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附录24圆锥曲线的极坐标方程

CHENLI
11
建立如图所示的极坐标系，
则圆锥曲线有统一的极坐标方程
A F
ep
B
x
1ecos
注2：若AB为焦点弦，则
2ep
| AB|1e2co2s
;
1 1 2 | AF| | BF| ep
设 A(1), B(2)
故 | AB | |A| F |B| F 121eecpos1eceops()
叫做极轴；再选定一个长度单位和角度单位及它的
正方向。这样就建立了一个极坐意一点M O
X
用ρ表示线段OM的长度，用θ表示从OX到OM的角度
有序数对(ρ,θ)就叫做M的极坐标
ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角
CHENLI
3
极坐标系的分类
常用极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈R 狭义极坐标系：ρ ≥0 ,θ∈[0，2π) 广义极坐标系： ρ ,θ∈R
4
极坐标与直角坐标的互化
①互化的三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合（2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合（3）两种坐标系的单位长度相同 ②互化方法：
（1）形法：类似于辅助角公式中，用形法求振幅及辅助角
（2）数法：
x2 y2 2
sin
y
x
cos
y
sin
CHENLI
cos
x
tan
y x
5
特殊直线的极坐标方程
图
l
θ0
O
x
像
l
(a,0) Ox
l
(a, )
Ox
l
(a, ) 2
O
x
O
x
l
(a , 3 )

引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题

引入极坐标解决圆锥曲线焦半径问题作者：胡建国来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第10期摘要：在人教A版选修4-4《坐标系与参数方程》中，只介绍了直线、圆的极坐标方程，没有介绍圆锥曲线的极坐标方程.实际上，对于圆锥曲线的焦半径或者焦点弦问题，引入极坐标，会大大简化计算过程. 本文通过几道例题来介绍这种方法以及分析这种方法的优势.关键词：圆锥曲线；焦半径；极坐标系方程高中数学教材通过几个例题，实际上给出了圆锥曲线的统一定义：与一个定点和一条定直线的距离的比为常数e的点的轨迹，当01时，轨迹是双曲线. 我们可以利用这个统一定义，得到圆锥曲线的极坐标方程.以椭圆为例，介绍极坐标方程的推导过程.如图1，以左焦点F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系.设点M（ρ，θ）是椭圆上任意一点，则=e，把左焦点到左准线的距离记为p，则=e，整理得：ρ=，此方程为椭圆的极坐标方程.图1例题1 已知椭圆C：+=1，过点F1（-2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A，B 和D，E，求AB+DE的最小值.解法一：设直线AB的方程为x=ty-2，设点A（x1，y1），B（x2，y1），由x=ty-2，+=1得（t2+2）y2-4ty-4=0，故y1+y2=，y1·y2=，得AB=y1-y2=·=；同理可得DE=，所以AB+DE=+=12≥12·=.当且仅当t2+2=2t2+1，即t=±1时取到“=”号. 另外，当直线AB的方程为y=0时，AB=4，DE=2，此时，AB+DE=6. 综上，由解法二：以F1为极点，沿长轴方向为极轴，建立极坐标系，得到椭圆的极坐标方程为：ρ=.设B（ρ，θ），θ∈[0，2π]，则AB=AF1+BF1=+=，DE=DF1+EF1=+=，所以：AB+DE=+==≥=，即AB+DE的最小值为.对比上述两种解法，我们可以发现，第一种解法不仅要分情况讨论，另外计算量也很大，尤其是求最值的部分需要较好的数学功底；第二种解法过程简洁，不需要分情况讨论，而且求最值的问题转化为三角函数的最值问题.显然，在椭圆的焦点弦问题中，引入极坐标能极大地提高解题效率.例题2 已知C1：y2=4x，C2：+=1，过F（1，0）点作两条互相垂直的直线l1，l2，其中l1与C1相交于A，B，l2与C2相交于C，D，求四边形ACBD面积的取值范围.解：以F为极点，沿椭圆长轴方向为极轴，建立极坐标系. 由椭圆的直角坐标系方程+=1得到椭圆的极坐标方程为ρ=，则CD=CF+DF=+=. 由抛物线的直角坐标系方程y2=4x得到其极坐标方程为ρ=.AB=BF+AF=+=SACBD=AB·CD=··=≥8，所以四边形ACBD面积的取值范围是[8，+∞）.例题3 试证明：过双曲线C：-=1的一个焦点F作两条相互垂直的弦分别交双曲线于AB 和CD，则+=.证明：以右焦点F2为极点，沿实轴方向为极轴，建立极坐标系，得到双曲线的极坐标方程为：ρ=，记t=-a，则AB=+=，CD=+=+=，+=+===，所以，命题得证.。

极坐标圆锥曲线问题

极坐标秒杀圆锥曲线问题一、适用题型二、基本理论：（一）极坐标系、在平面内取一定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），如图对于平面内任意一点M，用ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。

极坐标为ρ,θ的点M，可表示为M (,)ρθ。

（二）圆锥曲线的统一极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线L)的距离的比等于常数e 的点的轨迹。

建立以焦点F 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系，其统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（成为标准极坐标方程）。

（1）当0＜e＜1时，方程表示椭圆；定点F 是椭圆的左焦点，定直线L 是它的左准线。

（2）e=1时，方程表示开口向右的抛物线.（3）e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点F 是它的右焦点，定直线L 是它的右准线。

（若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线）其中：（i）ρ是动点到极点的距离（ρ＞0），θ表示极径与极轴正方向的夹角。

（ii）e 表示圆锥曲线的离心率，c e a=。

（iii）p 表示焦点到准线的距离。

由焦点与准线的不同位置关系，从而建立不同的极坐标，利用圆锥曲线定义可得其统一极坐标方程为：推广1：1+cos epe ρθ=（1）0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆（2）e=1时时，方程表示开口向左的抛物线（3）e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线推广2：1-sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向上的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线推广3：1+sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向下的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（三）常用性质（1）对于圆锥曲线的标准极坐标方程θρcos 1e ep-=，则与之对应的直角坐标方程为：()22221x c y a b++=，当（0<e<1时）；()22221x c y a b++=，当（e>1时,R ρ∈）；22()y p x c =+(当e=1时)（2）记圆锥曲线的统一方程1-sin epe ρθ=，有公式1：2(0)()a ρρπ=+公式2：2(0)()c ρρπ=-公式3：22(0)()b ρρπ= 其中2a 表示椭圆长轴与双曲线实轴长，2b 表示椭圆短轴与双曲线虚轴长，2c 表示焦距。

专题13极坐标秒解圆锥曲线微点2极坐标秒解圆锥曲线综合训练

专题13 极坐标秒解圆锥曲线微点2 极坐标秒
解圆锥曲线综合训练
12．如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使∠
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点）长线与椭圆交于点C．
①当直线AB的斜率存在时，求证：直线
②求△ABC面积的最大值，并求此时直线
参考答案：
（2）设椭圆的左焦点(13,0F -即12MP MF MP MF +=-+()()
22
1310117PF =
--+-=
（3）椭圆的右准线25
3x =
，设椭圆上的点35MF d =， 5||||3
MP MF +=离，即
2522
133
-=
所以5||||3MP MF +的最小值是223所以5
||||3MP MF +的值最小时点M 【点睛】本题考查椭圆内的最值问题，重点考查转化与变形，数形结合分析问题，属于中档题型.
）
记椭圆的右顶点为A ，并设i i AFP α∠=（i =1，假设1203απ
≤≤
，且2123ααπ=+，3143
ααπ=+又设点i P 在l 上的射影为i Q ，因椭圆的离心率e 2cos i i i i i a FP PQ e c FP e c α⎛⎫==-- ⎪⎝⎭ 1
(92FP =
-
答案第17页，共17页。

(完整word版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)

椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。

双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB=。

高考之圆锥曲线篇】极坐标

大招四极坐标秒解圆锥曲线3（原点篇）在椭圆22
2210,0x y a b a b
+=>>（）中，O 是坐标原点，A 、B 是椭圆上两点，OA 、OB 的长度可以用极坐标表示，部分题目可以达到简化计算的目的。

令cos ,sin x y ρθρθ==，则222221
cos sin a b θθρ=+。

例1、设椭圆的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点. （1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线
的距离为定值，并求弦长度的最小值. 例2已知椭圆
的长轴为4,且过点 (1)求椭圆C 的方程;
(2)设点O 为原点,若点P 在曲线C 上,点Q 在直线
上,且,试判断直线PQ 与圆的位置关系,并证明你的结论.
x 2y 23左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝23，设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是椭圆上不同两点，且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为－14
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)求证：x 21＋x 22为定值，并求该定值．。

圆锥曲线的极坐标方程

圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的统一定义：一动点P 到一定点O 的距离与到一定直线L 的距离之比为一定值常数e ，则点P 的轨迹为圆锥曲线。

今以一定点O 为极点，使极轴垂直于定点的直线L ，交点为H ，L PD ⊥.设p HO =，又设),(θρP 为轨迹上任意一点，即θρcos +=HO DP ，从而θρρcos +==p DPOP e ，即θρcos 1e ep -=椭圆（双曲线）的焦参数cb p 2=（极和极线的距离）椭圆、双曲线、抛物线的统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（如右图）其中02>=cb p 是定点F 到定直线的距离，当10<<e 时，方程表示椭圆；当1>e 时，方程表示双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线右支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。

当1=e 时，方程表示开口向右的抛物线。

引论:（1）若θρcos 1e ep+=当10<<e 时，方程表示极点在右焦点上的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在左焦点的双曲线，若0>ρ，方程只表示双曲线左支，若允许0<ρ，方程就表示整个双曲线；（几何画板演示实例，展示交点弦长表示的统一特征）。

当1=e 时，方程表示开口向左的抛物线。

（2）若θρsin 1e ep-=10<<e 时，方程表示极点在下焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在上焦点上的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向上的抛物线。

（3）1sin ep e ρθ=+当10<<e 时，方程表示极点在上焦点的椭圆；当1>e 时，方程表示极点在下焦点的双曲线，当1=e 时，方程表示开口向下的抛物线。

整体对比：θρcos 1e ep -=θρcos 1e ep +=θρsin 1e ep-=θρsin 1e ep +=例题：一、二次曲线基本量之间的互求例1.确定方程θρcos 3510-=表示的曲线的离心率，焦距，长短轴长。

极坐标方程在圆锥曲线中的应用

极坐标方程在圆锥曲线中的应用作者：周震来源：《中学生数理化·学习研究》2017年第08期在圆锥曲线问题中，常出现的长度问题主要有两大类：一是与焦点有关，主要体现在过焦点的弦长、直线的倾斜角、焦准距等相关的问题；二是与原点有关的长度和角度问题。

这两类问题利用圆锥曲线常规解法往往运算量较大，学生通常比较害怕。

如果我们转换思路，合理利用曲线的极坐标方程来解，可以将繁琐复杂的计算简单化，提高解题速度和正确率。

下面通过具体例题来阐述圆锥曲线的极坐标解法。

在极坐标系中，以圆锥曲线的焦点F（椭圆为左焦点，双曲线为右焦点）为极点，对称轴为极轴建立极坐标系，离心率为e，焦点到准线的距离为p。

则圆锥曲线的极坐标方程为ρ=ep1-ecosθ。

当以原点为极点，Ox轴为极轴时，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的极坐标方程ρ2=a2b2b2cos2θ+a2sin2θ。

双曲线x2a2-y2b2=1的极坐标方程为ρ2=a2b2b2cos2θ-a2sin2θ。

抛物线y2=2px的极坐标方程为ρsin2θ=2pcosθ。

圆心为（a，0），半径为a的圆的极坐标方程为ρ=2acosθ。

一、与焦点有关的问题例1已知椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）过椭圆的左焦点F作倾斜角为π3的直线交椭圆于A、B两点，且AF∶BF=2∶1，求椭圆的离心率。

分析：在极坐标系中，由于椭圆的极坐标方程是以左焦点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的坐标系，极径的长即为椭圆上的点到焦点的距离，所以可以利用极坐标方程来解决。

解：以椭圆的左焦点F为极点，Fx轴为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ=ep1-ecosθ。

则AF=ep1-12e，BF=ep1+12e。

因为AF∶BF=2∶1，所以ep1-12e∶ep1+12e=2∶1。

化简得e=23。

故所求椭圆的离心率为e=23。

运用极坐标方程解决与焦点弦长有关的问题可以简化计算量，提高解题速度和效率。

圆锥曲线极坐标方程

圆锥曲线极坐标方程一、知识总结：1、标准形式：1cos epe ρθ=-，其中p 为焦准距（焦点到准线的距离），对于椭圆和双曲线2b p c=，对于抛物线就是那个p ，其实抛物线中p 也表示焦准距。

2、过程：取圆锥曲线的一个焦点（椭圆取左焦点，双曲线取右焦点，抛物线右焦点）为极点,极轴垂直于相应的准线,但与其不相交,建立极坐标系。

注意，该极坐标方程，仅表示双曲线的右支，如果允许0ρ<，则表示两支。

3、关于ρ的正负问题：通常情况下规定0ρ≥，首先，ρ是极径，是长度，小于0没意义，其次，当0ρ>，02θπ≤<时，除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系。

二、推广形式： 1、推广1：1cos epe ρθ=+：1）当01e <<时，方程表示极点在右焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向左的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在左焦点的抛物线。

2、推广2：1sin epe ρθ=-：1）当01e <<时，方程表示极点在下焦点的椭圆； 2）当1e =时，方程表示开口向上的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在上焦点的双曲线。

3、推广3：1sin epe ρθ=+：1）当01e <<时，方程表示极点在上焦点的椭圆；2）当1e =时，方程表示开口向下的抛物线；3）当1e >时，方程表示极点在下焦点的双曲线。

三、几点性质：1、当原点与极点重合，极轴与x 轴正半轴重合，单位长度相同时，对于圆锥曲线标准极坐标方程：1cos epe ρθ=-，与之对应的直角坐标方程为：1）当01e <<时，()22221x c y a b-+= ； 2）当1e =时，222p y p x ⎛⎫=+⎪⎝⎭；3）当1e >时，()22221x c y a b+-= 。

2、记圆锥曲线的标准形式：1cos epe ρθ=-时：1）公式1：()()20a ρρπ=+；公式2：()()20c ρρπ=-；公式3：b =2）过圆锥曲线的标准极坐标方程易求得过焦点且倾斜角为θ的弦长AB ： 2221cos epAB e θ=-，特别地，对于抛物线，22sin p AB θ=. 四、焦半径公式：1、椭圆：已知(),P x y 在椭圆上，则：12,PF a ex PF a ex =+=-；2、双曲线：1）已知(),P x y 在双曲线右支上，则12,PF ex a PF ex a =+=-； 2）已知(),P x y 在双曲线左支上，则()()12,PF ex a PF ex a =-+=--；综上，12,PF ex a PF ex a =+=-。

圆锥曲线与极坐标

圆锥曲线与极坐标极坐标在平⾯内取⼀个定点O，叫极点，引⼀条射线Ox，叫做极轴，再选定⼀个长度单位和⾓度的正⽅向（通常取逆时针⽅向）。

对于平⾯内任何⼀点M，⽤ρ表⽰线段OM的长度（有时也⽤r表⽰），θ表⽰从Ox到OM的⾓度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极⾓，有序数对 (ρ,θ) 就叫点M的极坐标，这样建⽴的坐标系叫做极坐标系。

极坐标系⽤长度和⾓度取代了⼆维的坐标，相对于⼀般的直⾓坐标为下⾯的优点：便于处理⾓度的关系便于表⽰和计算长度设M为平⾯上的⼀点，它的直⾓坐标为 (x,y)，极坐标为 (ρ,θ)，易得互化公式：x=ρcosθy=ρsinθorρ2=x2+y2 tanθ=yx (x≠0)p，由圆锥曲线的统⼀定义知ρd=e，由图形可得d=p+ρcosθ，代⼊得ρ=ep1−e cosθ当e=0 时，轨迹为圆；0<e<1 时，轨迹为椭圆；e=1 时，轨迹为抛物线；e>1 时，轨迹为双曲线。

（2）以坐标原点为极点在这⾥只考虑椭圆与双曲线的情况，抛物线也可类⽐：椭圆或双曲线的标准⽅程（焦点在x轴上）为：x2a2±y2b2=1 {{Processing math: 100%代⼊x=ρcosθ，y=ρsinθ得：ρ2cos2θa2±ρ2sin2θb2=1，提取ρ2得：1ρ2=cos2θa2±sin2θb2，此⽅程表⽰椭圆或双曲线的轨迹。

取加号时，轨迹为椭圆；取减号时，轨迹为双曲线。

⼀些结论如图，F为圆锥曲线E的焦点，过F的直线交E与A,B两点，设直线AB的倾斜⾓为α，则|AF|=ep1−e cosα, |BF|=ep1+e cosα|AB|=ep1−e cosα+ep1+e cosα=2ep1−e2cos2α（看成以F为极点的极坐标系，由圆锥曲线⽅程ρ=ep1−e cosθ，令θ=α可得A点的ρ，即 |AF|；同理，令θ=α+π得到B的，再⽤诱导公式 cos(θ+π)=−cosθ）当椭圆与双曲线以标准⽅程表⽰时，焦准距p=b2c，离⼼率e=ca，那么|AF|=b2a−c cosα, |BF|=b2a+c cosα|AB|=2ab2a2−c2cos2α若|AF||BF|=λ，则1+e cosα1−e cosα=λ，解出e cosα=λ−1λ+1已知e,λ时，可⽤上式求倾斜⾓。

14. 【圆锥曲线篇】秒杀技巧极坐标1

约定：本文中提到的θ为直线的倾斜角，p 为焦准距（焦点到准线的距离 p a2 c ）。 c
先给大家总结几个圆锥曲线焦半径、焦点弦重要的性质。
性质 1：以圆锥曲线的焦点 p，(椭圆是左焦点、双曲线是右焦点)为极点，对称轴(椭圆是长轴，双曲线是实轴)
ep
b2
为极轴，离心率为 e ，焦点到相应准线的距离为 p 。则 AF
大招二极坐标秒解圆锥曲线选择题
圆锥曲线是高考压轴题经常涉及和考查的对象，解决此类问题若使用常规解法，计算、化简都相当繁琐，运用焦半径、焦点弦公式则会大大减少运算，非常巧妙，在解题中起到事半功倍的效果。而焦半径、焦点弦公式可以用圆锥曲线的统一定义推导，圆锥曲线的统一定义把焦点、准线和离心率巧妙地联系在一起。
AF
在 y 轴左侧），则
．
FB
x2
例 7、已知双曲线 C：
a2
y2 b2
（1 a
0, b 0）的右焦点为 F，过点 F 作直线 l 垂直于一条渐近线于 M，交
另一条渐近线于 N，若 MF 2FN ，则 C 的离心率是
例 8、已知抛物线 y2=4x，焦点为 F，点 A（-3，0）．（1）过点 A 的直线与抛物线只有一个交点的直线有几条，并写出直线方程；
经过椭圆 B 点，求 AB 的长。
法 1：解：
的左焦点作倾斜角为 60°的直线，直线与椭圆相交于 A，斜率
设 A（）,B（）
联立得：化简得：解得
, ,
∴
法 2：
AB
1
2ep e2 cos2
= a2
2ab2 c2 cos2
8 7
2
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圆锥曲线的极坐标方程与参数方程解析

圆锥曲线的极坐标方程与参数方程解析极坐标方程与参数方程是圆锥曲线的两种常用表示形式。

在研究圆锥曲线时，利用这两种方程形式可以更加直观地描述曲线的特征与性质。

本文将详细介绍圆锥曲线的极坐标方程和参数方程的解析过程，并通过具体的例子来进一步说明。

一、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线的极坐标方程可以用极坐标系中的极径r和极角θ来表示。

对于圆锥曲线而言，其极坐标方程的一般形式如下：r = f(θ)其中，函数f(θ)代表了曲线的性质与形状，具体形式根据不同的圆锥曲线类型而异。

以下是几种常见的圆锥曲线的极坐标方程及其解析过程：（一）圆的极坐标方程圆是一种特殊的圆锥曲线，其极坐标方程可以表示为：r = a其中，a代表圆的半径。

（二）椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程形式如下：r = a(1 - ε²) / (1 - εcosθ)其中，a代表椭圆的半长轴长度，ε代表椭圆的离心率。

（三）双曲线的极坐标方程双曲线的极坐标方程可以写为：r = a(1 + εcosθ) / (1 - εcosθ)其中，a代表双曲线的焦距，ε代表双曲线的离心率。

（四）抛物线的极坐标方程抛物线的极坐标方程可以表示为：r = a / (1 + cosθ)其中，a代表抛物线的焦点到准线的距离。

通过以上例子可以看出，圆锥曲线的极坐标方程形式多样，每一种形式代表了不同的曲线类型和特征。

研究圆锥曲线时，可以根据需要选择不同的极坐标方程进行分析。

二、圆锥曲线的参数方程除了极坐标方程外，参数方程也是描述圆锥曲线常用的一种形式。

在参数方程中，圆锥曲线的坐标可以通过参数t的取值得到。

一般来说，圆锥曲线的参数方程具有以下形式：x = f(t)y = g(t)其中，函数f(t)和g(t)分别表示曲线的x坐标与y坐标，具体形式根据不同的圆锥曲线类型而定。

以下是几种常见圆锥曲线的参数方程及其解析过程：（一）圆的参数方程圆的参数方程可以表示为：x = acos(t)y = asin(t)其中，a代表圆的半径，t取值范围通常为0到2π。

巧设极坐标方程妙解圆锥曲线问题

巧设极坐标方程妙解圆锥曲线问题48福建中学数学2015年第9期断：因为0j叶dtanAj在求解三角函数问题时，一定要注意角的范围对解题结果产生的影响．实际上，学生有自己的“思想”，未必会按照教师传授的解题方法求解，当然，“思想”离不开课堂或课外所获取的，但是会受到各种解法的干扰，甚至误导．笔者认为，教师教学时按学生“最近发展区”不断调整、完善教学方案，平时多了解学生的解题思想；学生也多与教师交流、探讨，学习是一个不断优化的过程，只有把教师所教的“渔”化为己有，且不受干扰，才能获得自己的“鱼”，真正提升自己的学习能力，为后续学习和长远发展提供潜质．巧设极坐标方程妙解圆锥曲线问题邱有文福建省龙岩市长汀二中(366300)新课程中极坐标方程的引入，不仅让我们感受数学的艺术性，欣赏了那些奇妙的曲线及其方程，而且还会强化我们解决问题的能力．若极坐标方程恰当地引入到圆锥曲线问题中，解答过程往往能化繁为筒，下面就谈谈极坐标方程在圆锥曲线中的妙用．先介绍圆锥曲线的极坐标方程：圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)可统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线三)的距离之比等于常数e的轨迹．建立以焦点F为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系，其统一极坐标方程为P=·-(称为标准极坐标方l—ecoS，T2程)．其中在椭圆、双曲线中P=I一c1．C(1)当0它的左焦点，定直线是它的左准线；(2)当e=1时，方程表示开口向右的抛物线；(3)当e>1时，方程表示双曲线的右支，定点F是它的右焦点．定直线三是它的右准线(若P<0，方程表示整个双曲线)．根据不同的坐标系，有下列推论：推论1P=_，l+eCOS(1)当0(2)当e=1时，方程表示开口向左的抛物线；(3)当e>1时，方程表示极点在左焦点的双曲线．推论2ep，(1)当0椭圆；(2)当e=1时，方程表示开口向上的抛物线；(3)当e>1时，方程表示极点在上焦点的双曲线．推论3P=_，I十es1rl(1)当0椭圆；(2)当e=1时，方程表示开口向下的抛物线；(3)当e>1时，方程表示极点在下焦点的双曲下面就举例分析圆锥曲线中哪几种题型用极坐标方程解答能化繁为简．题型一型如FA=AFB(其中A，B在椭圆上，F为焦点)的圆锥曲线问题例1设，分别为椭圆X／3+Y=1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若=5B，则点的坐标是——．解析设椭圆的极坐标方程为：p=ep／(1-eCOS，因为=5，所以ep／(1一ecos0)=5ep／(1+ecos，解得COS0=46／3，所以tan0=,／2／2．于是所在的直线方程为Y=(√2／2)(一√2)，代入x／3+y=l，解得A(0，±1)．例2已知以F为焦点的抛物线Y=4x上的两点，满足F=3FB，则弦AB的中点到准线的距2015年第9期福建中学数学49离为．解析设抛物线的极坐标方程为：p=p／(1+cos~，因为『=p／(1一cosO)，=p／(1+cosO)，：3历．所以P／(1一cos0)=3p／(1+cos0)．于是有COS0=1／2，所以Jf=2／(1一cosO)=4，Il=2／(1+cosO)=4／3，(IFl+l船I)×(1／2)=8／3，即填8／3．题型二涉及到焦点弦长问题例3如图1，设P是圆+Y=25上的动点，点D是P在轴上的射影，为PD上一点，且『MDI=(4／5)lPDI．(I)当P在圆上运动时，求点的轨迹C的方程；(II)求过点(3，0)且斜率为h(x)>h(1)=0的直线被C所截线段的长度．解(I)／25+Y／16=1；(Ⅱ)设椭圆的极坐标方程为P=ep／(1+ecosO)，P=a。

巧设极坐标解圆锥曲线焦点弦问题

巧设极坐标解圆锥曲线焦点弦问题∗陈㊀蕾(金华第一中学,浙江金华㊀321000)摘㊀要:圆锥曲线的统一极坐标方程是高中数学中一种重要而简便的工具.文章利用这一工具来解决高考考查的热点之一圆锥曲线的焦点弦问题.在解决的过程中我们看到这一工具的精准有效和大大减少繁琐运算的威力,同时也体现了对同一问题从不同视角采用不同的技术方法时智力上的创造力.关键词:极坐标方程;焦点弦;精准解法中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)04-0014-03㊀㊀高中数学中的圆锥曲线问题常采用代数运算解决,但大多数圆锥曲线问题计算量不但大而且繁琐,因此笔者一直在寻求解决此类问题的简便方法或者减少运算量的技巧.极坐标方程是高中数学新课程中的选修内容,我们发现一些圆锥曲线问题如果使用圆锥曲线统一极坐标方程ρ=ep1-e cosθ来求,不但精准有效而且大大减少繁琐的运算.下面以圆锥曲线中的焦点弦问题为例来说明,旨在抛砖引玉.1　圆锥曲线的统一极坐标方程椭圆㊁双曲线㊁抛物线可以统一定义为:与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比为常数e的点的轨迹.如图1所示,以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点或抛物线的焦点)F为极点,过点F作相应准线的垂线,垂足为K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系.图1在极坐标系中,椭圆㊁双曲线㊁抛物线方程得到了完美的统一:ρ=ep1-e cosθ,其中p是定点F到定直线L的距离,当0<e<1时,方程表示椭圆;当e>1时,方程表示双曲线;当e=1时,方程表示开口(上接第13页)径,将不等式(8)简化到不等式(11),再通过不等式(12)简化到不等式(13),最后构造出了函数(14),利用函数的性质,找到了证明思路.在高三数学复习解题教学设计及其课堂实施中,不少数学教师(就像教师甲一样)在没有仔细探究具体数学问题思路的情况下,就直接进入课堂教学环节,如此造成的结果是:只能将解决问题结果的逻辑表达过程不加改变地传达于学生,如此堵塞了学生探究解题思路的心理来源,逼迫学生不得不采用记忆题型的途径应对比较难一些的高考题.本文通过这道高考压轴题,相应地构造合适的函数作为解决问题关键环节的桥梁,将教师甲自己(或者是来源于其他人的答案)探究思路的活动所形成的逻辑表达结果,转化为启发学生构造具体函数的心理过程.以此挑开了探究命题证明思路的逻辑面纱,启发学生在课堂现场上进行数学构造,鼓励他们进行火热的思维与心理活动.对此,一线数学教师要思之再思,慎之又慎.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀张昆.整合数学教学中设计问题的取向:透过观念性问题与技术性问题的视点[J].中小学教师培训,2019(6):53-56. [2]㊀十三院校协编组.中学数学教材教法总论[M].北京:人民教育出版社,1980:27. [3]㊀张昆,罗增儒.数学解题教学设计研究:指向萌生数学观念的视点[J].中学数学杂志,2017(11):15-18.㊃41㊃中学教研(数学)2021年第4期∗收文日期:2020-11-19;修订日期:2020-12-20作者简介:陈㊀蕾(1991 ),女,浙江诸暨人,中学一级教师.研究方向:数学教育.向右的抛物线.2㊀应用实例㊀㊀例1㊀如图2,过椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(其中a >b >0)的左右焦点F 1,F 2分别做斜率为22的直线交椭圆C 的上半部分于点A ,B ,记әAOF 1,әBOF 2的面积分别为S 1,S 2,若S 1ʒS 2=7ʒ5,求椭圆C 的离心率e.图2分析㊀一般的思路是:首先延长BO 交椭圆于点Bᶄ,利用用两三角形面积比例关系得到比例关系y A ʒy B =-7ʒ5,再设直线ABᶄ的方程并与椭圆方程联立,最后用韦达定理解决.这样思路虽然明确,但计算量很大,对学生的运算能力要求较高,学生在处理的时候准确度也不高,颇有点小题大做之嫌.但如果建立极坐标系,采用椭圆的极坐标方程解决此题,则计算量很小,而且不容易出错,是真正意义的小题小做.解法1㊀(韦达定理法)作点B 关于原点的对称点Bᶄ,设A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),Bᶄ(x Bᶄ,y Bᶄ),可得S 1S 2=y A-y Bᶄ=75,将直线方程的ABᶄ设为x =24y -c,与椭圆方程x 2a 2+y 2b2=1联立可得(b 2+8a 2)y 2-42b 2cy -8b 4=0.利用韦达定理得到㊀y A +y Bᶄ=42b 2cb 2+8a 2,㊀y A y Bᶄ=-8b 4b 2+8a 2,㊀Δ>0,从而㊀(y A +y Bᶄ)2y A y Bᶄ=42b 2c b 2+8a 2()2-8b 4b 2+8a 2=-4c 2b 2+8a 2=y Bᶄy A +y A y Bᶄ+2=-57+-75+2=-435,整理可得e =c a =12.解法2㊀(极坐标法)以椭圆左焦点F 1为极点㊁x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,得椭圆极坐标方程为ρ=ep 1-e cos θ,其中tan θ=22,cos θ=13.设A(ρ1,θ),Bᶄ(ρ2,π+θ),则ρ1=ep 1-e cos θ=ep1-13e ,ρ2=ep1-e cos (π+θ)=ep1+13e ,又S 1ʒS 2=7ʒ5,得ρ1ρ2=1-13e1+13e =75,从而椭圆离心率e =12.点评㊀解法1为常规解法,先将面积比转化为坐标比,用到了对称思想,然后借助韦达定理来表达坐标关系,进而运算得到a ,b ,c 的关系求出离心率.因为是字母运算,计算量偏大.而建立极坐标系,将长度用角度θ表示,可以统一处理,使得运算简便.通过以上两种解法的对比,我们发现在表达同一个几何关系或数量关系的时候,采用极坐标方程有时候更加简便有效[1].以下再用两个例子来说明.图3例2㊀如图3,已知过椭圆E :x 22+y 2=1的左焦点F的直线L 交椭圆于点A ,B ,求|AF |+2|BF |的最小值.极坐标解法㊀以椭圆左焦点F 为极点㊁x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,得椭圆极坐标方程为ρ=ep1-e cos θ.根据椭圆方程可得e =22,p =1,设A(ρ1,θ),B(ρ2,π+θ),则㊃51㊃2021年第4期中学教研(数学)ρ1=ep1-e cos θ=221-22cos θ,ρ2=ep1-e cos (π+θ)=221+22cos θ.而|AF |即为ρ1,|BF |即为ρ2,则ρ1+2ρ2=2211-22cos θ+21+22cos θ()=22㊃6-2cos θ2-cos 2θ.令t =6-2cos θ,则ρ1+2ρ2=22㊃6-2cos θ2-cos 2θ=22㊃t-t 22+6t -16,当t =42时,上式取到最小值1+324.点评㊀本题常规方法可参照例1的解法1,计算量非常大.我们这里直接采用极坐标方程来解决,发现极坐标方程把两个长度直接表达成三角函数cos θ来运算,得到关于cos θ的表达式,然后再利用换元法将它转化为关于t 的二次函数求最小值,表达上简洁快捷,便于计算.图4例3　如图4,已知抛物线y 2=4x ,作过焦点且互相垂直的两条弦AB ,CD ,求|AB |+|CD |的最小值.解㊀以抛物线焦点F 为极点㊁x 正半轴为极轴建立极坐标系,得抛物线极坐标方程为ρ=21-cos θ.设A (ρ1,θ),B (ρ2,π+θ),C ρ3,π2+θ(),D ρ4,3π2+θ(),则|AB |=ρ1+ρ2=21-cos θ+21-cos (π+θ)=4sin 2θ,|CD |=ρ3+ρ4=21-cosπ2+θ()+21-cos 3π2+θ()=4cos 2θ,从而|AB |+|CD |=4sin 2θ+4cos 2θ=16sin 22θ,故当θ=π4和θ=3π4时,|AB |+|CD |取到最小值16.点评㊀这个问题是一道比较经典的抛物线问题,涉及的量比较多,且表达起来比较困难,学生在处理的时候很难达到统一协调,阻碍比较多,很容易在多个量的运算中迷失方向.我们这里采用圆锥曲线极坐标方程来解,使得所有的量都能用同一个角θ来表示,最后转化为简单的三角函数运算问题,解题方向明确,目标单一容易实现,运算量少.奥地利思想家马赫提出了一个思维的经济原则,又称费力最小原则 ,参照这一原则,我们在寻求表达事物的本质上需要从不同的角度㊁采用不同的工具来实现我们的目标.通过上面的几个简单的例子,我们发现圆锥曲线极坐标方程在解决圆锥曲线焦点弦问题上的精准有效和简便,当然在解决其他一些圆锥曲线问题上也是非常有效的.其根源在于圆锥曲线在表达数学中的某些几何关系或数量关系时有天然的优势.本文只是浅尝辄止地想表达一个理念,即如何提升我们在高中数学教育教学中的智力上的创造力,这种创造力更多地体现在:我们可以对同一问题采用不同的视角和思想方法来处理,更加跟上我们这个日新月异的科技时代[2].事实上,高考考查类似的问题很多,也期望读者能够触类旁通.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀舒镜霖.用圆锥曲线的极坐标方程解高考题与传统方法之比较[J ].考试周刊,2011(40):3-4.[2]㊀龚袭. 极坐标思想速解圆锥曲线焦点弦问题[J ].数理化解题研究,2017(7):43.㊃61㊃中学教研(数学)2021年第4期。

极坐标方程在解决与焦点有关的圆锥曲线问题中的应用

极坐标方程在解决与焦点有关的圆锥曲线问题中的应用作者：李秀梅来源：《读写算》2018年第31期摘要学生们在解决极坐标方程在解决与焦点有关的圆锥曲线问题时，需灵活运用极坐标方程与圆锥曲线问题。

关键词高考；圆锥曲线；极坐标方程中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）31-0219-01近五年高考全国卷每年出一道大题考查极坐标、参数方程或绝对值不等式，大部分学生选择极坐标参数方程，解题方法都是把极坐标参数方程化为直角坐标求解，不仅解题过程繁琐，也失去了考查极坐标参数方程的目的。

其实极坐标方程在解决直角坐标系下与焦点有关的圆锥曲线问题中有广泛的应用。

一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：平面内到一个定点（焦点）的距离与到一条定直线（准线）的距离的比等于常数e的点的轨迹。

以椭圆的左焦点（双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系。

椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：。

其中p是定点F到定直线的距离，p>0，当0当e>1时，方程表示双曲线，若ρ>0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ二、圆锥曲线极坐标方程的应用（一）焦点弦问题【典例1】（2008年海南卷）过椭圆的焦点作一条斜率为2的直線与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积。

简解：首先极坐标方程中的焦点弦长公式求弦长，然后利用公式直接得出答案。

注：用直角坐标求弦长过程比较烦杂（请参考高考解析）。

【典例2】（2009理科12文12）已知椭圆的右焦点为，右准线为，点，线段AF交C 于点B，若，则 =（）A. B. C. D.解析：选取右焦点为极点，由题意知： = 设AF与X轴所成的角为，由极坐标方程可得，又因为所以，，解得，所以。

（二）定值问题【典例1】经过椭圆的焦点作两条相互垂直的弦AB和弦CD，求证为定值。

证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为，又设则代入可得，，则注：此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立，注意使用的范围。

极点极线背景下的圆锥曲线习题汇总

第14讲极点极线问题一、解答题1．已知椭圆M ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）过A （－2，0），B （0，1）两点．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．2．若双曲线229x y -=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>共顶点，且它们的离心率之积为43．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线1A P 与2A Q 的斜率分别为1k ，2k ，且12105k k -=．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．3．如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是2，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为.（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .设过点(),T t m 的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点()11,M x y ，()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <．（Ⅰ）设动点P 满足：224PF PB -=，求点P 的轨迹；（Ⅱ）设1212,3x x ==，求点T 的坐标；（Ⅲ）设9t =，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关），并求出该定点的坐标．5．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(F ，且过点(24P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线1x =上任意一点，直线1AQ ，2A Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.7．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点M ，且左焦点为()1F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且满足||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．8．设0λ>，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ= ,求点P 的轨迹方程．9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上.10．如图，B ，A 是椭圆22:14x C y +=的左、右顶点，P ，Q 是椭圆C 上都不与A ，B 重合的两点，记直线BQ ，AQ ，AP 的斜率分别是BQ k ，AQ k ，AP k .（1）求证：14BQ AQ k k ⋅=-；（2）若直线PQ 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭，求证：4AP BQ k k =.11．已知椭圆()222:103x y C a a +=>的焦距为2,,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点(异于,A B )，连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍.（1）求椭圆C 的方程；（2）证明:直线MN 恒过定点.12．椭圆()2222:103x y C b b b+=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，点()1,0D ，线BD 的倾斜角为135︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）过D 且斜率存在的动直线与椭圆C 交于M 、N 两点，直线1A M 与2A N 交于P ，求证：P 在定直线上.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 是椭圆上异于A ，B 的不同两点，直线BN 的斜率为()0k k ≠，直线AM 的斜率为3k ，求证：直线MN 过定点．14．设12, A A 分别是椭圆222: 1(1)x y a aΓ+=>的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点.（1）若124A B A B →→⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设a =，2F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段2F Q 的中点M 在y 轴上，求2F BQ △的面积.（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左右顶点的两点，且C ，D 分别在直线1PA 和2PA 上，求证：直线CD 恒过一定点.15．已知曲线()()()22:528C m x m y m R -+-=∈.（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；（3）设4m =，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，1y =与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,2P -，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为(2,0)-．过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B （A ，B 不同于点D ），直线DA 与直线m ：4x =交于点M ．连接MF ，过点F 作MF 的垂线与直线m 交于点N ．（1）求椭圆C 的方程，并求点F 的坐标；（2）求证：D ，B ，N 三点共线．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为A 和B ，离心率为12，且点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P ，Q 两点，连接AP 、BQ ，直线AP 与BQ 交于点N ，探求点N 是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，O 为原点.以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点P ，Q 在C 上.（1）求C 的离心率；（2）当2a =时，过(1,0)作与x 轴不重合的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k 是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.19．已知F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，直线:21l y x =+与C 交于A ，B 两点且||||20AF BF +=.（1）求C 的方程.（2）若直线:2(1)m y x t t =+≠与C 交于M ，N 两点，且AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在定直线上.第14讲极点极线问题一、解答题1．已知椭圆M ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）过A （－2，0），B （0，1）两点．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．【答案】（1）2；（2）证明见解析．【分析】（1）由已知两点坐标得,a b ，求得c 后可得离心率；（2）直线AB 方程为22x y =-，设00(,)P x y （00y ≠，01y ≠±），(22,)Q Q Q y y -，(,0)S S x ．由,,C P Q三点共线求得Q 点坐标（用P 点坐标表示），由,,B P S 共线求得S 点坐标（用P 点坐标表示），写出直线QS的方程，把220044x y =-代入化简对方程变形可得定点坐标．【详解】解：（1）因为点(2,0)A -，(0,1)B 都在椭圆M 上，所以2a =，1b =．所以c ==所以椭圆M 的离心率32c e a ==．（2）由（1）知椭圆M 的方程为2214x y +=，(2,0)C ．由题意知：直线AB 的方程为22x y =-．设00(,)P x y （00y ≠，01y ≠±），(22,)Q Q Q y y -，(,0)S S x ．因为,,C P Q 三点共线，所以有//CP CQ ，00(2,),(222,)Q Q CP x y CQ y y =-=-- ，所以00(2)(24)Q Q x y y y -=-．所以000422Q y y y x =-+．所以00000004244(,)2222y x y Q y x y x +--+-+．因为,,B S P 三点共线，所以0011s y x x -=-，即001s x x y =-．所以00(,0)1x S y -．所以直线QS 的方程为000000000004242214122y x x y x y x x y y y y x +---+-=+--+，即2200000000044844(1)1x y x y y x x y y y y --+-=+--．又因为点P 在椭圆M 上，所以220044x y =-．所以直线QS 的方程为00022(1)21y x x y y --=-+-．所以直线QS 过定点(2,1)．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，考查椭圆的直线过定点问题，解题方法是设椭圆上的点坐标00(,)P x y ，利用三点共线变为向量平行，求得直线交点,Q S 的坐标，得出直线QS 方程，再由P 在椭圆上，代入化简凑配出定点坐标．2．若双曲线229x y -=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>共顶点，且它们的离心率之积为43．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线1A P 与2A Q 的斜率分别为1k ，2k ，且12105k k -=．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）2219x y +=；（2）直线l 恒过定点()2,0．.【分析】（1）待定系数法椭圆的标准方程；（2）用“设而不求法”把直线和椭圆联立方程组，，表示出12105k k -=，整理出直线过定点()2,0.【详解】（1，又两曲线离心率之积为43，所以椭圆的离心率为3；由题意知3a =，所以c =1b =．所以椭圆的标准万程为2219x y +=．（2）当直线l 的斜率为零时，由对称性可知：120k k =-≠，不满足12105k k -=，故直线l 的斜率不为零．设直线l 的方程为x ty n =+，由2219x ty n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()2229290t y tny n +++-=，因为直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，所以()()222244990t n t n ∆=-+->，整理得：2290t n -+>，设()11,P x y 、()22,Q x y ，则12229tn y y t +=-+，212299n y y t -=+，1113y k x =+，2223y k x =-．因为12105k k -=，所以()()()()1121211222121233315333y y x y ty n k x y k y x y ty n x -+-+====+++-，整理得：121245(3)(3)0ty y n y n y +--+=，()1212245(3)(612)ty y n y y n y +-+=-，将12229tn y y t +=-+，212299n y y t -=+代入整理得：()22(2)(3)(2)9t n n n t y --=-+要使上式恒成立，只需2n =，此时满足2290t n -+>，因此，直线l 恒过定点()2,0．【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；（3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式y=kx+b ，过定点(0,b )；②直线方程整理为点斜式y -y o =k (x-x 0)，过定点(x 0,y 0)．3．如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是22，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为.（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，Q 点的坐标为(0,2)Q .【详解】（1）由已知，点在椭圆E 上.因此，22222211,,2,2a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,a b ==所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点.如果存在定点Q 满足条件，则||||1||||QC PC QD PD ==，即||||QC QD =.所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y .当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点.则(0,M N ，由||||||||QM PM QN PN ==，解得01y =或02y =.所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q .下面证明：对任意的直线l ，均有||||||||=QA PA QB PB .当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .联立221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=.其判别式22168(21)0k k ∆=++>，所以，12122242,2121k x x x x k k +=-=-++.因此121212112x x k x x x x ++==.易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为22(,)B x y '-.又121122122111,QA QB y y k k k k k x x x x x '--==-==-+=--，所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线.所以12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='.故存在与P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||=QA PA QB PB 恒成立.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.4．在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .设过点(),T t m 的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点()11,M x y ，()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <．（Ⅰ）设动点P 满足：224PF PB -=，求点P 的轨迹；（Ⅱ）设1212,3x x ==，求点T 的坐标；（Ⅲ）设9t =，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关），并求出该定点的坐标．【答案】（I ）92x =；（II ）1073T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；（III ）()1,0D .【解析】试题分析：（I ）设出点(),P x y ，利用坐标化简224PF PB -=，得到点P 的轨迹；（II ）由1212,3x x ==分别得出直线AM 的方程为113y x =+，直线AN 的方程为5562y x =-，联立方程组即可求解点T 的坐标；（III ）直线AT 的方程为：()312m y x =+，直线BT 的方程为：()36m y x =-，分别与椭圆的方程联立，由12x x =，求得m =MN 的方程为1x =，过点()1,0D ，若12x x ≠，由MD k =ND k ，所以直线MN 过点()1,0D .试题解析：（Ⅰ）由题设得，()()()3,0,3,0,2,0A B F -，设动点(),P x y ，由()()2222222,3PF x y PB x y =-+=-+，224PF PB -=代入化简得，92x =.故点P 的轨迹为直线92x =.（Ⅱ）由12x =，2211195x y +=，10y >得15=3y ，则点52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AM 的方程为113y x =+，由213x =，2222195x y +=，20y <得2209y =-，则点120,39N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AN 的方程为5562y x =-，由55106271313y x T y x ⎧=-⎪⎪⎛⎫⇒⎨ ⎪⎝⎭⎪=+⎪⎩，（Ⅲ）由题设知，直线AT 的方程为：()312m y x =+，直线BT 的方程为：()36m y x =-，点()11,M x y 满足()112111222211324034063,,8080195m y x m m x x y m m x y ⎧=-⎪-⎪⇒≠-==⎨++⎪+=⎪⎩；点()22,N x y 满足()22222222222233602063,,2020195m y x m m x x y m m x y ⎧=-⎪--⎪⇒≠-==⎨++⎪+=⎪⎩；若12x x =，222403=80m m -+2236020m m-+且0m >，得m =此时直线MN 的方程为1x =，过点()1,0D ；若12x x ≠，则m ≠，直线MD 的斜率2222402403101808040MD m m m k m m m⎛⎫-=÷-= ⎪++-⎝⎭，直线ND 的斜率222220360101202040ND m m m k m m m⎛⎫--=÷-= ⎪++-⎝⎭，所以MD k =ND k ，所以直线MN 过点()1,0D .因此直线MN 必过x 轴上一定点()1,0D .考点：轨迹方程的求解；直线的交点；直线过定点的判断．【方法点晴】本题主要考查了曲线轨迹方程的求解和两直线的交点的计算、直线过定点问题的判定，着重考查了分类讨论的思想方法及函数与方程思想的应用，属于中档试题，本题的第三问题的解答中，由直线AT 的方程()312m y x =+，直线BT 的方程()36m y x =-，分别与椭圆的方程联立，利用韦达定理求得1122,,,x y x y ，再由12x x =和12x x ≠，由MD k =ND k ，两种情况分别判定直线MN 过定点()1,0D .5．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析.【分析】（1）由已知可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=- ，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）设()06,P y ，可得直线AP 的方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，命题得证.【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：(),0A a -，(),0B a ，()0,1G ∴(),1AG a = ，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭.同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022200002222000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=- ⎪ -+-++⎝⎭⎝⎭-++，整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ +++--⎝⎭⎝⎭整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(F ，且过点(24P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线1x =上任意一点，直线1AQ ，2A Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义确定a ，再根据c 求b （2）设()1,,Q t 根据直线与椭圆方程联立方程组解得M ，N 坐标，再根据两点式求MN 直线方程，化成点斜式，求出定点试题解析：(1)椭圆的一个焦点()1F ，则另一个焦点为)2F ,由椭圆的定义知:122PF PF a +=，代入计算得2a =．又2221b a c =-=,所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．(2)设()()()11221,,,,,Q t M x y N x y ，则直线()1:23t A Q y x =+，与2214x y +=联立，解得22281812,4949t t M t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭同理222824,4141t t N t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以直线MN 的斜率为2222221244941818824941t t t t t t t t -++-+--++=2243t t -+所以直线2222122818:494349t t t MN y x t t t ⎛⎫-+-=-- ⎪+++⎝⎭()22443t x t =--+所以直线MN 恒过定点，且定点坐标为()4,0点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.7．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点M，且左焦点为()1F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且满足||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．【答案】（1）22142x y +=（2）见解析【分析】（1）根据椭圆的左焦点为()1F，得到c =M ，代入椭圆方程求解.（2）设直线AB 的参数方程是4cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），代入椭圆方程22142x y +=，由||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，化简得到||(||||)2||||+=⋅ QP AP PB AP PB ，即2==+A B Q A Bt t t t t 288cos 4sin -+αα，再代入直线参数方程求解.【详解】（1）因为椭圆的左焦点为()1F ，所以c =设椭圆方程为222212x y a a +=-，又因为椭圆过点M ，所以222112a a +=-，解得224,2a b ==所以椭圆方程为：22142x y +=；（2）设直线AB 的参数方程是4cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），代入椭圆方程22142x y +=，得：()222cos 2sin (8cos 4sin )140++++=t t αααα．由||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，得||(||- AP QP ||)(||||)||=- PB AP QP PB ，即||(||||)2||||+=⋅ QP AP PB AP PB ，则2==+A B Q A B t t t t t 288cos 4sin -+αα，点Q 轨迹的参数方程是28cos 48cos 4sin 28sin 18cos 4sin x y αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，则8(4)4(1)28-+-=-x y ，所以点Q 在定直线220x y +-=上【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及直线的参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．设0λ>，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ QA λ= ，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ=,求点P的轨迹方程．【答案】略【解析】略9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题知2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解方程即可得24a =，23b =，故椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）先讨论斜率不存在时的情况易知直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3.当直线斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-，()11,M x y ，()22,N x y ，进而联立方程结合韦达定理得2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+，直线AM 的方程是()1122y y x x =++，直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标，并证明其相等即可.【详解】解：（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12，所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =.所以椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）①若直线l的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =.所以点M 的坐标是31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以直线AM 的方程是()122y x =+，直线BN 的方程是()322y x =-.所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3.所以点Q 在直线4x =上.②若直线l 的斜率存在时，如图.设斜率为k .所以直线l 的方程为()1y k x =-.联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2223484120k x k x k +-+-=.显然0∆>.不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+.所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++.令4x =，得1162=+y y x .直线BN 的方程是()2222y y x x =--.令4x =，得2222y y x =-.所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+-()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦.()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭.所以点Q 在直线4x =上.【点睛】本题第二问解题的关键在于分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程是()1122y y x x =++和直线BN 的方程是()2222y y x x =--，进而计算得4x =时的纵坐标相等即可.考查运算求解能力，是中档题.10．如图，B ，A 是椭圆22:14x C y +=的左、右顶点，P ，Q 是椭圆C 上都不与A ，B 重合的两点，记直线BQ ，AQ ，AP 的斜率分别是BQ k ，AQ k ，AP k .（1）求证：14BQ AQ k k ⋅=-；（2）若直线PQ 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭，求证：4AP BQ k k =.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）设()11,Q x y ，代入斜率公式求14BQ AQ k k ⋅=-；（2）设直线PQ 的方程是65x my =+，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示1AP AQ k k ⋅=-，再根据（1）的结论证明.【详解】（1）设()11,Q x y 21211122111111422444BQ AQ x y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---；（2）设直线PQ 的方程是65x my =+，设()()1122,,,P x y Q x y 与椭圆方程联立，226514x my x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：()22126440525m y my ++-=，()1221254m y y m +=-+，()12264254y y m =-+，12121212442255AP AQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2122221212226425441664481652525254254m y y m m m y y m y y m m -+==-++-++++()2226416448164m m m -==--+++，1AP AQ k k ∴⋅=-,由（1）可知14BQ AQ k k ⋅=-，两式消去AQ k ，解得：4AP BQ k k =.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，定值和定点，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.11．已知椭圆()222:103x y C a a +=>的焦距为2,,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点(异于,A B )，连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍.（1）求椭圆C 的方程；（2）证明:直线MN 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意列出方程组22223c a c =⎧⎨=+⎩，解出方程组即可得椭圆方程；（2）连结BM 设()()1122,,,M x y N x y ，由椭圆的性质可得出34AM BM k k ⋅=-，故而可得94BN BM k k ⋅=-，当MN 斜率不存在时，设:MN x m =，解出1m =，当直线斜率存在时，设:MN y kx t =+，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得出22230k kt t ++=，得出k 与t 的关系，代入直线方程即可得定点.【详解】（1）因为22223c a c =⎧⎨=+⎩，所以21a c =⎧⎨=⎩，即椭圆C 的方程为22143x y +=（2）连结BM 设()()1122,,,M x y N x y 则21112111224AM BM y y y k k x x x ⋅=⋅=+--因为点()11,M x y 在椭圆上，所以221122113334=444AM BMx y k k x x -⋅==---因为3BN AM k k =，所以94BN BM k k ⋅=-当MN 斜率不存在时，设:MN x m =，不妨设M 在x轴上方，,,M m N m ⎛⎛ ⎝⎝因为94BN BM k k ⋅=-，所以1m =（ii ）当MN 斜率存在时，设:MN y kx t =+，2234120y kx t x y =+⎧⎨+-=⎩即()2223484120k x kx t +++-=，所以21212228412,3434kt t x x x x k k --+==++ 因为()()()1112111212922244BN BM kx t kx t y y k k x x x x x x ++⋅=⋅==----++所以22230k kt t ++=，即t k =-或2t k=-当t k =-时，y kx k =-，恒过定点()1,0，当斜率不存在亦符合:当2t k =-，2y kx k =-，过点()2,0与点B 重合，舍去.所以直线恒过定点()1,0【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．椭圆()2222:103x y C b b b+=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，点()1,0D ，线BD 的倾斜角为135︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）过D 且斜率存在的动直线与椭圆C 交于M 、N 两点，直线1A M 与2A N 交于P ，求证：P 在定直线上.【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意和过两点的直线的斜率公式可求得b ，可得椭圆C 的方程.（2）设(),P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，设过D 的动直线：()1y k x =-，代入椭圆C 的方程得：()2222316330k x k x k +-+-=，由韦达定理得：2122631k x x k +=+，21223331k x x k -⋅=+，再由P ，1A ，M 及P ，2A ，N 三点共线，化简可得证明点P 在定直线上.【详解】（1）()0,B b ，由题意，tan135111BD b k b ==︒=-⇒=-，所以椭圆C 的方程2213x y +=.（2）设(),P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，过D 的动直线：()1y k x =-，代入椭圆C 的方程得：()2222316330k x k x k +-+-=，得：2122631k x x k +=+，21223331k x x k -⋅=+，)22222222222213333x x y y x x x y +=⇒=-=-+⇒=-，分别由P ，1A ，M 及P ，2A ，N==，222x y --==--22222222222336313336313131233633131k k k k k k k k k k k ⎡⎤--+⎢⎥⎡⎤--++=--++，23x =⇒=，即P 在直线3x =上.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题之动点在定直线上，属于较难题.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 是椭圆上异于A ，B 的不同两点，直线BN 的斜率为()0k k ≠，直线AM 的斜率为3k ，求证：直线MN 过定点．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析．【分析】（1）由12c a =，得到2234b a =，再由点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在该椭圆上，求得22,a b 的值，即可求得椭圆的方程；（2）设BN 的方程为()2y k x =-，联立方程组求得2228612,4343k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，再由AM 的的方程()32y k x =+，联立方程组，求得22224212,121121k k M k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，结合斜率公式，进而得到直线过定点.【详解】（1）由椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，可得12c a =，所以22222131124b c a a ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，又点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在该椭圆上，所以221914a b +=，所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）由于BN 的斜率为k ，设BN 的方程为()2y k x =-，联立方程组()222143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2222431616120k x k x k +-+-=，所以22161243B N k x x k -=+，所以228643N k x k -=+，从而21243N k y k =-+，即2228612,4343k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理可得：由于AM 的斜率为3k ，则():32AM y k x =+，联立方程组()2232143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得()2222363144144120k x k x k +++-=，即()2222121484840k x k x k +++-=，所以22484121A M k x x k -=+，所以22242121M k x k -+=+，从而212121M k y k =+，即22224212,121121k k M k k ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，当M N x x =时即12k =±；时，:1MN x =-，过点()1,0P -，当12k ≠±时，()22222012412124212341121121PM k k k k k k k k k -+===-+-+-+--+，()22222120124438612341143PN k k k k k k k k k ---+===---+--+，即PM PN k k =，所以直线MN 过点()1,0P -，综上可得，直线MN 过点()1,0P -.【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.14．设12, A A 分别是椭圆222: 1(1)x y a aΓ+=>的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点.（1）若124A B A B →→⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设2a =，2F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段2F Q 的中点M 在y 轴上，求2F BQ △的面积.（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左右顶点的两点，且C ，D 分别在直线1PA 和2PA 上，求证：直线CD 恒过一定点.【答案】（1）2215x y +=；（2）214-；（3）证明见解析.【分析】（1）计算得1(,1)A B a →=，2(,1)A B a →=-，代入124A B A B →→⋅=-解方程即可得a ，故可得椭圆Γ的方程；（2）设另一焦点为1F ，则1F Q x ⊥轴，计算出点Q 坐标，计算22F BQ BF M BQM S S S =+△△△即可；（3）设点P 的坐标为(6,)m ，直线1PA ：(3)9m y x =+，与椭圆方程2219x y +=联立，由韦达定理计算得出2223276,99m m C m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得222332,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，分C D x x =，C D x x ≠两种情况表示出直线CD 方程，从而确定出定点.【详解】（1）12(,0),(,0)A a A a -，(0,1)B 1(,1)A B a →=，2(,1)A B a →=-，21214A B A B a →→⋅=-+=-，解得25a =即椭圆Γ的方程为2215x y +=.（2）椭圆的方程为2212x y +=，由题意2(1,0)F ，设另一焦点为()11,0F -，设(,)Q Q Q x y ，由线段2F Q 的中点在y 轴上，得1F Q x ⊥轴，所以1Q x =-，代入椭圆方程得22Q y =，即1,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭221121244F BQ BF M BQM S S S ⎛=+=-⋅=- ⎝⎭△△△；（3）证明：由题意12(3,0),(3,0)A A -，设点P 的坐标为(6,)m ，直线1PA ：(3)9m y x =+，与椭圆方程2219x y +=联立消去y 得：2222(9)69810m x m x m +++-=由韦达定理得223279C m x m -+=+即2223276,99m m C m m ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭；同理222332,11m m D m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭；当C D x x =，即22222733391m m m m --=++即23m =时，直线CD 的方程为32x =；当C D x x ≠时，直线CD ：2222243313(3)1m m m y x m m m ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭化简得2433(3)2m y x m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，恒过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述，直线CD 恒过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点睛：解决第（3）的关键是能够运用韦达定理表示出,C D 点的坐标，从而表示出直线CD ，并能通过运算整理成关于m 的方程，从而确定出定点，考查学生的运算求解能力，有一定的难度.15．已知曲线()()()22:528C m x m y m R -+-=∈.（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；（3）设4m =，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，1y =与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线.【答案】（1）()(),25,-∞+∞ ；（2）()3.5,5；（3）见解析【分析】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则250m m ->->，解得m 的取值范围；（3）联立直线与椭圆方程结合()23223k =- ，解得k ，设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，，求出MB 的方程，可得316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，从而可得3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，() ,2N N AN x kx =+ ，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN 共线，利用韦达定理，可以证明．【详解】（1）若曲线C 表示双曲线，则：()()520m m --<，解得：()()25m ∈-∞⋃+∞，，.（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则：250m m ->->，解得：7,52m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）当4m =，曲线C 可化为：2228x y +=，当0x =时，2y =±，故A 点坐标为：()02，，()02B -，，将直线4y kx =+代入椭圆方程2228x y +=得：()222116240k x kx +++=，若4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，则()232230k =-> ，解得232k >，由韦达定理得：21621m n k x x k +=-+①，22421m n x x k ⋅=+②设(),4N N N x kx +，(),4M M M x kx +，()1G G x ，，MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，∴3 16M M x AG kx ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，() ,2N N AN x kx =+ ，欲证A ，G ，N 三点共线，只需证 AG ，AN共线，即()326M N N M x kx x kx +=-+，将①②代入可得等式成立，则A ，G ，N 三点共线得证．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解，属于中档题.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,2P -，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为(2,0)-．过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B （A ，B 不同于点D ），直线DA 与直线m ：4x =交于点M ．连接MF ，过点F 作MF 的垂线与直线m 交于点N ．（1）求椭圆C 的方程，并求点F 的坐标；（2）求证：D ，B ，N 三点共线．【答案】（1）22143x y +=，(1,0)；（2）证明见解析.【分析】（1）根据题意列方程组222,1914a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标；（2）讨论直线l 的斜率，利用DB DN，是平行的证明D ，B ，N 三点共线．【详解】（1）因为点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为()2,0-，所以222,19 1.4a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=．所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为()1,0．（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =．显然，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．当31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，直线DA 的方程为()122y x =+，点M 的坐标为()4,3．所以1MF k =．直线FN 的方程为()1y x =--，点N 的坐标为()4,3-．则33,2DB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()6,3DN =- ．所以2DN DB = ，所以D ，B ，N 三点共线．同理，当31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，D ，B ，N 三点共线．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-．由()221,3412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()()22223484120k x k x k +-+-=．且()()()222284344120k k k ∆=--+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+．直线DA 的方程为()1122y y x x =++，点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭．所以11116022412MF y x y k x -+==-+．直线NF 的方程为()11212x y x y +=--，点N 的坐标为()11324,2x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．则()222,DB x y =+ ，()11326,2x DN y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．所以()()122132262x x y y -++⋅-()()1212132242x x y y y ⎡⎤=-+++⎣⎦，()()()()2121213224112x x k x x y ⎡⎤=-+++--⎣⎦，()()()2221212131424442k x x k x x k y ⎡⎤=-++-+++⎣⎦，()()222222213412814244423434k k k k k y k k ⎡⎤-=-++-++⎢⎥++⎣⎦，()()()()()222222211441224844343234k k k k k k y k +-+-+++=-⋅+，242242422134121648163212121616234k k k k k k k k y k -+-+-++++=-⋅+0=．所以DB 与DN共线，所以D ，B ，N 三点共线．综上所述，D ，B ，N 三点共线．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为A 和B ，离心率为12，且点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P ，Q 两点，连接AP 、BQ ，直线AP 与BQ 交于点N ，探求点N 是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）在，x =4.【分析】（1）根据离心率及椭圆上的点可求出椭圆的标准方程；（2）设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程，直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，直线BQ 的方程为22(2)2y y x x =--，求出交点，由根与系数关系化简即可.【详解】（1）由题设，12c a =，221914a b+=，且222a b c =+所以224,3a b ==，∴椭圆方程为22143x y +=；（2）由（1）知，A （-2，0），B （2，0），设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690m y my ++-=，因为>0∆，设()()1122,,,P x y Q x y ，所以12122269,3434m y y y y m m --+==++，设直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，直线BQ 的方程为22(2)2y y x x =--，则1212(2)(2)22y y x x x x +=-+-，即21211212(2)(3)22(2)(1)+++==---y x y my x x y x y my ，而12123()2my y y y =+，∴121239222313222++==-+y y x x y y ，∴x =4，即直线AP 与直线BQ 的交点在直线x =4上.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，椭圆中的定值问题，属于中档题.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，O 为原点.以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点P ，Q 在C 上.（1）求C 的离心率；（2）当2a =时，过(1,0)作与x 轴不重合的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k 是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.【答案】（1）63；（2）是，13，证明见解析.【分析】（1）由题意可知,22a a P ⎫⎛ ⎪⎝⎭，将其代入椭圆方程中化简可得223a b=，从而可求出离心率；（2）当2a =时，233b =，所以椭圆的方程为2234x y +=，然后当直线l 的斜率不存在时，求出M ，N 两点的坐标，从而可求出1k ，2k ，进而可得12k k 的值，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，然后将直线方程与椭圆的方程联立方程组，消去x ，再利用根与系数的关系得12223m y y m +=-+，12233y y m =-+，然后求11122222y k x y k x +=-，化简可得答案；或利用根与系数的关系后，由于。

利用极坐标解圆锥曲线题

利用极坐标解题知识点精析：椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ．当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线（2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向上的抛物线当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线（3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆当e=1时，方程表示开口向下的抛物线当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例1.（复旦自招）确定方程1053cos ρθ=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。

解法一：310253331cos 1cos 55ρθθ⨯==--31053e P ∴==，2332555851015103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 2225155()()882b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解法二：转化为直角坐标（2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，1、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A 、B 两点，求弦长。

圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)

圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程）圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题,理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。

由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。

本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了,中等学习程度的学生完全能够得心应手！?定理已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴（或平行于坐标轴),焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e,通径长为H ，则（1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长|cos 1|||22αe HAB -=； (2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长|sin 1|||22αe HAB -=。

推论：（1）焦点在x 轴上,当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α22cos 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1cos ||22-=αe HAB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2sin ||HAB =. (2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,α22sin 1||e HAB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1sin ||22-=αe HAB ；当圆锥曲线是抛物线时，α2cos ||HAB =.典题妙解下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用。

例1（06湖南文第21题）已知椭圆134221=+y x C ：，抛物线px m y 22=-）（（p ＞0），且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点。

(Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值,并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上；（Ⅱ）若34=p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.例2(07全国Ⅰ文第22题)已知椭圆12322=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于B 、D 两点,过2F 的直线交椭圆于A 、C 两点，且BD AC ⊥，垂足为P 。

极坐标法解一类圆锥曲线题

极坐标法解一类圆锥曲线题
朱小扣
【期刊名称】《中学数学研究（华南师范大学）：上半月》
【年(卷),期】2018(0)3
【摘要】极坐标法有时在解圆锥曲线过焦点弦长问题时常常迅速而简便．本文着重探讨其在解题中的应用．
【总页数】2页(P4-5)
【关键词】极坐标;圆锥曲线;焦点弦长
【作者】朱小扣
【作者单位】安徽省无为县牛埠中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
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