函数定义域和值域

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函数定义域与值域的确定

函数定义域与值域的确定函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个集合之间的关系。

在函数的定义中，我们常常需要确定其定义域和值域。

定义域指的是输入变量（自变量）的取值范围，而值域则是函数输出变量（因变量）的取值范围。

确定函数的定义域和值域对于理解函数的性质和应用具有重要意义。

本文将介绍确定函数定义域和值域的方法和步骤。

一、确定函数的定义域函数的定义域是指自变量的取值范围，也就是函数能接受的输入的集合。

在确定定义域时，我们需要考虑一些限制条件，如分式中的分母不能为零，根式中的被开方数必须大于等于零等。

1. 对于有理函数，我们首先要求分母不等于零，因为分母为零时函数无定义。

然后解方程找到分子的取值范围，将这两个条件取交集就可以确定函数的定义域。

例如，对于函数f(x) = (x + 1)/(x - 2)，我们首先要求 x - 2 ≠ 0，解得x ≠ 2。

然后考虑分子 x + 1 的取值范围为全体实数。

因此，函数的定义域为 R - {2}。

2. 对于根式函数，我们需要保证被开方数大于等于零，否则函数无定义。

解不等式找到被开方数的取值范围，即可确定定义域。

例如，对于函数g(x) = √(4 - x)，由于被开方数必须大于等于零，解不等式 4 - x ≥ 0，可得x ≤ 4。

因此，函数的定义域为 (-∞, 4]。

3. 对于指数函数和对数函数，我们需要保证指数或对数的底大于零且不等于1，因为这是它们的定义范围。

解不等式找到这些条件的取值范围，即可确定定义域。

例如，对于函数h(x) = log₂(x - 3)，由于对数的底必须大于零且不等于1，解不等式 x - 3 > 0，可得 x > 3。

因此，函数的定义域为 (3,+∞)。

二、确定函数的值域函数的值域是指函数所有可能的输出值组成的集合，也就是函数的取值范围。

确定函数的值域有多种方法，下面介绍两种常用的方法。

1. 利用函数的图像或性质来确定值域。

通过观察函数的图像或性质，我们可以大致确定函数的值域。

函数的定义域及值域

函数的定义域及值域
函数的定义域和值域是函数的两个基本概念，也是学习函数的重要内容之一。

下面将详细介绍函数的定义域和值域。

函数的定义域指函数自变量的取值范围。

也就是说，在函数中，自变量只能取定义域中的值。

定义域可以是一个数集，也可以是多个数集的交集。

对于一些函数，其定义域可能需要满足一些额外的条件，例如函数的分母不能为零。

下面是一些常见的函数定义域：
（1）多项式函数的定义域是实数集R。

（2）有理函数的定义域是除去使分母为零的实数集的补集。

（3）指数函数、对数函数、三角函数等的定义域都要满足一定条件，例如指数函数的定义域是实数集，对数函数的定义域是(0,+\infty)。

函数的值域是函数在定义域内所有可能的输出值所形成的集合。

也就是说，值域是函数的因变量的取值范围。

对于函数的值域，通常需要考虑函数的单调性、奇偶性、周期等性质。

下面是一些常见的函数值域：
（2）对于三角函数sinx和cosx，它们的值域都是[-1,1]。

（3）对于指数函数y=a^x，其中a>0且a!=1，其值域是(0,+\infty)。

需要注意的是，在求解函数的值域时，需要考虑函数的定义域。

如果函数的定义域不是实数集，那么需要剔除定义域外的值。

综上所述，函数的定义域和值域是函数的两个基本概念。

在学习函数时，我们需要认真理解它们的含义，并学会合理运用。

函数的定义域与值域

函数的定义域与值域函数是数学中一个重要的概念，它描述了一种特定的对应关系。

在函数的定义中，有两个关键概念，即定义域和值域。

定义域是指函数中自变量的取值范围，而值域则是函数中因变量的取值范围。

本文将详细介绍函数的定义域与值域，并探讨它们在数学问题中的应用。

一、定义域的概念及求解方法在函数中，定义域指的是自变量的取值范围，即函数可以接受哪些输入。

为了确定一个函数的定义域，需要考虑自变量的限制条件。

常见的限制条件包括分式的分母不能为零，指数函数中指数不能为负数等。

下面以几个具体的例子来说明如何求解函数的定义域。

例1：求解函数f(x) = √(4-x) 的定义域。

由于根号内不能出现负数，所以要求 4-x ≥ 0。

解这个不等式，有 x ≤ 4。

因此，函数 f(x) 的定义域为x ≤ 4。

例2：求解函数 g(x) = 1/(x-2) 的定义域。

分式的分母不能为零，所以要求 x-2 ≠ 0。

解这个不等式，可得x ≠ 2。

因此，函数 g(x) 的定义域为x ≠ 2。

通过以上例子，可以看出求解定义域的方法是根据函数的特点，找出限制自变量的条件，并求解相应的不等式。

二、值域的概念及求解方法在函数中，值域指的是函数的因变量的取值范围，即函数可以得到哪些输出。

确定一个函数的值域，需要根据函数的性质来进行推导和分析。

下面以几个具体的例子来说明如何求解函数的值域。

例3：求解函数 h(x) = x^2 的值域。

对于任意实数 x，都有x^2 ≥ 0。

因此，函数 h(x) 的值域为y ≥ 0，即非负实数集。

例4：求解函数k(x) = √x 的值域。

由于根号函数的特点，要使得 k(x) 存在，需要x ≥ 0。

另外，根号函数的值永远大于等于零。

因此，函数 k(x) 的值域为y ≥ 0，即非负实数集。

通过以上例子，可以发现求解值域的方法是根据函数的性质，直接分析函数表达式得到。

三、定义域与值域的应用1. 函数的性质分析：通过确定函数的定义域和值域，可以深入了解函数的性质。

函数的定义域与值域

函数的定义域与值域函数是数学中的重要概念，用于描述输入和输出之间的对应关系。

在函数中，定义域（Domain）指的是函数的所有可能输入值所构成的集合，值域（Range）则是函数的所有可能输出值所构成的集合。

函数的定义域和值域在数学中具有重要的意义和应用，并在各个学科领域中发挥着重要的作用。

1. 定义域在函数中，定义域是指函数的所有可能输入值的集合。

它决定了函数可接受的输入范围。

通常，定义域可以是实数集、整数集、有理数集等。

然而，有些函数可能会有特定的限制条件，如分母不能为零、根号内不能为负数等。

例如，考虑函数f(x) = 1/x，其中x为实数。

在这种情况下，由于分母不能为零，所以x的定义域为除去0的实数集，即x∈R，x≠0。

这样，所有不为零的实数都可以作为这个函数的输入值。

2. 值域在函数中，值域是指函数的所有可能输出值的集合。

它表示了函数所能取得的所有可能结果。

值域的确定需要考虑函数在定义域中的取值范围以及函数本身的性质。

例如，再考虑函数f(x) = 1/x，其定义域为除去0的实数集，即x∈R，x≠0。

对于任意一个不为零的输入值x，在函数中，将其代入公式后可以得到一个相应的输出值，即f(x) = 1/x。

显然，输出值可以是任意实数，因此值域为实数集R，即f(x)∈R，f(x)≠0。

3. 定义域和值域的图示为了更好地理解函数的定义域和值域，可以通过图示来展示函数的输入输出关系。

在坐标系中，将定义域的值放在x轴上，将对应的函数值放在y轴上，可以绘制函数的图像。

例如，回顾函数f(x) = 1/x，在定义域除去0的实数集，可以绘制函数曲线。

这样，x轴上除了0以外的各个点，都对应着y轴上的一个值，而值域即为函数曲线所覆盖的y轴的范围。

4. 应用举例函数的定义域和值域在数学中具有广泛的应用和重要意义。

它们不仅可以帮助我们理解函数的性质，还能在实际问题中起到指导作用。

例如，在物理学和工程学中，定义域和值域的概念可以帮助我们描述和分析各种物理量之间的关系。

函数的定义域和值域

函数的定义域和值域函数是数学中的重要概念，它描述了两个集合之间的关系。

在函数中，有两个重要的概念需要关注，即定义域和值域。

定义域指的是函数输入的所有可能值构成的集合，而值域则是函数输出的所有可能值构成的集合。

一、定义域的概念和计算方法定义域是函数输入值的范围，它决定了函数能够接受哪些数作为输入。

我们可以通过以下方式计算函数的定义域：1. 在给定的函数中，寻找使得函数在数学上有意义的输入值。

2. 对于分式函数，要注意分母不能为零。

找出使得分母为零的值，然后将这些值排除在定义域之外。

3. 对于根式函数，要保证根号下的值为非负数。

找出使得根号下的值小于零的情况，将这些值排除在定义域之外。

4. 在数轴上，画出函数的图像并观察其范围。

例如，对于函数f(x) = √(x-1)，我们需要保证根号内的值不小于零，即 x-1 ≥ 0，解得x ≥ 1。

因此，定义域为一切大于等于1的实数。

二、值域的概念和计算方法值域表示函数的所有可能输出值构成的集合。

我们可以通过以下方式计算函数的值域：1. 分析函数的表达式和图像，确定函数的上下界。

2. 对于连续函数，值域为函数图像所覆盖的纵坐标范围。

3. 对于分段函数，值域为每个分段函数的值域的合集。

例如，对于函数 g(x) = x^2，由于 x 的平方永远大于等于零，所以值域即为非负实数集合[0, +∞)。

三、定义域和值域的关系函数的定义域和值域之间存在一种对应关系。

当输入值属于定义域中的某个数时，函数会根据定义域和函数的表达式计算出相应的输出值，并将其纳入值域。

因此，定义域和值域是密切相关的，它们互相影响和制约着函数的性质。

在实际问题中，合理确定函数的定义域和值域是解决问题的关键。

通过准确地确定函数的定义域和值域，我们可以更好地理解和分析函数的性质，并应用函数进行实际计算和建模。

总结起来，函数的定义域和值域是函数学习中的重要概念。

定义域决定了函数的输入范围，而值域则表示函数的输出范围。

函数的定义域和值域知识点总结

函数的定义域和值域知识点总结函数是数学中的一种基本概念，广泛应用于各个领域。

在了解函数的定义域和值域之前，我们需要先了解函数的基本概念和表示方法。

函数可以理解为一个输入到输出的映射关系，如果将函数视为一个机器，输入是函数的自变量，输出是函数的因变量。

函数可以用数学符号表示为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)表示函数的表达式。

例如，y=2x+1就是一个简单的一次函数。

定义域是指所有自变量可能取值的集合，也可以简单理解为函数的输入范围。

根据函数的不同类型，定义域可以有不同的限制条件。

1.有理函数：有理函数是指可以表示为两个多项式相除的函数。

它的定义域包含所有不使得分母等于0的实数。

2.无理函数：无理函数是指不能表示为两个多项式相除的函数，例如平方根、立方根、指数函数等。

对于无理函数，它的定义域可以是任意实数，也可以有一些限制条件。

3.双曲函数：双曲函数是指以指数函数和对数函数为基础的函数。

对于双曲函数，它的定义域可以是任意实数。

4.指数函数和对数函数：指数函数和对数函数是互为反函数关系的两个函数。

指数函数的定义域为所有实数，对数函数的定义域为正实数。

在确定函数的定义域时，常常需要考虑到以下几点：1.分式中的分母不能为0。

2.做对数运算时，底数必须大于0且不等于13.做反三角函数时，函数的值域必须在对应的定义域内。

4.开方运算中，被开方数必须大于等于0。

在讨论函数的定义域时，我们常常需要注意以下几个特殊情况：1.绝对值函数：绝对值函数的定义域为所有实数。

2.常量函数：常量函数的定义域为所有实数。

3.单调函数：单调函数的定义域为所有实数。

4.双曲函数：双曲函数的定义域为所有实数。

接下来，我们来讨论函数的值域。

值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合，也就是函数的输出范围。

函数的值域可能存在上界、下界或者不受限。

确定函数的值域时需要考虑以下几点：1.对于连续函数，可以通过求导数来判断函数的极大值和极小值，从而确定值域的上界和下界。

函数的定义域、值域、最值

反函数法
对于一些单调函数，可以通过求反函数，然后在反函数的定义域内求最值。
常见函数的最值
一次函数
一次函数的最值出现在端点处，其最值为常数项。
二次函数
二次函数的最值出现在顶点处，其最值为顶点的纵坐标。
指数函数
指数函数在其定义域内单调递增或递减，因此其最值为无穷大或无穷小。
对数函数
对数函数在其定义域内单调递增或递减，因此其最值为无穷
最值
函数在定义域内的最大值和最小值，是函数在特定条件下达到的极值。
如何在实际问题中灵活运用函数的性质
实际问题建模
将实际问题转化为数学模型，利用函数性质进行分析和求解。
优化问题解决
利用函数最值性质，解决最优化问题，如最大利润、最小成本等。
动态规划
利用函数性质进行动态规划，解决多阶段决策问题。
数据分析
函数的定义域、值域、最值
• 函数的定义域 • 函数的值域 • 函数的最值 • 函数的最值在实际问题中的应用 • 总结与思考
01
函数的定义域
定义域的概念
定义域是函数中自变量x的取值范围，它决定了函数中x可以取哪些值进行计算。
定义域是函数存在的前提，没有定义域的函数是不存在的。
确定定义域的方法
THANKS
感谢观看
最短路径问题
确定起点和终点
最短路径问题通常涉及从起点到终点的最短路径寻找。
定义路径函数
路径函数表示从起点到终点的所有可能路径，以及每条路径的长度。
求解最短路径
通过比较所有可能的路径长度，可以找到最短路径，即最小化路径函数值的路径。
最佳投资问题
确定投资目标和约束
01
最佳投资问题通常涉及在一定时间内实现最大的投资回报或最

函数的定义域和值域

1 函数的定义域和值域要点梳理1．常见基本初等函数的定义域(1)函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)、y ＝sin x 、y ＝cos x 的定义域是R(2) y ＝log a x 的定义域是{x |x ＞0}或(0，＋∞)，y ＝tan x 的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }．求定义域方法：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.2．基本初等函数的值域(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a ＞0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≥4ac －b 24a ；当a ＜0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫yy ≤4ac －b 24a .(3)y ＝k x (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的值域是{y |y ＞0}．(5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的值域是R .(6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]．(7)y ＝tan x 的值域是R .求值域方法：(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a ≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法，(7)导数法，(8)利用基本不等式典型例题求函数的定义域例1、函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为________．例2、函数f (x )＝x 22－x－lg(x －1)的定义域是________．例3、函数f (x )＝2x ＋12x 2－x －1的定义域是________．求函数的值域例4、求下列函数的值域．(1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝1－x 21＋x 2； (3)y ＝x ＋4x(x ＜0)；(4)f (x )＝x －1－2x (5)y ＝log 3x ＋log x 3－1(x ＞1)．例5、若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围。

1、函数定义域、值域求法总结

1、函数定义域、值域求法总结函数定义域、值域求法总结1、函数的定义域是指自变量“x ”的取值集合。

2、在同一对应法则作用下，括号内整体的取值范围相同。

一般地，若已知 f(x)的定义域为[a,b]，求函数f[g(x)]的定义域时，由于分别在两个函数中的x 和g(x)受同一个对应法则的作用，从而范围相同。

因此f[g(x)]的定义域即为满足条件a ≤g(x)≤b 的x 的取值范围。

一般地，若已知 f[g(x)]的定义域为[a,b]，求函数 f(x)的定义域时，由于x和g(x) 受同一个对应法则的作用, 所以f(x)的定义域即为当a ≤x≤b 时，g(x)的取值范围。

定义域是X 的取值范围，g(x)和h(x)受同一个对应法则的影响，所以它们的范围相同。

()的定义域求的定义域已知练习)2(],9,3[log :313-x f x f():f (x),f[g(x)]题型一已知的定义域求的定义域()():f g x ,f (x)⎡⎤⎣⎦题型二已知的定义域求的定义域()[]():f g x ,f h(x)⎡⎤⎣⎦题型三已知的定义域求的定义域()[]()[])x (h f x f x g f →→一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。

求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。

（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。

( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。

常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

2.2函数的定义域与值域

2.2函数的定义域与值域一：函数的定义域：1.定义域的概念与表示：2.确定函数定义域的原则：（1）当函数f（x)用列表法给出时，函数的定义域是表格中实数x的集合。

（2）当函数f（x)用图像法给出时，函数的定义域是x轴上投影所需覆盖的实数集合。

（3）当函数f（x)用解析式给出时，函数的定义域是使解析式有意义的实数的集合。

3.确定函数定义域的依据：（1）.若f(x)是整式，则x R∈。

（2）若f(x)是分式，则分母不为0.（3）当f(x)是偶次根式，则被开方式x≥0,例:y=x,x≥0,（4）当f(x)是非正数指数幂时，定义域是使幂的底不为0的x取值的集合⇒f(x)>0（5）当f(x)为对数函数时，例y=)flog x(a⇒当对数式或指数式函数的底数中含变量时，底数须大于0且不等于1（6）若f(x)是有限个基本初等函数四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。

（7）若f[])(xa,时的值域a,，则f(x)的定义域为g（x)在x∈[]bg的定义域为[]b（8）若f（x）的定义域为[]bg的定义域由不等式a≤g(x)≤ba,,其复合函数f[])(x解出（9）对于含字母参数的函数，求其定义域。

根据问题具体情况须对字母参数进行分类讨论（10）由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义二：函数的值域：1.值域的概念与表示：2.求函数值域的常用方法：（1）配方法（2）换元法（3）不等式法（4）逆求法（即利用反函数）（5）单调性法（6）观察法（7）分离常数法（8）数形结合法（9）判别式法（10）中间变量值域法基础自测：1.设a ∈()1,0,则函数y=)1(log -x a 的定义域为（） A . .(]2,1 B. ()+∞,1 C . [)+∞,2 D .(]2,+∞- 2.下列四个函数：①.Y=3X ②.⎩⎨⎧<≥)0(,2)0(,3x x x x ③. y=－4x+5 (x ∈z) ④ y=2x －6x+7 其中值域相同的是（）A .①② B. ①③ C.②③ D. ②④3.若函数f(x)=3442++-mx mx x 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（） A.()+∞∞-, B .⎪⎭⎫⎝⎛43,0 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,43D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,04.定义域为R 的函数y=f(x)的值域为[]b a ,，则函数y=f(x+a)的值域是（） A.[]b a a +,2 B.[]a b -,0 C.[]b a , D.[]b a a +-,5.函数y=x e -31的值域为---------------。

函数的定义域与值域

函数的定义域与值域函数是数学中一个非常重要的概念，在各个数学分支中都有应用。

函数的定义域和值域是函数研究的基本内容之一。

本文将详细介绍函数的定义域与值域的概念及其应用。

一、函数的定义域函数的定义域是指函数中自变量（x）的取值范围。

简单来说，定义域就是使函数有意义的所有可能自变量值的集合。

如果自变量取值超出定义域，则函数无法计算。

下面通过几个例子来说明。

例子1：考虑函数f(x) = √x由于方根函数的自变量必须是非负实数，所以其定义域为x ≥ 0。

任何小于0的自变量将使得函数无法计算。

例子2：考虑函数 g(x) = 1/x在这种情况下，我们不能让自变量 x 等于0，因为除数不能为0。

所以函数 g(x) 的定义域为x ≠ 0。

其他所有实数都是函数的定义域。

函数的定义域可以是一个具体的数轴区间，也可以是由多个区间组成的集合。

定义域的范围可以是全体实数，也可以是局限于特定范围内。

二、函数的值域函数的值域是函数所有可能输出值的集合。

也就是说，如果我们遍历自变量的所有可能取值，函数的值域就是对应的函数值的集合。

同样地，我们使用几个例子来说明。

例子1：考虑函数 f(x) = x^2对于这个函数，自变量可以取任何实数值。

但是根据平方函数的图像，我们可以看出函数的值域是y ≥ 0。

因为平方的结果不会为负数。

例子2：考虑函数 g(x) = sin(x)由三角函数的周期性可知，对于任何自变量，都存在对应的函数值。

因此，函数 g(x) 的值域是 (-1, 1) 的闭区间。

有时候，函数的值域是一个区间，也可以是由多个不相交区间组成的集合。

三、定义域与值域的应用函数的定义域和值域在数学中广泛应用于各个领域。

例如，在微积分中，对函数进行求导和积分时，必须要考虑函数的定义域。

此外，在解方程和不等式时，也要考虑函数的定义域和值域。

在实际问题中，函数的定义域和值域还可以帮助我们理解现象的范围和取值情况。

例如，当我们研究某种物理模型时，函数的定义域可以帮助我们确定变量的有效范围，而函数的值域则可以帮助我们计算物理量的可能取值。

数学中的函数定义域与值域

数学中的函数定义域与值域一、函数定义域的概念1.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合。

2.函数定义域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。

3.函数定义域可以是无限的，如f(x) = x^2的定义域为实数集R。

4.函数定义域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的定义域为[-1, 1]。

二、函数值域的概念1.函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。

2.函数值域通常用区间表示，如实数集R、有理数集Q、整数集Z等。

3.函数值域可以是无限的，如f(x) = x^2的值域为非负实数集[0, +∞)。

4.函数值域可以是有限的，如f(x) = sin(x)的值域为[-1, 1]。

三、函数定义域与值域的关系1.函数的定义域与值域不一定相同，它们可以是不同的集合。

2.函数的定义域是函数值域的子集，即函数的所有自变量取值都在值域中。

3.函数的值域可以小于、等于或大于定义域，这取决于函数的特性。

四、确定函数定义域的方法1.对于多项式函数，定义域通常为实数集R。

2.对于三角函数，定义域通常为实数集R。

3.对于指数函数和对数函数，定义域通常为正实数集(0, +∞)。

4.对于分式函数，定义域为除数不为零的所有实数。

5.对于绝对值函数，定义域为所有实数。

五、确定函数值域的方法1.对于多项式函数，值域通常为实数集R。

2.对于三角函数，值域通常为闭区间[-1, 1]。

3.对于指数函数，值域为正实数集(0, +∞)。

4.对于对数函数，值域为实数集R。

5.对于分式函数，值域为非零实数集。

6.对于绝对值函数，值域为非负实数集[0, +∞)。

六、函数定义域与值域的应用1.函数的定义域与值域是研究函数性质的基础，如单调性、奇偶性、周期性等。

2.函数的定义域与值域可以帮助我们理解和解决实际问题，如最值问题、方程问题等。

3.函数的定义域与值域可以用来判断函数的合理性和有效性。

4.函数定义域是指函数中自变量可以取的所有可能值的集合，函数值域是指函数中因变量可以取的所有可能值的集合。

函数的定义域和值域

函数的定义域和值域函数定义映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应:f A B→为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“:f A B→”函数的概念1．定义：如果A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数)(x f和它对应，那么就称B:为从集合A到集合B的f→A一个函数，记作)fy=，(xx∈。

A其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{}A|)(叫做函数的值域。

f∈xx函数与映射的关系与区别相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系;(2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性；区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。

函数的三要素函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它．例已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)例函数y ＝xx 23与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？练习判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ； g ( x ) =2x③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x重点一：函数的定义域各种类型例题分析例求下列函数的定义域（用区间表示）（1）02)23()12lg(2)(x x x x x f -+--=；解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-≠->-≥-023112012022x x x x x ，解得函数定义域为]2,23()23,1()1,21( .例当a 取何实数时，函数y =lg(-x 2+ax +2)的定义域为(-1，2)?分析：可转化为：确定a 值，使关于x 的不等式-x 2+ax +2>0的解集为(-1，2).解： -x 2+ax +2>0⇒x 2-ax -2<0，故由根与系数的关系知a =(-1)+2=1即为所求.练习、求下列函数的定义域(1)()f x =2）y =⑶4)3lg(2++=x x x y ⑷1||142-+-=x x y⑸)1(log 31-=x y ⑹235684xx x y ---=抽象函数定义域【类型一】“已知f(x)，求f(…)”型例：已知f(x)的定义域是[0，5]，求f(x+1)的定义域。

函数的定义域、值域--高考数学【解析版】

专题06 函数的定义域、值域函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f (x )＝|x |，x ∈[0,2]与函数f (x )＝|x |，x ∈[－2,0]． 2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 3.常见函数定义域的求法类型x 满足的条件2()nf x (n ∈N *) f (x )≥0 21()n f x (n ∈N *)f (x )有意义 1()f x 与[f (x )]0 f (x )≠0 log a f (x )(a ＞0且a ≠1) f (x )＞0 a f (x )(a ＞0且a ≠1)f (x )有意义 tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略（1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域（7）数形结合法【典型考题解析】热点一已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（）A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)【答案】C 【解析】根据函数解析式建立不等关系即可求出函数定义域. 【详解】因为f (x )＝11x-＋lg(1＋x )，所以需满足1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得1x >-且1x ≠，所以函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)，故选：C【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【答案】B 【解析】【详解】x 满足2101140x x x +>⎧⎪+≠⎨⎪-≥⎩，即1022x x x >-⎧⎪≠⎨⎪-≤≤⎩. 解得－1<x <0或0<x ≤，选B.【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-.【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________．【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为()11f x x x =-100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃ 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．热点二求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为（） A ．(1,1)- B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【答案】B 【解析】【详解】试题分析：因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域．【答案】[]4,22 【解析】【分析】根据复合函数定义域的性质进行求解即可. 【详解】因为()31f x +的定义域为[]1,7，所以17x ≤≤，所以43122x ≤+≤．令31x t +=，则422t ≤≤．即()f t 中，[]4,22t ∈．故()f x 的定义域为[]4,22．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【答案】D 【解析】【分析】根据(1)y f x +＝的定义域可知1122x ≤+≤，故21log 22x ≤≤，即可求出答案. 【详解】解：∵函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ∴112x -≤≤，1122x ≤+≤∴函数2(log )y f x ＝中，21log 22x ≤≤ 24x ≤≤所以函数2(log )y f x ＝的定义域为2，]．故选：D 【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．热点三求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（） A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【答案】B 【解析】【详解】试题分析：设()f x =t,则1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,从而()F x 的值域就是函数11,,32y t t t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域，由“勾函数”的图象可知，102()3F x ≤≤，故选B ．【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B 【解析】【分析】求出①②③④中各函数的值域，即可得出合适的选项. 【详解】对于①，因为()12f x ≤≤，则()[]211,3y f x =-∈，①不满足条件；对于②，对于函数()21y f x =-，21x -∈R ，则函数()21y f x =-的值域为[]1,2，②满足条件；对于③，因为()12f x ≤≤，则()[]1,221f x y -∈=，③满足条件；对于④，因为()12f x ≤≤，()[]11,2f x +∈，则()[]2log 111,2y f x =++∈，④满足条件. 故选：B.【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】令1x t -=，()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+，令()21sin sin h t t t t t=+-，根据奇偶性的定义，可判断()h t 的奇偶性，根据奇偶性，可得()h t 在(][2,0)0,2-⋃最大值与最小值之和为0，分析即可得答案. 【详解】由21()[(1)1]sin(1)11f x x x x =---++- 令1x t -=，因为[1,1)(1,3]x ∈-⋃，所以(][2,0)0,2t ∈-⋃；那么()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+，(][2,0)0,2t ∈-⋃，令()21sin sin h t t t t t=+-，(][2,0)0,2t ∈-⋃，则()()()()()()2211sin sin sin sin h t t t t t t t h t t t ⎛⎫-=--+--=-+-=- ⎪-⎝⎭，所以()h t 是奇函数可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313x f x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______．【答案】{}1,0- 【解析】【分析】根据指数函数的性质分析()f x 的值域，进而得到()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域即可【详解】 ∵()11313x f x =-+，()30,x∈+∞， ∴令30x t =>，则()()1112,1333f x g t t ⎛⎫==-∈- ⎪+⎝⎭故函数()()y f x g t ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-，故答案为：{}1,0-【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【答案】 2 22,2⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】()f x 1x t -换元后化为二次函数可得最大值，函数24y x x =-2cos ([0,])x θθπ=∈，然后利用两角和的余弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，再由余弦函数的性质得取值范围．【详解】(1)1x -t (t ≥0)，所以x =1－t 2.所以y =f (x )=x 1x -－t 2+2t =－t 2+2t +1=－(t －1)2+2.所以当t =1即x =0时，y max =f (x )max =2. (2)由4－x 2≥0，得－2≤x ≤2，所以设x =2cos θ(θ∈[0，π])，则y =2cos θ244cos θ-θ－2sin θ2()4πθ+，因为5[,]444πππθ+∈，所以cos ()4πθ+∈2⎡-⎢⎣⎦，所以y ∈[－22]．故答案为：2；[2,2]-．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】(1) 7420x y --=； (2)[]2,3．【解析】【分析】对于第一小问，把点()()22f ,代入函数解析式，得切点坐标，通过函数求导，得到过切点的切线的斜率，根据直线的点斜式方程，求切线方程．对于第二小问，解不等式()0f x '>，得函数增区间，解不等式()0f x '<，得函数减区间，结合1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，确定函数单调性，求得最值，进而得值域．(1) 因为()211122f x x x =++，所以()21f x x x '=-，所以()23f =，()724f '=，故所求切线方程为()7324y x -=-，即7420x y --=． (2)由（1）知()()()2322111x x x x f x x x -++-'==，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦．令()0f x '>，得12x <≤；令()0f x '<，得112x ≤<．所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,2上单调递增，所以()()min 12f x f ==．又12128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()23f =，所以()23f x ≤≤，即()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3．热点四求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（） A ．[]1,2 B ．[]1,3 C ．[]0,2 D ．[]2,3【答案】A 【解析】【分析】当1x >时，结合不等式求得其最小值为123a -，当1x ≤时，()()229f x x a a =-+-，根据函数()f x 的最小值为()1f ，列出不等式组，即可求解. 【详解】当1x >时，22231688883333123x a x a x a a x x x x x+-=++-≥⨯⨯=-，当且仅当28x x=时，等号成立；即当1x >时，函数()f x 的最小值为123a -，当1x ≤时，()()222299f x x ax x a a =-+=-+-，要使得函数()f x 的最小值为()1f ，则满足()11102123a f a a ≥⎧⎨=-≤-⎩，解得12a ≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,2. 故选：A.【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【答案】[1，+∞）【解析】【分析】等价于ax 2+2x +1≥0恒成立，再对a 分类讨论得解. 【详解】解：函数()221f x ax x ++R ，即为ax 2+2x +1≥0恒成立，若a ＝0，则2x +1≥0不恒成立；当a ＞0，∆＝4﹣4a ≤0，解得a ≥1；当a ＜0，ax 2+2x +1≥0不恒成立．综上可得，a 的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x af x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________. 【答案】2 (,1)-∞- 【解析】【分析】试题分析：如图，作出函数3()3g x x x =-与直线 2y x =-的图象，它们的交点是(1,2),(0,0),(1,2)A O B --，由 2'()33g x x =-，知1x =是函数 ()g x 的极小值点，①当0a =时， 33,0(){2,0x x x f x x x -≤=->，由图象可知()f x 的最大值是 (1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时， ()f x 有最大值(1)2f -=；只有当 1a <-时，332a a a -<-，()f x 无最大值，所以所求 a 的取值范围是(,1)-∞-．【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N【答案】B 【解析】【分析】利用集合间的基本关系来进行运算即可. 【详解】集合M 表示函数21y x =-2x －1>0，解得12x >.集合N 表示函数2y x 的值域，值域为()0,∞+，故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（） A ．y ＝x B ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x【答案】D 【解析】【分析】求出函数lg 10x y =的定义域和值域，对选项逐一判断即可. 【详解】因函数lg 10x y =的定义域和值域均为()0,∞+，对于A ，y x =的定义域和值域均为R ，故A 错误；对于B ，lg y x =的定义域和值域分别为()0,,R +∞，故B 错误；对于C ，2y x =的定义域和值域均为R ，故C 错误；对于D ，y x=定义域和值域均为()0,∞+，故D 正确；故选：D ．3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4 D ．[]0,4【答案】D 【解析】【分析】分0a =、0a >、0a <讨论即可求解. 【详解】若()f x 的定义域为R ，则当0a =时，()1f x =满足题意；当0a ≠时，20Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得：04a <≤；当0a <时，无法满足定义域为R ．综上所述：04a ≤≤，D 正确．故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,4【答案】C 【解析】【分析】由[]20,1x +∈可求出函数的定义域，由于()2y f x =+的图象是由()y f x =的图象向左平移2个单位得到，所以其值域不变，从而可得答案【详解】令[]20,1x +∈得[]2,1x ∈--，即为函数()2y f x =+的定义域，而将函数()y f x =的图象向左平移2个单位即得()2y f x =+的图象，故其值域不变．故选：C ．5．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inxf x x =+在[0,1]上的值域为（） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数与正弦函数的单调性可得函数()f x 在上单调递增，从而可求()f x 的值域. 【详解】解：易知函数()s 2π2inxf x x =+在[0,1]上单调递增，且(0)1f =，(1)3f =，所以()f x 在[0,1]上的值域为[1,3]．故选:B ．6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1] B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)【答案】C 【解析】【分析】先求出ln ,1y x x =≥的值域，然后确定(12)3,1y a x a x =-+<的值域所包含的集合，利用一次函数性质可得．【详解】当x ≥1时，f (x )=ln x ，其值域为[0，+∞)，那么当x <1时，f (x )=(1﹣2a )x +3a 的值域包括(﹣∞，0)， ∴1﹣2a >0，且f (1)=(1﹣2a )+3a ≥0，解得：12a <，且a ≥﹣1. 故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )【答案】B 【解析】【分析】由题意可得2sin 102x π-≥，然后利用正弦函数的性质求解即可【详解】由题意，得2sin 102x π-≥，1sin22x π≥，所以522,Z 626k x k k πππππ≤+≤≤+∈，解得1544,Z 33k x k k +≤≤+∈，所以函数的定义域为()154,4Z 33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：B8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（） A ．3 B ．4C ．6D ．与m 值有关【答案】C 【解析】【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解. 【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++，设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--，所以()g x 为奇函数，所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=, 故选：C.9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（）A 2B 3C ．32D ．2【答案】B 【解析】【分析】记9t x π=+，()()33sin 2f x h t t t ==+，由三角函数的性质即可求出()g x 的最大值. 【详解】记9t x π=+，则()()33sin sin sin 32f x h t t t t t π⎛⎫==++= ⎪⎝⎭，所以()3sin 3,36h t t π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭， 33π>，所以()()f f x 3故选：B.10．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到()f x 为偶函数，由0x ≥时，()12cos f x x x x =+-，利用导数求得函数的的单调区间，进而求得函数的最小值. 【详解】由题意，函数()12cos f x x x x =+-的定义域为R ，关于原点对称，且满足()()()1122cos cos f x x x x x x x f x -=-+---=+-=，所以()f x 为偶函数，当0x ≥时，()12cos f x x x x =+-，可得()1sin 11022f x x xx=≥'+>，()f x 在单调递增，又由()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-单调递减，[)0,∞+单调递增，所以()()min 01f x f ==-. 故选：C. 二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称【答案】BD 【解析】【分析】求出函数定义域为(4,2)-，A 选项错误；利用定义证明函数(1)=-y f x 是偶函数，B 选项正确；函数()f x 在区间[)1,2-上是增函数，故C 选项错误；可以证明f (x )的图象关于直线1x =-对称，故D 选项正确. 【详解】解：函数()()()()()1222log 2log 4log 24f x x x x x ⎡⎤=--+=--+⎣⎦，由20,40x x ->+>可得42x -<<，故函数定义域为(4,2)-，A 选项错误；()()()21log 33y f x x x ⎡⎤=-=--+⎣⎦的定义域为()3,3-，设()()()2log 33,g x x x ⎡⎤=--+⎣⎦所以()()()()2log 33,g x x x g x ⎡⎤-=-+-+=⎣⎦即()1y f x =-是偶函数，B 选项正确；()()()()222log 24log 28f x x x x x ⎡⎤=--+=---+⎣⎦()22log 19x ⎡⎤=--++⎣⎦()212log 19x ⎡⎤=-++⎣⎦，当[)1,2x ∈-时，()219t x =-++是减函数，外层12log y t =也是减函数，所以函数()f x 在区间[)1,2-上是增函数，故C 选项错误；由()()()()22log 42=f x x x f x ⎡⎤--=-+-⎣⎦，可得f (x )的图象关于直线1x =-对称，故D 选项正确. 故选：BD 三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____．【答案】 2 (][)2,e 22,--+∞【解析】【分析】根据(e)3(0)f f =-可解得b 的值，代入分段函数，结合对数函数及指数函数的值域求解分段函数的值域即可. 【详解】由(e)3(0)f f =-得13(1)b +=-⨯-，即2b =，即函数()ln 2,1e 2,1xx x f x x +>⎧=⎨-≤⎩, 当1x >时，ln 22y x =+>；当1x ≤时，(]e 22,e 2xy =-∈--．故函数()f x 的值域为(][)2,e 22,--+∞．故答案为：2；(][)2,e 22,--+∞.13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121x f x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__．【答案】 1293,142⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由()f x 是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数可得f （﹣x ）＝﹣f （x ），代入可求出实数a ；再判断数f （x ）在[1，3]上单调性，即可求出答案. 【详解】解：∵f （x ）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），即121x -+-a121x =---a ，即212xx+-a 121x=---a ，则2a 121221121212x x xx x x=--=-=----1，则a 12=，则f （x ）11212x =+-在[1，3]为减函数，则f （3）≤f （x ）≤f （1），即914≤f （x ）32≤，即函数的值域为[914，32]，故答案为：12；[914，32] 四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02lg 2112x y x x x -=++-的定义域是________．【答案】(3,1)(1,2)--⋃- 【解析】【分析】要使该函数表达式有意义，只需20x ->，2120x x +->，10x +≠同时成立，解不等式即可求出结果．【详解】函数()02lg 2112x y x x x -=++-的解析式有意义，由22012010x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+≠⎩，即2341x x x <⎧⎪-<<⎨⎪≠-⎩，所以31x -<<-或12x -<<，故该函数的定义域为(3,1)(1,2)--⋃-．故答案为：(3,1)(1,2)--⋃-15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42x f x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；【答案】1 【解析】【分析】根据条件得到()()f a f a =-，即()()41log 42xf x m x =+-为偶函数，根据()()f x f x -=列出方程，求出实数m 的值. 【详解】因为()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，所以40x m +>恒成立，故0m ≥，又因为对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则对于实数a -，都满足()()f a f a -≥，所以()()f a f a =-，所以()()41log 42x f x m x =+-为偶函数，从而()()4411log 4log 422x x m x m x -++=+-，化简得：()()4110x m --=，要想对任意x ，上式均成立，则10m -=，解得：1m =故答案为：116.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1a f x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．【答案】3【解析】【分析】根据已知条件及奇函数的定义求出当0x <时函数的解析式，再利用函数的单调性对a 进行分类讨论，确定单调性即可求解.【详解】由题意可知，因为0x >，所以0x -<，所以()1a f x x x -=--+，因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()1a f x f x x x=--=+-. 因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3当0a ≤时，由函数的性质知，函数()f x 在[)3,+∞上单调递增；当3x =时，()f x 取得最小值为(3)23a f =+，因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以233a +=，解得3a =（舍），当09a <≤时，由函数的性质知，函数()f x 在[)3,+∞上单调递增；当3x =时，()f x 取得最小值为(3)23a f =+，因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以233a +=，解得3a =，当9a >时，由对勾函数的性质知，函数()f x 在),a ⎡+∞⎣上单调递增；在(a 上单调递减；当x a =()f x 取得最小值为(11f a a a a ==，因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以213a =，解得1a =（舍），综上，实数a 的值为3.故答案为：3.17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞；②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增：④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.【答案】①②【解析】【分析】由分段函数解析式，讨论参数a ，结合二次函数、对数函数的性质研究()f x 的单调性、最值及对应值域，利用函数()f x 与1y =的交点情况判断参数范围.【详解】由2()y x a =+的对称轴x a =-，当1a >-时，则1x a =-<，且(,)a -∞-上递减，(,1)a -上递增，值域为[0,)+∞，当1a =-时，则(,1)-∞上递减，值域为[0,)+∞，当1a <-时，则1x a =->，(,1)-∞上递减，值域为2((1),)a ++∞，对于ln y x a =+在[1,)+∞上递增，且值域为[,)a +∞，综上，0a ≥时()f x 的值域为[0,)+∞，①正确；当0a ≥时()f x 最小值为0，当0a <时()f x 最小值为a ，②正确；由211|(1)|ln1x x y a y a a ===+>=+=恒成立，故在(0,)+∞上不可能递增，③错误；要使1f x 有唯一解，当1a <-时，在[1,)+∞上必有一个解，此时只需2(1)1a +≥，即2a ≤-；当1a =-时，在R 上有两个解，不合题设；当1a >-时，在(,)a -∞-上必有一个解，此时()211{1a a +≤>，无解.所以④错误.故答案为：①② 18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．【答案】230⎡⎢⎣⎦，【解析】【分析】将m 分为000m m m =><，，三种情况讨论：当0m =时，()210f x x - 满足条件；当0m <时，由二次函数知开口向下，不满足条件；当0m >时，只需二次函数的0∆≥即可，解出m 的取值范围，综上得m 的取值范围.【详解】解：当0m =时，()()22121f x mx m x m x =--+--[0，+∞），满足条件；令()()221g x mx m x m =--+- ，()()0g x ≥当m ＜0时，()g x 的图象开口向下，故f （x ）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m ＞0时，()g x 的图象开口向上，只需()2210mx m x m --+-=的0∆≥，即（m ﹣2）2﹣4m （m ﹣1）≥0， ∴2323m ≤≤，又0m > ，所以230m <≤ 综上，230m ≤≤∴实数m 的取值范围是：230⎡⎢⎣⎦，，故答案为：230⎡⎢⎣⎦，.。

函数的定义域与值域

函数的定义域与值域函数是数学中常见的概念，它描述了输入和输出之间的关系。

在函数中，定义域和值域是两个重要的概念。

本文将介绍函数的定义域与值域的定义及其在数学中的应用。

一、定义域的定义在函数中，定义域表示输入的取值范围。

换句话说，对于一个函数f(x)，定义域是指在满足特定条件下x可以取值的范围。

通常情况下，定义域可以是实数集、有理数集或整数集等。

例如，对于函数f(x) = √(x - 1)，由于在实数范围内，被开方数不能为负数，所以定义域为x ≥ 1。

二、值域的定义在函数中，值域表示函数的输出结果的集合。

换句话说，对于函数f(x)，值域是指所有可能的输出值的集合。

值域可以是实数集、有理数集或整数集等。

例如，对于函数f(x) = x^2，所有的输出结果都是非负数，所以值域为y ≥ 0。

三、定义域与值域的关系定义域和值域之间存在一定的关系。

函数的定义域决定了函数的输入范围，而函数的值域决定了函数的输出结果。

在某些情况下，函数的定义域和值域可能具有一定的约束条件。

例如，对于函数f(x) = 1/x，定义域为除了x = 0之外的所有实数集。

然而，由于分母不能为零，值域为除了y = 0之外的所有实数集。

四、定义域和值域的确定方法确定函数的定义域和值域的方法主要依赖于函数的类型和特点。

以下是一些常见的方法：1. 对于基本函数，如多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等，定义域和值域可能由函数的特性直接决定。

2. 对于复合函数，函数的定义域和值域可以通过确定组成函数的子函数的定义域和值域，并进行合适的组合得出。

3. 对于有条件约束的函数，如分段函数和绝对值函数等，定义域和值域需要根据函数的条件进行确定。

五、应用举例以下是一些常见函数及其定义域和值域的示例：1. 函数f(x) = x^2，定义域为所有实数集，值域为y ≥ 0。

2. 函数f(x) = √(x - 1)，定义域为x ≥ 1，值域为y ≥ 0。

3. 函数f(x) = 1/x，定义域为除了x = 0之外的所有实数集，值域为除了y = 0之外的所有实数集。

高考数学中的函数定义域及值域的详细解释

高考数学中的函数定义域及值域的详细解释在高中数学的学习过程中，函数的定义域和值域是非常重要的一个知识点。

掌握函数的定义域和值域，对于学生未来的学习和职业发展都有着极为重要的作用。

接下来，我们就来详细解释函数的定义域和值域的概念及其在高考数学中的应用。

一、函数的定义域是什么？在数学中，函数可以看作是一种联系两个集合的规律。

其中，一个集合是自变量的取值集合，另一个集合是函数值的取值集合。

函数的定义域指的就是自变量的取值集合。

以一个简单的例子为说明：设有一个函数f(x) = √(10 - x)，其中x 的取值范围是整个实数集合，那么函数 f(x) 的定义域就是整个实数集合。

但是实际上，在某些情况下，函数的自变量可能不是整个实数集合。

例如，函数 f(x) = 1/x，x 的取值范围为整个实数集合，但由于在 x = 0 处没有定义，因此函数的定义域就是整个实数集合减去 0。

通过以上例子，可以看出函数的定义域并不是简单的取值范围，而是根据函数的性质来确定的。

每个函数都有其自己对应的定义域。

二、函数的值域是什么？函数的值域指的是函数在定义域上所有可能的函数值所组成的集合。

也以前面的例子f(x)= √ (10-x)，为例。

将这个函数的定义域限定在 [0,10] 上，那么函数的值域就是在这个区间内所有满足条件的函数值组成的集合。

在求解函数的值域的问题上，可以借助一些特殊的技巧。

比如，在许多函数的求值问题上，我们可以使用函数的性质、图像、导数等方式来简单地确定函数的值域。

三、函数的定义域和值域在高考数学中的应用函数的定义域和值域是高中数学的重点知识点，而在高考中经常考到的题型则是在此基础上进行加深。

经过高中的语文、英语、数学学习，学生应该已经掌握了认真分析问题的方法。

在高考数学的题目中，有许多都需要从某个小细节来全面分析题目，从而解决问题。

而在面对一些函数及其图像的问题时，掌握函数的定义域和值域概念，不仅能在图像问题及函数在某个区间的取值问题上提供大量便利，还可以为高考数学的综合应用题提供更好的思路。

函数的定义域与值域

函数的定义域与值域函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。

在函数中，定义域和值域是两个关键的概念，它们分别指代了函数的输入和输出的取值范围。

一、定义域的概念在数学中，函数的定义域是指函数的自变量（输入）可以取值的范围。

简单来说，定义域就是函数中所有可能的输入值所组成的集合。

以一个简单的例子来说明定义域的概念。

考虑一个函数f(x) = √x，其中x为实数。

在这个函数中，由于开方运算的定义域为非负实数，所以函数f(x)的定义域为[0, +∞)。

也就是说，只有当x大于等于0时，函数f(x)才有定义。

定义域的确定需要考虑函数中的各种限制条件，比如根号函数中不能出现负数、分母不能为零等等。

因此，在定义函数时，我们需要仔细考虑自变量的取值范围，以确保函数在定义域内有意义。

二、值域的概念值域是函数的输出值所能取到的范围。

也就是说，值域是函数在定义域内所有可能的输出值所组成的集合。

继续以上面的函数f(x) = √x为例。

由于开方运算的结果为非负实数，所以函数f(x)的值域也为[0, +∞)。

也就是说，函数f(x)的输出值只能是大于等于0的实数。

确定函数的值域需要考虑函数的性质和限制条件。

有些函数的值域可以通过观察函数的图像来确定，而有些函数的值域则需要通过数学推导来得出。

三、定义域与值域的关系函数的定义域和值域之间存在着密切的关系。

一般来说，函数的值域是由定义域内的元素经过函数运算得到的结果所组成的。

对于一些简单的函数，比如线性函数y = kx + b，其中k和b为常数，它们的定义域和值域可以很容易地确定。

但对于一些复杂的函数，比如三角函数、指数函数等，确定定义域和值域就需要更深入的研究。

在实际问题中，函数的定义域和值域常常与问题的背景相关。

比如在描述人口增长的函数中，定义域可能是非负实数集合，而值域则可能是正实数集合。

总结起来，函数的定义域和值域是函数的重要属性，它们描述了函数输入和输出的取值范围。

函数的定义域和值域

1 1 由于t≥0，所以y≤2，故函数的值域是－∞，2.
法二：(单调性法)容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足1
1 1 1 1 －2x≥0，即x≤2，所以y≤f2＝2，即函数的值域是－∞，2.
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[精析考题]
[例3] (2011· 湖南高考)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2 ( ) ＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为 A．[2－ 2，2＋ 2] C．[1,3] B．(2－ 2，2＋ 2) D．(1,3)
意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．
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二、函数的值域
1．在函数概念的三要素中，值域是由定义域和对应关系所
确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用． 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为 2 2 4 ac － b 4ac－b {y|y≥ 4a } ；当a＜0时，值域为 {y|y<= 4a } ．
1 即x>－2且x≠0.
[答案]
C
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[精析考题] [例2] 求下列函数的值域，并指出函数有无最值．
1－x2 (1)y＝； 1＋x2 4 (2)y＝x＋x(x<0)； (3)f(x)＝x－ 1－2x.
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[自主解答] ∴0<
1－x2 2 2 (1)y＝＝－ 1 ，∵ 1 ＋ x ≥ 1， 1＋x2 1＋x2
D．[－3,5]
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解析：由题意可得：
－3≤x＋1≤5，－3≤x－2≤5.
解不等式组可得：－1≤x≤4.

高中数学函数的定义域及值域

高中数学函数的定义域及值域高中数学函数的定义域及值域定义域(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，假如按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A.其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域;值域名称定义函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合常用的求值域的方法(1)化归法;(2)图象法(数形结合)，(3)函数单调性法，(4)配方法，(5)换元法，(6)反函数法(逆求法)，(7)判别式法，(8)复合函数法，(9)三角代换法，(10)根本不等式法等关于函数值域误区定义域、对应法那么、值域是函数构造的三个根本“元件”。

平时数学中，实行“定义域优先”的原那么，无可置疑。

然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的'位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的互相转化)。

假如函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联络函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。

才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，理论证明，假如加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”一样吗?“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。

“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”那么只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。