相似三角形的基本模型
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2.相似三角形的判定定理
①相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三形形相似．
②相似三角形的判定定理1：________对应相等的两个三角形相似．
③相似三角形的判定定理2：两边对应成比例且_______________________的两个三角形相似．
④相似三角形的判定定理3：_______________________的两个三角形相似．
（2）BE·DC=AB·DE.
例3、已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE
（1）求证：DE•AB=AC•BE；
（2）如果AC2=AD•AB，求证：AE=AC．
例4、如图，已知三角形 中， 是 边上的点， ∽ ， 、 分别对应点 、 .
（1）联结 交 于点 ，求证： ∽ ；
相似三角形的基本模型
1、
①平行补图
例1、如图，在平行四边形 中， 、 分别在 、 上， 交 于点 ，若 ， ，则 的值为__________.
练1、如图，在梯形 中， // ， ，点 为边 上的中点， 交 于点 .
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值
①梅氏图
例2、如图， 是线段 上一点，且 ， 交 于点 ， ，求 的值.
， ，
4.相似三角形中所蕴含的数学思想方法：
方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，图形运动变化思想，图形分解与组合思想，化归思想等．
例1、已知三角形 中， ，联结 、 ，图中有多少对相似三角形？请一一证明.
例2、已知：如图9，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E，求证：
（1）△ACE∽△BDE；
例10、如图，在 中，点 为边 上一点，且 ， ，垂足为点 .过点 作 // ，交边 于点 ，联结 ， .
（1）求证： ∽ ；
（2）如果 ，求证： .
例11、如图，已知在△ 中， ，点 在边 上， ， ， 、 分别是ຫໍສະໝຸດ Baidu足
（1）求证：
（2）联结 ，求证：
例12、如图1， 中， ， ，垂足为D．
（1）求证： ∽ ；
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证： .
例8、如图，已知在△ 中， ，点 为 边的中点，点 在边 上，点 在线段 的延长线上，且 ，点 在线段 上，且 ；
（1）求证： ；
（2）求证： ；
例9、已知，如图，在△ 中，点 、 分别在边 、 上， ， 与 相交于点 ， ；
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（2）联结 ，求证： .
例15、已知，如图， 的顶点 在 的边 上， 与 相交于点 ， ， .
（1）求证： ∽ ；（2）求证： .
⑤直角三角形的判定定理：______________________的两个三角形相似．
3.相似三角形中常见的基本图形
①A字形与反A字型：
（ ）（ ）
②8字形与燕尾型：
（ ）（ ）
③双高型：
∽ ∽ ∽ ；
∽ ； ∽ .
∽ ∽ ；
∽ ∽ .
④母子型：
⑤一线三角型：
∽ ∽
⑥旋转缩放型：
∽ ； ∽
⑦黄金三角形：
（2）如图2，延长DC至点G，联结BG，过点A作 ，垂足为F，AF交CD于点E．求证： ．
例13、如图，已知菱形 ，点 是 的中点， 于点 ，联结 、 、 ， 交 于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）求证： .
例14、如图，已知在锐角 中， 于点 ，点 在边 上，联结 交 于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）延长 、 交于点 ，则图中出现了哪些新的相似三角形，请一一证明.
例5、已知：如图8，在△ 中，点 在边 上，且 ， ．
（1）求证： ；
（2）当 时，求证： ．
例6、已知：如图，梯形 中， ， ， ，点 是腰 上一点，作 ，联结 ，交 于点 .
（1）求证： ∽ ；
（2）如果 ，求 的值.
例7、已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA=DE.如果点D在BC边上，且∠EDC=∠BAD.点 为 与 的交点.
练2、如图，已知在 中， 是 上一点， ， 是 的中点，连接 并延长交 于点 ，那么 ____________.
二、相似三角形的判定
1、
2、
1.相似三角形的定义与特征
相似三角形的定义：如果两个三角形的三个角对应___________，三边对应_________，那么这两个三角形叫做相似三角形．
相似三角形的特征：形状________，但大小不一定__________，全等是相似的特例．
①相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三形形相似．
②相似三角形的判定定理1：________对应相等的两个三角形相似．
③相似三角形的判定定理2：两边对应成比例且_______________________的两个三角形相似．
④相似三角形的判定定理3：_______________________的两个三角形相似．
（2）BE·DC=AB·DE.
例3、已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE
（1）求证：DE•AB=AC•BE；
（2）如果AC2=AD•AB，求证：AE=AC．
例4、如图，已知三角形 中， 是 边上的点， ∽ ， 、 分别对应点 、 .
（1）联结 交 于点 ，求证： ∽ ；
相似三角形的基本模型
1、
①平行补图
例1、如图，在平行四边形 中， 、 分别在 、 上， 交 于点 ，若 ， ，则 的值为__________.
练1、如图，在梯形 中， // ， ，点 为边 上的中点， 交 于点 .
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值
①梅氏图
例2、如图， 是线段 上一点，且 ， 交 于点 ， ，求 的值.
， ，
4.相似三角形中所蕴含的数学思想方法：
方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，图形运动变化思想，图形分解与组合思想，化归思想等．
例1、已知三角形 中， ，联结 、 ，图中有多少对相似三角形？请一一证明.
例2、已知：如图9，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E，求证：
（1）△ACE∽△BDE；
例10、如图，在 中，点 为边 上一点，且 ， ，垂足为点 .过点 作 // ，交边 于点 ，联结 ， .
（1）求证： ∽ ；
（2）如果 ，求证： .
例11、如图，已知在△ 中， ，点 在边 上， ， ， 、 分别是ຫໍສະໝຸດ Baidu足
（1）求证：
（2）联结 ，求证：
例12、如图1， 中， ， ，垂足为D．
（1）求证： ∽ ；
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证： .
例8、如图，已知在△ 中， ，点 为 边的中点，点 在边 上，点 在线段 的延长线上，且 ，点 在线段 上，且 ；
（1）求证： ；
（2）求证： ；
例9、已知，如图，在△ 中，点 、 分别在边 、 上， ， 与 相交于点 ， ；
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（2）联结 ，求证： .
例15、已知，如图， 的顶点 在 的边 上， 与 相交于点 ， ， .
（1）求证： ∽ ；（2）求证： .
⑤直角三角形的判定定理：______________________的两个三角形相似．
3.相似三角形中常见的基本图形
①A字形与反A字型：
（ ）（ ）
②8字形与燕尾型：
（ ）（ ）
③双高型：
∽ ∽ ∽ ；
∽ ； ∽ .
∽ ∽ ；
∽ ∽ .
④母子型：
⑤一线三角型：
∽ ∽
⑥旋转缩放型：
∽ ； ∽
⑦黄金三角形：
（2）如图2，延长DC至点G，联结BG，过点A作 ，垂足为F，AF交CD于点E．求证： ．
例13、如图，已知菱形 ，点 是 的中点， 于点 ，联结 、 、 ， 交 于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）求证： .
例14、如图，已知在锐角 中， 于点 ，点 在边 上，联结 交 于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）延长 、 交于点 ，则图中出现了哪些新的相似三角形，请一一证明.
例5、已知：如图8，在△ 中，点 在边 上，且 ， ．
（1）求证： ；
（2）当 时，求证： ．
例6、已知：如图，梯形 中， ， ， ，点 是腰 上一点，作 ，联结 ，交 于点 .
（1）求证： ∽ ；
（2）如果 ，求 的值.
例7、已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA=DE.如果点D在BC边上，且∠EDC=∠BAD.点 为 与 的交点.
练2、如图，已知在 中， 是 上一点， ， 是 的中点，连接 并延长交 于点 ，那么 ____________.
二、相似三角形的判定
1、
2、
1.相似三角形的定义与特征
相似三角形的定义：如果两个三角形的三个角对应___________，三边对应_________，那么这两个三角形叫做相似三角形．
相似三角形的特征：形状________，但大小不一定__________，全等是相似的特例．