阶跃信号与冲激信号
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1 a
（3）尺度变换性质
(t )
（4）与阶跃信号的关系
t
δ ( τ )dτ u(t )
d dt
u (t ) (t )
df (t )
f (t )
1
dt
1
(1)
1
0
1
2
t
1
0
1
2
t
(a) 1
(-2)
信号与系统
三．单位冲激信号
例：利用冲激函数的性质求下列积分
(1)
(t ) sin( t )dt
(2) (t ) 在 t 0 处为无穷大；
(3) 在包含 (t ) 出现的位置的任意区间范围内面积为 1。
0
0
(t )dt (t )dt 1
信号与系统
三．单位冲激信号
(t t 0 )
(1)
延时的单位冲激信号
(t t0 )dt 1 (t t0 ) (t t0 ) 0
d dt
[cos(t
4
)u (t ) sin(t
4
) (t )]
dt
d dt
[cos(t
4
)u t sin(
4
) (t )]
sin( 2 2
4
) '(t ) cos(t 2 2
4
) (t ) sin(t
4
)u (t )
'(t )
(t ) sin(t
4
)u (t )
信号与系统
冲激函数的性质总结
（4）微积分性质
（1）抽样性
f (t ) (t ) f (0) (t )
f (t ) (t ) d t f (0)
(t )
d u (t ) dt
（2）奇偶性
(t ) (t )
4
1
(2)
3
e
2 t
0
(t 2k )dt
k
解：
(t ) sin( t )dt sin( t ) t 1 sin
4
4
1
4
2 2
3
e
2 t
0
k
(t 2k )dt e
0
3
2 t
(t ) (t 2) dt
信号与系统
§1.4 阶跃信号与冲激信号
信号与系统
一．斜变信号
R(t )
(t 0) (t 0)
斜变信号的定义为
0 R(t ) at
a
0
1
t
1
Ramp (t )
如果，即信号的增长变化率为1，
则称作单位斜变信号
0
1
单位斜变信号
t
R (t )
顶部截平的斜变信号
0 K R (t ) t K (t 0) (t ) (t )
f (t )
0
a
b
(a)
t
0
t0
(b )
t
0 (c )
t1
t
信号与系统
三．单位冲激信号
(t )
(1)
单位冲激信号的狄拉克(Dirac)定义
dt (t ) 1 (t ) 0 (t 0)
0
单位冲激信号
t
从下面三点来理解冲激信号
(1) (t ) 除了 t 0之外取值处处为零；
k
k
Sa( kt )
信号与系统
三．单位冲激信号
冲激信号的性质: （1）冲激信号是偶函数 (t ) (t ) （2）筛选性质
f (t )δ (t ) f (0) (t )
f (t )δ (t t0 ) f (t0 )δ(t t0 )
推导：
f (t )δ (t )dt
e
2 t t 2
e
2 t t 0
1 e
4
信号与系统
三．单位冲激信号
例：利用冲激函数的性质求下列积分
(1)
3
e
2 t
0
k
t 2k dt
(2)
源自文库
2 (t )
sin( t ) t
dt
解：
3
e
2 t
0
k
(t 2k )dt e
t t0
2
0
2
t
f (t ) f (t )[u (t a) u (t b)]
门函数
f (t ) f (t )u (t t0 )
f (t ) f (t )[1 u (t t1 )] f (t )u (t t1 )
f (t )
t t1
f (t )
f (0) (t )dt f (0)
(t )dt f (0)
f (t )δ (t t0 )dt
f (t0 )δ (t t0 )dt f (t0 )
δ (t t0 )dt f (t0 )
信号与系统
三．单位冲激信号
(at )
0
t0
延时的冲激信号
t
冲激信号可以由满足下面条件的一些脉冲信号极限得到
脉冲信号是偶函数； 脉冲宽度逐渐变小，直至无穷小； 脉冲高度逐渐变大，直至无穷大； 脉冲面积一直保持为 1。
信号与系统
三．单位冲激信号
1 (t ) lim u (t ) u (t ) 0 2 2
1
延时的单位阶跃信号
0 u (t t0 ) 1
t t0 t t0
0
t0
延时的阶跃信号
t
信号与系统
二.单位阶跃信号
G (t )
门函数的定义
G (t ) u (t
2
) u (t
2
1
)
用单位阶跃函数来表达分段区间函数
a t b
0
3
2 t
t 2 dt e
2 t t 2
e
4
2 (t )
sin( t ) t
dt lim 2
t 0
sin( t ) t
2
信号与系统
三．单位冲激信号
d
2 2
例：化简函数 解：
d
2 2
[sin(t
4
)u (t )]
dt
[sin(t
4
)u (t )]
（3）比例性
t
( ) d u (t )
（5）卷积性质
(at )
1 a
(t )
f (t ) (t ) f (t )
1 t (t ) lim (1 ) u (t ) u (t ) 0
矩形脉冲的极限
三角形脉冲的极限
双边指数脉冲的极限
1 t (t ) lim e 0 2
抽样函数的极限
(t ) lim
K
0
截顶的斜变信号
t
信号与系统
二．单位阶跃信号
u (t )
1
单位阶跃信号的定义为
0 u (t ) 1
t 0 t 0
0
单位阶跃信号
t
阶跃信号与斜变信号的关系
d dt Ramp (t ) u (t ),
t
u ( )d Ramp (t )
u (t t0 )
（3）尺度变换性质
(t )
（4）与阶跃信号的关系
t
δ ( τ )dτ u(t )
d dt
u (t ) (t )
df (t )
f (t )
1
dt
1
(1)
1
0
1
2
t
1
0
1
2
t
(a) 1
(-2)
信号与系统
三．单位冲激信号
例：利用冲激函数的性质求下列积分
(1)
(t ) sin( t )dt
(2) (t ) 在 t 0 处为无穷大；
(3) 在包含 (t ) 出现的位置的任意区间范围内面积为 1。
0
0
(t )dt (t )dt 1
信号与系统
三．单位冲激信号
(t t 0 )
(1)
延时的单位冲激信号
(t t0 )dt 1 (t t0 ) (t t0 ) 0
d dt
[cos(t
4
)u (t ) sin(t
4
) (t )]
dt
d dt
[cos(t
4
)u t sin(
4
) (t )]
sin( 2 2
4
) '(t ) cos(t 2 2
4
) (t ) sin(t
4
)u (t )
'(t )
(t ) sin(t
4
)u (t )
信号与系统
冲激函数的性质总结
（4）微积分性质
（1）抽样性
f (t ) (t ) f (0) (t )
f (t ) (t ) d t f (0)
(t )
d u (t ) dt
（2）奇偶性
(t ) (t )
4
1
(2)
3
e
2 t
0
(t 2k )dt
k
解：
(t ) sin( t )dt sin( t ) t 1 sin
4
4
1
4
2 2
3
e
2 t
0
k
(t 2k )dt e
0
3
2 t
(t ) (t 2) dt
信号与系统
§1.4 阶跃信号与冲激信号
信号与系统
一．斜变信号
R(t )
(t 0) (t 0)
斜变信号的定义为
0 R(t ) at
a
0
1
t
1
Ramp (t )
如果，即信号的增长变化率为1，
则称作单位斜变信号
0
1
单位斜变信号
t
R (t )
顶部截平的斜变信号
0 K R (t ) t K (t 0) (t ) (t )
f (t )
0
a
b
(a)
t
0
t0
(b )
t
0 (c )
t1
t
信号与系统
三．单位冲激信号
(t )
(1)
单位冲激信号的狄拉克(Dirac)定义
dt (t ) 1 (t ) 0 (t 0)
0
单位冲激信号
t
从下面三点来理解冲激信号
(1) (t ) 除了 t 0之外取值处处为零；
k
k
Sa( kt )
信号与系统
三．单位冲激信号
冲激信号的性质: （1）冲激信号是偶函数 (t ) (t ) （2）筛选性质
f (t )δ (t ) f (0) (t )
f (t )δ (t t0 ) f (t0 )δ(t t0 )
推导：
f (t )δ (t )dt
e
2 t t 2
e
2 t t 0
1 e
4
信号与系统
三．单位冲激信号
例：利用冲激函数的性质求下列积分
(1)
3
e
2 t
0
k
t 2k dt
(2)
源自文库
2 (t )
sin( t ) t
dt
解：
3
e
2 t
0
k
(t 2k )dt e
t t0
2
0
2
t
f (t ) f (t )[u (t a) u (t b)]
门函数
f (t ) f (t )u (t t0 )
f (t ) f (t )[1 u (t t1 )] f (t )u (t t1 )
f (t )
t t1
f (t )
f (0) (t )dt f (0)
(t )dt f (0)
f (t )δ (t t0 )dt
f (t0 )δ (t t0 )dt f (t0 )
δ (t t0 )dt f (t0 )
信号与系统
三．单位冲激信号
(at )
0
t0
延时的冲激信号
t
冲激信号可以由满足下面条件的一些脉冲信号极限得到
脉冲信号是偶函数； 脉冲宽度逐渐变小，直至无穷小； 脉冲高度逐渐变大，直至无穷大； 脉冲面积一直保持为 1。
信号与系统
三．单位冲激信号
1 (t ) lim u (t ) u (t ) 0 2 2
1
延时的单位阶跃信号
0 u (t t0 ) 1
t t0 t t0
0
t0
延时的阶跃信号
t
信号与系统
二.单位阶跃信号
G (t )
门函数的定义
G (t ) u (t
2
) u (t
2
1
)
用单位阶跃函数来表达分段区间函数
a t b
0
3
2 t
t 2 dt e
2 t t 2
e
4
2 (t )
sin( t ) t
dt lim 2
t 0
sin( t ) t
2
信号与系统
三．单位冲激信号
d
2 2
例：化简函数 解：
d
2 2
[sin(t
4
)u (t )]
dt
[sin(t
4
)u (t )]
（3）比例性
t
( ) d u (t )
（5）卷积性质
(at )
1 a
(t )
f (t ) (t ) f (t )
1 t (t ) lim (1 ) u (t ) u (t ) 0
矩形脉冲的极限
三角形脉冲的极限
双边指数脉冲的极限
1 t (t ) lim e 0 2
抽样函数的极限
(t ) lim
K
0
截顶的斜变信号
t
信号与系统
二．单位阶跃信号
u (t )
1
单位阶跃信号的定义为
0 u (t ) 1
t 0 t 0
0
单位阶跃信号
t
阶跃信号与斜变信号的关系
d dt Ramp (t ) u (t ),
t
u ( )d Ramp (t )
u (t t0 )