函数的连续性与间断性
连续性间断点,连续函数的运算
无穷间断点 左右极限至少有一 第二类间断点 振荡间断点 个不存在
思考与练习
讨论函数
f
(x)
x2
x2 1 3x
2
间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
x = 2 是第二类无穷间断点 .
备用题 确定函数 f (x)
1 间断点的类型. x
1 e1x
解: 间断点 x 0, x 1
证: x ( , )
y sin(x x) sin x
2
sin
x 2
cos(
x
x 2
)
y
2
sin
x
2
cos(
x
x
2
)
2
x
2
1
x
x 0
0
即 lim y 0
x0
这说明 y sin x 在 ( , )内连续 .
同样可证: 函数 y cos x 在( , )内连续 .
二、 函数的间断点
y
y f (x)
y x
0 x0 x0 x x
y
y f (x)
y
x
0 x0 x0 x x
2. 连续的定义
定义 1：设 f (x) 在U (x0 , )内有定义，若
lim y
x0
lim [
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )]
0,
则称 f (x) 在 x0 点连续，x0 称为 f (x)的连续点.
设 x x x0 ,
y
y f (x)
y f ( x) f ( x0 ),
y
x 0 就是 x x0,
x
函数的连续与间断
f(x)=f(x0 )］，则称函数y=f(x)在点x0处左(或右)连续.
设函数y=f(x)在区间［a,b］内有定义，如果有limx→b－
f(x)=f(b)，那么我们就称函数y=f(x)
b左连续；如果
limx→a+f(x)=f(a)，那么我们就称函数y=f(x)在左端点a右连续.
一、 函数的连续性
定义19
y=f(x)
x0连续.
在定义16中，若令x=x0+Δx, 即Δx=x－x0，则当Δx→0时，也就
是当x→x0时.又因为Δy=f(x0+Δx)－f(x0)=f(x)－f(x0)，因而
limΔx→0Δy=0
limΔx→0［f(x)－f(x0)］=0，即limx→x0f(x)=f(x0).
因此，函数y=f(x)在点x0处连续的定义又可叙述如下.
A=x2，当自变量x有一个改变 量Δx时，相应函数的增量为ΔA.
ΔA=f(x+Δx)－f(x)=(x+Δx)2－x2=2x•Δx+(Δx)2.
一、 函数的连续性
2. 函数的连续性概念
定义16
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当Δx趋向于零时，
函数相对应的增量Δy也趋向于零，即limΔx→0Δy=0成立，则称函数
一、 函数的连续性
定义17
设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果有limx→x0f(x)=f(x0) 成立，则称函数y=f(x)在点x0处连续，且称x0为函数y=f(x)的连续点.
(1)函数y=f(x)在点x0有定义.
(2)limx→x0f(x)
.
(3)极限值等于该点的函数值f(x0) .
图 2-12
函数的连续性与间断点
。
.
O
x
10
例3 函数
x − 1, y = f ( x) = 0, x + 1,
x → −0 x → +0 x → −0
x < 0, x = 0, x > 0.
y
lim f ( x ) = lim ( x − 1) = −1
。
１
lim f ( x ) = lim ( x + 1) = +1
18
1 − x 2n ⋅ x 的连续性，若有间断点 例7 讨论函数 f ( x ) = lim 的连续性， 2n n→∞ 1 + x
判断其类型。 判断其类型。 解 Q lim x 2 n
n→∞
0, = 1, ∞,
1, x <1 2n 1− x x = 1, lim = 0, 2n n →∞ 1 + x − 1, x >1
x → +0
O。
－１
•
x
x 不存在。 所以 lim f ( x )不存在。 = 0 称为 x→0
跳跃间断点。 该函数的跳跃间断点 该函数的跳跃间断点。
11
例4 正切函数 y = tan x 在 x =
π
处没有定义， 处没有定义，
2 π 的间断点。 所以 x = 是函数 y = tan x 的间断点。 2
∆y = sin( x + ∆x ) − sin x = 2 sin
∆x Q cos x + ≤1 2 ∆x ∴ ∆y = sin( x + ∆x ) − sin x ≤ 2 sin . 2 又因为当α ≠ 0 时， sinα < α
函数的连续性和间断点
函数的连续性一、函数连续的定义如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0连续。
如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0−f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0左连续。
如果函数f(x)在点x0的邻域内有定义，如果limx→x0+f(x)=f(x0)，那么称函数f(x)在点x0右连续。
如果limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0)，则函数f(x)在点x0连续。
如果函数f(x)在点x0连续，则limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0)。
二、函数的间断点：函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数f(x)有下列三种情形之一，则称x0是函数f(x)的间断点。
（1）.在x0处无定义；（2）.在x0处有定义，但limx→x0f(x)在x0处的极限不存在；（3）.在x0处有定义，而且limx→x0f(x)在x0处的极限也存在，但limx→x0f(x)≠f(x0)；间断点可分为两类，即第一类间断点和第二类间断点。
如果函数的左极限和右极限都存在，则称为第一类间断点。
如果左右极限至少有一个不存在，则称为第二类间断点。
如果左右极限都存在且相等，则该间断点称为可去间断点，可去间断点很显然是第一类间断点。
如果函数在x0处的极限值为∞，则点x0称为无穷间断点。
至于震荡间断点和跳跃间断点，可以很容易根据函数图像的特征加以判别。
历年真题1、函数f (x )=|x |x −1x (x+1)ln |x |的可去间断点的个数为(A )0 (B )1 (C )2 (D )3(2013，数三，4分)【解析】函数f (x )=|x |x −1x (x+1)ln |x |在x =−1,0,1处没定义，lim x→−1f (x )=lim x→−1|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→−1e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→−1xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→−11(x +1)=∞lim x→0f (x )=lim x→0|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→0e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→0xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→01(x +1)=1lim x→1f (x )=lim x→1|x |x −1x (x +1)ln |x |=lim x→1e xln |x |−1x (x +1)ln |x |=lim x→1xln |x |x (x +1)ln |x |=limx→11(x +1)=12所以x =0和x =1为可去间断点。
函数连续性定义和间断点
,讨论在x=0处的连续性
解:
则称 为函数 的跳跃间断点
如果 在 点存在左、右极限，但
例4：
2.跳跃间断点
解
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断 的第二类间断点
函数 在 点的左、右极限至少有一个不存在，
例5：
处的连续性
在
讨论函数
解
例6
例7 解
所以
性质5：（反函数的连续性） 连续且严格单调递增（递减）的反函数必是连续 且严格单调递增（递减）的函数.
初等函数的连续性
定理2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.
例如,
定理1：基本初等函数在定义域内是连续的.
故
01
为跳跃间断点.
02
解: 间断点 备用题 确定函数 间断点的类型. 为无穷间断点;
介值定理 .
02
最值定理 ;
例3. 设函数
03
零点定理 ;
提示:
1．当
时，
较
等价无穷小量 (B) 同阶无穷小量 (C) 低阶无穷小量 (D) 高阶无穷小量
是 （ ）
课堂测验
下列各式中正确的是 （ ）
3
C
2
B
4
D
A
3．无穷小量是（ ） A 比零稍大一点的一个数 B 一个很小很小的数 C 以零为极限的一个变量 D 数零
间断的演示
第一类间断点
第二类间断点
可去间断点 跳跃间断点
无穷间断点 震荡间断点
间断的演示
第一类间断点
第二类间断点
可去间断点 无定义、值太高、值太低 跳跃间断点
无穷间断点 震荡间断点
间断的演示
●
●
函数的连续性与间断点
第 一 章 函 数 与 极 限
第 八 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点
( 3) 虽然在 x x0 有定义 , 且 lim f ( x ) 存在,
x x0
但 lim f ( x ) f ( x0 );
x x0
则 f ( x ) 在 x0 不连续, x0 称为 f ( x ) 的不连续点(间断点).
高 等 数 学
思考与练习
3. 确定函数 f ( x )
第 一 章 函 数 与 极 限
1 1 e
x 1 x
的间断点的类型 .
解
间断点为 x 0 , x 1.
第 八 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点
因为 lim f ( x ) , 所以 x 0 为无穷间断点 ; x 0
高 等 数 学
一、 函数的连续性
例1
第 一 章 函 数 与 极 限
1 x sin , 试证函数 f ( x ) x 0,
x 0, x 0,
在 x 0处
连续.
证
第 八 节 函 数 的 连 续 性 与 间 断 点
1 因为 lim x sin 0, x 0 x
又 f (0) 0,
由定义2知
lim f ( x ) f (0),
x 0
函数 f ( x ) 在 x 0 处连续.
上一张
下一张
返 回
高 等 数 学
一、 函数的连续性
例2 证明函数 y sinx在 (,)内每一点连续 . 证
第 一 章 函 数 与 极 限
任取 x ( ,),
y sin( x x ) sin x 2 sin
1-6-函数的连续性与间断点
由连续函数定义可知，基本初等函数在其各自定义域
内连续，有理分式函数在其定义域内连续.
例 3 讨论函数
f
(
x)
x2 1,
10 x 1,
arccos x π, 1 x 1
在其定义域内的连续性.
解 显然在(10, 1) (1,1]内，函数 f (x) 连续.
f (1 ) lim x2 1 0， x1
定义 1 设函数y f (x) 在U (x0 ) 内有定义，如果当自变
量 的 增 量 x x x0 趋 于 零 时 ， 对 应 的 函 数 增 量
y
f (x0
x)
f
(
x0
)
也趋于零，
即
lim
x0
0 ，则称函数
y f (x)在点x0 连续.
在定义 1 中，设 x x0 x ，且x 0 ，即x x0 ， 又因为
增量为
y (x0 x)3 x03 3x03x 3x0x2 x3
又
lim
x0
y
lim (3
x0
x0
2
x
3x0x2
x3 )
0
所以 y x3在点x0 连续，这是对定义 1 给出的证明.
如果函数 f (x) 在点 x0 的左极限 f (x0 ) 存在且等于
该点函数值 f (x0 )，即 f (x0 ) f (x0 )，则称 f (x)在点 x0左 连续.
图1-30
lim f (x) lim f (x2 1) 1, lim f (x) lim f (x 1) 1,
x0
x0
x0
x0
即 f (0 ) f (0 ) .所以lim f (x) 不存在,因此 x 0 为 f (x) 的
高等数学 第1章 第九节 函数的连续性与间断点
有定义，但 lim f ( x)不存在；
0
x x0
x （3） 虽在
0 有定义，且
lim f ( x)存在，但
x x0
x x 则函数 f ( x)在点 0不连续， 而点 0 称为函数
或间断点。
若函数 f ( x)
lim
x x0
f (x)
f ( x0 );
f ( x) 的不连续点
5
函数间断点的几种常见类型：
0,
1,
x 1 x 1, x 1
x,
f
(
x
)
0,
x,
x,
x x
1 1
0, x,
x 1
0,
x,
x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1
14
f 1 0 lim x 1 f 1 x10
f 1 0 lim x 1 f 1 x10
函数在 x 1处既不左连续，也不右连续。 x 1是跳跃间断点。
x
3
证明：函数
y sin x 是连续函数。
证： 设 x (,),
x x 当 有增量
时，则
y sin( x x) sin x 2sin x cos(x x )
cos x x 1
2
2
2
y sin( x x) sin x 2 sin x .
2
又因为当 0 时， sin
f 1 0 lim 3 x 2 x10
则
x 1是跳跃间断点，属于第一类间断点。
所以 x 0
13
例7 讨论函数 判断其类型。
1 x2n
f ( x) lim
x 的连续性，若有间断点
n 1 x 2n
0,
函数的连续性与间断点
这种情况称为的振荡间断点.
函数
f
(
x)
1, 1,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
例8 当a取何值时,
x x 1
解
f
(
x
)
x
2
1 x 1
x x 1
，分段点为 x 1
lim f ( x) lim x 1
x1
x1
lim f ( x) lim x2 1
x1
x1
lim f ( x) lim f ( x)
x1
x1
所以 f ( x)在 x 1 处间断.
lim f ( x) lim x2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3)
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点 x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
间断点分为第一类间断点与第二类间断点.
第一类间断点 如果 f ( x) 在间断点x0 处左右极 限存在,则称点 x0 为f ( x) 的第一类间断点.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
函数的连续性与间断点65493
.
解 f (1 0) 2, f (1 0) 2,
2
lim f ( x) 2 f ((11)), 2 x1
y2 x 1
x 1 为函数的第一类 间断点.
O1
x
且是可去间断点(removable discontinuity).
则
f (x)
2
x,
1 x,
在高等数学中,主要的研究对象就是连 续函数. 从直观上不妨这样说, 连续函数的 特征就是它的图形是连续的,也就是说,可以 一笔画成.
2
一、函数的连续性
1. 函数的增量
自变量x0 x, 称差 x x x0 为自变量在 x0 的增量; 函数随着从f ( x0 ) f ( x), 称差
y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) 为函数的
R(
x)
R(
x0
)
因此有理分式函数在其定义域内的每一点
都是连续的.
16
二、函数的间断点及其分类
定义4 若f ( x)在x0处出现如下三种情形之一:
(1) f ( x)在点x0处 无定义;
(2) lim f ( x) 不存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
则称 x0为f ( x)的 间断点.
f ( x0 0) 及 f ( x0 0) 中至少一个不存在.
若其中有一个为 ,称 x0为无穷间断点.
若其中有一个为振荡,称 x0为振荡间断点.
18
函
第一类间断点
数
的
跳跃
可去
间
断 点
第二类间断点
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点函数的连续性与间断点一直是数学中的重要概念之一。
从初等数学到高等数学，我们都会接触到函数的连续性问题。
本文将深入探讨函数的连续性与间断点的概念、性质以及应用。
一、函数连续性的概念与性质1.1 函数连续性的定义在数学中，如果一个函数在某一点处的极限等于该点处的函数值，那么我们就称这个函数在该点处连续。
具体来说，设函数f(x)在点x=a 的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的ε>0，存在Δ>0，使得当|x-a|<Δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立，则称函数f(x)在点x=a处连续。
1.2 连续函数的性质（1）连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
（2）连续函数的复合函数仍然是连续函数。
（3）有界闭区间上的连续函数必定有最大值和最小值。
二、函数间断点的分类和性质2.1 第一类间断点如果函数f(x)在点x=a处的左极限和右极限都存在，但不相等，即lim┬(x→a⁻)f(x)≠lim┬(x→a⁺)f(x)，那么我们称点x=a为函数f(x)的一个第一类间断点。
第一类间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点三种情况。
2.2 第二类间断点如果函数f(x)在点x=a处的左极限和右极限至少有一个不存在，或者虽然都存在但相等于无穷大，即lim┬(x→a⁻)f(x)不存在或lim┬(x→a⁺)f(x)不存在或lim┬(x→a⁻)f(x)=+∞或lim┬(x→a⁺)f(x)=+∞，那么我们称点x=a为函数f(x)的一个第二类间断点。
三、连续性的应用3.1 介值定理介值定理是函数连续性的重要应用之一。
它指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，且f(a)≠f(b)，那么对于介于f(a)和f(b)之间的任意一个数k，存在一个c∈(a, b)，使得f(c)=k。
3.2 零点存在定理零点存在定理是函数连续性的又一个重要应用。
它指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，并且f(a)和f(b)异号，那么方程f(x)=0在区间(a, b)内至少有一个根。
函数的连续性与间断点
f ( x ) 在 x 0 处连续 .
8
函数的连续性与间断点
3. 左、右连续
若
x x0 0
lim
f ( x) f ( x0 )
f ( x0
0 ) f ( x 0 ) ,
则称 f ( x ) 在点 x 0 处
左连续(continuity from the
left);
若
x x0 0
f ( x0
0) f ( x0 0) f ( x0 )
此定理常用于判定分段函数在分段点 处的连续性.
10
函数的连续性与间断点
例
讨论函数
x , f (x) x 1,
2
x 1, x 1,
y
在 x 1处的连续性
.
解
lim
x1
f ( x ) lim x 1 f (1),
如果 补充 或改变 x0的函数值, 使之等 于A, 则可使x0变为连续点. (这就是为什么将这种间断点称为 可去间断点的理由.)
21
函数的连续性与间断点
如
函数 y
x
2
1
x 1
在点 x 1 处没有定义
,
所以 , 函数在点
x 1 不连续 .
y
但
lim
x
2
1
x 1
x 1
lim x 1 2
皆不存在. 故x
0 为f(x)的第二类 间断点.
O
x
且是无穷型间断点.
第二类间断点: f ( x 0 0 ), f ( x 0 0 ) 至少有 一个不存在. 若 f ( x 0 0 ), f ( x 0 0 ) 之中有
函数的连续性与间断点
函数的连续(continuity) 函数的间断点 (discontinuous point) 小结 思考题 作业
1
第一章 函数与极限
函数的连续性与间断点
在自然界中,许多事物的变化是连续的, 如气温变化很小时,单摆摆长变化也很小.时 间变化很小时,生物生长的也很少.这种现象 在函数关系上的反映就是函数的连续性.
x1
x1
O 1x
lim f ( x) lim(x 1) 2 f (1),
x1
x1
所以 f ( x)在x 1左连续,在x 1右不连续.
故函数 f ( x)在点 x 1处不连续.
11
函数的连续性与间断点
4. 连续函数(continous function)与连续 区间在区间上每一点都连续的函数, 称该区间 上的 连续函数,或称函数在该区间上连续. 这时也称该区间为 连续区间. continuous
left);
the
若 lim x x0 0
f (x)
f ( x0 ) f ( x0 0)
f ( x0 ),
则称f ( x)在点x0处右连续(continuity from
right)y .
the
y
左连续
右连续
O
x0
x
O
x0
x
9
函数的连续性与间断点
定理1 函数 f ( x)在 x0 处连续
x sin
1 x
0,
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
函数 f ( x)在 x 0处连续.
8
函数的连续性与间断点
3. 左、右连续
若 lim x x0 0
函数连续性定义和间断点
（即 xl ixm 0 f[(x)]f(u0)f[xl ixm 0(x)]） .
例2：讨论函数 y co的s x1连2 续性。
解：函数
y
1 co可s x以2 看做是由
y，cous
复合而成的，ycous在(,上连) 续，
在( ,0)(上0,各自 )连续连续， 所以 y
uu cox1sx21x212
在( ,0)(上0,各自 )连续。
.
28
一、填空题：
练习题
1、lim x2 3x4 ____________. x0
2、lim x11____________.
x0
x
3、limln(2cos2x) ____________. x 6
4、lim 22cosx ____________.
x
tan2 x
4
5、limet 1 ____________.
.
31
练习题答案
一、1、2； 2、1 ； 3、0；
2
5、
11 2(e2
1) ；
6、1；
7、(,3),(3,2),(2,) ；
4、0；
8、 2 ,0,不存在. 2
二、1、cosa ； 2、1；
三、a 1, b e .
3； 1 . e2
.
32
第一类间断点 第二类间断点
•可去间断点 •跳跃间断点
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
.
1
y x 1
y x2
1
y
2
1
1
1
1
x
1
1
x
.
2
y x2 1 x 1
1
2
1
函数的连续性与间断点
函数的连续性与间断点函数的连续性和间断点是函数学中常见的概念，它们与函数的性质紧密相关。
本文将介绍函数的连续性和间断点的定义、分类以及与函数图像的关系。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在一定区间内的普遍性质，即函数在该区间内的每个点都具有连续性。
具体而言，对于给定的函数f(x)，若函数在x=a的某个邻域内，当x趋近于a时，f(x)也趋近于f(a)，则称函数在x=a处连续。
函数的连续性可以通过极限的定义来进一步说明。
对于函数f(x)，若对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε，则称函数在x=a处连续。
函数的连续性有三种基本类型：第一类间断点、第二类间断点和可去间断点。
1. 第一类间断点第一类间断点是指函数在该点的左右极限不相等的点。
换句话说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且存在两个不相等的实数L1和L2，使得lim(x→a-)f(x)=L1，lim(x→a+)f(x)=L2，则称x=a为函数的第一类间断点。
2. 第二类间断点第二类间断点是指函数在该点的左右极限至少有一个不存在或者为无穷大的点。
即，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且至少存在一个左极限lim(x→a-)f(x)或右极限lim(x→a+)f(x)不存在或为无穷大，则称x=a为函数的第二类间断点。
3. 可去间断点可去间断点是指函数在该点的左右极限都存在，但与该点的函数值不相等。
也就是说，对于函数f(x)，若x=a是函数的一个间断点，且lim(x→a-)f(x)=lim(x→a+)f(x)=L，但f(a)≠L，则称x=a为函数的可去间断点。
二、函数的连续性与图像函数的连续性与函数图像的连续性密切相关。
对于连续函数而言，其图像是一条连续的曲线，没有突变或跳跃的情况。
而间断点则对应着函数图像上的断点或间断处。
对于第一类间断点而言，其在函数图像上呈现为两个不连续的部分，可以用一个空心圆标记该点。
第八节函数的连续性与间断点
(可 去)
若等于
若不等于 x x0为间断点 x x0为间断点
(第 二 类)
(跳 跃)
x x0为连续点 x x0为间断点(可去)
四、作业
P64 习题1-8， 3,4,6 思考：P65, 5
(0 a 1) y
y ax
y 1
.. 0
y 1
x
ln(1 ) ln(1 )
back
ln a
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U( x0, )内有定义, x U( x0, ), x x x0, 称为自变量在点x0的增量.
y f ( x0 x) f ( x0 ), 称为函数 f ( x)相应于x的增量. y
y f (x)
y
x 0 x0 x0 x x
2.连续的定义
ln a
证 即证 : 0, 0, 使得当 x 0 时, 就有ax a0 .
(1) 设0 a 1
0 (设 1)
要使ax a0 即ax 1 即 1 ax 1
即 ln( 1 ) x ln a ln(1 )
即 ln( 1 ) x ln a ln(1 )
如果函数f ( x)在其定义域内每一点都连续, 则称函数f ( x)为连续函数.
直观上,连续函数的图形是一条连续而不 间断的曲线.
例4 证明函数 y sin x是连续函数.
证 定义域 D (,) 任取一点x0 (,), 任给自变量 x 一个增量 x
相应地, 函数 y sin x 在 x0 点有增量
定义 1 设函数 y f ( x) 在U( x0, ) 内有定义,任给 x
增量x ,相应地 y 有增量 y = f ( x0 x) f ( x0 ) .
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lim x21lim (x1)2. x 1x1 x 1
如果补充分定义：令x=1时y=2， 则所给函数在x=1成为连续. 所以x=1称为该函数的可去间断点.
y
2 1
o1 x
例6 函数
x,x1 y f(x)12,x1
1
y
这 li里 fm (x ) lix m 1 ,
x 1
x 1
但f(1)1,所以 2
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例2
证 函 明 y s 数 x i在 n ( 区 , ) 内 间 .连
证 任x 取 (, ) ,
y six n x )( sx i n 2si n xcoxs(x)
2
2
因为 coxs(x)1, 从而 y2sinx.
2
2
对任,意 当 的 0时 , 有 si n,
3. 间断点的分类
设 x0是函 f(x数 )的间断点
(1).如 果 左 极 限 f(x０ )及 右 极 限 f(x０ )都 存 在 , 那 么 x0称 为f (x)的第一类间断点;
(2)如 . x0 果 不f(是 x)的第一,那 类x0 么 称 间为 断点
f (x)的第二类间断点.
在第一类间断右 点极 中限 左相 、等者称为
x
例4
函数 ysin 1在x0处没有 . 定义
x
1
Sin
x
1
当 x 0 时 ,函数 1 与 值 1 之 在 间0.5
-0.4 -0.2
变动无,所 限以 多 x点 0 次 称
-0.5
x
0.2
0.4
-1
为函s数 in1的振荡间.断点 x
例5 函y数 x21在x点 1没定 ,所 义 以函数
x1 x1为不.但 连这 续里
函数的连续性与间断性
一、函数的连续性
1.函数的增量
U 设函 f(x)数 在 U(x0,)内有 , 定 x义 (x0,),
xxx0, 称为自x 变 0的量 增 . 在 量点 y f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 x ) f ( x 0 ) ,称f ( 为 x ) 相
连续点.
lixm 0f(x0x)f(x0)
""定义 : 0,0,使x当 x0时 , 恒f有 (x)f(x0).
例1
试证函 f(x)数 xsin1x, x0, 在x0
0, x0,
处连. 续
证 因为 lim xsin 10,
x0
x
又 f(0)0, lim f(x)f(0), x 0
由定义知
函f数 (x)在 x0处连 . 续
故y2si nxx, 所 当 x 以 0 时 , y 0 . 2
即 函y 数 six 对 n x 任 (,意 )都 是 . 连续
二、函数的间断点
1.定义
设函 f(x 数 )在x 点 0的某去心邻,在 域此 内前 有
下,如果函f(数 x)有下列三种情:形之一
(1)在xx0没有;定义
(2 )虽 x 在 x 0 有,但 定 x l ix 0m f义 (x )不;存在 ( 3 ) 虽 x x 0 有 在 , 且 x l x 0 f i ( 定 x ) 存 m , 但 x l x 0 f i ( 义 x ) 在 m f ( x 0 )
去间断,不 点相等者称为跳点 跃.无间穷断 间断点
和振荡间断点是第二类
间断点 .
应于 x的增. 量
y
yf(x)
y
yf(x)
y y
x
x
0 x 0 x0 x x 0 x 0 x0 x x
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x)在U (x0, )内有定义,如果
lim y 0
x 0
或
lim[
x 0
f
( x0
x)
f ( x0 )] 0,
那么就称函数 f ( x)在点 x0连续, x0称为 f ( x)的
1
2o 1 x
lim f(x)f(1).
x 1
因此，点x=1是函数f(x)的间断点.但如果改变函
数f(x)在x=1处的定义：令f(1)=1，则f(x)在x=1
成为连续.所以x=1也称为该函数的可去间断点.
例７
函数
f (x)
0x,1,
这,当 里 x 0 时 , x1,
limf(x)lim (x1)1,
x0
x0
limf(x)lim (x1)1.
x0
x0
x 0,
x0, y x 0.
yx1
1
o1 x
故 lif 极 ( m x ) 不 限 ,所 存 x 0 以 是 在 f ( x ) 点 的 函 x 0
断.因 点 yf(x)的图 x0 形 处在 产生 ,称 x 跳 0 跃
为函数 f(x)的跳跃间断 . 点
3.单侧连续
若f(函 x )在 (a ,x 数 0 ] 内有 ,且 f(x 0 定 0 ) f(x 义 0 ), 则 f(x ) 称 在 x 0 处 点左 ; 连续
若f(函 x )在 [x 0 ,b 数 ) 内有 ,且 f(x 0 定 0 ) f(x 义 0 ), 则 f(x ) 称 在 x 0 处 点右 . 连续
则 函f数 (x)在x点 0为不(或 连间 续 ), 断 而x点 0称为f(函 x)的数 不连 (或续 间)点 .断点
2.间断点举例
例3
正切函y数 tanx在x处没有定 , 义 2
所以x点 是函t数 anx的间断点.因
2
limtanx,
x
称x 为函数tan2x
y
2
的无穷间断. 点
2
o 2
3 2
定理 函数 f(x)在x0处连 续 是函f(数 x)在x0
处既左连续 . 又右连续
4.连续函数与连续区间
在开区间（a,b者说函数在该区间内连 续.
如果函数在(a开 ,b)内 区连 间 , 续 并且在左端 xa处右连 , 在 续右端 x点 b处左连 , 则 续称 函数 f(x)在闭区 [a,b间 ]上连. 续