第四讲-立体几何题型归类总结

第四讲 立体几何题型归类总结

一、考点分析

1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

①

⎧⎪⎧−−−−−

→⎨⎪−−−−−→⎨⎪

⎪⎩⎩

底面是正多形

棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱★

底面为矩形

底面为正方形

2. 棱锥

棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3．球 球的性质：

①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②r

=d 、球的半

径为R 、截面的半径为r ）

★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.

注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：234

4,3

S R V R ππ==球

球（其中R 为球的半径）

1．求异面直线所成的角(]0,90θ

∈︒︒：

解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移

另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；

2求直线与平面所成的角[]0,90θ

∈︒︒：关键找“两足”

：垂足与斜足 解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；

二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。

3求二面角的平面角[]0,θ

π∈

解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证：

证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。

俯视图

二、典型例题 考点一：三视图

1．一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________. 第1题

2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________.

第2题 第3题

3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 .

4．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图4所示，则此几何体的体积是 .

第4题 第5题

2

2

侧(左)视图

2

2 2 正(主)视图 3

俯视图

1 1

2 a

5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则 a .

6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 .

7.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3

cm 8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m ），则该几何体的体积为_________m 3

。

第7题 第8题

9．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为_________________.

图9

20

20正视图

20侧视图

10 10

20

俯视图

22

3

2

2

1

俯视图

正(主)视图

侧(左)视图

2

3

2

2

10.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图10所示（单位cm ），则该三棱柱的表面积为_____________.

图10 11. 如图11所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何

体的全面积为_____________.

图

图11 图12 图13

12. 如图12，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为_____________.

13.已知某几何体的俯视图是如图13所示的边长为2的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其表面积是_____________.

14.如果一个几何体的三视图如图14所示(单位长度: cm ), 则此几何体的表面积是_____________.

图14 15．一个棱锥的三视图如图图9-3-7，则该棱锥的全面积（单位：2

cm ）_____________.

正视图 左视图 俯视图

图15

正视图 俯视图

俯视图

侧视图

正视图

33

4

16．图16是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_____________.

图16 图17

17.如图17，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为______________.

18.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图9-3-14所示，则这个棱柱的体积为______________. 图18

考点二 体积、表面积、距离、角

注：1-6体积表面积 7-11 异面直线所成角 12-15线面角

1. 将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了___________.

2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为___________. 3．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为_______________.

4．正棱锥的高和底面边长都缩小原来的

2

1

，则它的体积是原来的______________. 5．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积是 . 6.平行六面体1AC 的体积为30，则四面体11AB CD 的体积等于 .

7．如图7，在正方体1111ABCD A B C D 中，,E F 分别是11A D ，11C D 中点，求异面直线1AB 与EF 所成角的角

______________.

8. 如图8所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角

的大小为_____________.

俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

2 3

2 2