函数的连续性与间断性

3.单侧连续
若f(函 x )在 (a ,x 数 0 ] 内有 ,且 f(x 0 定 0 ) f(x 义 0 ), 则 f(x ) 称 在 x 0 处 点左 ; 连续
若f(函 x )在 [x 0 ,b 数 ) 内有 ,且 f(x 0 定 0 ) f(x 义 0 ), 则 f(x ) 称 在 x 0 处 点右 . 连续
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例2
证 函 明 y s 数 x i在 n ( 区 , ) 内 间 .连
证 任x 取 (, ) ,
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y six n x )( sx i n 2si n xcoxs(x)
2
2
因为 coxs(x)1, 从而 y2sinx.
2
2
对任,意 当 的 0时 , 有 si n,
lim x21lim (x1)2. x 1x1 x 1
如果补充分定义：令x=1时y=2， 则所给函数在x=1成为连续. 所以x=1称为该函数的可去间断点.
y
2 1
o1 x
例6 函数
x,x1 y f(x)12,x1
1
y
这 li里 fm (x ) lix m 1 ,
x 1
x 1
但f(1)1,所以 2
定理 函数 f(x)在x0处连 续 是函f(数 x)在x0
处既左连续 . 又右连续
4.连续函数与连续区间
在开区间（a,b）内每一点都连续的函数,叫做在 该区间内的连续函数,或者说函数在该区间内连 续.
如果函数在(a开 ,b)内 区连 间 , 续 并且在左端 xa处右连 , 在 续右端 x点 b处左连 , 则 续称 函数 f(x)在闭区 [a,b间 ]上连. 续
x
例4
函数 ysin 1在x0处没有 . 定义
x
1
Sin
x
1
当 x 0 时 ,函数 1 与 值 1 之 在 间0.5
-0.4 -0.2
变动无,所 限以 多 x点 0 次 称
-0.5
x
0.2
0.4
-1
为函s数 in1的振荡间.断点 x
例5 函y数 x21在x点 1没定 ,所 义 以函数
x1 x1为不.但 连这 续里
连续点.
lixm 0f(x0x)f(x0)
""定义 : 0,0,使x当 x0时 , 恒f有 (x)f(x0).
例1
试证函 f(x)数 xsin1x, x0, 在x0
0, x0,
处连. 续
证 因为 lim xsin 10,
x0
x
又 f(0)0, lim f(x)f(0), x 0
由定义知
函f数 (x)在 x0处连 . 续
1
2o 1 x
lim f(x)f(1).
x 1
因此，点x=1是函数f(x)的间断点.但如果改变函
数f(x)在x=1处的定义：令f(1)=1，则f(x)在x=1
成为连续.所以x=1也称为该函数的可去间断点.
例７
函数
f (x)
0x,1,
这,当 里 x 0 时 , x1,
limf(x)lim (x1)1,
3. 间断点的分类
设 x0是函 f(x数 )的间断点
(1).如 果 左 极 限 f(x０ )及 右 极 限 f(x０ )都 存 在 , 那 么 x0称 为f (x)的第一类间断点;
(2)如 . x0 果 不f(是 x)的第一,那 类x0 么 称 间为 断点
f (x)的第二类间断点.
在第一类间断右 点极 中限 左相 、等者称为
故y2si nxx, 所 当 x 以 0 时 , y 0 . 2
即 函y 数 six 对 n x 任 (,意 )都 是 . 连续
二、函数的间断点
1.定义
设函 f(x 数 )在x 点 0的某去心邻,在 域此 内前 有
下,如果函f(数 x)有下列三种情:形之一
(1)在xx0没有;定义
(2 )虽 x 在 x 0 有,但 定 x l ix 0m f义 (x )不;存在 ( 3 ) 虽 x x 0 有 在 , 且 x l x 0 f i ( 定 x ) 存 m , 但 x l x 0 f i ( 义 x ) 在 m f ( x 0 )
去间断,不 点相等者称为跳点 跃.无间穷断 间断点
和振荡间断点是第二类
间断点 .
则 函f数 (x)在x点 0为不(或 连间 续 ), 断 而x点 0称为f(函 x)的数 不连 (或续 间)点 .断点
2.间断点举例
例3
正切函y数 tanx在x处没有定 , 义 2
所以x点 是函t数 anx的间断点.因
2
limtanx,
x
称x 为函数tan2x
y
2
的无穷间断. 点
2
o 2
3 2
函数的连续性与间断性
一、函数的连续性
1.函数的增量
U 设函 f(x)数 在 U(x0,)内有 , 定 x义 (x0,),
xxx0, 称为自x 变 0的量 增 . 在 量点 y f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) ,称f ( 为 x ) 相
应于 x的增. 量
y
yf(x)
y
yf(x)
y y
x
x
0 x 0 x0 x x 0 x 0 x0 x x
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x)在U (x0, )内有定义,如果
lim y 0
x 0
或
lim[
x 0
f
( x0
x)
f ( x0 )] 0,
那么就称函数 f ( x)在点 x0连续, x0称为 f ( x)的
x0
x0
limf(x)lim (x1)1.
x0
x0
x 0,
x0, y x 0.
yx1
1
o1 x
故 lif 极 ( m x ) 不 限 ,所 存 x 0 以 是 在 f ( x ) 点 的 函 x 0
断.因 点 yf(x)的图 x0 形 处在 产生 ,称 x 跳 0 跃
为函数 f(x)的跳跃间断 . 点