝11+2．30．解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣2，﹣1），∴k＝（﹣2）×（﹣1）＝2；（2）解不等式组解：解不等式①，得x＜1．根据函数y＝的图象，得不等式②的解集0＜x＜2．把不等式①和②的解集在数轴上表示为：∴不等式组的解集为0＜x＜1，故答案为：x＜1，0＜x＜2，0＜x＜1．31．解：（1）如图1，过点C作CM⊥x轴，垂足为M，过点D作DN⊥y轴，垂足为N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠DAB＝90°，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABO+∠CBM＝90°，∴∠BAO＝∠CBM，∴△AOB≌△BMC（AAS），∴OA＝BM＝a，OB＝MC＝b，∴点C（a+b，b），同理，D（a，a+b）；（2）如图2，由（1）的方法可得，△AOB∽△BMC，∴＝＝＝＝，∴BM＝OA＝a，CM＝b，∴点C（b+a，b），同理，点D（a，a+b），∵点C、D在反比例函数的图象上，∴（b+a）×b＝a×（a+b），∴a＝b，在Rt△AOB中，a＝b＝AB＝3，∴k＝（b+a）×b＝8，答：k的值为8．32．解：（1）∵点A在双曲线y＝（x＞0）上，AC⊥x轴，∴设AC＝a，∴oOC＝，∵AC2+OC2＝OA2，∴a2+（）2＝13，解得：a＝3或a＝2（负值舍去），∴A（2，3）或（3，2）；（2）∵OA的垂直平分线交OC于B，∴AB＝OB，∴△ABC的周长＝OC+AC＝2+3＝5。
专题18 反比例函数中动点问题及图形存在性探究(解析版)
= =⎩5k+b=0⎪⎪4⎪b=-15专题18反比例函数中动点问题及图形存在性探究1.（2019·山东泰安中考）已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A，与x轴交于点B(5,0)，若OB=AB，且△SOAB 15 2.（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）若点P为x轴上一点，且△ABP是等腰三角形，求点P的坐标.【答案】见解析.【解析】解：（1）如图，过点A作AD⊥x轴于点D，∵B(5,0)，OB=AB，且△SOAB 15 2，∴115⨯5⨯AD=,即AD=3，22在△R t ABD中，由勾股定理得：BD=∴A点坐标为（9,3），AB2-AD2=4,∵反比例函数y=mx的图象过点A，∴m=27，将（9,3），（5,0）代入y=kx+b得：⎧9k+b=3⎨⎧3k=，解得：⎨⎪⎩4y＝2的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝4，EF＝3，则k2﹣k1＝．，，即一次函数解析式为：y=31527x-，反比例函数解析式为：y=44x；（2）由题意知，AB=5，①当AB=BP时，BP=5，即P点坐标为（0,0）或（10,0），②当AB=AP时，由AD=3知，BP=4，即点P与点B关于点D对称，即P点坐标为（13,0），③当AP=BP时，即P在线段AB的垂直平分线上，设P(m，0)，则AP2=（9－m）2+9，BP2=（5－m）2，∴（9－m）2+9=（5－m）2解得：m=658，即P点坐标为（658，0），综上所述，满足题意的P点坐标为：（0,0），（10,0），（13,0），（658，0）.k2.（2019·四川达州中考）如图，A、B两点在反比例函数y＝1的图象上，C、D两点在反比例函数xkx【答案】4．【解析】解：设A（a，k k k k1），C（a，2）B（b，1），D（b，2）a ab bk k则CA＝2﹣1＝2，a ak-k k-k即21=2，得a＝21，a2k-k k-k同理：BD＝12=4，得b＝1b4又∵a﹣b＝32，∴k-k（x＜0）的图象上，则tan∠BAO的值为k-k21－1242＝3，解得：k2﹣k1＝4.故答案为：4.3.（2019·山东枣庄中考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形A BC的顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，∠ABC=90°，CA⊥x轴，点C在函数y=（）kx（x＞0）的图象上，若AB=1，则k的值为A.1B.22C.2D.2【答案】A.【解析】解：过点C作CD⊥y轴于D，如图所示，∵CA⊥x轴，∴∠ACO=90°，∴四边形OACD是矩形，∵AB=BC=1，∴S四边形OACD=2△SABC=1，即k=1，故答案为：A.4.（2019·山东潍坊中考）如图，△R t AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝-5＞0）与y＝x．1x（x（x ＞0）与 y ＝ （x ＜0）的图象上，，△S AOC ＝ ， ＝【答案】 5 .【解析】解：过 A 作 AC ⊥x 轴于 C ，过 B 作 BD ⊥x 轴于 D ，则∠BDO ＝∠ACO ＝90°，∵点 A ，B 分别在反比例函数 y ＝1 -5x x∴△S BDO5 1 22∵∠AOB ＝90°，∴∠BOD +∠DBO ＝∠BOD +∠AOC ＝90°，∴∠DBO ＝∠AOC ，∴△BDO ∽△OCA ，S∴ V BOD =SV AOC(OB )2 (OA )2= 5 ，∴ OB OA= 5 ，∴tan ∠BAO ＝ OB OA= 5 ，故答案为： 5 ．合，顶点A,B恰好分别落在函数y=-15.（2019·甘肃陇南中考）如图，已知反比例函数y=kx（k≠0）的图象与一次函数y=－x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=－x+b的图象于点M，交反比例函数y=k上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．x【答案】见解析.【解析】解：（1）∵反比例函数y=两点，代入可得：k=3，b=4，kx的图象与一次函数y=－x+b的图象交于A（1，3），B（3，1）即反比例函数和一次函数的表达式分别为y=3x，y=－x+4；（2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．6.（2019·湖北咸宁中考）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重4(x<0),y=(x>0)的图象上，则sin∠ABO的值为（）x x（A）13355（B）（C）（D）345【答案】D.【解析】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，如图所示，设 A ( x ，- )，B ( x ， ),x2 x x y 轴的正半轴上，∠ABC ＝90°，CA ⊥x 轴，点 C 在函数 y ＝ （x ＞0）的图象上，若 AB ＝1，则 k 的值为（）2C ．2∴△AOC ∽△OBD ，∴ OA AC OC = =OB OD BD,1 4 1 121 -OA x - x ∴ = 1 = 1 ，OB x4 22可得： (x x1 2)2 = 4 ，∵ x x <0，1 2∴ x x =－2，1 2即 OA 1 = ，OB 2设 OA =k ，则 OB =2k ，由勾股定理得：AB = 5 k ,在 △R t AOB 中，sin ∠ABO = OA k 5= = ，AB 5k 5故答案为：D .7.（2019·山东枣庄中考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 、B 分别在 x 轴、kxA ．1【答案】A ．B ． 2D ．2∴点C的坐标为（，2），∵点C在函数y＝的图象上，x+k1+⎪∴C（m+n，0），D（0，k⎛1+⎪），∴△SODM＝1n×k +⎪＝，△S OCA＝（m+n）×＝，【解析】解：∵由题意知，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，AB＝1，∴∠BAC＝∠BAO＝45°，∴OA＝OB＝22，AC＝2，22kx∴k＝2×2＝1，2故答案为：A．8.（2019·湖南长沙中考）如图，函数y=kx(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，△F．现有以下四个结论：①ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+3；④若MF＝＝2MA．其中正确的结论的序号是．25MB，则MD【答案】①③④.【解析】解：①设点A（m，kmk），M（n，），n则直线AC的解析式为y＝﹣k⎛1⎫，mn⎝m n⎭⎝m1⎫n⎭2⎛11⎫k(m+n)1k k(m+n)⎝m n⎭2m2m2m∴△ODM与△OCA的面积相等，故①正确；∵反比例函数与正比例函数关于原点对称，∴O是AB的中点，∵BM⊥AM，∴OM＝OA，∴k＝mn，∴A（m，n），M（n，m），∴AM＝2（n﹣m），OM＝m2+n2，∴AM不一定等于OM，即∠BAM不一定是60°，∴∠MBA不一定是30°．故②错误，∵M点的横坐标为1，设M（1，△k），OAM为等边三角形，∴OA＝OM＝AM，∴1+k2＝m2+k2 m2，∴m＝k，∵OM＝AM，∴（1﹣m）2+＝1+k2，∴k2﹣4k+1＝0，∴k＝2±3，∵m＞1，∴k＝2+3，故③正确，如图，作MK∥OD交OA于K，y∵OF∥MK，∴FM OK2==，BM KB5OK2∴=，OB3∵OA＝OB，∴OK=2，AK∵KM∥OD，∴DM OK==2，AM AK∴DM＝2AM，故④正确．故答案为：①③④．9.（2019·湖北荆门中考）如图，在平面直角坐标系中，函数=k(k>0,x>0)的图象与等边三角形OABx的边O A，AB分别交于点M,N，且O M=2MA,若AB=3,那么点N的横坐标为.【答案】3+5.2【解析】解：由题意知，OA=OB=AB=3，∵OM=2MA，∠AOM=∠A=∠ABO=60°，∴OM=2，AM=1，则M点横坐标为1，纵坐标为3，解得：x=或x=（∵N在M的左侧，而<2，舍去），3+510.（2019·河南开封二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝﹣2x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，n），B两点．把A（﹣1，2）代入y＝，可得k＝﹣2，∴k=3，设N点坐标为（x，3），x过N作NH⊥x轴于H，则NH=3BH，∴3x=3(3－x),3+53-53-5222故答案为：.21kx（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；（2）观察图象，请直接写出满足y≤2的取值范围；（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1，请直接写出点P的横坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）把A（﹣1，n）代入y＝﹣2x，得n＝2，∴A（﹣1，2），kx∴反比例函数的表达式为 y ＝﹣ ，△S POB ＝1，m ），则×（2+ m ）（m ﹣1）＝1 或 （2+ m ）（1﹣m ）＝1， 2 或 2 （舍）， 2 或2 x ∵点 B 与点 A 关于原点对称，∴B （1，﹣2）．（2）∵A （﹣1，2），∴y ≤2 的取值范围是：x ＜﹣1 或 x ＞0；（3）作 BM ⊥x 轴于 M ，PN ⊥x 轴于 N ，∵S ＝ 梯形 MBPN设 P （m ，﹣ 2 1 2 2 1 2 2 整理得，m 2﹣m ﹣1＝0 或 m 2+m +1＝0，解得 m ＝ 1 + 51 - 52 （舍）或 5 - 12 或 - 5 - 1 ∴P 点的横坐标为 1 + 5 5 -12 ．。
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反比例函数图像上的动点问题
——反比例函数复习
一、开门见山揭示课题 二、复习过程演绎
（一）问题1教学
出示右图：如图，坐标系内有一点A （2，4），有一反比例函数图像经过A 点。
则它的函数关系式是什么？（学生口答）
变：过A 作AD ⊥x 轴于D ,连结OA ,则S △AOD =___. 学生口答。
（预设两种：S △AOD =12OD ×AD =4, S △AOD =12×8）
师：你是怎么知道的?
总结：①把点的坐标转化为线段的长，往往是解决直角坐标系中有关图形计算的手段（预设1）；
变1：若C 是图像上的一个动点，也构造这样的直角三角形COF ，则面积为多
少？你的理由？S △AOD =1
2︳k ︳（根据学生回答，引出C 为动点）
师：提问：连结AC ，在这个图形中，你还能找出其他面积相等的部分吗？（学生在工作单上试做）
学生回答：（1）S △AOM =S 梯MDFC ;S △AOC =S △ADFC 板书 （移动几何画板观看）
变2：若C 点坐标为（4，2），求S △AOC 生说师写过程（板书转化思想） 变3：S △AOC =6，求C 点坐标 学生试做。
优生板演。
毕。
师：请大家仔细看黑板上同学所做题目。
请给与评价。
有哪些地方值得你欣赏的？哪些地方你觉得要修正的？
（老师根据学生所言，共同规范书写过程）板书分类思想 阶段评价 （二）出示问题2
变4：延长AO 交图像于点B ,则B 点坐标为多少？（口答） 师：你的理由？（中心对称图形）
延长CO 、AO 交图像的另一分支于点E 、B ，连结AF 、BF ，四边形AEBC 是什么
C
F
O
y
O
x
A (2，4)
D
特殊四边形？理由？
提问：四边形AEBC 还有可能是其他特殊平行四边形吗？ （教师用几何画板拖动点的位置，让学生感知点的运动）
变5：点C 是该反比例函数图像第一象限上的一个动点,若连结BC 恰好经过点D ，
求此时点C 的坐标；
追问：是矩形吗？
有可能是菱形吗？你有理由吗？
三、总结：谈谈本节课的收获。
“三二一”
三种数学思想：数形结合思想、分类讨论思想、转化思想 两种解题方法： 转化
求面积，一般性图形 特殊性图形 动点问题要抓住其不变的地方
一个学习建议：经常思考一题多变、一题多法
8
6
4
2
-2
-4
-5
5
10
(2,4)
A O
B
C
E
F。