激光原理 典型激光器速率方程

B21
c3
8h 3
A21
c3
8h 3
A21( ) g~( ,0 )
B21(
)
B21g~(
, 0 )
c3
8h
3
A21(
)
W21( ) B21( ) B21g~( , 0 )
(
dn21 dt
)sp
n2 A21( )d n2 A21
(
dn21 dt
)st
n2W21( )d
n2 B21
g~(
Leabharlann Baidu
f2 f1
A21 2
8
2 0
g~( ,0 )
中心频率处的发射截面与吸
收截面最大。当=0时，均 匀加宽物质和非均匀加宽物
质的发射截面分别为
21
2 A21
4
2
2 0
H
, 21
ln 2 2 A21 4 3 2 02 D
5 单模振荡速率方程组
三能级系统速率方程组：各能级集居数随时间 变化的方程和激光器腔内的光子数密度随时间 变化的规律
(n2
f2 f1
n1) 21N
N
R
dn3 dt
n0W03
n3
S32
1
dn2 dt
(n2
f2 f1
n1) 21N n2
A21
2
n3S32
dn0 dt
n1S10
n0W03
n0 n1 n2 n3 n
1
S32 S32 A30
2
A21 A21 S21
1：E3能级向E2能级无辐射跃迁的量子效率 2：E2能级向E1能级跃迁的荧光效率
思路小结:
爱因斯坦采用唯象法得到光和物质相互作用 的关系式
考虑线型函数后必要的修正：几率按频率的 分布函数
原子和准单色光相互作用 单模振荡速率方程组（三能级系统和四能级
系统） 多模振荡速率方程组
end
E3 E2
E1
E3 (10-8s)
E3
E2 (10-3s)
E2
h
E1
E1
dn3 dt
n1W13
n3 (S32
A31 )
dn2 dt
(n2
f2 f1
n1) 21( l , 0 ) Nl
n2 (S21 A21) n3S32
n1 n2 n3 n
dNl dt
(n2
f2 f1
n1) 21( l , 0 ) Nl
徐贲 86835782 赛博北楼407-1 答疑时间：周一18：00-20：00
xuben@cjlu.edu.cn
4.3 典型激光器速率方程
表征激光器腔内光子数和工作物质各有关能级 上的原子数随时间变化的微分方程组，称为激 光器速率方程组(rate equations)。
归纳共性，针对一些简化的、具有代表性的模 型列出速率方程组，所谓的三能级和四能级系 统。
激光速率方程理论的出发点是原子的自发辐射、 受激辐射和受激吸收几率的基本关系式。
1 爱因斯坦采用唯象法得到光和物质相互 作用的关系式
(
dn21 dt
)sp
A21n2
(
dn21 dt
)st
W21n2 ,W21
B21
(
dn12 dt
)st
W12n1,W12
B12
A21 B21
8 h 3
c3
n h , B12
dn2
dt
l
(n2
f2 f1
n1) 21( l , 0 )Nl
n2 (S21
A21 )
n3S32
由于每个模式的频率、损耗、g~(l ,0) 值不同，
必须建立m个光子数密度速率方程，其中第l个 模的光子数密度速率方程为
dNl dt
(n2
f2 f1
n1) 21( l , 0 ) Nl
Nl
Rl
,
0
)
d
该积分与辐射场的带宽有关。
A: 原子和连续光辐射场的相互作用，
B: 原子和准单色光辐射场相互作用，
对表达式进行修正
4 发射截面和吸收截面
21(,0)和12(,0)分别称为发射截面和吸
收截面，它们具有面积的量纲
21( , 0 )
A21 2
8
2 0
g~( ,0 )
12 ( , 0 )
21
(n2
f2 f1
n1) 21( l , 0 ) Nl
R1、R2为单位体积中，在单位时间内激励至E1 、E2能级的粒子数（激励速率）；1、2为E1 、E2能级的寿命； 21为E2能级由于至E1能级 跃迁造成的有限寿命。
6 多模振荡速率方程
如果激光器中有m个振荡模，其中第l个模的频 率则、E2能光级子的数粒密子度数、密光度子速寿率命方分程别为为l、Nl及Rl 。
1
g~( 0 , 0 )
对洛仑兹线型与高斯线型，等效线宽分别为
2
F
,
1 2
ln
2
F
按照以上简化模型，四能级多模振荡的速率 方程可写为（见下页），式中N为各模式光 子数密度的总和；21为中心频率处的发射截 面；1为E3能级向E2能级无辐射跃迁的量子 效率； 2为E2能级向E1能级跃迁的荧光效率
dN dt
f1
B21 f2
2 考虑线型函数后必要的修正
线型函数可以理解为几率按频率的分布函数
P( ) Pg~( , 0 ) n2h 0 A21g~( , 0 ) n2h 0 A21( )
A21( ) A21g~( , 0 )
A21()表示在总自发跃迁几率A21中，分配在频率处单 位频率内的自发跃迁几率
n为单位体积 工作物质内的 总粒子数，第 l个模式的光 子寿命为Rl， 工作物质长度 l等于腔长L。
dn3 dt
n1W13 n3 (S32
A31 )
dn2 dt
n1W12
n2W21 n2 (S21
A21) n3S32
n1 n2 n3 n
dNl dt
n2W21
n1W12
Nl
Rl
（一）三能级系统--红宝石激光器
f2 f1
n1) 21( l
, 0 ) Nl
Nl
Rl
四能级系统—Nd:YAG激光器
E4
(10-8s) E4
E3
(10-3s) E3
h
E2
E2
E1
E1
四能级系统另外一种粒子数密度速率方程
dn2 dt
R2
n2
2
(n2
f2 f1
n1) 21( l , 0 ) Nl
dn1 dt
R1
n1
1
n2
1）假设各个模式的衍射损耗比腔内工作物质 的损耗及反射镜损耗小很多，因而可以认为 各个模式的损耗是相同的。
2）将线型函数 g~( ,0) 用一矩形谱线 g~( , 0 ) 代 替，并使矩形谱线的高度与谱线轮廓中心点 的高度相等，矩形谱线所包含的面积与原有 谱线包含的面积相等。即
g~( , 0 ) g~( 0, 0 )
7 总量子效率
F 1为2 总量子效率，它的意义：由光泵抽
运到E3能级的粒子，只有一部分通过无辐射 跃迁到达激光上能级E2，另一部分通过其它 途径返回基态。而到达E2能级的粒子，也只 有一部分通过自发辐射跃迁到达E1能级并发 射荧光，其余粒子通过无辐射跃迁而跃迁
到E1能级。
发射荧光的光子数
F 工作物质从光泵吸收的 光子数
Nl
Rl
四能级系统速率方程组
dn3 dt
n0W03
n3 (S32
A30 )
dn2 dt
(n2
f2 f1
n1) 21( l , 0 ) Nl
n2 (S21 A21) n3S32
dn0 dt
n1S10
n0W03
n3 A30
n0 n1 n2 n3 n
dNl dt
(n2