复变函数第三章习题

2 2 4、设 u( x, y) ln( x y ). 求 v( x, y ) ，使得 f ( z ) u( x, y) iv( x, y) 为
解析函数，且满足 f (1 i) ln 2 。其中 z D （ D 为复平面内的区域）.
5、( 1)
( 2)

C
( x 2 iy )dz ，其中 C 是沿 y x2 由原点到点 z 1 i 的曲线．
（1）从 1 到+1 的直线段 （2）从 1 到+1 的圆心在原点的上半圆周 8、计算下列积分： （1）


4 0
i
e dz
2z
（2）
i sin
i
2
zdz
（3）
0 z sin zdz
1
四、证明题（每题6分，2题共12分）
1、证明：
1 z n e z d zn 2 ( ) n 2 i C n ! n!
域 D 内围绕 z 的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 D 内.
9、
I | z | dz =__________ ， 积 分 路 径 为 单 位 圆
i
i
（ | z | 1）的右半圆.
10、
sin z
z 2
( z )2 2

dz =__________
三、计算题（每题6分，8题共48分）
32 7 1 1、设 f ( z ) d ，其中 C {z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ). C z
2、求
3、求
z 1
e z 1 sin zdz
1 dz . 2 i z 3 ( z 1)( z 4)

z
z dz. 2 (9 z )( z i)
此处 C 是围绕原点的一条简单曲线. 2、设 u x y xy ，验证 u 是调和函数，并求解析函
2 2
数 f ( z ) u iv ，使之 f (i ) 1 i ．

1i
0
[( x y) ix 2 ]dz ，积分路径为自原点沿虚线轴到 i ，再由 i 沿水
平方向向右到 1 i ． 6、计算积分
e dz ，其中 c 为
z c
（1）从 0 到 1 再到1 i 的折线
（2）从 0 到1 i 的直线
7、计算积分
z dz ，其中 c 为
c
4、设函数 f ( z ) 在单连通区域 D 内解析，则 f ( z ) 在 D 内沿任意一条简
单闭曲线 C 的积分

C
f ( z )dz ______．
5、 4 z cos zdz __________________．
0

6、

1i
0
ze z dz ____________________________________．
7 、在 区域 D 内具有二阶连续偏导数并且满足；拉普拉斯方程
（x,y） _________________的二元实函数 称为在 D 内的调和函数.
8、设 f ( z ) 在区域 D 内解析，则在 D 内 f ( z ) 有任意阶导数，且有
f (n) ( z ) ____________________________ (n 1, 2, ), 其中 C 为区
工程数学（复变函数） 第三章复习题
湖南大学数学与计量经济学院
一、判断题（每题2分，5题共10分）
1、 若 f ( z ) 为定义在区域 D 内的解析函数，则其导函数 f ( z ) 也是解析函数. （ 2、 若 f ( z ) 在区域 D 内解析， 则对 D 内任一简单闭曲线 C 都有 f ( z )dz 0 （ .
C
） ）
3、若函数 f ( z ) 是区域 D 内的解析函数，则它在 D 内有任意阶导数.（ 4、当复数 z 0 时，其模为零，辐角也为零.
（ ）.
）.
5、函数 f ( z)= u(x, y) iv(x, y) 在区域 D 内解析的充要条件是 u(x, y), (x, y) 在 D 内
满足柯西-黎曼方程.
(
)
二、填空题（每Байду номын сангаас3分，10题共30分）
dz ______________.（ n 为自然数） 1、 | z z0 | 1 ( z z ) n 0
2、设 C :|
z | 1，则 ( z 1)dz ___ .
C
px
3、设 v e
sin y ，则 p =______________使得 v 为调和函数