利用极坐标解圆锥曲线题word版本.docx

利用极坐标解题

知识点精析：椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点( 焦点 ) 的距离和一条定直线 ( 准线 ) 的距离的比等于常数 e 的点的轨迹．

以椭圆的左焦点 ( 双曲线的右焦点、抛物线的焦点) 为极点，过点 F 作相应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．

椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：

ep

.

1 ecos

其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞ 0 ．

当 0＜ e＜ 1 时，方程表示椭圆；

当 e＞ 1 时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.

引论（ 1）若

ep

1+ecos

则0＜ e＜ 1 当时，方程表示极点在右焦点上的椭

圆当 e=1 时时，方程表示开口向左的抛物线

当 e＞ 1 方程表示极点在左焦点上的双曲线

（2 ）若

ep

1-esin

当0 ＜ e＜ 1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆

当e=1 时，方程表示开口向上的抛物线

当e ＞ 1 时 ! 方程表示极点在上焦点的双曲线

ep

（3）

1+esin

当 0 ＜ e ＜ 1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线

当 e ＞ 1 时 ! 方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编

（1）二次曲线基本量之间的互求

例 1.（复旦自招）确定方程

10 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。

3cos

5

2

3 10

解法一：

5 3

1 3

cos

1 3

cos

5

5

3

10

e

， P

5 3

c

3

3 a c a

25

a

5

5

8 b 2 10

5

10 c

15

c

3

a c

3 8

3

b

( 25 )2 ( 15 )2 5 8 8

2

3 15 长轴长 25

，短轴长

5

方程表示椭圆的离心率 e

，焦距 ，

4

5

4

解法二：转化为直角坐标

（ 2）圆锥曲线弦长问题

若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F ，

1、椭圆中， p

a 2 c

b 2 ， MN

ep ep

) a 2

2ab 2 .

c

c

1 ecos 1 ecos(

c 2 cos 2

若椭圆方程为

，半焦距为

，焦点

，

设过

的直线 的倾斜角为

交椭圆于 A 、 B 两点，求弦长

。

解：连结，设，由椭圆定义得

，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长

。

同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）

结论：椭圆过焦点弦长公式：

2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）

ep ep2ab2；

若 M 、 N 在双曲线同一支上，MN

1

ecos1ecos() a2c2cos2

ep ep2ab2

若 M 、 N 在双曲线不同支上，MN

1

ecos1ecos c 2 cos2a2

设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、 B 两点，求弦长|AB| 。

解：（ 1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、 B 在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得

，由余弦定理可得

整理可得，同理，则可求得弦长

。

（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、 B 在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得，

整理可得，则

因此焦点在x 轴的焦点弦长为

同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式

其中 a 为实半轴， b 为虚半轴， c 为半焦距，为AB的倾斜角。

p p 2 p

3、抛物线中，MN

1 cos

1 cos() sin 2

若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长 |AB| ？（图 4）

解：过 A、 B 两点分别向x 轴作垂线为垂足，设，，则点 A 的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得

即

则

同理的焦点弦长为

的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为

例 2．已知抛物线y2=2px （p>0 ），过其焦点且斜率为k 的直线交抛物线于 A ， B 两点，求AB 长 .

练习 1：．过双曲线x

2- y21的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线与 A 、 B 两点，453

求｜AB ｜

解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系

即得

5

3cos A(,), B( 2 ,) 21

33