243正多边形和圆

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24.3正多边形和圆

D
F
C
正多边形的边心距：正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离. 的距离.
中心角 = 360 n
°
E 中心角 F
R
D
180 ° ∠ AOG = ∠ BOG = n
边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形
.O .
a
C
G B 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r = 面积S =
F A
B
2 2
E
. .O
r R P
D
C
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
在Rt∆OPC中，OC = 4，PC =
BC 4 = =2 2 2
根据勾股定理，可得边心距r = 亭子的面积S =
4
−2 = 2 3
1 1 2 Lr = × 24 × 2 3 ≈ 41.6(m ) 2 2
（n − 2） 180° • n 边形的一个内角的度数是____________; 正n边形的一个内角的度数是____________;
D E .O A F B C
8、图中正六边形ABCDEF的中心角是 ∠AOB 、图中正六边形的中心角是它的度数是 60度度 9、你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有、你发现正六边形的半径与边长具有什么数量关系？为什么？什么数量关系？为什么？
E
D
F
.O
C
A
B
1、正多边形的各边相等、 2、正多边形的各角相等、
—多边形是正多边形多边形是正多边形
证明：∵AB=BC=CD=DE=EA 证明：
∴AB=BC=CD=DE=EA ∵BCE=CDA=3AB ∴∠1=∠ ∴∠1=∠2 同理∠2=∠3=∠4=∠ 同理∠2=∠3=∠4=∠5 又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上， C 顶点A 都在⊙ ∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形. 五边形ABCDE是的内接五边形.

243正多边形和圆第1课时(1)-f2e0bbb8b7cc

正多边形的边心距.
· 中心角半径R O 边心距r
抢答题
1、O是正△ABC的中心，它是△ABC的— —内——切——圆与—外——接———圆的圆心. 2、OB叫正△ABC的半——径——，它 A 是正△ABC的外——接——圆的
半径.
3、OD叫作正△ABC的—边—心——距，
它是正△ABC的———内—切——
你知道正多边形与圆的关系吗？
正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.
做一做
我们以圆内接正五边形为例证明.
如图,把⊙O分成把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE.
∵ AB BC CD DE EA，
两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这
两个圆内切这个唯一公共点叫做切点
外切和内切统称为相切
两个圆有两个公共点时，叫
做这两个圆相交
外离
圆和内含圆的外切位置内切关系相交
没
有相
公共
离
点
一
个
公相
共点
切
两
个
公
相
共点
交
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛
的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能
力之一.
怎样画一个正多边形呢？
问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接
正三角形.
A
①用量角器度量，使
∠AOB=∠BOC=∠C
OA=120°．
120 °
O
②用量角器或30°角的三角板度量，

24.3正多边形和圆(教案)

（1）正多边形的对称性质：学生对对称轴、中心角的理解可能不够深入，需要通过实际操作和实例来加深理解。
难点解析：以正四边形为例，引导学生观察和操作，找出对称轴，理解中心角的含义。
（2）正多边形与圆的关系：学生可能难以理解正多边形的半径、边长、中心角之间的具体关系。
难点解析：通过画图和实际测量，让学生观察正多边形的外接圆和内切圆，理解半径、边长、中心角之间的关系。
举例：正五边形的对称轴有5条，中心角为72度，内角和为540度，外角和为360边长、中心角之间的关系，以及正多边形面积公式的推导。
举例：正六边形的半径与边长之间的关系，以及如何将正六边形分割成6个等腰三角形，进而推导出正六边形的面积公式。
2.教学难点
（3）正多边形面积公式的推导：学生可能不熟悉将正多边形分割成等腰三角形的方法，以及如何利用三角函数进行面积计算。
难点解析：以正六边形为例，引导学生将正六边形分割成6个等腰三角形，并利用三角函数（如正弦、余弦）推导出面积公式。
在教学过程中，教师需针对重点和难点内容进行有针对性的讲解和强调，确保学生理解透彻。同时，通过实例和实际操作，帮助学生突破难点，提高几何图形的认识和分析能力。
3.培养学生的数学建模和解决问题能力：鼓励学生运用所学知识解决实际问题，例如计算正多边形面积、设计图案等，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，强化数学在实际生活中的应用价值。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）正多边形的定义及性质：正多边形的定义、对称轴、中心角、内角和、外角和等基本性质是本节课的核心内容。教师需引导学生理解并掌握这些性质，以便为后续学习正多边形与圆的关系打下基础。
五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对正多边形和圆的概念有了初步的认识，但在理解一些具体性质和关系时，还存在一定的困难。这让我意识到，在今后的教学中，需要更加关注学生的接受程度，适时调整教学方法和节奏。

人教版九年级数学上册243正多边形和圆教案.doc

这些美丽的图案，都是在日常生活屮我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体.你能从这些图案中找出正多边形来吗？
问题2 你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？
［活动2］
1、借助圆画出圆内接正三角形。

2、借助圆画出圆内接正方形。

3、借助圆画出圆内接正五角形。

教学过程设计
教学过程
设计意图
个性思考栏
一、创设情境，导入新知［活动1J
观看下列美丽的图案.
通过观看美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体，让学生感受到数学來源丁-生活，并从中感受到数学美.
问题2的提出是为了创设一个问题情
境，激起学生主动将所学圆的知识与止多边形联系起
来，激发学生积极
探索，研究的热情, 调动学生学习的积极性，并有意将注意力集中在正多边形与圆的关系上
问题1
教学过程设计
教学过程设计。

24.3.正多边形和圆课件PPT(共22张)

24.3 正多边形(zhèngduōbiānxíng) 和圆
点击页面即可演示
第1页，共22页。
观察下列图形它们有什么(shén 特 me) 点？
第2页，共22页。
三条边相等,
四条边相等,四
正三三个角相等角形 (60°).
正方形个角相等 (90°).
一、正多边形的定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做(jiàozuò)正多边形.
边形ABCDE的内切圆的半径(bànjìng). D
7.∠AOB叫做正五边形
ABCDE的中心角,
它的度数是 72°.
E
C
.O
AF
B
第12页，共22页。
8.图中正(zhōnɡ zhènɡ)六边形ABCDEF的中心角∠是AOB
它的度数是 60°
9.你发现正六边形
ABCDEF的半径
与边长具有什么
数量关系?
第5页，共22页。
A
D
B
C
弧相等
弦相等 (多边形的边相等 ) (xiāngděng)
(xiāngděng)
圆周角相等(多边形的角相等)
—多边形是正多边形
第6页，共22页。
A
E B
H D
G
C
弧相等
F
全等三角形
边相等
(xiāngděng)
角相等
多边形是正多边形
第7页，共22页。
定理：
把圆分成n(n≥3)等份： ⑴依次连接各分点所得(suǒ dé)的多边形是这个圆的
相等
E F
D
.O
C
A
B
第13页，共22页。
判断题
①各边都相等的多边形是正多边形.( ) ×

243正多边形和圆课件

ABCD的边心距 .
A
D
.O
B
E
C
6.⊙O是正五边形ABCDE的外接圆,弦AB的弦心
距OF叫正五边形ABCDE的边心距 ,它是正五
边形ABCDE的内切圆的半径. D
7.∠AOB叫做正五边形
ABCDE的中心角,
它的度数是 72°.
E
C
.O
AF B
8.图中正六边形ABCDEF的中心角是∠AOB 它的度数是 60°
内接正多边形; ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点
为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形.
二、正多边形的有关概念
E
D
正多边形的中心:
半径R
. 一个正多边形的外接
圆的圆心.
F 中心角
O
C
正多边形的半径: 外接圆的半径
边心距r
正多边形的中心角: 正多边形的边心距：正多边形的每一条中心到正多边形的一边边所对的圆心角. 的距离.
2.边数是偶数的正多边形还是中心对称图形,它的中心就是对称中心.
小结：
怎样的多边形是正多边形？各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
9.你发现正六边形
E
D
ABCDEF的半径
与边长具有什么
数量关系?
F
.O
C
相等
A
B
判断题
①各边都相等的多边形是正多边形.( × )
②一个圆有且只有一个内接正多边形.( × )
2.证明题
A
求证:顺次连接正六边形各边中点所得的多边形是正 B
六边形.
C
F E
D
求证:正五边形的对角线相等.
已知:ABCDE是正五边形.

243正多边形和圆

第 1 页24.3正多边形和圆◇教学目标◇【知识与技能】1.了解正多边形的定义;2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系,并能应用它们进行有关的计算;3.会应用正多边形和圆的有关关系画正多边形.【过程与方法】学习借助圆来研究正多边形这一数学方法,通过转化,用解直角三角形来研究圆内接正多边形,培养学生探索、推理、归纳、迁移等能力.【情感、态度与价值观】学生经历观察、发现、探究等数学活动,感受到数学来源于生活,又服务于生活,体现了事物之间的相互联系与相互作用.◇教学重难点◇【教学重点】探索正多边形和圆的关系,弄清正多边形半径、中心角、边心距和边长之间的关系.【教学难点】利用圆研究正多边形,化正多边形问题为解直角三角形问题.◇教学过程◇一、情境导入第 2 页我国国旗上的五角星及正六边形、正三角形等许多图形都可以利用圆的有关知识画出来,早在古代,就有人用直尺和圆规作出正三角形、正方形及正五边形了,可是利用尺规却无法作出正七边形或正十一边形,许多先人的尝试都以失败告终,这种局面持续了2019多年.1796年,年仅19岁的数学家高斯解决了这个问题,成为轰动数学界的伟大成就.目前,对于正多边形的研究,我们经常借助圆来讨论,那么它们之间有怎样的联系呢? 二、合作探究探究点1正多边形的有关概念及性质典例1已知正六边形的半径为R,求正六边形的边长、边心距和面积.[解析]如图,边长a6=AB,半径OA=R,作OM⊥AB于M,设边心距OM=r, 在Rt AOM中,∵正六边形的中心角为60°,∴∠AOM=30°,∴OA=2AM,而AB=2AM,∴AB=OA=R.r=√??2-(12??)2=√32R.∴S=6S△AOB=6×12×AB×OM=3√32R2.有关正多边形的计算,都要作出它的半径和边心距为辅助线,从而将问题转化为解直角三角形的问题.变式训练半径为2的圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边心距之比为. [答案]1∶√2∶√3探究点2画正多边形典例2(1)画一个半径为2 cm的圆的内接正七边形;(2)画一个半径为3 cm的圆的内接正十二边形.第 3 页[解析](1)作法:在半径为2 cm的☉O中,用量角器画α=360°7≈51°,这个角所对的弧就是圆的17,然后在圆上依次截取等弧来7等分圆,就得到圆的7等分点,顺次连接这7个等分点,就得到半径为2 cm的圆的内接正七边形(如图1).(2)作法:在半径为3 cm的☉O上,以半径的长在圆上依次截取弦长等于半径的弧,再作各弧的相应弦的垂直平分线,各平分线与圆相交,这些点和前面的6等分圆的点就把圆12等(2)用量角器等分圆周是一种简单而常用的方法,它适用于画任意正多边形,但作的是近似图形;尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法,但有很大的局限性,不能将圆任意等分,它只适应于作某些特殊的正多边形.如正三边形、六边形、十二边形、二十四边形、…、正四边形、正八边形、正十六边形等.变式训练如图,已知半径为R的☉O,用多种工具多种作法作出它的圆内接正三角形. [解析]方法一:(1)用量角器画圆心角∠AOB=120°,∠BOC=120°; (2)连接AB,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形,如图1所示.方法二:(1)用量角器画圆心角∠BOC=120°; (2)在☉O上用圆规截取?????=?????; (3)连接AC,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形,如图2所示.方法三:(1)作直径AD;(2)以D为圆心,以OA为半径画弧,交☉O于B,C;(3)连接AB,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形,如图3所示.三、板书设计第 4 页正多边形与圆1.正多边形计算有关正多边形的计算,都要作出它的半径和边心距为辅助线,从而将问题转化为解直角三角形的问题.2.画正多边形方法:(1)用量角器——平分圆心角(可作任一正多边形);(2)尺规——作特殊的正多边形(正三、四、六、八、十二、二十四边形等).◇教学反思◇本节课一开始,通过观看图案,欣赏生活中的正多边形,让学生感受到数学来源于生活,并从中感受到数学美,同时提出本课所要研究的问题,激发了学生的好奇心和求知欲.。

243正多边形和圆

边长为 a，则半径为______；
（3）正 n 边形的一个外角为 30°，则
它的边数为____，它的内角和为______；
（4）如果一个正多边形的一个外角等于一个内角的三分之二，则这个正多边形的边数
n =____；
4.强化练习
（5）正六边形的边长为 1，则它的半径为_____，面积为________；
1
∴AB=BC=CD=DE=EA
B2
5E
∵B⌒CE=C⌒DA=3A⌒B
∴∠1=∠2
3
4
C
D
同理∠2=∠3=∠4=∠5
又∵顶点A、B、C、D、E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接五边形.
3.相关概念
正多边形的中心: 一个正多边形
的外接圆的圆心. F
E
D
. 中心角 O 半径R
C
正多边形的半径: 外接圆的半径
内接正三角形．
度量法③：
用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径（2 cm）的弦，连接其中的 AB、BC、CA 即可．
B
O
A
C
探索
如何用等分圆周的方法画正多边形？
其一：依次画出相等的中心角来等分圆．比较准确，但是麻烦．其二：先用量角器画一个中心角，然后在圆上依次截取等于该中心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点．方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，误差较大．
有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．
3.探究学习
亭子的地基是什么图形？求地基的周长和面积也就是求什么图形的周长和面积？
正六边形的半径，分别将它分割成多少个什么样子的三角形？
观察图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？

243正多边形和圆

24.3 正多边形和圆班级姓名N O：24013学习目标:正多边形和圆的有关概念,正多边形和圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系．正多边形的画法学习重点:正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、•边长之间的关系学习难点:正多边形半径、中心角、•弦心距、边长之间的关系．学习过程一、知识掌握104—106页,正多边形及相关概念1．各条边______，并且各个______也都相等的多边形叫做正多边形．2．把一个圆分成n(n≥3)等份，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的______．3．一个正多边形的______________叫做这个正多边形的中心；______________叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的______叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．4．正n边形的每一个内角等于__________，它的中心角等于__________，它的每一个外角等于______________．5．设正n边形的半径为R，边长为a n，边心距为r n，则它们之间的数量关系是______．这个正n边形的面积S n=________．6．正八边形的一个内角等于_______，它的中心角等于_______．7．正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a∶R∶r=_______．8．同一圆的内接正方形和正六边形的周长比为_______．相关练习105页1,2,3二、正多边形计算105页例题三、练习1．正六边形内接于⊙O，⊙O的半径为4cm，则这个正六边形的边长为______cm，面积为______cm2．2．等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比为______．3．若等边三角形的边长为3，则它的外接圆的半径的长为______．4．一个正三角形与一个正六边形的周长相等，则它们的面积之比为______．5．已知正四边形的边心距为2，求它的外接圆的面积．6．一个不等边三角形是不是一定有外接圆和内切圆?画图试一试．如果有，这两个圆是不是同心圆?四、画正多边形106—107页在下图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．(1)正三角形(2)正方形(3)正五边形(4)正六边形(5)正八边形(6)正十二边形五、随堂练习1.如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．A．60°B．45°C．30°D．22．5°2．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是（）．A．36°B．60°C．72°D．108°3．若半径为5cm的一段弧长等于半径为2cm的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（）A．18°B．36°C．72°D．144°4．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为_______．5．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，如图所示，若AC=6，则AD的长为________．6．四边形ABCD为⊙O的内接梯形，如图所示，AB∥CD，且CD为直径，如果⊙O的半径等于r，∠C=60°，那图中△OAB的边长AB是______；△ODA的周长是_______；∠BOC的度数是________．三、综合提高题1．等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．2．如图所示，•已知⊙O•的周长等于6 cm，•求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的面积．。