2017年清华大学能力测试题(回忆版)

16.（选项不全）已知 a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8 是 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 的一个排列，满足 a1 + a3 + a5 + a7 =
a2 + a4 + a6 + a8 的排列的个数为 ( )
A. 4608
B.
C.
D.
17. 甲乙丙丁四个人背后有 4 个号码，赵同学说：甲是 2 号，乙是 3 号；钱同学说：丙是 2 号，乙是 4 号；孙同学说：丁是 2 号，丙是 3 号；李同学说：丁是 1 号，乙是 3 号．他们每人都说对了一半，则
m, n ∈ N∗ ，则 ( )
A. 使 f (2, n) ⩾ 100 的 n 的最小值是 14
B. 使 f (2, n) ⩾ 100 的 n 的最小值为 13
C. 使 f (3, n) ⩾ 100 的 n 的最小值是
D. 使 f (3, n) ⩾ 100 的 n 的最小值是
28. 已知 f (x) 是 (0, +∞) 上连续的有界函数， g(x) 在 (0, +∞) 上有 g(x) = max f (n) ，以下结论正确
4.（题目有误）已知函数 f (x) = 4x2 − 3,
B.
29π 12
5π < x5 < 2
D. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0
x ⩾ a, 则( )
x < a,
A. 若
f (x)有两个极值点，则a=0 Nhomakorabea或
1 <a<1
2
B. 若 f (x) 有极小值点，则 a > 1
2
C. 若
D. 2

b cos C = (a + c)(b sin C − 1),
13.（题目有误） △ABC
的三个内角
A, B, C
的对边分别为
a, b, c ，满足
a
+
c
=
√ 3,
则 △ABC ( ) √
A. 面积的最大值为 3 3
C. B = π
16
3
√
B. 周长的最大值为 3 3
D. B = π
B. △AQM 与 △N BM 相似 D. △AM N 与 △BN Q 相似
3. 已知方程 kx = sin x 在区间 (−3π, 3π) 内有 5 个实数解 x1, x2, x3, x4, x5 且 x1 < x2 < x3 < x4 < x5 ，
则( )
A. x5 = tan x5
C. x2, x4, x5 成等差数列 x,
A. a = 2b
B. a = 3b
C. a + b = 3
D. a + b = 5
10. 已知 z1, z2 为实部虚部都为正整数的复数，则 √|z1 + z2| ( )
|z1 · z2|
√
A. 有最大值 2
B. 无最大值
C. 有最小值 2
D. 无最小值
11. 已知函数 f (x) = sin x · sin 2x ，则 ( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
24.
已知关于
z
的方程
z2017 − 1 = 0
的所有复数解为
zi ( i = 1, 2, · · · , 2017 )，则
2∑ 017 1 ( i=1 2 − zi
)
A. 是比 2017 大的实数 B. 是比 2017 小的实数 C. 是有理数
D. 不是有理数
2
2
25. 已知 a, b > 0 ，数列 {xn} 递减， xn = axn+1 + bxn+2 ，则 ( )
2 ，连续投篮直到投进
2
个球时停止，则他投篮次数为
4
的概率是 (
3
)
A.
B.
C.
D.
34. 已知 0 < p(A) < 1 ， 0 < p(B) < 1 ，且 p(A|B) = 1 ，则 ( )
A. P (A|B) = 0
B. P (B|A) = 1
C. p(A ∪ B) = p(A)

(x − 1)(y2 + 6) = x(y2 + 1),
B. y1 + y2 + y3 + y4 + y5 为定值 D. y12 + y22 + y32 + y42 + y52 为定值
31. 定义满足下列三个条件的偶数 n 为“萌数”： (1) 将集合 M = {1, 2, 3, 4, · · · , n} 划分为三个集合 A, B, C ， A, B, C 两两之间的交集为空集，并集为
A. f (x) 有对称轴 C. f (x) = a 在 (0, 2π) 上的解为偶数个
B. f (x) 有对称中心
D.
7 f (x) =
有解
9
12.（选项有误）已知实数 x, y 满足 5x2 − y2 − 4xy = 5 ，则 2x2 + y2 的最小值是 ( )
A. 1
B. 5 6
C. 5 9
4
30. 5 人中每两个人之间比一场，若第 i 个人胜 xi ( i = 1, 2, 3, 4, 5 ) 场，负 yi 场 ( i = 1, 2, 3, 4, 5 ) 场，则 ( )
A. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 为定值 C. x21 + x22 + x23 + x24 + x25 为定值
B. 40
C. 30
) D. 10
2. 过圆 O 外一点 C 作圆 O 的两条切线，切点分别为 M, N ，过点 C 作圆 O 的割线交圆 O 于 B, A 两点，点 Q 满足 ∠AM Q = ∠CN B ，则下列结论正确的是 ( )
M
C
Q
B
AN
A. △AM Q 与 △M BC 相似 C. △AM N 与 △BQM 相似
2017 年清华大学能力测试题（回忆版）
兰琦 2017 年 1 月 19 日
说明：考试时间为 90 分钟，原卷 40 道题均为不定项选择题．这里收录的是回忆版试题，故部分选择题选项 为空白．
1. 在圆周的十等分点 A1, A2, · · · , A10 中取出四个点，可以围成的梯形的个数为 (
A. 60
A. z2 − z 被 2 整除
B. z3 − z 被 3 整除
C. z4 − z 被 5 整除
D. z6 − z 被 3 整除
9.
椭圆
x2 y2 a2 + b2 = 1 ，直线
1
l1
:
y
=
−x 2
，直线
1
l2
:
y
=
x 2
，P
为椭圆上任意一点，过点
P
作
P M ∥ l1
且与直线 l2 交于点 M ，作 P N ∥ l2 且与直线 L1 交于点 N ，若 |P M |2 + |P N |2 为定值，则 ( )
2
4
14.
两个半径为
1
的球的球心之间的距离为
d ，包含两个球的最小的球的体积为
V
，则
lim V d→+∞ d3
=(
)
A. 4π
B. π
C. π
D. 2π
3
6
12
3
15.
椭圆
x2 y2 + =1
与过原点且互相垂直的两条直线的四个交点围成的矩形的面积可以是 (
)
49
A. 16
B. 12
C. 10
D. 18
A. 916
B. 917
C. 918
D. 919
22.（选项不全）正方形 ABCD 所在的平面内有一点 O ，使得 △OAB, △OBC, △OCD, △ODA 为等腰三
角形，则 O 点的不同位置有 ( )
A.
B.
C.
D.
23.（题目有误）已知数列 {an} 严格递增，对 0 ⩽ ai ⩽ aj ⩽ n ，存在子集 A ，其中 ai +aj ∈ A 或 ai −aj ∈ A ， 则集合 A 中的元素个数可能为 ( )
0⩽n⩽x
的有 ( ) A. g(x) 是有界函数
B. g(x) 是连续函数
C. g(x) 是单调递增函数
D. g(x) 不是单调递减函数
29.（题目有误）已知 a cos x + b cos 3x ，下列说法正确的是 ( )
A. |a − 2b| ⩽ 2 √
C. |a − b| ⩽ 2
B. |a + b| ⩽ 1 D.
) A. 3
2
B. 1
C. 2
D. 5 6
7. 集合 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ，从中取出三个元素构成集合 A 的子集，且所取得的三个数互不相
邻，这样的子集个数为 ( )
A. 56
B. 72
C.
D.
8.（题目有误）已知 z 是实部虚部均为非负整数的复数，则 ( )
35.（选项不全）已知实数 x, y 满足 (y − 1)(x2 + 6) = y(x2 + 1), 则 (
)
A.
Å x−
5 ã2 Å + y−
5 ã2 =
1
2
2