核心素养下高中生数学运算能力的提升

富平县2019年文本类教育教学成果参评
论文题目：核心素养下高中生数学运算能力的提升
作者姓名：党伶俐
所在单位：富平县富平中学
提交时间：二○二○年一月
核心素养下高中生数学运算能力的提升
摘要：数学运算能力是一项基础的数学技能，核心素养对数学运算提出了明确要求，与此同时数学运算能力也是发展其他数学技能的前提与基础，因此提升数学运算能力对于培养数学核心素养和数学技能有巨大的作用。

目前，部分高中生的运算能力相对较差，没有达到课程标准拟定的数学核心素养的要求，严重影响其数学学科甚至理化学科的学习。

本文将简要分析其形成原因，并主要针对如何提升高中学生数学运算能力提出如下建议：提高学生运算的兴趣，运算时迎难而上，培养好的运算习惯，总结运算技巧，加强引领、互动，加强课后练习，让学生“结对子”等七个方面加以阐述。

关键词：数学核心素养；数学运算能力；提升
1 问题提出的背后
2014年3月，教育部发布了《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，明确提出将研究制订学生发展核心素养体系和学业质量标准、修订课程方案和课程标准、改进学科教学的育人功能作为落实课程改革的关键领域和主要环节。

学生发展核心素养的研究与讨论，成为教育界乃至社会关注的重要话题。

2016年9月13日，教育部公布《中国学生发展核心素养》，正式确定学生发展核心素养的框架、维度和指标。

学生发展核心素养的培养要体现在学校的教育教学过程之中，而学科教育占学校教育的70%以上，是学生在学校接受教育的主要途径。

数学是中小学教育的主要学科之一，在高中阶段，课程标准里拟定了6个数学核心素养，分别是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。

明确指出这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。

近年来，高中生的运算能力有下降趋势，大多一线老师都有这种感觉。

每次考试下来或者做完作业，好多学生一看，这道题我会做呀，怎么做错了。

部分同学的反应是“题目看错了”，“算错了”，“慌”，这种低级失误我下次不会出现了。

同学们对此不是很重视，认为下次细心点就没事了，而最终的表现是下次还有此种现象存在。

这样的例子已不是个例。

这究竟是什么原因造成的？高中生的运算能力下降的原因有哪些？有什么好的方法可以解决？这些问题的研究已迫在眉睫。

首先先来认识什么是数学运算及数学运算能力。

2 数学运算及数学运算能力
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。

主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。

数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的重要手段。

数学运算是计算机解决问题的基础。

在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发
展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神。

[1]
在高考数学考试大纲中对运算能力的描述如下：
运算能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。

运算能力是思维能力和运算技能的结合。

运算包括对数值的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等。

运算能力包括分析运算条件，探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实
施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。

3 数学运算能力差的原因
学生数学运算能力差，这里面的原因是多方面的。

根据自己教学中的实际经验和对部分学生的调研以及部分老师的交谈，我总结了如下几个原因。

3.1 初高中教材部分脱节
初中教材里的一元二次方程的解的问题，主要方法是开方法、配方法、公式法的教学，学生对因式分解法（十字相乘法）比较陌生，而高中阶段好多题目利用此方法就显得很简单了，比如含参数的一元二次不等式的解法解对应方程的解时此方法就显得很重要了。

初中老师认为这部分不做要求，教师也不是很重视，基础差一点的班级为了不增加学生的学习任务和负担，干脆选择不讲，而高中教师觉得初中老师已经讲过，讲新课时一句话带过，造成的结果往往是学生双目圆瞪，云里雾里，我们还要花大量时间去补充这些知识。

3.2 学生对运算等闲视之
在教学中，我发现，有些学生做题时，只靠脑子想，根本不动笔，运算当中出现的问题他可能永远都发现不了。

再加上我们有的老师上课时没有板算，只分析解题方法和思路，忽视对运算过程的合理性，简洁性，书写的规范性必要引导和指导，造成了一部分学生的错觉，认为学好数学就是有解题思路，会了即可，结果不重要。

最终是自己算的和答案相去甚远，由于不经常解题，手底下比较生疏，所花时间也比别人要多。

关键是这些同学还没有认识到这是由于自己运算能力低下所导致的。

存在“想当然”，“眼高手低”，手算能力差，过分依赖老师等现象。

3.3 学生生搬硬套公式
高中数学要学习、掌握的公式很多，几乎每个章节都有涉及。

有些学生不愿去花时间去理解记忆。

真正到用的时候，一用便错。

至于公式应用的条件是否成立，环境是否成熟，压根不管，只会每个题照搬公式，导致最终失误。

举个例子：求数列}21-2{1-n n •）（的前n 项和
0123-2-1
1234-10123
-2-1123
-2-1-1123252722-3)2(2-122123252722-3)2(2-12-122222222222-(2-121222222-(2-1221-212-(2-121-2n n n n
n n n n n n n Sn n n Sn n n Sn n n n （）（））（））（））n
而好多同学只一味套用等比数列的前n 项和公式，不知道把q
q a n -1)-1(1里的n 换为（n-1），导致算不出，项数盯错了。

从而导致最终结果的错误，功亏一篑，前功尽弃，费时费力不拿分。

3.4 不会活学活用
高中阶段很多时候学生只会被动接受别人的或是老师的思想，不善于思考，对知识的理解没有自己的想法和认识，对运算没有简算、优算的意识，他们认为我把这道题做出来就可2
-12-121-）（n ×
以了。

至于“一题多解”，想都不想。

而殊不知“一题多解”不仅能锻炼学生数学思维的能力，更能培养他们学习数学的兴趣，做到对知识活学活用，真正理解。

比如我们在学习平面解析几何时，很多题目利用代数法的确思维量很小，但往往计算过程比较繁琐，而我们用几何法则很快就可得出答案。

比如直线与圆位置关系的判断。

有些学生平时解题只注重把答案解出来就可以了,或者我把这道题的解题方法记住就行，而忽略了对解题思路的梳理，因此缺乏完整的解题方法规律的总结，解题思路混乱，导致不该有的错误。

举个例子：在平面直角坐标系xoy 中，直线l 与抛物线x y 42=相交于不同的两点A,B 。

（1）若直线l 的方程为y=x-1,求弦|AB|的长；
（2）若直线l 过抛物线的焦点，求OB OA •的值。

第（1）小题我们可以联立直线与抛物线方程消y 后得关于x 的一元二次方程，然后利用抛物线的弦长公式p x x AB ++=21||求解，还可以直接解出1x 和2x ，利用两点间的距离公式求解；又或者利用根与系数的关系求出2121,x x x x •+，再利用弦长公式求解，毕竟抛物线的焦点弦也是弦。

第（2）小题直线方程可设斜截式（要讨论斜率是否存在），亦可设为x=my+1,如果设为x=my+1，则消x 后，在求的时候，可用)1)(1(21++my my 计算，也可代入抛物线的方程计算，因为交点既在直线上，也在抛物线上。

这个题目代入抛物线方程还可以简化运算，带来意想不到的效果。

3.5 审题粗糙
有些学生平时解题时只注重数量，在解题时审题不严，草草了事，导致题没解完就结束或者没按要求完成题目，导致不该有的丢分。

比如：有个应用题目问题为：（1）求f(x)的表达式（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f(x)最小，并求最小值。

学生在解答的过程中第一小题没有写函数的定义域，第二小题只求了最小值，没有写明当自变量取什么值时函数取最小值，整个题目都忽略了x 的存在，没有按要求完成题目。

3.6 过程书写不规范
上次高二数学竞赛我阅的立体几何部分，孩子们在书写过程中，线在面内，学生书写为a 直线平面。

我们班曾经有一个孩子把写成了 。

为这道题减分不少。

4 提高数学运算能力的有效建议
由此种种，要提高学生的数学成绩，提高学生的运算能力刻不容缓。

这需要我们一线教师和学生的共同努力。

个人认为，可以从这些方面入手。

4.1 提高学生运算的兴趣
人们都说，兴趣是最好的老师。

要想培养学生良好的数学运算能力，培养学生对数学的学习兴趣至关重要。

首先，老师要有较硬的专业知识素养和能力，让学生对老师产生仰望的感觉，同时感到只要通过自己的努力也可以变得和我们一样优秀。

其次需要老师精心备课，采用多角度、多方位的思维模式，采用多种运算形式、方法，让学生积极参与、亲身体验，从而提高学生的运算能力。

在平时的教学中，教师可以加入数学文化、数学实例，数学故事等的教学，提供一些典型解题模式，激发学生学习数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性。

例如，在讲“等比数列的前n 项和公式”时，可以讲国际象棋棋盘的故事。

在讲解析几何时，可以讲笛卡尔与解析几何的关系等等，激发学生学习数学的兴趣。

21x x •
4.2 运算时迎难而上
“明知山有虎，偏向虎山行”，这是我时常对同学们所说的。

高中数学对学生的运算能力要求较高，比如数列里的错位相消法求和，利用空间向量知识求立体几何里的夹角，还有解析几何和导数类的题目（作为高考中的压轴题，往往标准答案都要写很长），以至于很多学生看到此类题目不想算，尤其是后两类题目，甚至都不读。

殊不知再难的题目也有容易得分的地方。

鉴于此，我专门上了一节解析几何运算课，一节课就讲了一道题目（当然是大题），课后小结时，我让学生小结，好多同学说“我这道题目听会了”，“差不多有思路了”，我说，我这节课设计意图旨在培养你们坚韧不拔的运算品质和顽强的运算毅力，在困难和麻烦面前不要退缩，我们这么多人呢，一切老虎都是纸老虎。

4.3 培养好的运算习惯
（1）从高一开始我就培养学生口算，心算，笔算的能力。

坚决杜绝解个一元一次方程还要列大半页式子的情形。

需要笔算的严格要求学生规范书写，符号的使用。

这其中还包括指导学生用好草稿纸,因为我发现有些学生需要计算时就在教科书边角空白处写写画画, 还有的在课桌上就开始了，逮着什么就用什么，画的乱七八糟，如同地图一样。

计算时连算式都列不齐, 想耐心计算也没条件。

等到要找结果时，蓦然回首，不见了，也找不着了。

所以上课之前，练习之前我总叮咛，纸笔齐备是搞好计算的前提。

有些同学说“计算那么麻烦，我还是用计算器好了，我们中考都用呢”（那几年中考没有是允许学生用计算器的）以至于好多学生指着计算器，懒于动脑，动手，这与我们提高学生的数学运算能力的核心素养是相违背的。

这些不好的运算习惯往往既影响运算的速度，又影响计算的准确性。

这些都需要我们教师加强对学生的指导，严格要求，细节到位。

（2）禁忌一个题还没读完或者干脆不读题或快速读题就闷头计算，断章取义。

（3）好多资料显示，要培养学生计算完检查的习惯。

个人认为，对大部分学生而言，检查的机会并不是很大，所以在平时，一般要求学生一遍过手就要正确，比如数列的错位相减法求和，立体几何的求角问题，还有解析几何直线和圆锥曲线的相交问题等等。

（4）在平时的教学过程当中，我还要求孩子们用不同颜色的笔纠正运算错误，并且在每一道错题后用红笔总结自己运算错误的原因、所用的运算知识技巧和思想方法。

学后反思是至关重要的，俗语说的好“吃一堑，长一智”，在反思中总结，成长，使自己在今后的学习中做的更好。

4.4 和学生一起总结、积累运算技巧
举例 判断函数x 1x -1lg
)(+=x f 的奇偶性 法一：)(-1-1lg -)1-1lg(-11lg )-(1)-(-1lg )-(1-x f x
x x x x x x x x f =+=+=+=+= 这个方法的难点在于对分式的变形，对部分学生运算要求较高。

法二：01lg 1-1-11lg 1-1lg -11lg )()-(==+×+=+++=+x
x x x x x x x x f x f 其优点是非常自然地使用了对数运算性质进行运算，不失为一种设计合理、简捷的运算途径。

这就说明我们应在运算积累、总结上下功夫。

比如代数式的变形，举个例子，三角函数式的化简，求值，证明（“三看原则”），作差后的变形，我时常挂在嘴边的一句话，整理的时候，“结构相同的一起吧！”等等。

又比如形（形式，图形，图像，几何意义）。

举个例子，结果要求的形式是解还是解集、
区间、范围，区间端点是否包含，例如不等式302x x 的解集是（-2，3]，好多学生写为
-23x ，又或者区间端点包含与不包含都是（）或[
]。

搞清题目要求，以求准确作答，尤其是填空题，这都是我们做题过程中应该注意的问题。

还有熟知基本函数图像是数形结合的基础，我们应做到“心中有图”，“脑中有形”，“手中有像”。

我们应该熟练掌握常见函数图像（比如一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等），了解x
x x f 1)(±=，3)(x x f =的图像， 了解一些常见代数式的几何意义如c by ax z ++= （截距式） 22)-()-(b y a x +(两点间的距离） a
x b y -- （直线的斜率）。

对于运算结果检验也有一定的技巧，比如符号问题（正负号），范围问题（变量的显性和隐形范围)比如函数的定义域,我以前带过一个学生最后一道导数题就是因为没有考虑定义域（其他都是正确的）而导致得了零分，大家都知道，导数压轴题很难算的，太可惜了。

又比如解析几何里消元后的一元二次方程有两个解时0，轨迹的扣点问题等。

比如北师
大版教材选修2-1，65页 例1
还有合理性问题，也是我们应该注意的一个问题，比如三角函数的有界性，你解出来正弦是5，肯定是错的。

数列的通项和前n 项和之间的关系，一定要验证n=1是否正确。

11(1)(2){n n s n n s s n a
解题方法的总结也必不可少，同一个题，以不同的题型出现（选择、填空、解答题），解法可能会不同，坚持小题小作、大题大作；坚决反对小题大作、大题小作。

4.5 加强引领、互动
学生在很多时候算到一定程度上就不会算了，卡壳了，究其原因，也无非就是我上面提到的几点。

这就需要我们教师应及时了解信息，迅速、准确判断原因，快速做出处理，必要时带领学生一起完成运算，和孩子一起渡过运算关。

如果是知识的衔接问题，则应加强衔接。

个人认为，我们的高一新生在正式入学前应接触初高中衔接课。

一些特别难的部分，可以老
师先引导，再带着学生一步一步的计算，适当的时候把笔交到他们自己手中，完成运算的互动，他们才是需要掌握运算的主体。

4.6 加强课后练习
课后练习是是提高学生运算能力必不可少的环节。

在作业批改、讲评、试卷分析中，我会抓好解题方法评价，重视运算错误的改正，通过练习来不断巩固所学，查漏补缺，实现运算能力提升。

同时在练习过程中我还对解题速度有一定的要求。

例如：今年我在教学中加入了限时练环节，在一定量时间内让学生保质保量完成足够多的题目，学生做完我及时批改，及时反馈，让学生及时找到问题并改正，坚持一月有余，收到了不错的效果。

4.7 让学生“结对子”
我的“结对子”不是两人一对，而是四人一组，每一组至少有一个数学擅长的同学，让运算困难的学生在运算时可以及时找到可以帮助自己解决困难的人，激发这些学生的学习兴趣；学习好的同学不仅可以帮助他人，也可以在解决问题的过程中查缺补漏，进一步强化对运算知识的理解、运算技能的提高，也进一步调动他们学习数学的积极性，使他们越挫越勇，实现共赢。

组内解决不了的问题我再帮助他们，直至问题解决。

让每一个学生都参与到运算中来，有共同的目标，实现数学运算能力的共同提升。

在班级内如果学生问我题目，我的做法是：我找一个会做的学生，让这个同学讲解的同时，我负责聆听并适时指导，直至运算完成。

个人认为，学生之间的沟通要比老师与学生的沟通更简单。

虽然他们没有老师的高度，但他们有自己的语言。

几年的实践证明，我的这个做法比想象中的效果要好很多，学生的运算能力在不知不觉中得以提升。

5 结束语
总之，在学校的教育教学过程之中培养并发展学生的核心素养，提升学生的运算能力不可能一蹴而就，由于运算能力的综合性，贯穿于整个数学教学，所以运算教学也是一个长期的，复杂的过程，要想解决这个问题，不能知难而退，而要在我们师生的配合和共同努力下迎难而上。

参考文献
[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017版）[S]北京：人民教育出版社,2018
[2]李雅男.高中生数学运算能力的培养.[J]科学大众.科学教育，2019（9）：24
[3]陈珩.浅谈“如何提高高中生数学运算能力”.[J]引文版：教育科学，2017（9）：168
[4]王华勇.如何提高高中生数学运算能力.[J]教育，2018（5）：41
[5]张星江.如何提升高中生数学运算能力.[J]数学学习与研究，2010（7）：45。