2017年福建省高三质检理科数学试卷
福建省泉州市2017届高三3月质量检测数学理试题含解析
A． 2 B ． 2 3 C. 4 D
．4 3
答案 ： A
解析 ：因为 a a b 0 ，所以， a b | a |2 1，
又 a b 3 ，所以， | a |2 2a b |b |2 ＝ 3，所以， |b |＝ 2，
2
2
b 2a | b | 4a b 4 | a | 4 4 4 2 。
5. 已知 Sn 为数列 an 的前 n项和且 Sn 2an 2 ，则 S5 S4 的值为（
答案 ： D
解析 ：如图所示， 三视图所对应的几何体为对顶的两个圆锥各沿坚直方程切了一刀，
根据圆
锥曲线的几何意义知，为双曲线的一部分。
11. 已知抛物线 E 的焦点为 F ，准线为 l 过 F 的直线 m与 E 交于 A, B 两点， C , D 分别为
A, B 在 l 上的射影， M 为 AB 的中点，若 m 与 l 不平行，则 CMD 是（ ）
79，18，82，57，31，18“，从左到右依次为 a1, a2 , , a10 ，其中最大的数记为 T ，则 T t
（）
A． 0 B ． 1 C. 2 D
．3
答案 ： D
解析 ：第 1 次循环： m＝42， t ＝61， n＝ 80， i ＝ 2；
第 2 次循环： m＝ 61， t ＝ 80，n＝ 12，i ＝ 3；
）
A． 8 B ． 10 C. 16 D
．32
答案 ： D
解析 ： an 1
Sn 1 Sn
2an 1 2an ，即 an 1 ＝ 2，又 S1 an
2a1 －2，得 a1＝ 2，
所以，数列 an 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，
2(1 2n ) Sn ＝ 1 2
2017年高考真题——理科数学(福建卷)解析版
2017年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25 B ．45CD【答案】C【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式d =． 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480C ．450D ．120【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和 C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==< …．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>，输出S ．根据选项，101(12)12S -=-，故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）A B ． C ．5 D ．10【答案】C【解析】由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出，则算出S=5．故答案C8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点． B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙故选C 10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ．二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23【解析】13103a a ->∴>a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴==12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________【答案】12π【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，2412R S R ππ∴====球表13．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________【解析】sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠=∙BD ==14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________1【解析】由直线方程)y x c =+⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或，且过点1-F （c,0）12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c F M c F M ===∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =∴==-15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()...()_____2223212nn n n n nn C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+【答案】113[()1]12n n +-+ 【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n nn n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，224(5)3515==⨯=P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a f x x． （Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x， (1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意，过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i ，∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x ii y x 得：2110=y x ，即210=x y ，∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x ，∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y，解得32=±k直线l 的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分． 解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE//AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥ 1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD uu u r uuu r uuur的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-uuu r ，1(0,3,1)AB k =uuu r ，1(0,0,1)AA =uuu r设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =，得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r67==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像．（1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数； 若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2017个零点． 本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 2x <<10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解 设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ， 即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos 21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin x a x =-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin x h x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π= 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点 由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点21．（本题满分14分）（1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标． 本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩ （Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x =故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上． （1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程； （2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系． 本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上，可得a = 所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+=从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+=所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离1d =<，所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥ 解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3。
福建省福州市2017届高三上学期第三次质量检查数学(理)试题
福州八中2016—2017学年高三毕业班第三次质量检查数学(理)试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分2016.11.14第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集U={x ∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x ∈N|﹣1＜x ＜4}，则)(A C B U =A ．{0，3}B ．{3}C ．{0，4}D ．{0，3，4}2.下列函数中，既是奇函数又存在零点的是A.sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ． cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．ln y x =D ．1y x x=+3.已知O A B C ，，，为同一平面内的四个点，若20AC CB +=，则向量OC 等A ．2133OA OB - B ．1233OA OB -+ C ．2OA OB -D ．2OA OB -+4.已知数列﹛a n ﹜为等比数列，且π4227131=+a a a ，则)tan(122a a 的值为 A ． B ． C ． D ．5.设18log ,16log ,14log 987===c b a ，则A ．a b c ＞＞B ．a c b ＞＞C ．b c a ＞＞D ．c b a ＞＞6.设l,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是 A.若l ⊥m,m ⊂α,则l ⊥α B.若l ⊥α,l ∥m,则m ⊥αC.若l ∥α,m ⊂α,则l ∥mD.若l ∥α,m ∥α,则l ∥m7.已知2a =，3b =，19a b +=，则a b -等于8.以下四个命题中，真命题的是 A ．(0,)x π∃∈， sin tan x x =B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<”C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件9.设函数f(x)=cos ωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移4π个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于A.21 B.2 C.8 D.1210.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 15>0,S 16<0,则11S a ,22S a ,…, 1515S a 中最大的项为A.66S a B.77S a C.88S a D.99S a 11.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球的体积为 A． B．3C ．2003π D ． 200π12.设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，∀x ∈R ，有2)()(x x f x f =+-， 在（0，+∞）上x x f <')(，若m m f m f 48)()4(-≥--，则实数m 的取值范围为 A.[﹣2，2] B [)+∞,2C ．[)+∞,0D ．(][)+∞⋃-∞-,22,第Ⅱ卷（主观题90分）二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知a,b ∈R,i 为虚数单位,若i(1+ai)=1+bi,则a+b=.14.已知53cos 0=⎰θxdx ，)0(πθ<< ，则=θ2cos ．15.若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是__________.16.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，期中2c =，角C 是锐角且cos cos 2sin a B b A C+=，则a b c ++的取值范围为 .三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.(本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋n . （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和n T .18.(本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且.tan 222A ac b bc=-+ （1）求角A ；（2）设函数,cos sin 2sin )(x A x x f +=将函数)(x f y =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的21，把所得图象向右平移6π个单位，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g y =的对称中心及单调递增区间.19.(本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，△PAD 是等边三角形，且AD =1，四边形ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝120°,AB ＝2AD ． （1）求证：平面PAD ⊥平面PBD ；（2）求二面角A －PB －C 的余弦值．20.(本小题满分12分）如图，,A B 为相距2km 的两个工厂，以AB 的中点O 为圆心，半径为2km 画圆弧。
2017福建省质检数学(理)word版
2017福建省质检数学(理)word版篇一：福建省福州外国语学校2017届高三适应性考试(三)数学(理)试题 Word版含答案高三数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足(3?4i)?z?|4?3i|，i是虚数单位，则z的虚部为（） A．?4B．4 5C．4 D．?4 52.设集合P??x||x?1|?3?，Q??y|y?(),x?(?2,1)?，则P?Q?（）x??13??A．(?4,)19B．(,2]19C．(,2]13D．(,2)133.已知命题p：?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)?0，则?p是（） A．?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)?0 B．?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)?0 C．?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)?0 D．?x1，x2?R，(f(x2)?f(x1))(x2?x1)?04.若??(A．??2,?)，3cos2??sin(B．?4??)，则sin2?的值为（）C．?171****8118D．1 185.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3，则输入x的取值范围是（） A．(4,10]B．(2,??)C．(2,4]D．(4,??)6.有关以下命题：①用相关指数R来刻画回归效果，R越小，说明模型的拟合效果越好；②已知随机变量?服从正态分布N(2,?2)，P(??4)?，则P(2)?；③采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为5,16,27,38,49的同学均被选出，则该班学生人数可能为60；其中正确的命题个数为（） A．3个B．2个C．1个D．0个227. 一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（） A．2?B．16?C．8?D．8?3x?y?a?0,?8. 设x，y满足约束条件?x?y?0,若目标函数z?x?y的最大值为2，则实数a的?2x?y?0,?值为（） A．2B．1C．?1D．?29.已知等差数列?an?的公差d?0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1?1，Sn为数列?an?的前n项和，则2Sn?16的最小值为（）an?3B．3C．2D．2A．4bx2y210.过双曲线2?2?1（a?0，b?0）的右焦点F作直线y??x的垂线，垂足为A，aab交双曲线的左支于B点，若FB?2FA，则该双曲线的离心率为（）AB．2CD11.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为则bd和（a，b，c，d?N*），acb?d是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道，若令a?c314916，则第一次用“调日法”后得是?的更为精确的过剩近似值，即101553116，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得?的近似分数为（） 105226378109A． B． C． D．720352512.已知函数f(x)??根的根数是（） A．8B．6C．4D．2?2x，g(x)?xcosx?sinx，当x3?,3??时，方程f(x)?g(x)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知(x?为．162?)展开式的常数项是540，则由区县y?x和y?x围成的封闭图形的面积axB，C，14.△ABC的三个内交为A，的最大值为．7?则2cosB?sin2C?tan(?)，122????215.在平行四边形ABCD中，AC?CB?0，2BC?AC?4?0，若将其沿AC 折成二面角D?AC?B，则三棱锥D?AC?B的外接球的表面积为．??x3?x2,x?e16.设函数y??的图象上存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点?alnx,x?e的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边的中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?2an?1，设bn?2(log2an?1)，n?N*．（1）求数列?an?的通项公式；（2）求数列?bn?an?的前n 项和Tn．18.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，?DAB??DBF?60?，且FA?FC．（1）求证：AC?平面BDEF；（2）求证：FC//平面EAD；（3）求二面角A?FC?B的余弦值．19.某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用A、B、C三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如下：方式实施地点大雨中雨小雨模拟实验总次数A B甲乙丙4次 3次 2次6次 6次 2次2次 3次 8次12次 12次 12次C假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟实验的统计数据：（1）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概念；（2）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量?，求随机变量?的分布列和数学期望E?．x2y220.已知椭圆?：2?2?1（a?b?0）的右焦点为，且椭圆?上一点M到其ab两焦点F1，F2的距离之和为（1）求椭圆?的标准方程；（2）设直线l：y?x?m（m?R）与椭圆?交于不同两点A，B，且|AB|?，若点P(x0,2)满足|PA|?|PB|，求x0的值． 21.已知a?R，函数f(x)?(x?a)|x?1|．（1）若a?3，求f(x)的单调递增区间；（2）函数f(x)在?a1,b?上的值域为??1,1?，求a，b需要满足的条件．??请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-1：几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，弦CD?AB于点M，E是CD延长线上一点，AB?10，CD?8，3ED?4OM，EF切圆O于F，BF交CD于G．（1）求证：△EFG为等腰三角形；（2）求线段MG的长．篇二：福建省福州第一中学2016届高三下学期模拟考试(5月质检)数学(理)试题 Word版含答案2016届福州一中高中毕业班理科数学模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）若集合A?x?2?16，B?xlog3(x?2x)?1，则A?B等于(A)?3,4? (B) ?3,4?(C) (??,0)??0,4? (D) (??,?1)??0,4? （2）计算sin46??cos16??cos314??sin16???x??2?1(C)2（3）已知随机变量?服从正态分布N(3,?2)，若P(??6)?，则P(03)? (A) (B) (C) (D)x03（4）设命题p:?x0?(0,??),3?x0，则?p为(A) ?x?(0,??),3x?x3 (B) ?x?(0,??),3x?x3 (C)?x?(0,??),3?x (D) ?x?(0,??),3?x（5）二项式(2xx3x35的展开式中x的系数等于（6）设向量OA?e1,OB?e2,若e1与e2不共线，且AP?6PB，则OP?(A) ?40 (B) 40 (C) ?20(D) 201??6??6??1??1??6??6??1??(A) e1?e2 (B) e1?e2 (C) e1?e2 (D) e1?e2777777771?8?（7）已知函数f(x)?sin(x?)(x?R)，把函数f(x)的图象向右平移个单位得函数463g(x)的图象，则下面结论正确的是(A) 函数g(x)是奇函数(B) 函数g(x)在区间??,2??上是增函数(C) 函数g(x)的最小正周期是4? (D) 函数g(x)的图象关于直线x??对称（8）在一球面上有A,B,C三点，如果AB??ACB?60?，球心O到平面ABC的距离为3，则球O的表面积为(A) 36? (B) 64? (C) 100? (D) 144? （9）右边程序框图的算法思路，源于我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作中提出的秦九韶算法，执行该程序框图，若输入的n,an,x分别为5,1,?2，且a4?5,a3?10,a2?10,a1?5,a0?1，则输出的v=(A) 1 (B) 2 (C) ?1 (D) ?25（10）某三棱锥的三视图如上图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于 (A) (D)x2y2(11) 已知O,F分别为双曲线E:2?2?1(a?0,b?0)的中心和右焦点，点G,M分别在abE的渐近线和右支，FG?OG，GM//x轴，且OM?OF，则E的离心率为43x(12) 设定义在(0,??)的函数f(x)的导函数是f?(x)，且xf?(x)?3xf(x)?e，e3f(3)?，则x?0时，f(x)81(A) 有极大值，无极小值(B) 有极小值，无极大值(C) 既无极大值，又无极小值 (D) 既有极大值，又有极小值第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知复数z的共轭复数z?1?i，则复数z的虚部是_______. 1?2i?y?x?（14）若x,y满足约束条件?x?y?2, 且z?3x?y的最小值是最大值的?3倍，则a的值是?x?a?_____.（15）若椭圆的中心在原点，一个焦点为(1,0)，直线2x?2y?3?0与椭圆相交，所得弦的中点的横坐标为1，则这个椭圆的方程为_________.（16）若?ABC的内角满足sinA?2sinC?B，则角C的最大值是_______. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等差数列?an?的前n项和为Sn，且S6?5S2?18,a3n?3an，数列?bn?满足 b1?b2bn?4Sn.（Ⅰ）求数列?an?，?bn?的通项公式；（Ⅱ）令cn?log2bn，且数列?（18）（本小题满分12分）?1??的前n项和为Tn，求T2016.?cn?cn?1?ABCD，底面ABCD为直如图，在四棱柱ABCD?A1BC11D1中，侧面ADD1A1?底面AB?BC?4. 角梯形，其中BC//AD,AB?AD,AD?12,AD11?（Ⅰ）在线段AD上求一点N，使得CN//平面ABB1A1，并加以证明；（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点N，求锐二面角D?ND1?C1的余弦值.（19）（本小题满分12分）某商场每天以每件100元的价格购入A商品若干件，并以每件200元的价格出售，若所购进的A商品前8小时没有售完，则商场对没卖出的A商品以每件60元的低价当天处理完毕（假定A商品当天能够处理完）.该商场统计了100天A商品在每天的前8小时的销售量，（Ⅰ）某天该商场共购入8件A商品，在前8个小时售出6件. 若这些产品被8名不同的顾客购买，现从这8名顾客中随机选4人进行回访，求恰有三人是以每件200元的价格购买的概率；（Ⅱ）将频率视为概率，要使商场每天购进A商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进几件A商品，并说明理由.（20）（本小题满分12分）已知抛物线E:y2?2px(p?0)的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于A,B两点，E的准线与x轴交于点C，?CAB的面积为4，以点D(3,0)为圆心的圆D过点A,B.（Ⅰ）求抛物线E和圆D的方程；（Ⅱ）若斜率为k(k?1)的直线m与圆D相切，且与抛物线E交于M,N两点，求FM?FN的取值范围.（21）（本小题满分12分）已知函数f(x)?ax2?bx?2lnx(a?0,b?R)，若对任意x?0,f(x)?f(2). （Ⅰ）写出b?g(a)的表达式；（Ⅱ）已知c,d为不相等的两个整数，且c?k?d时lna?kb?0恒成立，求c的最小值与d的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD内接于圆O，AD与BC的延长线交于圆O外一点E，自E引一直线平行于AC，交BD的延长线于M，自M引MT切圆O于T.（Ⅰ）求证：MT?ME；（Ⅱ）若AE?BM,MT?3,MD?1，求BE的长.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x?y?1，在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为??228.cos??2sin?（Ⅰ）将C1上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长为原来的2C2，求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若P,Q分别为曲线C2与直线l上的两个动点，求PQ的最小值以及此时点P的坐标.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲如果关于x 的不等式x??x?6?a的解集为空集. （Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若实数b与实数a取值范围相同，求证：ab?25?5a?b.篇三：福建省福州市第八中学2017届高三上学期第四次质量检查数学(理)试题 Word版含答案福州八中2016—2017学年高三毕业班第四次质量检查数学(理)试题考试时间：120分钟试卷满分：150分第Ⅰ卷(60分)一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合A?{x|?1?2x?1?3}，B?{x|A．{x|?1?x?0} C．{x|0?x?2} 2．复数z?x?2?0}，则A?B? xB．{x|0?x?1} D．{x|0?x?1}2i?i3（i为虚数单位）的共轭复数为 i?1C．1?iD．1?2iA．1?2i3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为B. D.234.已知命题p：?x?R，32x?1?0，命题q：0?x?2是log2x?1的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是A．?pB．p?qC．p?(?q) D．?p?q5.已知直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋(5＋a)y ＝8平行，则a＝ A．－7B．－7或－1C．－1D．7或1?x?y?2?0,?6.若实数x,y满足?x?y?0,若z?x?2y的最小值是?y?0,?A．?2B．?1D．2是7. 直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于 A.4 3C.838.若两个正实数x,y满足?1xy4?1，且不等式x??m2?3m有解，则实数m的取值范围4yA．(??,?1)?(4,??) C．(?4,1) 9.已知函数B．(??,0)?(3,??) D．(?1,4)?2f(x)?Acos(?x??)的图象如图所示,f()??,则f(0)等于23232C.3A.?B. ?D.1 2x2y210.已知双曲线ab1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲1 2ac线上存在点P，则该双曲线的离心率的取值范围为sin∠PF1F2sin∠PF2F1A．2＋1，＋∞) C．(13)B．3，＋∞) D．(1，2＋1)?|log3x|,0?x?3?11.已知函数f(x)??，若存在实数x1，x2，x3，x4，当??x),3?x?9?3?x1?x2?x3?x4时，满足f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x4)，则x1?x2?x3?x4的取值范围是135135) ) C．[27,30) D．(27,4412x12.已知函数f(x)?x?e?(x?0)与g(x)?x2?ln(x?a)的图象上存在2A．(7,B．(21,29) 4关于y轴对称的点,则a的取值范围是A．(?,??) B．(?1,) eC．(?,11) D．(?,??) e第Ⅱ卷（主观题90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）rrr1r13.已知向量a?(,b?(1,0)，则b在a上的投影等于______________.214.已知圆x+y=m与圆x+y+6x-8y-11=0相交,则实数m的取值范围是215.已知数列{an}满足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos2222n?n?)an?sin2，则该数列的前1222项和为16.已知边长为2的菱形ABCD中，?BAD?600，沿对角线BD折成二面角为120的四面体，则四面体的外接球的表面积为________.三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.(本小题满分12分）等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)求an与bn；(2)求证：18.(本小题满分12分）1113(n?N?) S1S2Sn4??已知函数f?x??m?n,且m?sin?x?cos?x?x,???n??cos?x?sin?x,2sin?x?，其中??0，若函数f?x?相邻两条对称轴的距离大于等于?. 2（1）求?的取值范围；（2）在锐角?ABC中，当?最大时，f?A??1，且a?a,b,c分别是角A,B,C的对边，求b?c的取值范围.19.(本小题满分12分）如图, 已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD//BC，CE//BG，且?BCD??BCE?平面ABCD⊥平面BCEG,?2，BC?CD?CE?2AD?2BG?2.（Ⅰ）证明：AG//平面BDE;（Ⅱ）求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值.y2x220.(本小题满分12分）已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)，以原点为圆ab心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x?y?0相切．A、B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线y?kx(k?0)与椭圆相交于E、F两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值．21.(本小题满分12分）设函数f(x)?(x?1)lnx?a(x?1).（1）若函数f(x)在x?e处的切线与y轴相交于点(0,2?e)，求a的值；（2）当1?x?2时，求证：211. ??x?1lnxln(2?x)请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。
2017福州市普通高中毕业班质量检测(理科数学)
2017年福州市普通高中毕业班综合质量检测理科数学能力测试★祝考试顺利★注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上做答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合{}4A x x =…,{}24210B y y y =+-<，则A B =（A ）∅ （B ）(]7,4--（C ）(]7,4-（D ）[)4,3-(2)设复数12,z z 在复平面内对应的点关于实轴对称，12i z =+，则12z z = （A ）1i +（B ）34i 55+ （C ）41i 5+（D ）41i 3+(3) 要得到函数()cos2f x x =的图象，只需将函数()sin2g x x =的图象（A ）向左平移12个周期 （B ）向右平移12个周期 （C ）向左平移14个周期 （D ）向右平移14个周期(4)设等差数列{}n a 的公差0d ≠，且2a d =-，若k a 是6a 与+6k a 的等比中项，则k =（A ）5 （B ）6 （C ）9（D ）11(5) 如图为某几何体的三视图，则其体积为（A ）4π3+ （B ）π43+ （C ）24π33+（D ）2π43+(6)执行右面的程序框图，如果输入的168,112m n ==，则输出的,k m 的值分别为 （A ）4,7 （B ）4,56 （C ）3,7 （D ）3,56(7) 已知函数()2πf x x x =-，(),,0,παβγ∈，且1si n 3α=,5tan 4β=,1cos 3γ=-，则 （A ）()()()f f f αβγ>>（B ）()()()f f f αγβ>> （C ）()()()f f f βαγ>> （D ）()()()f f f βγα>>(8)三棱锥A BCD -中，ABC △为等边三角形，AB =90BDC ∠=︒，二面角A BC D --的大小为150︒，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 （A ）7π （B ）12π （C ）16π （D ）28π(9)已知数列{}n a 中，11a =，且对任意的*,m n ∈N ，都有m n m n a a a mn +=++，则201711i ia ==∑（A ）20172018 （B ）20162017（C ）20181009（D ）20171009(10)不等式组210,220,40x y x y x y -+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩………的解集记作D ，实数,x y 满足如下两个条件：①(),,x y D y ax ∀∈…；②(),,x y D x y a ∃∈-….则实数a 的取值范围为 （A ）[]2,1-（B ）[]0,1（C ）[]2,3-（D ）[]0,3(11)已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，126FF =，P 是E 右支上的一点，1PF 与y 轴交于点A ，2PAF △的内切圆在边2AF 上的切点为Q．若AQ ，则E 的离心率是（A） （B（C（D(12)已知函数()e 1,0,31,0.2x x f x x x ⎧->⎪=⎨+⎪⎩…若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（A ）31ln2,ln 23⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ （B ）31ln2,ln 23⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ （C ）2ln23⎛⎤ ⎥⎝⎦， （D ）231ln 323⎛⎤+ ⎥⎝⎦，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
福建省泉州市2017届高三3月质量检测数学理试题含解析
2017年泉州市普通高中毕业班质量检查理科数学一、选择题：1.已知z 为复数z 的共轭复数，且()11i z i -=+，则z 为（ ） A ．i - B ． i C ．1i - D ．1i + 答案：A解析：依题意，有：11iz i i+==-，所以，z ＝i - 2.已知集合11|<22,|ln 022x A x B x x ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=≤=-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩⎭，则()R A C B = （ ） A ． ∅ B ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]1,1-答案：B解析：集合{}13|1<1,|22A x x B x x ⎧⎫=-≤=<≤⎨⎬⎩⎭， R C B ＝1|2x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭3或x>2，所以，()R A C B = 11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦3. 若实数,x y 满足约束条件1222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则22z x y =+的最小值是（ ）A．5B ．45C ．1D ． 4答案：B解析：不等式组表示的平面区域如下图所示，22z x y =+表示平面区域三角形ABC 上一点到原点的距离的平方，点（0,0）到直线220x y +-=的距离为d＝5，所以，z 的最小值为d 2＝454.已知向量,a b满足()1,0a a b a a b =-=-= ，则2b a -= （ ）A ． 2 B．．答案：A解析：因为()0a a b -= ，所以，2||1a b a == ，又a b -= ，所以，22||2||a a b b -+ ＝3，所以，||b ＝2，2b a -=2=。
5. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和且22n n S a =-，则54S S -的值为（ ） A ． 8 B ．10 C. 16 D ．32 答案：D解析：11122n n n n n a S S a a +++=-=-，即1n na a +＝2，又112S a =－2，得1a ＝2， 所以，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，n S ＝12(12)2212n n +-=--，所以，S 5－S 4＝62－30＝32 6.已知函数()2sin cos 222x x f x ϕϕπϕ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且对于任意的x R ∈，()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.则 （ ）A ．()()f x f x π=+B ．()2f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()3f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()6f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭答案：C解析：()()sin f x x ϕ=+，因为()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，所以，在6x π=处，函数取得最大值，即6x π=为对称轴，所以()()66f x f x ππ+=-，令x 为6x π-，可得：()3f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7. 函数()()ln sin 0f x x x x x ππ=+-≤≤≠且的图象大致是（ ）A ．B ．C. D ．答案：D解析：函数f （x ）为偶函数，排除A ； 当x ＞0时，()ln sin f x x x =+，1'()cos f x x x=+， 当(0,)2x π∈时，'()0f x >，函数f （x ）在(0,)2π递增，排除C ； 21''()sin f x x x=--＜0，所以，'()f x 在(0,)π内单调递减，所以，函数f （x ）在(0,)π内先增后减，选D 。
福建省泉州市2017届高三3月质量检测数学理试题 Word版含答案
2017年泉州市普通高中毕业班质量检查理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知z 为复数z 的共轭复数，且()11i z i -=+，则z 为（ ） A ．i - B ． i C ．1i - D ．1i +2.已知集合11|<22,|ln 022x A x B x x ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=≤=-≤⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎩⎭，则()R A C B = （ ） A ． ∅ B ．11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]1,1-3. 若实数,x y 满足约束条件1222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则22z x y =+的最小值是（ ）A．45 C ．1 D ． 44.已知向量,a b满足()1,0a a b a a b =-=-= ，则2b a -= （ ） A ． 2 B．．5. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和且22n n S a =-，则54S S -的值为（ ） A ． 8 B ．10 C. 16 D ．32 6.已知函数()2sin cos 222x x f x ϕϕπϕ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且对于任意的x R ∈，()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.则 （ ）A ．()()f x f x π=+B ．()2f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()3f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．()6f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7. 函数()()ln sin 0f x x x x x ππ=+-≤≤≠且的图象大致是（ ）A ．B ．C. D ．8.关于x 的方程ln 10x x kx -+=在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11,1e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ B ．(]1,1e - C. 11,1e e⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．()1,+∞9.机器人AlphaGo （阿法狗）在下围棋时，令人称道的算法策略是：每一手棋都能保证在接下来的十几步后，局面依然是满意的.这种策略给了我们启示：每一步相对完美的决策，对最后的胜利都会产生积极的影响.下面的算法是寻找“1210,,,a a a ”中“比较大的数t ”，现输入正整数“42，61，80，12，79，18，82，57，31，18“，从左到右依次为1210,,,a a a ，其中最大的数记为T ，则T t -= （ ）A ．0B ． 1 C. 2 D ．310.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是 （ ）A ．圆弧B ．抛物线的一部分 C. 椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分 11.已知抛物线E 的焦点为F ，准线为l 过F 的直线m 与E 交于,A B 两点，,CD 分别为,A B 在l 上的射影，M 为AB 的中点，若m 与l 不平行，则CMD ∆是（ ）A ．等腰三角形且为锐角三角形B ．等腰三角形且为钝角三角形 C.等腰直角三角形 D ．非等腰的直角三角形 12. 数列{}n a 满足12sin122n n n a a n π+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前100项和为（ ） A ． 5050 B ．5100 C.9800 D ．9850第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.某厂在生产甲产品的过程中，产量x （吨）与生产能耗y （吨）的对应数据如下表：根据最小二乘法求得回归直线方程为ˆ0.65yx a =+．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为 吨．14. ()()4121x x -+的展开式中，3x 的系数为 ．15.已知l 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线，l 与圆()222x c y a-+=（其中222c a b =+）相交于,A B 两点，若AB a =，则C 的离心率为 ．16.如图，一张4A 纸的长、宽分别为,2a ．,,,A B C D 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线掀折起，使得1234,,,P P P P 四点重合为一点P ，从而得到一个多面体．关于该多面体的下列命题，正确的是 ．（写出所有正确命题的序号） ①该多面体是三棱锥； ②平面BAD ⊥平面BCD ；③平面BAC ⊥平面ACD ； ④该多面体外接球的表面积为25a π三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()2cos cos cos sin A C A C B -+= ．（1）证明：,,a b c 成等比数列；（2）若角B 的平分线BD 交AC 于点D ，且6,2BAD BCD b S S ∆∆==，求BD ． 18.如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的多面体中，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，0//,,60,244AD BC AB CD ABC BC AF AD DE =∠=====．（1）请在图中作出平面α，使得DE α⊂，且//BF α，并说明理由； （2）求直线EF 和平面BCE 所成角的正弦值．19.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记为0分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示.（1）求,,a b c 的值；（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中选取10人进行座谈．现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望()E ξ； （3）某评估机构以指标M （()()E M D ξξ=，其中()D ξ表示ξ的方差）来评估该校安全教育活动的成效．若0.7M ≥，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？20. ABC ∆中，O 是BC 的中点，BC =，其周长为6+，若点T 在线段AO 上，且2AT TO =．（1）建立合适的平面直角坐标系，求点T 的轨迹E 的方程；（2）若,M N 是射线OC 上不同两点，1OM ON = ，过点M 的直线与E 交于,P Q ，直线QN 与E 交于另一点R ．证明：MPR ∆是等腰三角形． 21. 已知函数()()ln 11,f x mx x x m R =+++∈．（1）若直线l 与曲线()y f x =恒相切于同一定点，求l 的方程； （2）当0x ≥时，()xf x e ≤，求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的方程为4cos ρθ=． （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）当()0,ϕπ∈时，l 与C 相交于,P Q 两点，求PQ 的最小值． 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()124f x x x =++-． （1）解关于x 的不等式()9f x <；（2）若直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．试卷答案一、选择题1-5: ABBAD 6-10: CDADD 11、12：AB二、填空题16. ①②③④ 三、解答题17.解法一:（1）因为()2cos cos cos sin A C A C B -+= ，所以()2cos cos cos cos sin sin sin A C A C A C B --= ，化简可得2sin sin sin A C B =，由正弦定理得，2b ac =，故,,a b c 成等比数列. （2）由题意2BAD BCD S S ∆∆=，得11sin 2sin 22BA BD ABD BC BD CBD ∠=⨯∠ ， 又因为BD 是角平分线，所以ABD CBD ∠=∠，即sin sin ABD CBD ∠=∠， 化简得，2BA BC =，即2c a =.由（1）知，2ac b =，解得a c == 再由2BAD BCD S S ∆∆=得，11222AD h CD h ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭（h 为ABC ∆中AC 边上的高）， 即2AD CD =，又因为6AC =，所以4,2AD CD ==. 【注】利用角平分线定理得到4,2AD CD ==同样得分，在ABC ∆中由余弦定理可得，222cos2b c a A bc +-===在ABD ∆中由余弦定理可得，2222cos BD AD AB AD AB A =+-，即(22242428BD =+-⨯⨯=，求得BD =解法二：（1）同解法一.（2）同解法一，4,2AD CD ==.在ABC ∆中由余弦定理可得，222cos 2b a c C ab +-==， 在BCD ∆中由余弦定理可得，2222cos BD CD BC CD BC C =+-，即(22222228BD =+-⨯⨯=，求得BD =解法三： （1）同解法一.（2）同解法二，4,2AD CD ==.在ABC ∆中由余弦定理可得，222543cos 2724a cb B ac +-===， 由于2cos 12sin2B B =-，从而可得sin 2B =， 在ABC ∆中由余弦定理可得，222cos 2b a c C ab +-==，求得sin C = 在BCD ∆中由正弦定理可得，sin sin CD BD CBD C =∠，即sin sin CD CBD CBD==∠ 【注】若求得sin A 的值后，在BDA ∆中应用正弦定理求得BD 的，请类比得分. 解法四： （1）同解法一.（2）同解法一，4,2AD CD ==.在BCD ∆中由余弦定理得，(2222214cos 224BD BD BDC BD BD +--∠==⨯⨯，在BDA ∆中由余弦定理得，(2222456cos 248BD BD BDA BDBD+--∠==⨯⨯，因为BDA BDC π∠+∠=，所以有cos cos 0BDC BDA ∠+∠=，故221456048BD BD BD BD--+=，整理得，2384BD =，即BD =18.解：（1）如图，取BC 中点P ，连接,PD PE ，则平面PDE 即为所求的平面α. 显然，以下只需证明//BF 平面α； ∵2,//BC AD AD BC =， ∴//AD BP 且AD BP =， ∴四边形ABPD 为平行四边形， ∴//AB DP .又AB ⊄平面PDE ，PD ⊂平面PDE ， ∴//AB 平面PDE .∵AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， ∴//AF DE .又AF ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， ∴//AF 平面PDE ，又AF ⊂平面,ABF AB ⊂平面,ABF AB AF A ⋂=， ∴平面//ABF 平面PDE . 又BF ⊂平面ABF ，∴//BF 平面PDE ，即//BF 平面α.（2）过点A 作AG AD ⊥并交BC 于G ， ∵AF ⊥平面ABCD ，∴,AF AG AF AD ⊥⊥，即,,AG AD AF 两两垂直，以A 为原点，以,,AG AD AF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -.在等腰梯形ABCD 中，∵060,24ABG BC AD ∠===，∴1,BG AG ==则))1,0,BC-.∵44AF DE ==，∴()()0,2,1,0,0,4E F ，∴()()0,4,0,BC BE ==.设平面BCE 的法向量(),,n x y z =，由00n BC n BE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得4030y y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取x =BCE的一个法向量)n =.设直线EF 和平面BCE 所成角为θ，又∵()0,2,3EF =-，∴sin cos ,n EF θ===，故直线EF 和平面BCE所成角的正弦值为26. 19.解：（1）由频率分布直方图可知，得分在[)20,40的频率为0.005200.1⨯=， 故抽取的学生答卷数为：6600.1=， 又由频率分布直方图可知，得分在[]80,100的频率为0.2， 所以600.212b =⨯=，又2460b a b +++=，得30a b +=， 所以18a =.180.0156020c ==⨯.（2）“不合格”与“合格”的人数比例为24：36=2：3， 因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人. 所以ξ有20，15，10，5，0共5种可能的取值.ξ的分布列为：()()()431226646444410101018320,15,1014217C C C C C P P P C C C ξξξ=========，()()134644441010415,035210C C C P P C C ξξ======. ξ的分布列为：所以()20151050121421735210E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由（2）可得()()()()()()2222218341201215121012512012161421735210D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，所以()()120.750.716E M D ξξ===>，故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案. 20.解法一：（1）以O 为坐标原点，以BC的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy .依题意得,B C ⎛⎫⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由6AB AC BC ++=+6AB AC +=， 因为故6AB AC BC +=>，所以点A 的轨迹是以,B C 为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），所以A 的轨迹方程为()2221399x y x +=≠±. 设()()00,,,A x y T x y ，依题意13OT OA =，所以()()001,,3x y x y =，即0033x x y y =⎧⎨=⎩， 代入A 的轨迹方程222199x y +=得，()()22323199x y +=，所以点T 的轨迹E 的方程为()22211x y x +=≠±.（2）设()()()()()1122331,0,,0,1,,,,,,M m N m Q x y P x y R x y m ⎛⎫≠⎪⎝⎭. 由题意得直线QM 不与坐标轴平行， 因为11QM y k x m =-，所以直线QM 为()11y y x m x m=--， 与2221x y +=联立得，()()()22222211111122120mmx x m x x mx x m x +---+--=，由韦达定理2221111221212mx x m x x x m mx --=+-，同理222222111*********111122121112x x x mx m x x m m x x x x m mx x m m ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===+-⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以23x x =或10x =， 当23x x =时，PR x ⊥轴， 当10x =时，由()()2112212112m x x x mmx -+=+-，得2221mx m =+，同理3222122111m m x x m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，PR x ⊥轴.因此MP MR =，故MPR ∆是等腰三角形. 解法二：（1）以O 为坐标原点，以BC的方向为x 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy .依题意得,22B C ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 在x轴上取12,F F ⎛⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为点T 在线段AO 上，且2AT TO =， 所以12//,//FT AB F T AC ，则()1212116233FT F T AB AC F F +=+=⨯=>= 故T 的轨迹是以12,F F 为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点）， 所以点T 的轨迹E 的方程为()22211x y x +=≠±.（2）设()()()1,0,,0,1,M m N n m n m ⎛⎫≠=⎪⎝⎭，()()()112233,,,,,Q x y P x y R x y ， 由题意得，直线QM 斜率不为0，且()01,2,3i y i ≠=，故设直线QM 的方程为：x t y m =+ ，其中11x mt y -=， 与椭圆方程2221x y +=联立得，()2222210t y mty m +++-=，由韦达定理可知，212212m y y t -=+ ，其中()22221211122112222x m x mx m y t y y --+++=+=，因为()11,Q x y 满足椭圆方程，故有221121x y +=，所以22121122mx m t y -++=. 设直线RN 的方程为：x sy n =+，其中11x ns y -=， 同理222113221121,22nx n n y y s s y -+-=+=+ ， 故()()()()()()222222212222231321122211222m m s m s y y y t n y y y n t t s --+++====---+++ 222121212211211221111212nx n m m x y m m mx m mx my -+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-=-=--+-+ ， 所以23y y =-，即PR x ⊥轴，因此MP MR =，故MPR ∆是等腰三角形.21.解：（1）因为直线l 与曲线()y f x =恒相切于同一定点， 所以曲线()y f x =必恒过定点，由()()ln 11f x mx x x '=+++，令()ln 10x x +=，得0x =， 故得曲线()y f x =恒过的定点为()0,1.因为()()ln 111x f x m x x ⎛⎫'=+++ ⎪+⎝⎭，所以切线l 的斜率()01k f '==， 故切线l 的方程为1y x =+，即10x y -+=.（2）令()()()[)ln 11,0,x x g x e f x e x mx x x =-=--+-∈+∞，()()[)1ln 1,0,1x xg x e m x mx x '=--+-∈+∞+. 令()()[)1ln 1,0,1xx h x e m x mx x =--+-∈+∞+， ()()[)()211,0,,01211xh x e m x h m x x ⎡⎤''=-+∈+∞=-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦. ① 当0m ≤时，因为()0h x '>，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增，故()()()00h x g x h '=≥=， 因为当[)0,x ∈+∞时，()0g x '≥，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增，故()()00g x g ≥=. 从而，当0x ≥时，()xe f x ≥恒成立.② 当102m <≤时， 因为()h x '在[)0,+∞上单调递增，所以()()0120h x h m ''≥=-≥， 故与①同理，可得当0x ≥时，()xe f x ≥恒成立.③ 当12m >时，()h x '在[)0,+∞上单调递增， 所以当0x =时，()h x '在[)0,x ∈+∞内取得最小值()0120h m '=-<. 取410x m =->，因为()()()22111111111xh x e m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤'=-+≥+-+⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以()1111141440164284h m m m '-≥-->⨯-->， 前述说明在()0,41m -内，存在唯一的()00,41x m ∈-，使得()00h x '=，且当[]00,x x ∈时，()0h x '≤，即()h x 在[]00,x 上单调递减，所以当[]00,x x ∈时，()()()00h x g x h '=≤=， 所以()g x 在[]00,x 上单调递减，此时存在00x x =>，使得()()000g x g <=，不符合题设要求. 综上①②③所述，得m 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.说明：③也可以按以下方式解答： 当12m >时，()h x '在[)0,+∞上单调递增， 所以当0x =时，()h x '在[)0,x ∈+∞内取得最小值()0120h m '=-<，当x →+∞时，()211,011xe m x x ⎡⎤→+∞-+→⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，所以()h x '→+∞， 故存在()00,x ∈+∞，使得()00h x '=，且当()00,x x ∈时，()0h x '<， 下同前述③的解答.22.解一：（1）由直线l 的参数方程3cos 1sin x t y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t 得，()()3sin 1cos 0x y ϕϕ---=，即直线l 的普通方程为()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=， 由圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，得()24cos 0*ρρθ-=，将222cos x x y ρθρ=⎧⎨+=⎩代入(*)得， 2240x y x +-=， 即C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）将直线l 的参数方程代入()2224x y -+=得，()22cos sin 20t t ϕϕ++-=，()24cos sin 80ϕϕ∆=++>，设,P Q 两点对应的参数分别为12,t t ， 则()12122cos sin ,2t t t t ϕϕ+=-+=-，所以12PQ t t =-===因为()()0,,20,2ϕπϕπ∈∈， 所以当3,sin 214πϕϕ==-时，PQ 取得最小值【注：未能指出取得最小值的条件，扣1分】 解法二：（1）同解法一（2）由直线l 的参数方程知，直线l 过定点()3,1M ， 当直线l CM ⊥时，线段PQ 长度最小. 此时()223212CM=-+=，PQ ===所以PQ 的最小值为解法三： （1）同解法一（2）圆心()2,0到直线()()sin cos cos 3sin 0x y ϕϕϕϕ-+-=的距离，cos sin 4d πϕϕϕ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又因为()0,ϕπ∈， 所以当34ϕπ=时，d又PQ == 所以当34ϕπ=时，PQ 取得最小值23.解：（1）()33,11245,1233,2x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-≥⎩.①当1x ≤-时，由不等式339x -+<，解得2x >-. 此时原不等式的解集是：{|21x x -<≤-.②当12x -<<时，由不等式59x -+<，解得4x >-. 此时原不等式的解集是：{}|12x x -<<.③当2x ≥时，由不等式339x -<，解得4x <， 此时原不等式的解集是：{}|24x x ≤<. 综上可得原不等式的解集为()2,4-.（2）由（1）可得，函数()f x 的图像是如下图所示的折线图. 因为()()()min 16,23f f x f -===，故当36m <≤时，直线y m =与曲线()y f x =围成一个三角形， 即m 的范围是(]3,6. 【注：范围正确，不倒扣】 且当6m =时，()()max 1316362S =+-=.。
2017福建省质检数学答案
(n 2)t ， （*）
t ，解得 t 2 ； 0 ，此时 t R ；
（ⅰ）当 n 1 时，不等式（*）可化为 2 （ⅱ）当 n 2 时，不等式（*）可化为 0 （ⅲ）当 n
3 时，不等式（*）可化为 t 2n ，因为数列 2n 是递增数列，所以 t
8.
综上， t 的取值范围是 2 ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 8 . ·
①-②，得 an 2an 2an1 ，即 an 2an1 ，所以 an 2n 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 由数列 bn 的前三项和为 3 ，得 3b2 3 ，所以 b2 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 设数列 bn 的公差为 d ，则 b3 1 d , b5 1 3d ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 又因为 b32 b2b5 ，所以 (1 d )2 1 3d ， 解得 d 1 或 d 0 （舍去） ，所以 bn n 1 ．· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ） ，可知 an 2n 1 ， bn n 1 ，从而 anbn (n 1) 2n1 ， 令 Tn a1b1 a2b2 即 Tn 1 21 2 22
福建省莆田市2017届高三下学期质量检查考试(理)(word版,附答案)
福建省莆田市2017届高三下学期质量检查考试（理）第I 卷（选择题，共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求）： 1．()⎰=-21dx x （ ）A ．1-B ．1C ．0D ．2 2．复数ii 4334-+()为虚数单位i 的共轭复数对应的点位于复平面内（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如果复数222(32)z a a a a i =+-+-+为纯虚数，那么实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1 C ．2 D ．21-或4．函数23)(23++=x ax x f ，若4)1(=-'f ，则a 的值等于( )A ．193B ．163C ．133D ．1035．下列函数求导运算正确的个数为( ) ①()e xx3log 33='；②()2ln 1log 2x x ='③()x x e e ='；④x x ='⎪⎭⎫ ⎝⎛ln 1；⑤1)(+='⋅xx e e xA ．1B ．2C ．3D ．46．设函数()y fx =的图像如图，则导函数'()y f x =的图像可能是下图中的( )7．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）B.C.D.8．若直线kx y =与曲线3232y x x x =-+相切，则k 的值为（ ）A ．23 B ．230或 C ．2或41- D ．2 9．若函数1ln 21)(2+-=x x x f 在其定义域内的一个子区间)1,1(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ）A ．[)+∞,1 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡23,1 C ．[)2,1+ D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,23 10．若12()2(),f x x f x dx =+⎰则1()f x dx =⎰（ ）A. 1-B.13- C.13D.1 11．平面几何中，若△ABC 的内切圆半径为r ，其三边长分别为,,,c b a 则△ABC 的面积r c b a S ⋅++=)(21。
福建省厦门市2017届高三数学3月质量检测试题理201703200314
集网塔密備糖华汇名枚召師力作Q 书帀II 华教肓网 J WWW.SHULiHUANET厦门市2017届高中毕业班第一次质量检查数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60 分）、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要=lx x 2「5x -6 _ 0 f , B = xx -1其中正确的是1 10 ，贝U A"B 等于1.已知集合AA. [ -1,6]B.(1,6] C.[2,3]2.已知复数z a i a i（其中i 为虚数单位）， 1 -i若Z 为纯虚数，则实数a 等于A. -1B.C.D.3. . ABC 的内角A , B b , c ，若 Aa =J 2,b =<3，贝U B 等于A. 304.若实数X,5.已知平面:- ①若n//l , B. 60C.x _1y 满足条件 x _2y3_0,贝U ；y-xB.1 C.2_平面：， :-n ：=I，直线m 则m _ ：②30 或 150 D.—的最小值为D.60 或120二：；直线n :，且m _ n ，有以下四个结论:③m _ :和n _ ： •同时成立m _ :和n _ ：-中至少有一个成立集网塔密備糖华汇名枚召師力作A.①③B .①④6 .已知Rt ABC ，点D 为斜边BC 的中点,C.②③ D AB =6、广3 , AC =6 , ②④AE 二-ED ，则 AE EB 等2A.-14B. 一9C. D.14谈，则3人中既有男生又有女生的概率是10.已知定义在(0「：)上连续可导的函数 f(x)满足xf '(x) f(x) = x ，且f(1)=1，则 A. f (x)是增函数 B. f (x)是减函数 C. f (x)有最大值1 D. f(x)有最小值12 2x y11.已知双曲线 —-=1(a,b 0),过x 轴上点P 的直线丨与双曲线的右支交于 M , N 两点(M处书涮华教肓网 匸 p WWW,SHULIHUA,NET隼网塔密備赭华汇各枚召師力作7.抛物线y 2 =4x 的焦点为F , 占 八A(3,2)，P 为抛物线上一点，且 P 不在直线 AF 上U APAF 周 长的最小值为 A. 4B.C.4+2、、2D.5+. 58.某校高三年级有男生 220人, 学籍编号 1 , 2，…，220;女生380人，学籍编号 221, 222,…,600.为了解学按学籍编号采用系统抽样的方法从这 600名学生中抽取10人进行 问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为 10)，然后再从这10位学生中随机抽取 3人座A.-5B.3 10C.7 10D.9.二分法是求方程近似解的一种方法, 其原理是 “一分为二，无限逼近” .执行如图所示的程序框图, 若输入 人=1, x 2 =2，d =0.1，则输出n 的值为D. 5C.4A.2B.3a b在第一象限)，直线MO交双曲线左支于点Q ( O为坐标原点)，连接QN .若.MPO =60 ,.MNQ =30，则该双曲线的离心率为X o ，则的最小值是17. （本小题满分12分）（I ）求证：数列 丄 为等差数列;l an j丄-丄 +川+—1— -—1—，求 T 2n.a 1a2a 2a3a 3a4a 4a5a2n 4a 2na2n a2n 1I®书帀II 华教肓网WWW,SHULIHUA,NET集网塔密廳赭华汇各枚各II 帀力作B.C.D.12 .已知P , Q 为动直线y = m （0 ::: m ：：： -^）与y = sin x 和y = cosx 在区间［。
福建省三明市2017届高三下学期普通高中毕业班5月质量
2017年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|1216}x A x =<≤，{|}B x x a =<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4a >B ．4a ≥C ．0a ≥D ．0a > 2．已知i 是虚数单位，则复数134ii-++的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．6名同学合影留念，站成两排三列，则其中甲乙两人不在同一排也不在同一列的概率为（ ） A ．15 B ．25 C ．49 D ．454．设12,F F 为双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点，P 为Γ上一点，2PF 与x轴垂直，直线1PF 的斜率为34，则双曲线Γ的渐近线方程为（ ）A ．y x =±B ．y =C ．y =D ．2y x =±5．执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为2，则输出S 的值为（ ）A ．64B ．84C ．340D ．13646．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()*12n n n a a n N +=∈，则2016S =（ ）A ．1008323-B ．201621-C ．200923-D ．200823-7．已知函数()()()sin 2cos f x x x ϕϕ=+-+()0ϕπ<<的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=（ ）A ．35 B ．35- C ．45 D ．45- 8．在区域()0,|11x x y x y x y ⎧≥⎫⎧⎪⎪⎪Ω=+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭中，若满足0ax y +>的区域面积占Ω面积的13，则实数a 的值是（ ） A ．23 B ．12 C ．12- D ．23- 9．在四面体ABCD 中，若AB CD ==2AC BD ==，AD BC =则直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ） A ．13-B ．14-C ．14D ．13 10．函数2||1||()2x x n x f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF与圆222x y b +=相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则22a e b+（其中e 为椭圆C 的离心率）的最小值为（ ） AB．4 C．412．“牟合方盖”是我国古代数学家刘微在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．如图，正边形ABCD 是为体现其直观性所作的辅助线，若该几何体的正视图与侧视图都是半径为r 的圆，根据祖暅原理，可求得该几何体的体积为（ ）A ．383r B ．383r π C ．3163r D ．3163r π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量,a b满足)a =，||1b =，且a b λ=，则实数λ= ．14．()()511ax x ++的展开式中2x 的系数是20，则实数a = ．15．已知函数()()2cos f n n n π=，数列{}n a 满足()()1()n a f n f n n N +=++∈，则122n a a a ++= ．16．对于定义域为R 的函数()f x ，若满足①()00f =；②当x R ∈，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当12x x ≠，且()()12f x f x =时，120x x +<，则称()f x 为“偏对称函数”．现给出四个函数：()211()(0)2120(0)xx x g x x ⎧+≠⎪=-⎨⎪=⎩；()()11(0)2(0)n x x h x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪⎩；()3232x x x φ=-+；()1x x e x ϕ=--．则其中是“偏对称函数”的函数个数为 ．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且60B =，4c =． （Ⅰ）若6b =，求角C 的正弦值及ABC ∆的面积；（Ⅱ）若,D E 在线段BC 上，且BD DE EC ==，AE =，求AD 的长． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=， 2AD AP ==，AB DP ==，E 为CD 的中点，点F 在线段PB 上．（Ⅰ）求证：AD PC ⊥；（Ⅱ）试确定点F 的位置，使得直线EF 与平面PDC 所成的角和直线EF 与平面ABCD 所成的角相等．19．某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[]0,2,(2,4],,(14,16]分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图．（Ⅰ）假设用抽到的100户居民月用水量作为样本估计全市的居民用水情况．（ⅰ）现从全市居民中依次随机抽取5户，求这5户居民恰好3户居民的月用水用量都超过12吨的概率；（ⅱ）试估计全市居民用水价格的期望（精确到0.01）；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2016年1～6月份的月用水费y （元）与月份x 的散点图，其拟合的线性回归方程是233y x ∧=+．若李某2016年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的用水吨数．20．已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的右焦点(1,0)F ，椭圆Γ的左，右顶点分别为,M N ．过点F 的直线l 与椭圆交于,C D 两点，且MCD ∆的面积是NCD ∆的面积的3倍．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）若CD 与x 轴垂直，,A B 是椭圆Γ上位于直线CD 两侧的动点，且满足ACD BCD ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．21．已知函数22()(21)x f x e ax x =+-，a R ∈．（Ⅰ）当4a =时，求证：过点(1,0)P 有三条直线与曲线()y f x =相切； （Ⅱ）当0x ≤时，()10f x +≥，求实数a 的取值范围．请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目记分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极cos()204πθ--=，曲线C 的极坐标方程为：2sin cos ρθθ=，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线1C ． （Ⅰ）求曲线1C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知直线l 与曲线1C 交于,A B 两点，点(2,0)P ，求||||PA PB +的值． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||21|f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）当3a =时，求关于x 的不等式()6f x ≤的解集； （Ⅱ）当x R ∈时，2()13f x a a ≥--，求实数a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5:ADBCB 6-10:AACDD 11、12：CC二、填空题13．2± 14．2 15．2n - 16．2三、解答题17．解：（Ⅰ）60B =，4c =，6b =，在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b cB C=， 得34sin 32sin 6c BC b===， 又b c >，所以B C >，则C 为锐角，所以cos C =则sin sin()A B C =+=sin cos cos sin B C B C +613322+=+=， 所以ABC ∆的面积1323sin 122S bc A +===． （Ⅱ）设BD x =，则2BE x =，AE =，又60B =，4c =， 在ABE ∆中，由余弦定理得2212164242cos60x x x =+-， 即28168x x =-，解得1x =，则2BE =，所以90AEB ∠=， 在直角ADE ∆中，AD==．18．解：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，连接AC ，因为AB =2BC =，45ABC ∠=，由余弦定理得2842222cos454AC =+-=，得2AC =， 所以90ACB ∠=，即BC AC ⊥，又//ADBC ， 所以AD AC ⊥，又2AD AP ==，DP =PA AD ⊥，AP AC A =，所以AD ⊥平面PAC ，所以AD PC ⊥．（Ⅱ）侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥，所以PA ⊥底面ABCD ，所以直线,,AC AD AP 两两互相垂直，以A 为原点，直线,,AC AD AP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则(0),(20),(0,2)A D C-(2,0)(1,10),(0,2)B E P-，所以(0,2,2)PC =-，(2,0,2)PD =--，(2,2,2)PB =-， 设([0,1])PFPBλλ=∈， 则(2,2,2)PF λλλ=-，(2,2,22)F λλλ-+， 所以(21,21,22)EF λλλ=+--+， 易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)m =． 设平面PDC 的法向量为(,,)n x y z =， 由0n PC =，0n PD =，得220220y z x z -=⎧⎨--=⎩，令1x =，得(1,1,1)n =-．因为直线EF 与平面PDC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等， 所以|cos ,||cos ,|EF m EF n <>=<>，即||||||||||||EF m EF n EF m EF n =，所以|22||λ-+=，1||31|λλ-=-，解得3λ=，所以3PF PB =．19．解：（Ⅰ）（ⅰ）由题意，从全市居民中依次随机抽取5户，每户居民月用水量超过12吨的概率为110，因此这5户居民恰好3户居民的月用水量都超过12吨的概率为 33251981()()101010000P C ==．（ⅱ）由题设条件及月均用水量的频率分布直方图，可得居民每月的水费数据分组与概率分布表如下：所以全市居民用水价格的期望()40.9 4.20.06 4.60.04 4.04E X =⨯+⨯+⨯≈吨． （Ⅱ）设李某2016年1～6月份的月用水费y （元）与月份x 的对应点为(,)(1,2,3,4,5,6)i i x y i =，它们的平均值分别为,x y ，则126216x x x x +++==，又点(,)x y 在直线233y x ∧=+上，所以40y =，因此126240y y y ++=，所以7月份的水费为294.624054.6-=元．设居民月用水量为t 吨，相应的水费为()f t 元，则4012()48(12) 6.6121461.2(14)7.81416t t f t t t t t <≤⎧⎪=+-⨯<≤⎨⎪+-⨯<≤⎩，即4012()2 6.631.212147.8481416t t f t t t t t <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩， 当13t =时，() 6.61331.254.6f t =⨯-=， 所以李某7月份的用水吨数约为13吨．20．解法一：（Ⅰ）因为MCD ∆的面积是NCD ∆的面积的3倍， 所以3MF NF =，即3()a c a c +=-，所以22a c ==，所以23b =，则椭圆Γ的方程为22143x y +=．（Ⅱ）当ACD BCD ∠=∠，则0AC BC k k +=， 设直线AC 的斜率为k ，则直线BC 的斜率为k -， 不妨设点C 在x 轴上方，3(1,)2C ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则AC 的直线方程为3(1)2y k x -=-，代入22143x y +=中整理得22(34)4(23)k x k k x +--241230k k +--=，124(23)1(34)k k x k -+=+；同理224(23)1(34)k k x k ++=+．所以212286(34)k x x k -+=+，12224(34)k x x k --=+， 则12121212()212AB y y k x x k k x x x x -+-===--，因此直线AB 的斜率是定值12． 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）依题意知直线AB 的斜率存在，所以设AB 方程：y kx m =+代入22143x y +=中整理得222(43)84120k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，所以122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+， 2222644(43)(412)k m k m ∆=-+-2216(1239)0k m =-+>当ACD BCD ∠=∠，则0AC BC k k +=，不妨设点C 在x 轴上方，3(1,)2C ，所以12123322011y y x x --+=--，整理得121232()()2302kx x m x x m +-+-+=，所以2241232()432m k m k -+-+28()23043km m k --+=+， 整理得21212(2)960k m k m +-+-=，即(63)(223)0k k m -+-=，所以2230k m +-=或630k -=． 当2230k m +-=时，直线AB 过定点3(1,)2C ，不合题意；当630k -=时，12k =，符合题意， 所以直线AB 的斜率是定值12．21．解法一：（Ⅰ）当4a =时，22()(421)x f x e x x =+-，22()2(421)x f x e x x '=+-+222(82)2(46)x x e x e x x +=+设直线与曲线()y f x =相切，其切点为00(,())x f x ，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-， 因为切线过点(1,0)P ，所以000()()(1)f x f x x '-=-， 即02200(421)x ex x -+-=0220002(46)(1)x e x x x +-，∵020x e >，∴30081410x x -+=， 设3()8141g x x x =-+，∵(2)350g -=-<，(0)10g =>，(1)50g =-<，(2)370g => ∴()0g x =在三个区间(2,0),(0,1),(1,2)-上至少各有一个根又因为一元三次方程至多有三个根，所以方程381410x x -+=恰有三个根， 故过点(1,0)P 有三条直线与曲线()y f x =相切．（Ⅱ）∵当0x ≤时，()10f x +≥，即当0x ≤时，22(21)0x e ax x +-≥∴当0x ≤时，221210xax x e +-+≥， 设221()21x h x ax x e =+-+，则22211()222(1)x x h x ax ax e e '=+-=+-，设21()1x m x ax e =+-，则21()x m x a e'=+．（1）当2a ≥-时，∵0x ≤，∴222x e≥，从而()0m x '≥（当且仅当0x =时，等号成立）∴21()1x m x ax e=+-在(,0]-∞上单调递增，又∵(0)0m =，∴当0x ≤时，()0m x ≤，从而当0x ≤时，()0h x '≤，∴221()21xh x ax x e =+-+在(,0]-∞上单调递减，又∵(0)0h =， 从而当0x ≤时，()0h x ≥，即221210x ax x e+-+≥于是当0x ≤时，()10f x +≥．（2）当2a <-时，令()0m x '=，得220x a e +=，∴121()02x n a=-<， 故当12(1(),0]2x n a ∈-时，222()()0x x a m x e e a'=+<，∴21()1x m x ax e =+-在12(1(),0]2n a-上单调递减，又∵(0)0m =，∴当12(1(),0]2x n a∈-时，()0m x ≥，从而当12(1(),0]2x n a∈-时，()0h x '≥，∴221()21x h x ax x e =+-+在12(1(),0]2n a-上单调递增，又∵(0)0h =，从而当12(1(),0)2x n a ∈-时，()0h x <，即221210x ax x e +-+<于是当12(1(),0]2x n a∈-时，()10f x +<，综合得a 的取值范围为[2,)-+∞．解法二：（Ⅰ）当4a =时，22()(421)x f x e x x =+-，22()2(421)x f x e x x '=+-+222(82)2(46)x x e x e x x +=+，设直线与曲线()y f x =相切，其切点为00(,())x f x ，则曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，因为切线过点(1,0)P ，所以000()()(1)f x f x x '-=-， 即02200(421)x ex x -+-=0220002(46)(1)x e x x x +-，∵020x e >，∴30081410x x -+=设3()8141g x x x =-+，则2()2414g x x '=-，令()0g x '=得x =当x 变化时，()g x ，()g x '变化情况如下表：∴381410x x -+=恰有三个根，故过点(1,0)P 有三条直线与曲线()y f x =相切． （Ⅱ）同解法一．22．解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为2y x =， ∴1C 的直角坐标方程为22(1)y x =-． （Ⅱ）由直线l cos()204πθ--=，得cos sin 20ρθρθ+-=所以直线l 的直角坐标方程为：20x y +-=，又点(2,0)P 在直线l 上，所以直线l 的参数方程为：222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入1C 的直角坐标方程得240t +-=， 设,A B 对应的参数分别为12,t t ，∴121281604t t t t ∆=+>⎧⎪+=-⎨⎪=-⎩1212||||||||||PA PB t t t t +=+=-===．23．解：（Ⅰ）当3a =时，不等式()6f x ≤为|23||21|6x x -+-≤若12x <时，不等式可化为(23)(21)446x x x ----=-+≤，解得1122x -≤<， 若1322x ≤≤时，不等式可化为(23)(21)26x x --+-=≤，解得1322x ≤≤， 若32x >时，不等式可化为(23)(21)446x x x -+-=-≤，解得3522x <≤，综上所述，关于x 的不等式()6f x ≤的解集为15|22x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭．（Ⅱ）当x R ∈时，()|2|21|f x x a x =-+-≥|212||1|x a x a -+-=-， 所以当x R ∈时，2()13f x a a ≥--等价于2|1|13a a a -≥--， 当1a ≤时，等价于2113a a a -≥--，解得1a ≤≤， 当1a >时，等价于2113a a a -≥--，解得11a <≤+ 所以a的取值范围为[．。
福建省质检数学(理)(含答案)word版
2017年福建省普通高中毕业班质量检查理 科 数 学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面上，复数(2i)i z =-+的对应点所在象限是 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．平面向量()2,1=a ，(),2m =-b ，若a 与b 共线，则m 的值为（ ） A ．1- B ．4- C ．1 D ．43．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程是20x y ±=，则其离心率为（ ）A B ．2C D ．54．若集合2{|20}A x x x =--<，{|2}B x x a =-<<， 则“A B ≠∅ ”的充要条件是 A ． 2a >- B ．2a ≤- C ．1a >- D ．1a ≥-5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x的值是A ．2B ．92 C ．32D ．3 6．已知{}n a 是公差为2的等差数列，且134,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前9项和等于A ．0B ．8C ．144D ．1627．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是A ．2或22B ．22或22-C ．2-或22-D ．2或22- 8．设0>a ，若关于x 的不等式51≥-+x ax 在）∞+∈,1(x 恒成立， 则a 的最小值为A ． 16B ． 9C ．4D ． 29．有3个男生和3个女生参加某公司招聘，按随机顺序逐个进行面试，那么任何时候等待面试的女生人数都不少于男生人数的概率是A ．12B ．14C ．124D ．114410．定义在R 上的函数()f x 及其导函数()f x ' 的图象都是连续不断的曲线，且对于实数,()a b a b <，有()0,()0f a f b ''><．现给出如下结论：①00[,],(=0x a b f x ∃∈）；②00[,],(()x a b f x f b ∃∈>）；③00[,],(()x a b f x f a ∀∈≥）；④00[,],(()()()x a b f a f b f x a b '∃∈->-）. 其中结论正确的个数是A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置． 11．()2321d xx -+=⎰ .12．523)1(xx +展开式的常数项是 ．13．圆C 过坐标原点，圆心在x 轴的正半轴上．若圆C 被直线0x y -=截得的弦长为22,则圆C 的方程是__________．14．在平面直角坐标系中，不等式组20,20,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（0>a ）表示的平面区域的面积为5，直线mx-y+m=0过该平面区域，则m 的最大值是 .15．对于非空实数集A ，记*{,}A y x A y x =∀∈≥．设非空实数集合P M ⊆，若1>m 时，则P m ∉． 现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有**M P ⊆； ②对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有*M P ⋂≠∅； ③对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有*M P ⋂=∅；④对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必存在常数a ，使得对任意的*b M ∈，恒有*a b P +∈， 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分13分)阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+------①sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-------②由①+② 得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=------③令,A B αβαβ+=-= 有,22A B A Bαβ+-== 代入③得 sin sin 2sin cos 22A B A BA B +-+=. (Ⅰ) 类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:cos cos 2sinsin 22A B A B A B +--=-; (Ⅱ)若ABC ∆的三个内角,,A B C 满足cos 2cos 21cos 2A B C -=-,试判断ABC ∆的形状. (提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)17. (本小题满分13分)在直角梯形ABCD 中，AD //BC ，22BC AD AB ===90ABC ∠=,如图（1）．把ABD ∆沿BD 翻折，使得平面BCD ABD 平面⊥. （Ⅰ）求证：CD AB ⊥；（Ⅱ）若点M 为线段BC 中点，求点M 到平面ACD 的距离；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ？若存在，求出BCBN的值；若不存在，说明理由．18. (本小题满分13分)2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：(Ⅰ)写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E （ξ）． 19. (本小题满分13分)已知12(1,0),(1,0)F F -为平面内的两个定点，动点P 满足12PF PF +=记点P 的轨迹为曲线Γ．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设点O 为坐标原点，点A ，B ，C 是曲线Γ上的不同三点，且0OA OB OC ++=．（ⅰ）试探究：直线AB 与OC 的斜率之积是否为定值？证明你的结论；（ⅱ）当直线AB 过点1F 时，求直线AB 、OC 与x 轴所围成的三角形的面积． 20．(本小题满分14分)设函数)(x f 的图象是由函数21cos sin 3cos )(2-+=x x x x g 的图象经下列两个步骤变换得到： （1）将函数)(x g 的图象向右平移12π个单位，并将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()h x 的图象；（2）将函数()h x 的图象上各点的纵坐标缩短为原来的1(0)2m m <<倍（横坐标不变），并将图象向上平移1个单位，得到函数)(x f 的图象． （Ⅰ）求)(x f 的表达式；（Ⅱ）判断方程x x f =)(的实根的个数，证明你的结论；（Ⅲ）设数列}{n a 满足)(,011n n a f a a ==+，试探究数列}{n a 的单调性，并加以证明．21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知向量11⎛⎫⎪-⎝⎭在矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101m M 变换下得到的向量是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求曲线02=+-y x y 在矩阵1M-对应的线性变换作用下得到的曲线方程．（2）（本小题满分7分) 选修4—4：极坐标与参数方程在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已知点M 的极坐标为(,)4π，曲线C的参数方程为1,(x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）． （Ⅰ）求直线OM 的直角坐标方程；（Ⅱ）求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值． （3）（本小题满分7分) 选修4—5：不等式选讲 设实数,a b 满足29a b +=．（Ⅰ）若93b a -+<，求x 的取值范围； （Ⅱ）若,0a b >，且2z a b =，求z 的最大值．2017年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．C ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．A ； 7．D ； 8．C ； 9．B ； 10．B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分．11．4 ； 12．10； 13．()2224x y -+=； 14．43； 15．①④．三、解答题：本大题共6小题，共80分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.本小题主要考查两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分13分．解法一：(Ⅰ)证明:因为cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-，------①cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，------②……………………………………………2分①-② 得cos()cos()2sin sin αβαβαβ+--=-.------③………………………………3分令,A B αβαβ+=-=有,22A B A Bαβ+-==， 代入③得cos cos 2sin sin 22A B A BA B +--=-.………………………………………6分 (Ⅱ)由二倍角公式,cos 2cos 21cos 2A B C -=-可化为22212sin 12sin 112sin A B C --+=-+,……………………………………………9分 所以222sin sin sin A C B +=.……………………………………………10分设ABC ∆的三个内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，由正弦定理可得222a cb +=.…………………………………………12分根据勾股定理的逆定理知ABC ∆为直角三角形.……………………………………………13分 解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式,cos 2cos 21cos 2A B C -=-可化为()()22sin sin 112sin A B A B C -+-=-+，……………………………………………8分 因为A,B,C 为ABC ∆的内角，所以A B C π++=，所以()()()2sin sin sin A B A B A B -+-=+. 又因为0A B π<+<，所以()sin 0A B +≠, 所以()()sin sin 0A B A B ++-=.从而2sin cos 0A B =.……………………………………………10分 又sin 0A ≠,所以cos 0B =，故2B π∠=.……………………………………………12分所以ABC ∆为直角三角形. ……………………………………………13分17. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想．满分13分．解法一：（Ⅰ）由已知条件可得2,2,BD CD ==BD CD ⊥．………………………………2分 ∵平面BCD ABD 平面⊥，BD BCD ABD =⋂平面平面． ∴BD A CD 平面⊥．……………………………………3分又∵ABD AB 平面⊂，∴CD AB ⊥．……………………………………4分（Ⅱ）以点D 为原点，BD 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得(1,0,1),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,0),A B C D(1,1,0)M ．∴(0,2,0),(1,0,1)CD AD =-=--．………………6分设平面ACD 的法向量为),,(z y x =， 则⊥⊥,∴0,0,y x z =⎧⎨+=⎩令1x =，得平面ACD 的一个法向量为)1,0,1(-=，∴点M 到平面ACD的距离n MCd MC⋅== ．……………………………………………8分（Ⅲ）假设在线段BC 上存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60．……………………9分设,01BN BC λλ=<<，则(22,2,0)N λλ-， ∴(12,2,1)AN λλ=--，又∵平面ACD 的法向量)1,0,1(-=且直线AN 与平面ACD 所成角为60，∴0sin 60AN n AN n⋅==，……………………………………………11分 可得01282=-+λλ， ∴2141-==λλ或（舍去）． 综上，在线段BC 上存在点N ，使AN 与平面ACD 所成角为60，此时41=BC BN ．…………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由已知条件可得AD A ⊥B，AB AD ==121=⋅=∆AD AB S ABD ． 由（Ⅰ）知BD A CD 平面⊥，即CD 为三棱锥C-ABD 的高，又CD=2， ∴3231=⋅=∆-ABD ABD C S CD V ， 又∵点M 为线段BC 中点，∴ 点M 到平面ACD 的距离等于点Ｂ到平面ACD 的距离的21，…………………………6分 ∴312121===---ABD C ADC B ADC M V V V ， ∵AD CD ⊥，，∴221=⋅=∆DC AD S ACD ， 设点M 到平面ACD 的距离为d ，则1133ADC d S ∆⋅=，即1133d ⨯=解得d =22，∴设点M 到平面ACD 的距离等于22.…………………………………8分 （Ⅲ）同解法一． 解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）∵点M 为线段BC 中点，∴ 点M 到平面ACD 的距离等于点Ｂ到平面ACD 的距离的21，………………………………6分 由已知条件可得AD A ⊥B ，由（Ⅰ）知CD AB ⊥， 又AD CD D = ，∴ CD AB A 平面⊥， ∴点Ｂ到平面ACD 的距离等于线段AB 的长． ∵2=AB ，∴设点M 到平面ACD 的距离等于22……………………………………………8分 （Ⅲ）同解法一．18.本小题主要考查频率分布直方表、随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：(Ⅰ) 众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．……………………………………4分（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为7.50.122.50.337.50.252.50.267.50.182.50.140.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（微克/立方米）．…………………6分因为40.535>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准， 故该居民区的环境需要改进．……………………………………………8分（Ⅲ）记事件A 表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则9()10P A =.………………9分 随机变量ξ的可能取值为0,1,2.且9(2,)10B ξ . 所以2299()()(1)(0,1,2)1010kk k P k C k ξ-==-=，…………………………………………11分 所以变量ξ的分布列为…………………………………………12分11881012 1.8100100100E ξ=⨯+⨯+⨯=（天）,或92 1.810E nP ξ==⨯=（天）. ……………………13分19．本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解法一：（Ⅰ）由条件可知， 点P 到两定点12(1,0),(1,0)F F -的距离之和为定值 所以点P 的轨迹是以12(1,0),(1,0)F F -为焦点的椭圆．…………………………………………2分又a =1c =，所以1b =，故所求方程为2212x y +=．…………………………………………4分（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ．由0OA OB OC ++=，得1230x x x ++=，1230y y y ++=．…………………………5分（ⅰ）可设直线AB 的方程为y kx n =+(0)k ≠，代入2222x y +=并整理得，222(12)4220k x knx n +++-=，依题意，0∆>，则 122412kn x x k +=-+，121222()212ny y k x x n k +=++=+， 从而可得点C 的坐标为2242(,)1212kn n k k -++，12OCk k =-． 因为12AB OC k k ⋅=-，所以直线AB 与OC 的斜率之积为定值．……………………………8分（ⅱ）若AB x ⊥轴时，(1,),(1,22A B --,由0OA OB OC ++= ， 得点(2,0)C ，所以点C 不在椭圆Γ上，不合题意． 因此直线AB 的斜率存在．……………………………9分由（ⅰ）可知，当直线AB 过点1F 时, 有n k =，点C 的坐标为22242(,)1212k kk k-++． 代入2222x y +=得，4222221682(12)(12)k k k k +=++，即22412k k =+，所以2k =±． ……………………………11分（1）当2k =时，由（ⅰ）知，12OC k k ⋅=-，从而2OC k =-．故AB 、OC 及x 轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1，且底边上的高1224h =⨯=，所求等腰三角形的面积11248S =⨯⨯=． （2）当2k =时，又由（ⅰ）知，12OC k k ⋅=-，从而2OC k =， 同理可求直线AB 、OC 与x． 综合（1）（2），直线AB 、OC 与x轴所围成的三角形的面积为8．…………………13分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ．由0OA OB OC ++= 得：1230x x x ++=，1230y y y ++=．………………………5分（ⅰ）因为点11(,)A x y ，22(,)B x y 在椭圆上，所以有：221122x y +=，222222x y +=，两式相减，得12121212()()2()()0x x x x y y y y +-++-=， 从而有1212121212y y y y x x x x -+⋅=--+． 又123y y y +=-，33OC y k x =， 所以12AB OC k k ⋅=-，即直线AB 与OC 的斜率之积为定值．………………………………8分 （ⅱ）同解法一．20．本题考查三角恒等变化、三角函数的图象与性质、零点与方程的根、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等.满分14分.解:(Ⅰ)()211cos 21cos cos 22222x g x x x x x +=-=+- …………………2分1cos 22sin 226x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭…………………………3分 ()sin h x x ∴=,…………………………4分()sin 1f x m x =+.…………………………5分(Ⅱ)方程()f x x =有且只有一个实根. …………………………6分理由如下：由(Ⅰ)知()sin 1f x m x =+，令()()sin 1F x f x x m x x =-=-+,因为()010F =>,又因为102m <<,所以3102222F m πππ⎛⎫=-+<-< ⎪⎝⎭. 所以()0F x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭至少有一个根. …………………………7分 又因为()'1cos 1102F x m x m =-<-<-<, 所以函数()F x 在R 上单调递减,所以函数()F x 在R 上有且只有一个零点，即方程()f x x =有且只有一个实根. …………………………9分(Ⅲ)因为()110,sin 1,n n n a a f a m a +===+211,a a =>所以又3 sin11a m =+，因为012π<<，所以0sin11<<，所以321a a >=． 由此猜测1(2)n n a a n ->≥,即数列{}n a 是单调递增数列. …………………………11分以下用数学归纳法证明:,n N ∈且2n ≥时,10n n a a ->≥成立.(1)当2n =时,211,0a a ==,显然有210a a >≥成立.(2)假设(2)n k k =≥时,命题成立，即10(2)k k a a k ->≥≥．…………………………12分 则1n k =+时,()1sin 1k k k a f a m a +==+， 因为102m <<，所以()111sin 11122k k k a f a m a m π--==+<+<+<． 又sin x 在()0,2π上单调递增，102k k a a π-≤<<，所以1sin sin 0k k a a ->≥，所以1sin 1sin 1k k m a m a -+>+，即111sin sin 1()0k k k k a m a f a a +-->+==≥，即1n k =+时,命题成立. …………………………13分综合(1) ,(2)，,n N ∈且2n ≥时, 1n n a a ->成立.故数列{}n a 为单调递增数列. …………………………14分21．（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．潢分7分．解：（Ⅰ）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111101m m ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1011m ，即m =1．…………………………………………3分（Ⅱ）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011M ，所以11101M --⎛⎫= ⎪⎝⎭．…………………………………4分 设曲线02=+-y x y 上任意一点(,)x y 在矩阵1M -所对应的线性变换作用下的像是(,)x y ''.由1101x x x y y y y '--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ……………………………………………5分 所以,x y x y y '-=⎧⎨'=⎩得,x x y y y ''=+⎧⎨'=⎩代入曲线02=+-y x y 得2y x ''=．………………………6分 由(,)x y 的任意性可知,曲线02=+-y x y 在矩阵1M -对应的线性变换作用下的曲线方程为x y =2. ………………7分（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分7分．解：（Ⅰ）由点M的极坐标为(,)4π得点M 的直角坐标为(,4)４，所以直线OM 的直角坐标方程为y x =．…………………………………………3分（Ⅱ）由曲线C的参数方程1,(x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）化为普通方程为2)1(22=+-y x ，……………………………5分圆心为(1,0),A，半径为r =由于点M 在曲线C 外，故点M 到曲线C 上的点的距离最小值为25-=-r MA ．…………7分（3）(本小题满分7分)选修4－5：不等式选讲本小题主要考查绝对不等式、不等式证明等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）由29a b +=得92b a -=，即|6|2||b a -=． 所以93b a -+<可化为33a <，即1a <，解得11a -<<．所以a 的取值范围11a -<<．…………………………………………4分（Ⅱ）因为,0a b >， 所以23332()()32733a ab a b z a b a a b +++==⋅⋅≤===，…………………………………6分 当且仅当3a b ==时，等号成立．故z 的最大值为27．…………………………………………7分。
2017年福建省莆田市普通高中毕业班质量检查理科数学试
莆田市高中毕业班教学质量检查试卷数学（理科）本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用O．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的标准差锥体体积公式1ShV=3其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V =Sh 24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填涂在答题卡相应位置．1．下列函数中，为奇函数的是（ ）A ．y=x+1B ．y=x 2C ．y=2xD ．y=x|x|2．已知R ∈a ，复数)1)(2(i i a z +-=（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为M ，则“0=a ”是“点M 在第四象限”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若a ＞0，b ＞0，a+b=1，则b a y 11+=的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．54．函数)22sin(π+=x y 图象的一条对称轴方程为（ ） A ．x ＝－π2 B ．4π=-x C ．x ＝π8 D ．x ＝π45．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（ ）A ．12 B ．1 D6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S 的值等于126，则判断框中的①可以是（ ）A ．i>4？B ．i>5？C ．i>6？D ．i>7？7．若直线y=kx －k 交抛物线x y 42=于A ，B 两点，且线段AB 中点到y 轴的距离为3，则AB =（ ）A ．12B ．10C ．8D ．68．学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年段的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，则不同的分配方案共有（ ）A ．20种B ．24种C ．26种D ．30种9．常用以下方法求函数)()]([x g x f y =的导数：先两边同取以e 为底的对数（e≈2．71828…，为自然对数的底数）得ln ()ln ()y g x f x =，再两边同时求导，得'1'()ln ()()[ln ()]'⋅=+⋅y g x f x g x f x y，即()'[()]{'()ln ()()[ln ()]'}g x y f x g x f x g x f x =+⋅．运用此方法可以求函数()x h x x =(x>0)的导函数．据此可以判断下列各函数值中最小的是 ( )A ．1()3h B ．1()h e C ．1()2h D ．2()h e 10．如图，ABC ∆所在平面上的点*()N ∈n P n 均满足∆n P AB 与∆n P AC 的面积比为3；1，1(21)3+=-+ n n n n n x P A P B x P C （其中，{}n x 是首项为1的正项数列），则5x 等于（ ）A ．65B ．63C ．33D ．31第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置．11．集合{}31<<-=x x A ，{}1=<B x x ，则=⋂B A ________．12．某工厂的某种型号的机器的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)的统计资料如下表：根据上表数据可得y 与x 之间的线性回归方程^^7.0a x y +=，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修费用约为 万元．13．向区域201,01,⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪≥⎩x y y x 内随机投点，则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为 ．14．已知圆1:22=+y x O 和双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C ．若对双曲线C 上任意一点A （点A 在圆O 外），均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C 上的菱形ABCD ，则=-2211b a ___________． 15．定义：[]()R ∈x x 表示不超过x 的最大整数．例如[]15.1=，[]0.51-=-．给出下列结论：①函数[]x y sin =是奇函数；②函数[]x y sin =是周期为π2的周期函数；③函数[]sin cos =-y x x 不存在零点；④函数[][]x x y cos sin +=的值域是{}1,0,1,2--．其中正确的是_____________．（填上所有正确命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 把答案填在答题卡相应位置．16．本小题满分13分已知数列{a n }的首项为1，前n 项和S n1(2)n =≥． （Ⅰ）求S n 与数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=（n∈N *），求使不等式121225n b b b +++> 成立的最小正整数n ．17．本小题满分13分 已知函数)0(21cos cos sin 3)(2>+-=ωωωωx x x x f 经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数f(x)在区间,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域；（Ⅱ）∆ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，已知()1,3f A π+=4+=b c ，a =ABC ∆的面积．18．本小题满分13分甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化·印象莆田”知识竞赛活动，进行针对性训练，近8次的训练成绩如下（单位：分）：甲 83 81 93 79 78 84 88 94乙 87 89 89 77 74 78 88 98（I ）依据上述数据，从平均水平和发挥的稳定程度考虑，你认为应派哪位选手参加？并说明理由；（II ）本次竞赛设置A 、B 两问题，规定：问题A 的得分不低于80分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值100元的奖品，问题B 的得分不低于90分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值300元的奖品．答题顺序可自由选择，但答题失败则终止答题．选手答题问题A ，B 成功与否互不影响，且以训练成绩作为样本，将样本频率视为概率，请问在（I ）中被选中的选手应选择何种答题顺序，使获得的奖品价值更高？并说明理由．19．本小题满分13分如图，边长为2的正方形ABCD 绕AB 边所在直线旋转一定的角度（小于︒180）到ABEF 的位置．(Ⅰ)求证:CE//平面ADF ；(Ⅱ)若K 为线段BE 上异于B,E 的点，CE=22．设直线AK 与平面BDF 所成角为ϕ,当︒︒≤≤4530ϕ时,求BK 的取值范围．20．本小题满分13分如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =，且椭圆C 的首项为的短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P ，M ，N 椭圆C 上的三个动点．（i ）若直线MN 过点D （0，12-），且P 点是椭圆C 的上顶点，求△PMN 面积的最大值；（ii ）试探究：是否存在△PMN 是以O 为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．21．本小题满分14分已知函数f(x)=lnx+12ax 2+b （a ，b∈R）． （Ⅰ）若曲线y=f(x)在x=1处的切线为y=－1，求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）求证：对任意给定的正数m ，总存在实数a ，使函数f(x)在区间(m ，+∞)上不单调；（Ⅲ）若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 2>x 1>0）是曲线f(x)上的两点，试探究：当a<0时，是否存在实数x 0∈（x 1，x 2），使直线AB 的斜率等于0()f x '？若存在，给予证明；若不存在，说明理由．莆田市高中毕业班教学质量检查试卷理科数学试题参考解答及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．D 2．A 3．B 4．A 5．B6．C 7．C 8．A 9．B 10．D二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）14．115．②③④11．{}11<<x12．7.5 13．3-x4三、解答题（本大题共6小题，共80分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．解：n=≥，1(2)是首项为1，公差为1的等差数列，………1分所以－1)1=n，……………2分从而S n=n2．…………………3分当n=1时，a1=S1=1，当n>1时，a n =S n －S n －1=n 2－(n －1)2=2n －1．因为11a =也符合上式，所以a n =2n －1．…………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，……………8分 所以1211111111(1)()()2323522121n b b b n n +++=-+-++--+ 11(1)22121n n n =-=++，……………10分 由122125n n >+，解得n>12．………………12分 所以使不等式成立的最小正整数为13．……………13分17．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．解：（Ⅰ）①处应填入6π．………1 分1cos 21()222x f x x ωω+=-+………3分12cos 2sin(2)226x x x πωωω=-=-．………4分因为T=522()233πππ-=，所以222ππω=，12ω=，即()sin()6f x x π=-．………5分 因为,23x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2366x πππ-≤-≤，所以11sin()62x π-≤-≤， 从而得到)(x f 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．………7 分 （Ⅱ）因为()sin()136f A A ππ+=+=，又0,A π<<所以7666A πππ<+<， 得62A ππ+=，3A π=．………9分由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-2()2cos 3b c bc bc π=+--2()3b c bc =+-，即2243bc =-，所以3bc =． (11)分所以 ABC ∆的面积11sin 322==⨯=S bc A ．………13 分18．本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想．满分13分．解：（I ）记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲、2s 乙． 8381937978848894858+++++++==x 甲，8998777487787988858+++++++==x 乙． (2)分222222222165[(8385)(8185)(9385)(7985)(7885)(8485)(8885)(9485)]82=-+-+-+-+-+-+-+-=s 甲，2222222221[(8985)(9885)(7785)(7485)(8785)(7885)(8985)(8885)]568=-+-+-+-+-+-+-+-=s 乙． ………………4分因为x x =甲乙，22s s <甲乙，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加．………………5分（II ）记事件C 表示为“甲回答问题A 成功”，事件D 表示为“甲回答问题B成功”，则P(C)=34, P(D)=14,且事件C与事件D相互独立．………………6分记甲按AB顺序获得奖品价值为ξ，则ξ的可能取值为0,100,400．P(ξ=0)=P(C)=14,P(ξ=100)=P(CD)=3394416⨯=,P(ξ=400)=P(CD)=3134416⨯=．即ξ的分布列为：所以甲按AB顺序获得奖品价值的数学期望1935250100400416164Eξ=⨯+⨯+⨯=．………………9分记甲按BA顺序获得奖品价值为η，则η的可能取值为0,300,400．P(η=0)=P(D)=34,P(η=300)=P(DC)=1114416⨯=,P(η=400)=P(DC)=3134416⨯=，即η的分布列为：所以甲按BA顺序获得奖品价值的数学期望3133750300400416164Eη=⨯+⨯+⨯=．………………12分因为Eξ>Eη，所以甲应选择AB的答题顺序，获得的奖品价值更高．………………13分19．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分13分．(Ⅰ)证明：正方形ABCD 中，CD //BA ，正方形ABEF 中，EF //BA ．…………2分∴EF //CD ，∴四边形EFDC 为平行四边形，∴CE//DF ． (3)分又DF ⊂平面ADF ，CE ⊄平面ADF ，∴CE//平面ADF ． …………5分(Ⅱ)解： BE=BC=2，CE=22，∴222BE BC CE +=，∴∆BCE 为直角三角形，BE ⊥BC ，……………6分又BE ⊥BA ，BC ⋂BA=B ，BC 、BA ⊂平面ABCD ，∴BE ⊥平面ABCD ． ……………7分 以B为原点， BC 、 BA 、BE 的方向分别为x 轴、y轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B （0，0，0），F （0，2，2），A （0，2，0），)0,2,2(=BD ，)2,2,0(=BF ． 设K （0，0，m ），平面BDF 的一个法向量为),,(z y x n =． 由0=⋅，0=⋅，得220,220,+=⎧⎨+=⎩x y y z 可取)1,1,1(-=，............ (9)分又),2,0(m AK -=，于是sin =ϕ=2432mm +⋅+，︒︒≤≤4530ϕ，∴22sin 21≤≤ϕ，即⎧⎪⎨⎪⎩…………11分结合20<<m ，解得3240-≤<m ，即BK 的取值范围为（0，324-]．............ (13)分20．本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想．满分14分．解：（Ⅰ）由题意得22222,,⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩c a b a b c 解得a=2，b=1，…………………………………3分 所以椭圆方程为2214x y +=．………………………………………………………………3分（Ⅱ）（i ）解法一：由已知，直线MN 的斜率存在， 设直线MN 方程为y=kx －12，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．由221,41,2⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y y kx 得(1+4k 2)x2－4kx －3=0，所以12122243,1414k x x x x k k -+==++，又3||2=PD ．……5分所以S△PMN=12|PD|·|x 1－x 2|= (6)分==．…………………………………7分 令t=t22316t k -= 所以S△PMN =223661312(14)16==-+++⋅t t t t t t ，………………………………………………8分 令h(t)=1t t +，t ∈+∞),则22211'()1t h t t t-=-=>0，所以h(t)在+∞)单调递增， 则t=k=0时，h(t)的最小值，为， 所以△PMN面积的最大值为2．……………………9分解法二：由已知，直线MN 的斜率存在，设直线MN 方程为y=kx －12，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．由221,41,2⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y y kx 得(1+4k 2)x2－4kx －3=0，所以12122243,1414k x x x x k k -+==++．…………………5分所以|MN|== 点P （0，1）到直线MN 的距离=．………6分 所以S △PMN =12|MN|·=．…………………………………7分以下同解法一．（ii ）假设存在△PMN 是以O 为中心的等边三角形． （1）当P 在y 轴上时，P 的坐标为（0，1），则M ，N 关于y 轴对称，MN 的中点Q 在y 轴上． 又O为△PMN的中心，所以2PO OQ=，可知111(0,),(),)222Q M N ---．从而|MN|=|PM|=2，|MN|≠|PM|，与△PMN 为等边三角形矛盾．（2）当P 在x 轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN 为等边三角形矛盾．……………10分（3）当P 不在坐标轴时，设P （x 0，y 0），MN 的中点为Q ，则k OP =00y x ，又O为∆PMN 的中心，则2PO OQ =，可知00(,)22--x y Q ．设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则1202+==-Q x x x x ，1202+==-Q y y y y ，又x 12+4y 12=4，x 22+4y 22=4，两式相减得k MN =01212121212120111444-++=-=-⋅=-⋅-++xy y x x x x x x y y y y y ，……11分从而k MN =0014-⋅x y ．……12分所以k OP ·k MN =00y x ·（0014x y -⋅）=14-≠ －1，所以OP 与MN 不垂直，与等边△PMN 矛盾．……13分 综上所述，不存在△PMN 是以O 为中心的等边三角形．………………………14分21．本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．解：（Ⅰ）由已知得1(1)1,2(1)10,f a b f a ⎧=+=-⎪⎨⎪'=+=⎩解得1,1.2a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩…………… 2分此时211()ln 22f x x x =--，1(1)(1)()x x f x x xx-+'=-=-（x>0）．令()0f x '=，得1x =，f(x)，()f x '的变化情况如下表：所以函数f(x)的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．……………… 4分 （Ⅱ）211()ax f x ax x x+'=+=（x>0）．（1）当a≥0时，()0f x '>恒成立，此时，函数f(x)在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．………5分（2）当a<0时，令()0f x '=，得x =f(x)，()f x '的变化情况如下表：所以函数f(x)的增区间为（0，，减区间为（，+∞）．……………… 7分要使函数f(x)在区间(m ，+∞)上不单调，须且只须，即210a m -<<． 所以对任意给定的正数m ，只须取满足210a m -<<的实数a ，就能使得函数f(x)在区间(m ，+∞)上不单调．…… 8分 （Ⅲ）存在实数x 0∈（x 1，x 2），使直线AB 的斜率等于0()f x '． (9)分证明如下：令g(x)=lnx －x+1（x>0），则1()1g x x'=-， 易得g(x)在x=1处取到最大值，且最大值g(1)=0，即g(x)≤0，从而得lnx≤x－1． （*）……… 10分 由21021()()()f x f x f x x x -'=-，得21210210ln ln 11()2x x a x x ax x x x -++=+-．……………… 11分令211()()2p x a x x ax =+-，2121ln ln 1()x x q x x x x-=--，则p(x)，q(x)在区间[x 1，x 2]上单调递增． 且12112111()()()022p x a x x ax a x x =+-=-<，22121211()()()022p x a x x ax a x x =+-=->， 结合（*）式可得，2221111211211211ln1ln ln 111()0x x x x x x q x x x x x x x x x x --=-=-<-=---，1121222212212212ln(1)ln ln 111()0x x x x x x q x x x x x x x x x x ----=-=->-=---．令h(x)=p(x)+q(x)，由以上证明可得，h(x)在区间[x 1，x 2]上单调递增，且h(x 1)<0，h(x 2)>0，…… 13分 所以函数h(x)在区间（x 1，x 2）上存在唯一的零点x 0， 即2121021ln ln 11()2x x a x x ax x x x -++=--成立，从而命题成立．…………… 14分（注：在（Ⅰ）中，未计算b 的值不扣分．）。
2017年福建省高三质检理科数学试卷
2017年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学一、选择题（每小题5分，共60分）1、若复数z满足(1＋i)z=|3＋i|，则在复平面内，z对应的点位于A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2、设集合A＝{x|x2―3x＜0}，B={x||x|＞2}，则A∩R B＝A、{x|―2≤x＜3}B、{x|0＜x≤2}C、{x|―2≤x＜0}D、{x|2≤x＜3}3、若将函数y=3cos(2x＋2)的图象向右平移6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是A、(6，0)B、(―6，0)C、(12，0)D、(―12，0)4、朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤.只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”.在这个问题中，第5天应发大米A、894升B、1170升C、1275升D、1467升5、右图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A、8―43B、8―C、8―23D、8―136、某食品厂制作了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”、“友善福”，每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为A、316B、49C、38D、897、执行如图所示的程序框图，若输入a的值为2,则输出b的值为A、―2B、1C、2D、48、过抛物线y2＝4x焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若|AC|=2|AF|，则|BF|等于A、2B、3C、4D、5i≤2017开始i=1输入aa=1－1a=1输结否是9、已经D、E是△ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若→AP＝x→AB＋y→AC，则xy的取值范围是A、[19，49]B、[19，14]C、[29，12]D、[29，14]10、空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，E，F分别是AB，CD的中点，且EF⊥AB，EF⊥CD，若AB＝8,CD＝EF＝4，则该球的半径等于（）A、65216B、6528C、652D、6511、已知A(―2，0)，B(2，0)，斜率为k的直线l上存在不同的两点M，N满足：|MA|―|MB|=23，|NA|―|NB|=23，且线段MN的中点为(6，1)，则k的值为（）A、―2B、―12C、12D、212、已知函数f(x)＝e x―ax―1，g(x)＝ln x―ax＋a，若存在x0∈(1,2)，使得f(x0)g(x0)＜0，则实数a的取值范围为A、(ln2，e2―12)B、(ln2，e―1)C、[1，e―1)D、[1，e2―12)二、填空题（每小题5分，共20分）13、(x―2)(x＋1)5的展开式中，x3的系数是 (用数字填写答案)14、设x，y满足约束条件?????x－y＋1≥02x－3y＋2≤0y－2≤0，则z=―x＋y的最大值是15、已知函数f(x)＝x2(22xx??)，则不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是16、数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝23，a n+1＋S n＝23，用[x]表示不超过x的最大整数，如：[―0.4]=―1，[1.6]=1，设b n＝[a n]，则数列[b n]的前2n项和为三、解答题（70分）17、（本小题满分12分）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝1，A＝23(1)求sin∠ADB;(2)若∠BDC＝23，求四边形ABCD的面积18、（本小题满分12分）某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师办理流量套餐.为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L(单位:M)的数据，其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频率视为概率，回答以下问题：(1)从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过300M的概率；(2)现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费(单位：元)月套餐流量(单位：M)A203B305C38700这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200M流量，资费20元，如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M流量，资费20元/次,以类类推.如果当月流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担.问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由.19、（本小题满分12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，四边形ACDF是菱形，∠FAC＝60°,AB∥DE，BC∥EF，AB＝BC＝3，AF＝23，BF＝15(1)求证：平面ABC⊥平面ACDF(2)求平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值0.0008 频率100 200 300 400 500 600 流量L/M 0.00020.00220.00250.0035 700 FEDCBA20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：x2a2＋y2=1(a>1)在左、右焦点分别为F1,F2，P是C 上异于长轴端点的动点，∠F1PF2的平分线交x轴于点M，当P在x轴上的射影为F2时，M恰为OF2中点(1)求C的方程；(2)过点F2引PF2的垂线交直线l：x=2于点Q，试判断直线PQ与C是否有其它公共点？说明理由.21、（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x cos x―(a＋1)sin x，x∈[0,]，其中34≤a≤233(1)证明：当x∈[0, 2]时，f(x)≤0;(2)判断f(x)的极值点个数，并说明理由；(3)记f(x)最小值为h(a)，求函数h(a)的值域选考题，任选一题作答22、（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为???x＝2＋2cos ty＝2sin t(t为参数).在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：＝2sin，曲线C3：＝6(＞0)，A(2,0).(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)设C3分别交C1,C2于点P，Q，求△APQ的面积.23、（本小题满分10分）选修4―5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x―2|，集合A＝{x|f(x)＜3}(1)求A；(2)若s，t∈A，求证：|1―ts|＜|t―1s|。
福建省宁德市2017届高三毕业班第三次质量检查数学(理)试题含答案
福建省宁德市2017届高三毕业班第三次质量检查数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}()(){}2,1,0,1,2,|130A B x x x =--=-+<，则AB =（ ）A ．{}2,1,0--B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,2 2。
若复数z 满足()1i z 1i (i +=-为复数单位)，则 z 的共轭复数为( ）A ．1i +B ．1i - CD 3。
已知4sin 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为( ）A ．35B ．45C ．45-D ．35-4。
已知M 是圆周上的一个定点,若在圆周上任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长不小于圆半径的概率是（ ）A ．14B ．13C 。
12D ．235.执行如图所示的程序框图，如果输出的m 值为3，则输入a 的值可以是 （ ）A ．23B ．22 C.21 D ．206。
已知实数,x y 满足的约束条件220323010x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，表示的平面区域为D ，若存在点(),P x y D ∈,使22xy m +≥成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．18116 B ．1 C.913D ．127. 已知,αβ∈R ，则“αβ>”是“sin sin αβαβ->-”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件8。
已知是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ )A ．1312π+B ．112π+ C.134π+D ．14π+9。
函数531=-x x y的图象大致是（）A ．B ． C. D ．10.已知M 为双曲线2222:1x y C a b-=右支上一点,,A F 分别为双曲线C 左顶点和的右焦点，MF AF =，若60MFA ∠=，则双曲线C 的离心率为( ）A ．2B ．3 C.4 D ．611.已知在三角形ABC 中,,90AB AC BAC <∠=，边,AB AC 的长分别为方程(2213430x x -+=的两个实数根，若斜边BC 上有异于端点的,E F 两点,且1,EF EAF θ=∠=,则tan θ的取值范围为 （ ） A ．343311⎛⎝⎦B ．3393⎛⎝⎭C 。
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2017年福建省普通高中毕业班质量检查
理科数学
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、若复数z 满足(1＋i )z =|3＋i |，则在复平面内，z 对应的点位于 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限
2、设集合A ＝{x |x 2―3x ＜0}，B ={x ||x |＞2}，则A ∩ R B ＝
A 、{x |―2≤x ＜3}
B 、{x |0＜x ≤2}
C 、{x |―2≤x ＜0}
D 、{x |2≤x ＜3}
3、若将函数y =3cos(2x ＋π2)的图象向右平移π
6
个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是
A 、(π
6
，0)
B 、(―π
6
，0)
C 、(π
12
，0)
D 、(―π
12
，0)
4、朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤.只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”.在这个问题中，第5天应发大米
A 、894升
B 、1170升
C 、1275升
D 、1467升 5、右图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的
是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A 、8―4
3π
B 、8―π
C 、8―2
3
π
D 、8―1
3
π
6、 某食品厂制作了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”、“友善福”，每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3
奖的概率为
A 、3
16
B 、49
C 、38
D 、89
7、执行如图所示的程序框图，若输入a 的值为2,则 输出b 的值为 A 、―2 B 、1 C 、2 D 、4
8、过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点， 交其准线于点C ，且A ，C 位于x 轴同侧，若|AC |=2|AF |， 则|BF |等于 A 、2 B 、3 C 、4
D 、5
9、已经D 、E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若→AP ＝x →AB ＋y →
AC ，则xy 的取值范围是
A 、[19，49
]
B 、[19，14
]
C 、[29，12
]
D 、[29，14
]
10、空间四边形ABCD 的四个顶点都在同一球面上，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，
且EF ⊥AB ，EF ⊥CD ，若AB ＝8,CD ＝EF ＝4，则该球的半径等于（ ）
A 、65216
B 、6528
C 、
652
D 、65
11、已知A (―2，0)，B (2，0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N 满足：|MA |―|MB |=23，|NA |―|NB |=23，且线段MN 的中点为(6，1)，则k 的值为（ ）
A 、―2
B 、―12
C 、12
D 、2
12、已知函数f (x )＝e x ―ax ―1，g (x )＝ln x ―ax ＋a ，若存在x 0∈(1,2)，使得f (x 0)g (x 0)＜0，则实数a 的取值范围为
A 、(ln2，e 2―1
2
)
B 、(ln2，e ―1)
C 、[1，e ―1)
D 、[1，e 2―1
2
)
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、(x ―2)(x ＋1)5的展开式中，x 3的系数是 (用数字填写答案)
14、设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0
2x －3y ＋2≤0y －2≤0
，则z =―x ＋y 的最大值是
15、已知函数f (x )＝x 2(22
x
x
--)，则不等式f (2x ＋1)＋f (1)≥0的解集是
16、数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝23，a n +1＋S n ＝2
3，用[x ]表示不超过x 的最大整数，如：
[―0.4]=―1，[1.6]=1，设b n ＝[a n ]，则数列[b n ]的前2n 项和为
三、解答题（70分） 17、（本小题满分12分）
在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝2，AD ＝1，A ＝2π
3
(1)求sin ∠ADB ;
(2)若∠BDC ＝2π
3，求四边形ABCD 的面积
某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师办理流量套餐.为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L(单位:M)的数据，其频率分布直方图如下：
若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频率视为概率，回答以下问题：
(1)从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过300M 的概率； (2)
这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200M 流量，资费20元，如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M 流量，资费20元/次,以类类推.如果当月流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用
学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担.问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由. 19、（本小题满分12分）
如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的多面体中，四边形ACDF 是菱形，∠F AC ＝60°, AB
∥DE ，BC ∥EF ，AB ＝BC ＝3，AF ＝23，BF ＝15
(1)求证：平面ABC ⊥平面ACDF
(2)求平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值
F
E
D
C
B
A
在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
=1(a >1)在左、右焦点分别为F 1,F 2，P 是C
上异于长轴端点的动点，∠F 1PF 2的平分线交x 轴于点M ，当P 在x 轴上的射影为F 2时，M 恰为OF 2中点
(1)求C 的方程；
(2)过点F 2引PF 2的垂线交直线l ：x =2于点Q ，试判断直线PQ 与C 是否有其它公共点？说明理由. 21、（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝x cos x ―(a ＋1)sin x ，x ∈[0,π]，其中3π4≤a ≤23π
3
(1)证明：当x ∈[0, π
2
]时，f (x )≤0;
(2)判断f (x )的极值点个数，并说明理由； (3)记f (x )最小值为h (a )，求函数h (a )的值域
选考题，任选一题作答 22、（本小题满分10分）选修4―4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos t
y ＝2sin t
(t 为参数).在以坐标原点O 为
极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：θ＝π
6
(ρ＞0)，A (2,0).
(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；
(2)设C 3分别交C 1,C 2于点P ，Q ，求△APQ 的面积. 23、（本小题满分10分）选修4―5：不等式选讲
已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x ―2|，集合A ＝{x |f (x )＜3} (1)求A ；
(2)若s ，t ∈A ，求证：|1―t s |＜|t ―1
s |。