同济大学地下结构有限元1_绪论-庄晓莹

实际科学和工程求解的需求
苏州河水闸工程
苏州河水闸工程
四号线原位修复
险情发生后、基坑开挖等对临江花苑桩基承载力的影响(四号线修复)
水利水电引水发电系统
水电地下洞室群稳定性分析
白鹤滩水电站混凝土双曲拱坝方案
坝高 277m 表孔 6-12.5×18.5 深孔 7-5×8 泄洪洞 4-14×11.3 厂房 2-8×750
瑞利－李兹近似解法
选择一组满足位移边界条件的试探函 数u(x,y,z):
将上述位移函数u(x,y,z)代入几何方程求出应变 εij、代入物理方程求出应力σij ,进而可以求得 分析物体的总势能Π
U V f Am , Bm , Cm
瑞利－李兹近似解法
利用最小势能原理，对总势能取极值：
Rabczuk教授来自德国魏玛-包豪斯大学 Bauhaus University Weimar.
Timon Rabczuk教授是德国著名大学包豪 斯-魏玛大学结构工程学院教授及学院院 长，是无网格颗粒断裂法的创始人，也是 目前具有影响力国际上的著名计算力学学 者。目前他已发表SCI论文50多篇，其论 文在SCI数据库统计引用率超过1200多次 ，近2年他引超过500多次。
参考文献
《有限单元法》王勖成，清华大学出版社 《有限元法原理与应用》朱伯芳，清华大学出版社 The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. Tayor and Zienkiewicz.
Good luck!
Timon Rabczuk 教授
高边坡工程 河流演化与地形地貌
40～50°
1885m(坝高305m)
左岸 60～80° 河床基岩顶板 高程 1619~1590m, 左岸1810m以 下坡度60~80º ，以上至1635
普斯罗沟
夷平面： 高程（m） 时代 抬升速率 （mm/a） I 4000~4500， II 3000~3300， 0.06 III 2200~2400， 0.08 阶地： T6 1975~1995， Q1 0.25~0.31 T5 1840~1880， Q2 0.25~0.35 T4 1765~1815， Q2 0.25~0.35 T3 1720~1760， Q3 0.66~0.97 T2 1695~1710， Q3 0.66~0.97 T1 1675~1685， Q4 3.3~4.16
15个
任意弹性问 题均应满足 右边的控制 方程
ij , j X i 0
ij , j
1 ui, j u j ,i 2
ij kk ij 2 ij
《弹性力学》课程中 已经讲过，在1828年 柯西就建立了该经典 的弹性力学求解体系
弹性力学问题的求解困难
Structural mechanics 结构力学
结构水平 The stresses at structural level
理论力学能解什么问题？
Theoretical mechanics 理论力学
or we say it is kinematics 机动平衡 Systems of rigid bodies, movements of point
二维
三维
建立了较完善的三维断裂动态扩展分析理论及方法
申请人：庄晓莹
在 IJNME, CMAME 等国际一流期刊上连续发表系列文章 2012年4月 LAP国际出版社出版英文学术专著1部
FEM 有限单元法
有限单元法，是一种有效解决数学物理问题的解题方法
这门课非常具有挑战性！
想学好，要花时间！ 有不少数学和物理公式！
该应力解答还必须满足应力及位移边界条件。
弹性力学问题的解析求解
扭转问题的扭转函数解法：
寻找满足泊松方程 的扭转函数F(x,y)，其应力解为
其应力解还必须满足力的边界条件：
弹性力学问题的解析求解
空间轴对称问题的Love位移函数解法： 寻找满足双调和方程 的Love位移函数Ψ(r,z)，其位移解为
该位移解还必须满足边界条件
有限元应用实例
Geotechnical engineering - tunnelling 岩土工程-隧道开挖
有限元应用实例
Ship design 船舶设计
有限元法遇到网格畸变的困难
边坡分析
无网格法有效分析动边界问题
无网格法尤其适于解决动边界问题，近年来 在三维断裂和材料破坏方面取得重大突破。
无网格法模拟土体开挖分离、破坏过程
课程内容
有限元法基本概念 平面三角形单元

有限元法单元及刚度矩阵的特点、边界条件 三角形有限单元法程序 广义坐标有限单元及有限元解的性质 矩形单元和高精度三角形单元 单元和插值函数的构造 等参单元和数值积分 有限元法应用中的若干实际考虑 微分方程的等效积分形式和加权余量法介绍
弹性力学中的有限单元法
FINITE ELEMENT METHOD
来自百度文库
同济大学土木工程学院
自我介绍
高中 上海市第三女子中学
本硕
博士 讲师
2001-2007 同济大学
2007-2010 英国杜伦大学 2011 同济大学
博士后 2010 挪威科技大学
基本情况(博士)
……
……
杜伦大学英国排名第八，《泰晤士报》2009年优秀大学指南
弹性力学的任务
弹性力学作为固体力 学的一个分支，是研究 弹性体受外力作用或温 度、支座沉陷等原因而 产生的应力、应变和位 移的一门学科 。
F k x
弹性力学的求解体系

P
对于这样一些实际的工程或 科学问题，在外界因素的作 用下，其应力、应变、位移 的响应（大小）如何？
弹性力学的求解体系
陶乐茜研究生奖学金 (DHPA)
资助课题：岩土工程中的无网格法研究
杜伦大学目前英国排名第5，世界排名96.
博士论文
申请人：庄晓莹
三维断裂无网格法模拟理论及应用
2010 英国辛科维奇计算力学最佳博士学位论文奖（年度唯一）
2011
欧洲计算力学最佳博士学 位论文提名奖 2009 英国计算力学年会最佳会 议论文奖
存在15个未知量，相应地建立了15个基本方程，好像 已经完成了弹性力学的任务？！ 但是，进一步应用就会发现，时至今日，这15个微分 方程组的求解在数学上的遇到困难也是非常巨大的。 在随后的100多年的时间里，数学、力学家们为了弹 性力学的求解付出了艰苦的劳动和努力。
弹性力学问题的解析求解
平面问题的应力函数解法： 寻找一个满足双调和方程 的应力函数U(亦称Airy应力函数)。则其应力解答为
•Weimarer Republic (1918-1933) •Hummel, Liszt, Bach •Goethe, Schiller, Herder •Kandinsky, Klee, Schlemmer, Feininger •Bauhaus University (1919) and Franz Liszt University (of Music) founded in 1872
有限元应用实例
Aeronautic engineering 航天工程
http://www.bugman123.co m/Engineering/index.html
有限元应用实例
Automobile engineering 汽车工程
car crashes
wheel shape optimization
可以得到一组以Am、Bm、Cm为未知系数的代数 方程组。 求解该代数方程组得到系数Am、Bm、Cm，代 回位移函数u(x,y,z)就可以得到所需的解答。
示例－矩形板问题
用瑞利－李兹法求如右图所示的问题，可经 过分析假设位移函数如下：
y
对总势能取极值，得到以Ai、 Bi为系数的代数方程组。求解 即得解答。
a
b
将上述位移函数代入几何方 程求出应变εij、代入物理方 程求出应力σij ,进而可以求 得分析物体的总势能Π。

x
弹性力学解法小结
回顾上述的所有解法可以发现： 尽管作了大量的简化和努力，这些解法能够求解 的仍是极其简单和少数的弹性力学问题。
适合于任何弹性体的求解控制方程组已完整建立， 其求解却如此困难！
雅砻江
困扰了无数学者近一个世纪的难 题在上世纪五十年代终于得到了圆满的 解答，那就是有限单元法的提出。 也正是有限单元法的提出才最终使 得弹性力学及其相关的一些学科真正走 向了科学和工程应用。
有限单元法的基本思路
材料力学能解什么问题？
Material mechanics 材料力学
l0/ l0/ 2 2 F
1
F B l 0
1
MB=-0.188Fl0
A
l0
A
M1=0.156Fl0
Moment diagram 弯矩图
The stresses at component level 杆件水平
结构力学能解什么问题？
steam engine 蒸汽机
弹性力学能解什么问题？
You know how to solve this problem
if we assume the beam is thin and long
What about this one?
但如果问题对象形状很复杂怎么办？
Burj Khalifa, Dubai 哈里法塔 高828米，162层，位于阿拉伯联 合酋长国首都迪拜(UAE-United Arabian Emirates)，这是目前世 界最高摩天大楼。
弹性力学问题的解析求解
薄板问题的挠曲函数解法：
寻找一个满足双调和方程 的挠曲函数w。则其应力解答为 ……
该应力解答还必须满足应 力及位移边界条件。
最小势能原理及近似解法
最小势能原理：在满足位移边界条件(约束所允许 的)一切位移中，真实的位移使弹性体的总势能取 极值(极小值)。
近似解法：根据最小势能原理与弹性力学求解体系 的等价性，可以提出弹性力学的近似解法 求解微分方程 求泛函的极值
基本情况 (博士) 博士
2007-2010 英国杜伦大学攻读岩土工程博士 学位论文： Meshless methods: theory and application in 3D fracture modelling with level sets
杜伦大学城堡
《哈利波特》在杜伦大学取景
杜伦大学是英格兰历史最悠久的三个学院制大学 (Collegiate University)之一。
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mail.google.com Email： TJGeotech@gmail.com Pin：TJGeotech2012
Access me
xiaoying.zhuang@gmail.com Tel: 65985140 Department of Geotechnical Engineering 岩土楼702
But we are also LUCKY! Because we have chances to replay!
These athletes only have chances ONCE FOUR YEARS!
WE will be working TOGETHER through the challenges!
Prof. Dr.-Ing. Timon Rabczuk
Bauhaus-style
Walter Gropius (1883-1969)
Architectural models on display
第一讲 绪论
弹性力学的任务 弹性力学的求解体系
弹性力学的解析求解
实际科学和工程求解的需求
有限单元法
Mission: impossible Tom Cruise
Remember all MECHANICS are part of PHYSICS! 所有的力学都可以归结为物理学的一部 分！
Elasticity
elasticity 弹性（力学） stress 应力 strain 应变
Durham University, UK
School of Engineering & Computing Sciences
located in north of England close to Newcastle
博士学习获得两项全奖资助
申请人：庄晓莹
博士学习获英国政府两项全奖资助
海外研究生奖学金 (ORSAS)