灰色预测理论 定义

什么是灰色预测法?
灰色预测是就灰色系统所做的预测。

所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰色系统。

一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。

例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。

灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。

尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。

灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。

简言之，灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息，建立灰色微分预测模型，对事物发展规律作出模糊性的长期描述（模糊预测领域中理论、方法较为完善的预测学分支）。

灰色系统的概念是由邓聚龙教授于1982年提出的，它描述部分信急己知，部分未知介于黑白系统之间的系统。

GM（1,1）模型是灰色理论中较常用的预测方法，它以定性分析为先导，定量与定性结合，对离散序列建立微分方程以及白化方程，一般要经历思想开发、因素分析、量化、动态化、优化五个步骤。

灰色系统通过对原始数据的整理来寻求其变化规律，这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，称为灰色序列的生成。

生成数
通过对原始数据的整理寻找数的规律，分为三类：
a、累加生成：通过数列间各时刻数据的依个累加得到新的数据与数列。

累
加前数列为原始数列，累加后为生成数列。

b 、累减生成：前后两个数据之差，累加生成的逆运算。

累减生成可将累加生成还原成非生成数列。

c 、映射生成：累加、累减以外的生成方式。

如原始数列（1 2 1.5 3）没有明显的规律，但是如果做一次累加生成，生成（13 4.5 7.5），则新数列具有明显的增长规律性。

一、三种不确定方法的区别
二、理论原理
1、设微分方程：
dx ax b dt +=，其中dx dt 为x 的导数，x 为dx
dt
的背景值，,a b 为参数。

因此，一个一阶微分方程由导数、背景值和参数三部分构成。

其微分方程解为：(1)(0)ˆ(1)(((1))ak b b x
k x e a a
-+=-+。

还原后得：(0)(0)ˆ(1)()((1))ak b
x
k a x e a
-+=-- 2、（1）级比与光滑比：设序列X=(x(1),x(2),...,x(n))，称
()
()(1)
x k k x k σ=
-；2,...,k n =
为序列X=(x(1),x(2),...,x(n))的级比。

称：1
1
()
()()
k i x k k x i ρ-==
∑；2,...,k n =
为序列X=(x(1),x(2),...,x(n))的光滑比。

（2）若序列X=(x(1),x(2),...,x(n))满足 ○1
(1)
1()
k k ρρ+<；2,...,1k n =-； ○2()[0,]k ρε∈；3,...,k n =； ○30.5ε<。

则称序列X=(x(1),x(2),...,x(n))为准光滑序列。

3、一般的非负准光滑序列经过累加生成后，都会减少随机性，呈现出近似的指数增长规律，原始序列越光滑，生成后指数规律也越明显。

设序列X=(x(1),x(2),...,x(n))，若
○1,()(0,1]k k σ∀∈，则称序列具有负的灰指数规律。

○2,()(1,]k k b σ∀∈，则称序列具有正的灰指数规律。

○
3,()(,],k k a b b a σδ∀∈-=，则称序列具有绝对灰度为δ灰指数规律。

○
40.5δ<时，称具有准指数规律。

三、建模步骤
例：序列(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,(5))X x x x ==（2.874 3.278 3.337 3.39 3.679）。

第1步：对序列作累加得：(1)(1)(1)(1)((1),(2),...,(5))X x x x ==（2.874 6.152 9.489 12.879 16.558）
第2步：对序列(0)(0)(0)(0)((1),(2),...,(5))X x x x =进行准光滑性检验。

(0)1
(0)1()
()()k i x k k x i ρ-==
∑得：k>3时，准光滑条件满足。

第3步：检验(1)(1)(1)(1)((1),(2),...,(5))X x x x =是否具有准指数规律，有：
(1)(1)
(1)
()
()(1)
x k k x k σ=-得(1)(3) 1.54σ=，(1)(4) 1.36σ=，(1)(5) 1.29σ=。

k>3时，(1)()[1,1.5]k σ∈，δ<，准指数规律满足，故可以对(1)X 建立
GM （1，1）模型。

第4步：对(1)X 作紧邻值生成。

令(1)(1)(1)()0.5()0.5(1)z k x k x k =+-得：
(1)z =（4.513 7.82 11.184 14.718）
于是
(1)(1)
(1)
(1)
(2)1(3)1(4)1(5)
1z z B z z ⎡⎤-⎢⎥
-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦=
4.51317.82111.184114.718
1-⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥
-⎢
⎥
-⎣⎦，(0)(0)(0)(0) 3.278(2) 3.337(3) 3.390(4) 3.679(5)x x Y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦ 第5步：对参数列ˆ[,]T a
a b =进行最小二乘估计。

得： 1
0.03720ˆ() 3.06536T
T
a a B B B Y
b --⎡⎤⎡⎤
===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
第6步：确定模型(1)
(1)0.0372 3.06536dx x dt -=。

其时间响应式 (1)(0)ˆ(1)(((1))ak b b
x
k x e a a
-+=-+=0.07285.27615182.402151k e -。

第7步：求(1)X 的模拟值：(1)X =（2.874 6.106 9.4605 12.9422 16.5558） 第8步：还原出(0)X 得：(0)X =（2.8740 3.2320 3.3545 3.4817 3.6136）。

另外还有由(1)(0)ˆ(1)(((1))ak b b
x
k x e a a
-+=-+衍生出的一个指数模型和一个差分模型。

以残差为随机序列进行灰色建模。

残差模型的公式：若
(0)(0)ˆ(1)()((1))ak b
x
k a x e a
-+=--，则相应的残差修正时间响应式 0(0)
(0)()
(0)(0)00
()((1)),ˆ(1)()((1))(()),ak a k k ak b a x e k k a x
k b b a x e a k e k k a a εεεεε----⎧--<⎪⎪
+=⎨⎪--±-≥⎪⎩
四、改进模型
灰色理论适用于贫信息条件下的分析和预测。

优点是：要求负荷数据少、不考虑分布规律、不考虑变化趋势、运算方便、短期预测精度高、易于检验。

缺点是：当数据离散程度越大，即数据灰度越大，预测精度越差。

为了解决这一问题，人们对灰色预测做了很多改进。

如提出对历史数据的平滑处理、模型参数修正、等维新息数据处理和对预测值的修正等，也有将现在的人工智能算法如将遗传算法、人工神经网络模型引入灰色模型对其加以改进的。

下面介绍对历史数据的平滑处理方法和等维新息。

（1）为减少原始数据在统计过程中的随机误差和人为误差，可对原始序列进行变换，增加离散数据光滑度，一般作三点滑动平均：
(0)(0)(1)[3*(1)(2)]/4Z x x =+
(0)(0)(0)()[(1)2*()(1)]/4Z k x k x k x k =-+++；其中2,...,1k n =- (0)(0)()[(1)3*()]/4Z n x n x n =-+
（2）常用的GM （1，1）模型有新息模型和等维新息模型。

信息模型是每增加一个最新的信息，便将新信息加入原始数列中，按补充了新息后的邻域建模(全数列建模)而得到的模型。

等维新息模型是采取增加新信息与去掉旧信息同时进行的方式建模，亦称为新陈代谢模型，其机理与一般建模理论中的遗忘因子适应建模思路接近。

注意建模维数的选取。