乘法公式与因式分解

乘法公式、多項式與因式分解

主題一：乘法公式的判別與求值

1. 乘法公式

1.2222)(b ab a b a ++=+（和的平方）

2.2222)(b ab a b a +-=-（差的平方）

3.22))((b a b a b a -=-+ （平方差）

4.(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd （乘法分配律）

5.

ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++（三項和的平方） 6.3223333)(b ab b a a b a +++=+（和的立方）

7.3223333)(b ab b a a b a -+-=-（差的立方）

8.3322))((b a b ab a b a +=+-+（立方和）

9.3322))((b a b ab a b a -=++-（立方差）

10.42242222))((b b a a b ab a b ab a ++=+-++

2. 求值公式：

（1） a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－2ab ＝（a －b ）2＋2ab

【若已知a ＋b 及ab ，欲求a －b 時，須先算出（a －b ）2，再用平方根來求】

（2） x 2＋x

21＝（x ＋x 1）2－2＝（x －x 1）2＋2 （3） a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝

2

1〔（a ＋b ）2＋（b ＋c ）2＋（c ＋a ）2〕 （4） （a ＋b ）2＝（a －b ）2＋4ab （5） （a －b ）2＝（a ＋b ）2－4ab

3.乘法公式的應用與式子的展開：

（1）（ax ＋b ）（cx ＋d ）＝acx 2＋＋ad x ＋bcx ＋bd

（2）（ax ＋b ）2＝（ax ）2＋2×ax ×b ＋b 2＝a 2x 2＋2abx ＋b 2

（3）（ax －b ）2＝（ax ）2－2×ax ×b ＋b 2＝a 2x 2－2abx ＋b 2

（4）（ax ＋b ）（ax －b ）＝（ax ）2－b 2＝a 2x 2－b 2

（5）（-ax ＋b ）2＝（ax －b ）2；（-ax －b ）2＝（ax ＋b ）2

主題二：多項式

1. 多項式的定義：由數和文字符號x 進行加法和乘法運算所構成的式子。多項式的文字x 不可在分母、指數、根號內與絕對值內，且須為有限項。 例：231

+X ，

22-X ，5-X ，.....12+++X X 不是X 的多項式。 2.多項式的次數：

（1） 只含一個文字的多項式，以文字的最高次數為此多項式之次數。

（2） 含二個或二個以上文字的多項式，以各項中文字的次數總和的最高次數為此多項式之次數。

（3） 常數多項式，包含零次多項式（只有常數項，且不為0）及零多項式（就是0）。

（4） 若ax 2+bx+c=px 2+qx+r ，則a=p ，b=q ，c=r 。

（5） 多項式的排列方式：○

1升冪排列：按照次數大小由小到大 ○

2降冪排列：按照次數大小由大到小 （6）設f(x)表x 的多項式，當x=a 時，多項式f(x)之值為f(a)→即多項式所有x 均以a 值代替所得的

值，叫做f(x)的值。

（7）若012211)(a x a x a x a x a X f n n n n +++⋅⋅⋅++=--，n a a a f +⋅⋅⋅⋅++=21)1(為各項係數的和。

3. 多項式的加減運算：

（1） 各單項中，文字和其次數相同者，稱為同類項。

（2） 多項式的加減運算：同類項的係數相加減，文字和其次數不變。

（3） 在一多項式中，其文字用指定的數代入後，所得的數稱為多項式的值。

（4） 若兩多項式f （x ）與g （x ）的次數分別為m 與n （m ≥n ），則f （x ）± g （x ）的次數至多為m

次。

4. 多項式的乘法：

（1）單項式乘以單項式：把係數相乘，文字符號也相乘，再把係數寫在前面。

（2）單項式乘以多項式：利用分配律展開。a ×（b+c ）＝a ×b ＋a ×c

（3）多項式乘以多項式：○

1橫式運算法 ○2直式運算法 ○3分離係數法 5.多項式的除法：

（1） 單項式除以單項式：將它化成分式，約分即可。

（2） 多項式除以單項式：○

1化成分式 ○2利用長除法。 （3） 多項式除以多項式：○

1長除法 ○2分離係數法 （4） 長除法應注意事項：○

1降冪排列 ○2缺項補0 6.除法關係式：被除式＝除式×商式＋餘式

若多項式A 除以多項式B ，得到商式Q ，餘式R ，則

（1） A ＝B ×Q + R

B A ＝Q + B R

（2） B A ＝Q + B R aB A ＝a

Q ＋aB R （除式變成a 倍，但餘式不變，還是R ） （3） 餘式R 的次數必小於除式B 的次數。

（4） 「B 除A 」就是「A 除以B 」：A 為被除式，B 為除式

7. 因式定理：

（1） 若多項式f （x ）含有（x －a ）的因式，則f （a ）＝0

（2） 若多項式f （x ）含有（ax+b ）的因式，則f （－

a

b ）＝0 8. 餘式定理：

（1） 多項式f （x ）除以（x －a ）的餘式＝f （a ）

（2） 多項式f （x ）除以（ax+b ）的餘式＝f （－

a b ）

主題三：因式分解

1.因式與倍式：設A 、B 、Q 代表三個多項式，若A ＝B ×Q （其中B 、Q 都不是零多項式），則B 或Q 為A 的因式，A 為B 或Q 的倍式。

2.因式的判別：

（1） 利用除法：若A ÷B 能整除，則B 為A 的因式。

（2） 因式定理：若多項式f （x ）含有（x －a ）的因式，則f （a ）＝0

（3） 利用乘法公式：a 2－b 2＝（a+b ）（a －b ）

3.因式分解：把一個多項式寫成幾個多項式的乘積的過程叫做因式分解。

4.因式分解括號變換應用：

（1） b －a ＝－（a －b ） （2）（b-a ）2＝（a-b ）2 （3）（b-a ）3＝－（a-b ）3

（4）（b －a ）奇數＝－（a －b ）奇數 （5）（b-a ）偶數＝（a-b ）偶數

5.因式分解的方法：

（1） 各項提出公因式：ma ＋mb －mc ＝m （a ＋b －c ）

（2） 分組提出公因式：ma ＋mb ＋na ＋nb ＝（ma ＋mb ）＋（na ＋nb ）

＝m （a ＋b ）＋n （a ＋b ）

＝（a ＋b ）（m ＋n ）

（3） 利用乘法公式做因式分解：

○1平方差分解法：a 2－b 2＝（a+b ）（a －b ）

○

2和的平方公式：a 2+2ab+b 2＝（a ＋b ）2 ○

3差的平方公式：a 2－2ab+b 2＝（a －b ）2 （4） 十字交乘法做因式分解：

○

1最高次項係數為1的二次三項式分解 x a x 2＋（a ＋b ）x ＋ab ＝（x ＋a ）（x ＋b ） x b

ax ＋bx ＝（a ＋b ）x

○

2最高次項係數不為1的二次三項式分解 ax b acx 2＋（bc ＋ad ）x ＋bd cx d

＝（ax ＋b ）（cx ＋d ） adx ＋bcx ＝（ad ＋bc ）x

（5） 進行因式分解時，若x 2項的係數為負數時，習慣上先將負號提出再分解。

（6） 觀察各項是否存在公因式，或各項係數間有大於1的公因數。若有，則先提出公因