方程在几何计算题中的应用专题辅导

初中数学例说代数方程在几何计算题中的应用

几何计算题，是在给定的已知条件下，求某些线段的长度、角的度数、两条线段的比值、图形的面积等等，它的基本问题是求线段的长度和角的大小。怎样利用方程思想去解答几何计算题？我们一般先设要求的线段的长度或角的度数为未知数，设法把其他有关的量用含未知数的代数式表示，然后把它们代入到等量关系中，建立一个代数方程或方程组，最后通过解方程或方程组得到所要求的结果。

一、求线段的长度

例1 如图1，四边形ABCD 是矩形，AD ＝10，DC ＝8，以DF 为折痕把Rt △ADF 折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，求BF 的长。

解析：要求BF 的长，可把它放到Rt △BEF 中去考虑，根据已知条件及观察图形，可以发现Rt △ADF ≌Rt △EDF ，

因此DE ＝AD ＝10， 故,6810DC DE EC 2222=-=-=

,4610BE =-=

在Rt △BEF 中，设BF ＝x ，

则EF ＝AF ＝8－x ，

又BE ＝4，根据勾股定理

,BF BE EF 2

22+= 得方程,x 4)x 8(222+=-

解方程得3x =，即BF 的长为3。

例2 如图2，六边形ABCDEF 由五个相同的正方形组成，正方形的边长为1cm ，过点A 的一条直线和ED 、CD 分别相交于点M 、N ，若这个六边形在直线MN 两侧的部分有相等的面积，则EM 的长度是___________。

解析：设cm y NP ,cm x QM ==，

则由△AQM ∽△NPA ， 得,x

11y = 即1x y =， ①

又由△MND 的面积2cm 25=

得

,5)1y )(1x (=++ 即.51y x x y =+++

将①代入，可得3y x =+。

② 由①与②可知，x 、y 是一元二次方程01t 3t 2=+-的两个根，解此方程得 253t -

=或2

53+， 因为QE QM 0≤<，即1x 0≤<， 所以,253y ,253x +

=-

= 故).cm (215x 1EM -=

-=

二、求角的度数

例3 如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC 和∠ACB 的平分线相交于点D ，∠ADC ＝130°，那么∠CAB 的大小是（ ）

A. 80°

B. 50°

C. 40°

D. 20°

解析：因为要求的是∠CAB 的度数，又已知∠ADC ＝30°，所以选择△ADC 的内角和等于180°为等量关系。

设∠CAB ＝x ，因为DA 是∠BAC 的平分线，

所以∠CAD ＝x 2

1

。 因为AB ＝AC ， 所以∠ACD ＝41

（180°－x ）。 于是可得方程

︒=︒+-︒+180130)x 180(41

x 21

， 解方程得x ＝20°，即∠CAB ＝30°，故选D 。

例4 如图4所示，△ABC 中，∠B ＝∠C ，D 在BC 上，E 在AC 上，∠BAD ＝50°，AE ＝AD ，求∠EDC 的度数。

解析：设∠EDC ＝x °，∠B ＝∠C ＝y °，由AE ＝AD ，

得∠ADE ＝∠AED ＝x ＋y ，

所以∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝x ＋y ＋x ＝2x ＋y 。

又因为∠ADC 是△ADB 的一个外角，

所以∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ＝y ＋50°，

于是得方程50y y x 2+=+，

解方程得x ＝25°。

三、求图形的面积

例5 如图5，△ABC 内三个三角形的面积分别为5，8，10，求四边形AEFD 的面积。

解析：要求的是四边形AEFD 的面积，而已知的是△BEF 、△CDF 、△BCF 的面积，可用分割求和的方法。连接AF ，将四边形AEFD 分割成两个三角形：△AEF 、△ADF 。设y S ,x S ADF AEF ==∆∆，如果能求出x 、y ，则四边形AEFD 的面积可求。因为△ABF 与△ADF 同高，△AEF 和△ACF 同高，所以易得方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,10

58y x ,

810

y x 5 解方程组得12y ,10x ==，所以四边形AEFD 的面积为22。

例6 如图6，一个矩形被分成六个大小不一的正方形，现在只知道中央小正方形的面积是1，求整个矩形的面积。

解析：图中每个小正方形之间多存在着互相依赖关系，我们只要设右下角小正方形的边

长为x ，则其他小正方形的边长多可以用含x 的代数式表示（见图6），考虑图中最大的正方形的边长，

则有1x 23x -=+，解得4x =。

所以矩形的面积

.1431113)

3x 2)(1x 3(S =⨯=++=

例7 如图7，A 、B 、C 三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，AB ＝2km ，BC ＝3km ，在B 村的正北方向有一D 村，测得∠ADC ＝45°，今将△ADC 区域规划为开发区，除其中2km 4的水塘外，均作为建筑及绿化用地，试求此建筑及绿化用地的面积。

解析：注意题目的条件∠ADC ＝45°，如果将Rt △ABD 与Rt △CBD 分别沿AD 、CD 对折，得Rt △AED 与Rt △CFD ，再延长EA 、FC 相交于G 。

显然Rt △AED ≌Rt △ABD ，

Rt △CFD ≌Rt △CBD ，

所以∠E ＝∠F ＝90°，∠EDF ＝2∠ADC ＝90°，ED ＝BD ＝FD ，

即四边形DEGF 是正方形。

设BD ＝x （km ），则

.3x CG ,2x AG ,5AC ,3CB CF ,2AB AE ,x GF GE DF DE -=-========== 在Rt △ACG 中，

有2225)3x ()2x (=-+-，

即06x 5x 2=--，

解得x ＝6或1x -=（不合题意，舍去）。 所以)km (156521

S 2

ACD =⨯⨯=∆， 建筑用地及绿化用地的面积为)km (114152=-。