第五讲 二体轨道力学和运动方程
航天器轨道的基本特性
➢ 地心黄道坐标系
坐标原点：地球质心
−
0
地心赤道坐标系
( , , )
( , , )
=
黄赤交角
1
0
= 0
0
0
−
坐标系统和时间系统
地心坐标系
标准历元地心平赤道惯性坐标系
一种既具有均匀时间尺度又能反映地球自转特性的时间系统，其以原子
时的秒长为时间计量单位。协调世界时通常作为探测器从地面发射和飞行
跟踪的时间纪录标准。
儒略日 （Julian Date，JD）
一种以天数为单位计算两个日期之间相隔天数的记时法，其起始点为
公元前4713年1月1日世界时的12:00。由于儒略日的记数位较长，国家天
rE5 RM rE4
RM RY x p RX y p
RM 为极移旋转矩阵
x
p
, y p 为地极的瞬时坐标，由IERS的公报提供。
坐标系统和时间系统
J2000地心惯
性坐标系1
岁差
协议地球坐标系
瞬时平赤道地心惯性坐标系ຫໍສະໝຸດ 自转轴章动地球极移
地心固连坐标系
心动力学时采用国际原子时定义的秒长，主要用于太阳系中天体的星历描述。
坐标系统和时间系统
时间系统
世界时（Universal Time，UT）
基于地球自转运动的时间系统，对地球自转轴的极移效应进行修正后的世界
时称为一类世界时（UT1），一类世界时能够真实反映地球自转的统一时间。
协调世界时（Coordinated Universal Time，UTC）
器惟一可能的运动轨道。
➢ 中心引力体中心必定为圆锥曲线轨道的一个焦点。
【PPT课件】航天器的轨道与轨道力学
G
n j 1
mj rj3i
(
ji )
ji
(2.13)
不失一般性，假定m2为一个绕地球运行的航天器，m1为地
球，而余下的 m3, m4,L mn 可以是月球、太阳和其他行 星。于是对i=1的情况，写出方程式(2.13)的具体形式，
得到
&rr& rr 1
G
n j2
mj rj31
(
j1 )
第二运动定律 动量变化速率与作用力成正比，且与作 用力的方向相同。
第三运动定律 对每一个作用，总存在一个大小相等的 反作用。
万有引力定律：
任何两个物体间均有一个相互吸引的力，这个力与
它们的质量乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。
数学上可以用矢量形式把这一定律表示为
r Fg
GMm r2
rr
r
第二章 航天器的轨道与轨道力学
2.1航天器轨道的基本定律 2.2二体轨道力学和运动方程 2.3航天器轨道的几何特性 2.4航天器的轨道描述 2.5航天器的轨道摄动
第二章 航天器的轨道与轨道力学
“1642年圣诞节，在柯斯特沃斯河畔的沃尔索普庄 园，诞生了一个非常瘦小的男孩。如同孩子的母亲后来 告诉他的那样，出生时他小得几乎可以放进一只一夸脱 的杯子里，瘦弱得必须用一个软垫围着脖子来支起他的 头。这个不幸的孩子在教区记事录上登记的名字是 ‘伊 萨克和汉纳·牛顿之子伊萨克 ’。虽然没有什么贤人哲 士盛赞这一天的记录，然而这个孩子却将要改变全世界 的思想和习惯。”
d dt
(mivri
)
r F总
(2.9) (2.10)
把对时间的导数展开，得到
第二章二体问题资料
由牛顿第二定律可知，卫星与地球的运 动方程：
二体问题的运动方程
设 为卫星S相对于O的加速度，则:
由于M远大于m，通常不考虑m的影响，则有：
取地球引力常数µ =GM=1，此时（3-4）式可写成 为：
二体问题的运动方程
设以O为原点的直角坐标系为O-XYZ，S点的坐标 为（X，Y，Z），则卫星S的地心向径r=（X，Y， Z），加速度 ，代入（3-4）得 二体问题的运动方程：
1571.12.27 － 1630.11.15
主要成就: 发现了行星运动三定律
一.卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。 此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由 万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。r为卫星 的地心距离，a为开普勒椭圆的长半径，e为开普勒椭圆的偏心 率；f为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地 点的位置，是时间的函数。 m
三、二体问题与人卫正常轨道
二体问题
研究二个质点在万有引力作用下的运动规律问 题 摄动力
除地球引力(1)外，其它作用在卫星上的力
人卫正常轨道 满足如下假定条件下的卫星轨道，称为人 卫正常轨道: 地球为正球 除地球正球引力外，卫星不受其它摄动 力的作用
人卫正常轨道的特点: 运动轨道为一椭圆,可以精确地计算出 椭圆大小形状及其在空间中的定向以及 卫星在轨道上的位置
第二章 二体问题
本章主要介绍有关卫星的运动规律，轨道的描述， 以及二体问题的运动方程和方程的解。 重点： 1.二体问题的定义； 2.卫星运动的轨道参数； 3.二体问题基本运动方程； 4.二体问题基本运动方程的解。 难点： 1．怎样理解二体问题基本运动方程； 2．怎样得到二体问题基本运动方程的解。
lx-lx-第5讲 轨道动力学
2、星下点轨迹
倾角为60度，周期为90分钟的星下点轨迹
2、星下点轨迹
（6）回归轨道
卫星连续两次过升交点称为卫星运行一圈
如果卫星每运行一定圈数后，星下点轨迹便重叠起来，
则这类轨道称为“循环轨道”或“回归轨道”
2、星下点轨迹
1+1+ 3+23+ 12+-
2+
3--
3--
1+
2-
3+
1-
2+
此时卫星轨道运动问题即为二体问题,二体运动方程：
d2r G( M m ) u r 3 r 2 3 dt r r
1、二体运动
（2）二体运动方程的解
能量常数：
v2 u 2 r
角动量常数(动量矩常数)： h r v 拉普拉斯常矢量： L v h u r 三个常数的关系： 轨道方程：
引力位函数 位 （ 势 ） 函 数 ： 若 矢 量 场 R （ X,Y,Z ） 是 某 一 标 量 函 数 φ （x,y,z）的梯度，即 R grad
( , , ) x y z i j k x y z
2、星下点轨迹
（3）无旋地球上的星下点轨迹 不考虑摄动的情况下，无旋地球上航天器的星下点轨迹是 一个大圆，航天器一次次重复相同的地面轨迹 赤经赤纬坐标系中航天器地面轨迹的方程是：
arcsin(sini sin u ) arctg(cositgu ) u w f
其中， 是赤纬， 是赤经 无旋地球上的星下点轨迹只和轨道要素i和u有关
2、星下点轨迹
（4）旋转地球上的星下点轨迹
不考虑摄动的情况下，旋转地球上的星下点轨迹和无旋地球
描述轨道
第5章描述轨道本章中你将学到……经典轨道根数定义，描述轨道的大小、形状和方向，以及航天器在轨道上的位置利用航天器在轨道上某一点的位置矢量R r和速度V r确定经典轨道根数解释并利用轨道地面轨迹你应该已经掌握……二体运动方程及其假设（第4 章）轨道比机械能ε （第4 章）轨道比角动量h r（第4 章）矢量的定义及矢量的运算，包括点积和叉积（附录A.2）反三角函数cos−1 和sin−1 （附录A.2）内容安排5.1轨道根数定义经典轨道根数备用轨道根数5.2计算轨道根数半长轴偏心率轨道倾角升交点赤经近地点幅角真近点幅角5.3航天器地面轨迹航天器任务操控系统任务管理与操控弹道和轨道航天任务运载工具航天任务结构。
本章学习图1－20 所示的航天任务结构中的轨迹和轨道部分。
上一章学习了二体运动问题，推导出运动方程，并用严格的数学术语描述了航天器如何在空间运动。
但是很多情况下，只给出航天器在惯性空间的位置和速度是不够的。
通常还需要知道轨道与地球上相对应的轨迹（在地面上的投影）。
例如，想知道一颗遥感卫星什么时候经过洪水灾区（图5-1）。
图5－1.密西西比河洪水泛滥。
这是对地观测卫星1993 年拍摄的密苏里州圣路易斯洪水泛滥的图片。
（由NASA/戈达德航天中心许可）这一章将学习两个能够帮助我们了解航天器运动的有用工具——经典轨道根数和地面轨迹。
一旦你熟悉了它，就可以利用这些经典轨道根数来直观地描述轨道在空间中的样子。
地面轨迹可以确定地球上某一区域什么时候进入航天器的视野，什么时候地球上的观察者可以看到航天器。
5.1轨道根数本小节的主要内容是……定义经典轨道根数用经典轨道根数描述轨道的大小、形状和方位以及航天器在轨道上的位置如果一些特定的经典轨道根数没有定义，需要用哪些替换根数来代替如果你驾驶一架飞机，地面的控制人员通过无线电信号询问你在哪里，准备去哪里，你必须告诉他们6 个关于飞机的参数高度纬度经度水平速度机头方向（南北等等）垂直速度（上升还是下降）知道了这些参数，控制人员就能预见你的下一个位置。
理论力学 两体问题
双星系统的研究有助于理解恒星的形成和演化过程，以及宇宙中的星系形成。
行星与卫星系统是一个行星和一个或多个卫星组成的系统，卫星绕着行星旋转，受到行星的万有引力作用。
行星与卫星的运动规律也是由万有引力定律和运动定律来描述，通过求解微分方程可以得出它们的轨道和运动规律。
理论力学 两体问题
目录
两体问题的基本概念 两体问题的动力学模型 两体问题的运动学模型 两体问题的经典问题 两体问题的数值模拟方法 两体问题的应用领域
01
CHAPTER
两体问题的基本概念
两体问题是指两个质点在万有引力或库仑力等作用下的运动问题。
两个质点在相互之间的力作用下，同时受到其他力的作用，这些力满足牛顿第三定律。
卫星轨道设计
卫星轨道设计是航天工程中的重要环节，而两体问题提供了卫星绕地球或其他天体运动的基本规律，为轨道设计提供了理论基础。
月球和火星探测
月球和火星探测任务中，两体问题用于研究探测器的轨道运动、着陆和巡视等任务。
航天工程
1
2
3
地球自转和极移是地球物理学研究的重要内容，两体问题提供了地球自转和极移的理论基础。
行星与卫星系统的研究有助于了解地球的气候变化、地质构造、天体演化等自然现象。
01
02
03
行星与卫星系统
哈雷彗星的轨道问题主要是研究其轨道的稳定性、变化规律以及与其他天体的相互作用。
哈雷彗星轨道问题的研究有助于了解太阳系的演化历史和天体的动力学行为。
哈雷彗星是太阳系中的一颗周期性彗星，其轨道非常长，大约需要76年才能绕行一周。
哈雷彗星轨道问题
空间测量基础第五章二体问题
地球引力 地球引力(1) 地球引力(1) － 地球的球形引力或称地球中心 力
地球引力(2) 地球引力(2) － 地球的非球形引力或称地球形 Mm G r 状摄动力
2
日、月及其它天体的引力 大气阻力 太阳光压 其它作用力（如：地磁、地球潮汐摄动等）
在各种作用力对卫星运行轨道的影响 地球引力场的影响为主， 中，地球引力场的影响为主，其它作用力 的影响相对要小的多。 的影响相对要小的多。若假设地球引力场 的影响为1，其它引力场的影响均小于10的影响为 ，其它引力场的影响均小于 5。 。
升交点赤经Ω 升交点赤经 轨道倾角 轨道倾角i
定义： 定义：在升交点处 定义： 定义：升交点的赤 轨道正方向（ 轨道正方向（卫星 经 运动方向） 运动方向）与赤道 近地点角距ω 近地点角距 正方向（ 正方向（赤经增加 方向）之间的夹角。 方向）之间的夹角。 定义： 定义：从升交点的 地心矢径起算， 地心矢径起算，逆 r 时针方向（ 时针方向（从 N正 方向看） 方向看）旋转至近 长半径a 长半径 地点的地心矢径所 经过的角度。 经过的角度。 定义： 定义：轨道长轴的 一半， 一半，也称作长半 轴或半长轴
1571.12.27 － 1630.11.15
主要成就: 发现了行星运动三定律
一.卫星运动的开普勒定律 卫星运动的开普勒定律
（1）开普勒第一定律 ） 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。 卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。 此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。 此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由 万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。 为卫星 万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。r为卫星 的地心距离，a为开普勒椭圆的长半径，e为开普勒椭圆的偏心 的地心距离， 为开普勒椭圆的长半径， 为开普勒椭圆的偏心 为开普勒椭圆的长半径 为真近点角， 率；f为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地 为真近点角 点的位置，是时间的函数。 点的位置，是时间的函数。 m b a (1 − e 2 ) r= a f
哈工大航天学院课程-空间飞行器动力学与控制-第5课-空间飞行器轨道动力学下PPT课件
r,
r
的表
达式依然成立，只是相应的六个不变根数 ci 变为 ci (t) ,称为瞬时根数或密切根数。
利用上述方程计算航天器轨道时，要根据航天器 轨道、本体参数、计算精度要求等因素选取运动方程 右端项，并选择合适的计算方法。
第29页/共43页
轨道要素的摄动方程
分析摄动力引起卫星轨道要素的变化，用轨道要 素表示卫星的摄动方程，在天体力学中是著名的拉 格朗日行星运动方程。
➢ 确定停泊轨道、转移轨道、地球同步运行轨 道参数 ➢ 进入近地的停泊轨道，调整参数 ➢ 发动机点火从停泊轨道进入转移轨道 ➢ 发动机再次点火从转移轨道进入同步轨道
第13页/共43页
太阳同步轨道
太阳同步轨道是指轨道面的进动与平太阳的周年 视运动同步的卫星轨道。地球扁率引起升交点赤经 的长期变化，变化率主要依赖于轨道倾角 i ，也与 半长轴 a 、偏心率 e 有关。对确定的 a 、e ，选择 i 使 等于平太阳的周年视运动，即 0.9856 ，就是 太阳同步轨道。
f ci
dci dt
gc1, c2 , c3, c4 , c5 , c6 , t
第26页/共43页
r
r r3
F
F0
F
dr f 6 f dci
dt t i1 ci dt
r r
gc1,c2,c3,c4,c5,c6, t f c1,c2,c3,c4,c5,c6, t
r
f
/
t
g t
第21页/共43页
二、飞行器轨道摄动
在二体运动的轨道分析中，假定卫星仅受到地 球引力的作用，可以得到卫星的轨道是一个不变的 椭圆，轨道要素是常数的结论。
但事实上卫星除受地球引力外，还有其他外力 作用于卫星，如地球非球形摄动，大气阻力摄动， 日月引力摄动，太阳辐射压力摄动，小推力摄动等 力学因素的影响。
第2章二体问题
• 其余各种力则仅仅使卫星略微偏离正常轨道。我们将这种 偏离值称为轨道摄动，把这些小作用力称为摄动力。
道上的位置的一整套方法及其有关理论称为人造卫星正常 轨道理论。 • 显然人卫正常轨道只是真实轨道的一种近似。研究人卫正 常轨道的意义在于： • 1.人卫真实轨道＝人卫正常轨道＋轨道摄动。因而它是研 究人卫真实轨道的基础。 • 2常.由轨于道地是球真引实力轨（道1）的对很卫好星的的近运似动。起当决精定度性要作求用不，高因时而可正用 来替代真实轨道，以进行定性讨论和卫星预报等工作。
式中n1为整个系统中作用力的个数，n2为系统中的天体个数。
但遗憾的是到目前为止除了最简单的二体问题以外其它微分方程
组皆无法从数学上严格求解。因而我们也不得不沿用天体力学中
所惯用的方法将人造卫星的轨道运动人为地分成两个部分分别进
行处理。
3
（一）作用在卫星上的外力
从表2-1可以看出，作用在卫星上的力很复杂，除了地球的万有引力
科，是卫星大地测量的重要理论基础。人造卫星 入轨进入自动飞行阶段后，也和自然天体一样在 万有引力（及其它力）的作用下遵循牛顿运动定 律在轨道上运动。因而同样可以用研究天体运动 的一般理论—天体力学来研究其运动规律。但是 和自然天体相比，人造卫星的运动又有其特殊性， 主要表现为：
1
• 1.人造卫星离地球较近，因而不能像研究行星运动时那样 把地球当作一个质点，而必须考虑复杂的地球引力（通常 用高阶次的球谐函数来表示）对卫星运动的影响。
• 2.人造卫星所受到的作用力远较自然天体复杂。除了受到 其它天体的万有引力外还会受到大气阻力，太阳光压力等 多种力的作用。这些力中不但有保守力还有耗散力。
轨道动力学分析分解课件
它涉及到经典力学、相对论力学 以及天体力学的相关知识，为航 天器轨道设计、行星探测和宇宙 航行等提供重要的理论支持。
轨道动力学的研究目的
揭示天体运动的规律和机制， 理解轨道参数变化对运动特性 的影响。
为航天器轨道规划和姿态控制 提供理论依据，提高航天器的 运行效率和安全性。
探索未知天体和宇宙现象，推 动天文学和宇宙科学的发展。
动量守恒定律
总结词
描述系统动量的变化规律，系统不受外力或合外力为零时，系统的动量保持不 变。
详细描述
动量守恒定律是物理学中的一个基本定律，它指出如果一个系统不受外力或合 外力为零，则系统的动量保持不变。在轨道动力学中，这个定律用于描述天体 的运动规律，特别是行星、卫星等天体的轨道运动。
角动量守恒定律
描述轨道力学中物体运动规律的方程式，包括轨道方程、速度方程和加速度方程等。
详细描述
轨道力学的基本方程是描述天体运动规律的数学表达式。这些方程包括轨道方程、速度方程和加速度方程等，它 们可以用来计算天体的位置、速度和加速度等运动参数。这些方程基于牛顿的万有引力定律和运动定律，是轨道 力学分析的基础。
03
有限元法的局限性
有限元法的计算量较大，需要消耗较多的计算资源和时间。此外，有限元法的精度受到离散化的影响， 对于某些特殊问题可能需要特殊的处理和建模技巧。
04
CATALOGUE
轨道动力学在工程中的应用
铁路轨道设计
总结词
轨道动力学在铁路轨道设计中发挥着 关键作用，确保列车安全、稳定地运 行。
详细描述
CATALOGUE
轨道动力学分析方法
解析法
01
解析法定义
解析法是一种通过数学公式和定理来求解轨道动力学问题的方法。它基
二体问题
面积积分与开普勒第二定律的关系
开普勒第二定律
椭圆向径在相等时间内扫过的面积相同
h r 2u 1 t A rr 2
旋转矩阵
8
3/21/2013
轨道积分
r 3 r , 与h 叉乘 r
r h 3 r h r 3 r r r r
16
3/21/2013
过近拱点时间的积分—抛物线轨道
e 1
dt p3 df
1 cos f 2
tan
f 1 3 f tan 2 3 (t ) 2 3 2 p
巴克方程（Berker）或抛物 线情况的开普勒方程
过近拱点时间的积分—双曲线轨道
e 1
tan f 1 e H tanh 2 1 e 2
为积分常矢量
h r e r r
轨道积分
ex e ey ez
h) h r hh 0 (r
轨道坐标系
h） （r h （r h re h ) e h r
a b c a c b a b c
r r r r r h 3 r r r 2 d r = 3 [r r (rr ) r ] r dt r
二体问题
太阳系中，太阳和大行星的扁率都很小，接近 于球体，而且它们之间的距离比各自的尺寸大 得多，因此，太阳和大行星之间相互吸引可近 似为质点之间的吸引； 太阳系中的小天体（小行星和流星），形状不 规则，但是它们相对于太阳和大行星的距离来 说都很小，也可当作质点处理； 彗星弥散度很大，但是大部分质量高度集中在 慧核； 与太阳相比，行星质量小得多，最大的木星质 量也只有太阳质量的1/1000。
二体问题
天体力学基础第二章二 体 问 题2.1.1万有引力定律Kepler三大定律的数学化：1st 行星绕太阳的轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上 以太阳为一个焦点，用极坐标表示的椭圆轨道可以表示为p r= 1 + e cos (θ − θ 0 )2nd 行星向径在相等时间内扫过的面积相等r θ =h23nd 行星绕太阳运动的周期平方与轨道椭圆半长径的立方成正比T 2 = ka 3k对所有的行星而言是同一常数2.1.1万有引力定律万有引力定律的推导极坐标中加速度可以写成径向和横向分量：1d 2 a = ar e r + aθ eθ , ar = r − rθ , aθ = rθ r dt2( )1 u= r由第二定律，r 2θ = h，可知 aθ = 0. 从而加速度为径向,行星所受的力 为有心力，其大小为：(Binet公式)F = mar = m r − rθ(2)⎛ d 2u ⎞ = −mh u ⎜ 2 + u ⎟ ⎠ ⎝ dθ2 2将第一定律的数学表达式代入上式：mh 2 2 mh 2 1 F =− u =− p p r2由此可知力的大小与行星和太阳之间距离的平方成反比2.1.1万有引力定律引力的大小与太阳质量成正比，因此上式该记成h2 Mm F = −G 2 , G = pM r面积常数h可以通过计算行星运动一周来计算：G是对所有行星都一样的常数吗？2π a 2 1 − e 2 h= T因此4π 2 a 3 G= M T2天文观测可以测定GM = 4π 2 a 3 T 2 , 但无法单独给出G. 1973年地面实验值G = 6.672 ×10-11 m3kg −1s −2由Kepler第三定律，G对所有行星而言是同一常数，称为万有引力常数。
G的数值与单位有关，以太阳质量、平太阳日、天文单位分别作为质量、时间、 长度单位时，相应的万有引力常数记为k2，k称为Gauss常数，1976年定义为：k = 0.017202098952.1.2 任意形状天体的引力位函数质点组的引力位函数在某惯性系中,质量为m的质点P的位置向量为r, 它受到N 个质量分别为mi 的质点Pi的万有引力作用,Pi到P的距离向量为ri . 质点P的加速度为：N Gmi ri Gmi = −∑ 3 ri r = −∑ 2 ri i =1 ri i =1 ri N⎛1⎞ r 由于 ∇ ⎜ ⎟ = − i3 ri ⎝ ri ⎠上式可以写成：NGmi r = ∇U , U = ∑ ri i =1其中U是数量函数，称为加速度向量的位函数 容易证明，该位函数满足Laplace方程：∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U ∇ U = 2 + 2 + 2 =0 ∂x ∂y ∂z22.1.2 任意形状天体的引力位函数球对称天体的引力位函数设W 是半径为r , 厚度为dr , 密度为ρ的均匀球壳, P点到球壳中心O的距离为R取球壳上与OP垂直的环带，环带宽度 是rd ，环带上各点到P的距离都为x. 由前述位函数定义dθrθxGmi U =∑ ri i =1可知位函数只与质量和距离有关，因 此环带对P点的位函数为：NORPGdM dU = x其中dM 为环带质量，由ρ dV = ρ drdS = ρ dr ⋅ 2π r 2 sin θ dθ 给出2.1.2 任意形状天体的引力位函数由 x 2 = R 2 + r 2 − 2 Rr cos θ 得 xdx = Rr sin θ dθ 于是： 2π G ρ rdrdx. R 整个球壳对P点的位函数为: dU =rOx RU =∫x2x12π G ρ rdr x2 dU = ∫x1 dx. RPI.若P点在球壳外，则 x1 = R − r , x2 = R + r4π r 2G ρ dr GM U= = . R R其中M为整个球壳的质量。
二航天器的轨道与轨道力学
(2.18)
因为
r12 r21 ，所以
n rj 2 rj1 G(m1 m2 ) r21 (r21 ) Gm j ( 3 3 ) 3 r21 rj 2 rj1 j 3
(2.19)
为了进一步简化这一方程，需要确定摄动影响与航 天器和地球间的引力相比有多大。表2．1 列出了一个高 度为370 km的航天器的各相对加速度(不是摄动加速度)，
r 3r
r
0
(2．21)
此即为二体运动方程。对不同的中心引力体， 的值不 同。对于地球， 3.986 012 103 km3 / s 2 ； 对于太阳，
1.327 154 1011 km3 / s 2
2.2.3 轨道运动常数 1．机械能守恒 用 r 与式(2．21)作点乘，且 v r ,v r ,得到
考虑质量分别为M和m的两个物体构成的系统，如图 2．5所示。设 O ' X 'Y ' Z ' 为惯性坐标系，OXYZ为原点在 质量为M的物体质心上的不转动的，且与O ' X 'Y ' Z ' 平行 的坐标系。物体M和m在坐标系内的位置矢量分别为 rM 和 rm，并定义 r rm rM 现在，在惯性坐标系 O ' X 'Y ' Z 内可以应用牛顿定律， '
d (r h) r h r h r h dt
于是，可以将式(2．26)改写为
两边积分得
d d r (r h) ( ) dt dt r
r r h B
r
这里B是积分常矢量。用r点乘该式就得到标量方程
r r r h r r B
V1
轨道方程和运动方程的之间的区别和联系
轨道方程和运动方程的之间的区别和联系轨道方程和运动方程是物理学中常见的两种方程，它们在描述物体运动的过程中起着至关重要的作用。
虽然这两种方程都涉及到物体的运动，但它们的区别和联系却是非常明显的。
本文将从定义、公式、应用等方面详细介绍轨道方程和运动方程的区别和联系。
一、轨道方程的定义和公式轨道方程是描述物体运动轨迹的数学方程，通常用于描述天体的运动。
轨道方程可以用来计算物体在空间中的运动状态，包括位置、速度、加速度等等。
轨道方程的公式通常采用向量形式表示，如下所示：r(t) = r0 + v0t + 1/2 at^2其中，r(t)表示物体在时间t时的位置向量，r0表示物体在初始时刻的位置向量，v0表示物体在初始时刻的速度向量，a表示物体的加速度向量。
这个方程描述了物体在一定时间内的运动状态，可以用来计算物体的位置和速度等信息。
二、运动方程的定义和公式运动方程是描述物体运动状态的数学方程，通常用于描述物体在一维或二维空间中的运动。
运动方程可以用来计算物体在某个时刻的位置、速度、加速度等信息。
运动方程的公式通常采用标量形式表示，如下所示：x(t) = x0 + v0t + 1/2 at^2其中，x(t)表示物体在时间t时的位置，x0表示物体在初始时刻的位置，v0表示物体在初始时刻的速度，a表示物体的加速度。
这个方程描述了物体在一定时间内的运动状态，可以用来计算物体的位置和速度等信息。
三、轨道方程和运动方程的区别轨道方程和运动方程之间的最大区别在于它们描述的物理实体不同。
轨道方程通常用于描述天体的运动，而运动方程通常用于描述物体在一维或二维空间中的运动。
轨道方程中的位置、速度、加速度等量通常是向量形式的，而运动方程中的这些量通常是标量形式的。
此外，轨道方程和运动方程的应用范围也有所不同。
轨道方程通常用于研究天体运动，如行星、卫星等的运动状态，而运动方程则可以用于描述任何物体在一维或二维空间中的运动状态。
天体力学基础(周济林)教案：二体运动方程与经典积分
天体力学基础（周济林）：chpt2.2
第二章第二节二体运动方程与经典积分内容提要：
二体运动绝对、相对运动方程
二体运动的12个经典积分
二体运动的圆锥曲线轨道二体问题：
两质点在相互牛顿引力作用下的运动问题某一惯性坐标系下二体绝对运动方程：
12
阶
1。
两式相加，并积分，得6个质心运动积分表明质心作匀速直线运动（动量守恒）
两式相减（利用质心运动积分），得相对运动方程（6阶）
2。
相对运动方程两边取向量积得：
称为角动量积分（3个）
在上述坐标系下角动量积分称为：
或由此来看看Kepler第二定律：
考察行星在一段时间内扫过的面积：
得到面积变化速率所以Kepler运动近点快，远点慢
3。
对两边取数量积：
积分：
能量积分（1个）
4、为求最后两个积分，由极坐标下的加速度：
则相对运动方程成为：
得：
且这是轨道积分，含两个积分常数，表明二体运动轨道为圆锥曲线，p为半通径,e为偏心率，w为轨道近点角距，且
e=0 圆p=a
0<e<1 椭圆p=a(1-e
2
)
e=1 抛物线p=2q
e>1 双曲线p=a(e
2
-1)
1。
轨道方程和运动方程的之间的区别和联系
轨道方程和运动方程的之间的区别和联系在物理学中，轨道方程和运动方程是两个非常重要的概念。
它们都是描述物体在空间中运动的数学公式，但是它们的用途和表达方式有所不同。
本文将从不同的角度来比较和分析轨道方程和运动方程的区别和联系。
一、定义和概念轨道方程是描述物体在空间中运动轨迹的数学公式，它通常以坐标轴上的函数形式表示。
轨道方程可以表示物体的位置、速度和加速度等信息。
轨道方程可以用来计算物体在空间中的运动状态，例如物体的位置、速度和加速度等。
运动方程是描述物体在空间中运动的数学公式，它通常以时间函数的形式表示。
运动方程可以表示物体的运动状态，例如物体的位移、速度和加速度等。
运动方程可以用来计算物体在某一时刻的运动状态，例如物体的位置、速度和加速度等。
二、表达方式和形式轨道方程通常以坐标轴上的函数形式表示，例如直角坐标系、极坐标系和球坐标系等。
轨道方程可以表示物体在空间中的运动状态，例如物体的位置、速度和加速度等。
轨道方程的表达方式和形式与坐标系的选择和物体的运动状态有关。
运动方程通常以时间函数的形式表示，例如位移、速度和加速度等。
运动方程可以表示物体在某一时刻的运动状态，例如物体的位置、速度和加速度等。
运动方程的表达方式和形式与物体的运动状态有关，例如匀速直线运动、自由落体运动和圆周运动等。
三、应用范围和适用条件轨道方程适用于描述物体在空间中的运动状态，例如物体的位置、速度和加速度等。
轨道方程的应用范围广泛，例如天体运动、航天器轨道设计和机器人运动规划等。
轨道方程的适用条件是物体在空间中的运动是连续的、平稳的和可预测的。
运动方程适用于描述物体在某一时刻的运动状态，例如物体的位置、速度和加速度等。
运动方程的应用范围也很广泛，例如机械运动、电子运动和光学运动等。
运动方程的适用条件是物体的运动是连续的、平稳的和可测量的。
四、数学方法和技巧轨道方程的求解方法和技巧主要包括微积分、向量分析和数值计算等。
轨道方程的求解过程需要考虑物体的运动状态、坐标系的选择和数值精度等。
轨道方程和运动方程的之间的区别和联系
轨道方程和运动方程的之间的区别和联系轨道方程和运动方程是物理学中两个重要的概念，它们描述了质点在空间中的运动状态。
轨道方程主要用于确定质点在平面或三维空间中的轨迹形状，而运动方程则描述了质点在时间上的变化规律。
这两个概念之间存在着密切的联系和区别。
具体来说，轨道方程可以表示为一组关于坐标系参数（如极角、离心率等）的函数式子，通过解析几何方法求出。
例如，在二维平面直角坐标系下，一个圆形轨道可以用x²+y²=r²表示；而在极坐标系下，则可由r=a(1-e²)/(1-e*cosθ)得到一个椭圆形轨道。
相比之下，运动方程则涉及到时间因素，并且通常采用微分或积分等数学工具来表达。
例如，在匀速直线运动中，物体位置与时间t之间呈现线性关系x=vt+b；而加速度a对位移s随时间t变化所产生作用时，则可应用牛顿第二定律F=ma推导出v=v0+at以及s=s0+v0*t+(1/2)*a*t^2等基本公式。
总体上看，尽管轨道和运动都反映了同一物理实验结果——即质点在空间内所处位置随着时间发生变化——但它们从不同层次、不同视角去观察问题，并各自有其适合使用场景和特殊意义。
二体问题资料课件
03
二体问题的解析解法
微分方程的求解
建立二体问题微分方程
根据牛顿第二定律和万有引力定律，建立二体 问题的微分方程。
求解微分方程
通过解析方法或数值方法求解微分方程，得到 物体的运动轨迹和速度。
验证解的正确性
通过将解代入原微分方程进行验证，确保解的正确性。
椭圆轨道和双曲轨道
椭圆轨道
当两个物体之间的距离足 够远时，它们的运动轨迹 近似为椭圆。
二体问题资料课件
目录
• 二体问题简介 • 二体问题的数学模型 • 二体问题的解析解法 • 二体问题的近似解法 • 二体问题的实际应用 • 二体问题的发展前景
01
二体问题简介
二体问题的定义
二体问题是指两个质点在万有引力作用下的运动 01 规律问题。
它描述了两个物体在相互吸引的力（如地球和月 02 亮）作用下，如何运动的问题。
运动方程的建立
总结词
根据牛顿第二定律和万有引力定律建立的描述天体运动的方程
详细描述
在二体问题中，根据牛顿第二定律和万有引力定律，可以建立描述两个天体之间相对位置和相对运动的运动方程 。这些方程通常是非线性的微分方程，用于求解天体的轨道和运动规律。通过对方程进行数值积分，可以得到天 体的精确运动轨迹。
详细描述
牛顿第二定律指出，物体受到的合外力等于其质量与加速度的乘积，即F=ma。它揭示了力、质 量和加速度之间的联系，是描述物体运动状态变化规律的定律。在二体问题中，牛顿第二定律 用于分析两个天体之间的相互作用力和运动状态变化。
万有引力定律
总结词
描述任意两个质点之间引力作用的定律
详细描述
万有引力定律指出，任意两个质点之间都存在引力作用，其大小与两质点质量的 乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比，即F=G*m1*m2/r^2。在二体问 题中，万有引力定律用于计算两个天体之间的引力，是天体运动分析的基础。
力学第五章两体问题及其应用
§5.2 粒子散射（半定量） ...................................................................................................................................................................................................................... 10 §5.3 万有引力定律 .................................................................................................................................................................................................................................... 13 一、 二、 三、 四、 五、 六、 1. [1] [2] [3] 开普勒定律（请自己复习） .............................................................................................................................................................................................. 13 万有引力定律 ...................................................................................................................................................................................................................... 13 惯性质量与引力质量 .......................................................................................................................................................................................................... 16 引力常量的测量（请阅读参考书） .................................................................................................................................................................................. 17 万有引力势能 ...................................................................................................................................................................................................................... 18 万有引力定律的应用 .......................................................................................................................................................................................................... 19 人造地球卫星 ...................................................................................................................................................................................................................... 19 Mobile Satellite Communication System by the Geostationary Satellite............................................................................................................................. 29 Mobile Satellite Communication System by the Quasi‐Zenith Satellite ............................................................................................................................... 29 Mobile Satellite Communication System by the Non‐Geostationary Satellite ..................................................................................................................... 30
二体运动方程
二体运动方程
这是一篇关于二体运动方程的文章。
二体运动方程是用来描述两个物体之间的动力学运动情况的方程，是物理学的重要内容。
它能够推导出两个物体之间的动态关系，从而可以进行系统分析，包括物理现象的分析，推断结果和对物体发生的变化的预测。
二体运动方程的基本形式是，
d^2U/dt^2 = F/m
其中U是两个物体之间的距离，t是时间，F是力，m是物体的质量。
这里的F是由物体之间的引力和斥力组成的，引力由物体之间的质量决定，斥力是物体之间的碰撞而产生的，大小由物体的速度和形状决定。
由于物体之间的位置和力是复杂的，因此在解决二体运动方程的时候，一般使用数值方法，求解这个方程所代表的物理系统的稳定性。
常用的算法有Runge-Kutta法、Verlet法和带谐振子流体法等。
通过上面的介绍，可以看出二体运动方程是一个重要的动力学方程，可以用来描述两个物体之间的动态关系，为系统分析、分析物理现象、推断结果和预测物体变化提供基础。
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