第七章 习题解答

z∈D
2 2
函数. 证明（反证法）倘若 f ( z ) 在区域 D 内不恒为常数，则由保域性定理得， f ( D ) 必为区 域。又 f ( z0 ) ∈ f ( D) ，从而存在点 f ( z0 ) 的邻域 G ，使得 G ⊂ f ( D) ，显然，在 G 内必有 一点 w0 ，满足 w0 = f ( a) （ a ∈ D ） ，且 w0 = f (a ) > f ( z0 ) ， 这与题设（ f ( z) 在点
所以 w = e 在平面上不含满足上述条件的点的区域内一定是单叶的，从而它在平面上不含 满足上述条件的点的区域内是保形的，但在整个平面上不是保形的。
z
8. 利用解析函数的保域性定理（定理 7.1 ）证明： 设 f ( z ) 在区域 D 内解析，若 f ( z ) 在 D 内满足下列条件之一： （ 1） Re f ( z ) 为实常数； （ 2） Im f ( z ) 为实常数； （ 3） f ( z) 为实常数； （ 4）存在实常数 α , β , γ （ α + β ≠ 0 ） ，使得 α Re f ( z ) + β Im f ( z) = γ . 则 f ( z ) 在区域 D 内必为常函数. 证明 由题设 f (D ) 或者为直线或者为直线， 或者为圆周， 显然它们都不是区域， 若 f ( z) 在区域 D 内不是常函数，根据保域性定理， f ( D ) 必为区域，这显然是矛盾的，故 f ( z ) 在 区域 D 内必为常函数。 9. 利用解析函数的保域性定理证明： 设 f ( z ) 在区域 D 内解析， z0 ∈ D ，若 f ( z0 ) = max f ( z) ，则 f ( z ) 在区域 D 内为常
∆l ∗ = ∫ f ′( z ) dz ；
l
（ 2） D 的面积为
∗
∆D∗ = ∫∫
（ 3）若 f ( z ) 还满足 f ( z) ≤ 1 ，则
D
f ′( z) dxdy ；
2
∫∫
D
f ′( z) dxdy ≤ π .
2
证明 记 w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x , y ) ，
2 2 2C1
和直线族 v = u tan C2 .
证明 令 w = u + iv ，因为正交的直线族
Re z = C1 和 Im z = C2 ，
在变换 w = e z 下的象曲线的方程分别为
u + iv = e z = e (C1 +i Im z ) = e C1 ⋅ e i Im z 和 u + iv = e z = e (Re z + iC2 ) = e Re z ⋅ e iC2 ，
分析中重积分的变量替换公式，并注意到
∗
∂ (u , v ) u ′ x = ′ ∂ ( x , y ) vx
有
u′ y ′ vy
C . R.条件
=
u′ x v′ x
− v′ 2 2 x 2 ′ 2 ′ ′ = f ′(z ) = (u ′ x ) + (vx ) = u x + iv x ′ ux
∆D ∗ = ∫∫ dudv = ∫∫
2 2
1 z + 2， z = i ； 2
arg f ′(2i ) = arg 4i =
又当 z <
π 。 2
1 1 时， f ′( z) = 2 z < 1；当 z > 时， f ′( z) = 2 z > 1 。所以， 2 2
f ( z) = z 2 ，
将 z 平面上 z <
1 1 的部分缩小；而将 z > 的部分放大。 2 2 1 （ 2）因为 f ′( z ) = < 1，所以，它在 z = i 处的旋转角为 0 ，并将整个 z 平面缩小。 2
′ + iv ′ ， u′ ′ ， u′ ′ ， u′ ′ ′ ′ ， f ′( z ) = u x x x = vy y = − vx x u y + v xv y = 0
所以，
∆l ∗ = ∫ ∗ ds ∗ = ∫
l
β α
( ) ( )
ut ′
y
2
2
+ vt ′ dt
2
2
=∫ =∫
β α β α
12. 分式线性变换可分解成哪四种简单变换的复合： w = e z 、 w = r ⋅ z 、 w = z + h 、 w = 其中 w = eiθ z 、 w = r ⋅ z 、 w = z + h 是相似变换并可复合成整线性变换， w = 换.
iθ
1 ， z
1 是反演变 z
13. 整线性变换可分解成哪三种简单变换的复合： w = e z （旋转变换） 、 w = r ⋅ z （伸缩 变换） 、 w = z + h （平移变换）. 14. 反演变换可分解成哪两种对称变换的复合 w = （关于实轴的对称变换）. 15. 求下列分式线性变换的不动点： （ 1） w =
3. 若 f ′( z 0 ) ≠ 0 ，则 arg f ′( z0 ) 的几何意义是
w = f ( z) 在点 z0 的旋转角
.
；
f ′( z0 ) 的几何意义是
w = f ( z ) 在点 z0 的伸缩率
4. 利用解析函数的保角性证明：变换 w = e z 将互相正交的直线族 Re z = C1 和 Im z = C 2 依 次变为互相正交的圆周族 u + v = e
7. 讨论函数 w = e z 的保角性和保形性. 解 因为 w = e 在整个平面上是解析的，且 (e )′ = e ≠ 0 ，所以，它在整个平面上的每 一点处都是保形的。又 e z1 = e z2 的充要条件是
z
z z
Re z1 = Re z 2 且 Im z1 − Im z2 = 2 kπ （ k ∈ ℤ ） ，
iθ
1 （关于单位圆周的对称变换） 、w= z z
z +1 4 z −1 ； （2） w = ； （3） w = 2 z + 1 . z z+2
解（ 1）令 z = （ 2）令 z =
1± 5 z +1 2 ，即 z − z − 1 = 0 ，解得 z = ，即为所求的不动点。 z 2
4 z −1 2 ，即 z − 2 z + 1 = 0 ，解得 z = 1 为二重根，即为所求的二重不动点。 z+2 （ 3）显然 ∞ 为一个不动点，令 z = 2 z + 1 ，解得 z = −1 ，即为所求的有限不动点。
2
2
2
d t.
又由曲线积分的参数方程计算公式，
∫
所以，
l
f ′( z ) dz = ∫ f ′( z ) ds = ∫
l
β α
f ′( z )
(ϕ ′(t ) ) + (ψ ′(t ) )
2
dt ，
∆l ∗ = ∫ f ′( z ) dz 。
l
（ 2）由题设，变量替换
⎧u = u ( x, y ) ⎨ ⎩ v = v( x, y ) ′ + iv ′ 将 z 平面上可求面积的区域 D 保形映射成 w 平面上的区域 D ， 且 f ′( z ) = u x 由数学 x．
D∗ D
∗
∂ (u , v ) 2 dxdy = ∫∫ f ′( z ) dxdy ． ∂( x, y ) D
（ 3）由题设， D ⊂ w w < 1 ，所以，由（2） ，
{
}
∫∫
D
f ′( z ) dxdy = ∆D ∗ ≤ 12 π = π 。
2
11. 据理说明下面哪种说法是正确的：
az + b 的变换一定是分式线性变换； cz + d （ 2）分式线性变换必将 z 平面一一地变成 w 平面；
5. 据理说明下列说法是否正确： （1）区域内的解析函数一定具有（整体）保形性或者（局部）保形性； （ 2）区域内具有（整体）保形性的变换一定在区域内处处保形，即处处具有（局部） 保形性； （ 3）区域内处处保形的变换一定在区域内（整体）保形； （ 4）区域内单叶解析的函数在区域内一定是保形的 . 解（ 2） （4）这两种说法是正确的， （ 1） （3）这两种说法不正确，这是因为函数在区域 内（整体）保形，除要求函数在区域内局部保形外，还定点的任意两条有向光滑曲线在该点的夹角，在变换 下，既保持大小、又保持方向．保形变换满足的两个条件是：函数在区域内的每一点都是保 形的、函数在区域内是一一函数。
( u′ϕ ′(t ) + u′ψ ′(t) ) + ( v′ϕ ′( t) + v′ψ ′( t) ) d t
x x y
2 2 2 2 ⎡ (u ′ + v′ ⎤ ⎡ ϕ ′(t ) ) + (ψ ′( t) ) ⎤ d t = ∫ f ′( z) ⎣ x ) ( x ) ⎦ ⎣( ⎦ α
β
(ϕ ′( t) ) + (ψ ′( t) )
（ 3）因为 f ′( z ) = e ， f ′(1 + i) = e
z
1+ i
= e ⋅ ei ， arg f ′(1 + i ) = arg e ⋅ ei = 1，所以，它
在 z = 1 + i 处的旋转角为 1 。又当 e z = e Re z < 1 ，即 Re z < 0 时，
f ′( z) < 1；
当 e z = eRe z > 1 ，即 Re z > 0 时，
f ′( z) > 1 ，
所以，它将左半平面缩小，将右半平面放大。 2. 据理说明下面哪种说法是正确的： （ 1）区域内的任何解析函数都具有保域性； （ 2）区域内的任何不恒为常数的解析函数都具有保域性； （ 3）区域内的任何单叶解析的函数都具有保域性； （ 4）区域内具有保域性的解析函数必为单叶解析函数 . 解（2） （3）是正确的， （1） （4）不正确。这是因为具有保域性的解析函数必须非常数， 但不一定单叶。