第七章 系统函数
第七章系统函数
∏ ∏
i =1 j =1 n
m
(s − z j ) ( s − pi )
(7―2)
把系统函数的零点与极点表示在s平面上的图形, 把系统函数的零点与极点表示在s平面上的图形, 叫做系统函数的零、 极点图。 其中零点用“ 叫做系统函数的零 、 极点图 。 其中零点用 “ o” 表示 。 表示。 极 点 用 “ ×” 表 示 。 若 为 n 重 极 点 或 零 点 , 则 注 以 （ n） 。 例如某系统的系统函数为
H ( s) = H 0
∏ ∏
i =1 m j =1 n
m
(s − z j ) (s − p j ) ( jω − z j ) ( jω − p j )
H ( jω ) = H 0
∏ ∏
i =1 j =1 n
(7―8)
图7.3中画出了由零点zj和极点pi与虚轴上某点jω连接 中画出了由零点z 和极点p 与虚轴上某点jω jω连接 构成的零点矢量jω 和极点矢量jω 构成的零点矢量jω-zj和极点矢量jω-pi。图中Ｎj、Mi分别 jωjω图中Ｎ 表示矢量的模,θ 表示矢量的模,θj、φi分别表示矢量的相角,即 分别表示矢量的相角,
当正弦激励信号的频率ω 改变时, 当正弦激励信号的频率 ω 改变时 , 稳态响应的幅度和相 位将分别随着H jω） 位将分别随着 H （ jω ） 和 φ （ ω ） 变化 ,H （ jω ） 反映了 变化,H jω） ,H（ 系统在正弦激励下稳态响应随频率变化的情况, 系统在正弦激励下稳态响应随频率变化的情况 , 故又称系统 的频响特性。 的频响特性。 若 H （ s ） 的极点均位于 s 左半平面 , 令 s=jω, 也就是在 s 的极点均位于s 左半平面, s=jω,也就是在 也就是在s 平面上令s沿虚轴变化,则有H(s)|s=jω=H(jω), 平面上令s沿虚轴变化,则有H(s)|s=jω=H(jω),即为系统的 H(s)|s=jω=H(jω),即为系统的 频响特性。根据Ｈ 频响特性。根据Ｈ（s）在s平面的零、极点分布情况可以绘 平面的零、 制出频响特性曲线,包括幅频特性|H(jω)| 制出频响特性曲线 , 包括幅频特性 |H(jω)| 曲线和相频特性 |H(jω)|曲线和相频特性 φ(ω)曲线 下面介绍这种方法。 φ(ω)曲线,下面介绍这种方法。 曲线, 由式（ 由式（7―2）,系统函数Ｈ（s）的表示式为 系统函数Ｈ
信号与系统第七章 系统函数
=
K
N1N 2 " N m e j(ψ1+ψ2 +"ψm ) M1 M2 " Mn ej(θ1+θ2 +"θn )
H (jω)
=
K
N1N2 " Nm M1M2 "Mn
ϕ (ω) = (ψ1 +ψ2 + "ψm ) − (θ1 +θ 2 + "θ n )
当ω 沿虚轴移动时，各复数因子(矢量)的模和辐角都
①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。 即当k→∞时，响应均趋于0。 ②H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应函数为稳 态响应。
③H(z)在单位圆上的高阶极点或单位圆外的极点，其 所对应的响应序列都是递增的。即当k→∞时，响应 均趋于∞。
第 19 页
三、由系统函数零、极点分布 决定频响特性
v1(t ) −
R
+
C v2(t )
−
写出网络转移函数表达式
H (s)
=
V2 (s) V1 (s )
=
1 RC
⎜⎛ ⋅⎜ ⎜⎜⎝
s
1 +1
RC
⎟⎞ ⎟ ⎟⎟⎠
=
1 RC
1 M1 ejθ1
= V2 ejϕ (ω) V1
M1
θ1
−1 RC
jω
O
σ
第 28 页
频响特性
jω
M1
V2 1 V1 1
2 θ1
−1 RC
O
σ
O1 RC
( ) H
jω
=
1 RC
1 M1 e jθ1
= V2 ejϕ (ω) V1
第七章 系统函数
H ( e j ) H ( z ) z e j bm (e j zi )
i 1 m
(e p )
j i i 1
n
j j ( e z ) 和 ( e pi ) 为复数，故令 由于是 i
是当h(t)不满足绝对可积条件时，则至少有某个有界输 入f(t)产生无界输出yf(t)。 为此，设f (t)有界，则 f(-t)也有界，并且表示为
1 f ( t ) sgn[h(t )] 0 1
于是有
h(t)＞0 h(t)=0 h(t)＜0
h(t ) f (t ) h(t )
1 2
j j j 令 Be jw , A1e jw p1, A2e jw p2 ,
则H(jω)又可表示为
Be j B j ( 1 2 ) j (w ) H ( jw ) e | H ( j w ) | e A1e j1 A2e j 2 A1 A2
二、 H(s)与系统的频率特性 若系统的系统函数H(s)的极点全部在左半平面， 即H(s) 的收敛域包含 jω 轴，则
H ( jw ) H ( s ) s jw
bm ( jw si )
i 1 m
H ( jw ) H ( s ) s jw
( jw p )
i 1 i
第七章 系统函数
B() H () A()
连续系统
B( s) bm s m bm1s m1 b1s b0 H ( s) n A( s) s an1s n1 a1s a0
离散系统
B( z) bm z m bm1 z m1 b1 z b0 H ( z) n A( z) z an1 z n1 a1 z a0
信号与线性系统分析 (吴大正 第四版)第七章习题答案
7.3 如图7-5的RC 带通滤波电路，求其电压比函数)()()(12s U s U s H 及其零、极点。
7.7 连续系统a 和b ，其系统函数)(s H 的零点、极点分布如图7-12所示，且已知当∞→s 时，1)(=∞H 。
（1）求出系统函数)(s H 的表达式。
（2）写出幅频响应)(ωj H 的表达式。
7.10 图7-17所示电路的输入阻抗函数)()()(11s I s U s Z =的零点在-2，极点在31j ±-，且21)0(=Z ，求R 、L 、C 的值。
7.14 如图7-27所示的离散系统，已知其系统函数的零点在2，极点在-0.6，求各系数a，b。
7.18 图7-29所示连续系统的系数如下，判断该系统是否稳定。
（1）3,210==a a ； （2）3,210-=-=a a ； （3）3,210-==a a 。
7.19 图7-30所示离散系统的系数如下，判断该系统是否稳定。
（1）1,2110-==a a ； （2）1,2110==a a ；（3）1,2110=-=a a 。
7.20 图7-31所示为反馈系统，已知44)(2++=s s ss G ，K 为常数。
为使系统稳定，试确定K 值的范围。
7.26 已知某离散系统的差分方程为)1()2()1(5.1)(-=---+k f k y k y k y（1） 若该系统为因果系统，求系统的单位序列响应h(k)。
（2） 若该系统为稳定系统，求系统的单位序列响应h(k)，并计算输入)()5.0()(k k f k ε-=时的零状态响应)(k y zs 。
7.28 求图7-36所示连续系统的系统函数)(sH。
7.30 画出图7-40所示的信号流图，求出其系统函数)(sH。
解(a)由s域系统框图可得系统的信号流图如图7-41(a)。
流图中有一个回路。
其增益为(b)由s 域系统框图可得系统的信号流图如图7-41(b)。
流图中有一个回路。
数据结构函数
第七章 函数
6.4 函数的调用
调用形式
函数名(实参表); 说明：
实参与形参个数相等，类型一致，按顺序一一对应 实参表求值顺序，因系统而定（Turbo C 自右向左）
7.2 函数的定义
一般格式
函数返回值类型 缺省int型 无返回值void
合法标识符
现代风格:
函数类型 函数名（形参类型说明表） { 说明部分 语句部分 } 例例 有参函数（现代风格） 有参函数（现代风格） 例 无参函数 例 空函数 int int max(int x, y) max(int x,int y) printstar( ) dummy( ) { {int int z; z; { printf(“********** \n”); } { } z=x>y?x:y; z=x>y?x:y; 或 return(z); return(z); printstar(void ) 函数体为空 } } { printf(“**********\n”); }
函数体
第七章 函数
函数传统风格和例子
传统风格:
函数类型 函数名（形参表） 形参类型说明 { 说明部分 语句部分 }
例 有参函数（传统风格） int max(x,y) int x,y; { int z; z=x>y?x:y; return(z); }
第七章 函数
7.3 函数的返回值
例 无返回值函数 void swap(int x,int y ) 返回语句 { int temp; 形式： return(表达式)； temp=x; 或 return 表达式; x=y; y=temp; 或 return; } 功能：使程序控制从被调用函数返回到调用函数中， 同时把返值带给调用函数 说明：
信号与系统第七章系统函数
例1:已知系统函数如下所示，请求出系统的零、 极点，并画出其分布图。
2(s 2) H (s) (s 1)2 (s2 1)
解：零点：＝－2；
极点：p1=p2=-1;p3=j;p4=-j 将零点、极点画在复平面上得到
零、极点分布图 极点用“”表示；
零点用“o”表示。
(2) -2 -1
j
j
-j
本题：由H(s)得到零极点图
bmsm bm1sm1 ... b1s b0 sn an1sn1 ... a1s a0
bm (s j )
j 1
n
(s pi )
i 1
对于离散系统
m
H (z)
B(z) A(z)
bm zm bm1zm1 ... b1z b0 zn an1zn1 ... a1z a0
bm (z j )
2、离散因果系统的频率响应
若H(z)的极点均在单位圆内，则它在单位 圆上也收敛，频率响应为：
m
bm (e j j )
H (e j ) H (z) |ze j
j 1 n
(e j pi )
i 1
式中＝Ts, 为原来信号的角频率， Ts为取样周期
例7.1-2 某离散因果系统的系统函数
H (z) 2(z 1) 求其频率响应。
t
结论： 1）LTI连续系统的自由响应、冲激响应的函数形式由H(s)的
极点确定。 2）H(s)在左半开平面的极点所对应的响应函数是衰减的，
当t趋于无限时，对应的响应函数趋近于零。极点全部在 左半平面的系统是稳定的系统（见§7.2）。
3）H(s)在虚轴上的一阶极点对应的响应函数的幅度不随时 间变化。
p1,2
3 2
(3)2 2 k 2
《信号与系统》考研试题解答第七章 系统函数
第七章 系统函数一、单项选择题X7.1（浙江大学2004考研题）一个因果、稳定的离散时间系统函数)(z H 的极点必定在z 平面的 。
（A ）单位圆以外 （B ）实轴上 （C ）左半平面 （D ）单位圆以内 H (s )只有一对在虚轴上的共轭极点，则它的h (t )应是 。
（A ）指数增长信号 （B ）指数衰减振荡信号 （C ）常数 （D ）等幅振荡信号 X7.3（浙江大学2003考研题）如果一离散时间系统的系统函数)(z H 只有一个在单位圆上实数为1的极点，则它的h (k )应是 。
（A ）ε(k ) （B ）)(k ε- （C ）)()1(k kε- （D ）1X7.4（浙江大学2002考研题）已知一连续系统的零、极点分布如图X7.4所示，1)(=∞H ，则系统函数H (s )为 。
（A ）2+s （B ）1+s （C ）)2)(1(++s s （D ）1-s X7.5（西安电子科技大学2004考研题）图X7.5所示信号流图的系统函数H (s )为 。
（A ）26132+++s s s （B ）2132++s s （C ）26132--+s s s （D ）1212-+s sX7.6（哈尔滨工业大学2002考研题）下列几个因果系统函数中，稳定（包括临界稳定）的系统函数有 个。
（1）4312+--s s s （2）s s s 312++ （3）34234+++s s s （4）33223++++s s s s （5）1224++s s s （6）2421s s +（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）4X7.7（哈尔滨工业大学2002考研题）下面的几种描述中，正确的为 。
（A ）系统函数能提供求解零输入响应所需的全部信息； （B ）系统函数的零点位置影响时域波形的衰减或增长； （C ）若零极点离虚轴很远，则它们对频率响应的影响非常小； （D ）原点的二阶极点对应)(2t t ε形式的滤形。
第七章 系统函数
• H ejω 即h(n)的DTFT • ejω 为周期函数，所以 H ejω 为周期函数，其周期为 2π 。
通过本征函数透视系统的频响特性
设输入xn ejn
为本征函数
xn hn yn
hn为稳定的因果系统
yn hn xn
h m ejωnm e j n h m ejω m
1 M1 ejθ1
V2 ej ω V1
ω
O
1
ω
式中：V2＝ 1 V1 RC
1 M
, ＝ －θ 1
45
RC
90
低通网络，截止频率位于ω 1 处 RC
例研究右图所示二阶RC系统
的频响特性H
jω
V2 jω V1 jω
,
注意，图中kv3是受控电压 v1t
R1 C1
v3t
C2 kv3 R2
v2 t nO Nhomakorabean
θ2
ω
ω
系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系 统的频率响应特性。
由系统函数得到频响特性
离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系 统的频率响应特性:
H ej H z z ejω H ejω ejω H ejω ~ ω ：幅频特性
输出与输入序列的幅度之比
ω ~ ω ：相频特性
limh(t) →∞
t→∞
2.离散系统:
Z平面: 单位圆内:p=-1/3,h(k)=
1 3
k
(k)
→0
单位圆上:p=1,h(k)=1k (k),有限值.
单位圆外:p=2,h(k)= 2 k (k) →∞
z平面
-1/3 0 1 2
极点位置与h(n)形状的关系
第七章(非线性系统的描述函数法)
§7.4非线性系统的描述函数分析法一、描述函数法的基本概念假设非线性系统的输入函数为)sin()(t X t x ω=非线性环节Nx (t )n(t )输出n(t)将是非正弦的周期信号。
可以展成傅利叶级数，n(t)是由恒定分量、基波分量、和高次谐波组成。
假设1：如果非线性部分的特性曲线具有中心对称性质，那以输出信号n(t)的波形具有奇次对称性（波形的后半个周期重复前半个周期的变化，但符号相反）输出不含直流分量，输出响应的平均值为零。
假设2：线性部分具有良好的低通滤波性，那么高次谐波的幅值远小于基波。
闭环通道内近似地只有一次谐波信号流通。
对于一般的非线性系统而言这个条件是满足的，线性部分的低通滤波性越好，用描述函数法分析的精度越高。
上述两个假设满足时，非线性环节的输入是一个正弦信号，系统的输出是相同频率的正弦信号，对于非线性环节的输出只研究其基波成分就足够了。
假设系统中非线性环节的输入函数为tX t x ωsin )(=输出信号可以展成傅利叶级数∑∑∞=∞=++=++=1010)sin(2)cos sin (2)(i i i i i i t i Y A t i B t i A A t n ϕωωω⎰=πωωπ20)()cos()(1t d t i t n A i ⎰=πωωπ20)()sin()(1t d t i t n B i 22iii BA Y +=iii B A tg1-=ϕ若非线性部分是齐次对称的，则A 0=0，线性部分又具有低通滤波特性，可以认为非线性环节的输出中只有基波分量能够通过闭环回路反馈到输入端。
输出部分的基波分量为)sin(cos sin )(11111ϕωωω+=+=t Y t B t A t y ⎰=πωωπ201)()cos()(1t d t t n A ⎰=πωωπ201)()sin()(1t d t t n B 21211B A Y +=1111B A tg -=ϕ可以用一个复数来描述非线性环节输入正弦信号和输出信号基波的关系。
第7章函数
7.4 函数参数传递和函数的值
• 函数的参数分为形参和实参两种。形参出现在函数 定义中，在整个函数体内都可以使用，离开该函数 则不能使用。实参出现在主调函数中，进入被调函 数后，实参变量也不能使用。
• 形参和实参的功能是传送数据。当发生函数调用时， 主调函数把实参的值传送给被调函数的形参，从而 实现主调函数向被调函数的数据传送。这样的参数 传递方式叫做“数值传递”，简称“值传递”。
函数调用过程中，若形参的值发生改变，不会影响实参中的 值发生变化。
【例7.5】编程求n+(n-1)+(n-2)+…+1的和。 #include <stdio.h> void s(int n) void main() 程序运行过程与结果为： {int i; {int n; input number n: for(i=n-1;i>=1;i--) printf("input number n\n"); 5↙ n=n+i; scanf("%d",&n); ********* printf("n=%d\n",n); } printf("*********\n"); /*调用函数s之前，输出n值*/ n=5 printf("n=%d\n",n); /*调用函数s之前，输出n值*/ ********* printf("*********\n"); /*在函数s内部，输出n值*/ n=15 void s(int); ********* /*调用前，说明函数s*/ s(n); n=5 /*调用函数s之后，输出n值*/ printf("*********\n"); ********* printf("n=%d\n",n); /*调用函数s之后，输出n值*/ printf("*********\n"); }
信号与系统第七章(2)系统稳定性
Y (z) 1 2z1 3z2 z2 2z 3
H(z)
F(z)
1 z1 Kz2
z2 z K
其极点
1 1 4K
p1,2
2
பைடு நூலகம்
当 1 4K 0,即 为K实极1点，为使极点在单位圆
4
内，必须同时满足不等式
1 1 4K 1, 1 1 4K 1,
复习
连续系统稳定性的判断方法： ——罗斯-霍尔维兹判断准则 1、系统稳定的充分必要条件是什么？ 2、什么样的多项式是霍尔维兹多项式？ 3、怎样判断霍尔维兹多项式？ 4、罗斯阵列的形式？ 5、罗斯准则的要点是什么？
【例1】 已知三个线性连续系统的系统函数 分别为：
H1(s)
s4
s2 2s3 3s2
容易推出其根均在单位圆内的条件是
A(1) 0 A(1) 0
a2 a0
例7.2-5 设图示的离散因果系统，当K满足什么条
件时，系统是稳定的？
Fz
X z
1
z 1
Y z
2
k
3
z 1
Y (z) 1 2z1 3z2 z2 2z 3
11
定。 根据以上条件，当K＜0时系统为稳定系统。
四、离散(因果）系统的稳定性准则----朱里准则
为要判别离散系统的稳定性，就需要判别系统函数
H(z) B(z) A( z )
的特征方程 A(z)所 0有根的绝对值是否都小于1。 朱里提出了一种列表的检验方法，称为朱里准则。
设 H (z的) 特征多项式为
第七章 系统函数
f (t ) et (t )
t
9
H ( s)
(s pi )
i 1
n
H(s)的极点与所对应的响应函数
7.1
系统函数与系统特性
2．离散因果系统 H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、 在单位圆上和在单位圆外三类。 根据z与s的对应关系，有结论： ①H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列为衰减的。 即当k→∞时，响应均趋于0。极点全部在单位圆内的系 统是稳定的系统。
2
7.1
系统函数与系统特性
7.1 系统函数与系统特性 一、系统函数的零、极点分布图
LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即 B() H () A() A(.)=0的根p1，p2，…，pn称为系统函数H(.)的极点； B(.)=0的根1，2，…，m称为系统函数H(.) 的零点。 m
i 1
n
H s
s jω
H jω H jω e
j ω
H jω ——幅频特性
ω ——相频特性（相移特性）
13
H j ω H s
s jω
bm j ω j
m
7.1
系统函数与系统特性
jω p
i 1 i
H (s) 6 6 6 ( s 2)(s 3) s 2 s 2
h(t ) 6(e 2t e 3t ) (t ) g (t ) h( )d [1 e 2t 2e 3t ] (t )
0 t
（2）
Yzs ( s)
1 ( s 1)(s 2)(s 3) Yzs( s) 1 F (s) H ( s) 6( s 1)
信号与系统第七章(3)信号流图
通路
d
x1
1
x2 a
b
x3
e
x4 c
g
x5
f
从任一结点出发沿着支路箭头方向连续经过各相连的 不同支路和结点到达另一结点的路径称为通路。
如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路。
如果通路的终点就是通路的起点（与其余结点相遇不 多于一次），则称为回路或闭通路（环路）。
1
z-1
+
+
∑
z-1
F(z)
0.5
-
z-1 0.25
0.5 1
+ -
∑ Y(z)
例4 求图示信号流图的系统函数。
H4
F
1 x1
H1 x2 H2 x3 H3 x4 H5
Y
-G1
-G2
-G3
例5 求图示网络的转移电压比
H(s) U4(s) U1(s)
和输入阻抗
Zin(s)
U1(s) I1(s)
（一） 判断系统函数 H (的S)极点都在左半开平面。
（二）连续因果系统的稳定准则：罗斯-霍尔维兹准则。 1 判断多项式 A(的s)所有系数 ai (i 0是,1,否2,大, n于) 0。
2 若所有系数 a均i 大于0， 用罗斯准则进一步判断。 3 罗斯准则：多项式 A是(s霍) 尔维兹多项式的充分 和必要条件是罗斯阵列中第一列元素均大于零。
U2(s) R[I1(s) I2(s)]
U3(s) R[I2(s) I3(s)]
U4(s) RI3(s)
sC R
sC R
U2
I2
U3
I3
第7章_系统函数
n
a m ( z p i )
i1
第七章 系统函数
7.1 系统函数与系统特性
一、系统函数的零、极点分布图
极（零）点的分布类型：
✓ 一阶实极（零）点：位于 s 或 z 平面的实轴上
✓ 一阶共轭虚极（零）点：位于 s 或 z 平面虚轴上，且对称于实轴
✓ 一阶共轭复极（零）点：位于 s 或 z 平面上，并且对称于实轴
i 1
H(j
)bmB1B2 amA 1A2
Bej(12 m) m
Aej(12 m) m
H(j) bmB1B2 Bm
其中
amA1A2 Am
() (1 2 m ) - (1 2 m )
据模、辐角随 的变化，可绘出幅频特性曲线和相频特性曲线。
第七章 系统函数
7.1 系统函数与系统特性
7.2 系统的因果性与稳定性
二、系统的稳定性
例 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1) (1) 若为因果系统，求h(k)，并判断是否稳定。 (2) 若为稳定系统，求h(k).
解 H ( z ) 1 1 .5 z z 1 1 z 2 z 2 1 z . 5 z 1 ( z 0 .5 z )z ( 2 ) z 0 .4 0 z . 5 z 0 . 4 2 z
称 B() 0 的根 1,2, n为系统函数 H ( ) 的零点 。
第七章 系统函数
7.1 系统函数与系统特性
一、系统函数的零、极点分布图
系统函数可以写为：
m
H (s) B (s) A(s)
bm
(s j)
j1 n
a m ( s p i )
i1
m
H ( z)
B(z)
第七章(c语言谭版)函数
调用a
调用b
}
}
}
例： 用弦截法求方程的根。
x3–5x2+16x–80=0 方法如下： (1) 取两个不同点x1、x2,如果f(x1)和f(x2)符号相反， 则(x1,x2)区间内必有一个根。如果f (x1)与f (x2)同 符号，则应改变x1、x2，直到f (x1)、f (x2)异号为 止。注意x1、x2的值不应差太大，以保证(x1, x2) 区间只有一根。
float x1, x2; { int i; float x, y, y1; y1=f(x1); do { x=xpoint(x1, x2);
y=f(x);
if (y*y1>0) /*f(x)与f(x1)同符号。*/ {y1=y; x1=x;} else x2=x; } while (fabs(y)>=0.0001); return (x); }
个return.
返回值类型为函数类型。 一般return中的返
回值类型应与函数定义时的类型一致， 不一致时,
以函数定义类型为准。
5. 调用函数应对被调用函数的返回值类型作出说 明:(函数名相当于一变量,但应有所区别)
类型符 函数名( );
它不同于函数的定义(功能定义) 例: 求二实数之和 main ( ) { float add( ); float a, b, c；
hanoi(n, one, two, three)
表示n个盘子从one塔借助于two塔(空)移至three塔。 调用时塔用字符常量'A' ,' B ', ' C '表示。
§7.5 数组作为函数参数
分为两种情况: 1. 数组元素作为实参
第七章 系统函数
第七章系统函数系统分类：连续系统离散系统分析方法：时域：h(t)h(k) 冲击响应/单位响应↑逆↑逆复频域: H(s) H(z) 系统函数H(·)↓s = jw↓z =e jwT频域: H(jw) H(e jwT) 频率响应系统的研究:系统分析: 给定系统→H(·)→系统的特性系统综合: 给定要求(如幅频特性)→确定结构和参数→H(·) 本章是在前几章的基础上加以概括和引伸主要内容:一H(·)与系统的特性(时域响应、频域响应)二系统的因果性和稳定性及判别准则三信号流图四系统模拟。
由系统函数→框图§ 7.1 系统函数与系统特性一 H(·)的零点与极点H(·)=)()(••A B 极点：A(·)=0的根，i P ，H(i P )→∞ 零点：B(·)=0的根，i ξ，H(i ξ)=0类型：实数、共轭虚数、共轭复数，一阶或二阶 二 H(·)与时域的响应关系： H(·) h(·)1 连续系统: H(s) h(t) 以虚轴为界结论：○1 H(s)的极点位置→h(t)的函数形式 ○2 极点在左半开平面→h(t)是衰减的，h(t)|∞→t →0，系统是稳定的○3 虚轴上的一阶极点→h(t)是幅度稳定，临界稳定 ○4 极点在右半开，和虚轴上二阶以上→h(t)是增长的， 系统不稳定稳定性：若输入有界，则输出有界。
若|f(·)|＜∞，则| y f (·)|＜∞ 2 离散系统：H(z) h(k) 以单位圆为界结论：○1 H(z)的极点位置→h(k)的序列形式 ○2 极点在单位圆内→h(k)是衰减的，k →∞，h(k)→0 系统是稳定的○3 单位圆上的一阶极点→h(k)是幅度稳定，临界稳定 ○4 极点在单位圆外，和单位圆上二阶以上→h(k)是增长的，系统不稳定三 极、零点与频率响应的关系： 1 连续系统H (s)=∏∏=-=-ni i p s mj j s m b 1)(1)(ξ 设极点都在左半开平面，收敛域含虚轴H (j ω)= H (s)|s=jw =∏∏=-=-ni i p jw mj j jw m b 1)(1)(ξ 画幅频、相频特性下面用矢量分析法分析，主要是定性分析其变化规律矢量：p i | p i | j ω |ω| 差矢量： j ω- p i 幅角i ϕ 幅角2π令 j ω- p i =A i ij e θ j ω-ζi =B j jj e ψH (j ω)=)(21)(212121n m j e n A A A j e m B B B m b θθθψψψΛΛΛΛ++++=H (ω)=nA A A mB B B m b ΛΛ2121 )(ωϕ=(m ψψψΛ++21)- (n θθθΛ++21)ω从0～∞时，可得到其幅频特性和相频特性曲线例7.1-1 研究RC 低通网络电压转移函数的频率响应H(j ω)=)(1)(2ωωj U j U解：H (s)=SCR SC 11+=RC S RC 111+• 极点S= - RC 1H (j ω)=RCj RC111+ω令θωj Ae RCj =+1A=2)1(2RC +ω θ=arctg ωcR H (ω)=ARC 11 )(ωϕ=0-θ= - arctg ωcR 定性分析：ω从0～∞时，A 单调增大，θ从0～2π H (ω)单调下降，)(ωϕ从0～ - 2π例7.1-2 典型的二阶系统，RLC 串联电路，求动点导纳y(s)=)(1)(1s U s I 的频率特性 解：H (s) =2022ωα++s s s =)2)(1(p s p s s-- 设α＞0，ω02 ＞α2零点：s=0极点：p 1，2 = -220αωα-±j =-βαj ± 其中：Lr2=α 衰减因素 220αωβ-= LC10=ω 谐振角频率只讨论α＜ω0时的频率响应，先画极、零图H (j ω)=)2)(1(p j p j j --ωωω=)(2121θθψ--•j e A A BH (ω) =21A A B)21()(θθψωϕ--= 定性分析：ω从0～∞○1 ω=0 B=0，A 1=A=ω 21θθ-= 2πψ=y (ω)=0 2)(πωϕ=ω↑ B 和A 2↑ A 1↓ 21θθ+↑ 2πψ=y (ω) ↑ )(ωϕ↓○2 ω=ω0 y (ω)=α21为极大值 0)(=ωϕ 221πθθ=+ ω↑ B 、A 2、A 1↑ y (ω) ↓ 21θθ+↑ )(ωϕ↓○3ω→∞ y (ω)→0 πθθ=+21 2)(πωϕ-=全通函数： |H(j ω)|为常数设有二阶系统H(s)，左半平面有一对极点p 1，2 = -βαj ± 右半平面有一队零点ξ1，2 =βαj ±H(s)=)2)(1()2)(1(p s p s s s ----ξξH(j ω)=)2)(1()2)(1(p j p j j j ----ωωξωξω=)(21212121θθψψ--+•j e A A B B 由图：对所有ω，有A 1= B 1 A 2 =B 2∴ |H(j ω)|= 2121A A BB =1结论：凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面，且以j ω轴镜像对称，此系统函数即为全通函数 最小相移函数零点位于左半开平面的系统函数，其相频特性)(ωϕ最小 一阶 p 1，2 = βj e ± H(z)=ββj ez z k j e z z k --+-*11 共轭极点 h(k)=2|k 1|cos (βk+θ)·u (k)二阶实或共轭： h(k)= Ck ·u (k) k ↑ h(k)↑ （二阶以上同） h(k)=Ckcos (βk+θ)·u (k) k →∞ h(k)→∞ (3) 极点在单位圆外：|a|＞1一阶实极点 p=a ，h(k)=a k ·u (k) k ↑ 一阶共轭极点：p=a βj e ± h(k)=C a k cos (βk+θ)·u (k) h(k)↑ 高阶情况同上结论：A H(z)的零、极点决定 h(k) 形式由极点决定幅度和相角由零、极点共同决定B 单位圆内的极点，h(k)为衰减序列，k →∞ h(k)→0，暂态分量C 单位圆上的一阶极点，h(k)为等幅序列，k →∞ h(k)有限值，稳态分量D 单位圆上的二阶及以上极点 h(k)为等幅序列 单位圆外的极点 k →∞ h(k)→∞ 2 离散系统：H(z)零、极点H(T j e ω)关系H(z)=∏∏=-=-ni i p z mj j z m b 1)(1)(ξ 若极点均为单位圆内，收敛域含单位圆频率响应：H(T j e ω)=∏∏=-=-n i i p j m j j j m b 1)(1)(ωξω=∏∏==n i j e i A mj j e j B m b i j11θψ=)(21)(212121nm j e n A A A j e m B B B m b θθθψψψΛΛΛΛ++++=H d (ω) )(ωϕdj e幅频：H d (ω)= H(T j e ω)=nA A A mB B B m b ΛΛ2121相频：)(ωϕd =(m ψψψΛ++21)- (n θθθΛ++21) 分析：ωT 从0～2π，即ω从0～Tπ2，z 由z=1沿单位圆逆时针方向旋转一周。
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p ,q ,r
L
L
p ,q ,r
m
Ln 为所有两两不接触回路的增益乘积之和；
m,n
p
Lq Lr 为所有三个都互不接触回路的增益乘积之和；· · ·· ··
i 表示由源点到汇点的第i条前向通路的标号 Pi 是由源点到汇点的第i条前向通路增益； Δi 称为第i条前向通路特征行列式的余因子 。它是除去 与i条前向通路相接触的环路外，余下的特征行列式。
(5)前向通路：从源点到汇点的开通路称为前向通路。 (6)前向通路增益，回路增益：通路中各支路增益的乘积
3. 信号流图的基本性质
（1）信号只能沿支路箭头方向传输。 支路的输出=该支路的输入与支路增益的乘积。 （2）当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路 的信号相加，并将和信号传输给所有与该结点相连 x1 x5 的输出支路。 d 如：x4= a x1+b x2+c x3 x 5= d x 4 x 6= e x 4
例: 求下列信号流图的系统函数
解: (1)首先找出所有回路，3个： 1 L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5 (2)两两互不接触回路，2个 L1L3=H3GH1H4H5 (3)三个互不接触回路，无
H4 H1 H2 H3 G H5 2 1
(4)求特征行列式 Δ=1 – (H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5) + H3G H1H4H5
k
| h(k ) | ≤M
对于因果系统 若H(z)的极点均在单位圆内，则该系统必是稳 定系统。
§7.3
信号流图
用方框图描述系统的功能比较直观。信号流图 是用有向的线图描述方程变量之间因果关系的一种 图，用它描述系统比方框图更加简便。信号流图首 先由Mason(梅森)于1953年提出的，应用非常广泛。 信号流图就是用一些点和有向线段来描述系统，与 方框图本质是一样的，但简便多了。
(3)然后找出所有的前向通路，有2条： p1=2H1H2H3 p1前向通路的余因子：Δ1 =1 p2=H1H4 p2前向通路的余因子： Δ2 = 1–GH3
H5 1 H1 H2 H3 G H4 2 1
1 H ( p11 p2 2 ) 2 H1 H 2 H 3 H1 H 4 (1 GH 3 ) 1 ( H 3G 2 H1 H 2 H 3 H 5 H1 H 4 H 5 ) H 3GH1 H 4 H 5
框图也可用梅森公式求系统函数。
课外作业
PP. 264-270 7.5 (1) 7.6 (b)
7.18 (1)
7.19 (3) 7.20 7.22 7.26
7.28 (b) END
§7.4
系统的结构
Mason公式是由流图 → H(s)或H(z) 下面讨论，由H(s)或H(z) → 流图或方框图
一、直接实现 ——利用Mason公式来实现
A2
θ2 -jβ
Bψ 0 σ
jω B A1 A2
θ1 jβ θ2
jω
pi -α
0
-jβ
σ
下面介绍两种常见的系统。
（1）全通函数 若系统的幅频响应| H(jω)|为常数，则称为全通系统， 其相应的H(s)称为全通函数。 凡极点位于左半开平面，零点位于右半开平面， 并且所有的零点与极点对于虚轴为一一镜像对称的系 统函数即为全通函数。
第七章
系统函数
§7.1
系统函数与系统特性
系统函数的零、极点分布图 系统函数H(· )与系统的因果性 系统函数与时域响应 系统函数与频率响应
一、系统函数的零、极点分布图
LTI系统的系统函数是复变量s或z的有理分式，即
B() H () A()
A(· )=0的根p1，p2，·，pn称为系统函数H(· · · )的极点； B(· )=0的根1，2，·，m称为系统函数H(· · · )的零点。 将零极点画在复平面上 jω 得零、极点分布图。 j 例：
1. 连续系统稳定的充分必要条件 时域： s域：
若H(s)的收敛域包含虚轴，则该系统必是稳定系统。
| h(t ) | d t ≤M
对于因果系统 若H(s)的极点均在左半开平面，则该系统必是 稳定系统。
2. 离散系统稳定的充分必要条件 时域： z 域：
若H(z)的收敛域包含单位圆，则该系统必是稳定系统。
a x4 e c x3 x6 x2 b
（3）混合结点可通过增加一个增益为1的出支路而变 为汇点。
4. 方框图←→流图 例：
∑ F(z) 2 3
1 F(z) 1/z -2 -3 1/z 4 1 Y(z)
4 1/z 1/z ∑ Y(z)
注意：加法器前引入增益为1的支路
5. 流图简化的基本规则：
（1）支路串联：支路增益相乘。
一、信号流图
1. 定义： 信号流图是由结点和有向线段组成的几何图形。它可以 简化系统的表示，并便于计算系统函数。
2. 信号流图中常用术语
(1) 结点： 信号流图中的每个结点表示一个变量或信号。 (2) 支路和支路增益： 连接两个结点之间的有向线段称为支路。 每条支路上的权值（支路增益）就是该两结点间的系统 函数（转移函数）。 H(s) Y(s) F(s) 即用一条有向线段表示一个子系统。
2．离散因果系统
H(z)按其极点在z平面上的位置可分为:在单位圆内、 在单位圆上和在单位圆外三类。 根据z平面与s平面的映射关系，得结论： (1) H(z)在单位圆内的极点所对应的响应序列都是衰减 的。即当k→∞时，响应均趋于0。极点全部在单位圆内 的系统是稳定系统。 (2) H(z)在单位圆上的一阶极点所对应的响应序列的 幅度不随k变化。 (3) H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上极点或单位圆外 的极点，其所对应的响应序列都随k的增长而增大。即 当k→∞时，响应均趋于∞。这样的系统是不稳定的。
H2 X1 H1 X2 H3 X4 X3
H1H2 X1 H1H3
X3
X4
（4）自环的消除：
所有来向支路除1 – H3
H3 X1 X2 H1 X3 H2 H4 X4
X1 X2
H1 1 H3
H4 X3 X4
H2 1 H3
X3=H1X1+H2X2+ H3X3
H1 H2 X3 X1 X2 1 H3 1 H3
§7.2
系统的因果性与稳定性
一、系统函数H(· )与系统的因果性
因果系统是指，系统的零状态响应yzs(· )不会出现 于激励f(· )之前的系统。 连续因果系统的充分必要条件是：冲激响应 h(t)=0,t<0 或者，系统函数H(s)的收敛域为：Re[s]>σ0 离散因果系统的充分必要条件是：单位响应 h(k)=0, k<0 或者，系统函数H(z)的收敛域为：|z|>ρ0
（3）在右半开平面 ：均为递增函数。
结论
LTI连续因果系统的h(t)的函数形式由H(s)的极点确定。 (1) H(s)在左半开平面的极点所对应的响应函数都是衰 减的。即当t→∞时，响应均趋于0。极点全部在左半 平面的系统是稳定的系统。 (2) H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的响应函数的幅度 不随时间变化。 (3) H(s)在虚轴上的二阶及二阶以上的极点或右半开平面 上的极点，其所对应的响应函数都随t的增长而增大。 即当t→∞时，响应均趋于∞。这样的系统是不稳定的。
（2）最小相移函数 对于具有相同幅频特性的系统函数而言，零点位 于左半开平面的系统函数，其相频特性(ω)最小，称 为最小相移函数。
-
-
-
2. 离散系统
若系统函数H(z)的收敛域包含单位圆（对于因果 系统， H(z)的极点均在单位圆内） ，则系统存在频率 响应，频率响应与系统函数之间的关系为 H(ejθ)=H(z)|z= ejθ ， 式中θ=ωTs，ω为角频率，Ts为取样周期。
二、系统的稳定性
稳定系统的定义 一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应 也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output —— BIBO)稳定的系统，简称为 稳定系统。 即，若系统对所有的激励 |f(·)|≤Mf ，其零状态响应 |yzs(·)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。
（2）在虚轴上 (a)单极点p=0或p1,2=±jβ， 则响应为Kε(t)或Kcos (βt +θ)ε(t) ——稳态分量 (b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为 Kit iε(t)或Kit icos (βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,·,r–1) ——递增函数 · ·
例：化简下列流图。
X3 X1 a X2 c X4 b d f e X5 1
注意化简具体过程可能不同，但最 终结果一定相同。
X6
X1 a X2 bd c X4 ed f X5 1 X6
解：消X3
1
消X2
X1 a(c+bd) X4
ed f X5
X6
消自环
af (c bd ) 1 edf
消X4
X1jω-pi pijω jωpi 0 σ
Ai
jω jω
θi
Bj
ψj σ
0
Ψ=π/2
A1 pi -α A2
θ2
θ1
jω jω jβ B ψ 0
-jβ
σ
θ1
jω
jβ
pi
A1 -α A2
θ2 -jβ
ψ 0B
σ
θ1
jω A1 A2
jβ
pi -α