数列典型例题(含答案)

《2.3 等差数列的前n项和》测试题

一、选择题

1.(2008陕西卷)已知是等差数列，，，则该数列前10项和

等于( )

A.64

B.100

C.110 D .120

考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式及其基本运算.

答案：B

解析：设的公差为. ∵，，∴两式相减，得，.∴，.

2.(2011全国大纲理)设为等差数列的前项和，若，公差，

，则( )

A.8

B.7

C.6

D.5

考查目的：考查等差数列通项公式的应用、前项和的概念.

答案：D

解析：由得，，即，将，

代入，解得.

3.(2012浙江理)设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是( )

A.若，则数列有最大项

B.若数列有最大项，则

C.若数列是递增数列，则对任意，均有

D.若对任意，均有，则数列是递增数列

考查目的：考查等差数列的前项和公式及其性质.

答案：C

解析：根据等差数列的前项和公式，可得，因为，所以其图像表示的一群孤立的点分布在一条抛物线上. 当时，该抛物线开口向下，所以这群孤立的点中一定有最高点，即数列有最大项；反之也成立，故选项A、B的两个命题是正确的. 选项C的命题是错误的，举出反例：等差数列－1，1，3，5，7，…满足数列是

递增数列，但．对于选项D的命题，由，得，

因为此式对任意都成立，当时，有；若，则，与矛盾，所以一定有，这就证明了选项D的命题为真.

二、填空题

4.(2011湖南理)设是等差数列的前项和，且，，则

.

考查目的：考查等差数列的性质及基本运算．

答案：81.

解析：设的公差为. 由，，得，. ∴，故.

5.(2008湖北理)已知函数，等差数列的公差为. 若

，则

.

考查目的：考查等差数列的通项公式、前项和公式以及对数的运算性质，考查运算求解能力.

答案：.

解析：∵是公差为的等差数列，∴，∴，∴，∴

.

6.(2011广东理)等差数列前9项的和等于前4项的和. 若，，则

____．

考查目的：考查等差数列的性质及基本运算.

答案：10.

解析：设等差数列前项和为. ∵，∴；∵

，∴. ∴，故.

三、解答题

7.设等差数列的前项和为，且，求：

⑴的通项公式及前项和；

⑵．

考查目的：考查等差数列通项公式、前项和的基本应用，考查分析问题解决问题的能力.

答案：⑴；.⑵

解析：设等差数列的公差为，依题意，得，解得.

⑴；

⑵由，得.

当时，．

当时，

，

∴

8.(2010山东理)已知等差数列满足：，，的前项和为．

⑴求及；

⑵令，求数列的前项和.

考查目的：考查等差数列的通项公式与前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法以及运算求解能力.

答案：⑴，；⑵.

解析：⑴设等差数列的公差为，因为，，所以有

，解得，，所以，.

⑵由⑴知，所以，所以

，即数列的前项和.

一、选择题

1.(2009广东文)已知等比数列的公比为正数，且，，则

( ).

A. B. C.

D.2

考查目的：考查等比数列通项公式的基本应用.

答案：B

解析：设公比为，由已知得，得，又因为等比数列

的公比为正数，所以，故.

2.(2007天津理)设等差数列的公差，．若是与的等比中项，则( ).

A.2

B.4

C.6

D.8

考查目的：考查等差数列、等比数列的概念与通项公式、等比中项的概念等基础知识及基本运算能力.

答案：B

解析：∵，∴；又∵是与的等比中项，∴，

即；∵，∴，解得，或(舍去).

3.(2010江西理数)等比数列中，，，函数

，则( )

A. B. C.

D.

考查目的：多项式函数的导数公式、等比数列的性质等基础知识，考查学生的创新意识，综合与灵活地应用所学数学知识、思想和方法解决问题的能力.

答案：C.

解析：∵是多项式函数，∴的常数项的一次项系数，∴.

二、填空题

4.(2007重庆理)设为公比的等比数列，若和是方程

的两根，则__________.

考查目的：考查一元二次方程、等比数列的概念等基础知识，考查分析问题解决问题的能力．

答案：18.

解析：根据题意，得，，∴，∴.

5.(2009江苏卷)设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则 .

考查目的：考查等比数列的概念、等价转化思想和分析推理能力.

答案：.

解析：根据题意可知，有连续四项在集合中，因为

是等比数列，且公比满足，所以这四项只能依次是，所以公比，.

6.(2012辽宁理)已知等比数列为递增数列，且，，则数列的通项公式______________.

考查目的：考查等比数列的通项公式及方程思想和逻辑推理能力.

答案：.

解析：∵，∴，得，∴；又∵，∴，∴，解得或(舍去)，∴.

三、解答题

7.已知数列的首项，关于的二次方程(，且

)都有实数根，且满足.

⑴求证：是等比数列；

⑵求的通项公式.

考查目的：考查等比数列的概念、通项公式、一元二次方程的根与系数的关系等基础知识，考查综合运用知识分析问题解决问题的能力.

答案：⑴略；⑵．

解析：⑴由题设可得，，(，且)；又由

，得. 所以，即()，化为(，且)，又，所以是首项为，公比为的等比数列.

⑵由⑴的结论，得，所以的通项公式为．