243正多边形和圆
24.3正多边形和圆
D
F
C
正多边形的边心距： 正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边 的距离. 的距离.
中心角 = 360 n
°
E 中心角 F
R
D
180 ° ∠ AOG = ∠ BOG = n
边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形
.O .
a
C
G B 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r = 面积S =
F A
B
2 2
E
. .O
r R P
D
C
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
在Rt∆OPC中，OC = 4，PC =
BC 4 = =2 2 2
根据勾股定理，可得边心距r = 亭子的面积S =
4
−2 = 2 3
1 1 2 Lr = × 24 × 2 3 ≈ 41.6(m ) 2 2
（n − 2） 180° • n 边形的一个内角的度数是____________; 正n边形的一个内角的度数是____________;
D E .O A F B C
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是 ∠AOB 、图中正六边形 的中心角是 它的度数是 60度 度 9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 、你发现正六边形 的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？ 什么数量关系？为什么？
E
D
F
.O
C
A
B
1、正多边形的各边相等 、 2、正多边形的各角相等 、
—多边形是正多边形 多边形是正多边形
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA 证明：
∴AB=BC=CD=DE=EA ∵BCE=CDA=3AB ∴∠1=∠ ∴∠1=∠2 同理∠2=∠3=∠4=∠ 同理∠2=∠3=∠4=∠5 又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上， C 顶点A 都在⊙ ∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形. 五边形ABCDE是 的内接五边形.
243正多边形和圆第1课时(1)-f2e0bbb8b7cc
正多边形的边心距.
· 中心角 半径R O 边心距r
抢答题
1、O是正△ABC的中心，它是△ABC的— —内——切——圆与—外——接———圆的圆心. 2、OB叫正△ABC的半——径——， 它 A 是正△ABC的外——接——圆的
半径.
3、OD叫作正△ABC的—边—心——距，
它是正△ABC的———内—切——
你知道正多边形与圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个 圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的 内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的 外接圆.
做一做
我们以圆内接正五边形为例证明.
如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依次连 接各分点得到正五边形ABCDE.
∵ AB BC CD DE EA，
两个圆有唯一的公共点，并且 除了这个公共点以外，一个圆上的 点都在另一个圆的内部时，叫做这
两个圆 内切 这个唯一公共点叫做 切点
外切和内切统称为相切
两个圆有两个公共点时，叫
做这两个圆 相交
外离
圆 和 内含 圆 的 外切 位 置 内切 关 系 相交
没
有相
公 共
离
点
一
个
公相
共 点
切
两
个
公
相
共 点
交
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛
的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能
力之一.
怎样画一个正多边形呢？
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接
正三角形.
A
①用量角器度量，使
∠AOB=∠BOC=∠C
OA=120°．
120 °
O
②用量角器或30°角 的三角板度量，
24.3正多边形和圆(教案)
难点解析：以正四边形为例，引导学生观察和操作，找出对称轴，理解中心角的含义。
（2）正多边形与圆的关系：学生可能难以理解正多边形的半径、边长、中心角之间的具体关系。
难点解析：通过画图和实际测量，让学生观察正多边形的外接圆和内切圆，理解半径、边长、中心角之间的关系。
举例：正五边形的对称轴有5条，中心角为72度，内角和为540度，外角和为360边长、中心角之间的关系，以及正多边形面积公式的推导。
举例：正六边形的半径与边长之间的关系，以及如何将正六边形分割成6个等腰三角形，进而推导出正六边形的面积公式。
2.教学难点
（3）正多边形面积公式的推导：学生可能不熟悉将正多边形分割成等腰三角形的方法，以及如何利用三角函数进行面积计算。
难点解析：以正六边形为例，引导学生将正六边形分割成6个等腰三角形，并利用三角函数（如正弦、余弦）推导出面积公式。
在教学过程中，教师需针对重点和难点内容进行有针对性的讲解和强调，确保学生理解透彻。同时，通过实例和实际操作，帮助学生突破难点，提高几何图形的认识和分析能力。
3.培养学生的数学建模和解决问题能力：鼓励学生运用所学知识解决实际问题，例如计算正多边形面积、设计图案等，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，强化数学在实际生活中的应用价值。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）正多边形的定义及性质：正多边形的定义、对称轴、中心角、内角和、外角和等基本性质是本节课的核心内容。教师需引导学生理解并掌握这些性质，以便为后续学习正多边形与圆的关系打下基础。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对正多边形和圆的概念有了初步的认识，但在理解一些具体性质和关系时，还存在一定的困难。这让我意识到，在今后的教学中，需要更加关注学生的接受程度，适时调整教学方法和节奏。
人教版九年级数学上册243正多边形和圆教案.doc
这些美丽的图案，都是在日常生活屮我们经常能看到的、 利用正多边形得到的物体.你能从这些图案中找出正多边形来 吗？
问题2 你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一 个正多边形吗？
［活动2］
1、 借助圆画出圆内接正三角形。
2、 借助圆画出圆内接正方形。
3、 借助圆画出圆内接正五角形。
教学过程设计
教学过程
设计意图
个性思考栏
一、创设情境，导入新知 ［活动1J
观看下列美丽的图案.
通过观看美丽 的图案，欣赏生活 中正多边形形状的 物体，让学生感受 到数学來源丁-生 活，并从中感受到 数学美.
问题2的提出是为 了创设一个问题情
境，激起学生主动 将所学圆的知识与 止多边形联系起
来，激发学生积极
探索，研究的热情, 调动学生学习的积 极性，并有意将注 意力集中在正多边 形与圆的关系上
问题1
教学过程设计
教学过程设计。
24.3.正多边形和圆课件PPT(共22张)
点击页面即可演示
第1页，共22页。
观察下列图形它们有什么(shén 特 me) 点？
第2页，共22页。
三条边相等,
四条边相等,四
正三 三个角相等 角形 (60°).
正方形 个角相等 (90°).
一、正多边形的定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做(jiàozuò)正多边 形.
边形ABCDE的 内切圆的半径(bànjìng). D
7.∠AOB叫做正五边形
ABCDE的 中心角,
它的度数是 72°.
E
C
.O
AF
B
第12页，共22页。
8.图中正(zhōnɡ zhènɡ)六边形ABCDEF的中心角∠是AOB
它的度数是 60°
9.你发现正六边形
ABCDEF的半径
与边长具有什么
数量关系?
第5页，共22页。
A
D
B
C
弧相等
弦相等 (多边形的边相等 ) (xiāngděng)
(xiāngděng)
圆周角相等(多边形的角相等)
—多边形是正多边形
第6页，共22页。
A
E B
H D
G
C
弧相等
F
全等三角形
边相等
(xiāngděng)
角相等
多边形是正多边形
第7页，共22页。
定理：
把圆分成n(n≥3)等份： ⑴依次连接各分点所得(suǒ dé)的多边形是这个圆 的
相等
E F
D
.O
C
A
B
第13页，共22页。
判断题
①各边都相等的多边形是正多边形.( ) ×
243正多边形和圆课件
ABCD的 边心距 .
A
D
.O
B
E
C
6.⊙O是正五边形ABCDE的外接圆,弦AB的弦心
距OF叫正五边形ABCDE的 边心距 ,它是正五
边形ABCDE的 内切 圆的半径. D
7.∠AOB叫做正五边形
ABCDE的 中心 角,
它的度数是 72°.
E
C
.O
AF B
8.图中正六边形ABCDEF的中心角是∠AOB 它的度数是 60°
内接正多边形; ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点
为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形.
二、正多边形的有关概念
E
D
正多边形的中心:
半径R
. 一个正多边形的外接
圆的圆心.
F 中心角
O
C
正多边形的半径: 外接圆的半径
边心距r
正多边形的中心角: 正多边形的边心距： 正多边形的每一条 中心到正多边形的一边 边所对的圆心角. 的距离.
2.边数是偶数的正多边形还是中心对称图形,它 的中心就是对称中心.
小结：
怎样的多边形是正多边形？ 各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
9.你发现正六边形
E
D
ABCDEF的半径
与边长具有什么
数量关系?
F
.O
C
相等
A
B
判断题
①各边都相等的多边形是正多边形.( × )
②一个圆有且只有一个内接正多边形.( × )
2.证明题
A
求证:顺次连接正六边形各边 中点所得的多边形是正 B
六边形.
C
F E
D
求证:正五边形的对角线相等.
已知:ABCDE是正五边形.
243正多边形和圆
第 1 页24.3正多边形和圆◇教学目标◇【知识与技能】1.了解正多边形的定义;2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系,并能应用它们进行有关的计算;3.会应用正多边形和圆的有关关系画正多边形.【过程与方法】学习借助圆来研究正多边形这一数学方法,通过转化,用解直角三角形来研究圆内接正多边形,培养学生探索、推理、归纳、迁移等能力.【情感、态度与价值观】学生经历观察、发现、探究等数学活动,感受到数学来源于生活,又服务于生活,体现了事物之间的相互联系与相互作用.◇教学重难点◇【教学重点】探索正多边形和圆的关系,弄清正多边形半径、中心角、边心距和边长之间的关系.【教学难点】利用圆研究正多边形,化正多边形问题为解直角三角形问题.◇教学过程◇一、情境导入第 2 页我国国旗上的五角星及正六边形、正三角形等许多图形都可以利用圆的有关知识画出来,早在古代,就有人用直尺和圆规作出正三角形、正方形及正五边形了,可是利用尺规却无法作出正七边形或正十一边形,许多先人的尝试都以失败告终,这种局面持续了2019多年.1796年,年仅19岁的数学家高斯解决了这个问题,成为轰动数学界的伟大成就.目前,对于正多边形的研究,我们经常借助圆来讨论,那么它们之间有怎样的联系呢? 二、合作探究探究点1正多边形的有关概念及性质典例1已知正六边形的半径为R,求正六边形的边长、边心距和面积.[解析]如图,边长a6=AB,半径OA=R,作OM⊥AB于M,设边心距OM=r, 在Rt AOM中,∵正六边形的中心角为60°,∴∠AOM=30°,∴OA=2AM,而AB=2AM,∴AB=OA=R.r=√??2-(12??)2=√32R.∴S=6S△AOB=6×12×AB×OM=3√32R2.有关正多边形的计算,都要作出它的半径和边心距为辅助线,从而将问题转化为解直角三角形的问题.变式训练半径为2的圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边心距之比为. [答案]1∶√2∶√3探究点2画正多边形典例2(1)画一个半径为2 cm的圆的内接正七边形;(2)画一个半径为3 cm的圆的内接正十二边形.第 3 页[解析](1)作法:在半径为2 cm的☉O中,用量角器画α=360°7≈51°,这个角所对的弧就是圆的17,然后在圆上依次截取等弧来7等分圆,就得到圆的7等分点,顺次连接这7个等分点,就得到半径为2 cm的圆的内接正七边形(如图1).(2)作法:在半径为3 cm的☉O上,以半径的长在圆上依次截取弦长等于半径的弧,再作各弧的相应弦的垂直平分线,各平分线与圆相交,这些点和前面的6等分圆的点就把圆12等(2)用量角器等分圆周是一种简单而常用的方法,它适用于画任意正多边形,但作的是近似图形;尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法,但有很大的局限性,不能将圆任意等分,它只适应于作某些特殊的正多边形.如正三边形、六边形、十二边形、二十四边形、…、正四边形、正八边形、正十六边形等.变式训练如图,已知半径为R的☉O,用多种工具多种作法作出它的圆内接正三角形. [解析]方法一:(1)用量角器画圆心角∠AOB=120°,∠BOC=120°; (2)连接AB,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形,如图1所示.方法二:(1)用量角器画圆心角∠BOC=120°; (2)在☉O上用圆规截取?????=?????; (3)连接AC,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形,如图2所示.方法三:(1)作直径AD;(2)以D为圆心,以OA为半径画弧,交☉O于B,C;(3)连接AB,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形,如图3所示.三、板书设计第 4 页正多边形与圆1.正多边形计算有关正多边形的计算,都要作出它的半径和边心距为辅助线,从而将问题转化为解直角三角形的问题.2.画正多边形方法:(1)用量角器——平分圆心角(可作任一正多边形);(2)尺规——作特殊的正多边形(正三、四、六、八、十二、二十四边形等).◇教学反思◇本节课一开始,通过观看图案,欣赏生活中的正多边形,让学生感受到数学来源于生活,并从中感受到数学美,同时提出本课所要研究的问题,激发了学生的好奇心和求知欲.。
243正多边形和圆
（3）正 n 边形的一个外角为 30°，则
它的边数为____，它的内角和为______；
（4）如果一个正多边形的一个外角等于 一个内角的三分之二，则这个正多边形的边数
n =____；
4.强化练习
（5）正六边形的边长为 1，则它的半径 为_____，面积为________；
1
∴AB=BC=CD=DE=EA
B2
5E
∵B⌒CE=C⌒DA=3A⌒B
∴∠1=∠2
3
4
C
D
同理∠2=∠3=∠4=∠5
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形.
3.相关概念
正多边形的中心: 一个正多边形
的外接圆的圆心. F
E
D
. 中心角 O 半径R
C
正多边形的半径: 外接圆的半径
内接正三角形．
度量法③：
用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径 （2 cm）的弦，连接其中的 AB、BC、CA 即可．
B
O
A
C
探索
如何用等分圆周的方法画正多边形？
其一：依次画出相等的中心角来等分圆． 比较准确，但是麻烦． 其二：先用量角器画一个中心角，然后在 圆上依次截取等于该中心角所对弧的等弧，于 是得到圆的等分点． 方便，但画图的误差积累到最后一个等分 点，误差较大．
有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六 边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点 后一位）．
3.探究学习
亭子的地基是什么图形？求地基的周长和 面积也就是求什么图形的周长和面积？
正六边形的半径，分别将它分割成多少个 什么样子的三角形？
观察图形中所得的三角形具有什么关系？ 为什么？
243正多边形和圆
24.3 正多边形和圆班级姓名N O：24013学习目标:正多边形和圆的有关概念,正多边形和圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．正多边形的画法学习重点:正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系学习难点:正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系．学习过程一、知识掌握104—106页,正多边形及相关概念1．各条边______，并且各个______也都相等的多边形叫做正多边形．2．把一个圆分成n(n≥3)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的______．3．一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．4．正n边形的每一个内角等于__________，它的中心角等于__________，它的每一个外角等于______________．5．设正n边形的半径为R，边长为a n，边心距为r n，则它们之间的数量关系是______．这个正n边形的面积S n=________．6．正八边形的一个内角等于_______，它的中心角等于_______．7．正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a∶R∶r=_______．8．同一圆的内接正方形和正六边形的周长比为_______．相关练习105页1,2,3二、正多边形计算105页例题三、练习1．正六边形内接于⊙O，⊙O的半径为4cm，则这个正六边形的边长为______cm，面积为______cm2．2．等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比为______．3．若等边三角形的边长为3，则它的外接圆的半径的长为______．4．一个正三角形与一个正六边形的周长相等，则它们的面积之比为______．5．已知正四边形的边心距为2，求它的外接圆的面积．6．一个不等边三角形是不是一定有外接圆和内切圆?画图试一试．如果有，这两个圆是不是同心圆?四、画正多边形106—107页在下图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．(1)正三角形(2)正方形(3)正五边形(4)正六边形(5)正八边形(6)正十二边形五、随堂练习1.如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．A．60°B．45°C．30°D．22．5°2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．A．36°B．60°C．72°D．108°3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（）A．18°B．36°C．72°D．144°4．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．5．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图所示，若AC=6，则AD的长为________．6．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图所示，AB∥CD，且CD为直径，如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．三、综合提高题1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．2．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6 cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的面积．。
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活动5总结归纳畅谈收获
从下面的关键词中任选一个或几个，展示自己的演说才能，谈谈你本节课的收获或体会：知识、方法、反思、猜想
活动6布置作业巩固提高
用正多边形和圆设计一个图案，并赋予它一定的含义
板书设计
24.3正多边形和圆（1）
圆等分圆周正多边形
教学反思
本节课的教学坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，以“引导——探究——发现教学法为主，辅之直观演示、讨论交流，让学生真正动手操作，动脑思考，动口交流，动心关注.
教学设计
二次备课
活动1创设情境导入新课
欣赏实物、图片问题：同学们这些实物和图片中含有什么样的多边形？
教师课件演示依次作60度的圆心角将圆六等分的过程，并引导学生观察进而总结：只须作一个等于正多边形的中心角的圆心角然后再圆上依次截取与这个圆心角所对的弧相等的弧就可以将圆相应等分.）
活动3合作探究深化新知
问题1：如果不使用量角器，你能根据正六边形的性质将一个圆周六等分吗？说明作图原理
思考：有没有其它作正六边形的方法？
主备人
数学组
课型
新授
上课时间
课题
24.3正多边形和圆
教学目标
1.掌握正多边形和圆的关系并会进行计算；
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系.
教学重难点
重点：掌握正多边形和圆的关系并会进行计算；
难点：理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系.
问题2：你能用尺规作出圆的内接正四边形吗？
思考：如何作正八边形？
教师需要强调尺规作图的工具限制，并说明尺规作图只能作一些特殊的正多边形.师生互动共同分析用尺规作圆内接正方形的方法
活动4迁移应用巩固新知
1、观察教材107页练习2，说一说这些图形是如何设计出来的.
2、图案设计：我们学校规划要在教室前的广场上建造一个圆形花坛，为了美观要在花坛内种植不同颜色的花卉.
学生动手，体现数学的应用。
通过这组练习让学生再次感受等分圆周是作正多边形比较有效的方法.教师特别注重组织学生开展活动，让学生的兴趣在了解探究任务中产生，让学生的思考在分析问题中形成，让学生的理解在集体讨论中加深，让学生的学习在合作探究活动中进行
。
通过课后作业，使学生学习效果达到最佳
学生通过观察实物和图片，知道在实际生活中经常会遇到作正多边形的问题，体会正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用，所以会作正多边形应是学生的必备能力之一，从而提高学习数学的兴趣，并引出问题.
鼓励学生自我评价反思，作为一节动手实践课，不必拘泥于学生总结的全面与否、深度如何，只要他们通过学习积累了属于自己的数学活动经验就足够
活动2自主探究获得新知
问题1：为什么等分圆周依次连接各分点所得的多边形是圆的内接正多边形？
问题2：如何等分圆周作正五边形？
问题3：等分圆周作正多边形的关键是什么？
问题4：用量角器依次相等的圆心角比较麻烦，有没有简单的作法？
（引导学生回忆上节课所学的知识，正多边形和圆有密切的关系，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，把问题转化为已经解决的问题，建立知识点之间的联系。教师把问题引到如何等分一个圆-----依次作相等的圆心角.