初中数学二次函数的应用
初中数学知识点二次函数的运算与复合函数
初中数学知识点二次函数的运算与复合函数初中数学知识点：二次函数的运算与复合函数二次函数是数学中的重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
了解二次函数的运算以及与其他函数的组合关系对于提高数学水平和解决实际问题非常重要。
本文将详细介绍二次函数的运算以及复合函数的概念和应用。
一、二次函数的运算1. 二次函数的定义二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为实数，a≠0。
它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2. 二次函数的基本性质二次函数的图像关于抛物线的对称轴对称。
通过抛物线的顶点，可以确定对称轴的方程。
对称轴的方程为x=-b/2a。
3. 二次函数的平移二次函数关于x轴、y轴的平移分别是改变函数中的常数项c和一次项b的值。
平移时对称轴不改变。
4. 二次函数的求零点求二次函数的零点即为解二次方程ax²+bx+c=0的根。
利用求根公式或配方法可以求出零点。
5. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最值为最小值，即抛物线的顶点。
当a<0时，二次函数的最值为最大值，即抛物线的开口方向朝下。
二、复合函数的概念和应用1. 复合函数的定义复合函数是由两个或多个函数组合在一起形成的新函数。
设有函数f(x)和g(x)，则复合函数为f(g(x))。
2. 复合函数的运算法则复合函数的运算法则与基本函数的运算法则相同，按照从内到外的顺序进行运算。
3. 复合函数的应用复合函数的应用广泛，尤其在实际问题的建模和解决过程中。
通过将已知条件中的各个函数进行组合和转化，可以得到更加精确和实用的函数关系，帮助解决问题。
三、二次函数与复合函数的关系1. 二次函数的复合函数当二次函数作为底函数时，可以与其他函数进行复合，形成新的函数关系。
例如，把二次函数f(x)=x²和线性函数g(x)=2x+1进行复合得到新的函数h(x)=f(g(x))= (2x+1)²。
2. 复合函数的图像变换将一个函数的图像代入到另一个函数的公式中进行复合，可以得到复合函数的图像。
人教版九年级上册数学课件：二次函数的应用
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c (1)a确定抛物线的开口方向：
y
•(0,c)
0
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解:(6)
y
由图象可知
当-3 < x < 1时，y < 0 当x< -3或x>1时，y > 0
•(-3,0) • • (-1,-2)
•(1,0) x
0
•(0,-3–) 2
人教版九年级上册数学课件：二次函 数的应 用
人教版九年级上册数学课件：二次函 数的应 用
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解 ：（4）由对称性可知
y
MA=MB=√22+22=2√2
• • AB=|x1-x2|=4
A(-3,0) D B(1,0) x
∴ ΔMAB的周长=2MA+AB
0
=2 √2×2+4=4 √2+4 Δ=M—12 A×B4面×积2==4—12AB×MD
3
• •C(0,-2–) • M(-1,-2)
人教版九年级上册数学课件：二次函 数的应 用
2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)
热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。
此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。
只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
初中数学《二次函数的应用》教案
初中数学《二次函数的应用》教案2.3二次函数的应用教学目标设计1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。
能力训练要求1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值发展学生解决问题的能力，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。
2、通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，培养数形结合思想，函数思想。
情感与价值观要求1、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识，逐步养成合作交流的习惯。
2、培养学生学以致用的习惯，体会体会数学在生活中广泛的应用价值，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。
教学方法设计由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。
为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。
教学过程导学提纲设计思路：最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。
从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。
目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。
初中数学二次函数应用题(面积+利润)专题
二次函数的应用一、面积问题1．如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，若墙长为18米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x米．（1）若苗圃园的面积为100平方米，求x的值；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．2．一个矩形苗圃，一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，墙长为14米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．求：（1）求面积y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）x为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，求x的取值范围．3．用60m的篱笆围成一个一边靠墙、中间用篱笆隔开的矩形养鸡场．（1）如果中间只有一道篱笆，如图1，并设矩形一边的长为xm，那么当x为何值时，养鸡场的面积最大？（2）如果养鸡场中间有6道篱笆，如图2，并设矩形一边的长为xm，那么当x为何值时，养鸡场的面积最大？4．学校要围一个矩形花圃，其一边利用足够长的墙，另三边用篱笆围成，由于园艺需要，还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分（如图所示），总共36米的篱笆恰好用完（不考虑损耗）．设矩形垂直于墙面的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形花圃ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）要想使矩形花圃ABCD的面积最大，AB边的长应为多少米？5．有一个面积为30平方米的长方形ABCD的鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长8米），墙的对面有一个1米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长15米，求鸡场的宽AB是多少米？6．如图，星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙（墙的长度为20m），其余部分用篱笆围成，且中间用一段篱笆把它分隔成了两个矩形，两个矩形各留一道1m宽的门，已知篱笆的总长度为34m．（1）设图中AB（与墙垂直的边）的长为x m，请用含x的代数式表示AD的长．（2）若整个苗圃园的总面积为96m2，求AB的长．7．李爷爷借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m长的篱笆围成一个矩形花园，想在里面种些花草，篱笆只围AB、BC两边．（1）若花园的面积为252m2，求AB的长度；（2）若在P处有一棵树，与墙CD、AD的距离分别是17m和8m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．8．如图所示，工人师傅要用长2米宽10厘米的塑钢条作窗户内的横、纵梁（没有余料）要使窗户内的透光部分面积最大，问窗户的两边长分别为多少？9．广雅中学课外活动小组准备建一个矩形花房，其中一边靠墙，另外三边用长为50米的篱笆围成．已知墙长30米（如图所示），设这个花房垂直于墙的一边AB=x米，花房中间修筑两条互相垂直的宽为2m的小路，剩余部分种植花卉，仅在BC边的小路处留有2米宽的门．（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设花房中种植花卉部分的面积为S，求S与x的函数关系；（3）垂直于墙的一边长为多少米时，面积S有最大值．求这个最大值．10．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD 上，且AE=AH=CF=CG，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为S．（1）求S与x的函数表达式；（2）当x为何值时，S的值最大？求出最大值．11．如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．【利润问题】12．某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随着销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=﹣2x+280，设这种绿茶在这段时间的销售利润为y（元）．（1）求y和x的关系式；（2）当销售单价为多少元时，该公司获取的销售利润最大？最大利润是多少？13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）求商场降价后每天盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式；（2）当降价多少元时，每天盈利最大，最大盈利多少元？14．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出300件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出200件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？15．某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？16．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？17．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，（1）求y与x的函数关系式；（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？18．某种商品的进价为40元/件，以获利不低于25%的价格销售时，商品的销售单价y（元/（1）由题意知商品的最低销售单价是元，当销售单价不低于最低销售单价时，y是x的一次函数．求出y与x的函数关系式及x的取值范围；（2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？19．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元时，则每个月少卖5件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为3200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围内，每个月的利润不低于3200元？20．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【作业】21．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m．设饲养室长为x（m），占地面积为y（m2）．（1）如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．22．某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分（1（2）设商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入﹣成本）；（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？23．某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．（1）写出y与x中间的函数关系书和自变量x的取值范围；（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？参考答案与试题解析一．解答题（共23小题）1．如图，某中学准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，若墙长为18米，设这个苗圃垂直于墙的一边长为x米．（1）若苗圃园的面积为100平方米，求x的值；（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值，如果没有，请说明理由．【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）根据矩形的面积公式列出关于x的方程，解方程可得答案；（2）列出矩形的面积y关于x的函数解析式，结合x的取值范围，利用二次函数的性质可得最值情况．【解答】解：（1）由题意，得：平行于墙的一边长为（30﹣2x），根据题意，得：x（30﹣2x）=100，解得：x=5或x=15，∵∴6≤x＜15．∴x=10．（2）∵矩形的面积y=x（30﹣2x）=﹣2（x﹣）2+，且30﹣2x≥8，即x≤11，∴当x=7.5时，y取得最大值，最大值为；当x=11时，y取得最小值，最小值为88．2．一个矩形苗圃，一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，墙长为14米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．求：（1）求面积y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）x为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，求x的取值范围．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据矩形的周长和面积即可求得y与x的函数关系式以及自变量x 的取值范围；（2）由y与x的函数关系式，根据二次函数的最值问题，即可求得这个苗圃园的面积最大值；（3）根据题意得﹣2（x﹣7.5）2+112.5=88，即可求得x的取值范围．【解答】解：（1）苗圃园垂直于墙的一边的长为x米则平行于墙的一边长为：30﹣2x．则y=x（30﹣2x）=﹣2x2+30x（8≤x＜15）．（2）y=﹣2（x﹣7.5）2+112.5，由（1）知，8≤x＜15，∴当x=8时，S最大值=112，即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为8米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112．（3）∵这个苗圃园的面积不小于88平方米，即﹣2（x﹣7.5）2+112.5=88，解得x1=4，x2=11∴4≤x≤11，由（1）可知8≤x＜15，∴x的取值范围为8≤x≤113．用60m的篱笆围成一个一边靠墙、中间用篱笆隔开的矩形养鸡场．（1）如果中间只有一道篱笆，如图1，并设矩形一边的长为xm，那么当x为何值时，养鸡场的面积最大？（2）如果养鸡场中间有6道篱笆，如图2，并设矩形一边的长为xm，那么当x 为何值时，养鸡场的面积最大？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）当养鸡场的中间有一道篱笆时，利用鸡场的长x表示出鸡场的宽，列出鸡场面积y关于x的二次函数式，利用函数知识即可解决问题；（2）类似于（1），当养鸡场的中间有6道篱笆时，利用鸡场的长x表示出鸡场的宽，列出鸡场面积y关于x的二次函数式，利用函数知识即可解决问题．【解答】解：（1）设养鸡场的面积为y．∵当养鸡场的长为x米时，宽为，∴面积y==﹣∴当x=30时，y取得最大值300，即当x=30时，养鸡场的面积最大．（2）∵当养鸡场的长为x米时，宽为米，∴面积y==﹣∴当x=30时，y取得最大值，即当x=30时，养鸡场的面积最大．4．学校要围一个矩形花圃，其一边利用足够长的墙，另三边用篱笆围成，由于园艺需要，还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分（如图所示），总共36米的篱笆恰好用完（不考虑损耗）．设矩形垂直于墙面的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形花圃ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）要想使矩形花圃ABCD的面积最大，AB边的长应为多少米？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）由题意得出AB=x，BC=36﹣3x，由矩形的面积公式即可得出S与x 之间的函数关系式；（2）把函数关系式化成顶点式，由二次根式的性质即可得出结果．【解答】解：（1）由题意得：AB=x，BC=36﹣3x，S=AB•BC=x（36﹣3x）=﹣3x2+36x，即S与x之间的函数关系式为：S=﹣3x2+36x（0＜x＜9）；（2）∵S=﹣3x2+36x=﹣3（x﹣6）2+108，0＜6＜9∴x=6时，S取得最大值108，答：要想使矩形花圃ABCD的面积最大，AB边的长应为6米．5．有一个面积为30平方米的长方形ABCD的鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长8米），墙的对面有一个1米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长15米，求鸡场的宽AB是多少米？【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】设AB长为x米，则根据图可知一共有三面用到了篱笆，BC=（15﹣2x+1）米，长×宽为面积30米2，根据这两个式子可解出AB的值．【解答】解：设AB长为x米，依题意得：（15﹣2x+1）x=30，解得x=3或x=5．当x=3时，BC=15﹣2x+1=15﹣6+10＞8，不合题意，舍去．故x=5符合题意．答：鸡场的宽AB是5米．6．如图，星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙（墙的长度为20m），其余部分用篱笆围成，且中间用一段篱笆把它分隔成了两个矩形，两个矩形各留一道1m宽的门，已知篱笆的总长度为34m．（1）设图中AB（与墙垂直的边）的长为x m，请用含x的代数式表示AD的长．（2）若整个苗圃园的总面积为96m2，求AB的长．【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）根据矩形的周长公式进行解答；（2）根据矩形的面积公式得到方程x（36﹣3x）=96，通过解方程求得x的值即AB的长度即可．【解答】解：（1）AD=36﹣3x；（2）x（36﹣3x）=96，解之得：x1=4 x2=8．当x=4时，AD=24＞20 （舍去），当x=8时，AD=12＜20符合题意．答：当AB=8米时，可使总面积为96m2．7．李爷爷借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m长的篱笆围成一个矩形花园，想在里面种些花草，篱笆只围AB、BC两边．（1）若花园的面积为252m2，求AB的长度；（2）若在P处有一棵树，与墙CD、AD的距离分别是17m和8m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据AB=x米可知BC=（32﹣x）米，再根据矩形的面积公式即可得出结论；（2）根据P处有一棵树与墙CD、AD的距离分别是18米和8米求出x的取值范围，再根据（1）中的函数关系式即可得出结论；【解答】解：（1）设AB=x米可知BC=（32﹣x）米，根据题意得：x（32﹣x）=252．解这个方程得：x1=18，x2=14，答：AB的长度18m或14m．（2）设周围的矩形面积为S，则S=x（32﹣x）=﹣（x﹣16）2+256．∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离是17m和8米，∴8≤x≤15．∴当x=15时，S=﹣（15﹣16）2+256=255（平方米）．最大答：花园面积的最大值是255平方米．8．如图所示，工人师傅要用长2米宽10厘米的塑钢条作窗户内的横、纵梁（没有余料）要使窗户内的透光部分面积最大，问窗户的两边长分别为多少？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】设窗户的长为xcm，面积为y，则窗户的宽为（200﹣x）cm，根据题意得：y=（x﹣10）（200﹣x﹣10）=﹣（x﹣100）2+8100后求得当x=100时有最大面积．【解答】解：设窗户的长为xcm，面积为y，则窗户的宽为（200﹣x）cm，根据题意得：y=（x﹣10）（200﹣x﹣10）=﹣（x﹣100）2+8100，∴当x=100时有最大面积，∴200﹣x=200﹣100=100cm，∴窗户的两边长分别是100cm，100cm9．广雅中学课外活动小组准备建一个矩形花房，其中一边靠墙，另外三边用长为50米的篱笆围成．已知墙长30米（如图所示），设这个花房垂直于墙的一边AB=x米，花房中间修筑两条互相垂直的宽为2m的小路，剩余部分种植花卉，仅在BC边的小路处留有2米宽的门．（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；（2）设花房中种植花卉部分的面积为S，求S与x的函数关系；（3）垂直于墙的一边长为多少米时，面积S有最大值．求这个最大值．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据题意列出函数表达式，注意在BC边的小路处留有2米宽的门这一要求；（2）根据长方形的面积减去小路的面积，列出S与x的函数关系式；（3）运用二次函数的性质解决最值．【解答】解：（1）y=52﹣2x（10≤x≤）；（2）S=（x﹣2）（52﹣2x﹣2）=（x﹣2）（50﹣2x）=﹣2x2+54x﹣100；（3）S=﹣2x2+54x﹣100=﹣2（x﹣13.5）2+264.5，当垂直于墙的一边长为13.5米时，面积S有最大值，最大值是264.5平方米．10．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且AE=AH=CF=CG，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为S．（1）求S与x的函数表达式；（2）当x为何值时，S的值最大？求出最大值．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到y与x的函数关系．（2）通过对函数配方，求出函数的对称轴，对称轴在定义域内，在对称轴处取得最值．【解答】解：（1）因为△AEH≌△CFG，△EBF≌△HDG，﹣2S△AEH﹣2S△EFB=6×8﹣2×x2﹣2×（8﹣x）（6﹣x）=﹣2x2+14x 所以y=S矩形ABCD（0＜x≤6）．（2）y=﹣2x2+3x=﹣2（x﹣）2+．所以当x=时，y max=．11．如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）等量关系为：（原来长方形的长﹣2正方形的边长）×（原来长方形的宽﹣2正方形的边长）=48，把相关数值代入即可求解；（2）同（1）先用x表示出不同侧面的长，然后根据矩形的面积将4个侧面的面积相加，得出关于侧面积和正方形边长的函数式，然后根据函数的性质和自变量的取值范围来得出侧面积的最大值．【解答】解：（1）设正方形的边长为xcm．则（10﹣2x）（8﹣2x）=48，即x2﹣9x+8=0，解得x1=8（不合题意，舍去），x2=1．答：剪去的正方形的边长为1cm．（2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系式为：y=2（10﹣2x）x+2（8﹣2x）x，即y=﹣8x2+36x．（0＜x＜4）改写为y=﹣8（x﹣）2+，∴当x=2.25时，y最大=40.5．即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2．12．某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元，市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随着销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=﹣2x+280，设这种绿茶在这段时间的销售利润为y（元）．（1）求y和x的关系式；（2）当销售单价为多少元时，该公司获取的销售利润最大？最大利润是多少？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据销售利润=每千克利润×总销量，因为y=（x﹣60）w，w=﹣2x+280，进而求出即可．（2）用配方法化简函数式求出y的最大值即可．【解答】解：（1）∵w=（x﹣60）•w=（x﹣60）•（﹣2x+280）=﹣2x2+400x﹣16800，∴y与x的关系式为：y=﹣2x2+400x﹣16800．（2）y=﹣2x2+400x﹣16800=﹣2（x﹣100）2+3200，故当x=100时，y的值最大值是3200．13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）求商场降价后每天盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式；（2）当降价多少元时，每天盈利最大，最大盈利多少元？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】认真阅读明确题意，抓住命题中给出的关键信息；（1）准确表示出每天降价x元后售出的数量，第一小问即可解决；（2）运用二次函数的性质即可解决第二小问．【解答】解：（1）∵当每件衬衫降价x元时，每天可出售（2x+20）件，此时每件可盈利（40﹣x）元∴y=（40﹣x）（2x+20）=﹣2x2+60x+800（2）∵a=﹣2＜0，所以上述抛物线开口向下，函数有最大值当x=﹣时，y取得最大值，此时y=元14．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出300件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出200件，假定每月销售件数y （件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）设出解析式，把（5，300），（6，200）代入求出系数即可；（2）根据题意列出二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可．【解答】解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，300），（6，200）代入得：，解得：，所以y与x之间的关系式为：y=﹣100x+800；（2）设利润为W，则W=（x﹣4）（﹣100x+800）=﹣100 （x﹣4）（x﹣8）=﹣100 （x2﹣12x+32）=﹣100[（x﹣6）2﹣4]=﹣100 （x﹣6）2+400所以当x=6时，W取得最大值，最大值为400元．答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为400元．15．某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；（2）根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可．【解答】解：（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：y=600﹣5x（0≤x＜120）；（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，则w=（600﹣5x）（100+x）=﹣5x2+100x+60000=﹣5（x﹣10）2+60500，∵a=﹣5＜0，∴w的最大值是60500，则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．16．我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值．（2）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w；【解答】解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50台，则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，化简得：y=﹣5x+2200；供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，则，解得：300≤x≤350．∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．∵x=320在300≤x≤350内，∴当x=320时，最大值为72000，即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．17．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？。
初中数学_《二次函数的应用》(复习)教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次函数的应用》教学设计35321212++-=x x y 3532121-2++=x x y 教学环节教学内容 学生活动环节目标 创设情境问题引入 1.已知二次函数 ，求出抛物线的顶点坐标与对称轴。
2.已知二次函数图象的顶点坐标是（6,2.6），且经过点（0,2），求这个二次函数的表达式 。
3.抛物线 c bx x y ++=261-经过点（0,4）经过点（3,217），求抛物线的关系式。
问题：（1）求二次函数顶点坐标的方法 （2）设表达式的思路（3）如何求二次函数与x 轴及y 轴的交点坐标课前布置，独立完成，上课时没完成的继续完成，之后组内批阅，找学生上台板演，并回答老师提出的问题。
这三个小题是后面实际应用问题的答案，学生在复习二次函数基础知识的同时，把后面的计算提到前面来，便于后面把教学重点放在解题思路的分析与掌握上，减少学生的计算量。
探索交流获得新知1例题解析例 1 ：这是王强在训练掷铅球时的高度y （m)与水平距离x(m)之间的函数图像，其关系式为 ，则铅球达到的最大高度是_____米，此时离投掷点的水平距离是____米。
铅球出手时的高度是_____米，此次掷铅球的成绩是____米。
2、跟踪练习：如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从1、学生独立思考后回答问题答案。
2、根据图像回答解题思路。
（前面已经求过前两个空，只计算后面两个即可）引导学生得到解决问题的方法：这四个问题都是求线段的长度，共同点为已知点的一个坐标，可将其代入表达式求另一个坐标，再把坐标转化成线段的长。
O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，出手后水平运行6米达到最大高度2.6米，(1) 运行的高度记为y(m)，运行的水平距离记为x(m)，建立平面平面直角坐标系如图，求y 与x的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2) 若球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m。
初中数学中的二次函数
二次函数：了解它的定义、性质和应用在初中数学中，我们学习了很多关于函数的知识。
其中，二次函数是一种非常常见的函数形式，被广泛应用于各个领域，例如经济学、物理学等。
本文将为您详细介绍二次函数的定义、性质和应用。
1. 什么是二次函数？二次函数是指形如$y=ax^2+bx+c$ 的函数，其中$a,b,c$ 都是实数且$a\neq0$。
其中，$a$ 控制着二次函数的开口方向和大小，$b$ 控制着二次函数的平移位置，$c$ 则是二次函数的纵截距。
2. 二次函数的性质（1）对称性二次函数的图像关于其顶点对称。
当$a>0$ 时，二次函数开口朝上，顶点为最小值点；当$a<0$ 时，二次函数开口朝下，顶点为最大值点。
（2）零点二次函数的零点是指函数图像与 $x$ 轴相交的点。
当 $b^2-4ac>0$ 时，二次函数有两个不同的实根；当$b^2-4ac=0$ 时，二次函数有一个重根；当$b^2-4ac<0$ 时，二次函数没有实根。
（3）最值当 $a>0$ 时，二次函数的最小值等于其顶点的纵坐标；当 $a<0$ 时，二次函数的最大值等于其顶点的纵坐标。
3. 二次函数的应用（1）物理学在物理学中，二次函数常被用于描述抛物线运动。
例如，一个运动物体在重力作用下的运动轨迹就可以用二次函数来表示。
（2）经济学在经济学中，二次函数常被用于分析成本和收益之间的关系。
例如，一家企业的生产成本可以用二次函数来表示，通过求导可以得到该企业的最优生产量。
（3）统计学在统计学中，二次函数常被用于拟合散点图。
例如，通过将散点图拟合成二次函数，可以预测出未来的趋势和表现。
总结在本文中，我们详细介绍了二次函数的定义、性质和应用。
二次函数在数学和其他学科中都有着广泛的应用，是我们必须掌握的一种函数形式。
希望本文对您学习二次函数有所帮助。
中考初中数学一轮复习专题导引40讲-15二次函数的应用
中考初中数学一轮复习专题导引40讲第15讲二次函数的应用☞考点解读：知识点名师点晴二次函数的应用1.实际背景下二次函数的关系会运用二次函数的性质求函数的最大值或最小值来解决最优化问题。
2.将实际问题转化为数学中二次函数问题会根据具体情景，建立适当的平面直角坐标系。
3.利用二次函数来解决实际问题的基本思路（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展。
☞考点解析：考点1：二次函数与几何的综合运用。
基础知识归纳：求点的坐标，求抛物线解析式，求线段长或图形面积的最值，点的存在性。
基本方法归纳：待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想。
注意问题归纳：合理使用割补法表达面积，分类讨论要全面。
【例1】（湖北十堰·12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP 和BC的解析式，k相等则两直线平行；（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△AB E有可能相似，即△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，∵S△PBO=S△PBC，∴，∴OE=CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG=CG=2，设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM===，∴BM=2PM，∴4+x2﹣x﹣4=2x，x2﹣6x=0，x1=0（舍），x2=6，∴P（6，8），易得AP的解析式为：y=x+2，BC的解析式为：y=x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC.△ABE.△ACE.△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE=∠ACB=45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE=，∴E（，0），∵B（0，﹣4），易得BE：y=，则x2﹣x﹣4=x﹣4，x1=0（舍），x2=，∴D；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，∵∠BEA=∠BEC，∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，∴==，设BE=2m，CE=4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8=0，（m﹣2）（3m﹣2）=0，m1=2，m2=，∴OE=4m﹣4=12或，OE=C.EOE= C.E∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，x=或0（舍）∴D（，﹣）；综上，点D的坐标为或（，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理，第3问有难度，确定三角形与△ABE相似并画出图形是关键．【变式1】（四川省攀枝花）如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；B.DP为线段BD上一点（点P不与B.D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF 面积的最大值；②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1∴﹣∴b=2由一元二次方程根与系数关系：x1+x2=﹣，x1x2=∴+==﹣∴﹣则c=﹣3∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3（2）由（1）点D坐标为（1，﹣4）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0解得x1=﹣1，x2=3∴点B坐标为（3，0）①设点F坐标为（a，b）∴△BDF的面积S=×（4﹣b）（a﹣1）+（﹣b）（3﹣a）﹣×2×4整理的S=2a﹣b﹣6∵b=a2﹣2a﹣3∴S=2a﹣（a2﹣2a﹣3）﹣6=﹣a2+4a﹣3∵a=﹣1＜0∴当a=2时，S最大=﹣4+8﹣3=1②存在由已知点D坐标为（1，﹣4），点B坐标为（3，0）∴直线BD解析式为：y=2x﹣6则点E坐标为（0，﹣6）BC.CDBC.CD，则由勾股定理CB2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18CD2=12+（﹣4+3）2=2BD2=（﹣4）2+（3﹣1）2=20∴CB2+CD2=BD2∴∠BDC=90°∵∠BDC=∠QCE∴∠QCE=90°∴点Q纵坐标为﹣3代入﹣3=2x﹣6∴x=∴存在点Q坐标为（，﹣3）【例2】（云南省曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A 的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）当y=0时，x﹣=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【变式2】【例3】（湖北江汉·12分）抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A，B，D的坐标分别为，，；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m，分m＜或m＞3及≤m≤3两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，进而可找出点P的坐标，此题得解．解：（1）当y=0时，有﹣x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=3，∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3，0）．∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为．故（，0）；（3，0）；．（2）∵点E.点D关于直线y=t对称，∴点E的坐标为（，2t﹣）．当x=0时，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，∴点C的坐标为（0，﹣1）．设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，将B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，，解得：，∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1．∵点E在△ABC内（含边界），∴，解得：≤t≤．（3）当x＜或x＞3时，y=﹣x2+x﹣1；当≤x≤3时，y=x2﹣x+1．假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m．①当m＜或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣x2+x﹣1）（如图1），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，整理，得：m1=，m2=，∴点P的坐标为（，0）或（，0）；②当≤m≤3时，点Q的坐标为（m，x2﹣x+1）（如图2），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，整理，得：11m2﹣28m+12=0，解得：m3=，m4=2，∴点P的坐标为（，0）或（1，0）．综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．【变式3】（辽宁省沈阳市）（12.00分）如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y 轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】（1）应用待定系数法；（2）把x=t带入函数关系式相减；（3）根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况．（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点．利用勾股定理进行计算．解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）∴解得：∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1（2）∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2（3）共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）∴AN=t﹣（﹣2）=t+2∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0（舍去），t2=1∴t=1②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0，t2=1（舍去）∴t=0故t的值为1或0（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K（0，3），B.O、N三点共线∵A（﹣2，1）N（1，1）P（0，﹣1）∴点K、P关于直线AN对称设⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）∴Q2与点P关于直线AN对称∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP．则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1.Q2关于KN的对称点Q3.Q4也满足∠KNQ=∠BNP．由图形易得Q1（﹣3，3）设点Q3坐标为（a，b），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2由∵⊙K半径为1∴解得，1同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=∴解得，∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣3，3）、、【点评】本题为代数几何综合题，考查了二次函数基本性质．解答过程中应用了分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想．考点2：二次函数与实际应用题的综合运用基础知识归纳：待定系数法求抛物线解析式，配方法求二次函数最值。
初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式
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初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式二次函数在数学中是非常重要的一个概念，它在数学中的应用非常广泛。
在初中数学中，学生们需要学习二次函数的应用和方程与不等式。
下面是初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式(教师版)的内容。
一、二次函数的应用1.抛物线运动问题：抛物线运动是指在给定的初速度和重力加速度下，物体受到重力的作用而做抛物线运动。
学生们需要通过二次函数的知识，求解抛物线运动问题中的相关参数，如最高点、飞行时间和落地点等。
2.最值问题：通过二次函数的图像，可以求解最值问题。
学生们需要通过自定义条件，建立二次函数模型，求解二次函数的最值。
3.平方差问题：通过二次函数的知识，可以求解平方差问题。
学生们需要通过二次函数的知识，求出平方差的最小值。
二、二次函数的方程与不等式1.二次函数的解法：对于二次函数的方程，学生们需要掌握二次函数的解法。
通过配方法、因式分解法和根与系数的关系等方法，求解二次函数的方程。
2.二次函数的不等式：对于二次函数的不等式，学生们需要通过图像的性质，求解二次函数的不等式。
通过求解二次函数的图像与坐标轴的交点，求解二次函数的不等式。
3.二次函数的应用问题的解法：对于二次函数的应用问题，学生们需要掌握二次函数的方程与不等式的解法。
通过建立方程或不等式，求解二次函数应用问题中的未知数。
三、解题技巧与误区1.解题技巧：学生们在解答二次函数的应用与方程与不等式问题时，应注意抓住题目的关键信息，建立正确的模型，严格按照问题的要求进行求解。
2.误区：在解答二次函数的应用与方程与不等式问题时，学生们可能会出现以下误区：-不理解题目的意思，导致建立错误的模型；-忽略二次函数的性质，导致求解出错；-求解过程中计算错误，导致答案错误。
四、典型例题1.例题一：设二次函数f(x)的图像经过点(1,2)，其顶点是(-1,3)，求该二次函数的解析式。
要求：写出二次函数的标准方程和一般方程。
九年级上册数学二次函数求最值
九年级上册数学二次函数求最值
二次函数是初中数学中比较重要的一部分，其中求最值在应用中也十分常见。
下面我们来具体看一下二次函数求最值的方法和应用。
一、二次函数的基本概念
1.一般式：$y=ax^{2}+bx+c$
2.顶点式：$y=a(x-h)^{2}+k$
3.轴对称性：对称轴为直线$x=h$
4.单调性：当$a>0$时，图像开口向上，函数单调递增；当$a<0$时，图像开口向下，函数单调递减。
5.极值与最值：当$a>0$时，二次函数在顶点处取得最小值，叫做最小值；当$a<0$时，二次函数在顶点处取得最大值，叫做最大值。
二、二次函数求最值的方法
1.化简法：将二次函数化简成顶点式，直接读出最值。
2.公式法：应用二次函数最值的公式，即$y=\frac{-\Delta}{4a}$。
3.判别式法：应用二次函数的判别式，$\Delta=b^{2}-4ac$。
如果
$\Delta>0$，则函数有两个零点，此时最值在两个零点中较小的那一个取得；如果$\Delta=0$，则函数只有一个零点，此时最值就是该点的纵坐标；如果$\Delta<0$，则函数没有零点，最值在顶点处取得。
三、二次函数求最值的应用举例
1.确定二次函数的最大值或最小值；
2.确定二次函数含参方程的最大值或最小值；
3.求解物理问题中的极值；
4.用二次函数求解最大面积或最短路程问题；
5.用最大值或最小值求解最佳决策问题。
以上就是二次函数求最值的基本概念、方法和应用的介绍。
掌握了这些知识点，我们就能够在实际问题中运用二次函数求解最值的问题。
初中数学二次函数的应用题型分类——商品销售利润问题( 附答案)
初中数学二次函数的应用题型分类——商品销售利润问题（附答案）1. 某网店经营一种品牌水果, 其进价为10元/千克, 保鲜期为25天, 每天销售量(千克)与销售单价(元/千克)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x的函数关系式；(2)当该品牌水果定价为多少元时, 每天销售所获得的利润最大？(3)若该网店一次性购进该品牌水果3000千克, 根据(2)中每天获得最大利润的方式进行销售, 发现在保鲜期内不能及时销售完毕, 于是决定在保鲜期的最后5天一次性降价销售, 求最后5天每千克至少降价多少元才能全部售完？2. 特产店销售一种水果, 其进价每千克40元, 按60元出售, 平均每天可售100千克, 后来经过市场调查发现, 单价每降低2元, 则平均每天可增加20千克销量.（1）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元, 每千克水果应降多少元？（2）若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利最大, 每千克水果应降多少元？3．某文具店购进A, B两种钢笔, 若购进A种钢笔2支, B种钢笔3支, 共需90元；购进A种钢笔3支, B种钢笔5支, 共需145元．（1）求该文具店购进A.B两种钢笔每支各多少元？（2）经统计, B种钢笔售价为30元时, 每月可卖64支；每涨价3元, 每月将少卖12支, 求该文具店B种钢笔销售单价定为多少元时, 每月获利最大？最大利润是多少元？4．某公司可投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本）, 成功研发出一种产品, 公司按订单生产（产量＝销售量）, 第一年该产品正式投产后, 生产成本为8元/件, 此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝﹣x+28．（1）求这种产品第一年的利润W1（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20万元, 那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年, 该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发, 使产品的生产成本降为6元/件, 为保持市场占有率, 公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价, 另外受产能限制, 销售量无法超过14万件, 请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元.5．某实验器材专营店为迎接我市理化生实验的到来, 购进一批电学实验盒子, 一台电学实验盒的成本是30元, 当售价定为每盒50元时, 每天可以卖出20盒．但由于电学实验盒是特殊时期的销售产品, 专营店准备对它进行降价销售．根据以往经验, 售价每降低3元, 销量增加6盒．设售价降低了x（元）, 每天销量为y（盒）．（1）求y与x之间的函数表达式；日销售利润w875 1875 1875 875（元）（注: 日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价x为多少元时, 日销售利润w最大？最大利润是多少元？（3）当销售单价x为多少元时, 日销售利润w在1500元以上？（请直接写出x的范围）7. 某公司销售一批产品, 进价每件50元, 经市场调研, 发现售价为60元时, 可销售800件, 售价每提高1元, 销售量将减少25件.公司规定:售价不超过70元.(1)若公司在这次销售中要获得利润10800元, 问这批产品的售价每件应提高多少元?(2)若公司要在这次销售中获得利润最大, 问这批产品售价每件应定为多少元?8．某公司开发了一种新型的家电产品, 又适逢“家电下乡”的优惠政策．现投资万元用于该产品的广告促销, 已知该产品的本地销售量（万台）与本地的广告费用（万元）之间的函数关系满足．该产品的外地销售量（万台）与外地广告费用（万元）之间的函数关系可用如图所示的抛物线和线段来表示．其中点为抛物线的顶点.结合图象, 求出（万台）与外地广告费用（万元）之间的函数关系式；()2求该产品的销售总量y（万台）与本地广告费用x（万元）之间的函数关系式；如何安排广告费用才能使销售总量最大？9．某电子厂生产一种新型电子产品, 每件制造成本为20元, 试销过程中发现, 每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y＝﹣2x+100．（利润＝售价﹣制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时, 厂商每月获得的利润为400万元？（3）根据相关部门规定, 这种电子产品的销售单价不能高于40元, 如果厂商每月的制造成本不超过520万元, 那么当销售单价为多少元时, 厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？10．某灯具厂生产并销售A, B两种型号的智能台灯共100盏, 生产并销售一盏A型智能台灯可以获利30元；如果生产并销售不超过20盏B型台灯, 则每盏B型台灯可以获利90元, 如果超出20盏B型台灯, 则每超出1盏, 每盏B型台灯获利将均减少2元．设生产并销售B型台灯x盏．（其中x＞20）（2）当A型台灯所获得的利润比B型台灯所获得利润少200元时, 求生产并销售A, B 两种台灯各多少盏？（3）如何设计生产销售方案可以获得最大利润, 最大的利润为多少元？11．某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出20件, 每件盈利40元, 为了扩大销售量, 增加盈利, 尽快减少库存, 商场决定采取适当的降价促销措施, 经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元, 那么平均每天就可多售出2件．（1）求出商场盈利与每件衬衫降价之间的函数关系式；（1）请直接写出a的值为；（2）从第21天到第40天中, 求q与x满足的关系式；（3）若该网店第x天获得的利润y元, 并且已知这40天里前20天中y与x的函数关系式为y＝﹣x2+15x+500i请直接写出这40天中p与x的关系式为: ；ii求这40天里该网店第几天获得的利润最大？13. 某工厂生产甲、乙两种产品, 已知生产1吨产品甲需要2吨原材料A；生产1吨产品乙需要3吨原材料A. 根据市场调研, 产品甲、乙所获利润y（万元）与其产量x（吨）之间分别满足函数关系：产品甲：y＝ax2+bx且x＝2时, y＝2.6；x＝3时, y＝3.6产品乙: y＝0.3x（1）求产品甲所获利润y（万元）与其产量x（吨）之间满足的函数关系；（2）若现原材料A共有20吨, 请设计方案, 应怎样分配给甲、乙两种产品组织生产, 才能使得最终两种产品的所获利润最大.14. 某商场销售一批衬衫, 平均每天可售出20件, 每件盈利40元. 为了扩大销售, 增加盈利, 商场采取了降价措施. 假设在一定范围内, 衬衫的单价每降1元, 商场平均每天可多售出2件, 设衬衫的单价降x元, 每天获利y元.（1）如果商场里这批衬衫的库存只有44件, 那么衬衫的单价应降多少元, 才能使得这批衬衫一天内售完, 且获利最大, 最大利润是多少？种成本为25元/件的新型商品．在40天内, 其销售单价n（元/件）与时间x（天）的关系式是：当1≤x≤20时, ；当21≤x≤40时, .这40天中的日销售量m（件）与时间x（天）符合函数关系, 具体情况记录如下表（天数为整数）:时间x（天）日销售量m(件）45 40 35 30 25 …（1）请求出日销售量m（件）与时间x（天）之间的函数关系式；（2）若设该同学微店日销售利润为w元, 试写出日销售利润w（元）与时间x（天）的函数关系式；16．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球, 规定试销期间单价不低于成本价, 且获利不得高于40%．经试销发现, 销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）试确定y与x之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元, 试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时, 该商店可获最大利润？最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元, 请确定销售单价x的取值范围．销售单价q（元/件）与x满足: 当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+ . （1）请分析表格中销售量p与x的关系, 求出销售量p与x的函数关系．（2）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式.（1）请你根据表中的数据, 用所学知识确定与之间的函数表达式；（2）该商店应该如何确定这批文具盒的销售价格, 才能使日销售利润最大？（3）根据（2）中获得最大利润的方式进行销售, 判断一个月能否销售完这批文具盒, 并说明理由.20. 某工厂加工一种商品, 每天加工件数不超过100件时, 每件成本80元, 每天加工超过100件时, 每多加工5件, 成本下降2元, 但每件成本不得低于70元.设工厂每天加工商品x（件）, 每件商品成本为y（元）,（1）求出每件成本y（元）与每天加工数量x（件）之间的函数关系式, 并注明自变量的取值范围；（2）若每件商品的利润定为成本的20%, 求每天加工多少件商品时利润最大, 最大利润是多少？21．家用电器开发公司研制出一种新型电子产品, 每件的生产成本为18元, 按定价40元出售, 每月可销售20万件, 为了增加销量, 公司决定采取降价的办法, 经过市场调研, 每降价1元, 月销售量可增加2万件．（1）求出月销售利润W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式.（2）为了获得最大销售利润, 每件产品的售价定为多少元？此时最大月销售利润是多少？（3）请你通过（1）中函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围, 使月销售利润不低于480万元.22．城隍庙是宁波市的老牌商业中心, 城隍庙商业步行街某商场购进一批品牌女装, 购进时的单价是600元, 根据市场调查, 在一段时间内, 销售单价是800元时, 销售量是200件, 销售单价每降低10元, 就可多售出20件．(1)求出销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求出销售该品牌女装获得的利润W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：x（10万元）y 1 1.5 1.8 …（1）求y与x的函数关系式；（2）如果把利润看做是销售总额减去成本费和广告费, 试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10~30万元, 问广告费在什么范围内, 公司获得的年利润随广告费的增大而增大？24．绿色生态农场生产并销售某种有机产品, 每日最多生产130kg, 假设生产出的产品能全部售出, 每千克的销售价y1（元）与产量x（kg）之间满足一次函数关系y1＝﹣x+168, 生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数图象如图中折线ABC所示．（1）求生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）求日利润为W（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少kg时, 这种产品获得的日利润最大？最大日利润为多少元？25．新鑫公司投资3000万元购进一条生产线生产某产品, 该产品的成本为每件40元, 市场调查统计：年销售量y（万件）与销售价格x（元）（40≤x≤80, 且x为整数）之间的函数关系如图所示．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如何确定售价才能使每年产品销售的利润W（万元）最大？（3）新鑫公司计划五年收回投资, 如何确定售价（假定每年收回投资一样多）？26. 某商品的进价是每件40元, 原售价每件60元. 进行不同程度的涨60 61 62 63 …价后, 统计了商品调价当天的售价和利润情况, 以下是部分数据:售价（元/件）利润（元）6000 6090 6160 6210 …（1）当售价为每件60元时, 当天售出件；（2）若对该商品原售价每件涨价x元（x为正整数）时当天售出该商品的利润为y元.①用所学过的函数知识直接写出y与x之间满足的函数表达式：.②如何定价才能使当天的销售利润不等于6200元？27．服装厂批发某种服装, 每件成本为65元, 规定不低于10件可以批发, 其批发价y （元/件）与批发数量x（件）（x为正整数）之间所满足的函数关系如图所示．（1）求y与x之间所满足的函数关系式, 并写出x的取值范围；（1）由题意知商品的最低销售单价是元, 当销售单价不低于最低销售单价时, y是x的一次函数. 求出y与x的函数关系式及x的取值范围；（2）在（1）的条件下, 当销售单价为多少元时, 所获销售利润最大, 最大利润是多少元？29. 某店只销售某种进价为40元/kg的产品, 已知该店按60元kg出售时, 每天可售出100kg, 后来经过市场调查发现, 单价每降低1元, 则每天的销售量可增加10kg.（1）若单价降低2元, 则每天的销售量是_____千克, 每天的利润为_____元；若单价降低x元, 则每天的销售量是_____千克, 每天的利润为______元；（用含x的代数式表示）（2）若该店销售这种产品计划每天获利2240元, 单价应降价多少元？（3）当单价降低多少元时, 该店每天的利润最大, 最大利润是多少元？30. 某文具店出售一种文具, 每个进价为2元, 根据长期的销售情况发现：这种文具每个售价为3元时, 每天能卖出500个, 如果售价每上涨0.1元, 其销售量将减少10个. 物价局规定售价不能超过进价的240%.（1）如果这种文具要实现每天800元的销售利润, 每个文具的售价应是多少？（2）该如何定价, 才能使这种文具每天的利润最大？最大利润是多少？31．某制衣企业直销部直销某类服装,价格（元)与服装数量(件)之间的关系如图所示,现有甲乙两个服装店,计划在"五一”前到该直销部购买此类服装, 两服装店所需服装总数为件,乙服装店所需数量不超过件,设甲服装店购买件,如果甲、乙两服装店分别到该直销部购买服装,两服装店需付款总和为元.(1)求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.(2)若甲服装店购买不超过100件,请说明甲、乙两服装店联合购买比分别购买最多可节约多少钱32. 某企业接到生产一批手工艺品订单, 须连续工作15天完成. 产品不能叠压, 需专门存放, 第x天每件产品成本p（元）与时间x（天）之间的关系为p＝0.5x+7（1≤x≤5, x 为整数）. 约定交付产品时每件20元. 李师傅作了记录, 发现每天生产的件数y（件）与时间X（天）满足关系:（1）写出李师傅第x天创造的利润W（不累计）与x之间的函数关系式．（只要结果, 并注明自变量的取值范围．）（2）李师傅第几天创造的利润最大？是多少元？（3）这次订单每名员工平均每天创造利润299元. 企业奖励办法是: 员工某天创造利润超过平均值, 当天计算奖金30元. 李师傅这次获得奖金共多少元？33. 某手机专营店, 第一期进了品牌手机与老年机各50部, 售后统计, 品牌手机的平均利润是160元/部, 老年机的平均利润是20元/部, 调研发现：①品牌手机每增加1部, 品牌手机的平均利润减少2元/部；②老年机的平均利润始终不变.该店计划第二期进货品牌手机与老年机共100部, 设品牌手机比第一期增加x部. （1）第二期品牌手机售完后的利润为8400元, 那么品牌手机比第一期要增加多少部？（2）当x取何值时, 第二期进的品牌手机与老年机售完后获得的总利润W最大, 最大总利润是多少？34．某公司经销一种水产品, 在一段时间内, 该水产品的销售量W（千克）随销售单价x（元/千克）的变化情况如图所示．（1）求W与x的关系式；（2）若该水产品每千克的成本为50元, 则当销售单价定为多少元时, 可获得最大利润？（3）若物价部门规定这种水产品的销售单价不得高于90元/千克, 且公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润, 则销售单价应定为多少元？35. 某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示, 成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段, 图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低, 此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜, 每千克的收益最大？简单说明理由.（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元, 且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克, 求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？36. 某商品的进价为每件20元, 市场调查反映, 若按每件30元销售, 每天可销售100件；若销售单价每上涨1元, 每天的销售就减少5件.(1)设每天该商品的销售利润为y元, 销售单价为x元(x≥30), 求y与x的函数解析式；(2)求销售单价为多少元时, 该商品每天的销售利润最大, 最大利润是多少？37. 数学兴趣小组几名同学到商场调查发现, 一种纯牛奶进价为每箱40元, 厂家要求售价在40～70元之间, 若以每箱70元销售平均每天销售30箱, 价格每降低1元平均每天可多销售3箱.（1）求出y 与x 之间的函数表达式（2）该新型“吸水拖把”每月的总利润为w （元）, 求w 关于x 的函数表达式, 并指出销售单价为多少元时利润最大, 最大利润是多少元？（3）由于该新型“吸水拖把”市场需求量较大, 厂家又进行了改装, 此时超市老板发现进价提高了m 元, 当每月销售量与销售单价仍满足上述一次函数关系, 随着销量的增大, 最大利润能减少1750元, 求m 的值.39．某花店用3600元按批发价购买了一批花卉.若将批发价降低10%, 则可以多购买该花卉20盆.市场调查反映, 该花卉每盆售价25元时, 每天可卖出25盆.若调整价格, 每盆花卉每涨价1元, 每天要少卖出1盆. （1）该花卉每盆批发价是多少元？（2）若每天所得的销售利润为200元时, 且销量尽可能大, 该花卉每盆售价是多少元？ （3）为了让利给顾客, 该花店决定每盆花卉涨价不超过5元, 问该花卉一天最大的销售利润是多少元？40. 某商店经营一种小商品, 进价为3元, 据市场调查, 销售单价是13元时平均每天销售量是400件, 而销售价每降低一元, 平均每天就可以多售出100件.(Ⅰ)假定每件商品降低x 元, 商店每天销售这种小商品的利润y 元, 请写出y 与x 之间的函数关系. (注：销售利润=销售收入-购进成本)(Ⅱ)当每件小商品降低多少元时, 该商店每天能获利4800元？40元, 根据市场调查：在一段时间内, 销售单价是50元时, 销售量是600件,而销售单价每涨2元, 就会少售出20件玩具.（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞50）, 请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润ω元, 并把结果填写在表格中：销售单价（元）销售量y（件）①销售玩具获得利润ω（元）②（2）在（1）问条件下, 若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于54元, 且商场要完成不少于400件的销售任务, 求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？42．如图，某工厂与两地有铁路相连，该工厂从地购买原材料，制成产品销往地.已知每吨进价为600元（含加工费），加工过程中1吨原料可生产产品吨，当预计销售产品不超过120吨时，每吨售价1600元，超过120吨，每增加1吨，销售所有产品的价格降低2元.设该工厂有吨产品销往地.（利润＝售价—进价—运费）（1）用的代数式表示购买的原材料有吨.（2）从地购买原材料并加工制成产品销往地后，若总运费为9600元，求的值，并直接写出这批产品全部销售后的总利润.（3）现工厂销往地的产品至少120吨, 且每吨售价不得低于1440元, 记销完产品的总利润为元, 求关于的函数表达式, 及最大总利润.43. 水产经销商以10元/千克的价格收购了1000千克的鳊鱼围养在湖塘中（假设围养期每条鳊鱼的重量保持不变）, 据市场推测, 经过湖塘围养后的鳊鱼的市场价格每围养一天能上涨1元/千克, 在围养过程中（最多围养20天）, 平均每围养一天有10千克的鳊鱼会缺氧浮水。
初中复习方略数学第十三讲 二次函数的应用
第十三讲 二次函数的应用知识清单·熟掌握抛物线型问题应用二次函数解决抛物线型实际问题的思路1．建立平面直角坐标系：根据题意，建立适当的坐标系，建系的原则一般是把顶点作为坐标原点．2．设函数解析式：根据所建立的坐标系，设出解析式．3．求解析式：将题中所给的数据转化为点的坐标，代入函数解析式，求出待定系数，确定函数解析式．4．解决实际问题：把问题转化为已知抛物线上点的横坐标(或纵坐标)，求其纵坐标(或横坐标)，再转化为线段的长，解决实际问题．1．飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间t(单位：s)的函数关系式满足y ＝－65 t 2＋60t ，则飞机着陆至停下来滑行的距离是25 m ．(×) 2．小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系大致满足二次函数y ＝－112 x 2＋23 x ＋53，则小强此次成绩为10米．(√)利润最大化问题应用二次函数性质解决最优化问题的思路1．分析题中数量关系，确定变量．2．根据等量关系，构建二次函数模型．3．根据函数性质，确定最值．在实际问题中二次函数的最值不一定是顶点的纵坐标，要注意自变量的取值的限制对最值的影响．考点一应用二次函数解决抛物线型实际问题类型一：隧道和拱桥问题【典例1】(2021·衢州中考)如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．(1)求桥拱顶部O离水面的距离．(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m.①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【思路点拨】根据题意设出适当的二次函数表达式，利用待定系数法求出表达式，再结合图形进行求解即可．【自主解答】(1)根据题意可知点F 的坐标为(6，－1.5)，可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y 1＝a 1x 2.将F(6，－1.5)代入y 1＝a 1x 2有：－1.5＝36a 1，求得a 1＝－124 ， ∴y 1＝－124x 2， 当x ＝12时，y 1＝－124×122＝－6， ∴桥拱顶部离水面高度为6 m.(2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6，1)，可设其表达式为y 2＝a 2(x －6)2＋1，将H(0，4)代入其表达式有：4＝a 2(0－6)2＋1，求得a 2＝112 ， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y ＝112(x －6)2＋1， ②设彩带的长度为L m ，则L ＝y 2－y 1＝112 (x －6)2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x 2 ＝18 x 2－x ＋4＝18 (x －4)2＋2， ∴当x ＝4时，L 最小值＝2，答：彩带长度的最小值是2 m ．类型二：运动轨迹问题【典例2】(2021·北部湾中考)2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C 1：y ＝－112 x 2＋76x ＋1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线C 2：y ＝－18x 2＋bx ＋c 运动． (1)当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C 2的函数解析式(不要求写出自变量x 的取值范围).(2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．【思路点拨】(1)根据题意将点(0，4)和(4，8)代入C 2：y ＝－18x 2＋bx ＋c 求出b ，c 的值即可写出C 2的函数解析式；(2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：－18 m 2＋32 m ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－112m 2＋76m ＋1 ＝1，解出m 即可； (3)求出山坡的顶点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7，6112 ，根据题意即－18 ×72＋7b ＋4＞3＋6112，再解出b 的取值范围即可． 【自主解答】(1)由题意可知抛物线C 2：y ＝－18x 2＋bx ＋c 过点(0，4)和(4，8)，将其代入得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝c 8＝－18×42＋4b ＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32c ＝4 ，∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝－18 x 2＋32 x ＋4. (2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：－18 m 2＋32 m ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－112m 2＋76m ＋1 ＝1， 整理得：(m －12)(m ＋4)＝0，解得：m 1＝12，m 2＝－4(舍去)，故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．(3)C 1：y ＝－112 x 2＋76 x ＋1＝－112 (x －7)2＋6112， 当x ＝7时，运动员到达坡顶，即－18 ×72＋7b ＋4＞3＋6112， 解得：b ＞3524.此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等．解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义．最高点为抛物线的顶点，抛出点为抛物线中的c 值，落地点为抛物线与x 轴的交点，落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值．(1)投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线图象上；(2)判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方；(3)判断船是否能通过拱桥即判断船的高度是否比船自身的宽度对应的y 值小；(4)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高低．(2021·台州中考)以初速度v(单位：m/s)从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t (单位：s)之间的关系式是h＝vt－4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1(如图1)；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2(如图2).若h1＝2h2, 则t1∶t2＝__ 2 __．考点二利润最大化问题类型一：顶点处取最值【典例3】(2021·达州中考)渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．(1)写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？(2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？(3)若工厂每天的利润要达到9 750元，并让利于民，则定价应为多少元？【解析】(1)由题意得：W＝(48－30－x)(500＋50x)＝－50x2＋400x＋9 000，x＝2时，W＝(48－30－2)(500＋50×2)＝9 600(元)，答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝－50x2＋400x ＋9 000，当降价2元时，工厂每天的利润为9 600元；(2)由(1)得：W＝－50x2＋400x＋9 000＝－50(x－4)2＋9 800，∵－50＜0，∴x＝4时，W最大为9 800，即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9 800元．(3)－50x2＋400x＋9 000＝9 750，解得：x1＝3，x2＝5，∵让利于民，∴x1＝3不合题意，舍去，∴定价应为48－5＝43(元)，答：定价应为43元．类型二：不在顶点处取最值【典例4】(2021·鄂州中考)为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y(元)与种植面积x(亩)之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960.(1)求y与x之间的函数关系式(不求自变量的取值范围).(2)受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2 160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？(每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴)【思路点拨】(1)根据已知条件用待定系数法求一次函数的解析式即可．(2)根据题意写出利润关于种植面积的解析式，然后根据x≤240和二次函数的性质求出利润的最大值．【自主解答】(1)设y 与x 之间的函数关系式y ＝kx ＋b(k≠0)，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧840＝160k ＋b 960＝190k ＋b ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4b ＝200 ， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝4x ＋200；(2)设老张明年种植该作物的总利润为W 元，依题意得： W ＝[2 160－(4x ＋200)＋120]·x＝－4x 2＋2 080x ＝－4(x －260)2＋270 400，∵－4<0，∴当x<260时，W 随x 的增大而增大，由题意知： x≤240，∴当x ＝240时，W 最大，最大值为－4(240－260)2＋270 400＝268 800(元)， 答：种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268 800元． 类型三：在自变量不同取值范围上求最值【典例5】(2020·荆门中考)2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x 天(x 为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x(天)的函数关系式为p ＝⎩⎪⎨⎪⎧25x ＋4（0<x≤20）－15x ＋12（20<x≤30） ，销售量y(千克)与x 之间的关系如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)当月第几天，该农产品的销售额最大？最大销售额是多少？(销售额＝销售量×销售价格)【思路点拨】(1)根据函数图象中的数据，可以得到y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)根据题意和(1)中的结果，可以得到利润与x 之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少．【解析】(1)当0＜x≤20时，设y 与x 的函数关系式为y ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝8020a ＋b ＝40 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝80 ， 即当0＜x≤20时，y 与x 的函数关系式为y ＝－2x ＋80，当20＜x≤30时，设y 与x 的函数关系式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧20m ＋n ＝4030m ＋n ＝80 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ＝－40 ， 即当20＜x≤30时，y 与x 的函数关系式为y ＝4x －40，由上可得，y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋80（0<x≤20）4x －40（20<x≤30） . (2)设当月第x 天的销售额为w 元，当0＜x≤20时，w ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋4 ×(－2x ＋80) ＝－45(x －15)2＋500，∴当x ＝15时，w 取得最大值，此时w ＝500，当20＜x≤30时，w ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15x ＋12 ×(4x－40)＝－45 (x －35)2＋500， ∴当x ＝30时，w 取得最大值，此时w ＝480，由上可得，当x ＝15时，w 取得最大值，此时w ＝500.答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．1．求关于利润的二次函数解析式的两种思路(1)若题目给出销售量与单价之间的函数解析式，以及销售单价与进价之间的关系时，则可直接根据：销售利润＝销售总额－成本＝销售量×销售价－销售量×进价＝销售量×(销售价－进价)来解决；(2)若题目中未给出销售量与单价之间的函数解析式，则要先求出销售量与单价之间的函数解析式，解析式一般是一次函数关系，再根据销售利润＝销售量×(销售价－进价)来解决．2．求二次函数的最值的两种方法(1)可直接利用公式法求顶点的纵坐标，即y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为4ac －b 24a (a ＜0)或最小值为4ac －b 24a(a ＞0). (2)若顶点在已知给定的自变量取值范围内，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若顶点不在已知给定的自变量取值范围内，则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小，从而确定最值．1．(2021·连云港中考)某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是__1__264__元．2．(2021·南充中考)超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．(1)求苹果的进价；(2)如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y(元)与购进数量x(千克)之间的函数关系式；(3)超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z(元/千克)与一天销售数量x(千克)的关系为z＝－1100 x＋12.在(2)的条件下，要使超市销售苹果利润w(元)最大，求一天购进苹果数量．(利润＝销售收入－购进支出)【解析】(1)设苹果的进价为x元/千克，根据题意得：300x＋2＝200x－2，解得：x＝10，经检验x＝10是原方程的根，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克．(2)当0≤x≤100时，y＝10x；当x ＞100时，y ＝10×100＋(x －100)(10－2)＝8x ＋200；∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x （0≤x≤100）8x ＋200（x ＞100）. (3)当0≤x≤100时，w ＝(z －10)x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1100x ＋12－10 x ＝－1100(x －100)2＋100， ∴当x ＝100时，w 有最大值为100；当100＜x≤300时，w ＝(z －10)×100＋(z －8)(x －100)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1100x ＋12－10 ×100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1100x ＋12－8 (x －100) ＝－1100x 2＋4x －200 ＝－1100(x －200)2＋200， ∴当x ＝200时，w 有最大值为200；∵200＞100，∴一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大，为200元． 答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大． 考点三 几何图形面积问题【典例6】 (2020·孝义市质检)如图所示，正方形区域ABCD 是某公园健身广场示意图，公园管理处想在其四个角的三角形区域内种植草皮加以绿化(阴影部分)，剩余部分安装健身器材作为市民健身活动场所(四边形EFGH)，其中AB＝100米，且AE＝AH＝CF＝CG.则当AE的长度为多少时，市民健身活动场所的面积达到最大？【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.∵AE＝AH＝CF＝CG，∴BE＝BF＝DG＝DH，∴△AHE，△BEF，△CGF，△DGH都是等腰直角三角形；设AE＝x米，则BE＝(100－x)米．设四边形EFGH的面积为S，则S＝100×100－2×12 x2－2×12(100－x)2＝－2x2＋200x(0＜x＜100).∵S＝－2(x－50)2＋5 000.∵－2＜0，∴当x＝50时，S有最大值为5 000.答：当AE＝50米时，市民健身活动场所的面积达到最大．解决此类问题一般是根据几何图形的性质，先找变量，再确定变量与该图形周长或面积之间的关系，用变量表示出其他边的长，从而确定二次函数的解析式，再根据题意及二次函数的性质解题即可．(2019·连云港中考)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是(C)A ．18 m 2B ．18 3 m 2C ．24 3 m 2D ．4532 m 2人教版九年级下册 P29 练习 T2某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？【思路点拨】设出每间房的定价，从而利用租房利润减去维护费，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论．【自主解答】设房价为(180＋10x)元，则定价增加了10x 元，此时空闲的房间为x ，由题意得，y ＝(180＋10x)(50－x)－(50－x)×20＝－10x 2＋340x ＋8000＝－10(x －17)2＋10890故可得当x ＝17，即房间定价为180＋170＝350元的时候利润最大． 答：房间定价为350元时，利润最大．(变换条件与问法)(2021·济宁中考)某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？(2)甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？【解析】(1)设甲种商品每箱盈利x 元，则乙种商品每箱盈利(x －5)元， 根据题意得：900x ＋400x －5＝100， 整理得：x 2－18x ＋45＝0，解得：x ＝15或x ＝3(舍去)，经检验，x ＝15是原分式方程的解，符合实际，∴x －5＝15－5＝10(元)，答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元．(2)设甲种商品降价a 元，则每天可多卖出20a 箱，利润为w 元，由题意得：w ＝(15－a)(100＋20a)＝－20a 2＋200a ＋1 500＝－20(a －5)2＋2 000，∵－20<0，∴当a ＝5时，函数有最大值，最大值是2 000元．答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2 000元.(变换条件与问法)(2021·黄冈中考)红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x(单位：元/件)，月销售量为y(单位：万件).(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．【解析】(1)由题知，y＝5－(x－50)×0.1，整理得y＝10－0.1x(40≤x≤100)；(2)设月销售利润为z，由题知，z＝(x－40)y＝(x－40)(10－0.1x)＝－0.1x2＋14x－400＝－0.1(x－70)2＋90，∴当x＝70时，z有最大值为90，即当月销售单价是70元时，月销售利润最大，最大利润是90万元；(3)由(2)知，当月销售单价是70元时，月销售利润最大，即(70－40－a)×(10－0.1×70)＝78，解得a＝4，∴a的值为4.。
初中数学复习二次函数的变形与应用
初中数学复习二次函数的变形与应用二次函数是初中数学中的重要内容之一，它具有许多重要的特性和应用。
本文将重点介绍二次函数的变形以及它在实际问题中的应用。
一、二次函数的基本形式二次函数的基本形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠ 0。
这里a决定了二次函数的开口方向和开口程度，b决定了二次函数的对称轴和顶点的横坐标，c决定了二次函数的顶点的纵坐标。
二、二次函数的变形除了基本形式外，二次函数还有一些常见的变形形式，包括平移、伸缩和翻转等。
1. 平移变形平移变形是指将二次函数沿着坐标轴平移一定的距离。
平移变形可以分为水平平移和垂直平移两种。
水平平移：当二次函数中的x加上一个常数h时，函数图像将向左平移h个单位。
当x减去一个常数h时，函数图像将向右平移h个单位。
垂直平移：当二次函数中的y加上一个常数k时，函数图像将向上平移k个单位。
当y减去一个常数k时，函数图像将向下平移k个单位。
2. 伸缩变形伸缩变形是指将二次函数的图像在坐标轴上进行拉长或缩短。
伸缩变形可以分为水平伸缩和垂直伸缩两种。
水平伸缩：将二次函数中的x乘以一个常数a时，函数图像将在x 轴上压缩或伸长。
当a>1时，函数图像将被压缩；当0<a<1时，函数图像将被伸长。
垂直伸缩：将二次函数中的y乘以一个常数a时，函数图像将在y 轴上压缩或伸长。
当a>1时，函数图像将被压缩；当0<a<1时，函数图像将被伸长。
3. 翻转变形翻转变形是指将二次函数的图像关于坐标轴进行翻转。
翻转变形可以分为关于x轴翻转和关于y轴翻转两种。
关于x轴翻转：将二次函数y = ax^2 + bx + c中的y变为-y，得到新的二次函数y = -ax^2 -bx -c，函数图像将关于x轴翻转。
关于y轴翻转：将二次函数y = ax^2 + bx + c中的x变为-x，得到新的二次函数y = ax^2 -bx + c，函数图像将关于y轴翻转。
【初中数学知识点解析】二次函数的实际问题应用
题型2：实际问题中的决策
8．某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已 知产销两种产品的有关信息如表：
产品 每件售价 每件成本 (万元) (万元)
甲
6
a
乙
20
10
每年其他 费用(万元)
20 40＋0.05x2
每年最大产 销量(件) 200 80
其中a为常数，且3≤a≤5.
(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1，y2 与x的函数关系式；
2 ∴当x＝
3
22
22
8
a，即E是BC的中点时，y取得最小值，
2 即△DHE的面积取得最小值，最小值是
27 a2.
8
类型3 建立二次函数模型解决动点探究问题
6．如图所示，直线y＝ 1 x－2与x轴、y轴分别交于点A，C，抛物线过点A，C 2
和点B(1，0)． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上方的抛物线上有一动点D，当D与直线 AC
1 2
x2＋
5 2
x－2代入，
得S△ACD＝2y－x＋4＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
当x＝2时，y＝1，此时S△ACD最大，且最大值为4.
∴D(2，1)．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵S△ACD＝
1 2
AC·DE，AC＝2 5.
∴当△ACD的面积最大时，高DE最大，
则DE的最大值为
4＝ 1 AC 1
4 2
＝4 5 . 55
要点提示
利用二次函数解决实际问题时，要注意数形结合，巧妙地运用二 次函数解析式进行建模，从而达到应用二次函数的某些性质来解决问 题的目的．
类型1 建立平面直角坐标系解决实际问题
初中数学《二次函数的应用》教案
初中数学《二次函数的应用》教案_学习方法网－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2.3二次函数的应用教学目标设计1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。
能力训练要求1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值发展学生解决问题的能力，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。
2、通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，培养数形结合思想，函数思想。
情感与价值观要求1、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识，逐步养成合作交流的习惯。
2、培养学生学以致用的习惯，体会体会数学在生活中广泛的应用价值，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。
教学方法设计由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。
为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。
教学过程导学提纲设计思路：最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。
初中数学中的二次函数应用
初中数学中的二次函数应用二次函数是初中数学中的重要内容之一，它在数学中有着广泛的应用。
在我们的日常生活中，我们可能并不经常意识到二次函数的存在和应用，但实际上，它在许多领域都发挥着重要的作用。
本文将探讨初中数学中的二次函数应用，并介绍一些实际问题中的解决方法。
一、二次函数的图像与实际意义二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向取决于二次项的系数。
当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下。
图像的顶点是抛物线的最高点或最低点，它在实际问题中有着重要的意义。
例如，我们可以利用二次函数来研究物体的抛射运动。
当我们把一个物体抛出时，它的运动轨迹就是一个抛物线。
通过分析抛物线的图像，我们可以了解物体的最高点、最远点和落地点等信息。
这对于预测物体的落点和设计弹道有着重要的意义。
二、二次函数在经济学中的应用在经济学中，二次函数也有着广泛的应用。
例如，我们可以利用二次函数来研究成本和收益的关系。
假设某个企业的生产成本可以表示为二次函数，我们可以通过分析二次函数的图像，找到最小成本点，从而确定最佳生产量。
此外，二次函数还可以用来研究市场需求和供给的关系。
假设某个商品的需求量可以表示为二次函数，我们可以通过分析二次函数的图像，找到顶点，从而确定最佳价格和销售量。
这对于企业的利润最大化和市场调节有着重要的意义。
三、二次函数在建筑设计中的应用二次函数在建筑设计中也有着重要的应用。
例如，我们可以利用二次函数来研究拱桥的设计。
拱桥的形状可以用二次函数来描述，通过分析二次函数的图像，我们可以确定拱桥的最高点和最宽处，从而保证拱桥的结构稳定和美观。
此外，二次函数还可以用来研究建筑物的抗震性能。
通过分析二次函数的图像，我们可以确定建筑物的最大位移和最大应力，从而评估建筑物的抗震能力，为建筑设计提供科学依据。
四、二次函数的解决方法在解决实际问题时，我们需要运用二次函数的解决方法。
一种常见的方法是利用二次函数的顶点公式。
初中数学二次函数的应用
二次函数的应用◆目标指引1．运用二次函数的知识去分析问题、解决问题，•并在运用中体会二次函数的实际意义． 2．体会利用二次函数的最值方面的性质解决一些实际问题．3．经历把实际问题的解决转化为数学问题的解决的过程，•学会运用这种“转化”的数学思想方法．◆要点讲解1．在具体问题中经历数量关系的变化规律的过程，•运用二次函数的相关知识解决简单的实际问题，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2．运用函数思想求最值和数形结合的思想方法研究问题．◆学法指导1．当涉及最值问题时，应运用二次函数的性质选取合适的变量，•建立目标函数，再求该目标函数的最值，求最值时应注意两点：（1）变量的取值范围；（2）•求最值时，宜用配方法． 2．有关最大值或最小值的应用题，关键是列出函数解析式，•再利用函数最值的知识求函数值，并根据问题的实际情况作答．◆例题分析【例1】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始，•沿着AB向点B以1cm/s的速度移动；点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，•设P，Q同时出发，问：（1）经过几秒后P，Q的距离最短（2）经过几秒后△PBQ的面积最大最大面积是多少【分析】这是一个动点问题，也是一个最值问题，设经过ts，显然AP和BQ•的长度分别为AP=t，BQ=2t（0≤t≤6）．PQ的距离PQ==．因此，只需求出被开方式5t2－12t+36的最小值，就可以求P，Q的最短距离．【解】（1）设经过ts后P，Q的距离最短，则：∵PQ====（2）设△PBQ的面积为S，则S=BP·BQ=（6－t）·2t=6t－t2=9－（t－3）2∴当t=3时，S取得最大值，最大值为9．即经过3s后，△PBQ的面积最大，最大面积为9cm2．【注意】对于动点问题，一般采用“以静制动”的方法，抓住某个静止状态，寻找等量关系．在求最值时，可用配方法或公式法，同时取值时要注意自变量的取值范围．【例2】某高科技发展公司投资1500万元，成功研制出一种市场需求较大的高科技替代产品，并投入资金500万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价若增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利额（年获利额=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）．（1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（2）试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）计算销售单价为160元时的年获利额，并说明：得到同样的年获利额，•销售单价还可以定为多少元相应的年销量分别为多少万件（4）公司计划：在第一年按年获利额最大时确定的销售单价进行销售；•第二年的年获利额不低于1130万元，请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）•应确定在什么范围【分析】本题以传统的经济活动中的利润、销售决策问题为背景，设计成数学应用题，引导学生主动关心和参与日常生活中的经济活动，把实际问题抽象成数学问题，运用函数性质和方程知识来解题．【解】（1）依题意知：当销售单价定为x元时，年销量减少（x－100）万件．∴y=20－（x－100）=－x+30．即y与x之间的函数关系式是y=－x+30．（2）由题意可得：z=（30－x）（x－40）－500－1500=－x2+34x－3200．即z与x之间的函数关系式为z=－x2+34x－3200．∴－320=－x2+34x－3200，即x2－340x+28800=0．由x1+x2=－得，160+x=340，∴x=180．即得到同样的年获利额，销售单价还可以定为180元．当x=160时，y=－×160+30=14，当x=180时，y=－×180+30=12．所以相应的年销售量分别为14万件和12万件．（4）∵z=－x2+34x－3200=－（x－170）2－310，∴当x=170时，z取得最大值为－310．即当销售单价为170元时，年获利额最大，并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资．第二年的销售单价定为x元时，则年获利额为：z′=（30－x）（x－40）－310=－x2+34x－1510．当z′=1130时，即1130=－x2+34x－1510，解得x1=120，x2=220．∴函数z′=－x2+34x－1510的大致图象如图所示．由图象可看出：当120≤x≤220时，z≥1130．∴第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内．◆练习提升一、基础训练1．函数y=的最大值是______．2．炮弹从炮口射出后飞行的高度h（米）与飞行的时间t（秒）之间的函数关系式为h=v0tsinα－5t2，其中v是发射的初速度，α是炮弹的发射角，当v0=300米/秒，α=30°时，炮弹飞行的最大高度为_______米，该炮弹在空中飞行了______秒落到地面上．3．如图，某涵洞呈抛物线形，现测得水面宽AB=1.6米时，涵洞顶点O到水面的距离为2.4米，4．如图，直角三角形AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t•截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为（）5．如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽4米，顶部距地面的高度为4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，•该车要想通过此门，装货后的最大高度应小于（）A．2.80米 B．2.816米 C．2.82米 D．2.826米6．如图，今有网球从斜坡OA的点O处抛出，•网球的抛物路线的函数关系是y=4x－x2，斜坡的函数关系是y=x2，其中y是垂直高度，x是与点O的水平距离．（1）求网球到达的最高点的坐标；（2）网球落在斜坡上的点A处，写出点A的坐标．7．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，•物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润最大利润是多少8．如图所示，一位运动员在距篮圈4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．（1）建立如图所示的坐标系，求抛物线的解析式；（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问球出手时，他跳离二、提高训练9．如图，图中四个函数的图象分别对应的解析式是①y=ax2；②y=bx2； ③y=cx2；④y=dx2．则a，b，c，d的大小关系为（）A．a>b>c>d B．a<c<b<d C．a>c>b>d D．d>c>b>a10．为备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m处挑射，•正好射中了2．4m 高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c（如图）．•有下列结论：①a+b+c>0；②－<a<0；③a－b+c>0；④0<b<－12a．其中正确的结论是（）A．①② B．①④ C．②③ D．②④11．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动，回答下列问题：（1）设运动后开始第t秒时，五边形APQCD的面积为S（单位：厘米2），写出S与t•之间的函数关系式，并求出自变量t的取值范围；（2）t为何值时S最小并求出S的最小值．12．如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B，C，Q，R 在同一直线L上，当C，Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线L•按箭头方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR 重合部分的面积为S（单位：cm2）．（1）当t=3s时，求S的值；（2）当t=5s时，求S的值；（3）当5≤t≤8时，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．13．如图，甲船位于乙船的正西方向26km处，现甲、乙两船同时出发，甲船以每小时12km的速度朝正北方向行驶，乙船以每小时5km的速度朝正西方向行驶，•何时两船相距最近最近距离是多少三、拓展训练14．如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x，已知AB=6，CD=3，AD=4，求：（1）四边形CGEF的面积S关于x的函数关系式和x的取值范围；（2）面积S是否存在最小值若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；（3）当x为何值时，S的数值等于x的4倍1． 2．1125，30 3．y=－ 4．D 5．B6．（1）（4，8）（2）A（7，）7．（1）y=－3x+240 （2）W=－3x2+360x－9600（3）当每箱定价为55元时，可获利大利润为1125•元8．（1）y=－+ （2）0.2m 9．C 10．B11．（1）S=t2－6t+72（0≤t≤6）（2）t=3时，S最小=63 12．（1）cm2（2）cm2（3）S=－（t－）2+，S最大=cm213．当行驶小时时，两船相距最近，最近距离为24km 14．（1）S=x2－7x+18（0<x<3）（2）不存在，理由略（3）2。
自学初中数学资料 纯函数 二次函数的应用 (资料附答案)
自学资料年份题量分值考点题型2015317二次函数图象与变换；二次函数的图象性质选择、解答、解答2016222二次函数性质（解析式、顶点、函数比较大小、最值）综合题解答2017216二次函数图象上点的坐标特征；函数图象与系数的关系；二次函数图象与系数的关系选择、解答2018215二次函数图象与系数的关系、函数比较大小选择、解答2019215二次函数解析式、对称轴、最值问题以及比较大小选择、解答一、函数图像的综合应用【知识探索】1．二次函数是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量取任意实数时的最值情况(当a＞0时，函数在处取得最小值第1页共19页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训，无最大值；当时a＜0，函数在处取得最大值，无最小值．但是，根据二次函数对称轴的位置，以及自变量x的取值范围的变化，函数最值还会出现下面这些常见情况：【错题精练】例1．已知某函数的图象C与函数y=3x 的图象关于直线y＝2对称．下列命题：①图象C与函数y=3x的图象交于点（32，2）；②点（12，﹣2）在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4；④A（x1，y1），B（x2，y2）是图象C上任意两点，若x1＞x2，则y1＞y2．其中真命题是（）A. ①②；B. ①③④；C. ②③④；D. ①②③④．【答案】A例2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P(12,−1a)，Q(2,2)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【解答】（1）∵抛物线与y轴交于点A，第2页共19页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第3页共19页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第4页 共19页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好 非学科培训解得：{x =0y =0或{x =73y =73， ∴A （73，73）， ∴m =73，由{y =−xy =32x 2−52x ，解得：{x =0y =0或{x =1y =−1，∴A′（1，﹣1）， ∴m =1，综上所述：m =1或73；（3）解：观察图象可知，在抛物线的两条对称轴之间时，对应y =ax 2+bx 都有“y 随x 的增大而增大”，∴t 1的最小值为56，t 2的最大值32．【答案】（1）y =−12x 2+32x 或y =32x 2−52x ；（2）1或73；（3）t 1的最小值为56，t 2的最大值32．例4．已知抛物线y=3ax 2+2bx+c（1）若a=b=1，c=-1求该抛物线与x 轴的交点坐标；（2）若a=, c=2+b 且抛物线在-2≤x≤2上的最小值是-3，求b 的值； （3）若a+b+c=1，是否存在实数x ，使得相应的y 的值为1，请说明理由．【解答】【答案】见解析例5．已知y1=x2﹣3x+2，y2=2x+8，设函数H=max{y1，y2}，G=min{y1，y2}．（max{a，b}表示a，b 中较大的数，min{a，b}表示a，b中较小的数．比如max{﹣1，3}=3，min{﹣1，3}=﹣1）．则下列结论中正确的是（）A. H有最大值20B. H有最小值6C. G有最小值6D. G有最大值20【解答】第5页共19页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】B【举一反三】1．在探究“抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点（A在B的左边），过点A且与x轴成45°角的直线，与抛物线交于点C”的图形性质时，小慧在得出“在第一象限存在一点C1，第四象限存在一点C2满足条件”；这一正确结论后，还由此得出下列结论：①C1的横坐标为4，C2的纵坐标为－3；②sin∠AC1C2=3√3434③过点C1、C2作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2，则△C1D1B∽△C2D2B，则其中正确的为（）A. ①②；B. ②③；C. ①③；D. ①②③．【答案】A．2．如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是- 或．其中正确的是( ).A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④第6页共19页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训【解答】【答案】C3．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值3，则实数m的值为__________【解答】【答案】见解析4．已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）．（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求第7页共19页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训此时二次函数的解析式．【答案】5．当－1≤x≤l时，二次函数y= - (x-m)2+m2+1 有最大值4，则实数m的值为__________ .第8页共19页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训第9页 共19页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】【答案】-2或2二、二次函数的应用【知识探索】1．了解二次函数的性质及应用，掌握函数平移“上加下减（关于y ），左加右减（关于x ）”的含义. 二次函数相关的应用题的答题技巧：1、了解题意；2、根据题义合理设元及选择解析式；3、解并求出答案；4、检验是否符合题意并写答句.【错题精练】例1．在干燥的路面上，汽车紧急刹车后滑行的距离s （m ）与刹车前汽车的速度v （km/h ）的关系是s=316v+3512v 2（1）当v 分别是48，64时，求相应的s 的值． （2）司机小李正以72km/h 的速度行驶，突然发现前方大约60m 处有一不明障碍物，他立即刹车，车会撞上障碍物吗？【答案】解：（1）把V=48，代入s=316v+3512v 2=316×48+3512×482=21.5， 把V=64，代入s=316v+3512v 2=36；（2）把V=72，代入s=316v+3512v 2=43.875＜60， 故他立即刹车，车不会撞上障碍物．例2．一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m ，跨度16m ，为了安全起见，分别在桥的两侧安装如图1所第10页 共19页自学七招之以背代诵掌：高效记忆有妙招，以背代诵效果好非学科培训示的不锈钢护栏（护栏包括支柱和衡量），相邻两支柱间的距离均为4m ． （1）如图所示建立直角坐标系，求这条抛物线的函数表达式； （2）求安装护栏所需钢管的总长度； （3）拱桥下地平面是双向行车道，其中的一条行车道能否并排行驶宽2.4m ，高3m 的两辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax 2+c ， 由题意可知，B （8，0），C （0，6）， ∴{0=64a +c c =6，解得：a=-332，b=6．∴y=-332x 2+6；（2）由题意得，PQ=2，GH=8， 当x=4时，y=4.5，即EF=4.5， ∴MN=8-4.5=3.5，∴所需钢管的总长度为：2×（8×2+3.5×2+2+16）=82米； （3）把x=4.8代入y=-332x 2+6，解得：y=3.84＞3．∴一条行车道能并排行驶宽2.4m ，高3m 的两辆汽车．例3．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10米），围成一个长方形的花圃．设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米． （1）求S 与x 的函数关系式；写出自变量x 的取值范围． （2）怎样围才能使长方形花圃的面积最大？最大值为多少？【答案】解：（1）设花圃的宽AB为x米，则长BC=（24-2x）米．由矩形的面积公式可知：S=x（24-2x），∴S=-2x2+24x．∵墙的最大可用长度a为10米，∴0＜24-2x≤10．解得：7≤x＜12．（2）∵a=-2，b=24，∴x=-b2a =−24−2×2=6．∵7≤x＜12，a＜0，∴S随x的增大而减小．∵当x=7时24-2x=10，即长为10米，宽为7米时面积最大，∴长方形花圃的最大面积=70平方米．例4．如图（1），足球场上守门员李伟在O处抛出一高球，球从离地面1m处的点A飞出，其飞行的最大高度是4m，最高处距离飞出点的水平距离是6m，且飞行的路线是抛物线一部分．以点O为坐标原点，竖直向上的方向为y轴的正方向，球飞行的水平方向为x轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．（参考数据：4√3≈7，2√6≈5）（1）求足球的飞行高度y（m）与飞行水平距离x（m）之间的函数关系式；（2）在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？（3）若对方一名1.7m的队员在距落点C3m的点H处，跃起0.3m进行拦截，则这名队员能拦到球吗？（4）如图（2），在（2）的情况下，若球落地后又一次弹起，据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半，那么足球弹起后，会弹出多远？【答案】解：（1）①当h=4时，y=a（x-6）2+4，又A（0，1）∴1=a（0-6）2+4，∴a=-112，∴y=-112（x-6）2+4；（2）令y=0，则0=-112（x-6）2+4，解得：x1=4√3+6≈13，x2=-4√3+6＜0（舍去）∴球飞行的最远水平距离是13米；（3）当x=13-3=10时，y=83＞1.7+0.3=2，∴这名队员不能拦到球；（4）如图，足球第二次弹出后的距离为CD ，根据题意知CD=EF （即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位），∴-112（x-6）2+4=2，解得：x 1=6-2√6，x 2=6+2√6，∴CD=x 2-x 1=4√6≈10，答：足球弹起后，会弹出10米．例5．如图，一隧道的横截面是由一段抛物线及矩形的三边围成的，隧道宽BC=10米，矩形部分高AB=3米，抛物线型的最高点E 离地面OE=6米，按如图建立一个以BC 为x 轴，OE 为y 轴的直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）如果该隧道内设有双车道，现有一辆货运卡车高4.5米，宽3米，这辆货运卡车能顺利通过隧道吗？【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax 2+c ，∵点E （0，6），点A （-5，3）在此抛物线上，∴{c =6a ×（−5）2+c =3，得{a =−325c =6， ∴此抛物线的解析式为y=−325x 2+6； （2）当x=±3时，y=−325×（±3）2+6=4.92＞4.5，即这辆货运卡车能顺利通过隧道．【举一反三】1．汽车刹车后行驶的距离s （单位：米）关于行驶的时间t （单位：秒）的函数解析式为s=-6t 2+bt （b 为常数）．已知t=12时，s=6，则汽车刹车后行驶的最大距离为（ ）A. 152米B. 8米C. 758米D. 10米【解答】解：把t=12，s=6代入s=-6t 2+bt 得，6=-6×14+b×12， 解得，b=15∴函数解析式为s=-6t 2+15t=-6（t-54）2+758，∴当t=54时，s 取得最大值，此时s=758，故选：C ．【答案】C2．某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m ，与篮圈中心的水平距离7m ．当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m ．（1）建立如图的平面直角坐标系，求出此轨迹所在抛物线的解析式．（2）问此球能否准确投中？（3）此时，若对方队员乙在甲前面2m 处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m ，那么他能否拦截成功？为什么？【答案】解：（1）根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为：A （0，209），B （4，4），C （7，3）设二次函数解析式为y=a （x-h ）2+k ，将点（0，209）代入可得：16a+4=209，解得：a=-19，∴抛物线解析式为：y=-19（x-4）2+4；（2）将C （7，3）点坐标代入抛物线解析式得：∴-19（7-4）2+4=3∴左边=右边即C 点在抛物线上，∴此球一定能投中；（3）不能拦截成功，理由：将x=2代入y=-19（x-4）2+4得y=359∵359＞3.1∴他不能拦截成功．3．如图，足球场上守门员在O处踢出一高球，球从离地面1m的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6m的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面有4m高，球落地后又一次弹起，第二个落点为D，据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式；（2）求足球第一次落地点C处距守门员有多少米？（取√3≈1.7）（3）运动员乙要抢到第二个落点D处的球，他应再向前跑多少米？（取√6≈2.5）【答案】解：（1）根据题意，可设第一次落地时，抛物线的表达式为y=a（x-6）2+4，将点A（0，1）代入，得：36a+4=1，解得：a=-112，∴足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式为y=-112（x-6）2+4；（2）令y=0，得：-112（x-6）2+4=0，解得：x1=4√3+6≈13，x2=-4√3+6＜0（舍去），∴足球第一次落地点C距守门员13米；（3）如图，足球第二次弹出后的距离为CD，根据题意知CD=EF（即相当于将抛物线AEMFC向下平移了2个单位），∴-112（x-6）2+4=2，解得：x1=6-2√6，x2=6+2√6，∴CD=x2-x1=4√6≈10，∴BD=13-6+10=17米，答：运动员乙要抢到足球第二个落点D，他应再向前跑17米．4．在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足s=10t-5t2，则该物体在运动过程中，什么时候达到最高点？最高点距地面多少米？【答案】解：由题意可知：小球与地面的高度h（m）与时间t（s）的关系为：h=s+2=-5t2+10t+2=-5（t-1）2+7≤7，∴抛物线顶点坐标（1，7）图象开口向下，当t=1时有最大值为7，∴小球运动到最高处时距离地面7m．答：1小时达到最高点，最高点距地面7米．5．世界羽联在4日公布了最新一期世界排名，国羽依旧在男单、女双和混双三项排在头名位置．谌龙男单排名第一．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图2）．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系y=-29x2+89x+109，则羽毛球飞出的水平距离为______米．【解答】解：当y=0时，0=-29x2+89x+109，解得：x1=-1（舍去），x2=5．故羽毛球飞出的水平距离为5m．故答案为：5．【答案】51．定义符号max{a，b}的含义为：当a≥b时max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b}=b．如：max{1，﹣3}=1，max{﹣4，﹣2}=﹣2．则max{x2﹣1，x}的最小值是（）A. 0B. 1C.D.【解答】【答案】D2．当﹣b≤x≤b时，二次函数y=﹣3x2﹣3x+4b2+的最大值是7，则b=__________ 。
初中数学中的二次函数与应用
面积问题
面积公式： S=1/2*a*b*c
应用题类型：三 角形、矩形、梯 形等
解题步骤：确定 图形类型，找出 相关参数，代入 公式求解
示例：已知三角 形ABC的三边长 分别为a、b、c， 求三角形ABC的 面积。
其他应用题类型
最值问题：求二次函数的最大值或最小值 面积问题：求二次函数与x轴、y轴围成的图形的面积 距离问题：求两点间的距离，其中一点坐标为二次函数 增长率问题：求某变量在一段时间内的增长率，该变量与二次函数有关
初中数学中的二次函数 与应用
汇报人：
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题 02 二 次 函 数 的 基 本 概 念 03 二 次 函 数 的 应 用 04 二 次 函 数 的 解 析 方 法 05 二 次 函 数 的 应 用 题 解 析 06 二 次 函 数 的 综 合 题 解 析
目录
01 添加章节标题
根：二次 函数与x 轴的交点， 即方程 ax²+bx +c=0的 解
二次函数的表达式
二次函数的一 般形式： y=ax²+bx+c
其中，a、b、 c为常数， a≠0
a决定了二次 函数的开口方 向和大小
b决定了二次 函数的对称轴 位置
c决定了二次 函数的顶点位 置
二次函数的图像
二次函数的图 像是一条抛物 线
面积问题：二次函数在求解 几何图形面积时的应用
抛物线：二次函数的图像， 用于描述物体在空中的轨迹
距离问题：二次函数在求解 两点间距离时的应用
04 二次函数的解析方 法
配方法
配方法的定义：将二次函数化为 顶点式或交点式的方法
配方法的应用：求解二次函数的 最大值或最小值，以及求解二次 函数的解
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二次函数的应用◆目标指引1．运用二次函数的知识去分析问题、解决问题，•并在运用中体会二次函数的实际意义． 2．体会利用二次函数的最值方面的性质解决一些实际问题．3．经历把实际问题的解决转化为数学问题的解决的过程，•学会运用这种“转化”的数学思想方法． ◆要点讲解1．在具体问题中经历数量关系的变化规律的过程，•运用二次函数的相关知识解决简单的实际问题，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型． 2．运用函数思想求最值和数形结合的思想方法研究问题． ◆学法指导1．当涉及最值问题时，应运用二次函数的性质选取合适的变量，•建立目标函数，再求该目标函数的最值，求最值时应注意两点：（1）变量的取值范围；（2）•求最值时，宜用配方法． 2．有关最大值或最小值的应用题，关键是列出函数解析式，•再利用函数最值的知识求函数值，并根据问题的实际情况作答． ◆例题分析【例1】如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始，•沿着AB 向点B 以1cm/s 的速度移动；点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，•设P ，Q 同时出发，问： （1）经过几秒后P ，Q 的距离最短？（2）经过几秒后△PBQ 的面积最大？最大面积是多少？【分析】这是一个动点问题，也是一个最值问题，设经过ts ，显然AP 和BQ•的长度分别为AP=t ，BQ=2t （0≤t≤6）．PQ 的距离PQ=22BP BQ +=251236t t -+．因此，只需求出被开方式5t 2－12t+36的最小值，就可以求P ，Q 的最短距离． 【解】（1）设经过ts 后P ，Q 的距离最短，则：∵PQ=22BP BQ +=22(6)(2)t t -+=251236t t -+=261445()55t -+∴经过65s后，P，Q的距离最短．（2）设△PBQ的面积为S，则S=12BP·BQ=12（6－t）·2t=6t－t2=9－（t－3）2∴当t=3时，S取得最大值，最大值为9．即经过3s后，△PBQ的面积最大，最大面积为9cm2．【注意】对于动点问题，一般采用“以静制动”的方法，抓住某个静止状态，寻找等量关系．在求最值时，可用配方法或公式法，同时取值时要注意自变量的取值范围．【例2】某高科技发展公司投资1500万元，成功研制出一种市场需求较大的高科技替代产品，并投入资金500万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价若增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利额（年获利额=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）．（1）试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（2）试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）；（3）计算销售单价为160元时的年获利额，并说明：得到同样的年获利额，•销售单价还可以定为多少元？相应的年销量分别为多少万件？（4）公司计划：在第一年按年获利额最大时确定的销售单价进行销售；•第二年的年获利额不低于1130万元，请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）•应确定在什么范围？【分析】本题以传统的经济活动中的利润、销售决策问题为背景，设计成数学应用题，引导学生主动关心和参与日常生活中的经济活动，把实际问题抽象成数学问题，运用函数性质和方程知识来解题．【解】（1）依题意知：当销售单价定为x元时，年销量减少110（x－100）万件．∴y=20－110（x－100）=－110x+30．即y与x之间的函数关系式是y=－110x+30．（2）由题意可得：z=（30－110x）（x－40）－500－1500=－110x2+34x－3200．即z与x之间的函数关系式为z=－110x2+34x－3200．（3）∵当x=160时，z=－110×1602+34×160－3200=－320，∴－320=－110x2+34x－3200，即x2－340x+28800=0．由x1+x2=－ba得，160+x=340，∴x=180．即得到同样的年获利额，销售单价还可以定为180元．当x=160时，y=－110×160+30=14，当x=180时，y=－110×180+30=12．所以相应的年销售量分别为14万件和12万件．（4）∵z=－110x2+34x－3200=－110（x－170）2－310，∴当x=170时，z取得最大值为－310．即当销售单价为170元时，年获利额最大，并且到第一年底公司还差310万元就可以收回全部投资．第二年的销售单价定为x元时，则年获利额为：z′=（30－110x）（x－40）－310=－110x2+34x－1510．当z′=1130时，即1130=－110x2+34x－1510，解得x1=120，x2=220．∴函数z′=－110x2+34x－1510的大致图象如图所示．由图象可看出：当120≤x≤220时，z≥1130．∴第二年的销售单价应确定在不低于120元且不高于220元的范围内．◆练习提升 一、基础训练1．函数y=2245x x ++的最大值是______．2．炮弹从炮口射出后飞行的高度h （米）与飞行的时间t （秒）之间的函数关系式为h=v 0tsinα－5t 2，其中v 是发射的初速度，α是炮弹的发射角，当v 0=300米/秒，α=30°时，炮弹飞行的最大高度为_______米，该炮弹在空中飞行了______秒落到地面上．3．如图，某涵洞呈抛物线形，现测得水面宽AB=1.6米时，涵洞顶点O 到水面的距离为2.4米，在图中的直角坐标系中，涵洞所在抛物线的函数关系式为______．4．如图，直角三角形AOB 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，设直线x=t•截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为（ ）5．如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽4米，顶部距地面的高度为4.4米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为2.4米，•该车要想通过此门，装货后的最大高度应小于（ ）A ．2.80米B ．2.816米C ．2.82米D ．2.826米6．如图，今有网球从斜坡OA 的点O 处抛出，•网球的抛物路线的函数关系是y=4x －12x 2，斜坡的函数关系是y=12x 2，其中y 是垂直高度，x 是与点O 的水平距离． （1）求网球到达的最高点的坐标；（2）网球落在斜坡上的点A处，写出点A的坐标．7．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，•物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？8．如图所示，一位运动员在距篮圈4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5m时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m．（1）建立如图所示的坐标系，求抛物线的解析式；（2）该运动员身高1.8m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手，问球出手时，他跳离地面的高度是多少？二、提高训练9．如图，图中四个函数的图象分别对应的解析式是①y=ax2；②y=bx2； ③y=cx2；④y=dx2．则a，b，c，d的大小关系为（）A．a>b>c>d B．a<c<b<d C．a>c>b>d D．d>c>b>a10．为备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m处挑射，•正好射中了2．4m 高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线y=ax2+bx+c（如图）．•有下列结论：①a+b+c>0；②－160<a<0；③a－b+c>0；④0<b<－12a．其中正确的结论是（）A．①② B．①④ C．②③ D．②④11．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC向点C以2cm/s的速度移动，回答下列问题：（1）设运动后开始第t秒时，五边形APQCD的面积为S（单位：厘米2），写出S与t•之间的函数关系式，并求出自变量t的取值范围；（2）t为何值时S最小？并求出S的最小值．12．如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B，C，Q，R在同一直线L上，当C，Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线L•按箭头方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR•重合部分的面积为S（单位：cm2）．（1）当t=3s时，求S的值；（2）当t=5s时，求S的值；（3）当5≤t≤8时，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．13．如图，甲船位于乙船的正西方向26km处，现甲、乙两船同时出发，甲船以每小时12km的速度朝正北方向行驶，乙船以每小时5km的速度朝正西方向行驶，•何时两船相距最近？最近距离是多少？三、拓展训练14．如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，截取AE=BF=DG=x，已知AB=6，CD=3，AD=4，求：（1）四边形CGEF的面积S关于x的函数关系式和x的取值范围；（2）面积S是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；（3）当x为何值时，S的数值等于x的4倍？答案:1．32．1125，30 3．y=－3.75x24．D 5．B6．（1）（4，8）（2）A（7，72）7．（1）y=－3x+240 （2）W=－3x2+360x－9600 （3）当每箱定价为55元时，可获利大利润为1125•元8．（1）y=－0.2x2+3.5 （2）0.2m 9．C 10．B 11．（1）S=t2－6t+72（0≤t≤6）（2）t=3时，S最小=6312．（1）278cm2（2）698cm2（3）S=－34（t－132）2+16516，S最大=16516cm213．当行驶1013小时时，两船相距最近，最近距离为24km14．（1）S=x2－7x+18（0<x<3）（2）不存在，理由略（3）2。