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高三数学上学期第二次月考试题 理(PDF)

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广东省阳江市两阳中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题(含解析)

广东省阳江市两阳中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题(含解析)

2024-2025学年度第一学期高三第二次月考数 学（时间：120分钟 分值：150分）班别 学号 姓名一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．若复数z 满足，则（ ）A ．B ．2C ．2D ．43．已知，，若，则（ ）A ．2B ．3C ．5D ．124．已知两条不同的直线和平面，且，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．的内角的对边分别为，，且，则边（ ）AB ．7C．3D 6．已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数是定义在R 上的偶函数，且在上是减函数，，则不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．{}{}22320,1A x x x B x x =--<=<A B = (,2)-∞1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭(,1)-∞()12i 24i z +⋅=-z =12()1,2AB = ()4,AC m = AB AC ⊥BC = ,m n αn ⊂α//m n //m αABC ∆,,A B C b a ,ABC ∆π1,3b C ==c =()cos m αβ-=tan tan 2αβ=()cos αβ+=3m-3m-3m 3m()f x (,0]-∞(2)0f =(1)()0f x f x -<(2,2)-(,2)(1,2)-∞- ()()3,01, -∞-()()3,21,2 --8．若函数有零点，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是（ ）A ．的最小值为2B ．的最小值为1C ．的最大值为2D ．最小值为10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）.A ．函数的最小正周期为B ．函数的图象关于点对称C ．函数在上单调递增D ．恒成立11．在平面直角坐标系中，已知点， ，直线，相交于点，且它们的斜率之和是.设动点的轨迹为曲线，则（ ）A ．曲线关于原点对称B ．曲线关于某条直线对称C ．若曲线与直线无交点，则D ．在曲线上取两点， ，其中，，则三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．函数在点处的切线方程为 .13．对于随机事件，若，，，则 .14．数列 满足记 则的最大()sin cos 2sin cos 1f x x x x x a =+-+-a 9[]4[2][-941x x+21x +()2x x -2272x x ++2()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭()f x π()y f x =π,04⎛⎫-⎪⎝⎭()y f x =[]π,0-()2π3π,,34x f x ⎡⎤∀∈≥⎢⎥⎣⎦xOy ()1,0A -()10B ,AM BM M 2(),M x y C C C C y kx =()0>k 1k ≥C (),P a b (),Q c d 0a <0c >2PQ >3()2ln f x x x =-(1,(1))f ,A B ()25P A =()35P B =()1|4P B A =()|P A B ={}n a []2111,121n n a a a +∈-=-，，123n n T a a a α= ，2025T值为 .四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列为公差不为零的等差数列，其前n 项和为，，且，，成等比数列．(1)求的通项公式；(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前n 项和．16．（15分）记的内角所对的边分别为，已知.(1)求；(2)若为边上一点，，求.17．（15分）在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值.{}n a n S 749=S 2a 5a 14a {}n a {}n n a b +2733=+b a {}n b n T ABC ∆,,A B C ,,a b c ()()b c a b c a bc +-++=A DBC 3,4,BAD CAD AC AD ∠∠===sin B S ABC -SAC ⊥ABC AB BC ⊥2AC AS SC BC ===,D E ,AB AC AB ⊥SDE A SB C --18．（17分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆的两个焦点分别是，，点M 在上，且 .(1)求的标准方程；(2)若直线与交于A ，B 两点，且求的值.19．（17分）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：．C ()10F )20F C 124MF MF +=C y kx =C OAB △k ()()()22111ln ,e 222x f x ax a x x g x x ax =-++=--()f x ()()2ln 1f x g x x ax +≥--2024-2025学年度第一学期高三数学月考2参考答案班别学号 姓名1．A 【详解】解：由，即，解得，所以，因为B ={x |x <1}，所以；故选A2．C 【详解】因为，则，所以.故选：C.3．C 【详解】因为，，所以，得，则，所以，故.故选：C.4．D 【分析】在长方体中，选取直线和平面，利用充分条件和必要条件的判断方法即可得出结果.【详解】如图，取平面为平面，直线为，不妨取直线为，显然有，此时，即推不出，不妨取直线为直线，显然有，此时，即推不出，故选：D.5．A 【详解】由，由余弦定理得，所以故选：A.6．B 【分析】根据两角差的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.【详解】因为，所以，而，所以，故即，从而，故.故选：B.7．D 【分析】根据函数的性质，结合函数的零点，解抽象不等式.22320x x --<()()2120xx +-<122x -<<{}212320|22A x x x x x ⎧⎫=--<=-<<⎨⎬⎩⎭{}|2A B x x =< ()12i 24i z +⋅=-()()()()24i 12i 24i 68i 12i 12i 12i 55z ---===--++-2z ==()()1,2,4,AB AC m == AB AC ⊥ 1420m ⨯+=2m =-()4,2AC =-()3,4BC AC AB =-=-5BC == ,m n αABCD αCD n AB m //m n m α⊂//m n //m α11B C m //m αm n ⊥//m α//m n 11πsin 1sin 223ABC S ab C a ==⨯⨯==V 3a =22222π2cos 31231cos 73c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=c =cos cos ,sin sin αβαβtan tan αβ()cos αβ+()cos m αβ-=cos cos sin sin m αβαβ+=tan tan 2αβ=sin sin 2cos cos αβαβ=cos cos 2cos cos m αβαβ+=cos cos 3m αβ=2sin sin 3m αβ=()2cos cos cos sin sin 333m m mαβαβαβ+=-=-=-【详解】因为函数是偶函数，在上是减函数，所以在上是增函数，，时，，，则或. 当时，，得时；当时，，此时.故选:D.8．A 【分析】令，得，再令，得出，并构造函数，将问题转化为直线与函数在区间有交点，利用数形结合思想可得出实数的取值范围．【详解】令，得，，令，则，所以，，构造函数，其中，，所以，当时，直线与函数在区间有交点，因此，实数的取值范围是，故选A ．9．BD 【详解】当时，无最小值，故A 错误；因为，所以，故B 正确；，所以的最大值为1，C 错误；，当且仅当，即时，等号成立，D 正确.故选：BD10．BCD 【分析】通过观察函数的图象，可得函数图象经过点，且半周期为，从而可得的解析式，再根据该正弦型函数在周期，对称性，单调性和给定区间上的值域分别判断即可得解.【详解】因为，由的图象知其经过点，故得(,0]-∞()0+∞，()()220f f -==22x -<<()0f x <(1)()0f x f x -<(1)0()0f x f x -<⎧⎨>⎩(1)0()0f x f x ->⎧⎨<⎩(1)0()0f x f x -<⎧⎨>⎩21222x x x -<-<⎧⎨><-⎩或23x <<(1)0()0f x f x ->⎧⎨<⎩121222x x x ->-<-⎧⎨-<<⎩或2<<1x --()0f x =sin cos 2sin cos 1a x x x x =+-+sin cos t x x ⎡=+∈⎣22sin cos 1x x t =-()22g t t t =-++y a =()y g t =⎡⎣a ()0f x =sin cos 2sin cos 1a x x x x =+-+()2sin cos 12sin cos x x x x +=+Q sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭22sin cos 1x x t =-()22sin cos 2sin cos 1112x x x x t t t t +-+=--+=-++()22g t t t =-++t ≤≤()21924g t t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭()max1924g t g ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭()(min g t g ==94a ≤≤y a =()y g t =⎡⎣a 94⎡⎤⎢⎥⎣⎦0x <1x x+20x ≥211x +≥()()222211x x x x x -=-+=--+()2x x -222277222222x x x x ++=+-≥=-++22722x x +=+22x =(0,1)3π2()f x ()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭()f x (0,1)，即，因，则，故，又图象经过点，则，所以或，解得或（*），由三角函数图象的对称性可知，该函数的周期满足，即得，解得，满足（*），故；对于A ，因周期，故A 错误；对于B ，，故B 正确；对于C ，当时，，此时为增函数，故C 正确；对于D ，令，则当时，，则在上单调递减，故有D 正确.故选：BCD.11．AC 【分析】利用直接法可得动点的轨迹方程，即可判断AB 选项，联立直线与曲线，可判断C 选项，联立曲线与单位圆，可得曲线与单位圆交于与，此两点间距离恰好为，即可判断D 选项.【详解】由已知，即，化简可得动点的轨迹方程为，将代入曲线方程可得成立，所以曲线关于原点对称，A 选项正确，做出曲线，易知该曲线可表示渐近线为及轴的双曲线，则对称轴过原点且倾斜角为或，而，又，所以曲线不是轴对称图形，B 选项错误；联立直线与曲线方程，得无解，则或，即或，综上，C 选项正确；2sin 1=ϕ1sin 2ϕ=π2ϕ<π6ϕ=()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π,12⎛⎫- ⎪⎝⎭3π1sin π226ω⎛⎫+=-⎪⎝⎭3πππ2π662k ω+=-+3π5ππ2π(Z)662k k ω+=-+∈2493k ω=-+24(Z)33k k ω=-+∈T 3π22T =2π3πT ω==23ω=()2π2si 6n 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3πT =π2ππ2sin 2sin004346f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦[]π,0x ∈-2π2ππ366x +≤-≤()f x 62π3z x =+2π3π,34x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦11π2π183z ≤≤sin y z =11π2,π183⎡⎤⎢⎥⎣⎦2sin sin π3y z =≥=()f x ≥⎛ ⎝22AM BM k k +=211y yx x +=+-()1x ≠±M 210x xy --=(),x y --()()()22110x x y x xy ---⋅--=--=C 210x xy --=y x =y 3π87π83πtan18==7πtan 18==(1y x =1x ≠±210x xy y kx⎧--=⎨=⎩()2110k x --=10k -=()410k -<1k =1k >1k ≥联立曲线与单位圆，则，解得，即曲线与单位圆交于，两点，且，所以当，分别与，重合时，，D 选项错误；故选：AC.12．【详解】由题意可知，，则切点为，因为，则，所以在点处的切线斜率为，则切线方程为，即.13．【详解】，又，所以，因为，所以.14．【分析】根据数列范围及递推关系三角换元，结合二倍角正弦公式最后应用三角函数值域求解即可.【详解】因为所以设,当时取等号.故答案为：.15．【分析】（1）设公差为d ，根据等差数列的前n 项和公式与等比中项公式列出关于和d 的方程，求解即可得{a n }的通项公式；()2221011x xy x x y ⎧--=≠±⎨+=⎩()0x y y +=x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩M N ⎛ ⎝2MN =P Q M N 2PQ =0x y -=()11f =()1,1()223f x x x'=-()1321f ¢=-=()f x ()1,11()111y x -=⋅-0x y -=16()()()1|4P AB P B A P A ==()25P A =()()112144510P AB P A ==⨯=()35P B =()()()1110|365P AB P A B P B ===20252-[]2111,121n n a a a +∈-=-，，221111cos cos ,212cos 1cos cos2n n n n n n n a b a b a a b b b ++===-=-==，，20251232025=cos cos cos cos T b b b b ⨯⨯⨯⨯ 1123202512sin cos cos cos cos 2sin b b b b b b ⨯⨯⨯⨯⨯=2232025212sin cos cos cos 2sin b b b b b ⨯⨯⨯⨯=⨯ 332025312sin cos cos 2sin b b b b ⨯⨯⨯=⨯ L 20252025202512sin cos 2sin b b b ⨯=202620251sin 2sin b b =20251232025cos cos cos cos T b b b b =⨯⨯⨯⨯ 11232025sin cos cos cos cos b b b b b =⨯⨯⨯⨯⨯ 20252026202612025202520251sin sin 1sin 22sin 22b b b b -=⨯≤≤=20261sin 1,sin 0b b =>20252-1a（2）由（1）可得等比数列的第三项，进而得，从而得到{b n }的通项公式，利用等差和等比数列前n 项和公式分组求和即可求出.【详解】（1）因为{a n }为等差数列，设公差为d ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分由，得，即，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分由，，成等比数列得，，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分化简得，因为，所以．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分所以．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分所以数列{a n }的通项公式．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分（2）因为为公比是3的等比数列，，所以，即，所以，，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分所以⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分所以数列的前n 项和.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分16．【分析】（1）等价变形已知条件，得到，结合余弦定理即可得解.（2）法①：由余弦定理求出，最后根据即可得解；法②：由法①得中由正弦定理得，从而得解法③：由法①得中，由（1）问知，代入建立关于的方程，解方程得，从而得出；法④：由等面积法得，建立关于的方程，求得，代入求得，最后结合正弦定理即可得解.【详解】（1），{}n n a b +33a b +11a b +nT 749=S ()17477492a a a+⨯==47a ⇒=137a d +=2a 5a 14a 22514a a a =⋅()()()2772710d d d ⇒+=-+()()()2772710d d d +=-+220d d -=0d ≠2=d ()()*4421N n a a n d n n =+-=-∈()*21N n a n n =-∈{}n n a b +2733=+b a ()3311952227a b a b +=+⨯=+=11113a b b +=+=1333n nn n a b -+=⨯=()321n n b n =--()*N n ∈()123123333313521nn n T b b b b n ⎡⎤=+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+-⎣⎦()()12313121331322nn n n n +⨯-+--=-=--{}n b 12332n n T n +-=-222b c a bc +-=-CD =sin C ()sin sin B A C =+CD =ACD ∆sin ADC ∠π2ADC B ∠=+sin B =CD =ABD △a =222a b c bc =++c 2c =AD BD B BD ===ABC ABD ACD S S S =+V V V c 2c =222a b c bc =++a ()()22222()2b c a b c a b c a b bc c a bc +-++=+-=++-=则，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分所以，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分因为，所以.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（2）法①：由（1）得，，因为，所以，⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分如图在中，由余弦定理，即⋯⋯⋯⋯⋯8分在中由正弦定理，所以，⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分因为，故⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分在中⋯⋯⋯15分法②：同解法①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分在中由正弦定理，所以⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分又因为，即，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分所以⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分法③同上⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分在直角中，所以，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分由（1）问知，所以，即，即，所以，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分222b c a bc+-=-2221cos 22b c a A bc +-==-0πA <<2π3A =2π3A =3BAD CAD ∠=∠π6CAD ∠=ACD ∆2222cos CD AD AC AD AC DAC∠=+-⋅31647=+-=CD =ACD ∆sin sin CD AD DAC C ∠==sin C =π03C <<cos C ==ABC ∆()1sin sin sin cos cos sin 2B A C A C A C =+=+=-=CD =ACD ∆sin sin CD AC DAC ADC=∠∠4sin ADC =∠sin ADC ADC ∠∠===π2ADC BAD B B ∠∠∠=+=+πcos 2B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin B =CD =ABD △BD =a =+222a b c bc =++22416c c =++2210416c c c +=++23,c =+2440c c -+=2c =AD BD B BD ==法④如图由（1）知，则，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分因为，所以，⋯⋯⋯⋯⋯10分所以，即⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分在中，由正弦定理，解得⋯⋯⋯⋯⋯15分17．【分析】（1）结合中点，利用面面垂直的性质定理证明平面，从而利用线面垂直的性质定理得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）过作交于点，设，建立空间直角坐标系，然后利用向量法求解二面角的正弦值即可.【详解】（1），为中点，.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分又平面平面，平面平面，平面，平面，而平面，.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分又为的中点，，又，.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分又平面，平面.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分（2）过作交于点，设，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分则，，，，故，，，.⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分设为平面的法向量，则，即，2π3A=π6CAD∠=ABC ABD ACDS S S=+VVV12π11π4sin423226c⨯=+⨯=2c=222164828a b c bc=++=++=a=ABC∆sin sina bA B=4sin B=sin B==SE⊥ABCSE AB⊥EEM AC⊥AB M2AC=A SB C--SC AS=E AC∴SE AC⊥SAC⊥ABC SAC ABC AC=SE⊂ABC∴SE⊥ABCAB⊂ABC∴SE AB⊥D AB∴//DE BC BC AB⊥∴DE AB⊥,,DE SE E DE SE=⊂SDE∴AB⊥SDEE EM AC⊥AB M2AC=E,,EM EC ES,,x y z()0,1,0A-()0,1,0C(S1,02B⎫⎪⎪⎭(AS=3,02AB⎫=⎪⎪⎭(0,CS=-1,02CB⎫=-⎪⎪⎭()111,,m x y z=SABm ABm AS⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩m ABm AS⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，取，则，是平面的一个法向量.设为平面的法向量，则，即，，取，则，是平面的一个法向量.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分设二面角的大小为，则⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分二面角⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分18．【分析】（1）由已知可得，由椭圆的定义可得，根据椭圆中，，的关系可得，即可求解；（2）设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立直线和椭圆构成的方程组，根据可得，由韦达定理可得，，再根据或，即可求解.【详解】（1）由题意，设的标准方程为，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分则，，即，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分所以，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分所以的标准方程为；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（2）设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由联立得，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分由题意，即，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分，，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分∴11113020x y y +=⎪=⎩13x =111y z ==∴()3,m =SAB ()222,,n x y z = SBC n CS n CB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 00n CS n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴22220102y y ⎧-=-=21x =221y z ==∴()n =SBC ∴cos ,m n m n m n ⋅===⋅A SBC --θsin θ==∴A SB C --c =2a =a b c 2b 0∆>214k >12x x +21x x 212OAB S x =-=V 232k =920C 22221x y a b+=()0>>b a c =24a =2a =2221b a c =-=C 2214x y +=2244x y y kx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩()221440k x +++=()222Δ128161464160k k k =-+=->214k >12x x +=122414x x k =+显然直线过定点，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分所以所以⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分所以，解得或，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分均满足，所以⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分19．【分析】（1）先求定义域，再求导，分，，和四种情况，求出函数的单调性；（2）变形得到，构造，定义域为，求导，结合零点存在性定理得到存在唯一的，使得，故，并得到的单调性和最小值，求出最小值.【详解】（1）的定义域为，故，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分若时，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分当时，若时，，故在上单调递增，⋯⋯⋯⋯⋯4分若时，，令得或，令得，故在，上单调递增，在上单调递减；若时，，令得或，令得，故在，上单调递增，在上单调递减；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；()12x x -==212OAB S x =-=V =424078270k k -+=232k =920214k >k =0a ≤1a =01a <<1a >e 1ln 0x x x x ---≥()e 1ln xx x x t x ---=()0,∞+01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00t x '=001e x x =()e 1ln x x x x t x ---=()()0000ln t x x x =-+=()()211ln 2f x ax a x x =-++()0,∞+()()()()()2111111ax a x ax x f x ax a x x x-++--'=-++==0a ≤()0f x '>01x <<()0f x '<1x >()f x ()0,1()1,+∞0a >1a =()()210x f x x-'=≥()f x ()0,∞+01a <<11a >()0f x '>01x <<1x a>()0f x '<11x a<<()f x ()0,11,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,a ⎛⎫⎪⎝⎭1a >11a <()0f x '>10x a <<1x >()0f x '<11x a<<()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭()1,+∞1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭0a ≤()f x ()0,1()1,+∞当时，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分（2）依题意，化为，即，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分令，定义域为，，其在上单调递增，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分又，，由零点存在性定理得，存在唯一的，使得，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分即，故，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，也是最小值，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分其中，两边取对数得，故，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分所以，所以，证毕.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17分【点睛】关键点点睛：由导函数的单调性和零点存在性定理得到，存在唯一的，使得，故，并求出的最小值，证明出不等式.1a =()f x ()0,∞+01a <<()f x ()0,11,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,a ⎛⎫⎪⎝⎭1a >()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭()1,+∞1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()2ln 1f x g x x ax +≥--()22111ln e 22ln 122x ax a x x x ax x ax -+++--≥--e 1ln 0x x x x ---≥()e 1ln xx x x t x ---=()0,∞+()()11e 1x x xt x +=--'()0,∞+121322e 30t ⎛⎫' ⎪⎭-⎝<=()2e 201t =->'01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00t x '=()00011e 10x x x +--=001e x x =()00,x x ∈()0t x '<()0,x x ∈+∞()0t x '>()e 1ln xx x x t x ---=()00,x x ∈()0,x x ∈+∞()e 1ln xx x x t x ---=0x x =()()0000000001e 1ln 1ln ln xt x x x x x x x x ==-=-+-----001e x x =0001ln ln x x x ==-()()0000ln t x x x =-+=()e 1ln xx x x t x ---=0≥()()2ln 1f x g x x ax +≥--01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00t x '=001e xx =()e 1ln x x x x t x ---=()()00000000010e 1ln 1ln ln x t x x x x x x x x ==-----+--==。

安徽省六安第一中学2025届高三上学期第二次月考(9月)数学试卷

安徽省六安第一中学2025届高三上学期第二次月考(9月)数学试卷

安徽省六安第一中学2025届高三上学期第二次月考（9月）数学试卷一、单选题1．已知集合(){}ln 4A x y x ==-，{}1,2,3,4,5B =，则A B =I （ ） A ．{5}B ．{1,2,3}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,5}2．已知31cos(),cos()55αβαβ-=-+=，则sin sin αβ=（ ）A ．35-B ．25-C ．25D ．353．已知命题p ：“tan 2α=”，命题q ：“3cos25α=-”，则命题p 是命题q 的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角α，β的顶点均为坐标原点，始边均为x 轴正半轴，终边分别过点()1,2A ，()2,1B -，则tan2αβ+=（ ）A ．3-或13B ．3或13- C ．3- D ．135．已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．40,3⎛⎤⎥⎝⎦ C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭6．当x θ=时，()26sin 2sin cos 3222x x xf x =+-取得最大值，则tan θ=（ ）A ．3B ．3-C ．13D ．13-7．已知23ln 2,2ln3,3ln a b c πππ===,则( ) A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c >>8．已知函数()(),f x g x 的定义域均为R ，()g x '为()g x 的导函数，且()()()()2,42f x g x f x g x ''+=--=，若()g x 为偶函数，则()()20222024f g '+=（ ） A ．0B ．1C ．2D ．4二、多选题9．先将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再把图象向右平移π12个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数()g x 的图象，则关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．最小正周期为πB ．在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()2g x ⎤∈⎥⎝⎦D ．其图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称10．设函数2()(1)(4)f x x x =--，则（ ）A ．1x =是()f x 的的极小值点B ．(2)(2)4f x f x ++-=-C ．当π02x <<时，()2(sin )sin f x f x >D ．不等式4(21)0f x -<-<的解集为{}12x x <<11．在ABC V 中，7AB =，5AC =，3BC =，点D 在线段AB 上，下列结论正确的是（ ）A ．若CD 是高，则1514CD =B ．若CD 是中线，则CD =C ．若CD 是角平分线，则158CD =D ．若3CD =，则D 是线段AB 的三等分点三、填空题12．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为． 13．已知a 、b 、c 分别为ABC V 的三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，则ABC V 面积的最大值为．14．若12,x x 是函数()()21e 12xf x ax a =-+∈R 的两个极值点且212x x ≥，则实数a 的取值范围为.四、解答题15．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，ππ22ϕ-<<），函数()f x 和它的导函数f ′ x 的图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式； (2)已知()65f α=，求π212f α⎛⎫- ⎪⎝⎭'的值.16．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B ． (1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC V 存在，求ABC V 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足sin cos sin2cos sin 1cos2A A BA A B+=-+．(1)若π3C =，求A 的大小； (2)求222c a b+的取值范围．18．设函数2π()(sin cos )22f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 单调递减区间. (2)已知函数21π()()1sin 26g x f x x ⎡⎤=--⋅⎢⎥⎣⎦， ①证明：函数()g x 是周期函数，并求出()g x 的一个周期； ②求函数()g x 的值域.19．已知函数()ln(1)sin f x x x λ=+-． (1)求函数()f x 在0x =处的切线方程；(2)当1λ=时，判断函数()f x 在π,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上零点的个数；(3)已知()()21e xf x ≥-在[0,π]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围．。

2025届江门市高三数学上学期第二次月考试卷及答案解析

2025届江门市高三数学上学期第二次月考试卷及答案解析

2024--2025学年新会华侨中学高三第一学期第二次月考数学试题本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{}2,4U M =ð，则（ ）A. 1M ÍB. 4MÍ C. 5MÎ D. 3MÏ【答案】C 【解析】【分析】由补集运算得出集合M ，再由元素与集合的关系判断．【详解】因为全集{}{}1,2,3,4,5,2,4U U M ==ð，所以{1,3,5}M =，根据元素与集合的关系可知，ABD 错误，C 正确．故选：C ．2 已知()()10()sin π0x x f x x x -ì-<ï=í³ïî，则()()3f f -=（ ）A. B. 0 C.12D.【答案】D 【解析】【分析】先求()133f -=，再求()()1π3sin 33f f f æö-==ç÷èø，即可求解.【详解】根据已知()()11333f --=--=，所以()()1π3sin 33ff f æö-===ç÷èø故选：D .3. 若“x a >”是“1x >”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为（ ）A. (),1-¥ B. (],1-¥ C. ()1,+¥ D. [)1,+¥【答案】A 【解析】【分析】由题意可得{}1x x >⫋{}x x a >，再根据集合的包含关系求参即可..【详解】因为“x a >”是“1x >”的必要不充分条件，所有{}1x x >⫋{}x x a >，所以1a <，即实数a 的取值范围为(),1-¥．故选：A ．4. 已知πcos 4a æö+=ç÷èøsin 2a =（ ）A. 56- B. 23-C.23D.56【答案】C 【解析】【分析】代入二倍角公式，以及诱导公式，即可求解.【详解】由条件可知，22ππ2cos 22cos 121243a a æöæö+=+-=´-=-ç÷ç÷èøèø，而π2sin 2cos 223a a æö=-+=ç÷èø.故选：C5. 若1nx æöç÷èø的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中51x 的系数为（ ）A. 8 B. 28 C. 70 D. 252【答案】D 【解析】【分析】先确定n 值，再由二项展开式的通项求解5x -项的系数即可.【详解】因为二项展开式中当且仅当第5项是二项式系数最大的项，即二项式系数01C ,C ,,C nn n n L 中第5个即4C n 最大，所以由二项式系数的性质可知，展开式中共9项，8n =，又811213nx x x -æöæö-=-ç÷ç÷èøèø，则81123x x -æö-ç÷èø二项展开式的通项公式()81831822188C 3C (1)3rrr r r r rr T x x x ----+æö=-=-ç÷èø，0,1,2,,r n =L .令835,62r r -=-=，所以51x 的系数为62288C 39C 252×==．故选：D ．6. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）A. yB. y =C. y =D. y =【答案】C 【解析】【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可.【详解】A 选项：1|1x y ==>，故A 错误；B 选项：记()f x =()()f x f x -=-=-，故()f x 为奇函数，不符合题意，故B 错误；C 选项：记()h x =()()h x h x -=，故y =当0x ³时，y ==，此函数在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，且()()()00,11,20h h h ===，故C 正确；D 选项：记()g x =()()g x g x -=¹-，故()g x 既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D 错误.故选：C.7. 已知函数221(2)()15(2)24x ax x x f x x ì+->ï=íæö-£ïç÷èøî是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,1]-¥-B. 1,2æù-¥-çúèûC. (,0]-¥D. (,1]-¥【答案】A 【解析】【分析】首先由题意有(2)1f =-，若()f x 是R 上的减函数，故只需当2x >时，()221f x ax x =+-单调递减，从而列出不等式组，解不等式组即可.【详解】当2x £时，15()24xf x æö=-ç÷èø单调递减，a ÎR ，且()f x 最小值(2)1f =-，当2x >时，当0a =时，()21f x x =-单调递增，不符题意，又注意到()f x 是R 上的减函数，故只能抛物线()221f x ax x =+-的开口向下即0a <，其对称轴为1x a=-，则由题意有201222211a a a <ìïï-£íï´+´-£-ïî，解得1a £-．故选：A.8. 已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当121x x <<时，()()()21210f x f x x x -->éùëû恒成立，设1ln 2a f æö=ç÷èø，()2log 3b f =，32c f æö=ç÷èø，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. c a b >> B. c b a>> C. a c b>> D. b a c>>【答案】C 【解析】为【分析】先结合条件判断函数()f x 的对称性质和单调性，再分别界定三个自变量的值或者范围，利用函数对称性和单调性即得.【详解】依题可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且在区间(,1)-¥上单调递增,则在区间(1,)+¥上单调递减.因2ln 213=<<，则131ln 22<<，23log 322<<，故213()()(log 3)2ln 2f f f >>，即a c b >>.故选：C.【点睛】关键点点睛：解题的关键在于，得知了函数在(1,+)¥上的单调性之后，如何判断三个自变量的大小范围，考虑到三个都是大于1的，且有一个是32，故对于2log 3和1ln 2，就必然先考虑它们与32的大小，而这需要利用对数函数的单调性得到.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布(100,100)N ，其中90分为及格线，120分为优秀线，下列说法正确的是（ ）附:随机变量x 服从正态分布2~(,)N m s ，则()0.6826P m s x m s -<<+=，(22)0.9544P m s x m s -<<+=，(33)0.9974P m s x m s -<<+=.A. 该市学生数学成绩的标准差为100B. 该市学生数学成绩的期望为100C. 该市学生数学成绩的及格率超过0.8D. 该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布网线的对称性，正态分布的概念判断．【详解】X 服从正态分布(100,100)N ，则标准差为10，期望为100，A 错，B 正确，100,10m s ==，11(90)()(1())(10.6826)0.158722P X P X P X m s m s m s £=£-=--<<+=´-=，(90)1(90)10.15870.84130.8P X P X ³=-<=-=>，C 正确；及格线m s -，而优秀线是2m s +，1(120)(2)(10.9544)0.02282P X P X m s ³=>+=´-=，这优秀率，优秀率与及格率相差很大，人数相差也很大，D 错．故选：BC ．10. 下列命题正确的是（ ）A. 命题“1x ">，20x x ->”的否定是“01x $£，2000x x -£”；B. 如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充分必要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的必要不充分条件C. 函数()21f x ax x =++的图象恒在()2g x x ax =+的图象上方，则a 的范围是()1,5D. 已知111222,,,,,a b c a b c 均不为零，不等式不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为M 和N ，则“111222a b c a b c ==”是“M N =”成立的既不充分也不必要条件【答案】BD 【解析】【分析】借助全称命题的否定的定义可得A ；借助充分条件与必要条件的关系推导可得 B ；借助作差法结合二次函数的性质计算可得C ；结合充分条件与必要条件的定义，举出相应反例可得D.【详解】对A ：命题“1x ">，20x x ->”的否定是“01x $>，2000x x -£”，故A 错误；对B ：由A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充分必要条件，可得A 是C 的必要不充分条件，由D 是C 的充分不必要条件，则A 是D 的必要不充分条件，故B 正确；对C ：由题意可得()()2201f g x x x x a a x x ---++>=恒成立，即()()20111a x a x -++>-恒成立，则当1a =时，有10>恒成立，符合要求，当1a >时，()()()()2141150a a a a D =---=--<，解得()1,5a Î，当1a <时，()()20111a x a x -++>-不恒成立，故舍去，综上所述，a 的范围是[)1,5，故C 错误；对D ：若“1112220a b c a b c ==<”，则“M N =”不成立，是若“M N ==Æ”，则“111222a b c a b c ==”不恒成立，故“111222a b c a b c ==”是“M N =”成立的既不充分也不必要条件，故D 正确.故选：BD .11. 已知函数()sin cos f x a x x =+的图象关于π3x =对称，下列结论中正确的是（ ）A. π6f x æö-ç÷èø是奇函数B. π4f æö=ç÷èøC. 若()f x 在[,]m m -上单调递增，则π03m <£D. ()f x 的图象与直线π23y x =+有三个交点【答案】AC 【解析】【分析】先函数对称性求解a ，得到()f x 的解析式.A 项，化简π2sin 6f x x æö-=ç÷èø可知为奇函数；B 项，代入解析式求值即可；C 项，利用整体角求()f x 的单调递增区间，由2ππ33m m -£-<£可得m 范围；D 项，利用导数可知直线恰为曲线在π,06æö-ç÷èø处的切线，进而可得公共点个数.【详解】因为()f x 的图象关于直线π3x =对称，所以2π(0)3f f æö=ç÷èø112-=，解得a =所以π()cos 2sin 6f x x x x æö=+=+ç÷èø，验证：当π3x =时，π23f æö=ç÷èø，()f x 取最大值，故()f x 的图象关于直线π3x =对称，满足题意；A 项，π2sin 6f x x æö-=ç÷èø，x ∈R ，由2sin()2sin x x -=-，则π6f x æö-ç÷èø是奇函数，故A 正确；B 项，由)πππcos 1444f æö=+=+=ç÷èøB 错误；C 项，π()2sin 6f x x æö=+ç÷èø，由πππ2π2π,262k x k k -+£+£+ÎZ ，解得2ππ2π2π,33k x k k -+££+ÎZ ，当0k =时，32π3π-££x ，由()f x 在[,]m m -上单调递增，则2ππ33m m -£-<£，解得π03m <£，故C 正确；D 项，π()2sin 6f x x æö=+ç÷èø的图象与直线π23y x =+均过点π,06æö-ç÷èø，由π()2cos 6f x x æö=+ç÷èø¢，则π2cos 026f æö-==ç÷èø¢，故直线π26y x æö=+ç÷èø即π23y x =+与曲线π()2sin 6f x x æö=+ç÷èø相切，如图可知()f x 的图象与直线π23y x =+有且仅有一个公共点，故D 错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知x ，y 之间的一组数据：若y ˆˆy a =+，则此曲线必过点_____________.x 14916y12.98 5.017.01【答案】(6.25,4)【解析】【分析】设t =ˆˆˆybt a =+，根据回归方程性质可得回归直线所过定点.【详解】由已知ˆˆya =，设t =ˆˆˆybt a =+，由回归直线性质可得(),t y 在直线ˆˆˆybt a =+上，又1234 2.54t +++==，1 2.98 5.017.0144y +++==，所以点()2.5,4在直线ˆˆˆybt a =+上，故点(6.25,4)在曲线ˆˆy a =上.故答案为：(6.25,4).13. 诗词是中国的传统文化遗产之一，是中华文化的重要组成部分．某校为了弘扬我国优秀的诗词文化，举办了校园诗词大赛，大赛以抢答形式进行．若某题被甲、乙两队回答正确的概率分别为11,43，且甲、乙两队抢到该题的可能性相等，则该题被答对的概率为___________．【答案】724【解析】【分析】分甲抢到题且答对和乙抢到题且答对两种情况计算即可．【详解】解：由题意，甲、乙两队抢到该题的概率均为12，该题被答对的概率为11117242324´+´=．故答案：724．14. 函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足()(2)f x f x =-，若(1)3f =，则(1)(2)(50)f f f +++=L __________．【答案】3【解析】【分析】首先由函数的奇偶性和对称性，分析函数的周期性，再求值.【详解】()(2)f x f x =-Q ，(2)()f x f x \+=-，又()f x 奇函数，(2)()(),(4)(2)()f x f x f x f x f x f x \+=-=-+=-+=()f x \是周期为4的周期函数，为为()f x Q 是定义在R 上的奇函数，(0)0,(4)(0)0f f f \=\==，(2)(0)0,(3)(1)(1)3f f f f f ===-=-=-(1)(2)(3)(4)0f f f f \+++=，()()()()()12...50012123f f f f f \+++=´++=.故答案为：3．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，属于中档题型，本题关键是能够通过对称性与周期性的关系确定函数的周期，进而确定函数值的变化特点．四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数2111222f x x x æö-=--ç÷èø.（1）求函数()f x 的解析式；（2）对任意的实数1,22x éùÎêúëû，都有()113222f x x ax ³+-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1) ()()2471f x x x x R =++Î;(2) (],7a Î-¥.【解析】【详解】试题分析：()1用换元法令112t x =-来求函数()f x 的解析式（2）由（1）得()f x 的解析式代入，分离含参量123a x x æö£++ç÷èø，求出实数a 的取值范围解析：（1）令11222t x x t =-Þ=+∴()()()21222222f t t t =+-+- 2471t t =++即：∴()()2471f x x x x R =++Î.（2）由()11312222f x x ax ³+-Þ ()21347122x x x ax ++³+-即：2232ax x x £++又因为：1,22x éùÎêúëû，∴123a x x æö£++ç÷èø令()123g x x x æö=++ç÷èø，则：()min a g x £又()g x 在1,12x éùÎêúëû为减函数，在[]1,2x Î为增函数.∴()()min 17g x g ==∴7a £，即：(],7a Î-¥.点睛：在解答含有参量的恒成立问题时，可以运用分离含参量的方法，求解不等式，注意分类讨论其符号，最后求解结果．16. 记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知)()()sin sin sin a A b c B C -=+-．（1）求角C ；（2）若ABC V 外接圆的半径为2，求ABC V 面积的最大值．【答案】（1）π6C =（2）2+【解析】【分析】（1）运用正弦定理实现边角转化，结合余弦定理进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合外接圆的半径可以求出2c =，根据三角形面积公式、利用重要不等式进行求解即可.【小问1详解】由已知及正弦定理可得)()()a a b c b c -=+-，整理得222a b c +-=，222cos 2a b c C ab +-\==，()π0,π,6C C Î\=Q ．【小问2详解】ABC QV 外接圆的半径为2，4sin cC\=，得222,4c a b =\+=，又(222,42a b ab ab +³\£，当且仅当a b ==时，等号成立，(111sin 422222ABC S ab C \=£´+´=+V ，V面积的最大值为2+．即ABC17. 为响应国家使用新能源的号召，促进“碳达峰碳中和”的目标实现，某汽车生产企业在积极上市四款新能源汽车后，对它们进行了市场调研.该企业研发部门从购买这四款车的车主中随机抽取了50人，让车主对所购汽车的性能进行评分，每款车的性能都有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，各评分及相应人数的统计结果如下表.汽车款式合计汽车性能基础版豪华版一般优秀合计性能评分12345汽车款式基础版122310基础版基础版244531豪华版113541豪华版豪华版200353（1）求所抽车主对这四款车性能评分的平均数和第90百分位数；（2）当评分不小于4时，认为该款车性能优秀，否则认为性能一般.根据上述样本数据，完成上面列联a=的独立性检验，能否认为汽车的性能与款式有关？表，并依据0.05（3）为提高这四款新车的性能，现从样本评分不大于2的基础版车主中，随机抽取3人征求意见，记X 为其中基础版1车主的人数，求X的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dc-=++++.a0.100.050.010.005xa2.7063.841 6.6357.879【答案】（1）3，4.5（2）列联表见解析，依据0.05a=的独立性检验，能认为汽车的性能与款式有关；（3）分布列见解析，1【解析】【分析】（1）根据平均数公式求平均数，根据百分位数定义求第90百分位数；（2）由条件数据填写列联表，提出零假设，计算2c，比较2c与临界值的大小，确定结论；（3）由条件可得X服从超几何分布，确定其取值，求取各值的概率，可得分布列，再由期望公式求期望.【小问1详解】由题意得这四款车性能评分的平均数为1 (172931641355)350´+´+´+´+´´=；509045´%=，所以第90百分位数为50数从小到大排列的45和第46个数的平均数，由已知50数从小到大排列后的第45个数为4，第46个数为5，故第90百分位数为454.5 2+=；【小问2详解】由题意得汽车款式汽车性能基础版豪华版合计一般201232优秀51318合计252550零假设为0H ：汽车性能与款式无关，根据列联表中的数据，经计算得到220.0550(2013125)505.556 3.841321825259x c ´´-´==»>=´´´.根据小概率值0.05a =的独立性检验，推断0H 不成立，即认为汽车性能与款式有关，此推断犯错误的概率不超过0.05；【小问3详解】由题意可得X 服从超几何分布，且12N =，4M =，3n =，由题意知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，则38312C 14(0)C 55P X ===，1482123C C (1)C 2855P X ===，824312112C C (2)C 55P X ===，34312C 1(3)C 55P X === 所以X 的分布列为X123P1455285512551551428121()0123155555555E X =´+´+´+´=.18. 已知锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos a c c B -=．（1）证明：2B C =；（2）若2a =，求cos 1C b c+的取值范围．【答案】（1）证明见解析 （2）33,42æöç÷èø【解析】【分析】（1）由正弦定理、两角和差的正弦公式化简得sin()sin B C C -=，进一步即可证明；（2）由题意首先求得cos C 的取值范围，进一步将目标式子cos 1C b c+转换为只含有cos C 的式子即可求解．【小问1详解】因为2cos a c c B -=，由正弦定理得sin sin 2sin cos A C C B -=，所以sin cos sin cos sin 2sin cos B C C B C C B +-=，所以()sin cos sin cos sin sin sin B C C B C B C C -=Û-=，而0π,0C πB <<<<，则B C C -=或πB C C -+=，即2B C =或B π=（舍去），故2B C =．【小问2详解】因为ABC V 是锐角三角形，所以π02π022π0π32C C C ì<<ïïï<<íïï<-<ïî，解得ππ64C <<，所以cos Ccos C <<，由正弦定理可得：sin sin b B c C =，则sin sin 22cos sin sin B C b c c C c C C=×=×=×，所以cos 12C b c =，所以cos 132C b c c+=，因为2cos a c c B -=，所以22cos 2c c C -=，所以22cos 21c C =+，所以()()234cos 132cos 21cos 13342442cos 21C C C b c c C -++====+，因为cos CÎ，所以24cos 1C -Î()1,2，所以()234cos 1cos 14C C b c -+=的取值范围是33,42æöç÷èø．19. 已知()x x a b f x a b+=-（0a >且1a ¹）是R 上的奇函数，且()325f =.设()()()2f x F x f x =.（1）求a ，b 的值，并求()F x 的值域；（2）把区间()0,2等分成2n 份，记等分点的横坐标依次为i x ，1,2,3,,21i n =-L ，设()142321x g x -=-+，记()()()()()()*12321g g g g n H n x x x x n -=++++ÎN L ，是否存在正整数n ，使不等式()()F x H n ≥有解?若存在，求出所有n 的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）答案见解析（2）存在，n =1，2或3【解析】【分析】（1）由()f x 是R 上的奇函数，且()325f =求出,a b 可得()f x 及()F x ，利用分离常量求出()F x 的值域；（2）()()113g x f x =-+得出()g x 的图象关于11,3æöç÷èø对称，所以()()223i i g x g x +-=，利用对称性求出()H n 可得答案.【小问1详解】因为()x x a bf x a b+=-（0a >且1a ¹）是R 上的奇函数，且()325f =，所以()()002200325a bf a b a b f a b ì+==ïï-í+ï==ï-î，解得21a b =ìí=-î，则()2121x x f x -=+，因为定义域为R ，()()21212121x x x x f x f x -----==-=-++，所以()f x 是R 上的奇函数，故2,1a b ==-，()()()2222221212221212121x x x x x x x f x F x f x -++×+==´=+-+()22212221012122x x xx x x ++×==+¹++，因为20x >，所以()221121222x xF x =+£+=+，当且仅当122xx=，即x =0时等号成立，所以()2F x <又x R Î时，()211122xxF x =+>+，所以()12F x <<，即()F x 的值域为()1,2；【小问2详解】把区间()0,2等分成2n 份，则等分点的横坐标为i ix n=，1,2,3,,21i n =-L ，()()1142211113212133x x g x f x --=-=-+=-+++，()f x 为奇函数，所以()g x 的图象关于11,3æöç÷èø对称，所以()()223i i g x g x +-=，1,2,3,,21i n =-L ，所以()122221g g g g n n H n n n n n --æöæöæöæö=++++ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL 12122211n n n n n g g g g g g g n n n n n n n éùéùéù---+æöæöæöæöæöæöæö=+++++++ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷êúêúêúèøèøèøèøèøèøèøëûëûëûL 122212133333n n --=++++=L 1442443项所以()2123n H n -=<，即72n <.故存在正整数1,2n =或3，使不等式()()f x H n ³有解.【点睛】关键点点睛：第二问的解题的关键点是判断出()()113g x f x =-+，()g x 的图象关于11,3æöç÷èø对称，所以()()223i i g x g x +-=.。

湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期11月月考(第二次大联考)数学试题含答案

湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期11月月考(第二次大联考)数学试题含答案

湖南省三湘名校教育联盟2024-2025学年高三上学期第二次大联考（11月）数学试题（答案在最后）本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本式卷和答题卡上．2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本式卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，则集合A B 中所含整数的个数为A.2 B.3C.4D.52.已知3i12iz -=+，则z 的虚部为A.75B.75-C.15-D.153.“202520251ab>”是“33a b >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.已知()1sin 104θ︒+=-，则()sin 2110θ︒+=A.78B.18C.18-D.78-5.经研究表明：光源发射出来的粒子在没有被捕获之前属于光子，光子在离开光源后会与各种粒子撞击，其动量可能会改变，导致其速度降低，最终可能改变身份成为其他范围的粒子（如红外线粒子），不再能被人类的感光设备捕获.已知在某次光学实验中，实验组相关人员用人类感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A ，B ，通过数学建模与数据分析得知，此时刻在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为(4,3),(2,10)A B s s == ，设光子B 相对光子A 的位移为s ，则s 在A s上的投影向量的坐标为A.43,55⎛⎫⎪⎝⎭B.(2,7)- C.5239,2525⎛⎫⎪⎝⎭ D.43,2525⎛⎫⎪⎝⎭6.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为1,2d a =也为等差数列，则d 的值为A.2B.3C.4D.87.已知函数1()ln 2(1)x f x x m x m+=+≠+关于点(,4)n 中心对称，则曲线()y f x =在点(n m -，())f n m -处的切线斜率为A.14 B.74C.38D.1388.ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πcos cos 2,3b Cc B A +==，则ABC 的内切圆半径的最大值为A.2B.3C.2D.1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知正数x ，y 满足21x y +=，则A.81xy B.1412x y+ C.22142x y +D.1(1)4x y +10.三棱台111ABC A B C -中，112AB A B =，设AB 的中点为1,E AA 的中点为1,F A E 与BF 交于点1,G A C 与1C F 交于点H ，则A.直线GH 与直线1BB 异面B.1//GH BC C.线段AE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PCD.线段BE 上存在点P ，使得1//BC 平面1A PC11.设函数2()e ,x f x nx n n +=-+∈N ，记()f x 的最小值为n a ，则A.122a a >- B.1n a n +C.()()n f a f n > D.n m n ma a a +>+三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知命题：“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，则a 的取值范围是______．13.已知P 为边长为4的正六边形ABCDEF 内部及其边界上的一点，则AP AB ⋅的取值范围是______.14.三棱锥P ABC -中，AB AC AB AC ==⊥，平面PBC ⊥平面ABC ，且PB PC =.记P ABC -的体积为V ，内切球半径为r ，则21r V-的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()2cos 2,(0,π)f x x x x =+∈.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，求m 的取值范围.16.（本小题满分15分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)n n S n a =+.（1）探究数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是否为单调数列；（2）求数列{}2na n a ⋅的前n 项和nT .17.（本小题满分15分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是菱形，四面体11A BC D 的体积与四面体111A B BC 的体积之差为12,A BD 的面积为（1）求点A 到平面1A BD 的距离；（2）若11111,,2A B A D A B A C BD =⊥=，求锐二面角11A BD C --的余弦值．18.（本小题满分17分）已知函数2()ln 2x f x ax ax x =+-在(0,)+∞上有两个极值点12,x x ，且21x x <.（1）求a 的取值范围；（2）当21(1,e)x x ∈时，证明：122eln ln e 1x x <+<+.19.（本小题满分17分）对于(2,3,)m m = 项数列{}n a ，若满足111m miii i a am ==-=-∑∑，则称它为一个满足“绝对值关联”的m 阶数列．（1）对于一个满足“绝对值关联”的m 阶数列{}n a .证明：存在,{1,2,,}i j m ∈ ，满足0i j a a <；（2）若“绝对值关联”的m 阶数列{}n a 还满足(1,2,,)i a i m λ=，则称{}n a 为“绝对值λ关联”的m 阶数列．①请分别写出一个满足“绝对值34关联”的4阶数列和满足“绝对值1关联”的5阶数列（不必论证，符合要求即可）；②若存在“绝对值λ关联”的n 阶数列(2)n ，求λ的最小值（最终结果用常数或含n 的式子表示）．三湘名校教育联盟•2025届高三第二次大联考•数学参考答案、提示及评分细则1.【答案】C 【解析】由题意可得{40},{31}A xx B x x =-=-∣∣ ，可得{30}A B x x =- ∣ ，故集合A B 中所含整数有3,2,1,0---，共4个，故选C.2.【答案】A 【解析】由题意可得3i (3i)(12i)32i 6i 17i 12i (12i)(12i)555z ------====++-，故17i 55z =+，其虚部为75，故选A.3.【答案】A 【解析】由202520251ab> 及指数函数的单调性可得0a b > ，令函数3()f x x =，易得()f x 单调递增，故当0a b > 时，一定有33a b >，故充分性成立，但由33a b >只能推出a b >，即必要性不成立，故“20252025a b >1 ”是“33a b >”的充分不必要条件，故选A.4.【答案】A 【解析】由题意可得()1sin 104θ︒+=-，故()()()()2sin 2110sin 90220cos 22012sin 10θθθθ︒︒︒︒︒+=++=+=-+2171248⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，故选A.5.【答案】C 【解析】由向量(4,3),(2,10)A B s s == ，可得(2,10)(4,3)(2,7)B A s AB s s ==-=-=-，所以s 在A s 上的投影向量为218135239(4,3),55252525A A A A As s s s s s ⋅-⎛⎫⋅=⨯=⋅= ⎪⎝⎭ ，故选C.6.【答案】C 【解析】易知232222n n d S a n d n d ⎛⎫-=+-+- ⎪⎝⎭也为等差数列，则232222d n d n d ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭为完全平方，则2322(2)02d d d ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，解得4d =，故选C.7.【答案】D 【解析】因为()f x 关于点(,4)n 中心对称，所以函数1()()4ln224x n g x f x n x n x m n ++=+-=++-++为奇函数，则240n -=，即2n =，且3ln 2x y x m +=++为奇函数，所以23m +=-，解得5m =-，故1()ln 5x f x x +=+-2,7x n m -=，且6()2(1)(5)f x x x '=-+-，故切线斜率为13(7)8f '=，故选D.8.【答案】B 【解析】设ABC 的内切圆半径为r ，由题意可得cos cos 2b C c B +=，由余弦定理可得2222a b c b ab +-⋅+2222222222222a c b a b c a c b c a ac a a +-+-+-⋅=+==，而11sin ()22ABC S bc A a b c r ==++ ，故2r =⋅2bcb c ++，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则224b c bc bc =+- ，当且仅当b c =时等号成立，而4=2()3b c bc +-，则b c +=，其中4bc ，故33222bc r b c =⋅=++=(24)t t < ，故24(2)6263t r t t -=⋅=-+ .故选B.9.【答案】AC 【解析】对于A ：因为21x y +=18xy ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故A 正确；对于B ：1424(2)8666x y x y x y x y x y y x +++=+=+++=+，当且仅当8x yy x =，即x =1,22y =时取等号，故B 错误；对于C ：因为22x y +，则22142x y + ，当且仅当2x y =，即11,42x y ==时取等号，故C 正确；对于D ：因为2112(1)1(1)2(1)2222x y x y x y ++⎡⎤+=⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦，当且仅当21x y =+，即1,02x y ==时取等号，这与x ，y 均为正数矛盾，故1(1)2x y +<，故D 错误，故选AC.10.【答案】AD 【解析】如图所示，对于A ，因为1BB ⊂/平面11,BC F BB 平面1BC F B =，故1BB 与平面1BC F 的交点为B ，且是唯一的.又因为B ，G ，H 三点不共线，所以GH 不经过点B ，又GH ⊂平面1BC F ，所以直线GH 与直线1BB 没有交点，即直线GH 与直线1BB 异面，故A 正确；对于B ，因为AB 的中点为1,E AA 的中点为F ，所以点G 是1A AB 的重心，:1:2FG GB =，若1//GH BC ，则1:1:2FH HC =，事实上：()()1111111222A H A C A A AC A F A C A F λλλλ==+=+=+112AC λ ，所以H 是1FC 的中点，1:1:2FH HC =不成立，故B 错误；对于CD 选项，如图，取线段BF 的中点Q ，连接1AQ 并延长，交BE于点P ，下证1//BC 平面1A PC ：由H 为1C F 的中点可知1//HQ BC ，又1BC ⊂/平面1,A PC HQ ⊂平面1A PC ，所以1//BC 平面1A PC ，故D 正确，C 错误；故选AD.11.【答案】BCD 【解析】由题意可得()e xf x n '=-，当(,ln )x n ∈-∞时，()0,()f x f x '<单调递减，当(ln ,)x n ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，故2(ln )ln n a f n n n n n ==+-．对于A ：12212,62ln 2,22a a a a ==---=-2ln 20>，即122a a <-，故A 错误；对于B ：设函数2()1ln ,,()2ln 1F x x x x x F x x x '+=--∈=--N ，设函数1()2ln 1,()2,1g x x x g x x x '=--=- 时，则()0()g x g x '>⇒单调递增，故()(1)10g x g =>⇒ ()0()F x F x '>⇒单调递增，故22()(1)01ln 0ln 11n F x F n n n n n n n n a n =⇒--⇒+-+⇒+ ，故B 正确；对于C ：易知ln n n >，又因为()f x 在(ln ,)x n ∈+∞上单调递增，故(ln )()(1)f n f n f n <<+ ()n f a ，故()()n f a f n >，故C 正确；对于D ：[ln ln()][ln n m m n a a a m n m n m n m n +--=+-+++-ln()]n m +，只需证明ln ln()0n m n m +-+>即可，而ln ln e n n m m +=，由e 1(1)x x x >+易得e n m >(1)m n m mn m n +=++，故ln ln()0n m n m +-+>，同理可得ln ln()0m n n m +-+>，故n m n a a +>+m a ，故D 正确，故选BCD ．12.【答案】（8,0-]【解析】因为命题“2,20x ax ax ∀∈--<R ”为真命题，当0a =时，20-<成立，当0a ≠时，则280a a a <⎧⎨∆=+<⎩，解得80a -<<，故a 的取值范围是(8,0]-，故答案为(8,0]-.13.【答案】[-8，24]【解析】由题意可得AB 的模为4，根据正六边形的特征及投影的定义可以得到AP 在AB方向上的投影长度的取值范围是[2,6]-，由数量积定义可知AP AB ⋅ 等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影长度的乘积，所以AP AB ⋅的取值范围是[8,24]-，故答案为[8,24]-.14.62+【解析】设三棱锥P ABC -的高为h ，依题意，可取BC 中点O ，连接OA ，OP ，则OA =1,OB OC OP h ===，则PBC 的面积为1,2h BC h ABC ⋅= 的面积112OA BC ⋅=，由21PA PB h ==+可得PBA 的面积为2212h +，于是三棱锥P ABC -2211h h +++，由等体积可知)2211133r hh h +++=⨯，所以2222222122122h h h r h h ++++==+，故21r V-=2222123221122h h h h h ++-+-=+.设函数22211()2x f x x +=+，且0x >，则()f x '=()2222222212121212x x x x x x +=++++，当3,()0,()2x f x f x '<<单调递减，3()02x f x '>>，()f x 单调递增，所以3()622f x f =+ ，所以62h =时，21r V -取得最小值62+62．15.【解析】（1）由题意可得π()32cos 22sin 2,(0,)6f x x x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭，………………2分令π2,(0,π)6z x x =+∈，则π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为π13πsin ,,66y z z ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭的单调递减区间是π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…………………………………………5分且由π3π22z ，得π2π63x ，所以()f x 的单调递减区间是π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………………………7分（2）当π,12x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2,2636x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为()f x 在区间π,12m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，……9分即sin y z =在ππ,236m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的最小值为-1，又因为π13π,66z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3ππ13π2,266m +< ……12分即2ππ3m < ，故m 的取值范围为2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭.……………………………………………………………13分16.【解析】（1）由题意得2(1)n n S n a =+，当2n 时，112n n S na --=，………………………………1分两式作差得112(1),(1)n n n n n a n a na n a na --=+--=，……………………………………………………3分所以11n n a a n n -=-，则数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数数列，………………………………………………………………5分无单调性，故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是单调数列.……………………………………………………………………6分（2）由（1）可得111n a a n ==，所以n a n =，故22an n n a n ⋅=⋅．……………………………………8分所以231222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，①……………………………………………………………10分23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ，②………………………………………………12分①-②得()231112122222222(1)2,12n nn n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⋅=---⋅- ……………14分所以1(1)2 2.n n T n +=-⋅+…………………………………………………………………………………15分17.【解析】（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，设四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为V Sh =（其中S 为菱形ABCD 的面积，h 为四棱柱ABCD -1111A B C D 的高），…………………………………………1分所以1ABDA 的体积为111236S h V ⋅=，同理四面体111A B BC 的体积为111236S h V ⋅=……………2分又因为四边形ABCD 是菱形，所以111122AO OC AC A C ===，所以点A 到平面1A BD 的距离为点1C 到平面1A BD 距离的一半，所以四面体11A BC D 的体积是四面体1ABDA 的体积的两倍，即13V ．……4分设点A 到平面1A BD 的距离为d ，则1111233663V V V d =-==⋅………………………………5分解得3d =分（2）如图，连接1OA ，由111A B A C ⊥得1A B AC ⊥，又四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又11,,A B BD B A B BD =⊂ 平面1A BD ，所以AC ⊥平面1A BD ，又1AO ⊂平面1A BD ，所以1A O AC ⊥，………………………………………………………………………………………………8分又11,A B A D BO BD ==，所以1A O BD ⊥，…………………………………………………………9分又,,BD AC O BD AC =⊂ 平面ABCD ，所以1A O ⊥平面ABCD ，以点O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，由（1）知12V =，且菱形ABCD的面积为S =，所以h ==………………………………11分依题意，1(0,0,0),((0,1,0),(O C B C -，易得平面1A BD的一个法向量为(0,0)OC =，…………………………………………………12分设平面1BC D 的一个法向量为(,,)n a b c =，又1(0,1,0),(OB OC ==- ，所以100OB n OC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00b a c =⎧⎨-=⎩，取(1,0,1)n = ，…………………………………………………13分故111cos ,2||n OC n OC n OC ⋅<>===⋅ ，……………………………………………………14分故锐二面角11A BD C --的余弦值为2.…………………………………………………………………15分【评分细则】本题第二问若考生通过利用几何法来求解二面角11A BD C --的平面角为11π4A OC ∠=，或者利用余弦定理等来直接求解二面角的余弦值，只要过程合理，最终答案正确均给满分，若过程有误或证明过程不严谨酌情扣一定的分数．18【解析】(1)易得()f x 定义域为(0,),()ln f x x a x '+∞=-，显然0a ≠.…………………………1分①当0a <时，()f x '单调递增，不可能有两零点，不合题意.…………………………………………2分②当0a >时，令函数()()g x f x '=，易得()x a g x x'-=，故(0,)x a ∈时，()0,()g x g x '<单调递减(,)x a ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增，……………………………………………………………4分当e a 时，有()()(1ln )0g x g a a a =- ，不可能有两零点；当e a >时，有()0,(1)10g a g <=>，由零点存在性定理可得()g x 在区间(1,)a 必有一个零点1x ．……………………………………………6分()2(2ln )g a a a a =-，令函数()2ln a a a ϕ=-，则2()10a aϕ'=->，即()a ϕ单调递增，故()(e)a ϕϕ>=e 20->，即()20g a >，故()g x 在(,)a +∞上有零点2x ，综上(e,)a ∈+∞．…8分（2）依题意有()()120g x g x ==，即1122ln ln 0x a x x a x -=-=，故得12211221ln ln ln ln x x x x a x x x x -====-2121ln x x x x -，…………………………………………………………10分因此2121122111ln ln ln 1x x x x x x x x x x ==--，令21(1,e)x t x =∈.则1ln ln 1t x t =-，同理2ln ln 1t t x t =-，故12eln ln x x +=e ln 1t t t +-，欲证122eln ln e 1x x <+<+，即证112ln (e 1)e e t t t t t --<<+++，……12分令函数1()ln 2e t m t t t -=-+，函数1()(e 1)ln ,(1,e)e t n t t t t -=+-∈+，只需证明()0,()0m t n t >>即可，又22222(e)2(e 1)(1)e 1()0(e)(e)t t t m t t t t t '+-+-+-==>++，……………………………………………………14分故()m t 是增函数，故()(1)0m t m >=，又222222(e 1)(e)1e ()e 1(e)(e)t t n t t t t t t '⎛⎫+-+==+-- ⎪++⎝⎭，令函数22e ()e 1h t t t =+--，则22e ()10h t t '=->，故()h t 单调递增，故()(1)0h t h >=，………………16分因此21()()0(e)n t h t t '=>+，故()n t 单调递增，故()(1)0n t n >=，故122eln ln e 1x x <+<+得证.17分【评分细则】第一问若考生求完导后用参变分离的方法来求参数范围，只要最终答案正确均给分，第二问也可用其他方法来证明，逻辑正确，严谨可酌情给分．19.【解析】（1）因为{}n a 为满足“绝对值关联”的m 阶数列，假设0i a ，则11110m m m m i i i i i i i i a a a a====-=-=≠∑∑∑∑1(2)m m - ，不满足题意，同理若0i a ，则111101(2)m m m mi i i i i i i i a aa a m m ====-=-+=≠-∑∑∑∑ ，也不满足题意，………………………………4分所以12,,,m a a a 中必有一些数小于0，也必有一些数大于0，不妨设121,,,0,,,,0l k k m a a a a a a +>< （其中1l k m << ），故存在{1,2,,},{,1,,}i l j k k m ∈∈+ ，满足0i j a a <．………………6分（2）①一个满足“绝对值34关联”的4阶数列为：3333,,,4444--；（答案不唯一，符合要求即可）8分一个满足“绝对值1关联”的5阶数列为：222,,,1,1333--；（答案不唯一，符合要求即可）……10分②设(1,2,,)i a i n λ= ，且111n n i i i i a an ==-=-∑∑．不妨设1212,,,0,,,,0k k k n a a a a a a ++< ，其中1k n < ，并记11,k n i i i i k a x a y ==+==∑∑，为方便起见不妨设x y （否则用i a -代替i a 即可），于是得11,n n i i i i ax y a x y ===+=-∑∑，因为111n n i i i i a a n ==-=-∑∑，即()()1x y x y n +--=-，所以11,22n n y x --=，一方面有1()2n y n k λ-=- ，另一方面12n x k λ- .所以1()n n k k n λλλ--+= ，即1n n λ- ，当且仅当n k k -=，即2n k =时等号成立.………13分（i ）当n 为偶数时，设*2,n s s =∈N ，则有前s 项为正数，后s 项为负数的数列111,,,n n n n n n --- ，111,,,n n n n n n ------ 是“绝对值1n n -关联”的n 阶数列，又1n n λ- ，所以λ的最小值为1n n -；……………………………………………………………………14分（ii ）当n 为奇数时，设*21,n s s =+∈N ，则11(),22n n y n k x k λλ--=- 等价于21s s k λ+- 且s k λ ，即λ不小于21s s k +-与s k中的最大者．……………………………………………………15分当k s =或1s +时，两者中的最大者均为1，有1λ ，当k s <或1k s >+时，有1s k >或121s s k>+-，则有1λ>，所以取k s =或1s +时，λ可能取得最小值1，且有前s 项为正数，后1s +项为负数数列1111,1,,1,,,,111n n n n n n ------+++ 符合题意，所以λ可以取得最小值1．…………………………………………………………………………………………16分综上所述λ的最小值为()*1,21,21n n s s n n s -⎧=⎪∈⎨⎪=+⎩N .……………………………………………………17分。

湖南省长沙市2025届高三上学期第二次月考数学试卷含答案

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湖南2025届高三月考试卷（二）数学（答案在最后）命题人､审题人：高三数学备课组时量：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数11i z =+的虚部是（）A.1 B.12 C.12- D.1-【答案】C【解析】【分析】先化简给定复数，再利用虚部的定义求解即可.【详解】因为()()11i 1i 1i 1i 1i 1i 222z --====-++-，所以其虚部为12-，故C 正确.故选：C.2.已知a 是单位向量，向量b 满足3a b -= ，则b 的最大值为（）A.2B.4C.3D.1【答案】B【解析】【分析】设,OA a OB b == ，由3a b -= ，可得点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，利用向量的模的几何意义，可得 b 的最大值.【详解】设,OA a OB b == ，因为3a b -= ，即3OA OB BA -== ，即3AB = ，所以点B 在以A 为圆心，3为半径的圆上，又a 是单位向量，则1OA = ，故OB 最大值为134OA AB +=+= ，即 b 的最大值为4.故选：B.3.已知角θ的终边在直线2y x =上，则cos sin cos θθθ+的值为（）A.23- B.13- C.23 D.13【答案】D【解析】【分析】由角θ的终边，得tan 2θ=，由同角三角函数的关系得cos 1sin cos 1tan θθθθ=++，代入求值即可.【详解】因为角θ的终边在直线2y x =上，所以tan 2θ=.所以cos 111sin cos 1tan 123θθθθ===+++.故选：D.4.已知函数()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩对任意的12,x x ∈R ，且12x x ≠，总满足以下不等关系：()()12120f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（）A.34a ≤ B.34a ≥ C.1a ≤ D.1a ≥【答案】D【解析】【分析】由条件判定函数的单调性，再利用指数函数、二次函数的性质计算即可.【详解】()()()12120f x f x f x x x ->⇒- 在上单调递增，又()2e 33,0,0x a x f x x a x ⎧+-<=⎨+≥⎩，当0x <时，()e 33xf x a =+-单调递增，当0x ≥时，()f x 单调递增，只需1330a a +-≤+，解得1a ≥.故选：D.5.如图，圆柱的母线长为4,,AB CD 分别为该圆柱的上底面和下底面直径，且AB CD ⊥，三棱锥A BCD -的体积为83，则圆柱的表面积为（）A.10πB.9π2C.4πD.8π【答案】A【解析】【分析】取AB 的中点O ，由13A BCD OCD V S AB -=⋅△，可求解底面半径，即可求解.【详解】设底面圆半径为r ，由AB CD ⊥，易得BC AC BD AD ===，取AB 的中点O ，连接,OC OD ，则,AB OC AB OD ⊥⊥，又OC OD O,OC,OD =⊂ 平面OCD ，所以AB ⊥平面OCD ，所以，11182423323A BCD OCD V S AB r r -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，解得=1，所以圆柱表面积为22π42π10πr r +⨯=.故选:A.6.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过焦点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，则23AF BF +的最小值为（）A.52+ B.5 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】（方法一）首先求出抛物线C 的方程为24y x =，设直线l 的方程为：1x ty =+，与抛物线C 的方程联立，利用根与系数的关系求出21x x 的值，再根据抛物线的定义知11AF x =+，21BF x =+，从而求出23AF BF +的最小值即可.（方法二）首先求出111AF BF+=，再利用基本不等式即可求解即可.【详解】（方法一）因为抛物线C 的焦点到准线的距离为2，故2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =，焦点坐标为1,0，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，不妨设120y y >>，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，整理得2440y ty --=，则12124,4y y t y y +==-，故221212144y y x x =⋅=，又B =1+2=1+1，2212p BF x x =+=+，则()()12122321312352525AF BF x x x x +=+++=++≥=，当且仅当12,23x x ==时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.（方法二）由方法一可得121x x =，则11AF BF +211111x x =+++121212211x x x x x x ++==+++，因此23AF BF +()1123AF BF AF BF ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭235AF BF BF AF =++55≥+=+，当且仅当661,123AF BF =+=+时等号成立，故23AF BF +的最小值为5.故选：B.7.设函数()()cos f x x ϕ=+，其中π2ϕ<.若R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()y f x =的图象与直线114y x =-的交点个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用给定条件求出()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再作出图像求解交点个数即可.【详解】对R x ∀∈，都有ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4x =是=的一条对称轴，所以()ππZ 4k k ϕ+=∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-.所以()πcos 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中画出()πcos 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭与114y x=-的图象，当3π4=-x 时，3π14f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，11113π3π4164y --=⨯(-=-<-，当5π4x =时，5π14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，5π5π14111461y =⨯-=->-，当9π4x =时，9π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11119π9π4416y =⨯-=-<，当17π4x =时，17π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，111117π17π4416y =⨯-=->所以如图所示，可知=的图象与直线114y x =-的交点个数为3，故C 正确.故选：C.8.已知定义域为R 的函数()(),f x g x 满足：()()()()()()00,g f x g y f y g x f x y ≠-⋅=-，且()()()()()g x g y f x f y g x y -=-，则下列说法正确的是（）A.()01f =B.()f x 是偶函数C.若()()1112f g +=，则()()2024202420242f g -=-D.若()()111g f -=，则()()202420242f g +=【答案】C【解析】【分析】对A ，利用赋值法令0,0x y ==即可求解；对B ，根据题中条件求出()f y x -，再利用偶函数定义即可求解；对C ，先根据题意求出()()001f g -=-，再找出()()11f x g x ---与()()f x g x ⎡⎤-⎣⎦的关系，根据等比数列的定义即可求解；对D ，找出()()11f x g x -+-与()()f x g x ⎡⎤+⎣⎦的关系，再根据常数列的定义即可求解.【详解】对A ，()()()()()f x g y f y g x f x y -⋅=- ，令0,0x y ==，即()()()()()00000f g f g f -⋅=，解得()00f =，故A 错；对B ，根据()()()()()f x g y f y g x f x y -=-，得()()()()()f y g x f x g y f y x -=-，即()()f y x f x y -=--，故()f x 为奇函数，故B 错；对C ，()()()()()g x g y f x f y g x y -=- 令0x y ==，即()()()()()00000g g f f g -=，()00f = ，()()200g g ∴=，又()00g ≠，()01g ∴=，()()001f g ∴-=-，由题知：()()f x yg x y ---()()()()()()()()f x g y f y g x g x g y f x f y ⎡⎤=-⋅--⎣⎦()()()()f y g y f x g x ⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦，令1y =，即()()()()()()1111f x g x f g f x g x ⎡⎤⎡⎤---=+-⎣⎦⎣⎦，()()1112f g += ，()()()()1112f xg x f x g x ⎡⎤∴---=-⎣⎦，即()(){}f xg x -是以()()001f g -=-为首项2为公比的等比数列；故()()()2024202420242024122f g -=-⨯=-，故C 正确；对D ，由题意知：()()f x yg x y -+-()()()()()()()()f xg y f y g x g x g y f x f y =-⋅+-()()()()g y f y f x g x ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦，令1y =，得()()()()()()1111f x g x g f f x g x ⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦，又()()111g f -=，即()()()()11f x g x f x g x -+-=+，即数列()(){}f xg x +为常数列，由上知()()001f g +=，故()()202420241f g +=，故D 错.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，难点是C ，D 选项通过赋值再结合数列的性质进行求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.一个样本的方差()()()22221220133320s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，则这组样本数据的总和等于60B.若样本数据1210,,,x x x 的标准差为8，则数据1221,21,x x -- ，1021x -的标准差为16C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23D.若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小【答案】ABD【解析】【分析】对于A ，由题意可得样本容量为20，平均数是3,从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B ，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C ，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于D ，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断.【详解】解：对于A ，因为样本的方差()()()222212201333,20s x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 所以这个样本有20个数据，平均数是3,这组样本数据的总和为32060,⨯=A 正确；对于B ，已知样本数据1210,,,x x x 的标准差为8s =，则264s =，数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2222264s =⨯2816=⨯=，故B 正确；对于C ，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30，由于100.77⨯=，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即232423.52+=，所以第70百分位数是23.5，故C 错误；对于D ，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5，设此时这9个数的平均数为x ，方差为2S ，则2285582(55)165,2999x S ⨯+⨯+-====<，故D 正确.故选：ABD.10.已知函数()32f x ax bx =-+，则（）A.()f x 的值域为RB.()f x 图象的对称中心为()0,2C.当30b a ->时，()f x 在区间()1,1-内单调递减D.当0ab >时，()f x 有两个极值点【答案】BD【解析】【分析】利用一次函数、三次函数的性质结合分类讨论思想可判定A ，利用函数的奇偶性判定B ，利用导数研究函数的单调性结合特殊值法排除C ，利用极值点的定义可判定D.【详解】对于A ：当,a b 至少一个不为0，则()f x 为三次或者一次函数，值域均为；当,a b 均为0时，值域为{}2，错误；对于B ：函数()()32g x f x ax bx =-=-满足()()3g x ax bx g x -=-+=-，可知()g x 为奇函数，其图象关于()0,0中心对称，所以()f x 的图象为()g x 的图象向上移动两个单位后得到的，即关于0,2中心对称，正确；对于C ：()23f x ax b '=-，当30b a ->时，取1,1a b =-=-，当33,33x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭时，()()2310,f x x f x =-+>'在区间33,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，错误；对于D ：()23f x ax b '=-，当0ab >时，()230f x ax b '=-=有两个不相等的实数根，所以函数()f x 有两个极值点，正确.故选：BD.11.我国古代太极图是一种优美的对称图.定义：能够将圆O 的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O 的一个“太极函数”，则下列命题中正确的是（）A.函数()sin 1f x x =+是圆22:(1)1O x y +-=的一个太极函数B.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数C.对于圆22:1O x y +=的所有非常数函数的太极函数中，均为中心对称图形D.若函数()()3f x kx kx k =-∈R 是圆22:1O x y +=的太极函数，则()2,2k ∈-【答案】AD【解析】【分析】根据题意，对于A ，D 利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可，对于B ，C 举反例说明．【详解】对于A ，圆22:(1)1O x y +-=，圆心为0,1，()sin 1f x x =+的图象也过0,1，且0,1是其对称中心，所以()sin 1f x x =+的图象能将圆一分为二，所以A 正确；对于B,C ，根据题意圆22:1O x y +=，如图()331,332313,03231332331,332x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪+-≤≤=⎨⎪+<≤⎪->⎩，与圆交于点()1,0-，1,0，且在x 轴上方三角形面积与x 轴下方个三角形面积之和相等，()f x 为圆O 的太极函数，且()f x 是偶函数，所以B ，C 错误；对于D ，因为()()()()()33()f x k x k x kx kx f x k -=---=--=-∈R ，所以()f x 为奇函数，由()30f x kx kx =-=，得0x =或1x =±，所以()f x 的图象与圆22:1O x y +=的交点为()()1,0,1,0-，且过圆心()0,0，由3221y kx kx x y ⎧=-⎨+=⎩，得()2624222110k x k x k x -++-=，令2t x =，则()232222110k t k t kt -++-=，即()()222110t k t k t --+=，得1t =或22210k t k t -+=，当1t =时，1x =±，当22210k t k t -+=时，若0k =，则方程无解，合题意；若0k ≠，则()4222Δ44k k k k=-=-，若Δ0<，即204k <<时，方程无解，合题意；所以()2,2k ∈-时，两曲线共有两个交点，函数能将圆一分为二，如图，若Δ0=，即2k =±时，函数与圆有4个交点，将圆分成四部分，若Δ0>，即24k >时，函数与圆有6个交点，且均不能把圆一分为二，如图，所以()2,2k ∈-，所以D 正确.故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理解新定义，即如果一个函数过圆心，并且函数图象关于圆心中心对称，且函数将圆分成2部分，不能超过2部分必然合题．如果函数不是中心对称图形，则考虑与圆有2个交点，交点连起来过圆心，再考虑如何让面积相等．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线与抛物线22y ax ax =-+相切，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求出曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程，由该切线与抛物线22y ax ax =-+相切，联立消元，得到一元二次方程，其Δ0=，即可求得a .【详解】由2ln y x x =-，则12y x'=-，则11x y ='=，曲线2ln y x x =-在点()1,2处的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，当0a ≠时，则212y x y ax ax =+⎧⎨=-+⎩，得()2110ax a x -++=，由2Δ(1)40a a =+-=，得1a =.故答案为：1.13.已知椭圆G22+22=1>>0的左､右焦点分别为12,F F ，若P 为椭圆C 上一点，11212,PF F F PF F ⊥ 的内切圆的半径为3c，则椭圆C 的离心率为______.【答案】23【解析】【分析】由内切圆半径的计算公式，利用等面积法表示焦点三角形12PF F 的面积，得到,a c 方程，即可得到离心率e 的方程，计算得到结果.【详解】由题意，可知1PF 为椭圆通径的一半，故21b PF a =，12PF F 的面积为21122b cc PF a⋅⋅=，又由于12PF F 的内切圆的半径为3c，则12PF F 的面积也可表示为()12223c a c +⋅，所以()111222223c c PF a c ⋅⋅=+⋅，即()212223b c ca c a =+⋅，整理得：22230a ac c --=，两边同除以2a ，得2320e e +-=，所以23e =或1-，又椭圆的离心率()0,1e ∈，所以椭圆C 的离心率为23.故答案为：23.14.设函数()()44xf x ax x x =+>-，若a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则()f x b >恒成立的概率为__________.【答案】58##0.625【解析】【分析】根据题意，利用基本不等式，求得2min ()1)f x =+，转化为21)b +>恒成立，结合a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，得到基本事件总数有24个，再利用列举法，求得()f x b >成立的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】因为0,4a x >>，可得40x ->，则()()441441444x f x ax ax a x a x x x =+=++=-+++---2411)a ≥++=，当且仅当4x =时，等号成立，故2min ()1)f x =+，由不等式()f x b >恒成立转化为21)b >恒成立，因为a 是从1,2,3,4四个数中任取一个，b 是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，则构成(),a b 的所有基本事件总数有24个，又由()221)1)912,16==+，()221)1319,201)25+=+=，设事件A =“不等式()f x b >恒成立”，则事件A 包含事件：()()1,4,1,8，()()()2,4,2,8,2,12，()()()()3,4,3,8,3,12,3,16，()()()()()()4,4,4,8,4,12,4,16,4,20,4,25共15个，因此不等式()f x b >恒成立的概率为155248=.故答案为：58.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC 的面积为334，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3B =（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由.112333BD BC CA BA BC =+=+，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V 的面积为33π,43B =，所以133sin 24ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当6,2a c ==时取等号，所以BD .16.已知双曲线E 的焦点在x 轴上，离心率为233，点(在双曲线E 上，点12,F F 分别为双曲线的左､右焦点.（1）求E 的方程；（2）过2F 作两条相互垂直的直线1l 和2l ，与双曲线的右支分别交于A ，C 两点和,B D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】（1）2213x y -=（2）6【解析】【分析】（1）由222c a b =+和3e =，及点(在双曲线E 上，求出22,a b ，即可求出E 的方程；（2）设直线()()121:2,:2l y k x l y x k =-=--，其中0k ≠，根据题中条件确定2133k <<，再将1l 的方程与2213x y -=联立，利用根与系数的关系，用k 表示AC ，BD 的长，再利用12ABCDS AC BD =，即可求出四边形ABCD 面积的最小值.【小问1详解】因为222c a b =+，又由题意得22243c e a ==，则有223a b =，又点(在双曲线E 上，故229213-=b b，解得221,3b a ==，故E 的方程为2213xy -=.【小问2详解】根据题意，直线12,l l 的斜率都存在且不为0，设直线()()121:2,:2l y k x l y x k=-=--，其中0k ≠，因为12,l l 均与E 的右支有两个交点，所以313,33k k >->，所以2133k <<，将1l 的方程与2213x y -=联立，可得()222213121230k x k x k -+--=.设()()1122,,,A x y C x y ，则2212122212123,1313k k x x x x k k---+==--，所以()222121212114AC k x k x x x x =+-=++-)22222222222311212323114113133113k k k kkk k k k k +⎛⎫---+=+-⨯+ ⎪----⎝⎭，同理)22313k BD k +=-，所以))()()()2222222223131111622313313ABCD kkk S AC BD k kkk+++==⋅⋅=⋅----.令21t k =+，所以241,,43k t t ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，则2222166661616316161131612ABCDt S t t t t t =⋅=⋅=≥-+-⎛⎫-+---+ ⎪⎝⎭，当112t =，即1k =±时，等号成立.故四边形ABCD 面积的最小值为6.17.如图，侧面11BCC B 水平放置的正三棱台11111,24ABC A B C AB A B -==，2,P 为棱11A B 上的动点.（1）求证：1AA ⊥平面11BCC B ；（2）是否存在点P ，使得平面APC 与平面111A B C 的夹角的余弦值为53333？若存在，求出点P ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，点P 为11A B 中点【解析】【分析】（1）延长三条侧棱交于一点O ，由勾股定理证明OA OB ⊥，OA OC ⊥，根据线面垂直的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面111A B C 和平面APC 的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问1详解】延长三条侧棱交于一点O ，如图所示，由于11124,2AB A B BB ===22OB OA ==所以22216OA OB AB +==，所以OA OB ⊥，同理OA OC ⊥.又OB OC O = ，,OB OC ⊂平面OBC ，所以OA ⊥平面OBC ，即1AA ⊥平面11BCC B .【小问2详解】由（1）知,,OA OB OA OC OB OC ⊥⊥⊥，如图建立空间直角坐标系，则(()0,0,,0,A C，()()111,,0,A B C ，所以((1110,0,,0,,AA AC A B ==-=，()110,B C =.设)111,0,A P A B λλ===，则1AP AA =+)[]1,0,,0,1A P λ=∈，设平面111A B C 和平面APC 的法向量分别为(),,,m x y z n ==(),,r s t ，所以)01000r t λ⎧=+=⎪⎨+==⎪⎪⎩⎩，取()()1,1,1,1,,m n λλλ==+，则cos ,33m n m n m n ⋅===.整理得212870λλ+-=，即()()21670λλ-+=，所以12λ=或76λ=-（舍），故存在点P （点P 为11A B 中点时），满足题意.18.若无穷正项数列{}n a 同时满足下列两个性质：①存在0M >，使得*,n a M n <∈N ；②{}n a 为单调数列，则称数列{}n a 具有性质P .（1）若121,3nn n a n b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，（i ）判断数列{}{},n n a b 是否具有性质P ，并说明理由；（ii ）记1122n n n S a b a b a b =+++ ，判断数列{}n S 是否具有性质P ，并说明理由；（2）已知离散型随机变量X 服从二项分布()1,,02B n p p <<，记X 为奇数的概率为n c .证明：数列{}n c 具有性质P .【答案】（1）（i ）数列{}n a 不具有性质P ，数列{}n b 具有性质P ，理由见解析；（ii ）数列{}n S 具有性质P ，理由见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）判断数列是否满足条件①②，可得（i ）的结果；利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和，再判断是否满足条件①②.（2）先求数列{}n c 的通项公式，再判断是否满足条件①②.【小问1详解】（i ）因为21n a n =-单调递增，但无上限，即不存在M ，使得n a M <恒成立，所以数列不具有性质P .因为113nn b ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质P .（ii ）数列{}n S 具有性质P .2112113333n n n S -=⋅+⋅++ ，23111121133333n n n S +-=⋅+⋅++ ，两式作差得23121111211222333333n n n n S +-=⋅+⋅+⋅++⋅- ，即1121121212223313333313n n n n n n S ++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=-+-=--，所以111,3n n n S +=-<∴数列{}n S 满足条件①.(){}11210,,3nn n n n n a b n S S S +⎛⎫=->∴<∴ ⎪⎝⎭为单调递增数列，满足条件②.综上，数列{}n S 具有性质P .【小问2详解】因为*0,1,,,X n n =∈N ，若X 为奇数的概率为,n c X 为偶数的概率为n d ，()1[1]nn n c d p p +==-+001112220C (1)C (1)C (1)C (1)n n n n nn n n n p p p p p p p p --=-+-+-++- ①()001112220[1]C ()(1)C ()(1)C ()(1)C ()(1)n n n n n n n n n n p p p p p p p p p p ----=--+--+--++-- ②，2n c -=①②，即1(12)2nn p c --=.所以当102p <<时，0121p <-<，故n c 随着n 的增大而增大，且12n c <.故数列{}n c 具有性质P .19.已知函数()24e 2x f x x x-=-，()2233g x x ax a a =-+--（a ∈R 且2a <）.（1）令()()()(),x f x g x h x ϕ=-是()x ϕ的导函数，判断()h x 的单调性；（2）若()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）ℎ在(),0∞-和0,+∞上单调递增；（2）(],1-∞.【解析】【分析】（1）需要二次求导，利用导函数的符号分析函数的单调性.（2）法一先利用()()22f g ≥这一特殊情况，探索a 的取值范围，再证明对()1,x ∈+∞时，()()f x g x ≥恒成立；法二利用导数工具求出函数()x ϕ的最小值()0x ϕ，同法一求证(]0,1a ∈时()00x ϕ≥，接着求证()1,2a ∈时()20ϕ<不符合题意即可得解.【小问1详解】()()()2224e 233x x f x g x x x ax a a xϕ-=-=-+-++，定义域为{}0xx ≠∣，所以()()()224e 1223x x h x x x a xϕ--==-+-'，所以()()2234e 2220x x x h x x --+=+>'.所以()h x 在(),0-∞和()0,∞+上单调递增.【小问2详解】法一：由题知()()22f g ≥即()()()2232120a a a a ϕ=-+=--≥，即1a ≤或2a ≥，所以1a ≤.下证当1a ≤时，()()f x g x ≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.令()()24e x F x f x x x x -=+=-，则()()()()()222234e 224e 11,0x x x x x F x t x t x x x---+-'=-==>'，所以()()224e 11x x F x x --=-'在()1,+∞单调递增，又()20F '=，所以当()1,2x ∈时，()()0,F x F x '<单调递减，当()2,x ∈+∞时，()()0,F F x x '>递单调增，所以()()20F x F ≥=，故()f x x ≥-，要证()()f x g x ≥，只需证()x g x -≥，即证()223130x a x a a -+++≥，令()()22313G x x a x a a =-+++，则()()()222Δ(31)43561151a a a a a a a =+-+=-+=--，若115a ≤≤，则0∆≤，所以()()223130G x x a x a a =-+++≥.若15a <，则对称轴31425a x +=<，所以()G x 在()1,+∞递增，故()()210G x G a >=≥，综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.法二：由题知2224e 233x x x ax a a x--≥-+--对任意的()1,x ∈+∞恒成立，即()2224e 2330x x x x ax a a xϕ-=-+-++≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立.由（1）知()()224e 1223x x x x a x ϕ--=-+-'在()1,+∞递增，又()13a ϕ'=-.①若0a ≤，则()()()10,x x ϕϕϕ'>≥'在()1,+∞递增，所以()()24110e x a ϕϕ>=-+>，符合；②若0a >，则()130a ϕ=-<'，又()112224e 14e (1)(1)(1)a a a a a a a a a ϕ--⎡⎤+=-=-+⎣⎦++'，令()124e(1)a m a a -=-+，则()()()14e 21a m a a h a -=-+='，则()14e 2a h a -'=-为单调递增函数，令()0h a '=得1ln2a =-，当()0,1ln2a ∈-时()()0,h a m a ''<单调递减，当()1ln2,a ∞∈-+时()()0,h a m a ''>单调递增，又()()10,00m m ='<'，所以当()0,1a ∈时，()()0,m a m a '<单调递减，当()1,a ∈+∞时，()()0,m a m a '>单调递增，所以()()10m a m ≥=，则()12214e (1)0(1)a a a a a ϕ-⎡⎤+'=-+≥⎣⎦+，所以(]01,1x a ∃∈+，使得()00x ϕ'=，即()0200204e 12230x x x a x ---+-=，且当()01,x x ∈时，()()0,x x ϕϕ'<单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()()0,x x ϕϕ'>单调递增，所以()()0222min 000004e 233x x x x x ax a a x ϕϕ-==-+-++.若(]0,1a ∈，同法一可证()0222000004e 2330x x x x ax a a x ϕ-=-+-++≥，符合题意.若()1,2a ∈，因为()()()2232120a a a a ϕ=-+=--<，所以不符合题意.综上所述，a 的取值范围为(],1-∞.【点睛】方法点睛：导数问题经常会遇到恒成立的问题.常见的解决思路有：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数最值问题.（2）若()0f x >恒成立，就可以讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值与最值，最终转化为()min 0f x >；若()0f x <⇔()max 0f x <.（3）若()()f x g x ≥恒成立，可转化为()()min max f x g x ≥（需在同一处取得最值）.。

湖南省雅礼中学2023-2024学年高三上学期月考(二)数学试题(含答案)

湖南省雅礼中学2023-2024学年高三上学期月考(二)数学试题(含答案)

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若12z i =+，则()1z z +⋅=（）A.24i --B.24i-+ C.62i- D.62i+【答案】C 【解析】【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的定义求解.【详解】()()()122i 12i 244i 2i 62i z z +⋅=+-=+-+=-．故选:C .2.全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（）A.{2,3,5,7,9}B.{2,3,4,5,6,7,8,9}C.{4,6,8}D.{5}【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.【详解】韦恩图的阴影部分表示的集合为()U A B ð，而全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，所以(){4,6,8}U A B ⋂=ð.故选：C 3.函数()2log 22xxx x f x -=+的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和特殊点即得.【详解】易知()2log 22xxx x f x -=+的定义域为{}0x x ≠，因为()()22log log 2222xxxxx x x f x x f x -----==-=-++，所以()f x 为奇函数，排除答案B ，D ；又()2202222f -=>+，排除选项C ．故选:A ．4.在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（）A.3 B.3- C.4- D.4【答案】A 【解析】【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到AC ，DE，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示直角坐标系，由题意得()()()()0,3,1,0,3,0,3,3A E C D ，所以()3,3AC =- ，()2,3DE =--，所以()()()32333AC DE ⋅=⨯-+-⨯-=.故选：A.5.某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.5 4.7π≈）A.3045.6gB.1565.1gC.972.9gD.296.1g【答案】C 【解析】【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为R ，因为332π144πcm 3V R ==半球，所以6R =，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以((223113π6π363πcm 33V S S h =+=⋅+⋅+⨯=下上圆台，所以该实心模型的体积为3144π63π207πcm V V V =+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的质量为207π 1.5207 4.7972.9g ⨯≈⨯=故选：C6.已知数列{} n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式以及前n 项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.【详解】若10a >，且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以对于任意*n ∈N ，0n S >成立，故充分性成立；若10a >，且12q =-，则()111112212111101323212n n nn n a S a a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=--⨯>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以由对于任意*n ∈N ，0n S >，推不出0q >，故必要性不成立；所以“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的充分不必要条件.故选:A7.若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为()A.4πB.2πC.34π D.54π【答案】C 【解析】【分析】根据已知不等式得到，要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a＝2的同一侧，利用正弦函数、余弦函数图象的性质进行解答即可．【详解】在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x的图象，当m ＝4π时，要使不等式恒成立，只有a＝2，当m ＞4π时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a＝2的同一侧.∴由图可知m 的最大值是34π.故选：C.8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（）A.()()2,04,∞-⋃+ B.()(),15,∞∞--⋃+C.()(),24,-∞-+∞ D.()()1,05,∞-⋃+【答案】D 【解析】【分析】根据()()2f x f x +=-可得()f x 关于直线1x =对称，根据()()24f f -=-可得()()240f f -==，结合函数()f x 的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解集即可.【详解】解：函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()()244f f f -==-，即()()240f f -==，又()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在(),1-∞上递减，则可得函数()f x 的大致图象，如下图：所以由不等式()10xf x ->可得，20210x x -<<⎧⎨-<-<⎩或414x x >⎧⎨->⎩，解得10x -<<或5x >，故不等式()10xf x ->的解集为()()1,05,∞-⋃+.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.对于实数a ，b ，c ，下列选项正确的是（）A.若a b >，则2a ba b +>> B.若0a b >>，则a b>>C.若11a b>，则0a >，0b < D.若0a b >>，0c >，则b c ba c a+>+【答案】ABD 【解析】【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可.【详解】对选项A ，因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a bb +--=>，所以2a ba b +>>，故A 正确；对选项B ，0a b >>1=>，所以a >因为1b =>b >，即a b >>，故B 正确；对选项C ，令2a =，3b =，满足11a b>，不满足0a >，0b <，故C 错误；对选项D ，因为0a b >>，0c >，所以()()()()()0a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==>+++，故D 正确．故选：ABD ．10.已知函数()2sin cos 2f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A.()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B.函数()f x 的最小正周期为πC.函数()f x 的对称轴方程为()5πZ 12x k k π=+∈D.函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到【答案】AB 【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图像性质逐项判断.【详解】()211cos 21πsin cos sin 2sin 2cos 2sin 22222223x f x x x x x x x x +⎛⎫=-+=--=- ⎪⎝⎭，所以A 正确；对于B ，函数()f x 的最小正周期为2ππ2=，所以B 正确；对于C ，由ππ2π32x k -=+，k ∈Z ，得5ππ122k x =+，Z k ∈，所以函数()f x 的对称轴方程为5ππ122k x =+，Z k ∈，所以C 不正确；对于D ，sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度，得ππsin 2sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到，所以D 不正确．故选：AB ．11.设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（）A.若0d <，则1S 是数列{}n S 的最大项B.若数列{}n S 有最小项，则0d >C.若数列{}n S 是递减数列，则对任意的：*N n ∈，均有0nS <D.若对任意的*N n ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列【答案】BD 【解析】【分析】取特殊数列判断A ；由等差数列前n 项和的函数特性判断B ；取特殊数列结合数列的单调性判断C ；讨论数列{}n S 是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A ：取数列{}n a 为首项为4，公差为2-的等差数列，2146S S =<=，故A 错误；对于B ：等差数列{}n a 中，公差0d ≠，211(1)(222n n n d dS na d n a n -=+=+-，n S 是关于n 的二次函数.当数列{}n S 有最小项，即n S 有最小值，n S 对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，0d >，B 正确；对于C ：取数列{}n a 为首项为1，公差为2-的等差数列，22n S n n =-+，122(1)2(1)(2)210n n S n n n n S n =-+++-+---=+<＋，即1n n S S <＋恒成立，此时数列{}n S 是递减数列，而110S =>，故C 错误；对于D ：若数列{}n S 是递减数列，则10(2)n n n a S S n -=-<≥，一定存在实数k ，当n k >时，之后所有项都为负数，不能保证对任意*N n ∈，均有0n S >.故若对任意*N n ∈，均有0n S >，有数列{}n S 是递增数列，故D 正确．故选：BD12.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别为棱11B C ，CD 上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.四面体11A D MN 的体积为定值B.当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则在正方体中存在棱与平面1A MN 平行C.直线MN 与平面ABCD 所成角的正切值的最小值为2D.当M ，N 分别为棱11B C ，CD 的中点时，则过1A ，M ，N 三点作正方体的截面，所得截面为五边形【答案】ACD 【解析】【分析】求出四面体的体积判断A ；把正方体的棱分成3类，再判断各类中的一条即可判断B ；作出线面角，并求出其正切表达式判断C ；利用线线、线面平行的性质作出截面判断D.【详解】点M ，N 在棱11B C ，CD 上运动时，M 到11A D 距离始终为2，N 到平面11A D M 的距离始终为2，所以四面体11A D MN 的体积11114222323N A MD V -=⨯⨯⨯⨯=恒为定值，A 正确；在正方体1111ABCD A B C D -中，棱可分为三类，分别是1111,,A A A B A D ，及分别与它们平行的棱，又1111,,A A A B A D 不与平面1A MN 平行，则在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面1A MN 平行，B 错误；正方体棱长为2，如图1，过M 作1MM BC ⊥于1M ，则有1MM ⊥平面ABCD ，于是MN 与平面ABCD 所成角即为1MNM ∠，于是11112tan MM MNM M N M N∠==，又1M N长度的最大值为MN 与平面ABCD所成角的正切值的最小值为2，C正确；如图2，取BC 中点M '，连接,AM MM ''，有11////MM BB AA '，且11MM BB AA '==，则四边形1AA MM '是平行四边形，有1//AM A M '，过N 作AM '的平行线交AD 于点E ，此时14DE DA =，则1//EN A M ，即EN 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面ABCD 的交线，连接1A E ，在BC 上取点F ，使得14CF CB =，同证1//AM A M '的方法得11//A E B F ，在棱1CC 上取点G ，使113CG CC =，连接MG 并延长交直线BC 于H ，则112CH C M CF ==，即11FH C M B M ==，而1//FH B M ，于是四边形1FHMB 是平行四边形，有11////MG B F A E ，则MG 为过1A ，M ，N 三点的平面与平面11BCC B 的交线，连接NG ，则可得五边形1A MGNE 即为正方体中过1A ，M ，N 三点的截面，D 正确．故选：ABD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则=a __________．【答案】2-【解析】【分析】求导，利用()13f '=求解即可.【详解】解：因为()ln f x x a x =-，所以()1a f x x'=-，又函数()ln f x x a x =-的图象在1x =处的切线斜率为3，则()1131af '=-=，所以2a =-．故答案为：2-14.在平面直角坐标系xOy 中，圆O 与x 轴的正半轴交于点A ，点B ，C 在圆O 上，若射线OB 平分AOC ∠，34,55B ⎛⎫⎪⎝⎭，则点C 的坐标为__________．【答案】724,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【详解】由题意可知圆O 1=，设AOB BOC α∠=∠=，由题意可知4sin 5α=，3cos 5α=，则点C 的横坐标为271cos 212sin 25αα⨯=-=-，点C 的纵坐标为241sin 22sin cos 25ααα⨯==．故答案为：724,2525⎛⎫-⎪⎝⎭．15.已知函数()f x 的定义域为R ，()e xy f x =+是偶函数，()3e x y f x =-是奇函数，则()f x 的最小值为_____________．【答案】【解析】【分析】由题意可得()e 2e xxf x -=+，再结合基本不等式即可得答案.【详解】解：因为函数()e xy f x =+为偶函数，则()()e e x x f x f x --+=+，即()()ee xx f x f x ---=-，①又因为函数()3e xy f x =-为奇函数，则()()3e3e xx f x f x ---=-+，即()()3e 3ex xf x f x -+-=+，②联立①②可得()e 2e xxf x -=+，由基本不等式可得()e 2e x x f x -=+≥=，当且仅当e 2e x x -=时，即当1ln 22x =时，等号成立，故函数()f x 的最小值为故答案为：16.已知菱形ABCD 中，对角线BD =，将ABD △沿着BD 折叠，使得二面角A BD C --为120°，AC =，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为________.【答案】28π【解析】【分析】将 ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，得到120AEC ∠=︒，在AEC △中由余弦定理求出AE 的长，进一步求出AB 的长,分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，证明Rt OGE △与Rt OFE 全等，求出OE ，再推出BD OE ⊥，连接OB ，由勾股定理求出OB ，即可得出外接球的表面积.【详解】将 ABD 沿BD 折起后，取BD 中点为E ，连接AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以AEC ∠即为二面角A BD C --的平面角，所以120AEC ∠=︒；设AE a =，则AE CE a ==,在AEC △中2222cos120AC AE EC AE CE =+-⋅⋅︒，即2127222a a a ⎛⎫=-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得3a =，即3AE =，所以AB ==所以ABD △与BCD △是边长为的等边三角形.分别记三角形ABD △与BCD △的重心为G 、F ，则113EG AE ==，113EF CE ==；即EF EG =；因为ABD △与BCD △都是边长为所以点G 是ABD △的外心，点F 是BCD △的外心；记该几何体ABCD 的外接球球心为O ，连接OF ，OG ，根据球的性质，可得OF ⊥平面BCD ，OG ⊥平面ABD ，所以 OGE 与OFE △都是直角三角形，且OE 为公共边，所以Rt OGE △与Rt OFE 全等，因此1602OEG OEF AEC ∠=∠=∠=︒，所以2cos 60EFOE ==︒；因为AE BD ⊥，CE BD ⊥，AE CE E =I ，且AE ⊂平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，所以BD ⊥平面AEC ；又OE ⊂平面AEC ，所以BD OE ⊥，连接OB，则外接球半径为OB ==所以外接球表面积为2428S ππ=⨯=.故答案为：28π【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体），根据特殊几何体的外接球，求出球的半径.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n n S a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设24n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3n T <.【答案】（1）n a n =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用,n n a S 的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得n T ，即可证明.【小问1详解】依题意可得，当1n =时，2111122S a a a ==+，0n a >，则11a =；当2n ≥时，22n n n S a a =+，21112n n n S a a ---=+，两式相减，整理可得()()1110n n n n a a a a --+--=，又{}n a 为正项数列，故可得11n n a a --=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，1d =为公差的等差数列，所以n a n =.【小问2详解】证明：由（1）可知n a n =，所以()42222n b n n n n ==-++，()44441324352n T n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+22222222222222132435462112n n n n n n =-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-+---++2221312n n =+--<++，所以3n T <成立.18.在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c )sin a C C =-.（1）求A ；（2）若8a =，ABC ABC 的周长.【答案】（1）2π3（2）18【解析】【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tan A 的值，结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用三角形的面积公式可得出182b c bc ++=，结合余弦定理可求得b c +的值，即可求得ABC 的周长.【小问1详解】解：因为)sin aC C =-，)sin sin B AC C =-，①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin sin sin A C A C =-，又因为A 、()0,πC ∈，sin 0C ≠sin 0A A =-<，所以tan A =，又因为()0,πA ∈，解得2π3A =.【小问2详解】解：由（1）知，2π3A =，因为ABC 内切圆半径为所以()11sin 22ABC S a b c A =++⋅△，即()82b c ++=，所以，182b c bc ++=②，由余弦定理2222π2cos3a b c bc =+-⋅得2264b c bc ++=，所以()264b c bc +-=③，联立②③，得()()22864b c b c +-++=，解得10b c +=，所以ABC 的周长为18a b c ++=.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11BC B C O = ，12BC BB ==，1AO =，160B BC ∠=︒，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）求证：1AB B C ⊥；（2）求二面角111A B C A --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质和判断定理可得1B C ⊥平面1ABC ，从而即可证明1AB B C ⊥；（2）建立以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴的空间坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：因为AO ⊥平面11BB C C ，1B C ⊂平面11BB C C ，所以1AO B C ⊥，因为1BC BB =，四边形11BB C C 是平行四边形，所以四边形11BB C C 是菱形，所以11BC B C ⊥．又因为1AO BC O ⋂=，AO ⊂平面1ABC ，1BC ⊂平面1ABC ，所以1B C ⊥平面1ABC ，因为AB ⊂平面1ABC ，所以1AB B C ⊥．【小问2详解】解：以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示，则)B，()10,1,0B ，()0,0,1A，()1C ，所以()10,1,1AB =-，)11C B =，)110,1A B AB ==-，设平面11AB C 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则11111111100n AB y z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =，可得1y =1z =，所以(11,n =u r，设平面111B C A 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则211221112200n A B z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取21x =，可得2y =，2z =所以(21,n =，设二面角111A B C A --的大小为θ，因为1212121,1,1cos ,7n n n n n n ⋅⋅〈〉===⋅，所以sin 7θ==，所以二面角111A B C A --的正弦值为7．20.如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点A ，右焦点为(c,0)F ，直线AF 交椭圆于B点，且满足||2||AF FB =，||2AB =．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．【答案】（1）22132x y+=；（2）【解析】【分析】（1）由已知得b =，由||2||AF FB =且||2AB =，知||AF a ==，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）直线AF的方程为0y +-=，与椭圆联立求出3(,22B -，求出点,A B 到直线(0)y kx k =>的距离为1d =，2d =y kx =与椭圆方程结合弦长公式求出CD ，求出四边形ACBD 的面积121()2S CD d d =+，整理化简利用二次函数求出最值.【详解】（1）A Q 为椭圆C上一点，b ∴=又||2||AF FB =，||2AB =可得，||AF =，即a =所以椭圆C 的标准方程是22132x y +=.（2）由（1）知(1,0)F，A ，∴直线AF的方程为0y +-=，联立221320x y y ⎧+=⎪+-=，整理得：22462(3)0x x x x -=-=，解得：1230,2x x ==，∴3(,22B -设点A，3(,22B -到直线(0)y kx k =>的距离为1d 和2d ，则1d =，2d =直线(0)y kx k =>与椭圆相交于,C D 两点，联立22132x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，整理得：22(32)6k x +=，解得：34x x ==34CD x ∴=-=∴设四边形ACBD 面积为S ，则121()2S CD d d =+=(0)2k =>.设)t k =++∞，则k t =-363636222S ∴==⋅⋅362=当18t =，即3t k ===+3k =时，四边形ACBD面积有最大值.【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.如图所示，A BCP -是圆锥的一部分(A 为圆锥的顶点)，O 是底面圆的圆心，23BOC π∠=，P 是弧BC 上一动点（不与B 、C 重合），满足COP θ∠=．M 是AB 的中点，22OA OB ==．（1）若//MP 平面AOC ，求sin θ的值；（2）若四棱锥M OCPB -的体积大于14，求三棱锥A MPC -体积的取值范围．【答案】（1）34（2）3,1212⎛ ⎝⎦【解析】【分析】（1）取OB 的中点N ，连接MN ，证明出//NP OC ，可得出3ONP π∠=，OPN θ∠=，然后在ONP △中利用正弦定理可求得sin θ的值；（2）计算得出四边形OCPB的面积3sin 264S πθ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，结合20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得θ的取值范围，设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，计算得出2361133sin 2324V V πθ⎛⎫==+-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，结合正弦型函数的基本性质可求得结果.【小问1详解】解：取OB 的中点N ，连接MN ，M 为AB 的中点，则//MN OA ，MN ⊄ 平面AOC ，AO ⊂平面AOC ，则//MN 平面AOC ，由题设，当//MP 平面AOC 时，因为MP MN M ⋂=，所以，平面//MNP 平面AOC ，NP ⊂ 平面MNP ，则//NP 平面AOC ，因为NP ⊂平面OBPC ，平面OBPC 平面AOC OC =，则//NP OC ，所以，3ONP BOC ππ∠=-∠=，OPN COP θ∠=∠=，在OPN 中，由正弦定理可得sin sin3ON OP πθ=，故sin3sin 4ON OP πθ==.【小问2详解】解：四棱锥M OCPB -的体积1111323V OA S S =⋅⋅=，其中S 表示四边形OCPB 的面积，则112111sin sin sin cos sin 2232222S OP OC OP OB πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭333sin 4426πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以，1131sin 3664V S πθ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭，可得3sin 62πθ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，203πθ<<，则5666πππθ<+<，故2363πππθ<+<，解得,62ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.设三棱锥A MPC -的体积为2V ，三棱锥A BPC -的体积为3V ，由于M 是AB 的中点，则231112sin 2623V V OA S OB OC π⎛⎫==⋅-⋅ ⎪⎝⎭133333sin ,32412126πθ⎛⎛⎫=+-∈ ⎢ ⎪ ⎝⎭⎣⎦⎝⎦.22.混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N 个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为()01p p <<．目前，我们采用K 人混管病毒检测，定义成本函数()Nf X KX K=+，这里X 指该组样本N 个人中患病毒的人数．（1）证明：()E f X N ≥⎡⎤⎣⎦；（2）若4010p -<<，1020K ≤≤．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性．公众号：高中试卷君【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由均值的性质及基本不等式即可证明.（2）由二项分布的概率及条件概率化简即可证明.【小问1详解】由题意可得X 满足二项分布(),X B N p ，由()()E aX b aE X b +=+知，()()N N E f X K X E pN N K K K =+=+⋅≥⎡⎤⎣⋅⎦，当且仅当1Kp K=时取等号；【小问2详解】记P P =（混管中恰有1例阳性|混管检测结果为阳性），i P P =（混管中恰有i 例阳性）=()C 1K i i i K p p --，0,1,,i K = ，令()e 1xh x x =--，33210210x ---⨯<<⨯，则()e 1xh x '=-，当()3021,0x -⨯∈-时，()0h x '<，()h x 为单调递减，当()300,21x -∈⨯时，()0h x '>，()h x 为单调递增，所以()()00h x h ≥=，且()()332103210e 21010h ---⨯--⨯=--⨯-≈，()()332103210e 21010h --⨯-⨯=-⨯-≈，所以当33210210x ---⨯<<⨯，e 10x x --≈即e 1x x ≈+，两边取自然对数可得()ln 1x x ≈+，所以当4010p -<<，1020K ≤≤时，所以()()ln 11e e 1K K p Kp p Kp ---=≈≈-，则()()()()110111111111K K Kp K p Kp p P P K p P Kp p ---⎡⎤-⎣⎦==≈=--≈---．故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.。

2024届天津市南开中学高三上学期12月月考数学试题及答案

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2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}ln A x y x ==，{}21B y y x ==+，则()R A B ⋂=ð（ ）A. ()0,1 B. (]0,1 C. [)0,1 D. []0,12. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()2cos e ex x x x f x -+=-的大致图像为（ ）A. B.C. D.4. 设5log 2a =，ln 2b =，0.20.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. b<c<aD. c a b <<5. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，5a ，33a ，4a 成等差数列，则84S S 的值为（ ）A. 116 B. 117 C. 16D. 176. 已知35a b =且211a b +=，则a 的值为（ ）A. 3log 15 B. 5log 15 C. 3log 45 D. 5log 457. 我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，////AB CD EF ，10AB =，8CD =，6EF =，等腰梯形ABCD 和等腰梯形ABFE 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（ ）A. 84B. 66C. 126D. 1058. 记()n a τ表示区间[],n n a 上的偶数的个数．在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a τ=（ ）A. 39B. 40C. 41D. 429. 将函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（ ）A. ()g x 为奇函数 B. ()3πcos 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()g x 最小正周期为2πD. ()g x 的单调递增区间为5πππ,π88k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 设i 是虚数单位，()12a i i bi +=+（,a b ∈R ），则b a -=_____．11. 在5223x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是______．12. 已知直线():20l y kx k =->与圆221x y +=相切，且被圆()()2240x y a a ++=>截得的弦长为k =______；=a ______．13. 锐角α，β满足2π23αβ+=，tan tan 22αβ=-α和β中的较小角等于______．14. D 为ABC 的边AB 一点，满足2AD DB = ．记CA a = ，CB b = ，用a ，b 表示CD = ______；若的的1CD = ，且ABC 的面积为98，则ACB ∠的最小值为______．15. 若二次函数()()2121f x ax b x a =+---在区间[]2,3上存在零点，则22a b +的最小值为______．三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，D 为棱AB 中点．M 为线段1BC 的中点．（1）求证：1//BC 平面1ACD ；（2）求平面1ACD 与平面1C DC 的夹角的余弦值；（3）求点M 到平面1ACD 的距离．18. 椭圆22221x y a b+=的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为()0,2C ，左、右焦点分别为1F ，2F ，且1AF ，12F F ，1F B 成等比数列．（1）求椭圆的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线CM ，CN 分别与x 轴交于P ，Q 两点．若CMN CPQ S S =△△，求直线l 的斜率．19. 已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，数列{}n b 是公比不为1的等比数列，满足122a a b +=，233a a b +=，454a a b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；的（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n d 满足11d =，1n n n d d b ++=，记12nk n i k d T b ==∑．是否存在整数m ，使得对任意*n ∈N 都有212n n nd mT b ≤-<成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．20. 已知函数()2e xf x a x =-，0a >且1a ≠．（1）当e a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若1a >，且()f x 存在三个零点1x ，2x ，3x ．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）设123x x x <<，求证：1233x x x ++>．的2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．【10题答案】【答案】3．【11题答案】【答案】720【12题答案】【答案】①. ②. 4【13题答案】【答案】π6##30︒【14题答案】【答案】 ① 1233a b + ②. π2【15题答案】【答案】125三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【16题答案】【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114-【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2； （3.【18题答案】【答案】（1）22154x y += （2）12-或0【19题答案】【答案】（1）21n a n =-，2n n b =（2）()12326n n S n +=-⋅+（3）存在5m =，理由见解析【20题答案】【答案】（1）e e 0x y -+=（2）（i）1a <<，（ii ）证明见解析.。

河南省周口市沈丘县长安高级中学2022-2023学年高三上学期第二次月考理科数学试题

河南省周口市沈丘县长安高级中学2022-2023学年高三上学期第二次月考理科数学试题

B. a∈[ 3 ,1) 4
C. a∈(0, 1 ] 3
D. a∈[ 3 ,2) 4
8.
函数 y
3x 3x
cos
x
在区间
π 2
,
π 2
的图象大致为（）
1
A.
B.
C.
D.
9. 已知函数 f (x) sin 2x 3 cos 2x 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数 g(x) 的图象，且 g(x) 的
三、解答题：共 70 分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.
17.
已知幂函数 f x m2 m 1xm1 2在0,
上为增函数.
（1）求实数 m 的值；
（2）求函数 g x f 2x 3 4x 5 的值域.
18. 已知在锐角△ABC 中，角 A，B，C 所对
边分别为
a，b，c，且
A. 2, 4
B. 0, 2, 4
2 f x x2 x 3 ，则 f 1 （）
C. 1,3,5
D. 0, 2, 4,6
A. 6
B. 5
C. 3
D. 2
3. 设命题甲：“ x2 3x 0 ”，命题乙：“ x 1 3 ”，那么命题甲是命题乙的（）
A. 充分非必要条件 C. 充要条件
B. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件
为 22. 已知函数 f x 2x2ex ， gx ax2alnxaR．
（1）求函数 f x 的单调区间和极值；
（2）若函数 h x f x g x 有 2 个零点，求实数 a 的取值范围．
4
tan C
a2
ab b2
c2
．
（1）求角 C 大小；

天津市耀华中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试题

天津市耀华中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试题

x2 a2
y2 b2
1a
b 0 ，其离心率 e
1 2
，F1 、F2 在 x 轴上）， △PF1F2 周长为 6.过椭圆右焦点 F2 的直线 l
与椭圆交于 A、B 两点. (1)求椭圆的标准方程；
(2)求 AB 的范围. (3)O 为坐标原点， OAB 面积为 12 5 ，求直线 l 的方程.
则 sin
a,
b
（
）
试卷第 1页，共 4页
A． 2 2 3
B．
1 3
C． 15 4
D． 1 4
7．若三棱锥 P ABC 中，已知 PA 底面 ABC ，BAC 120 ， PA AB AC 2 ，若
该三棱雉的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A．10 3π
B．18π
C． 20π
(3)在（2）的条件下，证明：
x1
x2
2 a 1
．
试卷第 4页，共 4页
C． f x ex ex cos πx 2
D． f x ex ex sin πx 2
5．已知等比数列an 的前 3 项和为168, a2 a5 42 ，则 a4 （ ）
A．14
B．12
C．6
D．3
6．已知平面向量
a
，b
满足
a
3
2
，
b
1，并且当
4 时，
a
b
取得最小值，
D． 9 3π
8．设函数
f (x) sin(x ) 0,| |
π 2
,
f
5 12
π
0,f
2 3
π
1，且 f (x) 在
π 3

2021-2022年高三上学期第二次月考数学(理)试题含答案

2021-2022年高三上学期第二次月考数学(理)试题含答案

2021-2022年高三上学期第二次月考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}， 则A∩（）=（ ）A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) (A)y=tanx (B)y=3x (C)y= (D)y=lg|x|3.下列四种说法中,错误的个数是( ) ①A={0,1}的子集有3个;②“若am 2<bm 2,则a<b ”的逆命题为真;③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件;④命题“∀x ∈R,均有x 2-3x-2≥0”的否定是:“∃x 0∈R,使得x 02-3x 0-2≤0”. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.已知函数则f(f())的值是( ) (A)9(B)(C)-9(D)-5.若a=log 20.9,则( )(A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<a<b(D)b<c<a6.若函数y=-x 2+1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )()()()()53A B C D 4664ππππ7.已知命题p:函数f(x)=2ax 2-x-1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x 2-a 在(0,+∞)上是减函数.若p 且﹁q 为真命题,则实数a 的取值范围是 ( ) (A)a>1(B)a ≤2 (C)1<a ≤2(D)a ≤1或a>28.函数f(x)=的大致图象为( )9．设函数f （x ）=x 2+xsinx ，对任意x 1，x 2∈（﹣π，π）， 若f （x 1）＞f （x 2），则下列式子成立的是（ ） A ．x 1＞x 2B ．C ．x 1＞|x 2|D ．|x 1|＜|x 2|10函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+1)=-f(x)，且x ∈［-1,1］时f(x)=1-x 2，函数()lg x,x 0,g x 1,x 0,x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间［-5，4］内的零点的个数为( ) (A)7(B)8(C)9(D)10二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11．已知集合M={y|y=x 2﹣1，x ∈R}，，则M∩N=_____ 12．已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是 [﹣1，0]，则a+b= ．13.已知p:≤x ≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p 是﹁q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 .14．若f （x ）=是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ． 15.若方程有正数解，则实数的取值范围是_______三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．（12分）已知p ：∀x ∈R ，2x ＞m （x 2+1），q ：∃x 0∈R ， x+2x 0﹣m ﹣1=0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．17、（12分）已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值．19．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．20. （13分）已知函数f(x)满足()()()x 121f x f 1e f 0x x .2-='-+(1)求f(x)的解析式及单调区间.(2)若f(x)≥x 2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.21、 (14分)已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）设g （x ）=x 2﹣2x ，若对任意x 1∈（0，2]，均存在x 2∈（0，2]，使得 f （x 1）＜g （x 2），求a 的取值范围．高三数学第一次检测题答案解析1. C ．2.C.3.D.4.B.5.B.6.D.7.C 8、D.9.【解析】∵f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣xsin （﹣x ）=x 2+xsinx=f （x ），∴函数f （x ）=x 2+xsinx 为偶函数，又f′（x ）=2x+sinx+xcosx ，∴当x ＞0时，f′（x ）＞0，∴f （x ）=xsinx 在[0，π]上单调递增，∴f （﹣x ）=f （|x|）；∵f （x 1）＞f （x 2），∴结合偶函数的性质得f （|x 1|）＞f （|x 2|），∴|x 1|＞|x 2|，∴x 12＞x 22．故选B ．10.选A.由f（x＋1）＝－f（x），可得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），所以函数f（x）的周期为2，求h（x）＝f（x）－g（x）的零点，即求f（x）＝g（x）在区间［－5,4］的解的个数.画出函数f（x）与g（x）的图象，如图，由图可知两图象在［－5,4］之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.11、解：∵集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，={x|﹣}，∴M∩N=．故答案为：．12、解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：13.q:x>a+1或x<a,从而﹁q:a≤x≤a+1.由于p是﹁q的充分不必要条件,故a111a2≥⎧⎪⎨≤⎪⎩＋，，即0≤a≤.答案:[0,]14、解：∵f（x）=是R上的单调函数，∴，解得：a≥，故实数a的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）15.16、解：不等式2x＞m（x2+1），等价为mx2﹣2x+m＜0，若m=0，则﹣2x＜0，即x＞0，不满足条件．若m≠0，要使不等式恒成立，则，即，解得m＜﹣1．即p：m＜﹣1．———————————————————————4分若∃x0∈R，x+2x﹣m﹣1=0，则△=4+4（m+1）≥0，解得m≥﹣2，即q：m≥﹣2．———————————————————————8分若p∧q为真，则p与q同时为真，则，即﹣2≤m＜﹣1————12分17、解：（1）⇔﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1）；————————————4分（2）∵，∴f（x）是奇函数；————————————————————————————6分（3）设0＜x1＜x2＜1，则∵0＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，（1﹣x1）（1+x2）=1﹣x1x2+（x2﹣x1）＞1﹣x1x2﹣（x2﹣x1）=（1+x1）（1﹣x2）＞0∴，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减——————————————————12分另解：∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0故f（x）在（0，1）内是减函数．—————————————————12分18、解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴且f′（1）=﹣2a≥0∴a≤0———4分（2）∵x=﹣是f（x）的极值点，∴∴∴a=4——6分∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x，f′（x）=3x2﹣8x﹣3，∴x1=﹣，x2=3令f′（x）＞0，1＜x＜4，可得3＜x＜4；令f′（x）＜0，1＜x＜4，可得1＜x＜3；∴x=3时，函数取得最小值﹣18∵f（1）=﹣6，f（4）=﹣12∴f（x）在[1，4]上的最大值为﹣6．————————————————12分19、解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v （x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．——————4分（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．—————————————————————————10分答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．——————————————————————————12分20.(1)∵f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+x2,∴f′(x)=f′(1)e x-1-f(0)+x,令x=1得：f(0)=1,∴f(x)=f′(1)e x-1-x+x2,∴f(0)=f′(1)e-1=1,∴f′(1)=e得：f(x)=e x-x+x2.—————————4分设g(x)=f′(x)=e x-1+x,g′(x)=e x+1>0,∴y=g(x)在R上单调递增.令f′(x)>0=f′(0)，得x>0,令f′(x)<0=f′(0)得x<0，∴f(x)的解析式为f(x)=e x-x+x2且单调递增区间为（0，+∞),单调递减区间为（-∞,0).————————————-4分(2)由f(x)≥x2+ax+b得e x-(a+1)x-b≥0，令h(x)=e x-(a+1)x-b,则h′(x)=e x-(a+1).①当a+1≤0时，h′(x)>0⇒y=h(x)在x∈R上单调递增.x→-∞时，h(x)→-∞与h(x)≥0矛盾.——————————6分②当a+1>0时，由h′(x)>0得x>ln(a+1),由h′(x)<0得x<ln(a+1)=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0.———8分得当x=ln(a+1)时，h(x)min（a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1) (a+1>0).令F(x)=x2-x2ln x(x>0)，则F′(x)=x（1-2ln x),——————10分由F′(x)>0得0<x<,由F′(x)<0得x>,当x=时，F（x)=,∴当a=-1,b=时，（a+1)b的最大值为.—————————max—————————————13分21、解：（Ⅰ）∵函数，∴（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．————————————4分（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．————————————8分（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max ＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．——————————————————12分②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．————————————————14分21072 5250 剐31873 7C81 粁31426 7AC2 竂z33043 8113 脓e35722 8B8A 變 39463 9A27 騧K34467 86A3 蚣38124 94EC 铬=40272 9D50 鵐。

长郡中学2025届高三上学期月考(二)数学试卷(解析版)

长郡中学2025届高三上学期月考(二)数学试卷(解析版)

长郡中学2025届高三月考试卷（二）数学得分__________．本试卷共8页．时量120分钟．满分150分．一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知集合{}(){}2,128tAxx B t t ==∈Z ∣∣ ，则A B = （ ）A. []1,3−B. {}0,1C. []0,2D. {}0,1,2【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式与指数不等式可化简集合,A B ，再利用交集的定义求解即可.【详解】{}{}|2=22A x x xx =≤−≤≤∣， 由指数函数的性质可得(){}{}1280,1,2,3tB t t =≤≤∈=Z ∣，所以{}{}{}220,1,2,30,1,2A B xx ∩−≤≤∩∣. 故选：D.2. 已知复数z 满足i 1z −=，则z 的取值范围是（ ） A. []0,1 B. [)0,1C. [)0,2D. []0,2【答案】D 【解析】【分析】利用i 1z −=表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，z 表示圆上的点到原点的距离可得答案. 【详解】因为在复平面内，i 1z −=表示到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点， 即i 1z −=表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆， z 表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0，最长距离为112+=，则z 的取值范围是[0,2]. 故选：D3. 已知()2:ln (11)1p f x a x x=+−<< −是奇函数，:1q a =−，则p 是q 成立的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】当p 成立，判断q 是否成立，再由q 成立时，判断p 是否成立，即可知p 是q 成立何种条件.【详解】由()f x 奇函数，则()00f =，即()ln 20a +=，解得1a =−， 所以p q ⇒，当1a =−时，()21ln 1ln 11x f x x x +=−=−−，11x −<<， ()()1111ln ln ln 111x x x f x f x x x x −−++∴−===−=− +−−，所以()f x 是奇函数， 所以p q ⇐， 所以p 是q 的充要条件. 故选：A.4. 若锐角α满足sin cos αα−sin 22πα+=（ ） A.35B. 35C. 35 或35D. 45−或45【答案】B 【解析】【分析】先利用辅助角公式求出πsin 4α−，再利用角的变换ππsin 2sin 2π24αα+=−+，结合诱导公式和二倍角公式求解即可.【详解】由题意可得πsin cos 4ααα−=−=πsin 4α−.是因为α是锐角，所以πππ,444α −∈−，πcos 4α −所以πππππsin 2sin 2πsin 22sin cos 24444ααααα+=−+=−−=−−−325=−=−. 故选：B.5. 某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（ ）A. 理科男生多于文科女生B. 文科女生多于文科男生C. 理科女生多于文科男生D. 理科女生多于理科男生【答案】C 【解析】【分析】将问题转化不等式问题，利用不等式性质求解. 【详解】根据已知条件设理科女生有1x 人，理科男生有2x 人， 文科女生有1y 人，文科男生有2y 人；根据题意可知1212x x y y +>+，2211x y x y +<+，根据异向不等式可减的性质有()()()()12221211x x x y y y x y +−+>+−+， 即有12x y >，所以理科女生多于文科男生，C 正确.其他选项没有足够证据论证. 故选：C.6. 如图，某车间生产一种圆台形零件，其下底面的直径为4cm ，上底面的直径为8cm ，高为4cm ，已知点P 是上底面圆周上不与直径AB 端点重合的一点，且,AP BP O =为上底面圆的圆心，则OP 与平面ABC所成的角的正切值为（ ）为A. 2B.12C.D.【答案】A 【解析】【分析】作出直线OP 与平面ABC 所成的角，通过解直角三角形来求得直线OP 与平面ABC 所成的角的正切值.【详解】设O ′为下底面圆的圆心，连接,OO CO ′′和CO ， 因为AP BP =，所以AB OP ⊥，又因为,,AB OO OP OO O OP OO ′′⊥=⊂′ 、平面OO P ′，所以AB ⊥平面OO P ′， 因为PC 是该圆台的一条母线，所以,,,O O C P ′四点共面，且//O C OP ′， 又AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面POC ，又因为平面ABC 平面POC OC =，所以点P 在平面ABC 的射影在直线OC 上， 则OP 与平面ABC 所成的角即为POC OCO ∠=∠′，过点C 作CD OP ⊥于点D ，因为4cm,2cm OP O C ′==， 所以tan tan 2OO POC OCO O C∠=′′∠==′. 故选：A7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线1:2l y kx =+与圆22:1C x y +=交于,A B 两点，则AOB 的面积的最大值为（ ）A. 1B.12C.D.【答案】D 【解析】【分析】求得直线过定点以及圆心到直线的距离的取值范围，得出AOB 的面积的表达式利用三角函数单调性即可得出结论.【详解】根据题意可得直线1:2l y kx =+恒过点10,2E，该点在已知园内， 圆22:1C x y +=的圆心为()0,0C ，半径1r =，作CD l ⊥于点D ，如下图所示：易知圆心C 到直线l 的距离为12CD CE ≤=，所以1cos 2CD DCB CB ∠=≤， 又π0,2DCB∠∈，可得ππ,32DCB∠∈； 因此可得2π2,π3ACB DCB∠=∠∈，所以AOB 的面积为112πsin 11sin 223AOB S CA CB ACB =∠≤×××= 故选：D 8. 设函数()()2ln f x xax b x =++，若()0f x ≥，则a 的最小值为（ ）A. 2−B. 1−C. 2D. 1【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数性质判断ln x 在不同区间的符号，在结合二次函数性质得1x =为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.【详解】函数()f x 定义域为(0,)+∞，而01ln 0x x <<⇒<，1ln 0x x =⇒=，1ln 0x x >⇒>， 要使()0f x ≥，则二次函数2y x ax b =++，在01x <<上0y <，在1x >上0y >， 所以1x =为该二次函数的一个零点，易得1b a =−−， 则2(1)(1)[(1)]y x ax a x x a =+−+=−++，且开口向上， 所以，只需(1)0101a a a −+≤⇒+≥⇒≥−，故a 的最小值为1−.故选：B二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9. 已知2n >，且*n ∈N ，下列关于二项分布与超几何分布的说法中，错误的有（ ） A. 若1(,)3X B n ，则()22113E X n ++ B. 若1(,)3X B n ，则()4219D X n += C. 若1(,)3X B n ，则()()11P X P X n ===−D. 当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布 【答案】BC 【解析】【分析】利用二项分布的期望、方差公式及期望、方差的性质计算判断AB ；利用二项分布的概率公式计算判断C ；利用二项分布与超几何分布的关系判断D.【详解】对于A ，由1(,)3X B n ，得()13E X n =，则()22113E X n ++，A 正确； 对于B ，由1(,)3X B n ，得()122339D X n n =×=，则()()82149D X D X n +==，B 错误； 对于C ，由1(,)3X B n ，得11111221(1)C (),(1)C ()3333n n n n n P X P X n −−−==××=−=××，故(1)(1)P X P X n =≠=−，C 错误；对于D ，当样本总数远大于抽取数目时，可以用二项分布近似估计超几何分布，D 正确. 故选：BC10. 已知函数()sin cos (,0)f x x a x x ωωω=+∈>R 的最大值为2，其部分图象如图所示，则（ ）A. 0a >B. 函数π6f x−为偶函数 C. 满足条件的正实数ω存在且唯一 D. ()f x 是周期函数，且最小正周期为π 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，求得函数π()2sin(2)3f x x =+，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数()sin cos )f x x a x x ωωωϕ=++，且tan a ϕ=，因为函数()f x 的最大值为22=，解得a =，又因为(0)0f a =>，所以a =A 正确； ()πsin 2sin 3f x x x x ωωω ==+因为πππ2sin 1443f ω=+= ，且函数()f x 在π4的附近单调递减，所以ππ5π2π,Z 436k k ω++∈，所以28,Z k k ω=+∈，又因为π24T >，可得π2T >π2>，解得04ω<<，所以2ω=， 此时π()2sin(2)3f x x =+，其最小正周期为πT =，所以C 、D 正确； 设()πππ2sin 22sin 2663F x f x x x=−=−+=，()()2sin[2()]2sin 2F x x x F x −=−=−=−，所以FF (xx )为奇函数，即函数π()6f x −为奇函数，所以B 不正确. 故选：ACD.11. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线交x 轴于点D ，直线l 经过F 且与C 交于,A B 两点，其中点A 在第一象限，线段AF 的中点M 在y 轴上的射影为点N .若MN NF =，则（ ）A. lB. ABD △是锐角三角形C. 四边形MNDF2 D. 2||BF FA FD ⋅> 【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意分析可知MNF 为等边三角形，即可得直线l 的倾斜角和斜率，进而判断A ；可知直线l 的方程，联立方程求点,A B 的坐标，求相应长度，结合长度判断BD ；根据面积关系判断C.【详解】由题意可知：抛物线的焦点为,02p F，准线为2px =−，即,02p D −，设()()112212,,,,0,0A x y B x y y y ><， 则111,,0,2422x y y p M N+，可得， 因为MN NF =，即MN NF MF ==，可知MNF 为等边三角形，即60NMF ∠=°，且MN ∥x 轴，可知直线l 的倾斜角为60°，斜率为tan 60k =°=，故A 正确；则直线:2p l y x =− ，联立方程222p yx y px=− =，解得32p x y ==或6p x y p= =，即32p A，,6p B p，则,M p p N p，可得28,,,2,,33DFp AD p BDp FA p FB p AB p ======，在ABD △中，BD AD AB <<，且2220BD AD AB +−<， 可知ADB ∠为最大角，且为锐角，所以ABD △是锐角三角形，故B 正确；四边形MNDF 的面积为21122MNDF BDF MNF S S S p p p p p =+=×+×=△△，故C 错误； 因为224,3FB FA p FD p ⋅==，所以2||BF FA FD ⋅>，故D 正确； 故选：ABD.【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解； （2）面积问题常采用12S =× 底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 在ABC 中，AD 是边BC 上的高，若()()1,3,6,3AB BC==，则AD =______．【解析】【分析】设()6,3BD mBC m m == ，表达出()61,33AD m m =++ ，根据垂直关系得到方程，求出13m =−，进而得到答案.【详解】设()6,3BD mBC m m == ，则()()()1,36,361,33AD AB BD m m m m =+=+=++，由0AD BC = 得6(61)3(33)366990AD BC m m m m =+++=+++=，解得13m =−，故()()12,311,2AD =−−=− ，所以||AD ..13. 已知定义在RR 上的函数()f x 满足()()23e xf x f x =−+，则曲线yy =ff (xx )在点()()0,0f 处的切线方程为_____________. 【答案】3y x =+ 【解析】【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】因为()()23e xf x f x =−+，所以()()23e x f x f x −−=+，联立可解得()=e 2e xx f x −+，所以()03f =，所以()()e2e ,01xx f x f −=′−+=′. 所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为3y x −=， 故所求的切线方程为3y x . 故答案为：3y x .14. 小澄玩一个游戏：一开始她在2个盒子,A B 中分别放入3颗糖，然后在游戏的每一轮她投掷一个质地均匀的骰子，如果结果小于3她就将B 中的1颗糖放入A 中，否则将A 中的1颗糖放入B 中，直到无法继续游戏．那么游戏结束时B 中没有糖的概率是__________． 【答案】117【解析】【分析】设最初在A 中有k 颗糖，B 中有6k −颗糖时，游戏结束时B 中没有糖的概率为()0,1,,6k a k = ，归纳找出递推关系，利用方程得出0a ，再由递推关系求3a .【详解】设A 中有k 颗糖，B 中有6k −颗糖，游戏结束时B 中没有糖的概率为()0,1,,6k a k = . 显然0113a a =，()65112112,153333k k k a a a a a k +−=+=+≤≤，可得()112k k k k a a a a +−−=−，则()566510022a a a a a −=−=，()65626765040010002222221a a a a a a a a a a ∴=+=++=+++=− ，同理()256510002221a a a a a =+++=− ，()()760021212133a a ∴−=−+，解得011385255a ==× ()430112115.25517a a ∴=−=×=故答案为：117【点睛】关键点点睛：本题的关键在于建立统一的一个6颗糖果放入2个盒子不同情况的模型，找到统一的递推关系，利用递推关系建立方程求出0a ，即可得出这一统一模型的答案.四､解答题（本大题共5小题，共77分，解签应写出文字说明､证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列{}n a 中，11a =，且0,n n a S ≠为数列{}n a 的前nn a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1)n n n n n c a a +−=，求数列{}n c 的前n 项和． 【答案】（1）21na n =− （2）421,42n n n n T n n n − += + − + ，为偶数为奇数 【解析】【分析】(1)1={aa nn }的通项公式； (2) 求出(1)1142121n n c n n − =+ −+，再讨论n 为奇、偶数，利用裂项相消法即可求数列{}n c 的前n 项和. 【小问1详解】 根据题意知1,2n n n a S S n −=−≥0n a +≠=②，1,2n =≥，所以可得1=为首项，1为公差的等差数列，11n n =+−=，所以2n S n =，121,2n n n a n S S n −−==−≥，当1n =时11a =也满足该式，所以21na n =−. 【小问2详解】由(1)结论可知21n a n =−，所以()()1(1)(1)(1)11212142121n n n n n n n n c a a n n n n +−−− ===+ −+−+， 设{}n c 的前n 项和为n T ，则当n 为偶数时，111111111111433557212142142n n T n n n n =−+++−++++=−+=− −+++则当n 为奇数时，1111111111111433557212142142n n T n n n n + =−+++−++−+=−−=− −+++所以421,42n n n n T n n n − += + − + ，为偶数为奇数.16. 如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB∥,CD EF ∥,224CD CD AB EF ===，AD DE AE ===.（1）证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；（2）若M 为线段CD 1=，求二面角A EM B −−的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）通过勾股定理及全等得出线线垂直，应用线面垂直判定定理得出OE ⊥平面ABCD ，由OE ⊂平面CDEF 进而得出面面垂直；（2）由面面垂直建立空间直角坐标系，分别求出法向量再应用向量夹角公式计算二面角余弦值.【小问1详解】证明：在平面CDEF 内，过E 做EO 垂直于CD 交CD 于点O ，由CDEF 为等腰梯形，且24CD EF ==，则1,DO =又OE =，所以2OE ，连接AO ，由ADO EDO ≅ ，可知AO CD ⊥且2AO =，所以在三角形OAE 中，222AE OE OA =+，从而OE OA ⊥，又,,,OE CD OA CD O OA CD ⊥∩=⊂平面ABCD ，，所以OE ⊥平面ABCD ， 又OE ⊂平面CDEF ，所以平面ABCD ⊥平面CDEF【小问2详解】由（1）知，,,OE OC OA 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,2,0,0,0,2,0,0,2,2A E M B ，()()()2,0,2,2,2,0,0,0,2AE EM MB =−=−= ，设平面AEM 的一个法向量为(),,n x y z =， 则00n AE n EM ⋅= ⋅=，即220220x z x y −= −+= ， 取1z =，则()1,1,1n = ，设平面BEM 的一个法向量为()111,,m x y z =， 则00m MB m EM ⋅= ⋅=，即11120220z x y = −+= ， 取11y =，则()1,1,0m = ，所以cos,m nm nm n⋅==⋅由图可以看出二面角A EM B−−为锐角，故二面角A EM B−−.17. 已知函数2()e2,Rxf x ax a=−∈．（1）求函数()f x的单调区间；（2）若对于任意的0x>，都有()1f x≥恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）(],1−∞【解析】【分析】（1）对2()e2xf x ax=−求导，可得2()2e2xf x a′=−，再分类讨论a的取值，得出导数的正负即可得出单调区间；（2）对a进行分类讨论，根据导数正负求得()f x的最小值，判断是否满足()1f x≥，即可求解．【小问1详解】对2()e2xf x ax=−求导，可得2()2e2xf x a′=−，令()0f x′=，即22e20x a−=，即2e x a=，当0a≤时，ff′(xx)>0恒成立，()f x在R上单调递增；当0a>时，21e,2ln,ln2x a x a x a===，当1ln2x a<时，()()0,f x f x′<在1,ln2a∞−上单调递减；当1ln2x a>时，ff′(xx)>0，()f x在1ln,2a∞+上单调递增；综上，当0a≤时，()f x单调递增区间为R；当0a>时，()f x的单调递减区间为1,ln2a∞−，单调递增区间为1ln,2a∞+．【小问2详解】因为对于任意的0x>，都有()1f x≥恒成立，的的对2()e 2x f x ax =−求导，可得2()2e 2x f x a ′=−，令()0f x ′=，即22e 20x a −=，即2e x a =，①当0a ≤时，ff ′(xx )>0，则()f x 在(0,+∞)单调递增，()()01f x f >=，符合题意； ②当01a <≤时，2e x a =，则1ln 02x a ≤， 则()0f x ′>，()f x 在(0,+∞)单调递增，()()01f x f >=，符合题意； ③当1a >时，2e x a =，则1ln 02xa >， 当10,ln 2x a∈ 时，()0f x ′<，则()f x 在10,ln 2a单调递减， 当1ln ,2x a ∞ ∈+ 时，()0f x ′>，则()f x 在1ln ,2a ∞ +单调递增， 所以()ln 11ln e 2ln ln 22a f x f a a a a a a ≥=−⋅=−， 令()ln ,1g a a a a a =−>，则()ln 0g a a ′=−<， 所以()g a 在(1,+∞)上单调递减，所以()()11g a g <=，不合题意； 综上所述，(],1a ∞∈−．18. 已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b−=>>的左､右焦点分别为12,,F F E 的一条渐近线方程为y =，过1F 且与x 轴垂直的直线与E 交于P ，Q 两点，且2PQF 的周长为16.（1）求E 的方程；（2）,A B 为双曲线E 右支上两个不同的点，线段AB 的中垂线过点()0,4C ，求ACB ∠的取值范围.【答案】（1）22:13y E x −=； （2）2π0,3. 【解析】 【分析】（1）将x c =−代入曲线E 得2b y a =±，故得211b PF QF a==，从而结合双曲线定义以及题意得24416b a b a a = +=，解出,a b 即可得解. （2）设:AB y kx m =+，联立双曲线方程求得中点坐标，再结合弦长公式求得ACM ∠的正切值，进而得ACM ∠范围，从而由2ACB ACM ∠=∠即可得解.【小问1详解】将x c =−代入2222:1(0,0)x y E a b a b −=>>，得2b y a=±， 所以211b PF QF a==，所以2222b PF QF a a ==+，所以由题得24416b a b a a= +=，1a b = ⇒ = 所以双曲线E 的方程为22:13y E x −=. 【小问2详解】由题意可知直线AB斜率存在且k ≠，设:AB y kx m =+，AA (xx 1,yy 1),BB (xx 2,yy 2),设AB 的中点为M . 由2233y kx m x y =+ −=消去y 并整理得222(3)230k x kmx m −−−−=，230k −≠， 则22222(2)4(3)(3)12(3)0km k m m k ∆=+−+=+−>，即223m k >−， 12223km x x k+=−，212233m x x k +=−−，12122226()2233km m y y k x x m k m k k +=++=⋅+=−−，于是M 点为2(3km k −，23)3m k −，2223431243M C MC M m y y m k k k km x kmx k −−−+−===−. 由中垂线知1A MC B k k ⋅=−，所以231241m k km k−+=−，解得：23m k =−. 所以由,A B 在双曲线的右支上可得：22221220333033m m x x m k k k m+−<+=−=>⇒⇒=−>−， 且12222003km x x k k k+>⇒>−， 且()()()()()22222222Δ43390333403m k k k k k k =−+>⇒−+−=−−>⇒<或24k >， 综上24k >即2k >，又CM =， 所以tan AM ACM CM ∠===因为24k >，所以213m k =−<−，故2333k 0−−<<(， 所以π0,3ACM∠∈. 所以2π20,3ACB ACM∠=∠∈ . 19. 对于集合,A B ，定义运算符“Δ”:Δ{,A B x x A x B =∈∈∣两式恰有一式成立}，A 表示集合A 中元素的个数．（1）设][1,1,0,2A B =−= ，求ΔA B ；（2）对于有限集,,A B C ，证明ΔΔΔA B B C A C +≥，并求出固定,A C 后使该式取等号的B 的数量；（用含,A C 的式子表示）（3）若有限集,,A B C 满足ΔΔΔA B B C A C +=，则称有序三元组(),,A B C 为“联合对”，定义{}*1,2,,,I n n ∈N ，(){},,,,u A B C A B C I ⊆∣． ①设m I ∈，求满足ΔA C m =的“联合对”(),,A B C u ⊆的数量；（用含m 的式子表示） ②根据（2）及（3）①的结果，求u 中“联合对”的数量．【答案】（1）[1,0)(1,2]−∪（2）||2A C ∆（3）①C 2m n m n +⋅②6n【解析】【分析】（1）根据新定义，对区间逐一分析即可得解；（2）利用韦恩图及新定义，求出不等式等号成立的条件，利用集合的性质转化为求子集个数； （3）①分别求出(),A C ,B 取法的种数，再由分步乘法计数原理得解②结合（2）及（3）①的结果，利用二项式定理求解.【小问1详解】对于,,[1),0x x A x B −∈∈∉，故x A B ∈∆；对于,,[0,1]x x A x B ∈∈∈，故x A B ∉∆；对于,,(1,2]x x A x B ∉∈∈，故x A B ∈∆；对于,,[1],2x x A x B ∉−∉∉，故x A B ∉∆，即[10)(12],,A B −∆ .【小问2详解】画出Venn 图，如图，将A B C 划分成7个集合17,,S S ，则14562547||||||||||,||||||||||A B S S S S B C S S S S ∆=+++∆=+++，1267||||||||||A C S S S S ∆=+++，故45||||||2||2||0A B B C A C S S ∆+∆−∆=+≥不等式成立，当且仅当45S S ==∅时取等号， 4S =∅等价于()A C B ∩⊆，5S =∅等价于()B A C ⊆∪，故当且仅当()()A C B A C ∩⊆⊆∪取等号. 设()B A C D =∩∪，其中集合D 与A C 无交集，由于()\()A C A C A C ∆= ，故有()()\ΔD A C A C A C ∅⊆⊆∪∩=，即D 为A C ∆的某一子集，有||2A C ∆种，从而使上式取等的B 有||2A C ∆个.【小问3详解】①设X A C u =∆⊆，有||X m =，故X 有C m n 种取法，对于每一个x ，知X 中每一个元素x 有两种情形：,x A x C ∈∉或,x A x C ∉∈，且/I X 中每一个元素x 有两种情形：,x A x C ∈∉或,x A x C ∉∈，故,x I x ∀∈共有两种选择，也就是这样的(),A C 有||22I n =种，对于每一个(),A C ，由（2）知B 有||22A C m ∆=种取法.故由乘法原理，这样的“联合对(),,A B C 有C 2m n m n +⋅个.②由①知，u 中“联合对”的数量为()00C 22C 212216n n n m n m n m m n m n n nnm m +−===⋅=+=∑∑(二项式定理)， 故u 中“联合对”(),,A B C 的数量为6n .【点睛】关键点点睛：集合新定义问题的关键在于理解所给新定义，会抽象的利用集合的知识，分步乘法计数原理，二项式定理推理运算，此类问题难度大.。

广东省深圳外国语学校2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题(含答案)

广东省深圳外国语学校2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题(含答案)

深圳外国语学校2024-2025学年度高三第一学期第二次月考数学试题试卷共4页，卷面满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.已知命题，则命题的否定为（ ）A. B.C. D.3.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C.D.4.函数的图象大致为（）A. B.C. D.5.设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为（ ）A.1B.2C.3D.46.已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为{{},21x A xy B y y ====+∣∣A B ⋂=(]1,2(]0,1[]1,2[]0,2:1,1p x x ∀>>p 1,1x x ∀><1,1x x ∀≤>1,1x x ∃>≤1,1x x ∃≤≤()()3x x a f x -=30,2⎛⎫⎪⎝⎭a (),1∞--[)3,0-(]0,1[)3,∞+()1cos ex x xf x -=a b c ､､2240a ab b c -+-=c ab 236a b c+-()f x (),e xy f x =+R ()3e xy f x =-()ln3f（ ）A.B.3C.D.7.已知三倍角公式，则的值所在的区间是（ ）A. B. C. D.8.已知函数，若对于任意的实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ）A.B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若函数定义域为，则函数的定义域为B.若定义域为的函数值域为，则函数的值域为C.函数与的图象关于直线对称D.成立的一个必要条件是10.若，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B.C. D.11.已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ）A.的图象关于点对称B.是以8为周期的周期函数C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.731031133sin33sin 4sin ααα=-sin10 11,43⎛⎫⎪⎝⎭11,54⎛⎫ ⎪⎝⎭11,65⎛⎫ ⎪⎝⎭11,76⎛⎫ ⎪⎝⎭()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=(),x f x ()g x m ()0,2()0,8[)2,8(),0∞-()f x []1,3()21f x +[]0,1R ()f x []1,5()21f x +[]0,215xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭5log y x =-y x =a b >1a b ->log 1a b >a b <1ab a b+>+11a b a b ->-11a b a b+<+R ()f x ()g x ()()21f x g x ++-=()f x ()2,1()f x ()()8g x g x +=20241(42)2025k f k =-=∑12.已知函数，则__________.13.已知函数且，若函数的值域是，则实数的取值范围是__________.14.若，则的最大值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）设函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，若函数有三个不同零点，求c 的取值范围.16.（本小题满分15分）记的角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若点是边上一点，且，求的值.17.（本小题满分15分）如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，已知为棱的中点，在底面的投影为线段的中点，是棱上一点.（1）若，求证：平面；（2）若，确定点的位置，并求二面角的余弦值.18.（本小题满分17分）已知函数.（1）函数与的图像关于对称，求的解析式；()cos2f x x =066lim x f x f xππ∆→⎛⎫⎛⎫+∆-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=∆()223,2(06log ,2a x x x f x a x x ⎧-++≤=>⎨+>⎩1)a ≠()f x (],4∞-a ()e 1xa xb ≥++()1a b +()32.f x x ax bx c =+++().y f x =()()0,0f 4a b ==()f x ABC V ,,A B C ,,a b c sin sin sin A B Cb c a b-=++A D BC ,2AB AD CD BD ⊥=sin ADB ∠P ABCD -ABCD π3ABC ∠=E AD P H EC M PC 2CM MP =PE ∥MBD ,PB EM PC EC ⊥=M B EM C --()()()2ln 1cos 2g x x x =--+--()f x ()g x 1x =-()f x（2）在定义域内恒成立，求a 的值；（3）求证：，.19.（本小题满分17分）设集合，其中.若集合的任意两个不同的非空子集，都满足集合的所有元素之和与集合的元素之和不相等，则称集合具有性质.（1）试分别判断在集合与是否具有性质P ，不必说明理由；（2）已知集合具有性质P .①记，求证：对于任意正整数，都有；②令，，求证：；（3）在（2）的条件下，求的最大值.()1f x ax -≤2111ln 42nk n f k =+⎛⎫-< ⎪⎝⎭∑*n ∈N {}()12,,,3n S a a a n =≥ *,1,2,,i a i n ∈=N S A B ､A B S P {}11,2,3,4S ={}21,2,4,8S ={}12,,,n S a a a = 121kik i aa a a ==+++∑L k n ≤121kk i i a =≥-∑12i i i d a -=-1kk ii D d==∑0k D ≥12111na a a +++深圳外国语学校2025届高三第二次月考数学答案一､选择题：题号1234567891011答案ACDADDCBACBDABC二､填空题12. 13.14.三､解答题15.解：（1）由，得.因为，，所以曲线在点处的切线方程为.（2）当时，，所以.令，得，解得或.与在区间上的情况如下：所以，当且时，⎫⎪⎪⎭e2()32f x x ax bx c =+++()232f x x ax b =++'()0f c =()0f b '=()y f x =()()0,0f y bx c =+4a b ==()3244f x x x x c =+++()2384f x x x =++'()0f x '=23840x x ++=2x =-23x =-()f x ()f x '(),-∞+∞x(),2-∞-2-22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭23-2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-0+()f x Zc]3227c -Z0c >32027c -<存在，，，使得.由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点.16.（1）由及正弦定理得，整理得，所以由余弦定理得：因为，所以.（2），记，则.在中，.①在中，由正弦定理得.②由①②及得，解得.由，解得.17.（1）设，因为底面是边长为2的菱形，所以，对角线BD 平分，又为棱的中点，所以，在中，根据角平分线性质定理得，又，所以，所以，，平面，且平面平面.()14,2x ∈--222,3x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()1230f x f x f x ===()f x 320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()3244f x x x x c =+++sin sin sin A B C b c a b -=++a b cb c a b-=++222a b c bc =++2221cos ,22b c a A bc +-==-()0,πA ∈2π3A =π6DAC BAC BAD ∠=∠-∠=ADB α∠=π6C DAC αα∠=-∠=-Rt ABD V cos AD BD α=ADC V ππsinsin 66AD CDα=⎛⎫- ⎪⎝⎭2CD BD =cos 2ππsin sin 66αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭4=tan α=22πtan cos 1,0,2αααα⎛⎫=+=∈ ⎪⎝⎭sin α=sin ADB ∠=BD CE N ⋂=ABCD CD AB =ADC ∠E AD 2CD AB DE ==ADC V 2CN CDNE DE==2CM MP =2CM MP =2CN CMNE MP==MN ∴∥PE PE ⊄MBD MN ⊂,MBD PE ∴∥MBD（2）平面，且平面，，因为，所以，在中，，，所以是等边三角形，又为棱的中点，所以，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面ABCD ，平面，又平面，，又，平面，平面，且平面，.因为P 在底面的投影H 为线段的中点，所以，又所以为等边三角形，故为中点，所以在底面上的投影为的中点.在中，，，以为原点，分别以为轴，以过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，所以，，设是平面的一个法向量，则，令，则，即，平面，是平面的一个法向量，PH ⊥ ABCD BC ⊂ABCD PHBC ∴⊥π3ABC∠=2π3BCD ∠=ACD V CD AB =π3ABC ∠=ACD V E AD BC CE ⊥PH ⊥ ABCD PH⊂PCE PCE ⊥ABCD PCE ⋂ABCD =CE BC ⊂BC ∴⊥PEC EM ⊂PEC BC EM ∴⊥PB EM ⊥ ,,PB BC B PB BC ⋂=⊂PBC EM ∴⊥PBC PC ⊂PBC EM PC ∴⊥EC PC PE =PC CE =PCE V MPC M ABCD CH CDE V CE ===3,2CEAD PH ⊥== C ,CB CE ,x y C ABCD z ()()()30,0,0,2,0,0,,4C B E M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()32,,4EB ME ⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭(),,n x y z = EBM 0203004n EB x n ME y z ⎧⋅=⇒=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩ 2y =x z ==2,n =BC ⊥ PEC ()2,0,0CB ∴=PEC因为二面角是一个锐角，所以二面角18.（1）依题意，设图像上任意一点坐标为，则其关于对称的点在图像上，则，则，故，；（2）令，，则在在恒成立，又，且在上是连续函数，则为的一个极大值点，，，下证当时，在恒成立，令，，当，，在上单调递增，当，，在上单调递减，故，在上恒成立，又，则时，恒成立，综上，.（3）由（2）可知：，则，即，则，又由（2）可知：在上恒成立，则在上恒成立且当且仅当时取等，令，，则，cos ,n CB n CB n CB⋅∴===⋅B EMC --B EM C --()f x ()00,x y 1x =-()002,x y --()g x 000()(2)y f x g x ==--0000()(2)2ln(1)cos f x g x x x =--=++0(1)x >-()()2ln 1cos f x x x =++()1x >-()()()12ln 1cos 1h x f x ax x x ax =--=++--()1x >-()0h x ≤(1,)x ∈-+∞()00h =()h x (1,)x ∈-+∞0x =()h x 2()sin 1h x x a x '=--+(0)202h a a '=-=⇒=2a =()0h x ≤(1,)x ∈-+∞()ln(1)x x x ϕ=+-1()111x x x x ϕ'=-=-++()1,0x ∈-()0x ϕ'>()x ϕ()1,0-(0,)x ∈+∞()0x ϕ'<()x ϕ()0,∞+()()00x ϕϕ≤=()ln 1x x ≤+(1,)-+∞cos 1x ≤2a =()()()()12ln 1cos 10h x f x ax x x x ⎡⎤=--=+-+-⎦≤⎣2a =()12f x x -≤11111222f k k ⎛⎫⎛⎫--≤-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122f k k⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭211111122122nk n f k n n n =+⎛⎫⎛⎫-≤+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑ ()ln 1x x ≤+()1,-+∞ln 1x x ≤-()0,∞+1x =(0,1)1nx n =∈+*N n ∈1ln1111n n n n n -<-=+++即，则，综上，，即证19.（1）对于集合，因为，故集合的元素和相等，故不具有性质.对于，其共有15个非空子集：，，各集合的和分别为：，，它们彼此相异，故具有性质.（2）①因为具有性质，故对于任意的，也具有性质，否则有两个非空子集，它们的元素和相等，而也是的子集，故不具有性质，矛盾.注意到共有个非空子集，每个子集的元素和相异，且子集的和最大为，最小为，故.②因为，故，由①可得，故.（3）不妨设，设，则，由（2）可得，且.而11ln ln ln(1)ln 11n n n n n n n +<-==+-++111ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)122n n n n n n n n n+++<+-++-+++--++ ln(2)ln ln 2n n =-=21112ln 2ln 42nk n f k =+⎛⎫-<= ⎪⎝⎭∑{}11,2,3,4S =1423+=+{}{}1,4,2,31S P {}21,2,4,8S ={}{}{}{}{}{}{}{}{}{}8,,,,,,1,2481,21,41,82,42,,,84,{}{}{}{}{}1,2,41,2,81,4,82,4,81,2,4,8,,,,59610121,2,4,8,3,,,,,7,11,13,14,152S P {}12,,,n a a a P k {}12,,,k a a a P {}12,,,k a a a ,A B ,A B {}12,,,n a a a {}12,,,n a a a P {}12,,,k a a a 21k -12k a a a +++ 1a 1221kk a a a +++≥- 12i i i d a -=-()112122k k k D a a a -=+++-+++ ()1221k k a aa =+++-- ()12210kk a a a +++--> 0k D ≥12n a a a <<< 1121112122111112112222n n n n n n a a a a a a a a a ---⎛⎫+++-+++=+++ ⎪--⎝⎭- 112i i ic a -=10i i c c +->12i i i d a -=-10kk ii D d==≥∑112112211222122n n n n n n a a a c d c d c d a a a ---+++=+++-- ()()()112213321n n n c D c D D c D D c D D -=+-+-++-，故，当且仅当时等号成立，即此时任意的正整数，即故此时时等号成立，故的最大值为.()()()121232110n n n n n c c D c c D c c D c D --=-+-++-+≥ 111211*********n n n a a a --+++≤+++=- 120n D D D ==== k 1221kk a a a ++=-1111,222kk k k a a --==-=12k k a -=12111n a a a +++ 1122n --。

福建省龙岩第一中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题(解析版)

福建省龙岩第一中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题(解析版)

2023届福建省龙岩第一中学高三上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知{}1,0,1,3,5A =-，{}230B x x =-<，则R A B =ð（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,1,3-C ．{}1,0,1-D ．{}3,5【答案】D【分析】由题意求出B ，R B ð，由交集的定义即可得出答案.【详解】因为{}230B x x =-<32x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭， 所以R B =ð32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭，所以A R B =ð{}3,5.故选：D. 2．若5:11xp x -≤+，则p 成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．21x -<≤- B ．12x -≤≤ C ．15x ≤≤ D ．25x <<【答案】D【分析】先求出分式不等式的解集，进而结合选项根据充分不必要条件的概念即可求出结果. 【详解】因为511xx -≤+，即51011x x x x -+-≤++，因此4201x x -≤+等价于()()42+10+10x x x -≤≠⎧⎨⎩，解得2x ≥或1x <-，结合选项可知p 成立的一个充分不必要条件是25x <<， 故选：D.3．已知函数()()2ln 16f x x x =++-，则下列区间中含()f x 零点的是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】C【分析】分别求出()0f 、()1f 、()3f 、()4f 的值，即可判断其正负号，利用零点存在定理则可选出答案.【详解】由题意知：()0ln1660f =-=-<，()231ln2+16ln3+462ln 32ln0e f f =-<-==-=<（）， ()ln3+96ln3303f =-=+>，()ln4+166ln 40041f =-=+>. 由零点存在定理可知()f x 在区间()2,3一定有零点. 故选：C.4．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122l l =，则12S S =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】通过弧长比可以得到OA 与OB 的比，接着再利用扇形面积公式即可求解 【详解】解：设AOD θ∠=，则12,l OA l OB θθ=⋅=⋅，所以122l OAl OB==，即2OA OB =， 所以12221222111222231122OA l OB l OB l OB l S S OB l OB l ⋅-⋅⋅-⋅===⋅⋅， 故选：C5．已知22sin sin ,cos cos 33αβαβ-=--=，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ta n()αβ-的值为（ ）AB．CD．【答案】B【分析】将条件的两个式子平方相加可得()8922cos αβ--=，然后可得()5os 9c αβ-=，再由2sin sin 03αβ-=-<，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得()π,02αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，从而可求出()in s αβ-=，由商式关系可求得()an t αβ-=【详解】由2sin sin 3αβ-=-，得22sin 2sin sin sin 49ααββ-+=，由2cos cos 3αβ-=，得22cos 2cos cos cos 49ααββ-+=，两式相加得，()8922cos αβ--=，所以可得()5os 9c αβ-=，因为2sin sin 03αβ-=-<，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()π,02αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()in s αβ-=()an t αβ-=故选：B6．已知()()2222cos 1ln 4f x x x =-⋅，则函数()f x 的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用二倍角余弦公式化简()2f x 的表达式，令()20t x t =≠，可得()f x 的解析式，再判断函数()f x 的奇偶性，可排除选项C 、D ，最后根据0x +→时，()0f x <即可求解.【详解】解：()()()()22222cos 1ln 4cos 2ln 2f x x x x x =-⋅=⋅，令()20t x t =≠，则()2cos ln f t t t =⋅()0t ≠，所以()2cos ln f x x x =⋅()0x ≠，定义域关于原点对称，因为()()()()22cos ln cos ln f x x x x x f x -=-⋅-=⋅=，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除选项C 、D ；又0x +→时，因为2cos 0,ln 0x x ><，所以()2cos ln 0f x x x =⋅<，所以排除选项B ，选项A 正确； 故选：A.7．已知()22231,0log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，函数()()g x f x b =+有四个不同的零点1234,,,x x x x ，且满足：1234x x x x <<<.则下列结论中不正确的是（ ） A ．10b -<< B ．341x x =C ．3112x ≤< D ．1232x x +=-【答案】A【分析】作出()f x 图象，利用函数有四个不同的交点求出10b -≤<，A 错误； 根据二次函数的对称轴求出1232x x +=-可判断D ；数形结合结合对数运算得到341x x =可判断B ；数形结合求出231log 0x -≤<，解得3112x ≤<，可判断C. 【详解】如图，作出()f x 图象，若y ＝－b 与()y f x =有四个交点，需01b <-≤，则10b -≤<，故A 错误；这四个交点的横坐标依次为1234,,,x x x x ，因为抛物线2231y x x =++的对称轴为34x =-，所以1232x x +=-，故D 正确；因为2324log log x x -=，即2324log log 0x x +=，所以341x x =，故B 正确；()(]323log 0,1f x x =-∈，即231log 0x -≤<，所以3112x ≤<，故C 正确.故选：A.8．已知13sin 2,ln 2,2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．a b c <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】D【分析】判断sin2和2πsin3的大小，比较a 与34、b 与34、c 与34的大小可判断a 与b 大小关系及b 与c 大小关系，判断aca 与c 大小关系，从而可判断a 、b 、c 大小关系．【详解】2π3sin2sin34a =>=>， 4333344443e e 2e 2lne ln24⎛⎫=>⇒>⇒=> ⎪⎝⎭，即b 34<，∴a >b ；∵3131322264-⎛⎫== ⎪⎝⎭，3327464⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴13324->，c b ∴>；∵62764=⎝⎭，6131162464-⎛⎫== ⎪⎝⎭，132->，a c ∴>； a cb ∴>>． 故选：D ．【点睛】本题关键是利用正弦函数的值域求出sin2的范围，以34两个值作为中间值，比较a 、b 、c 与中间值的大小即可判断a 、b 、c 的大小．二、多选题9）A ．2252cos cos 1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1tan151tan15+︒-︒C．cos15︒︒ D ．16sin10cos20cos30cos40︒︒︒︒【答案】ABD【分析】对于A ，采用降幂公式，结合特殊角三角函数，可得答案； 对于B ，根据特殊角三角函数，结合正切的和角公式，可得答案； 对于C ，根据辅助角公式，结合特殊角三角函数，可得答案； 对于D ，根据积化和差公式，结合特殊角三角函数，可得答案.【详解】对于A ，2251cos 1cos 55662cos cos 2cos cos12122266ππππππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭=，故A 正确； 对于B ，()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--，故B 正确；对于C ，13cos153sin152cos15sin1522⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭()()()2sin30cos15cos30sin152sin 30152sin152sin 4530=-=-==-()212sin 45cos30cos 45sin 302222⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭C 错误； 对于D ，16sin10cos 20cos30cos 40 ()116sin 30sin 10cos30cos 402⎡⎤=⨯+-⎣⎦ 8sin30cos30cos 408sin10cos30cos 40=-()18408sin 40sin 20cos 402⎡⎤=-⨯+-⎣⎦404sin 40cos 404sin 20cos 40=-+()1402sin804sin 60sin 202⎡⎤=-+⨯+-⎣⎦402sin8032sin 20=-+-404sin50cos303=-+ )cos 40sin 503=-+)cos 40cos 403=-+=D 正确；故选：ABD.10．已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列结论正确的是（ ） A ．4ab ≤ B ．111a b+≥ C ．2216a b +≥ D ．228a b +≤【答案】AB【分析】根据基本不等式进行逐一判断即可.【详解】A ：因为0a >，0b >，所以4a b ab +≥≤，当且仅当2a b ==时取等号，故本选项正确；B ：因为0a >，0b >，所以有11111()(2)(21444a b b a a b a b a b b a ++=+=++≥+=+，当且仅当2a b ==时取等号，故本选项正确；C ：因为228a b +≥=，当且仅当2a b ==时取等号，所以本选项不正确；D ：因为0a >，0b >，所以有22282a b a b +≤≤+≥，当且仅当2a b ==时取等号，所以本选项不正确，故选：AB11．已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π【答案】AC【分析】根据题意得6πϕ=-，()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数的图像性质依次分析各选项即可得答案.【详解】解：因为函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，所以，2,Z 32k k ππϕπ⨯+=+∈，解得,Z 6k k πϕπ=-+∈，因为22ππϕ-<<，所以6πϕ=-，即()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，对于A 选项，函数3sin 212f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，是奇函数，故正确；对于B 选项，当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，25,626x πππ-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由于函数sin y x =在5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故错误；对于C 选项，函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像对应的解析式为()3sin 226g x x a π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若()g x 图像关于6x π=对称，则22,Z 662a k k ππππ⨯--=+∈，解得,Z 62k a k ππ=-+∈， 由于0a >，故a 的最小值是3π，故正确； 对于D 选项，当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，672,66x πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-∈，故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=， 所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC12．已知1a b >>，则（ ） A ．ln ln a b b a > B ．11ea ba b-<C ．11e b a ->D ．若m b b n =+，则m a a n >+ 【答案】BC【分析】根据各个选项中的不等式，通过构造新函数，利用导数判断其单调性，再结合特例法进行判断即可.【详解】因为1a b >>，所以ln ln ln ln b aa b b a b a>⇔>， 设函数ln ()(1)xf x x x=>，21ln ()x f x x -'=，当(1,e)x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， 当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 所以A 选项错误；因为1a b >>，所以由111111eln ln ln ln a ba ab a b b a b a b -<⇔-<-⇔->-， 设函数1()ln g x x x =-，211()g x x x '=+，当,()0x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以B 选项正确；因为111eln 1ba a b->⇔>-，设函数1()ln 1h a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以21()a h a a -'=，当()1,a ∞∈+时，()0'>h a ，函数()h a 单调递增， 当()0,1a ∈时，()0h a '<，函数()h a 单调递减，所以()(1)0h a h >=，即11ln 10ln 1a a a a ⎛⎫-->⇒>- ⎪⎝⎭，因为1a b >>，所以111111a b a b <⇒->-，因此11ln 11a a b>->-，所以C 选项正确. 令2,0b m ==，则有1n =-，又令3a =，所以01,2m a a a n ==+=， 显然不成立，所以D 选项错误， 故选：BC【点睛】方法点睛：不等式是否成立可以通过构造函数利用导数的性质来进行判断.三、填空题13．已知角θ的终边经过点(2,1)P -，则22cos 2sin cos 2θθθ-=___________.【答案】23【分析】利用三角函数定义求出tan θ，再利用二倍角公式化简，结合齐次式法计算作答.【详解】因角θ的终边经过点(2,1)P -，则1tan 2θ=-，所以2222222222112()cos 2sin cos 2sin 12tan 221cos 2cos sin 1tan 31()2θθθθθθθθθ-⨯----====----. 故答案为：2314．函数()xe f x x =的单调递减区间是__________.【答案】和（或写成和）【详解】试题分析：由题意得22(1)()x x x xe e e x f x x x-='-=，令()0f x '<，解得0x <或01x <<，所以函数的递减区间为和．【解析】利用导数求解函数的单调区间．15．已知函数(1)y f x =+的图象关于直线3x =-对称，且对R x ∀∈都有()()2f x f x +-=，当2(]0,x ∈时，()2f x x =+.则(2022)f =___________. 【答案】2-【分析】根据给定条件，推理论证出函数()f x 的周期，再利用周期性计算作答. 【详解】因函数(1)y f x =+的图象关于直线3x =-对称，而函数(1)y f x =+的图象右移1个单位得()y f x =的图象，则函数()y f x =的图象关于直线2x =-对称，即(4)()f x f x --=，而对R x ∀∈都有()()2f x f x +-=，则(4)()2f x f x --+-=，即R x ∀∈，(4)()2f x f x +=-+，有(8)(4)2f x f x +=-++[()2]2()f x f x =--++=，因此函数()y f x =是周期函数，周期为8，又当2(]0,x ∈时，()2f x x =+， 所以(2022)(25382)(2)2(2)242f f f f =⨯-=-=-=-=-. 故答案为：2-16．已知函数()sin cos (0,0)f x x a x a ωωω=+>>图像的两条相邻对称轴之间的距离小于,3f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，则ω的最小值为___________. 【答案】13【分析】先由对称轴间的距离确定了1ω>，再利用()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得到2,Z 62k k πωπϕπ+=+∈，依次利用诱导公式与基本关系式求得tan 6πω⎛⎫⎪⎝⎭、cos 6πω⎛⎫ ⎪⎝⎭、sin 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的a 关于表达式，求出a 的值，进而得到121,Z k k ω=+∈，即可得到结果. 【详解】()()sin cos f x x a x x ωωωϕ=+=+，tan a ϕ=， 因为两条相邻对称轴之间的距离小于π，即2T π<，故22T ππω=<，所以1ω>， 因为()f x 在6x π=处取得最大值，所以2,Z 62k k πωπϕπ+=+∈，即2,Z 26k k ππωϕπ=+-∈，所以1tan tan 2tan 2626tan 6k a ππωππωϕππω⎛⎫⎛⎫=+-=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭， 所以1tan 6a πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭3πωϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，即sin 3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以sin sin 2sin cos 3326266k πωπωππωππωπωϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以sin tan cos 666πωπωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又2222sin cos 166πωπω⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23a =，又0a >，所以a =1sin 62πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，又tan 06πω⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以2,Z 66k k πωππ=+∈，解得121,Z k k ω=+∈，又1ω>，所以ω的最小值为13.故答案为：13.四、解答题17．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足2225,sin 2sin 8b c a bc C B +-==． （1）求cos A ；（2）若ABC 的周长为6ABC 的面积．【答案】（1）516；（2【解析】（1）由余弦定理可求得cos A ；（2）根据正弦定理可得2c b =，再由已知和余弦定理可求得2b =，根据三角形的面积可求得答案.【详解】解：（1）因为22258b c a bc +-=，所以2225cos 216b c a A bc +-==；（2）因为sin 2sin C B =，所以2c b =．由余弦定理得2222152cos 4a b c bc A b =+-=，则a =，因为ABC 的周长为636b =2b =，所以ABC 的面积为122b b ⨯⨯【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.18．已知函数()2ππ2sin sin cos cos 44f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的对称中心，并求当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x 的值域；(2)若函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称，求()g x 在区间()0,π上的单调递增区间.【答案】(1)对称中心：π1π,622k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，值域：12⎛⎤- ⎥⎝⎦(2)5π11π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据三角恒等变换，化简函数()f x ，再结合正弦型函数的对称中心公式，即可得到对称中心，结合正弦函数的图像即可求得其值域.（2）由（1）中()f x 的解析式，根据对称变换即可得到函数()g x 的解析式，再结合正弦型函数的单调区间即可求得结果.【详解】(1)因为函数()2ππ2sin sin cos cos 44f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222cos x x x x x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭⎝⎭()221cos 2cos sin 22xx x x +=-+π1232x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭令π2π,3x k k +=∈Z ，解得ππ62k x =-+，即对称中心π1π,622k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则ππ4π2,333x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，再结合三角函数图像可得()12f x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦所以，函数对称中心：π1π,622k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，值域：12⎛⎤- ⎥⎝⎦.(2)因为函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称，则()()π1232g x f x x ⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭，令ππ3π2π22π232k x k +≤-+≤+，k ∈Z ，解得7ππππ,1212k x k k -+≤≤-+∈Z 当1k =时，即为5π11π,1212⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当()0,πx ∈时，()g x 的单调递增区间：5π11π,1212⎛⎫⎪⎝⎭.19．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)ay b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元 (3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围． 【详解】(1)由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠，()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)ay b a x=+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．(2)把()2,102，()6,78，()20,120分别代入2y ax bx c =++，得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得12a =，10b =-，120c = ∴()221110120107022y x x x =-+=-+，,()0x ∈+∞． ∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元． (3)令()()()1701010210f xg x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+， 因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立， 则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增，∴ 当10x =+()g x 取得最小值，且最小值为(10g +=∴k ≥20．己知函数21()2ln (21)(0)2f x x ax a x a =-+->．(1)若曲线(=)y f x 在点(1,(1))f 处的切线经过原点，求a 的值；(2)设2()2g x x x =-，若对任意(0,2]s ∈，均存在(0,2]t ∈，使得()()f s g t <，求a 的取值范围．【答案】(1)=4a ； (2)(0,1ln 2)-.【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程（含参数a ），由切线过原点求出a 的值； （2）利用导数研究()f x 的单调性并求出(0,2]上的最大值，由二次函数性质求()g x 在(0,2]上的最大值，根据已知不等式恒（能）成立求参数a 的范围.【详解】(1)由21()2ln (21)(0)2f x x ax a x a =-+->，可得2()21f x ax a x '=-+-．因为(1)2211f a a a '=-+-=+，13(1)21122f a a a =-+-=-，所以切点坐标为3(1,1)2a -，切线方程为：()311(1)2a y a x ⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭， 因为切线经过(0,0)，所以3112aa -=+，解得=4a ． (2)由题知()f x 的定义域为(0,)+∞，21()[(21)2]f x ax a x x'=----，令()f x '=2(21)20ax a x ---=，解得1x a=-或=2x ， 因为0,a >所以10a-<，所以12a-<， 令()0f x '>，即2(21)20ax a x ---<，解得：12x a-<<，令()0f x '<，即2(21)20ax a x --->，解得：1x a<-或2x >，所以()f x 增区间为(0,2)，减区间为(2,)+∞．因为()22()211g t t t t =-=--，所以函数()g t 在区间(0,2]的最大值为0， 函数()f s 在(0,2)上单调递增，故在区间(0,2]上max ()(2)2ln 222f s f a ==+-， 所以2ln 2220a +-<，即ln 210a +-<，故1ln 2a <-， 所以a 的取值范围是(0,1ln 2)-.21．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1112,,AB AC AA AB AC A AB A AC ===⊥∠=∠，D 是棱11B C 的中点.(1)证明：1AA BC ⊥；(2)若三棱锥11B A BD -1A BD 与平面11CBB C 所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）作出辅助线，由三线合一证明线线垂直，进而证明线面垂直，得到BC ⊥平面1AAO ，从而证明1AA BC ⊥；（2）作出辅助线，由三棱锥的体积求出1A H =用空间向量求解二面角；方法二：作出辅助线，找到二面角的平面角，再求解余弦值. 【详解】(1)取BC 中点O ，连接AO ，1AO ,1AC,因为AB AC =,所以AO BC ⊥,因为11A AB A AC ∠=∠，11,AB AC AA AA ==，所以11A AB A AC ≅，所以11A B AC =，所以1AO BC ⊥， 因为1AOAO O =，1,AO AO ⊂平面1AAO ， 所以BC ⊥平面1AAO ， 因为1AA ⊂平面1AAO ， 所以1AA BC ⊥；(2)连接OD ，则平面1AAO 即为平面1AA DO ， 由（1）知BC ⊥平面1AA DO ，因为BC ⊂平面ABC ，且BC ⊂平面11BCC B ， 故平面1AA DO ⊥平面ABC ，平面1AA DO ⊥平面11BCC B ，过O 作1OM A D ⊥于M ，则OM ⊥平面ABC ，过1A 作1A H OD ⊥于H ，则1A H ⊥平面11BCC B ，因为11DO BB AA ∥∥知DO BC ⊥，在ABC中：2,AB AC BC ===所以1112BDB S DB DO =⋅△所以111111113B A BD A BDB BDB A A V V S h --==⋅==△，所以11A A H h = 法一：设MOD α∠=，则1DA H α∠=，在1Rt A HD △中11cos A H A D α===所以sin cos DM DO OM OD αα=⋅==⋅=又1A D M 为线段1A D 的中点，以O 为原点，分别以,,OA OB OM 分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，1(0,A B C A ⎝⎭，1,2222B D ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭， 设面1A BD 的法向量为()1111,,x n y z =，则有111111*********n BA xn BD x⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，两式相减得：10x =，所以110=，令12z =，可得：1y = 所以1(0,7,2)n =，设面11CBB C 的法向量为()2222,,n x y z =，则有221122220202n CB n CB ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 解得：20y =，令21z =，解得：2x =所以2(7,0,1)n=， 设锐二面角为θ，则有1212cos 4n n n n θ⋅===+⋅. 法二：过H 做HE BD ⊥，连接1A E ，1A H ⊥面11BCC B，1A H DB ∴⊥，则DB ⊥面1AHE ，1A E BD ∴⊥，则1A EH ∠即为所求二面角.在1Rt A DH △中，11A H A D =12DH =，在Rt DOB 中，2,DO OB DB == 由RtRt DEHDOB 可得：HE DHOB DB=，HE ∴=，则1A E =11cos HE A EH A E ∴∠===22．己知函数()e sin 1(0)x f x a x a =-->在区间(0,)π内有唯一极值点1x ． (1)求实数a 的取值范围；(2)证明：()f x 在区间(0,)π内有唯一零点2x ，且212x x <． 【答案】(1)(1,)∈+∞a (2)证明见解析【分析】（1）根据极值点的定义，求导，进而求导函数的零点，研究零点左右与零大小关系，可得答案；（2）由（1）明确函数的单调区间，分别在两个单调区间上，利用零点存在性定理，证明零点唯一存在，根据单调性证明不等式成立. 【详解】(1)()e cos x f x a x '=-，①当01a <≤时，因为()0,x π∈，所以cos 1a x <，1e e x π<<，()0f x '>，()f x 在()0,π上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；②当1a >时，令()=()g x f x '，则()e sin x g x a x '=+，因为()0,x π∈，所以()0g x '>，所以()f x '在()0,π上递增，又因为(0)10f a '=-<，2e 02f ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，所以()f x '在()0,π上有唯一零点1x ，且10,2x π⎛⎫⎪⎝⎭∈，所以()10,x x ∈，()0f x '<；1,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>，所以()f x 在()0,π上有唯一极值点，符合题意. 综上，(1,)∈+∞a .(2)由（1）知1a >，所以,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()e cos 0x f x a x '=->，所以()10,x x ∈，()0f x '<，()f x 单调递减；()1,x x π∈，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()10,x x ∈时，()(0)0f x f <=，则()10f x <，又因为()e 10f ππ=->， 所以()f x 在()1,πx 上有唯一零点2x ，即()f x 在(0,)π上有唯一零点2x .因为()112211112e sin 21e 2sin cos 1x xf x a x a x x =--=--，由（1）知()10f x '=，所以11e cos x a x =，则()112112e 2e sin 1x x f x x =--，构造2()e 2e sin 1,0,2t tp t t t π⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，所以()2()2e 2e (sin cos )2e e sin cos t t t tp t t t t t '=-+=--，记()e sin cos ,0,2tt t t t πϕ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则()e c o s s i n t t t t ϕ'=-+，显然()t ϕ'在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0t ϕϕ''>=，所以()t ϕ在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0t ϕϕ>=，所以()0p t '>，所以()p t 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()(0)0p t p >=，所以()()1220f x f x >=，由前面讨论可知：112x x π<<，12x x π<<，且()f x 在()1,x x π∈单调递增，所以122x x >.【点睛】在利用导数证明不等式成立时，一定明确单调区间，在同一单调区间上，由函数值的大小关系，可得自变量的大小关系，探究函数的单调性，可通过研究导数过着导数中部分代数式所构成函数的单调性，求其最值，可得函数的单调性.。

高三数学上学期第二次月考试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题

高三数学上学期第二次月考试卷 理(含解析)-人教版高三全册数学试题

2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞04．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣26．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．278．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．49．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．2011．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=__________．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是__________．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=__________．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．2015-2016学年某某省马某某市红星中学高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U是实数集R，M={x|y=ln（x2﹣2x） }，N={y|y=}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|﹣2≤x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|1≤x≤2}D．{x|x＜1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】应用题；集合思想；定义法；集合．【分析】由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩C U M．【解答】解：由韦恩图知阴影部分表示的集合为N∩（C U M）M={x|y=ln（x2﹣2x） }∴x2﹣2x＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M={x|x＜0，或x＞2}，∴C U M={x|0≤x≤2}=[0，2]，N={y|y=}={y|y≥1}=[1，+∞），∴N∩（C U M）=[1，2]，故选：C【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、二次不等式的解法等基础知识，属于基础题2．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．3．给出如下命题，正确的序号是( )A．命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠xB．命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5C．若ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件D．命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】利用命题的否定判断A的正误；四种命题的逆否关系判断B的正误；充要条件判断C 的正误；命题的真假判断D的正误；【解答】解：对于A，命题：∀x∈R，x2≠x的否定是：∃x0∈R，使得x02≠x0，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于B，命题：若x≥2且y≥3，则x+y≥5的否命题为：若x＜2且y＜3，则x+y＜5，不满足否命题的形式，所以不正确；对于C，若ω=1是函数f（x）=cosx在区间[0，π]上单调递减的，而函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的，ω≤1，所以ω=1是函数f（x）=cosωx在区间[0，π]上单调递减的充分不必要条件，正确．对于D，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则命题：a≥0，∀x∈R，x2+a≥0是真命题；所以，命题：∃x0∈R，x02+a＜0为假命题，则实数a的取值X围是a＞0，不正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，基本知识的考查．4．已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】图表型．【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积．【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，所以根据三视图中的数据可得：V=××=，故选C．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，一般组合体的体积要分部分来求．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．5．设F1、F2为椭圆+y2=1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，•的值等于( )A．0 B．2 C．4 D．﹣2【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】通过题意可推断出当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．进而可根据椭圆的方程求得焦点的坐标和P的坐标，进而求得和，则•的值可求得．【解答】解：根据题意可知当P、Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2面积最大．这时，F1（﹣，0），F2（，0），P（0，1），∴=（﹣，﹣1），=（，﹣1），∴•=﹣2．故选D【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生数形结合的思想和分析问题的能力．6．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则( )A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别讨论a，b，c的取值X围，即可比较大小．【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，则c＜a＜b，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．7．执行如图所示的程序框图，如果输入P=153，Q=63，则输出的P的值是( )A．2 B．3 C．9 D．27【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值，当Q=0时，满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为3．【解答】解：模拟执行程序，可得P=153，Q=63不满足条件Q=0，R=27，P=63，Q=27不满足条件Q=0，R=9，P=27，Q=9不满足条件Q=0，R=0，P=9，Q=0满足条件Q=0，退出循环，输出P的值为9．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的R，P，Q的值是解题的关键，属于基本知识的考查．8．若点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，则=( ) A．B．C．4 D．4【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】先根据对数的运算性质求出tanθ，再化简代值计算即可．【解答】解：点（16，tanθ）在函数y=log2x的图象上，∴tanθ=log216=4，∴====，故选：B．【点评】本题考查了二倍角公式，函数值的求法，以及对数的运算性质，属于基础题．9．已知函数f（x）=（）x﹣log3x，若实数x0是方程f（x）=0的解，且x0＜x1，则f（x1）的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不大于零【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的性质可知，f（x）=（）x﹣log3x在（0，+∞）上是减函数，且可得f（x0）=0，由0＜x0＜x1，可得f（x1）＜f（x0）=0，即可判断【解答】解：∵实数x0是方程f（x）=0的解，∴f（x0）=0．∵函数y（）x，y=log3x在（0，+∞）上分别具有单调递减、单调递增，∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．又∵0＜x0＜x1，∴f（x1）＜f（x0）=0．∴f（x1）的值恒为负．故选A．【点评】本题主要考查了函数的单调性的简单应用，解题的关键是准确判断函数f（x）的单调性并能灵活应用．10．已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，则a2+a4+a5+a9的值等于( )A．52 B．40 C．26 D．20【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】首先根据题中的已知条件已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2，进一步求出数列的通项公式，然后根据通项公式求出各项的值，最后确定结果．【解答】解：已知数列{a n}的前n项和为S n，过点P（n，S n）和Q（n+1，S n+1）（n∈N*）的直线的斜率为3n﹣2则：∴a n=3n﹣5a2+a4+a5+a9=40故选：B【点评】本题考查的知识点：根据点的斜率求出数列的通项公式，由通项公式求数列的项．11．函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致是( )A．B． C．D．【考点】对数的运算性质；函数的图象与图象变化．【分析】根据函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函数过点（1，1），当0＜x＜1时，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x为减函数；若当x＞1时，y=e lnx﹣x+1=1，故选D．【点评】本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系．12．已知定义在R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），若g（x）=x2f（x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是( )A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】f（x）是定义在R上的奇函数，可得：f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），可得：xf′（x）+2f（x）＞0，由g（x）=x2f（x），可得g′（x）＞0．可得函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．即可得出．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对任意正实数x满足xf′（x）＞2f（﹣x），∴xf′（x）+2f（x）＞0，∵g（x）=x2f（x），∴g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0．∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．又g（0）=0，g（﹣x）=x2f（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是R上的奇函数，∴g（x）是R上的增函数．由不等式g（x）＜g（1﹣3x），∴x＜1﹣3x，解得．∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集为：．故选：B．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．计算：（）+lg+lg70+=．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据对数和幂的运算性质计算即可．【解答】解：（）+lg+lg70+=+lg（）+1﹣lg3=+lg+1=+1+1=，故答案为：．【点评】本题考查了对数和幂的运算性质，关键是掌握性质，属于基础题．14．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值是﹣8．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】将z=x﹣3y变形为，此式可看作是斜率为，纵截距为的一系列平行直线，当最大时，z最小．作出原不等式组表示的平面区域，让直线向此平面区域平移，可探求纵截距的最大值．【解答】解：由z=x﹣3y，得，此式可看作是斜率为，纵截距为的直线，当最大时，z最小．画出直线y=x，x+2y=2，x=﹣2，从而可标出不等式组表示的平面区域，如右图所示．由图知，当动直线经过点P时，z最小，此时由，得P（﹣2，2），从而z min=﹣2﹣3×2=﹣8，即z=x﹣3y的最小值是﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了线性规划的应用，为高考常考的题型，求解此类问题的一般步骤是：（1）作出已知不等式组表示的平面区域；（2）运用化归思想及数形结合思想，将目标函数的最值问题转化为平面中几何量的最值问题处理．15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数．若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性．【专题】数形结合．【分析】由条件“f（x﹣4）=﹣f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．【解答】解：此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，综合条件得函数的示意图，由图看出，四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（﹣6），另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x1+x2+x3+x4=﹣8．故答案为﹣8．【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．16．关于函数f（x）=（x≠0），有下列命题：①f（x）的最小值是lg2；②其图象关于y轴对称；③当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；④f（x）在区间（﹣1，0）和（1，+∞）上是增函数，其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用；奇偶性与单调性的综合．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】是结合复合函数单调性的关系进行判断．②根据基本由函数奇偶性的定义判断函数为偶函数判断；③利用对勾函数的单调性判断；④由对勾函数的最值及函数奇偶性的性质进行判断即可．【解答】解：①函数f（x）=lg，（x∈R且x≠0）．∵=2，∴f（x）=lg≥2，即f（x）的最小值是lg2，故①正确，②∵f（﹣x）==f（x），∴函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故②正确；③当x＞0时，t（x）=，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴f（x）=lg在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，故③错误；④∵函数f（x）是偶函数，由③知f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上得到递增，∴在（﹣1，0）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上得到递减，故④正确，故答案为：①②④【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数奇偶性的性质，考查了复合函数的单调性，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的必要不充分条件，某某数m的取值X围．【考点】必要条件；绝对值不等式的解法．【专题】规律型．【分析】先求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．【解答】解：由||=，得|x﹣4|≤6，即﹣6≤x﹣4≤6，∴﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2+2x+1﹣m2≤0得[x+（1﹣m）][x+（1+m）]≤0，即1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∴q：1﹣m≤x≤1+m，（m＞0），∵￢p是￢q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件．即，且等号不能同时取，∴，解得m≥9．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，将￢p是￢q的必要不充分条件转化为q 是p的必要不充分条件是解决本题的关键．18．已知函数f（x）=﹣x2+2ex+m﹣1，g（x）=x+（x＞0）．（1）若y=g（x）﹣m有零点，求m的取值X围；（2）确定m的取值X围，使得g（x）﹣f（x）=0有两个相异实根．【考点】函数零点的判定定理；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）由基本不等式可得g（x）=x+≥2=2e，从而求m的取值X围；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，求导F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；从而判断函数的单调性及最值，从而确定m的取值X围．【解答】解：（1）∵g（x）=x+≥2=2e；（当且仅当x=，即x=e时，等号成立）∴若使函数y=g（x）﹣m有零点，则m≥2e；故m的取值X围为[2e，+∞）；（2）令F（x）=g（x）﹣f（x）=x++x2﹣2ex﹣m+1，F′（x）=1﹣+2x﹣2e=（x﹣e）（+2）；故当x∈（0，e）时，F′（x）＜0，x∈（e，+∞）时，F′（x）＞0；故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+∞）上是增函数，故只需使F（e）＜0，即e+e+e2﹣2e2﹣m+1＜0；故m＞2e﹣e2+1．【点评】本题考查了基本不等式的应用及导数的综合应用，同时考查了函数零点的判断与应用，属于中档题．19．已知函数f（x）=log a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数f（x）的图象．（1）写出函数g（x）的解析式；（2）当x∈[0，1）时，总有f（x）+g（x）≥m成立，求m的取值X围．【考点】求对数函数解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数最值的应用．【专题】计算题；转化思想．【分析】（1）由已知条件可知函数g（x）的图象上的任意一点P（x，y）关于原点对称的点Q （﹣x，﹣y）在函数f（x）图象上，把Q（﹣x，﹣y）代入f（x），整理可得g（x）（2）由（1）可令h（x）=f（x）+g（x），先判断函数h（x）在[0，1）的单调性，进而求得函数的最小值h（x）min，使得m≤h（x）min【解答】解：（1）设点P（x，y）是g（x）的图象上的任意一点，则Q（﹣x，﹣y）在函数f （x）的图象上，即﹣y=log a（﹣x+1），则∴（2）f（x）+g（x）≥m 即，也就是在[0，1）上恒成立．设，则由函数的单调性易知，h（x）在[0，1）上递增，若使f（x）+g（x）≥m在[0，1）上恒成立，只需h（x）min≥m在[0，1）上成立，即m≤0．m的取值X围是（﹣∞，0]【点评】本题（1）主要考查了函数的中心对称问题：若函数y=f（x）与y=g（x）关于点M （a，b）对称，则y=f（x）上的任意一点（x，y）关于M（a，b）对称的点（2a﹣x，2b﹣y）在函数y=g（x）的图象上．（2）主要考查了函数的恒成立问题，往往转化为求最值问题：m≥h（x）恒成立，则m≥h（x）m≤h（x）恒成立，max则m≤h（x）min20．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】（1）赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这x年中维修、保养的费用，维修、保养的费用历年成等差数增长，，（2）由（1）的结论解出结果进行判断得出何年开始赢利．（3）算出每一种方案的总盈利，比较大小选择方案．【解答】解：（1）y=﹣2x2+40x﹣98，x∈N*．（2）由﹣2x2+40x﹣98＞0解得，，且x∈N*，所以x=3，4，，17，故从第三年开始盈利．（3）由，当且仅当x=7时“=”号成立，所以按第一方案处理总利润为﹣2×72+40×7﹣98+30=114（万元）．由y=﹣2x2+40x﹣98=﹣2（x﹣10）2+102≤102，所以按第二方案处理总利润为102+12=114（万元）．∴由于第一方案使用时间短，则选第一方案较合理．【点评】考查审题及将题中关系转化为数学符号的能力，其中第二问中考查了一元二次不等式的解法，第三问中考查到了基本不等式求最值，本题是一个函数基本不等式相结合的题．属应用题中盈利最大化的问题．21．已知函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．（1）讨论函数h（x）=的单调性；（2）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，某某数a的取值X围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，利用导数的正负，即可讨论函数h（x）=的单调性；（2）求出g（x）max=g（2）=1，当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx恒成立，等价于a≥x﹣x2lnx 恒成立，然后利用导数求函数u（x）=x﹣x2lnx在区间[，2]上取得最大值，则实数a的取值X围可求．【解答】解：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，①a≤0，h′（x）≥0，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增②a＞0时，h'（x）＞0，则x∈（，+∞），函数h（x）的单调递增区间为（，+∞），h'（x）＜0，则x∈（0，），函数h（x）的单调递减区间为（0，），．（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），x 2g′（x）0 ﹣0 +g（x）﹣递减极小值递增 13由上表可知，g（x）在x=2处取得最大值，即g（x）max=g（2）=1所以当x∈[，2]时，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等价于a≥x﹣x 2lnx恒成立，记u（x）=x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，当x∈（，1）时，1﹣x＞0，2xlnx＜0，则u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上单调递增；当x∈（1，2）时，1﹣x＜0，2xlnx＞0，则u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上单调递减；故当x=1时，函数u（x）在区间[，2]，上取得最大值u（1）=1，所以a≥1，故实数a的取值X围是[1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值、最小值问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，训练了利用分离变量法求参数的取值X围，属于中档题．四、选做题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．已知曲线C1的参数方程是（θ为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=﹣4cosθ．（1）求曲线C1与C2交点的极坐标；（2）A、B两点分别在曲线C1与C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．【考点】参数的意义；简单曲线的极坐标方程．【专题】选作题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）把参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点的坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标；（2）画出图象，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．【解答】解：（1）由（θ为参数），消去参数得：x2+（y﹣2）2=4，即x2+y2﹣4y=0；由ρ=﹣4cosθ，得ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2=﹣4x．两式作差得：x+y=0，代入C1得交点为（0，0），（﹣2，2）．其极坐标为（0，0），（2，）；（2）如图，由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大．此时|AB|=2+4，O到AB的距离为．∴△OAB的面积为S=×（2+4）×=2+2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23．已知不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a．（1）当a=0时，求不等式的解集（2）若不等式在区间[﹣4，2]内无解．某某数a的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）求得f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=在区间[﹣4，2]内的值域，结合|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，求得a的X围．【解答】解：（1）当a=0时，不等式即|2x+2|﹣|x﹣1|＞0，可得①，或②，或③．解①求得 x＜﹣3，解②求得﹣＜x＜1，解③求得x≥1．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣3，或x＞﹣}．（2）当x∈[﹣4，2]，f（x）=|2x+2|﹣|x﹣1|=的值域为[﹣2，3]，而不等式|2x+2|﹣|x﹣1|＞a无解，故有a≤3．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想；还考查了分段函数的应用，求函数的值域，属于中档题．。

安徽省六安第二中学2024-2025学年高三上学期第二次月考(10月) 数学试题

安徽省六安第二中学2024-2025学年高三上学期第二次月考(10月) 数学试题

六安二中2025届高三第二次月考试题数学分值：150分时间：120分钟注意事项1.考生务必将自己的姓名、班级写在答题卡上并粘好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的选项涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它选项.不能答在试题卷上.3.解答题按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域的答案无效.4.保持答题卡卷面清洁，不折叠，不破损.第Ⅰ卷(选择题58分)一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上.1.设集合{}|1A x x =<，集合{|B y y ==，则A∩B=（）A.（-1，1）B.（0，1）C.[0，1）D.（1，+∞）2.已知x ∈R ，则“10ln 2x <≤”是“102x x -<-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知12log 3a =，sin6b π=，20.5c -=，则（）A.a <b <cB.b <c <aC.c <a <bD.b <a <c4.函数2ln ||||x x y x =的图象大致是（）A.B. C. D.5.已知函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=x （x +2）.若.f （2+m ）+f （2m-5）>0，则m 的取值范围为（）A.（-∞，0）B.（0，+∞）C.（-∞，1）D.（1，+∞）6.科学技能的迅猛发展，使人们在学校里学到的专业知识，逐步陈旧过时，这就是所谓的“知识半衰期”.1950年以前，知识的半衰期为50年：21世纪，知识的半衰期平均为3.2年；IT 业高级工程师1.8年.如果一个高三学生的初始知识量为0T ，则经过一定时间，即t 个月后的知识量T 满足01()2a a ht T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，h 称为知识半衰期，其中a T 是课堂知识量，若25a T =，某同学知识量从80降至75大约用时1个月，那么知识量从75降至45大约还需要（）（参考数据:lg2≈0.30，lg11≈1.04）A.8个月B.9个月C.10个月D.11个月7、已知函数2,1()23,1x a a x f x ax ax a x ⎧+≥=⎨-+-+<⎩（a >0且a ≠1），若f （x ）的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A.20,3⎛⎤⎥⎝⎦B.31,2⎛⎤⎥⎝⎦C.[2，+∞）D.[3，+∞）8.对于x ∈（0，+∞），不等式()()ln 10x e mx m x -+-≥恒成立，则实数m 的取值范围为（）A.0<m <1B.0<m ≤1C.0<m ≤eD.0<m <e二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.下列结论中正确的是（）A.若函数f （x ）的定义域为[0，2]，则函数f （2x +2）的定义域为[-1，0]B.当x ∈R 时，不等式210kx kx ++>恒成立，则k 的取值范围是（0，4）C.命题“∀x >1，x 2-x >0”的否定是20001,0x x x ∃≤-≤”D.函数||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（0，1]10.已知a =log 315，b =log 515，则（）A.111ab+= B.ab >4C.a 2+b 2<8D.a +b >411.设函数f （x ）与其导函数f '（x ）定义域均为R ，且f '（x +2）为偶函数，110f x f x +--=（）（），则（）A.f '（1+x ）=f '（1-x ）B.f '（3）=0C.f '（2025）=1D.f （2+x ）+f （2-x ）=2f （2）第Ⅱ卷（非选择题92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数2()lg(43)f x x x =-+的单调递减区间为__________.13.已知曲线y =x +ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y =ax 2+(2a +3)x +1只有一个公共点，求a 的值__________.14.已知函数ln ,0,()1,0x x x f x x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩若函数()()()()1g x f f x af x =-+有唯一零点，则实数a 的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知命题P :“∃x ∈R ，x 2-ax +1=0”为假命题，设实数a 的所有取值构成的集合为A .(Ⅰ)求集合C R A ;(Ⅱ)设集合B ={x |m+1<x <2m+1}，若t ∈A 是t ∈B 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.16.(15分)已知函数21()log 1xf x x-=+.(Ⅰ)判断并证明f (x )的奇偶性；(Ⅱ)若对任意11,,[2,2]33x t ⎡⎤∈-∈-⎢⎣⎦，不等式.f (x )≥t 2+at -6恒成立，求实数a 的取值范围.17.(15分)函数f (x )=(x +1)e x .(Ⅰ)求函数在(-2，f (-2))处的切线方程;(Ⅱ)求出方程f (x )=a (a ∈R)的解的个数.18.(17分)已知函数.f (x )=ac 2x +(a -2)c x -x ，(Ⅰ)当a >0时，求f (x )的单调区间:(Ⅱ)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围.19.(17分)从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为r .牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在x 轴找初始点P 0(x 0，0)，然后作y =f (x )在点Q 0(x 0，f (x 0))处切线，切线与x 轴交于点P 1(x 1，0)，再作y =f (x )在点(Q 1(x 1，f (x 1))处切线(Q 1P 1⊥x 轴，以下同)，切线与x 轴交于点.P 2(x 2，0)，.再作y =f (x )在点Q 2(x 2，f (x 2))处切线，一直重复，可得到一列数:x 0，x 1，x 2，∴，x n .显然，它们会越来越逼近r .于是，求r 近似解的过程转化为求x n ，若设精度为ε，则把首次满足|x n -x n ₋1|<ε的x n 称为r 的近似解.(Ⅰ)设f (x )=x 3+x 2+1，试用牛顿法求方程.f (x )=0满足精度ε=0.4的近似解(取x 0=-1，且结果保留小数点后第二位)；(Ⅱ)如图，设函数g(x )=2x ;(i)由以前所学知识，我们知道函数8g(x )=2x 没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释?(ii)若设初始点为P 0(0，0)，类比上述算法，求所得前n 个三角形00111211,,,n n n Q P P P PQ P P Q -- 的面积和.六安二中2025届高三第二次月考试题数学参考答案及评分标准(仅供参考)题号1234567891011答案CAADDCBCADABDBD6.【详解】由题意得117525(8025)2h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1110211h⎛⎫= ⎪⎝⎭;则14525(7525)2t H⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1120502th ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得102115t⎛⎫= ⎪⎝⎭，两边取对数102lg 1lg 115t =，25lg lg 2lg 52lg 2120.3110101lg11lg111 1.04lg 11t --⨯-===≈=---，故选:C.7.【详解】当x <1时，则f (x )=-ax 2+2ax -a +3=-a (x -1)2+3，且a >0，所以f (x )=-a (x -1)2+3<3，若函数f (x )的值域为R ，可知当x ≥1时，则.f (x )=a x +a 的值域包含[3，+∞)，若0<a <1，则.f (x )=a x +a 在[1，+∞)内单调递减，可得f (x )≤f (1)=2a ，不合题意;若a >1，则.f (x )=a x +a 在[1，+∞)内单调递增，可得f (x )≥f (1)=2a ，则2a ≤3，解得312a <≤;综上所述：实数a 的取值范围是31,2⎛⎤⎥⎝⎦故选:B.8.【详解】已知x ∈(0，+∞)，由()()ln 10x e mx m x -+-≥得，()()ln ln x mxe x e mx +≥+，构造函数f (x )=e x +x ，f (x )是R 上的增函数，则由.f (x )≥f (ln(m x ))得：x ≥ln(mx )，即x e m x ≤，令(),(0,)x eg x x x =∈+∞，2(1)()xx e g x x -'=，当x ∈(0，1)，g'(x )<0，则g(x )单调递减，当x ∈(1，+∞)，g'(x )>0，则g(x )单调递增，∴()()min 1g x g e ==，则m ≤e ，又m >0，则0<m ≤c .故选:C.9.【详解】A:由题设0≤2x +2≤2，则-1≤x ≤0，即f (2x +2)的定义域为[-1，0]，A 对;B:当x ∈R 时，不等式kx 2+kx +1>0恒成立，当k =0时，1>0恒成立，当k ≠0时，则需满足2040k k k >⎧⎨∆=-<⎩，∴0<k <4，综合可得k 的取值范围是[0，4)，B 不正确，C ：由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为20001,0x x x >-≤，C 错；D:令t =|x |∈[0，+∞)，故1(0,1]2t y ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，即||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(0，1]，D 对.故选:AD10.【详解】a =log 315>0，b =log 515>0，a ≠b ，且151511log 3log 51a b+=+=，故A 正确;又由111ab+=可知ab =a +b >4，B 正确;a 2+b 2≥2ab >8，故C 错误.11()224b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++>= ⎪⎝⎭，D 正确;故选:ABD.11.【详解】对于A ，∵f (1+x )-f (1-x )=0，∴f '(1+x )+f '(1-x )=0，即f '(x )关于(1，0)对称，故A 错误;对于B ，)'(2f x +为偶函数，故f '(x +2)=f '(-x +2)，即f '(x )关于x =2对称，由f '(x )关于x =2对称，知f '(3)=f '(1)=0，故B 正确;对于C ，f '(x )关于x =2对称和f '(x )关于(1，0)对称可得:f '(x )=-f '(-x +2)=f '(-x +4)，故f '(x +4)=-f '(x +2)=-[-f '(x )]=f '(x )，即f '(x )的周期为4，所以f '(2025)=f '(1)=0，故C 错;对于D ，由(2()2)f x f x ''+=-+得:f (x +2)=-f (-x +2)+m ，即f (x +2)+f (-x +2)=m ，令x =0得，2f (2)=m ，故f (2+x )+f (2-x )=2f (2)，故D 正确.故选:BD 12.(-∞，1)13.a =0或12a =详解(此题为书本选择性必修一第103页第13题)解：y =x +ln x 的导数为11y x'=+，曲线y =x +ln x 在x =1处的切线斜率为1121k =+=，则曲线y =x +ln x 在x =1处的切线方程为y -1=2x -2，即y =2x -1.由于切线与曲线y =ax 2+(2a +3)x +1只有一个公共点，y =ax 2+(2a +3)x +1可联立y =2x -1，得ax 2+(2a +1)x +2=0①有且只有一解，当a =0时①式变为x +2=0，则x =-2，方程①有且只有一解，符合题意;当a ≠0时，则Δ=(2a +1)2-8a =0，4a 2-4a +1=0，解得12a =综上，a =0或12a =.14.54a =-或-1≤a <1详解当x <0时，f (x )单调递减，图象为以y =-x 和y 轴为渐近线的双曲线的一支；当x >0时，有f '(x )=ln x +1，可得.f (x )在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增且min 11()f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，0lim ()0x f x →=，画出图象如下：由题意，f (f (x ))-af (x )+1=0有唯一解，设t =f (x )，则1t e <-，(否则至少对应2个x ，不满足题意)，原方程化为f (t )-at +1=0，即f (t )=at -1，该方程存在唯一解t 0，且01(,)t e∈-∞-.转化为y =f (t )与y =at -1有唯一公共点，且该点横坐标在1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，画图如下：。

2025届东莞市外国语高三数学上学期第二次月考试卷及答案解析

2025届东莞市外国语高三数学上学期第二次月考试卷及答案解析

东莞外国语学校2024-2025学年第一学期第2次月考高三数学命题人：桂林峰 审题人：张立东说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设2{(,)|}A x y y x x ==-，{(,)|}B x y y x ==，则A B =I （ ）A. {(0,0),(2,2)} B. {(0,0)} C. {(2,2)} D. Æ【答案】A 【解析】【分析】联立集合A 与集合B 方程组，解出来的解组就是A B Ç.【详解】根据题意知联立集合A 与集合B 方程组得2y x x y x ì=-í=î，解之可得00x y =ìí=î或22x y =ìí=î，所以()(){}0,0,2,2A B Ç=.故选：A2. “02x <<”是“260x x --<”的（ ）A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】分析两个集合{}|02A x x =<<和{}|23B x x =-<<的关系，从而推出命题之间的关系【详解】解不等式260x x --<，得23x -<<而集合{}|02A x x =<<是集合{}|23B x x =-<<的真子集，所以“02x <<”是“260x x --<”的充分而不必要条件故选：B3. 函数8()2(1)1f x x x x =+>-的最小值为（ ）A. 8 B. 6C. 4D. 10【答案】D 【解析】【分析】由8()2(1)21f x x x =-++-然后利用基本不等式可求得答案.【详解】因为1x >，所以8()2(1)22101f x x x =-++³+=-，当且仅当82(1)1x x -=-即3x =等号成立，所以函数的最小值为10，故选：D.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于基础题.4. 学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学．现从该小组中选出3位同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（ ）A. 70种 B. 140种 C. 420种 D. 840种【答案】C 【解析】【分析】将情况分为2男1女和2女1男两种情况，相加得到答案.【详解】2男1女时：213543240C C A ´´= 2女1男时：123543180C C A ´´=共有420种不同的安排方法故答案选C【点睛】本题考查了排列组合的应用，将情况分为2男1女和2女1男两种情况是解题的关键.5. 如图，直线l 和圆C ，当l 从l 0开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转到（转到角不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数的图像大致是A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由题意可知：S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，据此确定函数的大致图像即可.【详解】观察可知面积S 变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D 符合要求.故选D .【点睛】本题主要考查实际问题中的函数图像，函数图像的变化趋势等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6. 设123log 2,ln 2,5a b c -===则A. a b c << B. b<c<aC. c<a<bD. c b a<<【答案】C 【解析】【分析】由ln 2ln 2ln 3a b =<=及311log ,22a c >==<=可比较大小.【详解】∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =<=，即a b <．又3311log 2log ,22a c =>==<=．∴a c >．综上可知：c ab <<故选C.【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.7. 在ABC V 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，则C Ð=（ ）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-，即222a c ab b -=-，则222a b c ab +-=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又0πC <<，所以π3C =.故选：B.8. 阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移()m y 和时间()s t 的函数关系为()()sin 0,πy t w j w j =+><，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为1t ，2t ，()31230t t t t <<<，且122t t +=，235t t +=，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m 的总时间为（ ）A.1s 3B.2s 3C. 1sD.4s 3【答案】C 【解析】【分析】先根据周期求出2π3w =，再解不等式2πsin 0.53t j æö+>ç÷èø，得到t 的范围即得解.【详解】因为122t t +=，235t t +=，31t t T -=，所以3T =，又2πT w=，所以2π3w =，则2πsin 3y t j æö=+ç÷èø，由0.5y >可得2πsin 0.53t j æö+>ç÷èø，所以π2π5π2π2π636k t k j +<+<+，Z k Î，所以13533342π42πk t k j j +-<<-+，Z k Î，故531333142π42πk k j j æöæö+--+-=ç÷ç÷èøèø，所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置位移大于0.5m 的总时间为1s.故选：C.二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，满分18分，部分选对得部分分，错选得0分.（2021·全国·高考真题）9. 有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =×××为非零常数，则（ ）A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样本数据的样本极差相同【答案】CD 【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ¹，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；的C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD(2021高考北京改编·)10. 若点()cos ,sin A q q 关于y 轴对称点为ππcos ,sin 66B q q æöæöæö++ç÷ç÷ç÷èøèøèø，则q 的取值可以为（ ）A. 7π12-B. π12-C.5π12D.11π12【答案】AC 【解析】【分析】根据对称性得到πcos cos 06q q æö++=ç÷èø，πsin sin 6q q æö=+ç÷èø，化简后得到tan 2q =+四个选项一一计算，得到答案.【详解】由题意得πcos cos 06q q æö++=ç÷èø，πsin sin 6q q æö=+ç÷èø，πππ1cos cos cos cos cos sin sin sin 06662q q q q q q q æö++=+-=-=ç÷èø，故tan 2q =+πππ1sin sin sin sin cos cos sin cos 06662q q q q q q q æö-+=--=-=ç÷èø，故tan 2q =+A选项，ππtantan7π7πππ34tan tan tan 2ππ1212341tan tan34+æöæö-=-=-+=-==+ç÷ç÷èøèø-，A 正确；B选项，ππππtan tantan 2121234æöæö-=-=--==ç÷ç÷èøèø，B 错误；C 选项，ππtantan 5πππ64tantan ππ12641tan tan64+æö=+==ç÷èø-，C 正确；D 选项，由B 选项知，11πππtantan πtan 2121212æö=-=-=-ç÷èø，D 错误.故选：AC11. 已知函数2()sin f x x x =-在0x x =处取得极值，则（ ）A. 012x <B. 013>x C. 001sin 4-<x x D. 0tan2>x 【答案】ABC 【解析】【分析】求导得到导函数，再次求导证明()f x ¢单调递增，根据零点存在定理得到011,32x æöÎç÷èø，AB 正确，代换得到002011sin 042x x x æö-<ç÷èø--<-，C 正确，若D 成立得到013x <，矛盾，得到答案.【详解】2()sin f x x x =-，则()2cos f x x x ¢=-，()2sin 0f x x ¢¢=+>恒成立，故()f x ¢单调递增， 111cos 022f æö¢=->ç÷èø，1212π2cos cos 0333363f æö¢=-<-=<ç÷èø，故存在011,32x æöÎç÷èø，函数()f x 在()0,x -¥上单调递减，在()0,x +¥上单调递增，AB 正确；000()2cos 0f x x x ¢=-=，()()2000sin 00f x x x f =-<=，2000200111sin 4204x x x x x æö=-<ç÷èø--<---，故C 正确；若0tan 2>x ，011,32x æöÎç÷èø，则0sin 2x >20012cos 12sin 1233x x =-<-=，002cos 23x x =<，则013x <，这与011,32x æöÎç÷èø矛盾，故D 错误.故选：ABC.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分（必修一P219例4（3）改编）12. 求值：1tan151tan15+°=-°__________．【解析】【分析】直接利用两角和的正切公式计算可得；【详解】解：()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15+°°+°==°+°=°=-°-°×°（选择性必修三P 改编）13. 甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球､5个红球，乙箱中有8个红球､2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为1,2,3,4，从乙箱子中随机摸出1个球.则摸到红球的概率为___________.【答案】710##0.7【解析】【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可.【详解】从甲箱中摸红球：掷到点数为5或6的概率为2163=，再从甲箱中摸到红球的概率为51102=，故从甲箱中摸到红球概率为1111326P =´=；从乙箱中摸红球：掷到点数为1，2，3，4的概率为4263=，再从乙箱中摸到红球的概率为84105=，故从乙箱中摸到红球的概率为22483515P =´=；综上所述：摸到红球的概率为12187++61510P P P ===.故答案为：71014. 定义在()0,¥+上的函数()f x 满足：①当[1,3)x Î时，1,12,()3,23,x x f x x x -££ì=í-<<î②(3)3()f x f x =.若函数()()F x f x a =-的零点从小到大依次记为12,,,,n x x x L L ，则当(1,3)a Î时，12212n n x x x x -++++=L _______.【答案】6(31)n -【解析】【分析】在同一坐标系内做出()y f x =和y a =的图象，根据图象得到12,,,,n x x x L L ，的对称关系，把12212n n x x x x -++++L 转化为等比数列前n 项和即可求解.【详解】在同一坐标系内做出()y f x =和y a =的图象如图所示：的当(1,3)a Î时，利用对称性，依次有：1226223x x ==´+´´，234218223x x =+=´´´，L ，212223n n n x x -=´+´，所以()()()2122123134333463113n n nn n x x x x --++++=´+++=´=--L L .故答案为：6(31)n -.【点睛】方法点睛：已知函数有零点，求零点和（积）的常用方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再直接求和（积）；（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题：本大题共5小题，满分77分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．（2014·福建·高考真题）15. 函数()2cos (sin cos )f x x x x =+．（1）求5()4f p的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）5()24f p =；（2）T p =，()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z p pp p -+Î.【解析】【详解】试题分析：（1）借助题设直接运用诱导公式化简求解；（2）借助题设条件和二倍角公式求解．试题解析:（1）5555()2cos (sin cos 2cos (sin cos )24444444f p p p p p p p =+=---=，（2）因为2()2sin cos 2cos sin 2cos 21)14f x x x x x x x p=+=++=++．所以22T pp ==， 由222,242k x k k Z p p p p p -£+£+Î，的得3,88k x k k Z p p p p -££+Î，所以()f x 的单调递增区间为3,,88k k k Z p p p p éù-+Îêúëû．考点：三角函数的图象及诱导公式二倍角公式的运用．（2007年海南卷）16. 设函数()()2ln 23f x x x =++（1）讨论()f x 的单调性；（2）求()f x 在区间31,44éù-êúëû的最大值和最小值．【答案】（1）函数()f x 在31,1,,22æöæö---+¥ç÷ç÷èøèø上单调递增；在11,2æö--ç÷èø上单调递减；（2）()f x 在区间31,44éù-êúëû上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+.【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，解不等式()0f x ¢>求出函数的单调递增区间，解不等式()0f x ¢<求出函数的单调递减区间；（2）根据函数的单调性求出函数的最值.【小问1详解】函数()()2ln 23f x x x =++的定义域为32æö-+¥ç÷èø，，又()()141232223232x x f x x x x x æö++ç÷æöèø¢=+=>-ç÷++èø.令()0f x ¢>，解得12x >-或312x -<<-；令()0f x ¢<，解得112x -<<-.所以函数()f x 在31,1,,22æöæö---+¥ç÷ç÷èøèø上单调递增；在11,2æö--ç÷èø上单调递减；【小问2详解】由（1）可得：函数()f x 在区间31,42éù--êúëû内单调递减，在11,24éù-êúëû内单调递增.所以当12x =-时，函数()f x 取得最小值11ln 224f æö-=+ç÷èø，又393ln 4162f æö-=+ç÷èø，117ln 4162f æö=+ç÷èø，而319317131ln ln ln 044162162272f f æöæö--=+--=+<+=ç÷ç÷èøèø，所以当14x =时，函数()f x 取得最大值：17ln 162+.即()f x 在区间31,44éù-êúëû上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+.17. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的78-倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的22´列联表：已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6．喜欢跑步不喜欢跑步合计男生80女生20合计（1）判断：是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？（2）从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X 表示3人中女生的人数，求X 的分布及数学期望．a0.100.050.005x a2.7063.8417.879附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d c -=++++，其中n a b c d =+++．为【答案】（1）无90%把握认为喜欢跑步与性别有关，理由见解析（2）分布列见解析，()34E X =【解析】【分析】（1）计算出喜欢跑步和不喜欢跑步的人数，完善列联表，作出零假设，计算出卡方，与2.706比较后得到结论；（2）由分层抽样得到抽取女生2名，男生6名，得到X 的分布列，计算出期望值.小问1详解】由题可知，从200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6，故喜欢跑步的人有2000.6120´=（人），不喜欢跑步的人有20012080-=（人）．喜欢跑步不喜欢跑步合计男生8060140女生402060合计12080200∴80a =，60b =，40c =，20d =，零假设0:H 学生对长跑的喜欢情况与性别无关联，根据题意，由22´列联表中的数据，可得()2220080204060 1.587 2.7061208014060c ´´-´=≈<´´´，所以在0.1a =的独立性检验中，不能推翻0H ，故无90%把握认为喜欢跑步与性别有关．【小问2详解】按分层抽样，设女生x 名，男生y 名，8802060x y ==，解得2x =，6y =，∴从不喜欢跑步的学生中抽取女生2名，男生6名，故X 的可能取值为0，1，2．()032638C C 50C 14P X ×===，()122638C C 151C 28P X ×===，()212638C C 32C 28P X ×===，故X 的分布为：X 012【P5141528328∴()5153213012142828284E X =´+´+´==．18. 设函数()e 2e x x f x x a =-，()2g x ax =--，a ÎR ．（1）0a =时，求()f x 在()()1,1f 处切线方程；（2）若在y 轴右侧，函数()f x 图象恒不在函数()g x 的图象下方，求实数a 的取值范围；（3）证明：当*n ÎN 时，()1111ln 2123n n++++<+L ．【答案】（1）2e e 0x y --=（2）(],1-¥（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）设函数()()()e 2e 2x x h x f x g x x a ax =-=-++，求得()()12e x h x x a a ¢=+-+，令()()12e x x x a a j =+-+，求得()()22e x x x a j ¢=+-，分220a -³和220a -<，两种情况讨论，求解函数的单调，进而求得a 的取值范围.（3）取1a =，由（2）知e 2e 20x x x x -++³，令()ln 1x t t =³，ln 221t t t -³+，令2211t t n -=+，化简得到()()121ln ln 21ln 2121n n n n n +=+---<，进而证得结论.【小问1详解】0a =时，()e x f x x =，∵()()1e xf x x ¢=+，∴()12e k f =¢=，∵()1e f =，则切线方程为e 2e(1)y x -=-，即2e e 0x y --=.【小问2详解】设函数()()()()e 2e 20x x h x f x g x x a ax x =-=-++>，则()()12e x h x x a a ¢=+-+，令()()()12e 0x x x a a x j =+-+³，则()()22e xx x a j ¢=+-，当220a -³，即1a £时，()0x j ¢³，即()()()12e 010xx x a a a j j =+-+³=-³，即()()12e 0xh x x a a ¢=+-+³，所以()()e 2e 220220x xh x x a ax h a =-++>=-³成立，此时符合题意；当220a -<，即1a >时，令()0x j ¢<，解得22x a <-，所以()x j 在区间[)0,22a -上单调递减，又由()010a j =-<，此时()h x 在[)0,22a -上单调递减，所以()()0220h x h a <=-<，显然不满足题意，综上可得，实数a 的取值范围为(],1-¥.【小问3详解】取1a =，由（2）知e 2e 20x x x x -++³在[)0,+¥上恒成立，当且仅当0x =时，等号成立，因为0x ³，令()ln 1x t t =³，代入得到ln 2ln 20t t t t -++³，即ln 221t t t -³+，且[)22420,211t t t -=-Î++，令2211t t n -=+，*n ÎN ，即2121n t n +=-，代入化简得到()()121ln ln 21ln 2121n n n n n +=+---<，所以()()()()()1111ln3ln1ln5ln3ln 21ln 21ln 2123n n n n ++++<-+-+++--=+éùëûL L 成立．【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19. 已知*k ÎN ，集合{0101222,0,k i i i k k X x x i i i ==++×××+£<<<L 其中}01,,,k i i i ×××ÎN .（1）求2X 中最小的元素；（2）设13122a X =+Î，1b X Î，且1a b X +Î，求b 的值；（3）记(12,2k n k n k k Y X +-+ù=Çû，*n ÎN ，若集合k Y 中的元素个数为n b ，求1112k m m m b +-=å.【答案】（1）7 （2）24b =或10（3）2k【解析】【分析】（1）根据集合新定义，确定2X 中最小的元素即可；（2）根据集合1X 中的元素可得132210a =+=，设22j i b =+，()0,i j i j £<ÎN ，分别讨论当3j £时，当4j =时，当5j ³时，b 的取值情况，即可得结论；（3）设k x Y Î，则01222k i i i x =++×××+，其中1k i k n =+-，01101k i i i k n -£<<×××<<+-，所以1C kn k n b +-=，根据组合数的运算性质确定1k S +与k S 的关系，即可求得1112k mm m b +-=å的值.【小问1详解】2X 中的最小元素为0122227++=.【小问2详解】由题得132210a =+=，设22j i b =+，()0,i j i j £<ÎN .①当3j £时，322212b =+=或312210b =+=或30229b =+=或21226b =+=或20225b =+=或10223b =+=.经检验，当10b =时，422022a b +==+，符合题意，所以10b =.②当4j =时，432224b =+=或422220b =+=或412218b =+=或402217b =+=.经检验，当24b =时，513422a b +==+，符合题意，所以24b =.③当5j ³时，不符合题意.因此，24b =或10.【小问3详解】设k x Y Î，则01222k i i i x =++×××+，其中1k i k n =+-，01101k i i i k n -£<<×××<<+-，所以1C k n k n b +-=，设1112k m k m m b S +-==å，则1222111C C C C 222k k k k k k k k k k S ++=+++×××+.因为1111C C C k kk n n n ++--=+，所以1111111232122211111C C C C C 2222k k k k k k k k k k k k k S ++++++++++++=+++×××++()()()()11111122222121211111C C C C C C C C C 2222k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++++++=+++++×××++++12221211111C C C C C 2222k k k k k k k k k k k k ++++æö=+++×××++ç÷èø111112*********C C C C 2222k k k k k k k k k k +++++++++++×××++1122211111C C 222k k k k k k k k S S +++++æö=+-+ç÷èø.因为()()()()()()()()1212221!22!21!21!11C C 02!1!21!1!!1!k k k k k k k k k k k k k k ++++++-+-=-×==++++，所以1112k k k S S S ++=+，所以12k k S S +=，又因为11211C 22S =+=，所以2k k S =.【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，注意两点：（1）根据集合定义式，确定集合中元素的特点，结合指数运算确定指数的取值情况从而得集合k X 中的元素性质；（2）确定集合k Y 中的元素个数为n b 时，结合组合数的运算性质确定1112k m k m m b S +-==å与1k S +的关系.。

2024-2025学年宁夏银川一中高三上学期第二次月考数学试题及答案

2024-2025学年宁夏银川一中高三上学期第二次月考数学试题及答案

银川一中2025届高三年级第二次月考数 学 试 卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1. 设集合{}1,4A =，{}240B x x x m =-+=，若{}1A B ⋂=，则集合B =（ ）A. {}1,3-B. {}1,3 C. {}1,0 D. {}1,52. 已知函数()10,()31x f x a a a -=>≠-恒过定点(),M m n ，则函数1()n g x m x +=+的图象不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A b a c a-<+ B. 2c ab< C.c c b a> D. b c a c <4. 已知函数()f x 及其导函数(f x '的定义域均为R ，且()1f x '+为奇函数，则（ ）A. ()10f = B. ()20f '=C. ()()02f f = D. ()()02f f '='5. 如图为函数()y f x =在[]6,6-上的图像，则()f x 的解析式只可能是（ ）．A. ())ln cos f x x x=+ B. ())ln sin f x x x=+C. ())ln cos f x x x=- D. ())ln sin f x x x=.6. 当[]0,2πx ∈时，曲线cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点的个数为（ ）A. 3 B. 4C. 5D. 67. 已知3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π1πtan tan 424αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21sin 24cos αα-=（）A. 6+B. 6-C. 17+D. 17-8. 已知(),()f x g x 是定义域为R 函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，满足2()()2f x g x ax x +=++，若对任意的1212x x <<<，都有g (x 1)−g (x 2)x 1−x 2>−5成立，则实数a 的取值范围是（ ）A [)0,∞+ B. 5,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭ C. 5,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D. 5,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9. 下列说法正确的是（ ）A. 函数()2f x x =+与()2g x =是同一个函数B. 若函数()f x 的定义域为[]0,3，则函数(3)f x 的定义域为[]0,1C. 已知命题p ：0x ∀>，20x ≥，则命题p 的否定为0x ∃>，20x <D. 定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)0f x f x --=，则函数()f x 的周期为210. 已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A.π2是函数()f x 的周期B. 函数()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C. 函数()f x 的图象可由函数sin 2y x =向左平移π8个单位长度得到()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 函数()f x 对称轴方程为()ππZ 48k x k =-∈11. 已知函数()323f x ax ax b =-+，其中实数0,a b >∈R ，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 在()0,∞+上单调递增的.的B. 当()f x 有且仅有3个零点时，b 的取值范围是()0,4a C. 若直线l 与曲线()y f x =有3个不同的交点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，且AB AC =，则1233x x x ++=D. 当56a b a <<时，过点()2,P a 可以作曲线()y f x =的3条切线三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12. 已知函数2()()f x x x a =+在1x =处有极小值，则实数a =______．13. 已知函数y =f (x )为奇函数，且最大值为1，则函数()21y f x =+的最大值和最小值的和为__________.14. 在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3A ≤，3cos 4cos 3cos 0C A A +-=，则()14tan tan A B A +-的取值范围是________．四、解答题（共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 已知函数()cos ex xf x =.（1）讨论函数()f x 在区间()0,π上的单调性；（2）若存在0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得00()0f x x λ-≤成立，求实数λ的取值范围.16. 如图，AB 是半圆ACB 的直径，O 为AB 中点，,2OC AB AB ⊥=，直线BD AB ⊥，点P 为 BC上一动点（包括,B C 两点），Q 与P 关于直线OC 对称，记,,POB PF BD F θ∠=⊥为垂足，,PE AB E ⊥为垂足．（1）记 CP的长度为1l ，线段PF 长度为2l ，试将12L l l =+表示为θ的函数，并判断其单调性；（2）记扇形POQ 的面积为1S ，四边形PEBF 面积为2S ，求12S S S =+的值域．17. 已知函数π()2sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．条件①：(0)0f =；条件②：若12()2,()2f x f x ==-，且12x x -的最小值为π2；条件③：()f x 图象的一条对称轴为π4x =-．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()(6g x f x f x π=++，若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()2g α=，求π()224f α-的值．18. 已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+．（1）当2a =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处切线方程；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）讨论函数()f x 的零点个数．19. 定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x=--．（1）当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，并说明理由；（2）是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（352a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．的银川一中2025届高三年级第二次月考数 学 试 卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1. 设集合{}1,4A =，{}240B x x x m =-+=，若{}1A B ⋂=，则集合B =（ ）A. {}1,3-B. {}1,3 C. {}1,0 D. {}1,5【答案】B 【解析】【分析】根据交集结果知1B ∈，将x =1代入方程求出m ，再求集合B 即可.【详解】由{}1A B ⋂=可知：21403m m -+=⇒=，当3m =时，2430x x -+=，解得：x =1或3x =，即{}1,3B =．故选：B2. 已知函数()10,()31x f x a a a -=>≠-恒过定点(),M m n ，则函数1()n g x m x +=+的图象不经过（ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数的性质求解．【详解】01a = ，1()3x f x a-∴=-恒过定点()1,2-，1m ∴=，2n =-，11(1)1g x x x-=++=∴，其图象如图所示，因此不经过第四象限，故选：D ．3. 已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A. b a c a -<+B. 2c ab< C.c c b a> D. b c a c <【答案】D 【解析】【分析】由数轴知0c b a <<< ，不妨取=3,2,1c b a -=-=-检验选项得解.【详解】由数轴知0c b a <<< ，不妨取=3,2,1c b a -=-=-，对于A ，2121-+>-- ，∴ 不成立.对于B ，2(3)(2)(1)->-- ，∴ 不成立.对于C ， 3231-<---，∴ 不成立.对于D ，(3)1(3)2-<´--´- ，因此成立. 故选：D ．【点睛】利用不等式性质比较大小．要注意不等式性质成立的前提条件．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．4. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()1f x '+为奇函数，则（ ）A. ()10f = B. ()20f '=C. ()()02f f = D. ()()02f f '='【答案】C 【解析】【分析】取()1f x x '+=，()212f x x x c =-+，逐项判断.【详解】解：因为函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()1f x '+为奇函数，所以不妨设()1f x x '+=，则()1f x x '=-，()()21,01f f '='=-，故BD 错误；取()212f x x x c =-+，则()()()11,022f c f f c =-==，故A 错误，C 正确，故选：C5. 如图为函数()y f x =在[]6,6-上的图像，则()f x 的解析式只可能是（ ）．A. ())ln cos f x x x=+ B. ())lnsin f x x x=+C. ())ln cos f x x x=- D. ())ln sin f x x x=【答案】A 【解析】【分析】判断函数的奇偶性，结合函数在给定区间上的符号，利用排除法求解即可．【详解】对于B.()f x 的定义域为R，且())sin()f x x x -=--)sin )sin ()x x x x f x =--==，故()f x 为偶函数；对于D.()f x 的定义域为R，且())sin()f x x x -=+-)sin )sin ()x x x x f x =-+=-=，故()f x 为偶函数；由图象，可知()y f x =奇函数，故排除B 、D ；对于C.当π02x <<时，由22221(1)21x x x x =+<+=++，可知01x <<，则)0x <，而cos 0x >，此时()0f x <，故排除D ；故选：A.6. 当[]0,2πx ∈时，曲线cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭交点的个数为（ ）A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】为【分析】分别画出cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]0,2π上的函数图象，根据图象判断即可.【详解】cos y x =与π2cos 36y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在[]0,2π上的函数图象如图所示，由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.故选：D.7. 已知3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π1πtan tan 424αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21sin 24cos αα-=（）A. 6+B. 6-C. 17+D. 17-【答案】A 【解析】tan α，然后结合二倍角公式及同角基本关系对所求式子进行化简，即可求解.【详解】因为3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π1πtan tan 424αα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1tan 11tan 1tan 21tan αααα+-=⨯-+，tan 1α<-，解得tan 3α=--或tan 3α=-+（舍)，则()222221sin 2sin cos 2sin cos 1tan 2tan 14cos 4cos 4ααααααααα-+-==-+()()2211tan 131644α----=+==故选：A.8. 已知(),()f x g x 是定义域为R 的函数，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，满足2()()2f x g x ax x +=++，若对任意的1212x x <<<，都有()()12125g x g x x x ->--成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)0,∞+ B. 5,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭ C. 5,4∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ D. 5,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据奇偶函数构造方程组求出()g x 的解析式，再根据题意得到()232h x ax x =++在()1,2x ∈单调递增，分类讨论即可求解．【详解】由题意可得()()22f x g x ax x -+-=-+，因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，所以()()22f x g x ax x -+=-+，联立()()()()2222f xg x ax x f x g x ax x ⎧+=++⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得()22g x ax =+，又因为对于任意的1212x x <<<，都有()()12125g x g x x x ->--成立，所以()()121255g x g x x x -<-+，即()()112255g x x g x x +<+成立，构造()()2552h x g x x ax x =+=++，所以由上述过程可得()252h x ax x =++在()1,2x ∈单调递增，若0a <，则对称轴0522x a =-≥，解得5<04a -≤；若0a =，则()52h x x =+在()1,2x ∈单调递增，满足题意；若a >0，则对称轴0512x a=-≤恒成立；综上，5,4a ∞⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭．故选：B二．多项选择题（共3小题，满分18分，每小题6分）9. 下列说法正确的是（ ）A. 函数()2f x x =+与()2g x =是同一个函数B. 若函数()f x 的定义域为[]0,3，则函数(3)f x 的定义域为[]0,1C. 已知命题p ：0x ∀>，20x ≥，则命题p 的否定为0x ∃>，20x <D. 定义在R 上的偶函数()f x 满足()(2)0f x f x --=，则函数()f x 的周期为2【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，两函数定义域不同；B 选项，令033x ≤≤，求出01x ≤≤，得到函数定义域；C 选项，全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定；D 选项，根据函数为偶函数得到f (−x )=f (x )，故()(2)f x f x -=-，得到函数周期.【详解】A 选项，()2f x x =+的定义域为R ，令20x +≥，解得2x ≥-，故()2g x =的定义域为2x ≥-，定义域不同，A 错误；B 选项，令033x ≤≤，解得01x ≤≤，故函数(3)f x 的定义域为[]0,1，B 正确；C 选项，命题p 的否定为0x ∃>，20x <，C 正确；D 选项，()f x 偶函数，故f (−x )=f (x )，又()(2)f x f x =-，故()(2)f x f x -=-，则函数()f x 的周期为2，D 正确.故选：BCD10. 已知函数()sin 2f x x ⎛= ⎝）A.π2是函数()f x 的周期B. 函数()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C. 函数()f x 的图象可由函数sin 2y x =向左平移π8个单位长度得到()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 函数()f x 的对称轴方程为()ππZ 48k x k =-∈【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角函数图象与性质逐一判断选项即可.【详解】因为()πππsin 2πsin 2244f x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π2是函数()f x 的周期，故A 为的正确；∵π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ππ7π2,4412u x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又sin sin y u u ==在π7π,412⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故B 错误；∵函数sin 2y x =向左平移π8个单位长度得到ππsin 2sin 284x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；令2π4π2k x +=，得()ππZ 48k x k =-∈，故D 正确，故选：ACD ．11. 已知函数()323f x ax ax b =-+，其中实数0,a b >∈R ，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 在()0,∞+上单调递增B. 当()f x 有且仅有3个零点时，b 的取值范围是()0,4a C. 若直线l 与曲线()y f x =有3个不同的交点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，且AB AC =，则1233x x x ++=D. 当56a b a <<时，过点()2,P a 可以作曲线()y f x =的3条切线【答案】BCD 【解析】【分析】选项A 根据导函数及0a 可判断单调性；选项B 根据极大值极小值可得；选项C 由三次函数对称中心可得；选项D ，先求过点P 的切线方程，将切线个数转化为()322912g x ax ax ax a =-++与y b=图象交点个数，进而可得.【详解】选项A ：由题意可得()()236=32f x ax ax ax x ='--，令()0f x '=解得0x =或2x =，因为0a >，所以令f ′(x )>0解得0x <或2x >，令f ′(x )<0解得02x <<，故()f x 在区间(),0∞-或()2,∞+上单调递增，在(0,2)上单调递减，故A 错误，选项B ：要使()f x 有且仅有3个零点时，只需()()0020f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩即08120b a a b >⎧⎨-+<⎩，解得04b a <<，故B正确；选项C ：若直线l 与曲线y =f (x )有3个不同的交点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，且AB AC =，则点A 是三次函数()f x 的对称中心，设()()236h x f x ax ax ==-'，则()66h x ax a '=-，令()0h x '=，得1x =，故()f x 的对称中心为(1,f (1))，123133x x x x ++==，故C 正确；选项D ：()236f x ax ax '=-，设切点为()32000,3C x ax ax b -+，所以在点C 处的切线方程为：()()()3220000336y ax ax b ax ax x x --+=--，又因为切线过点()2,P a ，所以()()()32200003362a ax ax b ax ax x --+=--，解得320002912ax ax ax a b -++=，令()322912,g x ax ax ax a y b =-++=，过点()2,P a 可以作曲线y =f (x )的切线条数可转化为y =g (x )与y b =图象交点个数，()()()261812612g x ax ax a a x x =-+=--'，因为0a >，所以()0g x '>得1x <或2x >，()0g x '<得12x <<，则()g x 在(),1∞-，()2,∞+上单调递增，在()1,2上单调递减，且()16g a =，()25g a =，()g x 图象如图所示，所以当56a b a <<时，y =g (x )与y b =图象有3个交点，即过点()2,P a 可以作曲线y =f (x )的3条切线，故D 正确，故选：BCD三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）12. 已知函数2()()f x x x a =+在1x =处有极小值，则实数a =______．【答案】1-【解析】【分析】通过对函数()f x 求导，根据函数()f x 在1x =处有极小值，可知()0f x '=，解得a 的值，再验证即可求出a 的值．【详解】因为2()()f x x x a =+，所以22322()(2)2f x x x ax a x ax a x =++=++，所以22()34f x x ax a '=++，而函数2()()f x x x a =+在1x =处有极小值，所以()10f '=，故2340a a ++=，解得11a =-或23a =-，当23a =-时，()23129f x x x =-+'，令f ′(x )<0，()1,3x ∈，令f ′(x )>0，()(),13,x ∞∞∈-⋃+，故此时()f x 在()(),1,3,∞∞-+上单调递增，在()1,3上单调递减，此时()f x 在1x =处有极大值，不符合题意，排除，当11a =-时，()2341f x x x '=-+，令f ′(x )<0，1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令f ′(x )>0，()1,1,3x ∞∞⎛⎫∈-⋃+ ⎪⎝⎭，故此时()f x 在()1,,1,3∞∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，此时()f x 在1x =处有极小值，符合题意，故答案为：1-.13. 已知函数y =f (x )为奇函数，且最大值为1，则函数()21y f x =+的最大值和最小值的和为__________.【答案】2【解析】【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】奇函数如果存在最值，则最大值和最小值之和为0，所以函数()f x 最大值和最小值之和为0，则函数()21y f x =+的最大值和最小值之和为2.故答案为：2.14. 在三角函数部分，我们研究过二倍角公式2cos 22cos 1x x =-，我们还可以用类似方式继续得到三倍角公式．根据你的研究结果解决如下问题：在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若π3A ≤，3cos 4cos 3cos 0C A A +-=，则()14tan tan A B A +-的取值范围是________．【答案】⎫⎪⎪⎭【解析】【分析】利用32A A A =+，再根据整体思想将()cos3cos 2A A A =+转化为两角和的余弦值化简，再利用诱导公式可得2B A =，根据锐角三角形性质可得A 取值范围，从而得tan A 的取值范围，代入()14tan tan A B A +-化简即可得出结论.【详解】三倍角公式：()cos3cos 2cos 2cos sin 2sin A A A A A A A =+=-()()222cos 1cos 21cos cos A A A A =---34cos 3cos A A =-，因为3cos 4cos 3cos C A A +-=，所以cos cos30C A +=.故()cos cos30cos cos3cos π3π32C A C A A C A B A +=⇒=-=-⇒=-⇒=，△ABC 为锐角三角形，故π0,2π02,2π0π3,2A A A ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩解得ππ64A <<，tan 1A <<，()114tan 4tan tan tan A A B A A ⎫+=+∈⎪⎪-⎭．故答案为：⎫⎪⎪⎭四、解答题（共5小题，满分77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15 已知函数()cos e xxf x =.（1）讨论函数()f x 在区间()0,π上的单调性；（2）若存在0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得00()0f x x λ-≤成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）()f x 在3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； （2）[)0,∞+【解析】【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解，（2）将问题转化为存在0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，000cos 0e x x x λ-≤成立，构造函数()cos π0e 2x x g x x x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，求导得函数的最值即可求解．【小问1详解】()sin cos π0e 4x x x f x x +⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭'，解得ππ4x k k =-+∈Z ，，因为x ∈(0,π)，所以3π4x =，当()3π0,04x f x ⎛⎫∈< '⎪⎝⎭，，当x ∈π，f ′(x )>0，所以()f x 在3π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】()()00000cos 00ex x f x x f x x λλ-≤⇒=-≤，当00x =时，由0cos 0ex x x λ-≤可得10≤不成立，当0π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，000cos e x x x λ≥，令()()2cos πsin cos cos 00e 2ex xx x x x x xg x x g x x x ---⎛⎫=<≤=< ⎪⎝⎭'，恒成立，.故()g x 在π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦单调递减，所以()min π02g x g λ⎛⎫≥==⎪⎝⎭，所以λ的取值范围为[)0,∞+.16. 如图，AB 是半圆ACB 的直径，O 为AB 中点，,2OC AB AB ⊥=，直线BD AB ⊥，点P 为 BC上一动点（包括,B C 两点），Q 与P 关于直线OC 对称，记,,POB PF BD F θ∠=⊥为垂足，,PE AB E ⊥为垂足．（1）记 CP的长度为1l ，线段PF 长度为2l ，试将12L l l =+表示为θ的函数，并判断其单调性；（2）记扇形POQ 的面积为1S ，四边形PEBF 面积为2S ，求12S S S =+的值域．【答案】（1）12π1cos 2L l l θθ=+=-+在π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减（2）S 的值域为ππ62⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由题意得π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，根据扇形弧长公式求得1l ，再得PF 长度为2l ，从而得12L l l =+，利用导数判断其单调性；（2）根据扇形面积公式得1S ，再得四边形PEBF 面积为2S ，从而得12S S S =+，求导确定单调性极值与最值即可12S S S =+的函数.【小问1详解】因POB θ∠=，则由题意知π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由题意可得，π2COP θ∠=-，圆半径为1，所以1π2l θ=-，又21cos l PF OB OE θ==-=-，所以12ππ1cos ,022L l l θθθ=+=-+-<<，则1sin 0L θ=-'+<恒成立，所以12π1cos 2L l l θθ=+=-+-在π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减.【小问2详解】由题意可得211ππ21222S θθ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，因为,PF BD PE AB ⊥⊥，所以四边形PEBF 为矩形，于是()2sin 1cos S PE BE θθ=⋅=-，所以()12πsin 1cos 2S S S θθθ=+=-+-，其中π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求导得()()1cos 1cos sin sin 1cos cos 2cos 12cos S θθθθθθθθ=-+-+⋅=-+-=-'，令0S '=得1cos 2θ=，即π3θ=，则可得如下表格：θ0π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭π3ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭π2S '-0+Sπ2极小值1由表可知当π3θ=时，min π6S S ==+极小值，max π2S =，所以S 的值域为ππ62⎡⎤⎢⎥⎣⎦.17. 已知函数π()2sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．条件①：(0)0f =；条件②：若12()2,()2f x f x ==-，且12x x -的最小值为π2；条件③：()f x 图象的一条对称轴为π4x =-．（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()(6g x f x f x π=++，若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()2g α=，求π()224f α-的值．【答案】（1）所选条件见解析，()2sin2f x x =；（2）【解析】【分析】（1）根据条件结合三角函数图象性质即可求解；（2）利用三角恒等变换和配凑角即可求解．【小问1详解】选择条件①②：由条件①()00f =，所以2sin 0ϕ=，解得π,Z k k ϕ=∈，又π2ϕ<，所以0ϕ=，由条件②得π22T =，得πT =，所以2π2Tω==，所以()2sin2f x x =；选择条件①③：由条件①()00f =，所以2sin 0ϕ=，解得π,Z k k ϕ=∈，又π2ϕ<，所以0ϕ=．由条件③，得ππ(π+,Z 42k k ω⨯-=∈，解得42,Z k k ω=--∈，所以()f x 的解析式不唯一，不合题意；选择条件②③：由条件②得π22T =，得πT =，所以2π2Tω==，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又()f x 图象的一条对称轴为π4x =-，所以ππ2()π+,Z 42k k ϕ⨯-+=∈，解得()1πk ϕ=+，又π2ϕ<，所以0ϕ=，所以()2sin2f x x =；【小问2详解】解：由题意得()π2sin22sin(23g x x x =++ππ2sin22sin 2cos2cos 2sin 33x x x =++3sin22x x=+π)6x =+，因为()2g α=，所以π6α+=，即π3sin 65α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π(,663α+∈，若ππ2π[,623α+∈，则πsin()6α+∈，又π3sin 65α⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以πππ(,)662α+∈，因为22ππsin (cos (166αα+++=，所以π4cos()65α+=±，又πππ(,662α+∈，所以π4cos(65α+=，所以ππ()2sin 2()224224f αα-=-π2sin()12α=-ππ2sin[(]64α=+-ππππ2sin()cos 2cos()sin6464αα=+-+=18. 已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+．（1）当2a =时，求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）讨论函数()f x 的零点个数．【答案】（1）0y =； （2）(],2∞-；（3）2a ≤时，()f x 有1个零点，2a >时，()f x 有3个零点【解析】【分析】（1）由导数法求切线即可；（2）函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增等价于()212()01af x x x '=-≥+在(0,)+∞上恒成立，即()2111222x x a xx+≤=++在(0,)+∞上恒成立，由均值不等式求1122x x ++最小值即可；（3）当2a ≤，由（2）中()f x 在区间(0,)+∞上单调递增可得()f x 有1个零点，当2a >，由导数法讨论()f x 的单调性，再结合零点存在定理判断即可.【小问1详解】()ln f x x a =-，()()()22222112()11x a x a f x x x x x --+'=-=++，(1)0f =，当2a =时，()214(1)01f x x '=-=+，故函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为0y =；【小问2详解】函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增等价于()212()01a f x x x '=-≥+在(0,)+∞上恒成立，即()2111222x x a xx+≤=++在(0,)+∞上恒成立，∵111222x x ++≥=，当且仅当122x x =即1x =时成立，故实数a 的取值范围为(],2-∞；【小问3详解】由（2）得，当2a ≤，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)0f =，故()f x 有1个零点；当2a >，令()2()221g x x a x =--+，由()0g x =得，11x a =--，21x a =-，()10,1x ==，()21,x =++∞，由二次函数性质，在()10,x 上，()0g x >，()0f x '>；在()12,x x 上，()0g x <，()0f x '<；在()2,x +∞，()0g x >，()0f x '>，∴()f x 在()10,x ，()2,x +∞单调递增，在()12,x x 单调递减，又(1)0f =，∴()10f x >，()20f x <，又(e )0e 12aa a f =>+，e (e )210e 1a a a f a -⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，所以存在唯一的()()()3141252e ,,,,,e a a x x x x x x x -∈∈∈，使得()()()3450f x f x f x ===，即()f x 有3个零点．【点睛】（1）含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法.（2）含参函数零点个数问题，i. 一般对参数分类讨论，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象与零点存在定理判断；ii. 将参数分离出来，用导数法讨论不含参数部分的单调性，由数形结合，转化成两个图象交点的问题；19. 定义：如果函数()f x 在定义域内，存在极大值()1f x 和极小值()2f x ，且存在一个常数k ，使()()()1212f x f x k x x -=-成立，则称函数()f x 为极值可差比函数，常数k 称为该函数的极值差比系数．已知函数()1ln f x x a x x =--．（1）当52a =时，判断()f x 是否为极值可差比函数，并说明理由；（2）是否存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（352a ≤≤，求()f x 的极值差比系数的取值范围．【答案】（1）()f x 是极值可差比函数，理由见解析；（2）不存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -，理由见解析；（3）102ln2,23ln23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数k 的值，这样的值存在即可判断.（2）反证法，假设存在这样的a ，又“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可.（3）由（2）得到参数a 与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性即可得出函数取值范围.【小问1详解】当52a =时，()15ln (0)2f x x x x x =-->，所以()()()2221215122x x f x x x x-='-=+-，当()10,2,2x ∞⎛⎫∈⋃+ ⎪⎝⎭时，f ′(x )>0；当1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，f ′(x )<0，所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2,∞+上单调递增，在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 极大值为153ln2222f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，极小值为()352ln222f =-，所以()110122ln22232f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此()f x 是极值可差比函数．【小问2详解】()f x 的定义域为()()210,,1a f x x x ∞+=+-'，即()221x ax f x x -+'=，假设存在a ，使得()f x 的极值差比系数为2a -，则12,x x 是方程210x ax -+=的两个不等正实根，21212Δ401a x x ax x ⎧=->⎪+=⎨⎪=⎩，解得2a >，不妨设12x x <，则21x >，由于()()1211221211ln ln f x f x x a x x a x x x ⎛⎫-=----- ⎪⎝⎭的()11212211ln x x x a x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()()11121221222ln 2ln ,x x a x x a x x x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪-⎝⎭所以112222ln x a a x x x -=--，从而11221ln 1x x x x =-，得()22212ln 0,*x x x --=令()()2222121(1)2ln (1),0x x x g x x x x g x x x x-+-=-->==>'，所以()g x 在(1,+∞)上单调递增，有()()10g x g >=，因此()*式无解，即不存在a 使()f x 的极值差比系数为2a -．【小问3详解】由（2）知极值差比系数为11222ln x a x x x --，即1211222ln x x x x x x +--，不妨设120x x <<，令()12,0,1x t t x =∈，极值差比系数可化为12ln 1t t t +--，()2122121221122x x x x a t x x x x t+==++=++，52a ≤≤，解得1142t ≤≤，令()()212ln 1112ln ,142(1)t t t t p t t t p t t t +-+⎛⎫=-≤≤= '⎪--⎝⎭，设()()2221121212ln 1,14t t h t t t t h t t t t t --⎛⎫=+-≤≤=--= ⎪'⎝⎭22(1)0t t-=-≤所以()h t 在1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当1,14t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()1102h t h h ⎛⎫≥>= ⎪⎝⎭，从而()0p t '>，所以()p t 在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()1142p p t p ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()102ln223ln23p t -≤≤-．故()f x 的极值差比系数的取值范围为102ln2,23ln23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】思路点睛：合理利用导函数和“极值可差比函数”定义，在（2）利用极值点的性质找到几个变量间的基本关系，利用函数单调性判断方程无解。

黑龙江省2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学含答案

黑龙江省2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学含答案

黑龙江省2024-2025学年高三学年上学期第二次月考数学试题（答案在最后）考试时间：120分钟总分：150分命题人：高三数学备课组一､单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.若集合},{0|23A x mx m =->∈R ，其中2A ∈且1A ∉，则实数m 的取值范围是（）A.33,42⎛⎤⎥⎝⎦B.33,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.33,42⎛⎫⎪⎝⎭D.33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.“5π12α=”是“223cos sin 2αα-=-”的（）A.充要条件B.既不充分又不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件3.已知复数z 满足()()22i 1i z -=+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.若正数a b ，满足1232ab a b =++，则ab 的最小值为（）A.3B.6C.9D.125.已知函数=的定义域为，且−=，若函数=的图象与函数()2log 22x xy -=+的图象有交点，且交点个数为奇数，则()0f =（）A .1- B.0C.1D.26.在ABC V 中，6BC =，4AB =，π2CBA ∠=，设点D 为AC 的中点，E 在BC 上，且0AE BD ⋅= ，则BC AE ⋅= （）A.16B.12C.8D.4-7.已知函数()445sin cos 8f x x x ωω=+-在π0,4⎛⎤⎥⎝⎦上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（）A.48,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B.48,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.81633⎛⎤ ⎥⎝⎦, D.816,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 已知222π,24,3A b c ABC =+= 的外接圆半径R D =是边AC 的中点，则BD 长为（）A.1+ B. C.D.二､多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）9.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.该图像向右平移π6个单位长度可得3sin2y x =的图象B.函数=的图像关于点π,06⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.函数=的图像关于直线5π12x =-对称D.函数=在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减10.已知a ，b ，c是平面上的三个非零向量，那么（）A.若()()a b c b c a ⋅=⋅，则a c∥ B.若a b a b +=-，则0a b ⋅= C.若a b a b ==+ ，则a 与a b - 的夹角为π3D.若a b a c ⋅=⋅r r r r，则b ，c 在a 方向上的投影向量相同11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()()()322,6,12f x f x f f x f x f ⎛⎫++=+=-=⎪⎝⎭，则（）A.()f x 是周期函数B.()20240f =C.()f x 的图象关于直线()21x k k =-∈Z 对称D.20241120242k k f k =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12.已知πsin 63x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππcos 2cos 233πcos 2sin cos 3x x x x x⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭________.13.若数列{}n a 满足211111n na a a +==-，，则985a =__________.14.已知函数()f x 及其导函数′的定义域均为ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭，且()f x 为偶函数，若0x ≥时，()()tan f x f x x '≥，且π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()1cos f x x <的解集为__________.四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知12cos sin 2sin sin BC A B=+．（1）求C ；（2）若32a b c +=且3a =，求ABC V 的外接圆半径．16.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，设向量π2π(2sin ),(cos ,cos sin ),(),,63m A A A n A A A f A m n A ⎡⎤=+=-=⋅∈⎢⎥⎣⎦.（1）求函数(A)f 的最小值；（2）若6()0,sin 2f A a B C ==+=，求ABC V 的面积.17.已知锐角ABC V 的三个内角,,A B C ，所对的边为,,a b c ，()()()cos cos cos cos sin sin A B A B C C A +-=-.（1）求角B 的大小；（2）求222a cb +的取值范围.18.已知函数()()()22ln 1f x ax a x x a =-+++∈R .（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，()()12122f x f x x x ->--恒成立，求a 的取值范围.19.已知函数()log a axf x x =.（1）当e a =时，设()()e 1F x x f x -=，求在1x =处的切线方程；（2）当2a =时，求()f x 的单调区间；（3）若曲线=与直线21y a=有且仅有两个交点，求a 的取值范围.黑龙江省2024-2025学年高三学年上学期第二次月考数学试题考试时间：120分钟总分：150分命题人：高三数学备课组一､单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D二､多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）【9题答案】【答案】ABC【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】ABC三､填空题（共3小题，每小题5分，共15分）【12题答案】【答案】-【13题答案】【答案】1011【14题答案】【答案】ππ,33⎛⎫-⎪⎝⎭四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1）2π3C =（2）3【16题答案】【答案】（1）−2（2）ABC S =!【17题答案】【答案】（1）π4（2）(3,2【18题答案】【答案】（1）()f x 的极大值为1ln24--,()f x 的极小值为1-．（2）[0,8]．【19题答案】【答案】（1）1y x =-（2）增区间为(，减区间为)∞+（3）()()1,e e,∞⋃+。

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Hale Waihona Puke 8.过点（4,0）且斜率为
则 AB AC 的值为（
3 的直线交圆 x 2 y 2 4 x 0 于 A，B 两点，C 为圆心， 3
） C、
32 5
A、6
B、8
D、4 ）
9.已知数列{ an }为等差数列，S n 是它的前 n 项和，若 a1 2 ，S 4 20 ， 则 S6 =（ A、32 B、36 C、40 D、42
10.已知双曲线
5 x2 y2 x ，则该双曲线 2 1( a 0, b 0) 的一条渐近线方程是 y 2 2 a b
的离心率等于（ A、
3 14 14
） B、
3 2 4
C、
3 2
D、
4 3
x 1, y 1 11.实数 x，y 满足不等式组 y 0, 的取值范围是 则W x 1 x y 0, 1 A．[一 ，1） 2
-3-
21. （本小题满分 12 分） 设 a R ,函数 f ( x ) ln x ax . （1）若 a 2 ，求曲线 y f ( x ) 在点 P (1, 2) 处的切线方程； （2）若 f ( x ) 无零点,求实数 a 的取值范围； （3）若 f ( x ) 有两个相异零点 x1 ， x2 ，求证： x1 x2 e 2 . 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记 分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．(本小题满分 10 分)选修 4——1：几何证明选讲 如图所示， 已知圆 O 外有一点 P ， 作圆 O 的切线 PM ，M 为切点， 过 PM 的中点 N 作割线 NAB ， 交圆于 A 、B 两点， 连接 PA 并延长， 交圆 O 于点 C ，连接 PB 交圆 O 于点 D ，若 MC BC . （1）求证：△ APM ∽△ ABP ; （2）求证：四边形 PMCD 是平行四边形. 23． （本小题满分 10 分）选修 4——4：极坐标与参数方程选讲
f ( x1 x2 x3 x4 x5 2) =（
1 1 B、 C、2 D、1 2 4 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）
A、
13 某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的表面积是
-2-
x2 y 2 1, 2 y =8 x a 14. 已知抛物线 的焦点与双曲线 的一个焦点重合， 则该双曲线的
B．[一 1，1）
C． （一 1,1）
1 D． [ ,1] 2
lg | x 2 |, x 2 12 、 设 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x) ，则关于 x 的方程 4, x 2 f 2 ( x ) bf ( x ) c 0 有
5
个 不 同 的 实 数 解 xi (i 1, 2,3, 4,5) ， 则 ）
虎林市第一中学第二次月考
————理科数学 （本试卷满分 150 分） 一.选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. 已知集合 A x | x ( x 1) 0 , 那么（
A. 1 A
B .0 A C .1 A
）
D .0 A
2. 集合 A {x | ln( x 1) 0} ， B {x | x 2 9} ，则 A B =（ A、 （2，3） B、[2，3） C、 （2，3 ] ） D、[2，3]
D. y x 2
3 6已知 log 4 3 a, log 4 5 b, 则log 4 等于 （ 5
-1-
）
A.a b
B.a b
C.
a b
D.
b a
7.方程 2 x 1 x 5 0 的解所在区间是 （
A. 0,1 B. 1, 2 C. 2,3
）
D. 3, 4
2
离心率为 15.设数列{ an }是首项为 1 公比为-3 的等比数列 a1 | a2 | a3 | a4 | a5 = 16.已知实数 a， b 满足 2a 1 2b 1 4a 4b ， 则 a+b 的取值范围是 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤） 17．(本小题满分 12 分) 在 ABC 中，内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c ， 已知 a c sin B b cos C ． （1）求 A C 的值； （2）若 b 2 ，求 ABC 面积的最值． 。 。
OA OB 5（其中 O 为坐标原点） ．求证：直线 AB 过定点，并求出该定点的坐标；
20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 E： 长轴长与短轴长的和等于 6. （1）求椭圆 E 的方程；
3 x2 y2 2 1( a b 0) 的离心率为 ，其 2 2 a b
（2）如图，设椭圆 E 的上、下顶点分别为 A1 、 A2 ， P 是椭圆上异于 A1 、 A2 的任 意一点，直线 PA1 、 PA2 分别交 x 轴于点 N 、 M ，若直线 OT 与过点 M 、 N 的圆 G 相切，切点为 T 。证明：线段 OT 的长为 定值.
y
A． m n, m , n // C． m n, m // , n //
4.下列四个图形中，不是以 x 为自变量的函数图象是（
y y y
x
x
x
x
A
B ）
C
D
5.下列函数中与函数 y x 相同的一个是（
A. y
x
2
x2 B. y x
C. y 3 x 3
18. (本小题满分 12 分)如图， ABCD 是正方形， O 是正方形 ABCD 的中心， PO ABCD， E 是 PC 的中点。 求证： （1） PA∥平面 BDE ； （2）BD 平面 PAC；
19.（本小题满分 12 分） 已知抛物线 y 2 2 px ( p 0) 上点 T (3, t ) 到焦点 F 的距离为 4 ． （1）求 t , p 的值； （2）设 A, B 是抛物线上分别位于 x 轴两侧的两个动点，且
）
3. 集合M= x | x 2 9 0 , N= 3, 0,3, 则 （
A.M N B.M Ý N C.M Ü N
D.M N
4.已知 m , n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面.在下列条件中,可得出
的是 （
） B． m // n, m // , n D． m // n, m , n ）
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