巩固练习_任意角的三角函数_基础
任意角的三角函数精讲精练
1.2.1任意角的三角函数课前知识储备在初中我们是如何定义锐角三角函数的？斜边对边==raαsin斜边邻边==rbαcos邻边对边==baαtan考点一：任意角的三角函数的定义思考：如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？____sin==OPMPαcosα=OPOM=______tanα=OPMP=.______1.单位圆：以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.2.利用单位圆定义三角函数：设∠POM为α角，则正弦：ry=αsin余切：yx=αcot（y≠0)余弦：rx=αcos正割：xr=αsec (x≠0)正切：xy=αtan（x≠0) 余割：yr=αcsc(y≠0)(仔细观察定义，结合图形，初步理解各三角函数的定义域，思考：当单位圆的半径r=1时，各三角函数的变化）例1：已知角α的终边经过P(2,-3),求α的六个三角函数值。
变式1：①角α的终边上的一个点P的坐标为(4a,-3a)(a≠0),则=+ααcossin2 _____.②已知角α的终边过点P(-12a,5a) (a≠0),求α的六个三角函数值。
如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离r=22ba+>0.过P作x轴的垂线,垂足为M,则线段OM的长度为a,线段MP的长度为b.根据初中学过的三角函数定义,我们有sinα=OPMP=rb,cosα=OPOM=ra,tanα=OPMP=ab.③角α的终边落在点P(5,-12),求角α的六个三角函数值。
④已知角α的终边在直线x y 3-=上，求 =+ααsec 3sin 10_______. ⑤已知角α的终边在直线x y 2=上，求α角的六个三角函数值。
例2：求35π的正弦、余弦和正切值. 变式2：①求67π的正弦、余弦和正切值. ②求32π的六个三角函数值。
考点二：三角函数的有向线段表示1.有向线段：带有方向的线段叫有向线段。
任意角的三角函数和弧度制 基础练习(含解析)
任意角的三角函数和弧度制 基础练习一、选择题1.下列选项中与－80°终边相同的角为（ ）A. 100°B. 260°C. 280°D. 380°2.在平面直角坐标系中，角3πα+的终边经过点P (1,2)，则sin α=（ ）3.若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A. 125 B. 512- C. 512 D. 125- 4.小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是( ) A. π3 B. π6 C. -π3 D. -π65.已知角α的终边经过点(sin 48,cos48)P ︒︒，则sin(12)α︒-=（ ）A. 12 C. 12- D. 6.若12cos 13x =，且x 为第四象限的角，则tanx 的值等于 A 、125 B 、－125 C 、512 D 、－5127.若函数()cos 2()6f x x xf π=+'，则()3f π-与()3f π的大小关系是（ ） A. ()()33f f ππ-= B. )3()3(ππf f <- C. )3()3(ππf f >- D. 不确定 8.若θ是第四象限角，则下列结论正确的是（ ）A ．sin 0>θB ．cos 0<θC ．tan 0>θD ．sin tan 0>θθ9.一扇形的中心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410.已知tan 2α，其中α为三角形内角，则cos α=（）A. 5- D.二、填空题11.若扇形的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm,则扇形圆心角的弧度数为______.12.已知角2α的终边落在x 轴下方，那么α是第 象限角． 13.在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13，则sin β=_________．14.已知一扇形所在圆的半径为10cm ，扇形的周长是45cm ，那么这个扇形的圆心角为 弧度．15.弧长为3π，圆心角为135°的扇形，其面积为____.三、解答题16.已知角α的终边经过点P (54，53-)． (1)求sin α的值． (2)17.(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ（弧度）．（1）求θ关于x 的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？18.在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，角α的终边与单位圆O 的交点B 在第一象限，已知(1,3)A -.（Ⅰ）若OA OB ⊥,求tan α的值.（Ⅱ）若B 点横坐标为45,求AOB S ∆.19.已知2sin tan 3⋅=αα，且0<<απ.（Ⅰ）求α的值；（Ⅱ）求函数()4cos cos()f x x x =-α在[0,]4π上的值域．试卷答案1.C2.A3.B4.B5.A6.D8.D9.D10.A11.212.二或四13.1/314.2.515.6π 16.17.(1)设扇环的圆心角为，则()30102(10)x x θ=++-， 所以10210x xθ+=+，………………………4分 (2) 花坛的面积为 2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．…7分 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+， …………………………9分 所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， …………11分令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t=18时取等号，此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．……………………………14分18.⑴解法1:由题可知：(1,3)A -，(cos ,sin )B αα， (1,3)OA =-，(cos ,sin )OB αα=OA OB ⊥，得0OA OB ⋅= ∴cos 3sin 0αα-+=，1tan 3α= 解法2、由题可知：(1,3)A -，(cos ,sin )B αα 3OA k =-， tan OB k α= ∵OA OB ⊥，∴1OA OB K K ⋅=-得3tan 1α-=-， 得1tan 3α=⑵解法1：由⑴OA == 记AOx β∠=， (,)2πβπ∈∴sin β==，cos β==1OB = 4cos 5α=，得3sin 5α==43sin sin()10510510AOB βα∠=-=+=∴11sin 122AOB S AO BO AOB ∆=∠=32= ……12分 解法2：3sin 5α== 即43(,)55B 即：(1,3)OA =-，43(,)55OB = ，OA ==1OB =，4313cos OA OB AOB OA OB-⨯+⨯⋅∠===sin 10AOB ∠==则113sin 122102AOB S AO BO AOB ∆=∠=⨯= ……12分略19.解：（Ⅰ）由已知得ααcos 3sin 22=，则02cos 3cos22=-+αα…………… 3分 所以21cos =α或2cos -=α（舍）…………………………………5分 又因为πα<<0所以 3πα=……………………………………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得)3cos(cos 4)(π-=x x x f)sin 23cos 21(cos 4x x x +=……………………9分 x x x cos sin 32cos 22+=x x 2sin 32cos 1++=)62sin(21π++=x ………………………………11分 由40π≤≤x 得32626πππ≤+≤x ……………………………………12分 所以 当0=x 时，)(x f 取得最小值2)0(=f 当6π=x 时，)(x f 取得最大值3)6(=πf ……………………14分 所以函数)(x f 在]4,0[π上的值域为]3,2[……………………………15分。
三角函数基础练习题
三角函数基础练习题三角函数的概念三角函数是数学中的一种函数，用来描述三角形中各边和角之间的关系。
在三角函数中，最基本的三个函数是正弦函数、余弦函数和正切函数。
设角α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P(x,y)，P与原点的距离为r=√(x^2+y^2)>0，则sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。
在各象限中，三角函数的符号不同。
在第一象限中，正弦和余割是正的，余弦和正割是正的，正切和余切是正的。
在第二象限中，正弦和余割是正的，余弦和正割是负的，正切和余切是负的。
在第三象限中，正弦和余割是负的，余弦和正割是负的，正切和余切是正的。
在第四象限中，正弦和余割是负的，余弦和正割是正的，正切和余切是负的。
重要结论：1.当0<x<π/2时，XXX<x<tanx。
2.若ocosx，若π/2<x<π，则sinx<cosx。
3.同角三角函数的基本关系式：sin^2α+cos^2α=1，sinα/cosα=tanα，tanα/cotα=1.4.诱导公式：把±α的三角函数化为α的三角函数，概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
课前预：1.将18°、-120°、735°、22°30'、57°18'、-1200°24'转换为弧度制。
2.将7π/5、5π/2、3π/10、5、1.4转换为度数制。
3.特殊角的度数与弧度数对应表。
终边落在坐标轴上的角的集合是{2kπ|k∈Z}。
已知半径为1的扇形面积为kπ，则扇形的中心角为2k。
弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长为4.弓形的弦长为2cm，则弓形的面积为2sin(1/3)cm^2.8、在半径为2的圆中，60度的圆周角所对的弧长是多少？11、弧度制下，度的弧度数为多少？14、下列各角中，终边在第四象限的是哪一个？17、若sinθ=−1/2，tanθ>0，则cosθ等于多少？22、已知扇形的周长为10cm，圆心角为3rad，则该扇形的面积为多少？23、如果α与120°角终边相同，α是第几象限角？24、已知α的终边经过点(3a−9,a+2)，且sinα>0，cosα≤0，则a的取值范围是什么？25、sin(−π/6)的值等于多少？26、下列角中终边与330°相同的角是哪一个？函数y=|sinx|+|cosx|+|tanx|的值域是什么？1.删除第一段，因为没有明确的内容和题目。
任意角的三角函数练习题
任意角的三角函数练习题三角函数是数学中的重要概念，它对于几何图形的研究以及各种物理问题的分析起着重要作用。
本文将通过一系列任意角的三角函数练习题，帮助读者更好地理解和掌握三角函数的概念和性质。
一、简介三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等，它们是以一个角作为自变量，并返回该角对应的三角比值。
在欧几里得平面几何中，我们可以将一个角定义为一个圆心角，其顶点在圆上，其两边是圆弧的一部分。
根据这个定义，我们可以在图形上绘制并计算三角函数的值。
二、正弦函数练习题1. 计算正弦函数在特定角度下的值：a) sin(30°)b) sin(45°)c) sin(60°)d) sin(90°)e) sin(180°)解答：a) sin(30°) = 0.5b) sin(45°) = 0.707c) sin(60°) = 0.866d) sin(90°) = 1e) sin(180°) = 02. 根据已知的正弦值求解角度：a) sin(x) = 0.5b) sin(x) = 0.866c) sin(x) = 1解答：a) x = 30°或150°b) x = 60°或120°c) x = 90°或270°三、余弦函数练习题1. 计算余弦函数在特定角度下的值：a) cos(0°)b) cos(30°)c) cos(45°)d) cos(60°)解答：a) cos(0°) = 1b) cos(30°) = 0.866c) cos(45°) = 0.707d) cos(60°) = 0.5e) cos(90°) = 02. 根据已知的余弦值求解角度：a) cos(x) = 0.5b) cos(x) = 0.707c) cos(x) = 1解答：a) x = 60°或300°b) x = 45°或315°c) x = 0°或360°四、正切函数练习题1. 计算正切函数在特定角度下的值：a) tan(0°)c) tan(60°)d) tan(90°)解答：a) tan(0°) = 0b) tan(45°) = 1c) tan(60°) = 1.732d) tan(90°) = 无定义2. 根据已知的正切值求解角度：a) tan(x) = 0b) tan(x) = 1c) tan(x) = 1.732解答：a) x = 0°或180°b) x = 45°或225°c) x = 60°或240°五、其他三角函数练习题1. 求解三角函数的关系：a) cos^2(x) + sin^2(x) = ?b) 1 + tan^2(x) = ?解答：a) cos^2(x) + sin^2(x) = 1b) 1 + tan^2(x) = sec^2(x)2. 求解三角函数的和差公式：a) sin(x + y) = ?b) cos(x - y) = ?解答：a) sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)b) cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)结论：通过以上一系列任意角的三角函数练习题，我们巩固了对于正弦函数、余弦函数、正切函数等常见三角函数的认识和理解。
任意角的三角函数练习题
任意角的三角函数(一)三角函数的定义角α的终边上一点P （a ,b ），它与原点的距离r ＝22b a +>0,则（1）r b 叫做三角形的正弦，即sin α=r b; （2） r a 叫做三角形的余弦，即cos α=r a;（3） a b 叫做三角形的正切，即tan α=.ab1．已知角α的终边和单位圆的交点为P ，则P 的坐标为（ ）A ．（sinα，cos α）B ．（cosα，sin α）C ．（sinα，tan α）D ．（tanα，sin α） 2．已知角α的终边过点P，则sinα=______，cos α=_________，tanα=________3．角α的终边上有一点P (-3a ，4a )，a ∈R ，且a ≠0，则2sinα+cos α=____.4．点P是角α终边上的一点，且，则b 的值是________．5．已知角α的终边经过点P (x ，3-)(x >0)．且cos α＝2x，则tan α________． （二）三角函数值符号的判断.1．若45πα=，则点P （cosα，sin α）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知0tan cos <⋅θθ，那么角θ是（ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第三或第四象限D ．第一或第四象限 3．函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域是 ． 4．sin2·cos3·tan4的符号是（ ）A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不确定（三）三角函数求值.(1)5cos1803sin902tan 06sin 270-+- ；(2)cos sin tan sin cos 364344ππππππ-+-+.(3)5sin902cos0cos180-++ ．(4)213cos tan tan sin cos 24332ππππ-+-+π．同角三角函数基本关系式公式：1cos sin 22=+αα ； αααcos sin tan =1．若α是第四象限角，125tan -=α，则αsin 等于（ ） A ．51 B ．51- C ．135 D ．135- 2．化简 160sin 12-的结果是 .3．下列三个式子：① 100cos 100sin 12=-；② ααπαsin )2tan(cos =+； ③αααααtan 2sin 1sin 1sin 1sin 1=+---+正确是有 个4．已知55sin =α，则=-αα44cos sin . 5．已知1312sin =α，且παπ-<<-23，则=αtan . 6．已知2cos sin =-αα，),0(πα∈，则=αtan .7．=---10sin 110sin 10cos 10sin 212.8．ααααsin 1cos cos 1cos 1-=+-成立的α的范围是 .9．已知53sin +-=m m θ，524cos +-=m m θ，其中πθπ<<2，则=θtan . 10．化简下列各式：（1）若α为第三象限角，化简αααα22cos 1sin 2sin 1cos -+-；（2）()ααααtan 1cos tan 11sin 22++⎪⎭⎫ ⎝⎛+11．已知]2,0[πθ∈，而θsin ，θcos 是方程012=++-k kx x 的两个实数根，求k 和θ的值.诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.将三角函数的角度全部化成απ+⋅2k 或是απ-⋅2k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，是奇数就改变函数名，偶数就不变 1、sin1560°的值为( ) A 、21-B 、23-C 、21D 、232、若(),2,53cos παππα<≤=+则()πα2sin --的值是 （ ） A ． 53 B ． 53- C ． 54 D ． 54-3、sin34π·cos625π·tan45π的值是（ ）A ．－43B ．43C ．－43D ．43 4、)2cos()2sin(21++-ππ （ ） A ．sin2－cos2B ．cos2－sin2C ．±（sin2－cos2）D ．sin2+cos25、已知()21sin -=+πα，则()πα7cos 1+的值为 （ ） A ．332 B ． －2 C ． 332- D ． 332± 6、如果A 为锐角，21)sin(-=+A π，那么=-)cos(A π （ ） A 、21-B 、21C 、23-D 、23 7、若a =αtan ，则()()απαπ+--3cos 5sin ＝ ____ ____．8、已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sinf 的值为 。
4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数练习题
§4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．sin 2cos 3tan 4的值( )．A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 解析 ∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0， ∴sin 2cos 3tan 4＜0. 答案 A2．已知点P (sin 5π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．( )A ．一B ．二C ．三D ．四 解析：因P 点坐标为(－22，－22)，∴P 在第三象限． 答案：C3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4解析 设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎨⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎨⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.答案 C4．若cos α＝－32，且角α的终边经过点(x,2)，则P 点的横坐标x 是( )．A ．2 3B ．±2 3C ．－2 2D ．－2 3解析 由cos α＝x x 2＋4＝－32，解得，x ＝－2 3.答案 D5.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ=( )A.45-B.35-C.35D.45解析 设(,2)P a a 是角θ终边上任意一点,则由三角函数定义知:cos θ=,所以223cos 22cos 12(15θθ=-=⨯-=-,故选B. 答案 B6．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )．A ．－12 B.12 C ．－32 D.32解析 ∵r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴m ＞0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12.∵m ＞0，∴m ＝12. 答案 B7．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析 设α＝∠POQ ，由三角函数定义可知，Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos α， y ＝sin α，∴x ＝－12，y ＝32，∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案 A 二、填空题8．若β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，则sin β＝________， tan β＝________.解析：因为β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin 3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限． 所以sin β＝22或－22，tan β＝－1. 答案：22或－22－1 9．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第______象限． 解析 ∵点P (tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0. ∴角α在第二象限． 答案 二10.弧长为3π,圆心角为135的扇形的半径为 ,面积为 .解析 由扇形面积公式得：12lR =6π.答案 4；6π11．若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________． 解析 ∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角． ∴sin α＞0，cos β＜0，∴β为钝角．故三角形为钝角三角形． 答案 钝角三角形 12．函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是________． 解析由题意知⎩⎨⎧sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ≥0，cos x ≤12.∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z)三、解答题13． (1)确定tan －3cos8·tan5的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号．解析 (1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角， ∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0， ∴原式大于0.(2)若0<α<π2，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α，∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1.若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.于是有sin α－cos α>0.14．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.解析：∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22. 15．如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形．(1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .解析 (1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°， 又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35，∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°) ＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35·12－45·32＝3－4310. 16．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·c os β＋tan α·tan β的值．解析 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )． 所以，sin α＝－2aa 2＋－2a2＝－25， cos α＝a a 2＋－2a 2＝15， tan α＝－2aa＝－2，sin β＝a 2a 2＋a 2＝15，cos β＝2a 2a2＋a2＝25， tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.。
任意角的三角函数练习题及参考答案
任意角的三角函数练习题一．选择题1.已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ）A ．－55 B ．－ 5 C ．552 D ．252.α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是（ ）A ．sin αB ．cos αC ．tan αD ．cot α3.已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是 （ ）A ．25B ．－25C ．0D ．与a 的取值有关4.α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=42x ，则sin α的值为 （ ）A ．410 B ．46 C ．42D ．－410 5.函数x x y cos sin -+=的定义域是 （ ） A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈ B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈6.若θ是第三象限角，且02cos <θ，则2θ是 （）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7.已知sin α=54，且α是第二象限角，那么tan α的值为 （ ）A ．34- B ．43- C ．43 D ．34 8.已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二．填空题1.已知sin αtan α≥0，则α的取值集合为 ．2.角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13cos ≠=m mα，则sin α+cos α=______．3.已知角θ的终边在直线y =33x 上，则sin θ= ；θtan = ．4.设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是 ． 三．解答题 1.求43π角的正弦.余弦和正切值．2.若角α的终边落在直线y x 815=上，求ααtan sec log 2-．3.(1)已知角α的终边经过点P(4,－3)，求2sin α+cos α的值； （2）已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值；（3）已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4（且均不为零），求2sinα+cosα的值．参考答案一． 选择题ABAA BBAB 二．填空题 1.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+-Z k k k ,2222|ππαππα； 2.12=m 时，1317cos sin =+αα；12-=m 时，137cos sin -=+αα． 3.21sin ±=θ；33tan =θ． 4.4745πθπ<<．三．解答题1.2243sin=π；2243cos -=π；143tan -=π． 2.（1）取)15,8(1P ，则17=r ，2815817log tan sec log 22-=-=-αα； （2）取)15,8(2--P ，则17=r ，2815817log tan sec log 22=--=-αα． 3.（1）∵3,4-==y x ，∴5=r ，于是：5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα．（2）∵a y a x 3,4-==，∴a r 5=，于是：当0>a 时，5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα 当0<a 时，5254532cos sin 2=-+⋅=+αα （3）若角α终边过点()3,4P ，则254532cos sin 2=+⋅=+αα；若角α终边过点()3,4-P ，则5254532cos sin 2=-+⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4--P ，则254532cos sin 2-=-+-⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4-P ，则5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα．。
《任意角的三角函数、三角函数诱导公式》知识梳理与同步练习
《任意角的三角函数、三角函数诱导公式》知识梳理与同步练习一、任意角的三角函数【知识梳理】1.设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()0r r =>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0y x xα=≠．2.三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．3.三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．4.同角三角函数的基本关系式：（平方关系式）()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；（商数关系式）()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫== ⎪⎝⎭．【典型例题】1.三角函数的定义：例1、已知sinαtanα≥0，则α的取值集合为．例2、角α的终边上有一点P（m，5），且)0(,13cos ≠=m m α，则sinα+cosα=______．例3、已知角θ的终边在直线y =33x 上，则sin θ=；θtan =例4、设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是．例5、求43π角的正弦、余弦和正切值．例6、已知角α的终边经过点P(4,－3)，求2sin α+cos α的值；2.三角函数线例1、sin（－1770°）·cos1500°＋cos（－690°）·sin780°＋tan405°=．例2、化简：ππππ37sin 3149cos 21613tan 3325cos 342222222m n n m --+=．例3、求下列三角函数值：（1）sin（－1080°）（2）tan 13π3（3）cos780°3、三角函数的基本关系一、选择题1、已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A =23,则这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．不等腰直角三角形D．等腰直角三角形2、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为A．51+B．51-C．51±D．51--3、已知sinαcosα=18,则cosα－sinα的值等于（）A．±34B．±23C．23D．－234、已知θ是第三象限角，且95cos sin 44=+θθ，则=θθcos sin （）A．32B．32-C．31D．31-二、填空题1、若15tan =α，则=αcos ；=αsin ．2、若3tan =α，则αααα3333cos 2sin cos 2sin -+的值为________________．3、已知2cos sin cos sin =-+αααα，则ααcos sin 的值为．4、已知524cos ,53sin +-=+-=m m m m θθ，则m=_________；=αtan ．三、解答题1、已知51sin =α，求ααtan ,cos 的值．2、已知22cos sin =+αα，求αα22cos 1sin 1+的值．3、已知51cos sin =+ββ，且πβ<<0．（1）求ββcos sin 、ββcos sin -的值；（2）求βsin 、βcos 、βtan 的值．二、三角函数诱导公式：【基础知识】1、三角函数诱导公式（2k πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.2、三角函数的诱导公式：()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ．()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=．()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名不变，符号看象限．()5sin cos 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．口诀：正余弦互换，符号看象限．3、诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；（2）转化为锐角三角函数。
任意角的三角函数基础练习题
任意角的三角函数练习题(一)三角函数的定义1．已知角α的终边过点P，则sin α=______，cos α=_________，tan α=________ 2． 角α的终边经过点P ，则（1） ；tan α=________3．若角的终边过点(-3，-2)，则sin α=______，cos α=_________，tan α=________4．已知角的终边过P (-3，4)，则sin α=______，cos α=_________，tan α=________ 5．角的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α=____，cos α=____，tan α=________6．已知P (-3，y )为角的终边上一点，且sin ＝1313，那么y 的值等于________． 7.α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且cos α＝42x ，则sin α的值为________． 8．点P 是角α终边上的一点，且 ，则b 的值是________．9．已知角的终边经过点P (x ，-3)(x >0)．且cos ＝2x ，则sin=_______，cos________，tan________． 10 是角θ终边上的一点，且。
11．已知锐角终边上一点P (1，3)，则的弧度数为________．12．已知角的终边落在直线y ＝3x 上，则sin ＝________．13． 已知角α的终边落在第一和第三象限的角平分线上，求α的3个三角函数值。
14. 已知角α的终边落在第二和第四象限的角平分线上，求α的3个三角函数值。
（二）三角函数值符号的判断.1.求值。
（1）sin00=_______， cos00=_______, tan00=_______.(2) sin1800=_______， cos1800=_______, tan1800=_______.(3)sin2700=_______， cos2700=_______, tan2700=_______.(4) sin900=_______， cos900=_______, tan900=_______.2． 填入不等号：（1） ；（2） tan3200_______0；（3） ；（5） 。
任意角的三角函数练习题及参考答案
任意角的三角函数练习题一．选择题1.已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为 （ ） A ．－55 B ．－ 5 C ．552 D ．252.α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ） A ．sin α B ．cos α C ．tan α D ．cot α3.已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是 （ ） A ．25 B ．－25 C ．0 D ．与a 的取值有关4.α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=42x ，则sin α的值为 （ ） A ．410 B ．46 C ．42 D ．－410 5.函数x x y cos sin -+=的定义域是（）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈ 6.若θ是第三象限角，且02cos<θ，则2θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7.已知sin α=54，且α是第二象限角，那么tan α的值为 （）A ．34- B ．43- C ．43D ．34 8.已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二．填空题1.已知sin αtan α≥0，则α的取值集合为 ．2.角α的终边上有一点P （m ，5），且)0(,13cos ≠=m mα，则sin α+cos α=______． 3.已知角θ的终边在直线y =33x 上，则sin θ= ；θtan = ． 4.设θ∈（0，2π），点P （sin θ,cos2θ）在第三象限，则角θ的范围是 ．三．解答题1.求43π角的正弦.余弦和正切值．2.若角α的终边落在直线y x 815=上，求ααtan sec log 2-．3.(1)已知角α的终边经过点P(4,－3)，求2sin α+cos α的值；（2）已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a ≠0)，求2sin α+cos α的值；（3）已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3∶4（且均不为零）， 求2sin α+cos α的值．参考答案一． 选择题ABAA BBAB 二．填空题1.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+-Z k k k ,2222|ππαππα； 2.12=m 时，1317cos sin =+αα；12-=m 时，137cos sin -=+αα． 3.21sin ±=θ；33tan =θ．4.4745πθπ<<．三．解答题1.2243sin=π；2243cos -=π；143tan -=π． 2.（1）取)15,8(1P ，则17=r ，2815817log tan sec log 22-=-=-αα； （2）取)15,8(2--P ，则17=r ，2815817log tan sec log 22=--=-αα． 3.（1）∵3,4-==y x ，∴5=r ，于是：5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα． （2）∵a y a x 3,4-==，∴a r 5=，于是：当0>a 时，5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα 当0<a 时，5254532cos sin 2=-+⋅=+αα（3）若角α终边过点()3,4P ，则254532cos sin 2=+⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4-P ，则5254532cos sin 2=-+⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4--P ，则254532cos sin 2-=-+-⋅=+αα； 若角α终边过点()3,4-P ，则5254532cos sin 2-=+-⋅=+αα．。
高中数学第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.4第3课时诱导公式习题课作业b
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2．若 cos(π＋α)＝－13，那么 sin32π－α等于( A )
A．－13
B．13
C．2 32
D．－2 3 2
解析：∵cos(π＋α)＝－cosα＝－13， ∴cosα＝13，∴sin32π－α＝－cosα＝－13.
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4．已知 a＝tan－76π，b＝cos234π，c＝sin－334π，则 a，b，c 的
大小关系是( A )
A．b>a>c
B．a>b>c
C．b>c>a
D．a>c>b
解析：∵a＝tan－76π＝－tan6π＝－ 33，b＝cos234π＝cos4π＝ 22，
∴α 的终边位于第一象限内，∴α＝31π0＋2kπ(k∈Z)，故选 C．
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6．若 sin(π＋α)＋cosπ2＋α＝－m，则 cos32π－α＋2sin(6π－α)的
值为( B )
A．－23m
B．－32m
C．23m
D．32m
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∴sin2α＝12，∴sinα＝±
2 2.
∵－π2<α<2π，∴α＝4π或 α＝－π4.
(1)当
α＝4π时，由②，得
cosβ＝
3 2.
∵β∈(0，π)，∴β＝π6；
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(2)当
α＝－4π时，由②，得
任意角的三角函数知识点及练习
任意角的三角函数知识点及练习一、任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
按旋转方向，角可分为正角、负角和零角。
正角：按逆时针方向旋转形成的角。
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：射线没有作任何旋转时形成的角。
为了研究方便，我们常在直角坐标系内讨论角。
角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合。
那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
二、弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度。
弧度与角度的换算：因为周角的弧度数为2π，角度数为 360°，所以 180°＝π rad，1°＝π/180 rad，1 rad ＝（180/π）°扇形的弧长公式：l ＝｜α|r （α 是圆心角弧度数，r 为半径）扇形的面积公式：S ＝ 1/2 lr ＝ 1/2 ｜α|r²三、任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上任意一点 P（x，y），r ＝｜OP| ＝√（x²＋ y²) ，那么：正弦函数：sinα ＝ y/r余弦函数：cosα ＝ x/r正切函数：tanα ＝ y/x （x ≠ 0）余切函数：cotα ＝ x/y （y ≠ 0）正割函数：secα ＝ r/x （x ≠ 0）余割函数：cscα ＝ r/y （y ≠ 0）三角函数值在各象限的符号：第一象限：sinα、cosα、tanα 均为正第二象限：sinα 为正，cosα、tanα 为负第三象限：tanα 为正，sinα、cosα 为负第四象限：cosα 为正，sinα、tanα 为负同角三角函数的基本关系：平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1商数关系：tanα ＝sinα/cosα诱导公式：诱导公式可以概括为“奇变偶不变，符号看象限”。
三角函数基础练习题
三角函数专题复习理解任意角的概念、弧度的意义．能正确地进行弧度与角度的换算．掌握终边相同角的表示方法．掌握任意角的正弦、余弦、正切的意义．了解余切、正割、余割的定义．掌握三角函数的符号法则．知识典例：1．角α的终边在第一、三象限的角平分线上,角α的集合可写成．2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段,那么角α的终边A．在x轴上B．在y轴上C．在直线y=x上D．在直线y=－x上．3．已知角α的终边过点p－5,12,则cosα} ,tanα= ．4．错误!的符号为．5．若cosθtanθ＞0,则θ是A．第一象限角B．第二象限角C．第一、二象限角D．第二、三象限角讲练平台例1 已知角的终边上一点P－错误!,m,且sinθ= 错误!m,求cosθ与tanθ的值．例2 已知集合E=｛θ｜cosθ＜sinθ,0≤θ≤2π},F=｛θ｜tanθ＜sinθ},求集合E ∩F．例3 设θ是第二象限角,且满足｜sin错误!|= －sin错误!,错误!是哪个象限的角知能集成注意运用终边相同的角的表示方法表示有关象限角等；已知角的终边上一点的坐标,求三角函数值往往运用定义法；注意运用三角函数线解决有关三角不等式．训练反馈1．已知α是钝角,那么错误!是A．第一象限角B．第二象限角C．第一与第二象限角D．不小于直角的正角2．角α的终边过点P－4k,3kk＜0},则cosα的值是A．错误!B．错误!C．－错误!D．－错误!3．已知点Psinα－cosα,tanα在第一象限,则在0,2π内,α的取值范围是A．错误!, 错误!∪π, 错误!B．错误!, 错误!∪π, 错误!C．错误!, 错误!∪错误!,错误!D．错误!, 错误!∪错误!,π4．若sinx= －错误!,cosx =错误!,则角2x的终边位置在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．若4π＜α＜6π,且α与－错误!终边相同,则α= ．6．角α终边在第三象限,则角2α终边在象限．7．已知｜tanx｜=－tanx,则角x的集合为．8．如果θ是第三象限角,则cossinθ·sinsinθ的符号为什么9．已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形中心角是1弧度,求该扇形面积．第2课同角三角函数的关系及诱导公式考点指津掌握同角三角函数的基本关系式：sin 2α+cos2α=1, 错误!=tanα,tanαcotα=1, 掌握正弦、余弦的诱导公式．能运用化归思想即将含有较多三角函数名称问题化成含有较少三角函数名称问题解题．知识在线1．sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!2．已知sinπ+α=－错误!,则A．cosα= 错误!B．tanα= 错误!C．cosα= －错误!D．sinπ－α= 错误!3．已tanα=3, 错误!的值为．4．化简错误!= ．5．已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ= 错误!,那么sin2θ等于A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误!讲练平台例1 化简错误!．例2 若sinθcosθ= 错误!,θ∈错误!,错误!,求cosθ－sinθ的值．变式1 条件同例, 求cosθ+sinθ的值．变式2 已知cosθ－sinθ= －错误!, 求sinθcosθ,sinθ+cosθ的值．例3 已知tanθ=3．求cos2θ+sinθcosθ的值．1．在三角式的化简,求值等三角恒等变换中,要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数．2．注意1的作用：如1=sin 2θ+cos2θ．3．要注意观察式子特征,关于sinθ、cosθ的齐次式可转化成关于tanθ的式子．4．运用诱导公式,可将任意角的问题转化成锐角的问题．训练反馈1．sin600°的值是A．错误!B．－错误!C．错误!D．－错误! 2．sin错误!+αsin错误!－α的化简结果为A．cos2αB．错误!cos2αC．sin2αD．错误!sin2α3．已知sinx+cosx=错误!,x∈0,π,则tanx的值是A．－错误!B．－错误!C．±错误!D．－错误!或－错误!4．已知tanα=－错误!,则错误!= ．5．错误!的值为．6．证明错误!=错误!．7．已知错误!=－5,求3cos2θ+4sin2θ的值．8．已知锐角α、β、γ满足sinα+sinγ=sinβ,cosα－cosγ=cosβ,求α－β的值．知识在线1．cos105°的值为A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!2．对于任何α、β∈0,错误!,sinα+β与sinα+sinβ的大小关系是A．sinα+β＞sinα+sinβB．sinα+β＜sinα+sinβC．sinα+β=sinα+sinβD．要以α、β的具体值而定3．已知π＜θ＜错误!,sin2θ=a,则sinθ+cosθ等于A．错误!B．－错误!C．错误!D．±错误!4．已知tanα=错误!,tanβ=错误!,则cotα+2β= ．5．已知tanx=错误!,则cos2x= ．讲练平台例1 已知sinα－sinβ=－错误!,cosα－cosβ=错误!,求cosα－β的值．例2 求错误!的值．分析式中含有两个角,故需先化简．注意到10°=30°－20°,由于30°的三角函数值已知,则可将两个角化成一个角．例3 已知：sinα+β=－2sinβ．求证：tanα=3tanα+β．知能集成审题中,要善于观察已知式和欲求式的差异,注意角之间的关系；整体思想是三角变换中常用的思想．训练反馈1．已知0＜α＜错误!＜β＜π,sinα=错误!,cosα+β=－错误!,则sinβ等于A．0 B．0或错误!C．错误!D．0或－错误! 2．错误!的值等于A．2+错误!B．错误!C．2－错误!D．错误!3．△ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则∠C的大小为A．错误!B．错误!C．错误!或错误!D．错误!或错误! 4．若α是锐角,且sinα－错误!= 错误!,则cosα的值是．5．cos错误!cos错误!cos错误!= ．6．已知tanθ=错误!,tanφ=错误!,且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．7．已知cosα－β=－错误!,cosα+β= 错误!,且α－β∈错误!,π,α+β∈错误!,2π,求cos2α、cos2β的值．8．已知sinα+β= 错误!,且sinπ+α－β= 错误!,求错误!．知识在线求下列各式的值1．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ．2．错误!cos15°+错误!sin15°= ．3．化简1+2cos2θ－cos2θ= ．4．cos20°+xcos25°－x－cos70°－xsin25°－x= ．5．错误!－错误!= ．讲练平台例1 求下列各式的值1tan10°＋tan50°+错误!tan10°tan50°；2 错误!．例2 已知cos错误!+x= 错误!,错误!＜x＜错误!,求错误!的值．1．cos75°+cos15°的值等于A．错误! B －错误!C．－错误!D．错误!2．a=错误!sin17°+cos17°,b=2cos213°－1,c= 错误!,则A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c3．化简错误!= ．4．化简sin2α+β－2sinαcosα+β= ．5．在△ABC中,已知A、B、C成等差数列,则tan错误!+tan错误!+错误!tan错误!tan错误!的值为．6．化简sin2A+sin2B+2sinAsinBcosA+B．7 化简sin50°1+错误!tan10°．8 已知sinα+β=1,求证：sin2α+β+sin2α+3β=0．。
高中数学第一章三角函数121任意角的三角函数练习含解析新人教A版必修
1.2.1 任意角的三角函数A 级 基础巩固一、选择题1．若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：因为α是第二象限角，所以cos α＜0，sin α＞0，所以点P 在第四象限． 答案：D2．已知α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45B.35C ．－35D ．－45解析：r ＝ （－4）2＋32＝5，由任意角的三角函数的定义可得cos α＝－45.答案：D3．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．－2解析：当α为第二象限角时，sin α>0，cos α<0. 所以|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α＋cos αcos α＝2.答案：C4．若角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( ) A.12B ．－12C ．－32D ．－33解析：因为2sin 30°＝2×12＝1，－2cos 30°＝－2×32＝－3，所以P (1，－3)，所以点P 到原点的距离为12＋（－3）2＝2， 所以sin α＝－32. 答案：C5．若点P (sin α，tan α)在第三象限，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：因为P (sin α，tan α)在第三象限，所以sin α<0，tan α<0，故α为第四象限角． 答案：D 二、填空题6．(2016·四川卷)sin 750°＝________．解析：sin 750°＝sin(30°＋2×360°)＝sin 30°＝12.答案：127．已知角α的终边经过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝________．解析：因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0，所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝5|cos θ|＝－5cos θ. 所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：358．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为____________．解析：作图如下，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .答案：AT >MP >OM 三、解答题9．求下列各式的值：(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 17π4.解：(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.(2)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋（－4）×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. 10．设角x 的终边不在坐标轴上，求函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值域．解：当x 为第一象限角时，sin x ，cos x ，tan x 均为正值，所以sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |＝3.当x 为第二象限角时，sin x 为正值，cos x ，tan x 为负值，所以sin x |sin x |＋cos x|cos x |＋tan x|tan x |＝－1.当x 为第三象限角时，sin x ，cos x 为负值，tan x 为正值，所以sin x |sin x |＋cos x|cos x |＋tan x|tan x |＝－1.当x 为第四象限角时，sin x ，tan x 为负值，cos x 为正值，所以sin x |sin x |＋cos x|cos x |＋tan x|tan x |＝－1.综上，y 的值域为{－1，3}B 级 能力提升1．已知θ为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为sin θ＋cos θ的值的是( ) A.43B.35C.45D.12解析：由于θ为锐角，所以由三角函数及三角形中两边之和大于第三边可知，sin θ＋cos θ＞1，故选A.答案：A2．若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)，且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________． 解析：因为角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)， 且sin θ＝24m ，所以x ＝－3，y ＝m ，r ＝3＋m 2， sin θ＝m3＋m2＝24m ，所以1r ＝13＋m2＝24， 所以cos θ＝－3r ＝－64.答案：－643．设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，试比较a，b，c三数的大小．解：因为a＝sin33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，作出三角函数线(如图)，结合图象可得c＞b＞a.。
任意角的三角函数练习题及答案详解
任意角的三角函数练习题及答案详解任意角的三角函数一、选择题1.以下四个命题中，正确的是()A.在定义域内，只有终边相同的角的三角函数值才相等B.｛α｜α=kπ，k∈Z｝≠｛β｜β=-kπ，k∈Z｝C.若α是第二象限的角，则sin2α＜0D.第四象限的角可表示为｛α｜2kπ＋π＜α＜2kπ，k∈Z｝2.若角α的终边过点(-3，-2)，则()A.sinαtanα＞0B.cosαtanα＞0C.sinαcosα＞0D.sinαcotα＞03.角α的终边上有一点P(a，a)，a∈R，且a≠0，则sinα的值是()A.√2/2B.-√2/2C.±√2/2D.1/24.α是第二象限角，其终边上一点P（x，5），且cosα＝4x，则sinα的值为（）sinα=√(1-cos^2α)=√(1-(16x^2/25))=√((9-16x^2)/25)5.使XXX(cosθ·tanθ)有意义的角θ是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一、二象限角或终边在y轴上6.设角α是第二象限角，且|cos2α|=－cos2α，则角2α是（）cos2α<0，所以2α是第二或第三象限角，又|cos2α|=－cos2α，所以cos2α=0，即2α=π/2+kπ，k∈Z，所以2α是第二象限角。
7.点P是角α终边上的一点，且tanα=5/12，则b的值是（）tanα=y/x=5/12，所以y=5x/12，又a^2+b^2=x^2+y^2，代入得a^2+b^2=x^2+(25/144)x^2，所以b=√(119/144)x。
8.在△ABC中，若最大的一个角的正弦值是1/2，则△ABC是（）最大角的正弦值为1/2，所以最大角为π/6，所以△ABC 是等边三角形。
9.若α是第四象限角，则sin(α+π)是（）sin(α+π)=sinαcosπ+cosαsinπ=-sinα10.已知sinα=4/5，且α为第二象限角，那么tanα的值等于（）cosα=√(1-sin^2α)=3/5，所以tanα=sinα/cosα=4/3.二、填空题12.已知角α的终边落在直线y＝3x上，则sinα＝3/√10.因为直线y=3x的斜率为3，所以α的终边与x轴夹角为arctan3，所以sinα=sin(arctan3)=3/√10.13.已知P(-3，y)为角α的终边上一点，且sinα＝13/√218，那么y的值等于-9/√218.因为sinα=y/√(x^2+y^2)=13/√218，且终边过点(-3，y)，所以x=-3，代入得y=-9/√218.14.已知锐角α终边上一点P(1，3)，则α的弧度数为arctan(3/1)。
任意角的三角函数练习题
任意角的三角函数练习题任意角的三角函数练习题三角函数是数学中的重要概念，它们在几何、物理和工程等领域中都有广泛的应用。
对于任意角的三角函数，我们需要熟练地掌握其定义、性质和计算方法。
本文将通过一些练习题来帮助读者巩固对任意角三角函数的理解和应用。
练习题一：求解三角函数值1. 求解sin(π/4)的值。
解析：根据三角函数的定义，sin(π/4)等于直角三角形中斜边与直角边的比值。
而在一个45度的直角三角形中，斜边与直角边的比值为√2/2。
因此，sin(π/4)的值为√2/2。
2. 求解cos(π/3)的值。
解析：根据三角函数的定义，cos(π/3)等于直角三角形中邻边与斜边的比值。
在一个60度的直角三角形中，邻边与斜边的比值为1/2。
因此，cos(π/3)的值为1/2。
3. 求解tan(π/6)的值。
解析：根据三角函数的定义，tan(π/6)等于直角三角形中对边与邻边的比值。
在一个30度的直角三角形中，对边与邻边的比值为1/√3。
因此，tan(π/6)的值为1/√3。
练习题二：求解三角函数的周期性1. 求解sin(π/6)的周期。
解析：根据三角函数的周期性，sin(x)的周期为2π。
因此，sin(π/6)的周期为2π。
2. 求解cos(π/4)的周期。
解析：根据三角函数的周期性，cos(x)的周期为2π。
因此，cos(π/4)的周期为2π。
3. 求解tan(π/3)的周期。
解析：根据三角函数的周期性，tan(x)的周期为π。
因此，tan(π/3)的周期为π。
练习题三：求解三角函数的正负性1. 求解sin(3π/4)的正负性。
解析：根据三角函数的定义，sin(x)在第二象限和第三象限为正值，而在其他象限为负值。
因此，sin(3π/4)为正值。
2. 求解cos(5π/6)的正负性。
解析：根据三角函数的定义，cos(x)在第四象限为正值，而在其他象限为负值。
因此，cos(5π/6)为负值。
3. 求解tan(7π/4)的正负性。
任意角的三角函数与诱导公式(含答案)
任意角的三角函数与诱导公式（高三）[基础练习]1．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 2．角α的终边上有一点P (a ，a )(a ≠0)，则cos α＝( )A.22B ．－22C.22或－22D ．1 3．若－π2<α<0，则点Q (cos α，sin α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．sin600°＋tan240°的值是( )A ．－32B.32C ．－12＋3D.12＋ 3 6．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1C ．－1D ．1 7．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A.17B ．7 C ．－17D ．－7 8．已知sin x ＝2cos x ，则sin x －cos x sin x ＋cos x＝( )A.12B.13C.14D.159．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为________．10．已知α是第二象限角且tan α＝－12，则cos α＝__________.[典型例题]例1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α，tan α的值．练1．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点P (1，－2)．求cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3的值．例2．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？练2．已知扇形的面积为S ，当扇形的中心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值．例3．已知sin θ，cos θ是方程x 2－(3－1)x ＋m ＝0的两根．(1)求m 的值；(2)求sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－tan θ的值．练3．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)．求：(1)m 的值；(2)方程的两根及此时θ的值．例4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2.求sin 3π－α＋cos α＋π5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．练4．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：(1) sin(2π－α)； (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(α＋2n π)·cos(α－2n π)(n ∈Z)．(2)任意角的三角函数与诱导公式课后练习1．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动23π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0, 2π]内α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π 3．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于( )A ．0B ．2C ．－2D ．2tan α 4．已知扇形的周长为6cm ，面积是2cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或45．已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( )A ．2B ．－2C ．2－π2D.π2－2 6．若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且A <B <C ⎝⎛⎭⎫C ≠π2，则下列结论中正确的是( ) A ．sin A <sin CB ．cos A <cosC C ．tan A <tan CD ．cot A <cot C7．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±38．若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这圆心角所对的弧长等于( )A ．sin 12B.π6C.1sin 12D ．2sin 129．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )10．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值是( ) A.2＋32B ．－2＋32 C.2－33 D.－2＋3311．若sin α＋cos α＝tan α⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π6B.⎝⎛⎭⎫π6，π4C.⎝⎛⎭⎫π4，π3D.⎝⎛⎭⎫π3，π2 12．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝()A.12B ．2 C ．－12D ．－2 二、填空题13．已知函数f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 010⎝⎛⎭⎫π2的值为________． 14．角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于____． 15．若a ＝sin(sin2012°)，b ＝sin(cos2012°)，c ＝cos(sin2012°)，d ＝cos(cos2012°)，则a 、b 、c 、d 从小到大的顺序是________． 16．阅读下列命题：①若P (a,2a )(a ≠0)为角α终边上一点，则sin α＝255；②同时满足sin α＝12，cos α＝32的角有且只有一个；③设tan α＝12且π<α<3π2，则sin α＝－55；④设cos(sin θ)·tan(cos θ)>0(θ为象限角)，则θ为第一象限角．其中正确命题为________．(将正确命题的序号填在横线上) 三、解答题17．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，试证明：sin α<α<tan α. 18．已知3π4<α<π，tan α＋1tan α＝－103.(1)求tan α的值；(2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值．19．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α＋1tan α的值．20．设f (x )＝cos xcos (30°－x )，求f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)的值．21．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2<α<π，求下列各式的值：(1)sin α－cos α；(2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α.22．已知tan α是方程x 2＋2cos αx ＋1＝0的两个根中较小的根，求α的值．任意角的三角函数与诱导公式（高三）答案[基础练习]1．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 解析：由已知θ是第三象限角知θ2是第二、四象限角，再由cos θ2≤0可得．答案：B2．角α的终边上有一点P (a ，a )(a ≠0)，则cos α＝( ) A.22B ．－22C.22或－22D ．1 解析：∵r ＝a 2＋a 2＝2|a |，当a >0时，cos α＝a 2a ＝22； 当a <0时，cos α＝a －2a ＝－22.答案：C3．若－π2<α<0，则点Q (cos α，sin α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D解析：由于－π2<α<0，则cos α>0，sin α<0，即该点位于第四象限．4．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B解析：因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0,2cos θ<0，即⎩⎨⎧sin θ>0cos θ<0，θ为第二象限角．5．sin600°＋tan240°的值是( )A ．－32B.32C ．－12＋3D.12＋ 3 答案：B解析：sin600°＋tan240°＝sin240°＋tan240°＝sin(180°＋60°)＋tan(180°＋60°) ＝－sin60°＋tan60°＝－32＋3＝32. 6．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1C ．－1 D ．1 答案：A解析：sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝sin (－4π＋π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1. 又tan(5π＋α)＝m ， ∴tan α＝m ，∴原式＝m ＋1m －1.7．(2010·天津南开区检测)已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A.17B ．7 C ．－17D ．－7 解析：由已知得sin α＝－45，则tan α＝－43，故tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－43－11－43＝7.答案：B8．已知sin x ＝2cos x ，则sin x －cos xsin x ＋cos x＝( )A.12B.13C.14D.15解析：∵sin x ＝2cos x ，∴tan x ＝2， ∴原式＝tan x －1tan x ＋1＝2－12＋1＝13.答案：B9．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为________．解析：由θ＝k ·360°＋168°(k ∈Z)，∴θ3＝ (k ∈Z)．由0°≤θ3<360°，即0°≤<360°∴k ＝0,1,2.∴θ3＝56°或176°或296°.答案：{56°，176°，296°}10．已知α是第二象限角且tan α＝－12，则cos α＝__________.答案：－255解析：本题考查了同角三角函数关系． ∵tan α＝sin αcos α＝－12①又sin 2α＋cos 2α＝1②又α为第二象限角cos α<0，∴cos α＝－255.[典型例题]例1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α，tan α的值． 解析：∵P (x ，－2)(x ≠0)，∴P 到原点距离r ＝x 2＋2， 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数定义，有sin α＝－66，tan α＝－55， 当x ＝－10时，P 点坐标为(－10，－2)， ∴sin α＝－66，tan α＝55. 练1．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点P (1，－2)．求cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3的值．解析：∵P (1，－2)是角α终边上一点，由此求得 r ＝|OP |＝5，∴sin α＝－255，cos α＝55.∵sin2α＝2sin αcos α＝－45，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35.∴cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝cos2αcos π3＋sin2αsin π3 ＝⎝⎛⎭⎫－35·12＋⎝⎛⎭⎫－45·32＝－3＋4310. 例2．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解析：(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓， ∵α＝60°＝π3rad ，R ＝10 cm ，∴l ＝10π3 cm.S 弓＝S 扇－S △＝12·10π3·10－12·102·sin 60°＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)；所以该扇形的弧长为103π cm ，弓形面积为50⎝⎛⎭⎫π3－32 cm 2.(2)设扇形所在圆的半径为R ，则弧长为C －2R ， ∴S 扇＝12(C －2R )·R ＝－R 2＋12CR＝－⎝⎛⎭⎫R －14C 2＋116C 2. 又∵C 2π<R <C 2，∴当R ＝14C 时，扇形的面积最大．此时圆心角α＝C －2R R ＝2，扇形最大面积为C 216.练2．已知扇形的面积为S ，当扇形的中心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值．解析：设l 为扇形的弧长，由S ＝12l ·r 得l ＝2S r ，故扇形的周长C ＝2r ＋2Sr.即2r 2－C ·r ＋2S ＝0.由于r 存在，故方程有解，因此有Δ＝C 2－16S ≥0， 即C ≥4S .∴周长C 的最小值为4S .此时，r ＝C ±Δ2×2＝S ，中心角α＝2Sr 2＝2rad所以当扇形的中心角为2rad 时，扇形的周长最小，最小值为4S .例3．已知sin θ，cos θ是方程x 2－(3－1)x ＋m ＝0的两根．(1)求m 的值；(2)求sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－tan θ的值．解析：(1)由韦达定理可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3－1 ①sin θ·cos θ＝m ②， 由①得1＋2sin θ·cos θ＝4－2 3.将②代入得m ＝32－3，满足Δ＝(3－1)2－4m ≥0，故所求m 的值为32－ 3.(2)先化简：sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－sin θcos θ ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝cos 2θ－sin 2θcos θ－sin θ ＝cos θ＋sin θ＝3－1.练3．(2010·改编题)已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ，cos θ，θ∈(0,2π)． 求：(1)m 的值；(2)方程的两根及此时θ的值．解析：(1)由根与系数的关系得⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝3＋12①sin θcos θ＝m2②由①2得，1＋2sin θcos θ＝2＋32⇒sin θcos θ＝34，即m 2＝34，∴m ＝32.(2)当m ＝32时，原方程为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0，解得x 1＝32，x 2＝12，∴⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧sin θ＝12，cos θ＝32，又θ∈(0,2π)，∴θ＝π3或θ＝π6.例4．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2.求sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， ∴－sin α＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，∴sin α＝2cos α，即tan α＝2.∴sin 3(π－α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝sin 3α－cos α5cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫4π－π2－α＝sin 3α－cos α5cos ⎝⎛⎭⎫π2－α－3sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin 3α－cos α5sin α－3cos α＝sin 2α·tan α－15tan α－3＝2sin 2α－110－3＝2sin 2α－17＝2sin 2α－(sin 2α＋cos 2α)7(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2α7(sin 2α＋cos 2α)＝tan 2α－17(tan 2α＋1)＝4－17×(4＋1)＝335.练4．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(α＋2n π)·cos(α－2n π)(n ∈Z)．解析：∵cos(π＋α)＝－12，∴－cos α＝－12，cos α＝12，又∵α是第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin(α＋2n π)·cos(α－2n π)＝sin(2n π＋π＋α)＋sin(－2n π－π＋α)sin(2n π＋α)·cos(－2n π＋α)＝sin(π＋α)＋sin(－π＋α)sin α·cos α＝－sin α－sin(π－α)sin α·cos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.任意角的三角函数与诱导公式课后练习1．(2010·模拟精选)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动23π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12C.⎝⎛⎭⎫－12，－32 D.⎝⎛⎭⎫－32，12解析：设Q(x ，y )为角α终边上一点，依题意sin α＝y ＝sin 23π＝32，cos α＝x ＝cos 23π＝－12，故Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32. 答案：A2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2 D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π 解析：由题设有⎩⎪⎨⎪⎧sin α>cos α，tan α>0，又0≤α≤2π，∴α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4. 答案：B3．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于( )A ．0B ．2C ．－2D ．2tan α 答案：A解析：∵角α的终边在直线y ＝－x 上， ∴α＝k π＋3π4 (k ∈Z )，∴sin α与cos α符号相反，∴sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.4．已知扇形的周长为6cm ，面积是2cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4 答案：C解析：设扇形圆心角为αrad ，半径为r ，弧长为l .则⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝6，12l ·r ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.∴α＝lr＝4或α＝1.∴选C.5．已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( )A ．2B ．－2C ．2－π2D.π2－2答案：C解析：点P 位于第一象限，且tan α＝－cot2＝－tan ⎝⎛⎭⎫π2－2＝tan ⎝⎛⎭⎫2－π2， ∵2－π2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＝2－π2. 6．若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且A <B <C ⎝⎛⎭⎫C ≠π2，则下列结论中正确的是( ) A ．sin A <sin C B ．cos A <cos C C ．tan A <tan C D ．cot A <cot C 答案：A解析：解法1：若C 为锐角，由已知A <B <C 及单调性可排除B 、D ；若C 为钝角，则tan A <tan C 不成立，选A.解法2：由三角形中大边对大角及正弦定理可知： A <C ⇔a <c ⇔sin A <sin C ，选A.7．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( )A ．0B ．±3C ．0或3D ．0或±3 答案：D解析：由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或±3.8．若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这圆心角所对的弧长等于( )A ．sin 12B.π6C.1sin 12D ．2sin 12答案：C解析：设圆的半径为r .由题意知r ·sin 12＝1，∴r ＝1sin 12，∴弧长l ＝α·r ＝1sin 12.9．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )解析：∠AOP ＝l ，当0≤l ≤π，d ＝2sin l2，当π<l ≤2π，d ＝2·sin ⎝⎛⎭⎫π－l 2＝2sin l 2， ∴d ＝2sin l2，0≤l ≤2π.答案：C10．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值是( ) A.2＋32B ．－2＋32 C.2－33 D.－2＋33答案： B解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33， 而sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－13＝23， ∴原式＝－33－23＝－2＋33.11．若sin α＋cos α＝tan α⎝⎛⎭⎫0<α<π2，则α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，π6B.⎝⎛⎭⎫π6，π4 C.⎝⎛⎭⎫π4，π3D.⎝⎛⎭⎫π3，π2 答案：C解析：方法一：排除法．在⎝⎛⎭⎫0，π4上，sin α＋cos α>1，而tan α在⎝⎛⎭⎫0，π4上小于1，故排除答案A 、B ；因为sin α＋cos α≤2，而在⎝⎛⎭⎫π3，π2上tan α>3，sin α＋cos α与tan α不可能相等，故排除D.方法二：由sin α＋cos α＝tan α，0<α<π2，∴tan 2α＝1＋2sin αcos a ＝1＋sin2α， ∵0<α<π2，∴0<2α<π，∴0<sin2α≤1，∴1<tan 2α≤2， ∵0<α<π2，∴tan α>0，∴1<tan α≤2，而2<3，∴π4<α<π3.12．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝()A.12B ．2 C ．－12D ．－2 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋2sin α＝－5，①sin 2α＋cos 2α＝1， ②将①代入②得(5sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－255，cos α＝－55，∴tan α＝2.答案：B 二、填空题13．已知函数f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 010⎝⎛⎭⎫π2的值为________． 解析：由题知，f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f 2(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝sin x －cos x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，…，∴{f n (x )}是周期为4的数列，而f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋ f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0，∴原式＝f 2 009⎝⎛⎭⎫π2＋f 2 010⎝⎛⎭⎫π2＝f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＝1－1＝0. 答案：014．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．答案：2解析：依题意：⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10.解得：m ＝1，n ＝3或m ＝－1，n ＝－3，又sin α<0，∴α的终边落在第三象限，∴n <0， ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2.15．若a ＝sin(sin2012°)，b ＝sin(cos2012°)，c ＝cos(sin2012°)，d ＝cos(cos2012°)，则a 、b 、c 、d 从小到大的顺序是________．答案：b <a <d <c解析：∵2012°＝5×360°＋180°＋32°， ∴a ＝sin(－sin32°)＝－sin(sin32°)<0， b ＝sin(－cos32°)＝－sin(cos32°)<0， c ＝cos(－sin32°)＝cos(sin32°)>0， d ＝cos(－cos32°)＝cos(cos32°)>0， 又0<sin32°<cos32°<1<π2，∴b <a <d <c .[点评] 本题“麻雀虽小，五脏俱全”考查了终边相同的角、诱导公式、正余弦函数的单调性等，应加强这种难度不大，对基础知识要求掌握熟练的小综合训练． 16．阅读下列命题：①若点P (a,2a )(a ≠0)为角α终边上一点，则sin α＝255；②同时满足sin α＝12，cos α＝32的角有且只有一个；③设tan α＝12且π<α<3π2，则sin α＝－55；④设cos(sin θ)·tan(cos θ)>0(θ为象限角)，则θ为第一象限角． 其中正确命题为________．(将正确命题的序号填在横线上) 解析：①∵P 在角α的终边上，∴x ＝a ，y ＝2a ，r ＝5|a |， ∴sin α＝y r ＝2a 5|a |＝±255.∴①不正确．②∵sin α＝12>0，cos α＝32>0，∴α为第一象限内的角．由终边相同角的三角函数值相等知α可有无数多个， ∴②不正确．③∵tan α＝12，∴sin αcos α＝12，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝15，又∵π<α<3π2，∴sin α＝－55，故③正确． ④∵θ为象限角，∴－1<sin θ<1且sin θ≠0， ∴sin θ作为角应为第一、四象限角， ∴cos(sin θ)>0，又∵cos(sin θ)·tan(cos θ)>0，∴tan(cos θ)>0，∴cos θ作为角应为第一、三象限角． 又∵θ为象限角，∴－1<cos θ<1且cos θ≠0， ∴0<cos θ<1，∴θ为第一、四象限角，∴④不正确． 答案：③ 三、解答题17．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，试证明：sin α<α<tan α. 证明：如右图，在平面直角坐标系中作单位圆，设角α以x 轴非负半轴为始边，终边与单位圆交于P 点． ∵S △OP A <S 扇形OP A <S △OAT ， ∴12|MP |<12α<12|AT |， ∴sin α<α<tan α.18．已知3π4<α<π，tan α＋1tan α＝－103.(1)求tan α的值；(2)求5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值．解析：(1)∵tan α＋1tan α＝－103，∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0.解得tan α＝－13或tan α＝－3.∵3π4<α<π，∴－1<tan α<0，∴tan α＝－13. (2)∵tan α＝－13，∴5sin 2α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin(α－π4)＝5⎝⎛⎭⎫sin 2α2＋cos 2α2＋4sin α＋6·1＋cos α2－8sin α－cos α＝5＋4sin α＋3＋3cos α－8sin α－cos α＝4sin α＋3cos αsin α－cos α＝4tan α＋3tan α－1＝－54.19．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α＋1tan α的值． 解析：∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3.当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5， ∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66；当x ＝－10时，同样可求得sin α＋1tan α＝65－66.20．设f (x )＝cos xcos (30°－x )，求f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)的值．解析：f (x )＋f (60°－x ) ＝cos xcos (30°－x )＋cos (60°－x )cos (x －30°)＝cos x ＋cos (60°－x )cos (30°－x )＝3cos (x －30°)cos (30°－x )＝ 3.∴f (1°)＋f (2°)＋…＋f (59°)＝(f (1°)＋f (59°))＋(f (2°)＋f (58°))＋…＋(f (29°)＋f (31°))＋f (30°)＝293＋32＝5932. 21．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23⎝⎛⎭⎫π2<α<π，求下列各式的值：(1)sin α－cos α；(2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α.[分析](1)化简已知条件sin α＋cos α＝23，再平方求sin αcos α则可求(sin α－cos α)2，最后得sin α－cos α. (2)化简cos 3α－sin 3α，再因式分解并利用(1)求解．解析：由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23， 得sin α＋cos α＝23， 两边平方，得1＋2sin α·cos α＝29，故2sin α·cos α＝－79.又π2<a <π，∴sin α>0，cos α<0. (1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－79＝169，∴sin α－cos α＝43. (2)sin 3⎝⎛⎭⎫π2－α＋cos 3⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos 3α－sin 3α ＝(cos α－sin α)(cos 2α＋cos α·sin α＋sin 2α) ＝－43×⎝⎛⎭⎫1－718＝－2227. 22．已知tan α是方程x 2＋2cos αx ＋1＝0的两个根中较小的根，求α的值．解析：∵tan α是方程x 2＋2cos αx ＋1＝0的较小根，∴方程的较大根是1tan α.由根与系数的关系知tan α＋1tan α＝－2cos α，即1sin αcos α＝－2cos α∴sin α＝－12.解得α＝2k π＋7π6，或α＝2k π－π6，k ∈Z .当α＝2k π＋7π6(k ∈Z )时，tan α＝33，cot α＝3；当α＝2k π－π6(k ∈Z )时，tan α＝－33，cot α＝－3，不合题意．∴α＝2k π＋7π6，k ∈备选题1．(2010·创新题)对非零实数x ，y ，z ，定义一种运算“⊗”：x ⊗y ∈R ；x ⊗x ＝1；x ⊗(y ⊗z )＝(x ⊗y )z .若f (x )＝sin x ⊗cos x ，则f ⎝⎛⎭⎫7π6＝( ) A ．－1＋32 B.－1＋32C.34D.33解析：由x ⊗1＝x ⊗(x ⊗x )＝(x ⊗x )x ＝x ， x ＝x ⊗1＝x ⊗(y ⊗y )＝(x ⊗y )y ，得x ⊗y ＝x y ，所以f (x )＝sin x ⊗cos x ＝tan x ， 所以f ⎝⎛⎭⎫7π6＝tan 7π6＝33. 答案：D3．已知△ABC 中，1tan A ＝－125，则cos A ＝( )A.1213B.513C ．－513D ．－1213解析：∵1tan A ＝－125，∴tan A ＝－512，又1tan A ＝－125<0，∴π2<A <π， ∴cos A ＝－11＋tan 2A ＝－1213.答案：D3．若sin2θ＝14且θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则cos θ－sin θ的值是( ) A.32B.34C ．－32D ．－34[答案] C解析：(cos θ－sin θ)2＝1－sin2θ＝34，∵π4<θ<π2，∴cos θ<sin θ，∴cos θ－sin θ＝－32. 4．已知x 是三角形的内角，sin x ＋cos x ＝713，则tan x 的值是( )A ．－125B.125C.512D ．－512[答案] A解析：因为0<x <π，且sin x ＋cos x ＝713，所以π2<x <π.从而可知sin x >0，cos x <0，且|sin x |>|cos x |，∴tan x <0且|tan x |>1，故选A.5．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0 D.23[答案] B解析：sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π＋θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2.6．已知tan2α＝－22，且满足π4<α<π2，则2cos 2α2－sin α－12sin (π4＋α)的值为( )A.2B ．－2C ．－3＋22D ．3－2 2 [答案] C解析：2cos 2α2－sin α－12sin (π4＋α)＝cos α－sin αsin α＋cos α＝1－tan αtan α＋1.又tan2α＝－22＝2tan α1－tan 2α⇒22tan 2α－2tan α－22＝0.解得tan α＝－22或 2.又π4<α<π2，∴tan α＝ 2.原式＝1－22＋1＝－3＋2 2. 5．(2010·江苏徐州调研)cos 10π3＝________.解析：cos 10π3＝cos 4π3＝－cos π3＝－12.答案：－126．(2009·山东临沂模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13.则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值等于________． 解析：cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. 答案：－137．已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，则tan α＝________. 解析：∵sin α＋cos α＝15，① ∴1＋2sin αcos α＝125.∴sin αcos α＝－1225<0. 又α∈(0，π)，∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α－cos α＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝ 125＋4825＝75② ∴由①②得：sin α＝45，cos α＝－35.∴tan α＝－43. 答案：－436．(2010·辽宁丹东检测)已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x <0)上，则|sin α|sin α－|cos α|cos α＝________. 解析：∵角α的终边落在直线y ＝－3x (x <0)上，在角α的终边上取一点P (x 0，－3x 0)(x 0<0)，∴－3x 0>0，∴P 在第二象限， ∴|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝1＋1＝2. 答案：27．扇形OAB 的面积是1，它的周长是4，则弦长AB ＝________.解析：设扇形的半径为r ，弧长为l ，中心角的弧度数为α，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋l ＝4，12lr ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2，由|α|＝l r 得|α|＝2， ∴弦长AB ＝2sin 1.答案：2sin 18.设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，且ab ≠0，α≠k π (k ∈Z )．若f (2011)＝5，则f (2012)＝________.[答案] －5解析：∵f (2011)＝a sin(2011π＋α)＋b cos(2011π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，∴a sin α＋b cos β＝－5.∴f (2012)＝a sin α＋b cos β＝－5.二、填空题9．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α为第__________象限角．[答案] 一或三解析：当k ＝2n 时，α＝n ·360°＋45°，当k ＝(2n ＋1)时，α＝n ·360°＋225°，∴α为第一或第三象限角．10．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是________．[答案] ⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，π＋2k π(k ∈Z )解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，cos x ≤0，∴x 范围为π2＋2k π≤x ≤π＋2k π(k ∈Z )。
任意角的三角函数_基础
任意角的三角函数【要点梳理】要点一：三角函数定义设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=；(2)x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=； (3)y x 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠. 要点诠释：三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan y xα=。
要点二：三角函数在各象限的符号三角函数在各象限的符号：正切、余切余弦、正割正弦、余割 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
要点诠释：口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。
要点三：诱导公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等sin(2)sin k απα+⋅=，其中k Z ∈cos(2)cos k απα+⋅=，其中k Z ∈tan(2)tan k απα+⋅=，其中k Z ∈要点诠释：该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。
要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.【典型例题】类型一：三角函数的定义例1．已知角α的终边经过点P （－4a ，3a ）（a ≠0），求sin α，cos α，tan α的值。
【变式1】已知角α的终边在直线y=上，求sinα，cosα，tanα的值。
类型二：三角函数的符号例2．判断下列各三角函数值的符号（1）17tan6π⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）tan120°·sin269°；（3）tan191°－cos191°。
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【巩固练习】
1．角θ的终边经过点12⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，那么tan θ的值为（ ）
A ．12
B ．-
C ．
D ．2．若角0420的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（ ）
A ．34
B ．34-
C ．34±
D ．3
3．下列三角函数值结果为正的是（ ）
A ．cos100°
B ．sin700°
C ．2tan 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．9sin 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭
4．化简0sin 390的值是（ ）
A ．
12B ．12-C ．5．若42π
π
θ<<，则下列不等式成立的是（ ）
A ．sin θ＞cos θ＞tan θ
B ．cos θ＞tan θ＞sin θ
C ．sin θ＞tan θ＞cos θ
D ．tan θ＞sin θ＞cos θ
6．设α角属于第二象限，且2cos 2cos α
α
-=，则2
α角属于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7．若θ为锐角且2cos cos 1-=--θθ，则θθ1cos cos -+的值为（ ）
A ．22
B ．6
C ．6
D ．4
8．若cos θ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
9．5sin90°+2cos0°―3sin270°+10cos180°=________。
10．若α为第二象限角，则|sin |cos sin |cos |
αααα-=________。
11．已知角α的终边经过点(230,2cos30)P sin -o o ，则cos α=。
12．已知角α的终边在直线2y x =上，则sin α=。
13．已知角α终边上一点()(0)P y y ≠，且sin 4y α=。
求cos α和tan α的值。
14．判断下列三角函数式的符号：
（1）sin320°·cos385°·tan155°；
（2）2316tan 4cos 2sin cot 43ππ⎛⎫⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭
15．角α的顶点为坐标原点，终边在直线3y x =上，且sin 0α<。
若(,)P m n 是α终边上的一点，且
||OP =，求m n -的值。
【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 由tan
3y x θ=
==-。
2. 【答案】B
【解析】000tan 420,4tan 4204tan 604a a =
=-=-=--3．【答案】C
【解析】 由于24233πππ-=-+，43π在第三象限，∴2tan 03π⎛⎫-> ⎪⎝⎭。
4. 【答案】A 【解析】0000001sin 390sin(36030)sin(18060)sin 302=+=+==
5．【答案】D
【解析】 结合单位圆中正弦线、余弦线、正切线可知，此时正切线最长，余弦线最短，且都为正，故tan θ＞sin θ＞cos θ。
6. 【答案】C 【解析】22,(),,(),2422k k k Z k k k Z π
π
α
π
παππππ+<<+∈+<<+∈
当2,()k n n Z =∈时，2α
在第一象限；当21,()k n n Z =+∈时，2
α在第三象限； 而cos cos cos 0222α
α
α
=-⇒≤，2α
∴在第三象限；
7. 【答案】A
【解析】12121(cos cos )(cos cos )48,cos cos θθθθθθ---+=-+=+=8．【答案】D
【解析】 利用三角函数值的符号，确定角的象限。
∵cos θ＞0，sin2θ＜0， ∴2222222k k k k πππθπππθπ
⎧-<<+⎪⎨⎪-<<⎩（k ∈Z ） 即22222
k k k k πππθπππθπ⎧-<<+⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩（k ∈Z ）。
L 当k 为奇数时，无公共部分；当k 为偶数时，公共部分是第四象限。
9．【答案】0
【解析】 原式=5×1+2×1－3×(－1)+10×(－1)=0。
10．【答案】2
【解析】 α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0。
11．【答案】12
【解析】利用三角函数的定义去解。
12．
【答案】5±
【解析】可以在直线2y x =上任意一个点的坐标，利用三角函数的定义去解。
13．
y =
，解得y =
cos tan αα==。
14．【解析】（1）由于320°，385°=360°+25°，155°分别在第四象限、第一象限、第二象限，则sin320°＜0，cos385°＞0，tan155°＜0，∴sin320°·cos385°·tan155°＞0。
（2）由于32422π
ππ<<<<，23644πππ-=-+，164433πππ=+，∴4，2，234π-，163
π分别在第三象限、第二象限、第一象限、第三象限，∴tan4＞0，cos2＜0，23sin 04π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，16cot 03π>，∴2316tan 4cos 2sin cot 043ππ⎛⎫⋅⋅-⋅< ⎪⎝⎭。
15．【解析】由已知3n m =，并且0,0m n <<。
又2210m n +=，1,3,2m n m n ∴=-=--=。