实变函数测试题1-参考答案

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1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。

2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c ，集{}
()E x f x c =≥和
{}1()E x f x c =≤都是闭集。

3、设n R E ⊂是任意可测集，则一定存在可测集
δ
G 型集
G
，使得
E
G ⊃,且
()0=-E G m
4、设,n
A B R ⊂，A B ⋃可测，且()m A B ⋃<+∞，若()**m
A B m A m B ⋃=+，
则,A B 皆可测。

5、写出鲁津定理及其逆定理。

并证明鲁津定理的逆定理。

6、设)(x f 是E 上的可测函数，G 为开集，F 为闭集，试问])(|[G x f x E ∈与
])(|[F x f x E ∈是否是可测集，为什么？
7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0，而在0P 的余集中长为1
3n
的构成区间上定义为n （1,2,3,=L n ）,试证()f x 可积分，并求出积分值。

8、设{}n f 为E 上非负可积函数列，若lim
()0,n E
n f x dx →∞=⎰
则()0n f x ⇒。

9、设)(x f 是E 上. 有限的可测函数，+∞<mE 。

试证明对0>∀ε，存在E 上. 有界的
可测函数)(x g ，使得 ε<>-]0|[|g f mE 。

10、求证
1
2
01
11
ln 1()∞
==-+∑⎰p n x dx x x p n , (1)p >-。

解答：
1. 解：()∞=∞
→,0lim n n A ；设()∞∈,0x ，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，
即n A x 2∈，所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得n
n A x ∞
→∈lim 又显然()∞⊂∞
→,0lim n n A ，所以()∞=∞
→,0lim n n A 。

φ=∞
→n n A lim ；若有n n A x ∞
→∈lim ，则存在A ，使任意n N >,有n A x ∈。

因此若21n N ->时，
12-∈n A x ，即1
0x n <<
.令∞→n 得00x <≤，此不可能，所以φ=∞
→n n A lim 。

2．证明：必要性：若()f x 是[],a b 上连续函数，由第二章习题8可知1E 和E 是闭集。

充分性：若1E 和E 都是闭集。

若有[]0,x a b ∈，()f x 在0x 点不连续。

则存在
()()00000,,n n x x f x f x εε>→≥+，或()()00ε-≤x f x f n ，不妨设出现第一种情况。

令()00ε+=x f c ，则(){}
c x f x E x n ≥=∈，而E x ∉0（因为c x f x f =+<000)()(ε），此与E 是闭集相矛盾。

所以()f x 在[],a b 上是连续的。

证毕。

3．由外侧度定义，对任意正整数n ，存在开集E G n ⊃,使n E G m n 1
)(<-，令I ∞
==1
n n G G ，
则G 为δG 型集，E G ⊃且 Λ2,1,1
)()(=<-≤-n n
E G m E G m n 故0)(=-E G m 。

证毕。

4．证明：先证A 可测：存在δG 型集B G ⊃使得B m mG *
=。

令A G B A Q ⊂-⋃=。

G G B A B A ⋃-⋃=⋃])[(.()mG mQ mG G B A m B A m +=+-⋃≤⋃])[(。

因为*(),()m A B mG m B m A B ⋃<∞=≤⋃<+∞
,
A m mG -
B m A m mG -B)(A ***=+=⋃≥m mQ ,即A m mQ *≥,又A Q ⊂,所以A m mQ *≤,所以A m mQ *=.*A (A B)m m ≤⋃<+∞，所以.0)(*=-Q A m
Q Q A A ⋃-=)(,因为Q 可测，A Q -可测，所以A 可测。

同理可证B 可测。

证毕。

5．鲁津定理：设()f x 是E 上.有限的可测函数，则对任意0δ>，存在闭子集E F ⊂δ，使()f x 在δF 上是连续函数，且(\)m E F δδ<.
逆定理：设()f x 是E 上的函数，对0δ∀>，总存在闭子集E E ⊂δ，使得()f x 在δE 上是连续函数，且()m E E δδ-<，则，()f x 是E 上.有限的可测函数。

证明：对任意
1n ，存在闭子集E E n ⊂,使()f x 在n E 上连续且n
E E m n 1)(<-,令
Y ∞
=-=1
0n n E E E ，则对任意n ，有()011
n n n mE m E E m E E n ∞
=⎛⎫=-≤-< ⎪⎝⎭U 。

令∞→n ，
得Y Y ∞
=∞==⋃=⋃-==0
01
000)(
)(.0n n
n n E E E E E E E mE 。

对任意实数a ，
[][][]01n n E f a E f a E f a ∞=⎛⎫
>=>⋃> ⎪⎝⎭
U ，由()f x 在n E 上连续，可知[]n E f a >可测，
而[]()
**000m E f a m E >≤=，所以[]a f E >0也可测，从而[]a f E >是可测的。

因此
()f x 是可测的。

因为()f x 在n E 上有限，故在Y ∞
=1
n n E 上有限，所以()f x .有限。

证毕。

6.由已知 则开集G 可写成直线上可列个开集的并集，即Y i
i i b a G ),(=
，
()()
()i i i i i
i
E x f x G E x a f x b E x f a E x f b ⎡⎤⎡∈⎤=<<=⎡
>⎤⋂⎡<⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦U U ，则可知[]G x f x E ∈)(是可测集。

由()[
]()[]C C F x f x E F x f x E ∈=∈)
(，则可知()[]F x f x E ∈也是可测集。

证毕。

7．f(x)是非负可测函数，因而积分确定，只要证明积分有限即可。

设n E 是0P 的余集中长
为
n
31
的
构成区
间之并
，则
n
n n mE 3
21
-=，因此
()[
]
1
0,11
11
2()33n
n n n E n n n f x dx f x dx nmE n -∞
∞
∞
======⋅=∑∑∑⎰⎰
，所以()f x 可积，且积分值为3。

证毕。

8．对任意0>σ，由于n f 非负可知：
[][]⎰
⎰≥≤≤≥σσσn f E E
n n n dx f dx x f f mE .)(1 ().n n E mE f f x dx σσ⎡≥⎤≤⎣⎦⎰因此
1
lim lim ()0n n E
n n mE f f x dx σσ→∞
→∞⎡≥⎤==⎣⎦⎰
，即.0)(⇒x f n 证毕。

9．因为()f x 是E 上的.有限的可测函数，设[]
∞==f E D ，0mD =，令[]k E E f k =>故有Λ⊃⊃⊃321E E E I
∞
=∞
→==1
lim k k k k E E D
所以
0lim lim ===∞
→∞
→mD E m mE k k k k ，故0,0k ∃>∀ε，使得ε<0K mE
令g(x)=⎪⎩⎪⎨
⎧∈-∈=0
00
)
()(K K E x E E x x f x g 故00K mE f g mE ε⎡->⎤=<⎣⎦。

证毕。

10.由于当
∑∑∑⎰⎰∑∑∞
=∞=∞=++∞=+∞=+=++==-≥∈=-=-<12020101
011)(1)1(11ln 1ln 1x ,0ln x )1,0(,1ln 1ln 1x ,10,x 111n n n
p
n p n p n p n p n n
n p n p dx x x dx x x x x x x x x x 所以
时，而当）上，故在（时，证毕。

08统计班15号 李维。