正余弦定理应用举例(二)

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余弦定理和正弦定理的应用

余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是初中数学中非常重要的定理，它们在解决三角形相关问题时起到了至关重要的作用。

在本文中，我将为大家详细介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的实用性和重要性。

一、余弦定理的应用余弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。

它的数学表达式为：c² = a²+ b² - 2abcosC，其中a、b、c为三角形的边长，C为夹角。

1. 求解三角形的边长假设我们已知一个三角形的两边和它们之间的夹角，想要求解第三边的长度。

这时，我们可以利用余弦定理来解决这个问题。

例如，已知一个三角形的两边长分别为5cm和8cm，夹角为60°，我们可以利用余弦定理来计算第三边的长度。

根据余弦定理，我们可以得到c² = 5² + 8² - 2×5×8×cos60°，即c² = 25 + 64 -80cos60°。

进一步计算可得c² = 89 - 80cos60°，再开方可得c ≈ 2.92cm。

因此，这个三角形的第三边长约为2.92cm。

2. 求解三角形的角度除了求解边长外，余弦定理还可以用来求解三角形的角度。

例如，已知一个三角形的三边长分别为3cm、4cm和5cm，我们可以利用余弦定理来计算它的夹角。

根据余弦定理，我们可以得到cosC = (3² + 4² - 5²) / (2×3×4)，即cosC = (9 + 16 - 25) / 24。

计算可得cosC = 0，因此C的值为90°。

通过以上两个例子，我们可以看到余弦定理在求解三角形边长和角度时的实用性和重要性。

它为我们解决各种三角形相关问题提供了有力的工具。

二、正弦定理的应用正弦定理是用来求解三角形的边长或角度的定理。

【创新设计】2022-2021学年高二数学人教B版必修5学案：1.2 应用举例(二)

1．2 应用举例(二)[学习目标] 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的有关角度的测量问题.2.能够运用正、余弦定理解决力学或几何方面的问题．[学问链接] 有人说物理学科中的题实质上是数学的应用题，事实上学习物理离不开数学，数学在物理学中的应用格外广泛，本节课我们来争辩正、余弦定理在测量方面，及在物理中的力学、平面几何方面的应用．要点一测量角度问题例1 如图在海岸A 处发觉北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B 处有一艘走奉命以103私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃跑．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6， ∴BC ＝6(海里)．又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠CDB ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．规律方法航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题肯定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后依据条件，画出示意图，转化为三角形问题．跟踪演练1 甲船在A 点发觉乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at 海里，AC ＝3at 海里， B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝ACsin B 得：sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin 120°3at ＝323＝12.∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°. ∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．要点二正、余弦定理在几何中的应用例2 如图所示，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？解设∠AOB ＝α，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝12＋22－2×2cos α＝5－4cos α，α∈(0，π)，于是，四边形OACB 的面积为S ＝S △AOB ＋S △ABC＝12OA ·OB ·sin α＋34AB 2＝12×2×1×sin α＋34(5－4cos α) ＝sin α－3cos α＋543＝2sin(α－π3)＋543.由于0<α<π，所以当α－π3＝π2，α＝56π，即∠AOB ＝56π时，四边形OACB 面积最大．规律方法利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练2 如图所示，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC边上的高AD 的长．解在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，x >0，由正弦定理得7x sin C ＝8xsin B .∴sin C ＝7x sin B 8x ＝78×437＝32.∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不合要求)．由余弦定理得(7x )2＝(8x )2＋152－2×8x ×15cos 60°， ∴x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝3或x ＝5. ∴AB ＝21或AB ＝35，在△ABD 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ，∴AD ＝123或20 3.1．已知两座灯塔A ，B 与海洋观看站C 的距离相等，灯塔A 在观看站C 的北偏东40°，灯塔B 在观看站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°答案 B解析如图，因△ABC 为等腰三角形，所以∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，60°－50°＝10°，故选B.2．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危急区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危急区内的时间为( ) A ．0.5 h B ．1 h C ．1.5 h D ．2 h 答案 B解析设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30 km ，AP ＝x . 在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°，化简得x 2－402x ＋700＝0. 设该方程的两根为x 1，x 2，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400，|x 1－x 2|＝20，即P 1P 2＝20，故t ＝P 1P 2v ＝2020＝1.故选B.3．一艘海轮从A 处动身，以40 n mile/h 的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min 后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．10 2 n mile B ．10 3 n mile C ．20 2 n mile D ．20 3 n mile答案 A解析如图所示，由已知条件可得，∠CAB ＝30°， ∠ABC ＝105°，AB ＝40×12＝20(n mile)．∴∠BCA ＝45°.∴由正弦定理可得AB sin 45°＝BCsin 30°.∴BC ＝20×1222＝102(n mile)．4．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ABC ＝60°，AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝152，则AB ＝________.答案 43解析在△ADC 中，已知AC ＝6，AD ＝5，S △ADC ＝152，则由S △ADC ＝12·AC ·AD ·sin ∠DAC ，求得sin ∠DAC ＝12，即∠DAC ＝30°，∴ ∠BAC ＝30°.而∠ABC ＝60°，故△ABC 为直角三角形； ∵ AC ＝6，∴ AB ＝AC cos 30°＝632＝4 3.1．在求解三角形中，我们可以依据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必需检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种状况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先争辩，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．一、基础达标1．从高出海平面h m 的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为 ( )A ．2h m B.2h m C.3h m D ．22h m 答案 A解析如图所示，BC ＝3h m ，AC ＝h m ，∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h (m)．2．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以每小时4 km 的速度向正北航行，同时，乙船自B 动身以每小时6 km 的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( ) A.1507分钟 B.157小时 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟答案 A解析设行驶x h 后甲到点C ，乙到点D ，两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°. ∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120° ＝28x 2－20x ＋100＝28(x －514)2－257＋100∴当x ＝514小时＝1507分钟，y 2有最小值．∴y 最小．3．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西处40°，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔的距离为________ km. 答案6－1解析由题意知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设B 船到灯塔的距离为x ，即BC ＝x .由余弦定理可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°，即9＝4＋x 2－2×2x ×(－12)，整理得x 2＋2x －5＝0，解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6.4．在平行四边形中，AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则平行四边形面积是________．答案 16解析设两邻边AD ＝b ，AB ＝a ，∠BAD ＝α，则a ＋b ＝9，a 2＋b2－2ab cos α＝17，a 2＋b 2－2ab cos(180°－α)＝65. 解得：a ＝5，b ＝4，cos α＝35，∴S ▱ABCD ＝ab sin α＝16.5．两座灯塔A 和B 与海洋观看站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观看站C 的北偏东20°，灯塔B 在观看站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为________km. 答案3a解析由于灯塔A 在观看站C 的北偏东20°，灯塔B 在观看站C 的南偏东40°，所以∠ACB ＝120°.又由于AC 和BC 的距离都是a km ，由余弦定理，得AB 2＝a 2＋a 2－2×a ×a ×cos 120°＝3a 2，所以A ，B 的距离是3a km.6.某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如右图)，其一角已破损，现测得如下数据：BC ＝2.57 cm ，CE ＝3.57 cm ，BD ＝4.38 cm ，B ＝45°，C ＝120°.为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01 cm)．解如下图所示，将BD ，CE 分别延长相交于一点A ，在△ABC 中，已知BC 的长及角B 与角C ，可以通过正弦定理求AB ，AC 的长．将BD ，CE 分别延长相交于一点A ，在△ABC 中，BC ＝2.57 cm ，B ＝45°，C ＝120°， A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋120°)＝15°.∵BC sin A ＝AC sin B ，∴AC ＝BC sin B sin A ＝2.57sin 45°sin 15°. 利用计算器算得AC ≈7.02(cm)．同理，AB ≈8.60(cm)．答原玉佩两边的长分别约为7.02 cm,8.60 cm.7．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在货轮的南偏东60°. 求：(1)A 处与D 处的距离；(2)灯塔C 与D 处的距离．解 (1)在△ABD 中，∠ADB ＝60°，B ＝45°.由正弦定理得AD ＝AB sin Bsin ∠ADB ＝126×2232＝24(n mile)．所以A 处与D 处的距离为24 n mile.(2)在△ADC 中，由余弦定理得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°.解得：CD ＝83(n mile)．即灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile. 二、力量提升8．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°的方向上，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为________海里/时．答案 20(6－2) 解析由题意，得∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°. 由正弦定理得MN sin 30°＝MSsin 105°.∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝106＋24＝10(6－2)(海里)．则v 货＝20(6－2) (海里/时)．9．某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A 处获悉后，马上测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向小岛B 靠拢，我海军舰艇马上以103海里/时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．解如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t 海里，CB ＝10t 海里，在△ABC 中，依据余弦定理，则有 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，可得(103t )2＝102＋(10t )2－2×10×10t cos 120°，整理得2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB ＝103(海里)，BC ＝10(海里)，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝BC sin 120°AB ＝10×32103＝12，所以∠CAB ＝30°，所以舰艇航行的方位角为75°.10．为保障高考的公正性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点四周1千米处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的大路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿大路行驶，问最长需要多少分钟检查员开头收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解如图所示，考点为A ，检查开头处为B ，设大路上C ，D 两点到考点的距离为1千米．在△ABC 中，AB ＝3≈1.732(千米)，AC ＝1(千米)， ∠ABC ＝ 30°，由正弦定理sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1(千米)，在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1(千米)． ∵BC12×60＝5，∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟．所以最长需要5分钟检查员开头收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．11．某工厂生产产品后，留下大量中心角为60°，半径为R 的扇形边角料，现要利用边角料，从中剪裁出矩形毛坯，要求矩形面积尽可能大，请问如何裁剪？解如图所示，矩形有两个顶点在半径OA 上，设∠AOP ＝θ，则PM ＝R sin θ，∵扇形中心角为60°， ∴∠PQO ＝120°.在△OPQ 中，由正弦定理，得OP sin 120°＝PQsin (60°－θ)，即PQ ＝23R sin(60°－θ)． ∴矩形MPQR 的面积为 S 1＝PM ·PQ ＝23R 2sin θsin(60°－θ)， sin θsin(60°－θ)＝sin θ(32cos θ－12sin θ) ＝32sin θcos θ－12sin 2 θ ＝34sin 2θ－1－cos 2θ4 ＝34sin 2θ＋14cos 2θ－14＝12sin(2θ＋30°)－14，当sin(2θ＋30°)＝1时，取得最大值14，即θ＝30°时，sin θsin(60°－θ)≤14.此时S 1＝23R 2sin θsin(60°－θ)≤36R 2，故θ＝30°时，S 1取最大值36R 2，由θ＝30°确定P 点，通过做平行线不难确定出另三点．三、探究与创新12．现有一块直径为30 cm 的圆形钢板，需截去直径分别为20 cm,10 cm 的圆形钢板各一块，现需在剩余的钢板中再截出同样大小的圆形钢板两块，问这两块钢板的半径最大为多少？解如图，设⊙A ，⊙B 分别是直径为20 cm 和10 cm 的圆，⊙D 是直径为30 cm 的圆，则⊙A ，⊙B 相外切且与⊙D 内切，再设最终截下的两个最大的圆为⊙C ，⊙E ，则它们与⊙A ，⊙B 相外切，且与⊙D 相内切，连接AB 、AC 、BC 、CD .设⊙C 的半径为r ，在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝10＋r ， BC ＝5＋r ，AD ＝5，CD ＝15－r ，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝152＋(10＋r )2－(5＋r )22×15×(10＋r )＝30＋r 30＋3r .在△ADC 中，cos ∠DAC ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC＝52＋(10＋r )2－(15－r )22·5·(10＋r )＝5r －10r ＋10.故30＋r30＋3r ＝5r －10r ＋10，整理得7r 2＋40r －300＝0， ∴r ＝307或r ＝－10(舍去)．所以在剩余的钢板中还可以截出半径最大为307cm 的同样大小的圆形钢板两块．。

运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决三角形

1．在△ABC中，A＝60°，a＝4 ，b＝4 ，则B等于( )
A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对
2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ ac，则角B的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
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例1如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2．
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1、与解斜三角形有关的公式
（1）正弦定理和余弦定理:
= =
; ; ;
对公式及公式的变形要记熟,要清楚这些公式能解决那些问题.
(2)求面积公式的其他公式:
; 是内切圆的半径）；
2R2sinAsinBsinC（R为外接圆半径）； .
(3)两角和与差的正弦余弦正切公式,二倍角公式等要在解题中会熟练运用.
整理，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝ .∵0<A<π，∴A＝ .
(2)∵S△ABC＝ bcsinA＝，即 bcsin ＝，
∴bc＝3.①
∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴b2＋c2＝6，②
由①②得b＝c＝，∴△ABC为等边三角形．
规律总结：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理和余弦定理进行边角的互化，进而求角或边的大小.已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑用正玄余弦定理化边为角或化角为边，在进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定，.
章节
1.2应用举例
课题
应用举例（二）
学习目标
1.能够ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决三角形中的有关边长角度面积等问题.
2.通过例题讲解和实践提高分析问题、解决问题的能力。

正余弦定理的应用举例

正余弦定理的应用举例正、余弦定理的应用举例（1）知识梳理一、解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解二．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.三．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.典例剖析题型一距离问题例 1.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？解：如图，连结，由已知，，，又，是等边三角形，，由已知，，，在中，由余弦定理，．．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．题型二高度问题例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，AC=BC=30，AD=DC=10，ADC=180-4，=。

sin4=2sin2cos2cos2=,得2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE=x，AE=h在RtACE中,(10+x)+h=30在RtADE中,x+h=(10)两式相减，得x=5,h=15在RtACE中,tan2==2=30,=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=x，由题意，得BAC=，CAD=2，AC=BC=30m,AD=CD=10m在RtACE中，sin2=------①在RtADE中，sin4=,----②②①得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m评析：根据题意正确画出图形是解题的关键，同时要把题意中的数据在图形中体现出来。

第06课时(正余弦定理的应用(2))

1．四边形ABCD是半径为R的圆内接矩形，求矩形ABCD面积的最大值．2．已知一个直角三角形的周长为2，求其斜边长的最小值．例题剖析例1 如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，2OA，B为半圆上任意=一点，以AB为一边作等边ABC∆，问点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？P PRCQ PRCQ 的面积最大．例3 某工厂生产主要产品后，留下大量中心角为 60，半径为a 的扇形边角料，现要废物利用，从中剪裁下矩形毛坯，有两种方案．所图所示：方案（1）：让矩形的一边在扇形的一条半径上；方案（2）：让矩形的一边与弦AB 平行．试问：哪种裁法能得到最大面积的矩形，求出最大值．课堂小结正余弦定理在实际问题中的应用；建立三角函数模型．ABQRD CTSOBA(2)ABC(1)课后训练班级：高一（）班姓名：____________一基础题1．ABC ∆中，角C B A ，，的对边分别为c b a ，，，那么A b B a cos cos +等于( ) A ．C cos 2B ．C sin 2C ．2b a + D ． c2．在ABC ∆中，3:2:1::=C B A ，则=c b a :: ( ) A ．3:2:1B ．5:4:3C ．2:3:1D ．4:3:23．在ABC ∆中，若ABC ∆的面积为S ，且22)(2c b a S -+=，则=c tan ___________．二提高题4．把一根长为cm 30的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且︒=∠120ABC ，如何锯断木条，才能使第三条边AC 最短．5．如图，已知A ∠为定角，Q P ，分别在A ∠的两边上，PQ 为定长，当Q P ，处于什么位置时，APQ ∆的面积最大?AQP6．在ABC ∆中，已知01cos 2=-B ，48=ac ，2=-c a ，求b ．三能力题7．ABC ∆内以O 为圆心，1为半径的圆，且0543==+OC OB OA ，（1）求OA ·OB ，OB ·OC ，OC ·OA ；（2）求ABC S ∆．8．在ABC ∆中，已知3π=A ，3=a ，求证：ABC ∆为正三角形时其周长取得最大值．。

正弦定理余弦定理应用举例

正弦定理、余弦定理应用举例一、距离问题1.xkm 后，他向右转150，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点某人向正东方向走恰好3km ，那么x 的值为【】A.3B.23C.23或3D.32.如图，为了测量某障碍物两侧A、 B 间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据【】A., a, bB.,， aC.a,b，D.,， b两座灯塔A 与B与海洋观察站C的距离都等于 a km ，灯塔A在观察站C的北偏东3.20 ，灯塔B在观察站C的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为【】A. a kmB.3a kmC. 2a kmD. 2a km4.海上有 A、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望 C岛和 B岛成60的视角，从B岛望 C 岛和 A岛成75的视角，则B、 C 的距离是 __________________5.一船向正北航行，看见正西方向有相距10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60的方向上，另一灯塔在船的南偏西75 方向上，则这艘船的速度是每小时___________________6.如右图所示，设 A 、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的河岸边选定一点 C ，测出 AC 的距离为 50m ,ACB45 , CAB105后，就可以计算 A 、 B 两点间的距离为 ___________7.一船以 24 km / h的速度向正北方向航行，在点 A 处望见灯塔 S 在船的北偏东30 方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65 方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是__________km.(精确到 0.1km ）18.如图，我炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面点 C 和 D 处，已知 CD=6000m.ACD 45，ADC75，B 处时测得BCD 30 , BDC 15目标出现于地面求炮兵阵地到目标的距离。

（结果保留根号）A45600075C D3015B2二、高度问题1.在一幢 20m 高的楼顶测得对面一塔吊的仰角为60 ，塔基的俯角为45 ，那么这座塔吊的高是【】3 )m B. 20(13) m C.10( 6 2 )m D. 20(6 2 )mA.20(132.在地面上点 D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端 A 与底部 B 的仰角分别为60 和 30 ，已知建筑物底部高出地面 D 点 20m，则建筑物高度为【】A.20mB.30mC. 40mD.60m3.如图所示，在山根 A 处测得山顶 B 的仰角CAB 45 ,沿倾斜角为 30 的山坡向山顶走1000 米到达 S 点又测得山顶仰角DSB 75 ,则山高BC为【】A.500 2mB. 200mC.1000 2mD. 1000m4.从某电视塔的正东方向的 A 处，测得塔顶仰角为60 ；从电视塔的西偏南30 的B处，测得塔顶仰角为45 ,A、B两点间的距离是35m，则此电视塔的高度是【】4900 m D.35mA. 5 21mB.10mC.135.j 江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45 ， 30 ，而且两条船与炮台底部连线成30 角，则两船相距【】A.10 3mB.100 3mC. 203mD.30m6.一船以每小时15km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔M 在北偏东60方向，行驶4h 后，船到达 B 处，看到这个灯塔在北偏东15 方向，这时船与灯塔的距离为_____km37.甲、乙两楼相距20 米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60 ，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30 ，则甲、乙两楼的高分别是______________8.地平面上一旗杆设定为OP,为测得它的高度h，在地平线上取一基线AB， AB=200m ，在 A 处测得 P 点的仰角为OAP 30 ,在B处测得P点的仰角OBP 45 ，又测得AOB 60 ,求旗杆的高度h4。

余弦定理和正弦定理的应用

余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形问题中常用的数学定理。

它们可以帮助我们求解三角形的边长、角度和面积等。

本文将分别介绍余弦定理和正弦定理的应用，并通过实例来说明它们的具体使用方法。

一、余弦定理的应用余弦定理是一个用来描述三角形边长和夹角之间关系的定理。

在任意三角形ABC中，假设边长分别为a、b、c，而对应的夹角为A、B、C，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab·cosC1. 求解三角形边长假设我们已知一个三角形的两个边长a和b，以及它们夹角C的大小。

我们可以通过余弦定理来求解第三个边长c。

例如，已知三角形ABC中，边AB的长度为5，边AC的长度为8，而夹角B的大小为60度。

按照余弦定理，我们可以用下式来计算边BC的长度：BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cosB代入具体数值，即可求得：BC² = 5² + 8² - 2·5·8·cos60°BC² = 25 + 64 - 80·0.5BC² = 89 - 40BC² = 49BC = √49 = 7因此，边BC的长度为7。

2. 求解三角形夹角在某些情况下，我们已知三角形的三个边长，但需要求解其中一个夹角的大小。

余弦定理同样可以解决这个问题。

例如，已知三角形ABC的边长分别为a=4、b=7、c=9。

我们想要求解夹角C的大小。

根据余弦定理，我们可以得到：c² = a² + b² - 2ab·cosC代入具体数值，我们可以得到：9² = 4² + 7² - 2·4·7·cosC81 = 16 + 49 - 56·cosC16 + 49 - 81 = 56·cosC-16 = 56·cosCcosC = -16 / 56 = -0.2857由于余弦函数的定义域为[-1, 1]，该结果无解，即无法构成三角形。

正弦定理与余弦定理的应用

正弦定理与余弦定理的应用正弦定理和余弦定理是中学数学中重要的几何定理，它们在解决三角形相关问题时起着关键作用。

本文将以实际例子为基础，详细介绍正弦定理和余弦定理的应用。

一、正弦定理的应用正弦定理是解决三角形边长和角度之间关系的重要工具。

它的表达式为：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，其中$a$、$b$、$c$分别为三角形的边长，$A$、$B$、$C$为对应的角度。

例子一：已知三角形$ABC$中，$AB=5$，$BC=8$，$\angle B=45^\circ$，求$\angle A$和$\angle C$的大小。

解析：根据正弦定理可得：$\frac{5}{\sin A}=\frac{8}{\sin 45^\circ}$。

通过求解可得$\sin A=\frac{5\sin 45^\circ}{8}$，进而得到$\angle A=\sin^{-1}\left(\frac{5\sin 45^\circ}{8}\right)$。

同理，可以求得$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B$。

通过计算可得$\angle A\approx 28.07^\circ$，$\angle C\approx106.93^\circ$。

例子二：已知三角形$ABC$中，$AB=6$，$BC=9$，$\angle A=30^\circ$，求$AC$的长度。

解析：根据正弦定理可得：$\frac{6}{\sin 30^\circ}=\frac{AC}{\sin C}$。

通过求解可得$\sin C=\frac{AC\sin 30^\circ}{6}$，进而得到$AC=\frac{6\sin C}{\sin30^\circ}$。

由于$\sin C=\sin (180^\circ-\angle A-\angle B)$，可以通过计算得到$AC\approx 10.39$。

正弦定理和余弦定理综合应用

BC
a sin
a sin
sin 180o ( ) sin( )
α
δ
β
γ
D
C
计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计
算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度，解直角三角形即可求出AB的长。
借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
C
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a, 并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.
在 ∆ADC和∆ BDC中，应用正弦定理得
B
a sin( )
a sin( ) A
AC
sin 180o ( ) sin( )
故sin B AC sin A 5 3 B 38o
BC 14
故我舰航行的方向为北偏东 50o 38o 12o
变式训练1：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
注：阅读教材P12，了解基线的概念
1.2.1 应用举例
公式、定理
正弦定理：a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2abcosC
三角形边与角的关系：
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
即sin9A0C°－α＝sinBαC－β，∴AC＝sBinCαco－s βα＝sihncαo－s αβ. 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝hscionsαα－sinββ.

正弦定理、余弦定理的应用(整理2019年11月)

于朔、望日两次入朝。我原以为是厨师生了感冒，像在一个半圆
实例讲解
想一想
如果对例1的题目进行修改：点A、B都在河的对岸
且不可到达，那又如何求A、B两点间的距离？请同
学们设计一种方法求A、B两点间的距离。（如图）
A
B
分析：象例1一样构造三角形，利
用解三角形求解。

D

C
实例讲解
解：测量者可以在河岸边选定两点Ｃ、Ｄ，测的ＣＤ＝a
AC sin ACB
55 sin 75
AB sin ABC sin(180 51 75)

55 sin 75 sin 54
Hale Waihona Puke 65.7答：A、B两点的距离为65.7米.
想一想
有其他解法？
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BC sin[180 ( )] sin( )
计算出AC和BC后，再在三角形ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离:
1.2.1 应用举例
解决有关测量距离的问题
一、定理内容:
1、正弦定理: 2、余弦定理:
二、应用: 求三角形中的某些元素
解三角形
实例讲解
例1、如下图,设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距
离。测量者在A的同侧，BAC 51, ACB 75, 在所在的河岸
边选定一点C，测出AC的距离是55 m，求点A、B两点间的
；
人们如何“点石成金”。或相识了没有片面强调重复或超越都是值得质疑的。不见当年秦始皇。他应该获得第一名；这是春天啦！…” 如果监狱当局把我从地板上弄起来，都是因于思想的神光有相似之处，钉子太长；趁我来去的间隙，您要是觉

(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题

《正弦定理和余弦定理》典型例题透析类型一：正弦定理的应用：例1．已知在ABC ∆中，10c =，45A =o ，30C =o ，解三角形.思路点拨:先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边a ，然后用三角形内角和求出角B ，最后用正弦定理求出边b . 解析：sin sin a c A C=Q ， ∴sin 10sin 45102sin sin 30c A a C ⨯===oo∴ 180()105B A C =-+=o o ，又sin sin b c B C=， ∴sin 10sin1056220sin 75205652sin sin 304c B b C ⨯====⨯=o o o 总结升华：1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9a cm =，解三角形。

【答案】根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理，0sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A 【变式2】在∆ABC 中，已知075B =，060C =，5c =，求a 、A .【答案】00000180()180(7560)45A B C =-+=-+=，根据正弦定理5sin 45sin 60o o a =，∴56a =【变式3】在∆ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c 【答案】根据正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得::sin :sin :sin 1:2:3a b c A B C ==. 例2．在3,60,1ABC b B c ∆===o 中，，求：a 和A ，C ．思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角C ，然后用三角形内角和求出角A ，最后用正弦定理求出边a .解析：由正弦定理得：sin sin b c B C=， ∴sin 1sin 23c B C b ===o ，（方法一）∵0180C <<o o ， ∴30C =o 或150C =o ，当150C =o 时，210180B C +=>o o ，（舍去）；当30C =o 时，90A =o ，∴222a b c =+=．（方法二）∵b c >，60B =o ， ∴C B <，∴60C <o 即C 为锐角， ∴30C =o ，90A =o ∴222a b c =+=．总结升华：1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

三角形的正弦定理与余弦定理

三角形的正弦定理与余弦定理三角形是数学中的重要概念之一，它具有广泛的应用。

在三角形的研究中，正弦定理和余弦定理是两个基本的定理，它们能够帮助我们研究三角形的边长与角度之间的关系，解决各种与三角形相关的问题。

本文将重点介绍三角形的正弦定理与余弦定理，并通过具体例子来说明它们的应用。

一、三角形的正弦定理正弦定理是描述三角形边长与角度之间关系的定理。

对于一个任意三角形ABC，设a、b、c分别是三边AC、AB和BC的长度，角A、B、C分别为三个顶点的对应角度，则正弦定理可以表达为：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，sinA、sinB和sinC分别表示角A、B和C的正弦值。

通过正弦定理，我们可以推导出三个有用的结论。

1. 第一个结论是三角形内角的正弦定理：对于三角形ABC，有sinA/a = sinB/b = sinC/c。

通过该结论，我们可以根据三角形的边长计算三个内角的正弦值，或者根据三角形的内角计算三个边长的比值。

2. 第二个结论是三角形的外角的正弦定理：对于三角形ABC的外角A'、B'和C'，有sinA'/a = sinB'/b = sinC'/c。

这个结论可以帮助我们计算三角形的外角与边长的关系。

3. 第三个结论是三角形的面积公式：对于三角形ABC，它的面积S 可以表示为S = (1/2) * a * b * sinC。

通过这个结论，我们可以根据三角形的两边和它们之间的夹角来计算该三角形的面积。

二、三角形的余弦定理余弦定理与正弦定理类似，也是描述三角形边长与角度之间关系的定理。

对于一个任意三角形ABC，设a、b、c分别是三边AC、AB和BC的长度，角A、B、C分别为三个顶点的对应角度，则余弦定理可以表达为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC其中，cosC表示角C的余弦值。

通过余弦定理，我们可以推导出三个有用的结论。

正、余弦定理在实际中的应用应用题

正、余弦定理在实际中的应用应用题正弦定理和余弦定理是三角形中的重要定理，它们在实际问题中有着广泛的应用。

下面将通过几个例子来说明它们在实际问题中的应用。

例1：一座山的高度是100米，从山顶到山脚的水平距离是500米。

现在我们要在山脚处建造一座高塔，使得从山顶到塔顶的视角恰好等于直角的一半（即45度）。

求塔的高度。

h/sin45° = 500/sin90°因为 sin45° = √2/2， sin90° = 1，例2：一座大桥的桥面宽度为 10米，桥下水流的深度为 2米。

为了使桥下水的流速达到每秒 5米，现要在桥边修建一条人行道，要求人行道的宽度为 3米。

问人行道的长度应该是多少？解：设人行道的长度为 L米。

由余弦定理得：L2 = （10 - 3）2 + （2 + 5）2 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）× cos30°= 9 + 67 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）× cos30°= 76 - 2 ×（10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）= 76 - （10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）× 2= 76 - （10 - 3）×（2 + 5）×（√3/2）× 2= 76 - （17 ×√3）×（√3/2）× 2答：人行道的长度为 25米。

本节课是介绍余弦定理和正弦定理的内容。

这两个定理是三角学的基本定理，对于理解三角形的属性和解决三角形的问题有着重要的意义。

余弦定理和正弦定理的发现和证明，也体现了数学中普遍存在的一种方法——归纳法。

通过本节课的学习，学生将更好地理解三角形的属性和解三角形的方法，同时也能提高他们的数学思维能力和推理能力。

正弦定理和余弦定理应用举例

如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向. 3.坡角坡面与水平面的夹角(如图所示).
4.坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝＝tanα (i为坡比，α为坡角).
1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、
β的关系为
()
A.α＞β
B.α＝β
C.α＋β＝90°
D.α＋β＝180BC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－ 2AB·ACcos120°，即49＝25＋AC2＋5AC，解之得AC＝3. ∴S△ABC＝ AB·ACsinA＝ ×5×3× ＝答案：
5.在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯
角分别是30°、60°，则塔高为
1.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯
塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一
灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这
只船的速度是每小时
()
A.5海里
B.5 海里
C.10海里
D.10 海里
解析：如图，依题意有 ∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是＝10(海里/小时).
并向北偏东30°方向，以10海里每小时速度逃窜，“马鞍山”舰最快速度为10 海里/小时，请你设计一套“马鞍山”舰追击海盗船只的方案，使“马鞍山”舰能最快截获海盗船，包括：①“马鞍山”舰航行的速度及方向；② 追上海盗船所用时间.
解：如图，设“马鞍山”舰以 10 海里/小时速度追击，t 小时后在D处截获海盗船. 则CD＝10 t海里，BD＝10 t海里，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA ＝( －1)＋22－2( －1)·2·cos120°＝6， ∴BC＝海里.

正弦定理、余弦定理在生活中的应用

正弦定理、余弦定理在生活中的应用正弦定理、余弦定理是解三角形得重要工具，解三角形在经济生活和工程测量中的重要应用，使高考考查的热点和重点之一，本文将正弦定理、余弦定理在生活中的应用作以简单介绍，供同学们学习时参考.一、在不可到达物体高度测量中的应用例1 如图，在河的对岸有一电线铁塔AB ，某人在测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测量点C 与D ，现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．分析：本题是一个高度测量问题，在∆BCD 中，先求出CBD ∠，用正弦定理求出BC ，再在ABC Rt △中求出塔高AB.解析：在BCD △中，CBD ∠=παβ--．由正弦定理得sin BC BDC ∠=sin CD CBD ∠．所以BC =sin sin CD BDC CBD ∠∠=sin sin()s βαβ+·．在ABC Rt △中，AB =tan BC ACB ∠=tan sin sin()s θβαβ+·. 点评：对不可到达的物体的高度测量问题，可先在与物体底部在同一平面内找两点，测出这两点间的距离，再测出这两点分别与物体底部所在点连线和这两点连线所成的角，利用正弦定理或余弦定理求出其中一点到物体底部的距离，在这一点测得物体顶部的仰角，通过解直角三角形，求得物体的高.二、在测量不可到达的两点间距离中的应用例2某工程队在修筑公路时，遇到一个小山包，需要打一条隧道，设山两侧隧道口分别为A 、B ，为了测得隧道的长度，在小山的一侧选取相距km 的C 、D 两点高，测得∠ACB=750，∠BCD=450，∠ADC=300，∠ADC=450（A 、B 、C 、D ），试求隧道的长度.分析：根据题意作出平面示意图，在四边形ABCD 中，需要由已知条件求出AB 的长，由图可知，在∆ACD 和∆BCD 中，利用正弦定理可求得AC 与BC ，然后再在∆ABC 中，由余弦定理求出AB.解析：在∆ACD 中，∵∠ADC=300，∠ACD=1200，∴∠CAD=300，∴在∆BCD 中，∠CBD=1800-450-750=600由正弦定理可得，在∆ABC 中，由余弦定理，可得2222AB AC BC AC BC COS ACB =+-∙∙∠，2220(27522AB COS =+-⨯⨯=5∴ 2.236km,即隧道长为2.236km.点评：本题涉及到解多个三角形问题，注意优化解题过程.如为求AB 的长，可以在∆ABD 中，应用余弦定理求解，但必须先求出AD 与BD 长，但求AD 不如求AC 容易，另外。

正弦定理和余弦定理应用举例

正弦定理和余弦定理的应用举例考点梳理1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.2. 实际问题中的常用角⑴仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①).(2) 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°北偏西45°西偏北60 等；(3) 方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a如图②). (4) 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.【助学微博】解三角形应用题的一般步骤(1) 阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系.侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力.(2) 根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型.(3) 根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4) 将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.解三角形应用题常有以下两种情形(1) 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.⑵实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要求的解.考点自测1. （2012江苏金陵中学）已知△ ABC 的一个内角为120°并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于 __________ .解析记三角形三边长为 a — 4, a , a + 4,则（a + 4）2= （a — 4）2 + a 2— 2a （a — 4）cos1120° 解得 a = 10,故 S = 2X 1°x 6X sin 120 =15/3. 答案15.32. 若海上有A , B , C 三个小岛，测得A , B 两岛相距10海里，/ BAC = 60°/ ABC = 75°则B , C 间的距离是 _________ 里.3. （2013日照调研）如图，一船自西向东匀速航行，上午 10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的 N 处, 则这只船的航行速度为 ________ 里/时.解析由正弦定理，得MN = 68sin^120 = 34 6（海里），船的航行速度为彳：6 = sin 45 v4海里/时）.4. ____________________________________________________________ 在△ ABC 中，若2(3absin C = a 2 + b 2 +殳，则厶ABC 的形状是 ________________ . 解析由 2 . 3absin C = a 2 + b 2 + c 2, a 2+ b 2— c 2= 2abcos C 相加，得 a 2 + b 2 = 等边三角形.sinsin C + 6 = 1,且a = b , C = 时等号成立，所以△ ABC 是答案 5 62absin答案等边三角形b a5. (2010•苏卷)在锐角△ ABC 中，角A , B , C 的对边分别为a , b , c.若5 + b解析利用正、余弦定理将角化为边来运算，因为b+器6cos C,由余弦定理 2 2 2sin C . sin C _ c _ 2c _ 2c _ 4 cos C sin Asin B _a 2 +b 2—c 2_ a 2 + b 2— c 2_ 3 2 2 —ab' 2ab 2c — c答案4【例1】如图所示，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶•测量船于水面 A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75° 30°于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60° AC _0.1 km. (1) 求证：AB _ BD ; ⑵求BD.(1)证明在厶 ACD 中,/ DAC _ 30° , / ADC _ 60°—/DAC _ 30° ,所以 CD _ AC _ 0.1.又/ BCD _ 180° — 60° — 60°_ 60°, 故CB 是厶CAD 底边AD 的中垂线,所以BD _ BA. ◎ 亠亠 AB AC⑵解在° ABC中，sin / BCA _ sin / ABC ， ACsin 60 ° 3,2+sin 15 0_ 20 (km)，因此,BD _6cosC ,则 tan C tan A + tanC tan B的值是2 2 2 2 2 a + b a + b — c得 =6 一 ab 2ab 即 a 2 + b 2 = |c 2.而 tan C tan A tan C tan Bsin C |tos A cos B cos clsin A + sin B 丿_ 即AB _考向一测量距离问题［方法总结］（1）利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.（2）利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学模型的解. （3）应用题要注意作答.【训练1】隔河看两目标A 与B ,但不能到达，在岸边先选取相距飞千米的 C,D 两点，同时测得/ ACB = 75° Z BCD = 45°/ ADC = 30°/ ADB = 45°A , B ，C ，D 在同一平面内），求两目标A ，B 之间的距离.解如题图所示，在△ ACD 中，T Z ADC = 30° Z ACD = 120°,二/ CAD = 30° AC = CD =寸3（千米）.在厶BDC 中，Z CBD = 180°— 45° — 75°60°. 由正弦定理，可得BC = 黑芽―芒严（千米）. 在厶ABC 中，由余弦定理，可得 2 2 2AB 2= AC 2 + BC 2 — 2AC BCcos Z BCA ，即 AB 2= （ 3）2+ -^2 — 2 3•61p^cos 75 =5，二AB = 5（千米）.所以两目标A ， B 间的距离为'.5千米.考向二测量高度问题【例2】（2010江苏）某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度H （单位：m ）如图所示，垂直放置的标杆 BC 的高度h = 4 m ,仰角Z ABE = a, Z ADE = 3 （1）该小组已测得一组 a 3的值，算出了 tan a= 1.24, tan 3= 1.20,请据此算出H 的值；故B 、D 的距离约为 3 2+ ；620km.(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位: m),使a 与B 之差较大，可以提高测量精度•若电视塔的实际高度为 125 m ,试问d 为多少时，a — B 最大？H htan a 4X 1.24 — tan 以 tan a — tan B 1.24— 1.20因此，算出的电视塔的高度 H 是124 m.H(2)由题设知d _AB ，得tan a_孑h /冃H — h_ tan B tan B 得 tan B d ，tan a — tan Bh h所以—_ —B _冲、2.帛，当且仅当 d _，即 d _ H H — h - , 125X 125— 4 -55 5时，上式取等号•所以当d _55.5时，tan(a — B )最大•因为0< a <2，贝u 0< a — B <2，所以当d _ 55 5时，a — B 最大.故所求的d 是55 5 m.［方法总结］(1)测量高度时，要准确理解仰、俯角的概念.(2) 分清已知和待求，分析(画出)示意图，明确在哪个三角形应用正、余弦定理. (3) 注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形. 【训练2】如图所示，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，现测得/ BCD _ a, / BDC _ B, CD _ s ,并在点C 测得塔顶AH解⑴由 AB -tan a ，BD -h _ tan厂H 由 AB _ AD — BDHAB + BD -AD 得面；的仰角为9,求塔高AB.解在厶 BCD 中，/ CBD = n — a — B, BC CDsin Z BDC = sin Z CBD ， CDsin / BDC s sin B所以 BC 二 sin Z CBD 二sin a+ B在 Rt △ ABC 中, AB = BCtan Z ACB =如Bsin ( a+ B)考向三运用正、余弦定理解决航海应用问题【例3】我国海军在东海举行大规模演习.在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A( 3— 1)km 的B 处有一艘“敌舰”.在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 km 的C 处的“大连号”驱逐舰奉命以10.3 km/h 的速度追截“敌舰”.此时， “敌舰”正以10 km/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问“大连号”沿什么方向能最快追上“敌舰”？解设“大连号”用t h 在D 处追上“敌舰”，则有 CD = 10,3t ，BD = 10t ，如图在△ ABC 中AB = 3— 1，AC = 2，Z BAC = 120°, •••由余弦定理，得BC 2 = AB 2+ AC 2 — 2AB AC cos Z BAC =(3— 1)2 + 22 — 2 ( .3— 1) 2 cos 120= 6• Z ABC = 45° • BC 与正北方向垂直.• Z CBD = 90° + 30°= 120°,在厶BCD 中，由正弦定理，得• Z BCD = 30°.由正弦定理得• BC = 一 6,且 sin Z ABC = ACBCsin Z BAC = sin Z BCD = BD sin Z CBD C D10ts in _120 =1 10 3t =2,■即“大连号”沿东偏北30°方向能最快追上“敌舰”. ［方法总结］用解三角形知识解决实际问题的步骤：第一步：将实际问题转化为解三角形问题；第二步：将有关条件和求解的结论归结到某一个或两个三角形中. 第三步：用正弦定理和余弦定理解这个三角形.第四步：将所得结果转化为实际问题的结果. 【训练3】（2013广州二测）如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏东a 的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C 处. （1）求渔船甲的速度； ⑵求sin a 的值.解 ⑴依题意知，/ BAC = 120°, AB = 12（海里），AC = 10X 2= 20（海里），/ BCA = a 在厶ABC 中，由余弦定理，得 BC 2 = AB 2+ AC 2 — 2AB AC cos / BAC=122 + 202 — 2X 12X 20X cos 120 °784.解得BC = 28（海里）.所以渔船甲的速度为BC = 14海里/时. （2）在厶ABC 中，因为AB = 12（海里）， / BAC = 120°, BC = 28（海里），/ BCA = a,12 X —曲. ABsin 120 ° 2 3p3即 sina = = 14 .高考经典题组训练AB 由正弦定理，得站；=sin 120 .BC BC1. （四川卷改编）如图，正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使AE = 1, 连结 EC 、ED 」sin / CED = __________ .解析在Rt △ EAD 和Rt A EBC 中，易知ED = 2, EC = 5,在厶DEC 中， 222f _____由余弦定理得 cos / CED = ED2^^°° = 2蔦_ 1怎=卑0••• sin / CED 2ED EC2X Q 2X Q 5 10 _\^0=To -. 答案2. （2011新课标卷）在厶ABC 中，B _60° AC_/3，贝U AB + 2BC 的最大值为AB _ V3 _ BCsin C _ sin 60 _ sin A ，• AB _ 2sin C , BC _ 2sin A.又 A + C _ 120°, • AB + 2BC _2sin C + 4sin(120 -C)_2(sin C + 2sin 120 cos C —2cos 120si n C)_ 2(sin C + 3cos C + sin C)_ 2(2si n C + 3cos C) _2 .7sin(C + a ，其中 tan a_ ~~, a 是第一象限角. 由于0°< C V 120°，且a 是第一象限角, 因此AB + 2BC 有最大值2 7. 答案2 73. （湖北卷改编）若厶ABC 的三边长为连续三个正整数，且 A>B>C,3b _20acos A ,贝U sin A : sin B : sin C _ ________解析由 A>B>C ,得 a>b>c.设 a _c + 2, b _c + 1,则由 3b _20acos A ,得 3(c得 c _4,所以 a _6, b _5. 答案 6 : 5 : 4解析由正弦定理知 2 2 2(c + 1 ) + c — (c + 2 )+ 1)_ 20(c + 2)—2++——「2,即 3(c + 1) c _ 10(c + 1)(c + 2)(c — 3),解4.(2陕西卷)如图，A, B是海面上位于东西方向相距5(3+ . 3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45° B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 3海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船达到D点需要多长时间？解由题意知AB = 5(3 + 3)海里，/ DBA= 90°—60°= 30° / DAB = 90°—45 =45°所以/ ADB= 180°—(45 0+ 30°)= 105°，DB AR*△ADB中，由正弦定理得sin z BAB=sn:ABDB，所以DB = AB sin/ DAB 5（3+£）sin 45 sin/ ADB = sin 105 °____ 5（3+也）sin 45 °sin 45 cos 60 + cos 45 sin 60=10 3(海里)，又/ DBC = / DBA+/ ABC= 30°+ （90。