百校联盟2018届TOP20三月联考(全国II卷)数学(理)-Word版含答案

百校联盟2018届TOP20三月联考（全国Ⅱ卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|280A x N x x =∈--≤，{}|28x B x =≥，则集合A B I 的子集个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知i 是虚数单位，()()432z i i i ⋅=++，则复数z =（ ）A ．105i +B ．510i +C ．105i -D ．510i -3.古代数学名著《张丘建算经》中曾出现过高息借贷的题目：“今有举取他绢，重作券；要过限一日，息绢一尺；二日息二尺；如是息绢，日多一尺.今过限一百日，问息绢几何？”题目的意思是：债主拿欠债方的绢做抵押品，债务过期第一天要纳利息1尺绢，过期第二天利息是2尺，这样，每天利息比前一天增多1尺，若过期100天，欠债方共纳利息为（ ）A ．100尺B ．4950尺C ．5000尺D ．5050尺4.某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有（ ）A ．9种B ．18种 C. 12种 D ．36种5.函数()2cos 3sin cos f x x x x =的图像上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，得到函数()g x 的图象，则0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()g x 的取值范围是（ ） A ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 6.已知O 为坐标原点，等轴双曲线()222:0C x y a a -=>的左，右顶点分别为1A ，2A ，若双曲线C 的一条渐近线上存在一点P ，使得()220OP OA PA +⋅=u u u r u u u u r u u u u r ，且12PA A △的面积为22，则双曲线C 的方程为（ ）A ．228x y -=B ．224x y -= C.222x y -= D ．221x y -=7.执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为（ ）A ．19B ．110 C.111 D ．1128.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．8B ．6 C.4 D ．83 9.当[]2,2x ππ∈-时，下列有关函数()3cos 2f x x x =-，()32g x x =+的结论正确的个数为（ ）①()f x 是偶函数；②()f x 与()g x 有相同的对称中心；③函数()y f x =与()y g x =的图象交点的横坐标之和为0；④函数()y f x =与()y g x =的图象交点的纵坐标之和为92. A ．1 B ．2 C.3 D ．4 10.已知O 为坐标原点，平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>，点E ，F 分别为AB ，AD 的中点，且OE ，OF 的斜率之积为34-，则椭圆Ω的离心率为（ ） A ．12 B ．2 C.34 D ．4511.如图：AB 是圆锥底面圆的直径，PA ，PB 是圆锥的两种母线，'P 为底面圆的中心，过PB 的中点D 作平行于PA 的平面α，使得平面α与底面圆的交线长为4，沿圆锥侧面连接A 点和D 点，当曲线段AD 长度的最小值为32PA 时，则该圆锥的外接球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上）的半径为（ ）A ．42．3222 D ．92412.已知函数()f x ax =，()ln g x x =，存在(]0,t e ∈，使得()()f t g t -的最小值为3，则函数()ln g x x =图象上一点P 到函数()f x ax =图象上一点Q 的最短距离为（ ）A ．1eB 421e +431e +．1 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知菱形ABCD 的边长为1，60BAD ∠=o，AB a =u u u r ，BC b =u u u r ，则2a b += ． 14.若x ，y 满足约束条件0,230,260,x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则12z x y =-的取值范围为 ． 15.春节临近，某火车站三个安检入口每天通过的旅客人数（单位：人）均服从正态分布()21000,N σ，若()90011000.6P X <≤=，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率为 ．16.已知数列{}n a 的奇数项和偶数项为公比为q 的等比数列，12q =，且1221a a ==.则数列{}37n a n +-的前n 项和的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点D 在边BC 上，且2AD DB =，cos BAD ∠=，b =. （Ⅰ）求B ； （Ⅱ）求ABC △周长的最大值.18. 某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出1个获得利润5元，未售出的每个亏损3元.根据以往100天的资料统计，得到如下需求量表.元日这天，此蛋糕店制作了这款蛋糕X 个.以x （单位：个，100150x ≤≤）表示这天的市场需求量.T （单位：元）表示这天出售这款蛋糕获得的利润.（Ⅰ）当135x =时，若130X =时获得的利润为1T ，140X =时获得的利润为2T ，试比较1T 和2T 的大小；（Ⅱ）当130X =时，根据上表，从利润T 不少于570元的天数中，按需求量分层抽样抽取6天，（ⅰ）求这6天中利润为650元的天数；（ⅱ）再从这6天中抽取3天做进一步分析，设这3天中利润为650元的天数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.19. 如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为直角梯形，90DAB ABC ∠=∠=o，四边形EBCF 为矩形，且()2220BC BE AD a a ===>，45BCD ∠=o ，H 为BE 的中点. （Ⅰ）求证：//AH 平面ECD ；（Ⅱ）若CD ED ⊥，求平面EFD 与平面BDE 所成的锐二面角的大小.20. 在平面直角坐标系xOy 中，点()1,1B -关于直线12y =对称的点N 位于抛物线()2:20C y px p =>上.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设抛物线C 的准线与其对称轴的交点为A ，过点A 的直线l 交抛物线C 于点M ，P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，求直线PQ 所过的定点.21. 已知函数()ln f x x =.（Ⅰ）设()()1g x f x ax =-+，讨论()g x 的单调性；（Ⅱ）若不等式()()f x a e x b ≤-+恒成立，其中e 为自然对数的底数，求b a的最小值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线11:3x t l y t =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线13cos :2sin x C y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程，直线1l 的普通方程；（Ⅱ）把直线1l 向左平移一个单位得到直线2l ，设2l 与曲线1C 的交点为M ,N ，点P 为曲线1C 上任意一点，求PMN △面积的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2321f x x x =-+-的最小值为M .（Ⅰ）若[],,m n M M ∈-，求证：24m n mn +≤+；（Ⅱ）若(),0,a b ∈+∞，2a b M +=，求21a b+的最小值.试卷答案一、选择题1-5:DCDBA 6-10:BCCCA 11、12：DC二、填空题13.2 14.30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 15.13125 16.1058- 三、解答题17.【解析】（Ⅰ）因为cos 4BAD ∠=，所以sin 4BAD ∠=，根据正弦定理，sin sin AD BD B BAD=∠，∴sin sin 2AD B BAD BD =∠=， 又B 为锐角，所以3B π=. （Ⅱ）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，所以()()()222222483324a c a c a c ac a c ac a c ++⎛⎫=+-=+-≥+-= ⎪⎝⎭，∴a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立.故a b c ++≤.所以ABC △周长的最大值为18.【解析】（Ⅰ）当130X =，[)100,130x ∈时，()531308390T x x x =--=-，[]130,150x ∈时，5130650T =⨯=.所以8390,100130,650,130150.x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩ 当135x =时，1650T =（元）.当140X =，[)100,140x ∈时，()531408420T x x x =--=-，[]140,150x ∈时，5140700T =⨯=.所以8420,100140,700,140150.x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩当135x =时，2660T =（元）.故21T T >.（Ⅱ）当570T ≥，即8390570x -≥，∴130120x >≥，又650570≥，所以120150x ≤≤，共有60天利润大于570元.（ⅰ）按分层抽样抽取6天，其中利润为650元的天数有66201036060⨯+⨯=（天）. （ⅱ）根据题意，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，()33361020C P C ξ===，()2133369120C C P C ξ===， ()1233369220C C P C ξ===，()33361320C P C ξ===. ∴ξ的分布列为所以()0123202020202E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 19.【解析】（Ⅰ）取EC 的中点G ，连接HG ，DG ， ∵H 为BE 中点，∴//HG BC ，且12HG BC =. ∵四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，且12BC AD =， ∴//AD HG ，且AD HG =，∴四边形ADGH 为平行四边形，∴//AH DG .∵AH ⊄平面ECD ，DG ⊂平面ECD ，∴//AH 平面ECD .（Ⅱ）因为四边形ABCD 为直角梯形，12BC AD a ==，45BCD ∠=o ， 所以12BC AB a ==，∴2CD a =. 又2245EC a a a =+=，因为CD ED ⊥，所以22523DE a a a -=，因为BC AB ⊥，BC BE ⊥，AB BE B =I ，所以BC ⊥平面ABE ，因为//BC AD ，∴AD ⊥平面ABE ，∴AD AE ⊥， 所以222AE DE AD a =-=，因此AB BE ⊥.以点B 为原点，以BE 为x 轴，BC 为y 轴，BA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(),0,0E a ，()0,0,A a ，()0,,D a a ，()0,2,0C a ，(),2,0F a a ，所以(),0,0BE a =u u u r ，()0,,BD a a u u u r ，设平面BDE 的一个法向量为()111,,n x y z =r ，则有()()()()111111111,0,0,,0,0,,,,0,BE n a x y z ax BD n a a x y z ay az ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩u u u r r u u u r r 令11z =，则()0,1,1n =-r ， 设平面EFD 的一个法向量为()222,,m x y z =u r ，(),,ED a a a =-u u u r ，()0,2,0EF a =u u u r ，则有()()()()2222222222,,,,0,0,2,0,,20,ED m a a a x y z ax ay az EF m a x y z ay ⎧⋅=-⋅=-++=⎪⎨⋅=⋅==⎪⎩u u u r u r u u u r u r 令21z =，则()1,0,1m =u r ， 所以1cos ,222m n ==⨯u r r ， 所以平面EFD 与平面BDE 所成的锐二面角为60o .20.【解析】（Ⅰ）设()1,N n ，则1122n -+=，∴2n =，解之得()1,2N ， 代入()220y px p =>，得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =.（Ⅱ）根据题意，()1,0A -，设点211,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为P ，M ，A 三点共线，所以AM PM k k =，即1122221121444y y y y y y -=+-，∴124y y =，∴124y y =， 设点233,4y Q y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为B ，M ，Q 三点共线， 所以BQ QM k k =，即31322233111444y y y y y y +-=--，∴32313114y y y y +=-+. 所以()()2313314y y y y ++=-，即311340y y y y +++=， 所以33224440y y y y +++=，即()3232440y y y y +++=①， 因为32223232444PQy y k y y y y -==+-，所以直线PQ 的方程是2223244y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭. 即()()223224y y y y x y -+=-，即()32234y y y y y x +-=②， 由①②可得()()()32441y y y x ++=-.所以直线PQ 过定点()1,4-.21.【解析】（Ⅰ）函数定义域为()0,+∞，由题意得()ln 1g x x ax =-+，则()'1g x a x =-，①当0a ≤时，()'0g x >，则()g x 在()0,+∞上单调递增；②当0a >时，令()'0g x =，解得1x a =， 当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. （Ⅱ）设函数()()ln F x x a e x b =---，其中e 为自然对数的底数，∴()'1F x e a x=+-，0x >， 当a e ≤时，()'0F x >，()f x 在()0,+∞上是增函数，∴()0F x ≤不可能恒成立，当a e >时，由()'10F x e a x =+-=，得1x a e=-, ∵不等式()0F x ≤恒成立，∴()max 0F x ≤， 当10,x a e ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()'0F x >，()F x 单调递增， 当1,x a e ⎛⎫∈+∞ ⎪-⎝⎭时，()'0F x <，()F x 单调递减， ∴当1x a e =-时，()F x 取最大值，()1ln 10F a e b a e ⎛⎫=----≤ ⎪-⎝⎭， ∴满足()ln 10a e b -++≥即可，∴()1ln b a e ≥---， ∴()()1ln a e b a e a a---≥>， 令()()1ln x e G x x ---=，x e >， ()()()()()'221ln ln x x e x e x e e x e G x x x e x -++-----==- 令()()()ln H x x e x e e =---，()()'ln 1H x x e =-+，由()'0H x =，得1x e e=+， 当1,x e e ⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭时，()'0H x >，()H x 是增函数， 当1,x e e e ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()'0H x <，()H x 是减函数， ∴当1x e e =+时，()H x 取最小值11H e e e e ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， ∵x e →时，()0H x →，2x e >时，()0H x >，()20H e =，∴当(),2x e e ∈时，()'0G x <，()G x 是减函数， 当()2,x e ∈+∞时，()'0G x >，()G x 是增函数， ∴2x e =时，()G x 取最小值，()11122G e e e --==-， ∴b a 的最小值为1e-. 22.【解析】（Ⅰ）把曲线1cos :2sin x C y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去参数可得(()2221x y +-=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入可得曲线1C的极坐标方程为2cos 4sin 60ρθρθ--+=.把直线11:x t l y =+⎧⎪⎨=⎪⎩化为普通方程)1y x =-. （Ⅱ）把直线1l 向左平移一个单位得到直线2l的方程为y =，其极坐标方程为3πθ=.联立2cos 4sin 60,,3ρθρθπθ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩所以26=0ρ-+，所以1212=6,ρρρρ⎧+⎪⎨⎪⎩ 故12ρρ-==圆心到直线2l的距离为12d ==， 圆上一点到直线2l 的最大距离为13122+=，所以PMN △面积的最大值为13224S =⨯=23.【解析】（Ⅰ）()()232123212f x x x x x M =-+-≥---==. 要证明24m n mn +≤+，只需证明()()2244m n mn +≤+，∵()()()()()()22222222444216844m n mn m mn n mn m n m n +-+=++-++=--， ∵[],2,2m n ∈-，∴[]22,0,4m n ∈，∴()()22440m n mn +-+≤，∴()()2244m n mn +≤+， 可得24m n mn +≤+.（Ⅱ）由题意，22a b +=，故()2112114122244222a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当1a =，12b =时，等号成立.。