线性方程组课件

例2
解线性方程组
x3 x3 x3 x3 2 x4 4 x4 x4 3 x5 4 x5 5 x5 8 x5 1 2 3 2
x1 x2 2 x 2 x 1 2 3 x1 3 x2 x1 x2
。
§1.2 线性方程组解的情况及判别
不相容线性方程组：解集合为空集。 线性方程组同解：解集合相同。 通解（一般解）：解集合中全部元素的通项 表达式。 特解（具体解）：解集合中一个特定元素。
解的存在性：解集合是否为空集。
有解：解集合非空。
解的唯一性：非空的解集合是否只有一个元素。 有唯一解：解集合只含一个元素。 非齐次线性方程组：b1 , b2 ,...,bm 不全为零
线性代数
Linear Algebra BIT Fall 2011
Grading: Homework 20% +Midterm 10%+ Final Exam 70%
Homework： Every student is required to turn
in a well-written homework each week. The homework assignments are due at the beginning of the class on Tuesdays.（每周二上课之前交前一 周的作业）
通过观察可以发现，如果用数表
2 2 0 6 2 2 1 2 4 2 3 1 4 4 3 1 1 1 8 2
表示上例中的方程组，其中每行代表一个方程，则 线性方程组的初等变换相当于此数表行之间的变 换。
一般地， 定义 m n 个数 aij ( i 1, 2, 排成 m 行 n 列的数表
1 0 0 0 1 0 0 0
R4 ( 2) R2 R3 ( 2) R2
R4 ( 1) R1 R3 ( 3) R1 R2 ( 2) R1
1 1 2 2 1 1 0 0 0 2 3 0
0 2 4 1 0 2 0 3 3 2 9 1
b1 , b2 ,...,bm 全为零 齐次线性方程组：
线性方程组的中心问题 （1）解的判别：确定存在性与唯一性 （2）求解：确定解集合 （3）解的结构：研究解之间的关系
例
2 x1 2 x 1 3 x1 x1
解线性方程组
2 x2 x2 x2 x2 2 x3 4 x3 x3 6 x4 4 x4 4 x4 8 x4 2 2 3 2 (1) (2) (3) (4)
（* ）
则它的增广矩阵为
a11 a 21 A am1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn b1 b2 bm
c11 c12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
~ 假设用初等行变换 A 可以化为
其中 c11 , c22 ,...,cnn 均不为零， 所以通过回代可唯一确定 x1 , x2 ,..., xn 的 取值，即方程组有唯一解。
更进一步，阶梯形方程组的增广矩阵也具有相 同的形式： （1）零行（所有元素均为零的行）全部在下方， 非零行（至少有一个元素不为零的行）全部在 上方 （2）非零行的首非零元（也称主元，即行中第 一个不为零的元素）随着行标的增大其列标也 严格增大
称上述形式的矩阵为阶梯形矩阵。 结论：增广矩阵为阶梯形矩阵 方程组为阶 梯形方程组
由此解出 x1 1, x2 2, x3 1,
x4 0 。 ▌
矩阵初等行变换的表示及提示符：
A ：互换矩阵 A 的第 i 行与第 j 行
Rij
A ：用非零数 k 去乘 A 的第 i 行元素
A ：把 A 的第 i 行的 k 倍加到第 j 行
R j kRi
3 2 5 5 3 2 1 9 1 0 3 0
1 0 0 3 1 0 0 3
1 0 R34 0 0
1 1 0 0
阶梯形矩阵对应的线性方程组为
x1 x2 x2 3 x4 2 x3 3 x3 2 x4 9 x4 x4 1 0 ， 3 0
a11 a21 a m1 a12 a22 am 2 a1n a2n amn
, m ；j 1, 2, n , )
称为 m n 矩阵。 通常记作 A, Amn , A (aij )mn ， 其中 aij 称为矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素。 若 m = n，则称 A 为方阵；n 行 n 列的方阵称 为 n 级矩阵。
对一般的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 2 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
（*）
分别称
a11 a A 21 a m1 a12 a22 am 2 a1n a11 a a2 n , A 21 a amn m1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn b1 b2 bm
c1 j2 c2 j 2 0 0 0 0
c1 jr c2 j r crj r 0 0 0
d1 d2 dr d r 1 0 0
其中 c11 , c2 j2 ,...,crj r 都不为0.
Midterm：第一章和第二章课程结束之后，随 堂考试，占总成绩的10%
课程大纲
Chapter 1: 线性方程组
Chapter 2: 行列式 Chapter 3：线性方程组的进一步理论 Chapter 4： 矩阵 的运算
第一章 线性方程组
§1.1 Gauss-Jordan算法 一般的n元线性方程组： a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
情形一：
d r 1 0 0 d r 1
此时阶梯形方程组中出现了
这种矛盾方程，因此阶梯形方程组无解。
情形二：
d r 1 0
子情形一：
r n
则上述阶梯形方程组为
c11 x1 c12 x2 c1n xn d1 c22 x2 c2 n xn d 2 cnn xn d n
定理 方程组的初等变换把一个线性方程组变成 另一个同解的线性方程组。
定理 任一矩阵均可通过有限次初等行变换化为 阶梯形矩阵。
给定线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 2 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
未知数：()Biblioteka x1 , x2 ,, xn
1,2, , m ；j 1,2, , n)
系数： a i j ( i
常数项： b1 , b2 , , bm
n 元有序数组 x1 c1, x2 c2 ,...,xn cn 一个解： 使（*）的所有方程变为恒等式。
解集合：（*）的全部解的集合。
不难看出上述矩阵对应的阶梯形方程组为
c11 x1 c12 x2 c1 jr x jr c1n xn d1 c2 j2 x j2 c2 jr x jr c2 n xn d 2 crj r x jr crn xn d r 0 d r 1 00
例 解线性方程组
2 x1 2 x2 2 x x 2 x3 1 2 3 x x 4 x 1 2 3 x1 x2 x3 6 x 4 2 4 x 4 2 4 x 4 3 8 x4 2
解
2 2 0 6 2 1 1 0 3 1 1 ~ 2 1 2 4 2 2 R1 2 1 2 4 2 A 3 1 4 4 3 3 1 4 4 3 1 1 1 8 2 1 1 1 8 2
为方程组（*）的系数矩阵与增广矩阵。
回顾：解线性方程组的过程
增广矩阵的每行对应方程组中的一个方程，故 方程组的初等变换等同于对增广矩阵的行作下列 变换： （1）用一个非零数乘某一行的全部元素 （2）一行的倍数加到另一行上 （3）互换两行的位置
称上述对矩阵行的处理为矩阵的初等行变换。
结论：方程组的初等变换 行变换 增广矩阵的初等
3 x4 2 x4 9 x4 x4
1 0 。 3 0
由最后这个阶梯形方程组通过依次回代，解得
x1 1, x2 2, x3 1, x4 0 。▌
上例题求解过程总结： （1）求解线性方程组有两个过程：消元与回代 （2）消元过程需对方程组做如下处理： （i）用一个非零数乘某一个方程 （ii）一个方程的倍数加到另一个方程上 （iii）互换两个方程的位置 称上述三种处理为线性方程组的初等变换。 （3）消元的目的是把原方程组化为阶梯形方程组 （4）一个方程组被其系数与常数项唯一确定，且 线性方程组的初等变换只涉及系数与常数项。
kRi
以后，还将用 Cij , kCi , C j kCi 分别表示三种初等 列变换。
Gauss-Jordan 消元法
线性方程组
方程组的
→ ←
增广矩阵 A
矩阵的
~
↓初等变换
↓初等行变换
阶梯形方程组
阶梯形矩阵