自动控制原理 二阶系统的响应

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3-3 二阶系统的响应
一、二阶系统的数学摸型
典型二阶系统是由一惯性环节与积分环 节串联构成的闭环系统，其标准形式为：
+
− R(S )
ω
2 n
S 2 + 2ζ ω nS
C (S )
G(S) = C(S) =
ωn2
R(S ) S 2 + 2ζωnS + ωn2
2
ζ--阻尼系数
ωn--无阻尼自然振荡频率
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即峰值时间t p为阻尼振荡周期的一半。
3、超调量σ %
最大超调量发生在峰值时间t p ，故有
− ζπ
σ% = ⎡⎣c(tp) −1⎤⎦×100% = e 1−ζ2 ×100% 20
系统超调量仅与ζ 有关，ζ 越小，超调
量越大。超调量的数值直接说明了系 统的相对稳定性。
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4、调整时间 ts
=
1 ，故
S
9
C(S)
=
1 S
⋅
(S
ωn2 + ωn )2
= 1 − ωn − ωn S (S + ωn )2 S + ωn
∴
c(t)
=1
jω
−
e−ωnt
(1 +
c(t)
ωnt)
t
≥
0
S1,2 = −ω××n σ
1
0
t
10
系统响应是单调上升，无超调、无振荡的 过渡过程。
3、过阻尼情况 (ζ > 1)
R(S) S2 +(KKh +1)S + K S2 +2ζωnS +ωn2
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∴ K = ωn2 = 3.532 = 12.5(rad 2 / S 2 )
Kh
=
2ζωn
K
−1
=
0.178(S )
tr
=
1
ωd
(π
− cos−1 ζ
)
=
0.65(S )
ts
(2%)
=
4
ζωn
= 2.48(S)
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习题: 3-5
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讨论：
a.阻尼比 ζ 是二阶系统最重要的特征参数， 只要知道 ζ 的大小，而不必求解方程，就
可知道系统响应的大致情况；
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b.阻尼比过大 (ζ ≥ 1) ，系统响应迟钝，调节时
间增长，快速性较差；而阻尼比太小，使振 荡加剧，衰减变缓，调节时间长，快速性也
差。因而阻尼比一般取值为：0.4 < ζ < 0.8 ，
ωd =ωn 1−ζ 2 ---阻尼振荡自然（角）频率
σ = ζ ω n ---衰减系数
4
阻尼比的大小决定了闭环极点在根平面的 位置，反映了解的性质；极点的实部的大 小，决定了指数衰减的快慢；极点虚部的 大小，则决定了系统响应振荡的快慢。
S1+
β
jω
jω 1 − ζ 2 n
0σ
S2+ ζωn
5
当输入为单位阶跃函数时，则有
此时快速性和平稳性均较好；
c下. ，ωωnn也越是大系，统系重统要振的荡特角征频参率数ω。d 越在大相，同致的使ζ
系统的平稳性变差，但调整时间减小。
d. ζ = 0.707 称为最隹阻尼比，此时，
超调量较小，调整时间(5%误差带)最短。
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二、欠阻尼二阶系统性能指标的定义和计算 条件：系统初始条件为零；单位阶跃 输入 使用条件的原因是，基准相同，系统间 便于比较；而单位阶跃信号易于产生， 其他输入也可由此计算出来。
jω n
0
1−ζ 2
S2+ ζωn
故增大自然振荡角频率或减小阻尼比， 都将减小上升时间。
2、峰值时间 tp
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由c '(t) = 0，解出t值，最小解即为t p 。故
dc(t) dt
t =t p
=
ωn 1−ζ
2
e−ζωnt
sin ωdt
=
0
∴ωdt = 0,π ...
tp
=π ωd
=
ωn
π 1−ζ 2
C(S)
=
G(S)R(S)
=
1 S
⋅
S2
+
ωn2 2ζωn S
+ ωn2
= 1 − S + 2ζωn S S 2 + 2ζωnS + ωn2
= 1 − S + ζωn −
ζωn
S (S + ζωn )2 + ωd2 (S + ζωn )2 + ωd2
0<ζ <1
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故
c(t) = 1− e−ζωnt cosωdt −
即它们是 c(t)的包络线： 1 − ζ 2
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包络线的时间常数为：
T= 1
ζωn
可用包络线代替响应曲线，求出近似调
整时间，即
ts
(5%
)
=
3
ζω
n
(0 < ζ < 0.9)
ts
(2%)=
4
ζωn
(0 < ζ < 0.9)
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调整时间与闭环极点与虚轴的距离成反比， 极点离虚轴越远，调整时间越短。
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1、上升时间 tr
定义：响应曲线第一次达到稳态值的时间。
即
c(tr ) = 1−
1
1−ζ
2
e−ζωntr
sin(ωd tr
+β)
=1
sin(ωdtr + β ) = 0
ωdtr + β = π
∴tr
=π −β ωd
=
π −β ωn 1− ζ
2
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其中：
β = cos−1 ζ
jω
σ S1+
β
ωn
二阶系统的响应通常被视为一种基准， 原因就是二阶系统具有定量的品质指标。
二、单位阶跃响应
1、欠阻尼情况 (0 < ζ < 1)
巳知二阶系统的特征方程式为：
3
S2
+
2ζωn S
+
ω
2 n
=
0
当0 < ζ < 1时，系统的闭环极点（特征根）为：
S1,2 = −ζωn ± jωn 1− ζ 2
= −σ ± jωd（一对共轭复根）
调整时间是指响应值c(t)达到95%-105%(98%--102%)稳态值，并且永 远保持在这个区间内所需的时间。
调整时间可从 c(t) = 0.95(0.98)出发，
但求解比较困难。巳知： 22
c(t) = 1−
e−ζωnt
1−ζ 2
sin(ωd t
+
β)
显然，c(t)是限制在 1 ± e − ζ ω n t 之间，
+
− R(S )
K S (S + 1)
C(S)
1+ KhS
− ζπ
σ % = e 1−ζ 2 ×100% = 020.2%%
∴ζ = 0.456 26
依题意：
tp
=π ωd
= 1(S)
∴ωd = π (rad / S)
故
ωn =
ωd = 3.53(rad / S) 1−ζ 2
而
C(S) =
K
=
ωn2
荡。
0
Re
t × − jωn
c.∵e(t) = r(t) −c(t) =
1
1−ζ
2
e−ζωnt
sin(ωdt
+
β)
8
∴ess = e(∞) = 0
即系统带有一个积分环节，对单位阶跃输 入，稳态误差为零。
2、临界阻尼情况 (ζ = 1)
此时
G(S)
=
C(S) R(S)
=
(S
ωn2 + ωn )2
而
R(S)
ζ 1−ζ
2
e−ζωnt
sin ωdt
=1−
1
1−ζ
2
e−ζωnt
sin(ωd t
+β)

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a.此时系统响应曲线为衰减振荡过程；随 着ζ 的减小，振荡倾向增强，超调增大；
b.当 ζ = 0 , c(t) = 1− cosωnt ，则
c(t)
Im
系统零阻尼，是
× jωn
不衰减的等幅振 1
由于ζ 与调整时间的实际关系曲线是非连
续的，因而ζ 值通常由系统允许的最大过
调量来确定,由调整时间确定ωn 。即
− ζπ
σ % = e 1−ζ 2 ×100%
ζ
ts
(2%)
=
4
ζωn
ωn
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例1：如图所示系统，欲使系统的最大超调 量等于0.2，峰值时间等于1秒，试确定增益
K系和统K的h 的上数升值时，间并tr确和定调在整此时K间和tKs 。h数值下，
29
再见
30
此时，系统有两个不相等的负实根，即
S1,2 = −ζωn ± ωn ζ 2 −1
故
c(t) = 1− ωn ( 1 e−S1t − 1 e−S2t )
2 ζ 2 −1 S1
S2 t ≥ 0
11
Im
h(t)
× × Re
1
S2 S1
0
t
a.过阻尼系统无振荡、无超调，但过渡过
程时间较长；显然：ess = 0
b.若 ζ >> 1, S1 << S2 , 此时系统可用