4随机向量的数字特征精品PPT课件

(3)cov(aX ,bY ) abcov( X ,Y ),a,b R
（4）cov(C, X ) 0,C为任意常数
（5）cov( X1 X2 ,Y ) cov( X1,Y ) cov( X2 ,Y ) (6)如果X与Y 相互独立，则cov( X ,Y ) 0
注： 若 cov( X ,Y ) 0
则 cov( X ,Y ) ( xi EX )( y j EY ) pij i, j X ,Y ~ f ( x, y)，
则cov( X ,Y )
( x EX )( y EY ) f ( x, y)dxdy
(2) Cov( X ,Y ) EXY EX EY ;
例3.22 二维离散型随机向量( X ,Y )的概率分布为
X与Y 独立
(7)设X ,Y为任意两个随机向量，如果其方差 均存在，则D( X Y )的方差也存在，且
D( X Y ) DX DY 2cov( X ,Y )
特别地，若X与Y 相互独立，则 D( X Y ) DX DY .
D( X Y ) DX DY 2cov( X ,Y ) 若X与Y 相互独立，则 D( X Y ) DX DY .
3.4 随机向量的数字特征
一、协方差与相关系数 二、相关性与独立性
一、协方差与相关系数
1. 问题的提出
联合分布
边缘分布
这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各 自的概率特性以外，相互之间可能还有某种联系.
问题是用一个什么样的数去反映这种联系？
数 E( X EX )(Y EY )
2. 定义
定义 设( X ,Y )为二维随机向量，EX , EY 均存在， 如果E[( X EX )(Y EY )]存在， 则称其为随机变量X与Y的协方差， 记作cov( X ,Y )。即cov( X ,Y ) E[( X EX )(Y EY )].
其他
y=x
求 cov( X ,Y )和X,Y
4x(1 x2 ),
gX
(
x
)
0,
0x
0 x 1,
4 y3,
其他.
gY
(
Байду номын сангаас
y)
0,
1
x
0 y 1,
其他.
EXY
EX
1
1
xyg( x, y)dxdy dx xy8xydy
0
x
xgX ( x)dx
1 x 4x(1 x2 )dx 8 .
12
1n
j
1, 2,
（ )ij nn
21
22
2
n
n1
n2
nn
, n)的矩阵
cov( X1, X1 )
cov(
X
2
,
X
1
)
cov( X1, X2 ) cov( X2, X2 )
cov( X1, Xn )
cov(
X
2
,
X
n
)
cov(
X
n
,
X
1
)
cov( Xn, X2 )
cov(
X
n
,
X
n
)
称为随机向量（X1, X2, Xn )的协
方差矩阵，简称协差阵, 记作DX , X （X1, X2, Xn )
11 12
（ )ij nn
21
22
n1
n2
1n
2
n
nn
cov( X1, X1 )
cov(
X
2
,
X1
)
cov( X1, X2 ) cov( X2, X2 )
练习： X与Y为两个随机变量，DX 1, DY 4, cov( X ,Y ) 1,
Z1 X 2Y , Z2 2 X Y , 求 Z1,Z2
解： cov(Z1, Z2 ) cov( X 2Y , 2X Y ) 5
DZ1 D( X 2Y ) DX D(2Y ) 2cov( X , 2Y ) 13
0
15
4 .
9
EY
ygY ( y)dy
1 0
y 4 y3dy
4 5
.
4
从而得 cov( X ,Y ) EXY EXEY
225
cov( X ,Y ) EXY EXEY 4
225
EX 2
x2gX
( x)dx
1 x2 4x(1 x2 )dx 1
0
3
EY 2
y2 gY
X Y 1
0
2
求cov( X ,Y ).
0
0.1
0.2
0
1
0.3 0.05
0.1
2 0.15
0
0.1
解 EXY 0 EX 0.95 EY 0.15
cov( X ,Y ) EXY EXEY 0.95 0.15 0.1425
例3.23
X,Y
~
g( x,
y)
8 xy,
0,
0 x y 1y
cov(Y
,
Y
)
DX cov( X ,Y
)
cov( X ,Y )
DY
为随机向量(X ,Y )的协方差矩阵，简称协差阵
定义 设( X1, X2, Xn )为一个n维随机
向量，Xi的方差DXi (i 1, 2, , n)均存在，则以
ij
cov( X ,
i
11
X j )为第(i, j)元素(i,
（2）cov( X ,Y )与X，Y 都描述了X与Y 之间的联系。
（3）若X Y ,则cov( X , X ) DX
----方差是协方差的特例
3. 协方差的计算公式
（1）定义式 cov( X ,Y ) E[( X EX )(Y EY )]
X ,Y ~ P X xi ,Y y j pij , i, j 1, 2, ,
进一步，如果DX , DY均存在，且大于0，
称
X ,Y
Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y )
称为随机变量 X 与 Y 的相关系数.
注：
(1) X ,Y 又称为标准协方差,它是一个无量纲的量.
令 X X EX ,Y Y EY ,
DX
DY
则 X ,Y cov( X ,Y )
(
y)dy
1 y2 4 y3dy 2
0
3
从而得 DX EX 2 (EX )2 11 , DY 2
225
75
4
Cov( X ,Y )
ρX ,Y
D( X ) D(Y )
225 2 66 11 2 33
225 75
4. 协方差的性质
(1)cov( X , X ) DX
(2)cov( X ,Y ) cov(Y , X )
DZ2 D(2X Y ) D(2X ) D(Y ) 2cov(2X , Y ) 4
Z1 ,Z2
5 5 13 13 4 26
5、协方差矩阵
定义 设( X ,Y )为一个二维随机向量，且X与Y的方差 均存在，称二阶矩阵
V
cov( X , X )
cov(Y
,
X
)
cov( X ,Y )