北航 数值分析 吕淑娟 知识考点总结
数值分析重点内容总结
北航数值分析实验报告
北航数值分析实验报告篇一：北航数值分析报告第一大题《数值分析》计算实习报告第一大题学号：DY1305姓名：指导老师：一、题目要求已知501*501阶的带状矩阵A，其特征值满足?1?2...?501。
试求：1、?1，?501和?s的值；2、A的与数?k??1?k?501??140最接近的特征值?ik（k=1，2，...，39）；3、A的（谱范数）条件数c nd(A)2和行列式de tA。
二、算法设计方案题目所给的矩阵阶数过大，必须经过去零压缩后进行存储和运算，本算法中压缩后的矩阵A1如下所示。
?0?0?A1??a1??b??c0b a2bcc bb c............c bb ccb a500b0a 3...a499c?b??a501??0?0??由矩阵A的特征值满足的条件可知?1与?501之间必有一个最大，则采用幂法求出的一个特征值必为其中的一个：当所求得的特征值为正数，则为?501；否则为?1。
在求得?1与?501其中的一个后，采用带位移的幂法则可求出它们中的另一个，且位移量即为先求出的特征值的值。
用反幂法求得的特征值必为?s。
由条件数的性质可得，c nd(A)2为模最大的特征值与模最小的特征值之比的模，因此，求出?1，?501和?s的值后，则可以求得c nd(A)2。
北京航空航天大学软件工程知识点总结
软件工程（简要知识点）一、. 软件过程五个模型对比（瀑布模型、快速原型、增量、螺旋、喷泉模型）二、可行性研究：1、任务：用最小的代价在尽可能短的时间内确定问题是否能够解决。
2、四个方面：技术、经济、操作可行性、法律3、数据流图四种成分：1、源点/终点2、处理3、数据存储4、数据流三、需求分析：1、任务：确定系统必须完成哪些工作，对目标系统提出完整、清晰、具体的要求。
问题定义（确定题目）概要设计 详细设计 编码和单元测试系统设计 软件定软件开运行维护：主要任务是使软件持久地满足用户的软件生命2、结构化方法就是面向数据流自顶向下逐步求精进行需求分析的方法。
3、实体联系图：1、数据对象2、属性3、联系（1:1、1：N、M:N）四、总体设计：1.任务：回答“概括的说，系统应该如何实现”，用比较抽象概括的方式确定系统如何完成预定的任务，也就是说应该确定系统的物理配置方案，并且进而确定组成系统的每个程序结构。
2. 系统设计阶段（确定系统具体实施方案）、结构设计阶段（确定软件结构）3.模块独立：内聚和耦合4. 耦合表示一个软件结构内各个模块之间的互连程度，应尽量选用松散耦合的系统5. 内聚 (Cohesion): 一个模块内各元素结合的紧密程度6.面向数据流的设计方法：变换流和事务流五、详细设计：1.任务：确定应该怎样具体的实现所要求的系统，也就是说经过这个阶段的设计工作应该得出对目标系统的精确描述，从而在编码阶段可以把这个描述直接翻译成用某种程序设计语言书写的程序。
2.过程设计的工具（程序流程图、盒图、PAD图、判定表、判定树）3.面向数据结构的设计方法（jackson方法）：七、测试：1、单元测试：又称模块测试。
每个程序模块完成一个相对独立的子功能，所以可以对该模块进行单独的测试。
由于每个模块都有清晰定义的功能，所以通常比较容易设计相应的测试方案，以检验每个模块的正确性。
2、集成测试：在单元测试完成后，要考虑将模块集成为系统的过程中可能出现的问题，例如，模块之间的通信和协调问题，所以在单元测试结束之后还要进行集成测试。
期末数值分析重点总结
期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。
数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。
1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。
通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。
其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。
多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。
牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。
插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。
3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。
最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。
第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。
数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。
1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。
通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。
常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。
迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。
2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。
常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。
常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。
3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析知识点总结：本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。
第1章数值分析与科学计算引论：绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。
其中，相对误差限是绝对误差的上界。
有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。
一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。
第2章插值法：插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。
三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需要根据实际情况而定。
确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。
第3章函数逼近与快速傅里叶变换：带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。
切比雪夫多项式也有其独特的性质。
用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。
最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。
第4章数值积分与数值微分：XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。
勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。
中点方法是一种数值积分方法，其公式如下：插值型的求导公式有两点公式和三点公式。
第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。
相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。
第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下：第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。
对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。
简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。
北航研究生数值分析试题
∗⎞ ⎟的 A1 ⎠
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤ ⎢ 2 6 −7 −10 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎢ −2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ −1 −1 5 9 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢14 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x4 ⎦ ⎥ ⎣ −6 ⎦ ⎣ −3 −5 0 15 ⎦ ⎣ 四、（12 分）利用矩阵 A 的三角分解 A = LU 求解下列方程组 ⎛ 1 2 1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 3 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 3 ⎟ ⎜ −1 −3 0 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ ⎠
第一章
1、近似数 x = 0.231 关于真值 x = 0.229 有（ （1）1；（2）2；（3）3；（4）4。
∗
绪论
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分) ）位有效数字。
2、取 3 ≈ 1.732 计算 x = ( 3 − 1) ，下列方法中哪种最好？（
4
）
Ax
∞和
A ∞ 的值分别为（
）
3
(1) 8 , 8 ；
(2) 8 , 7 ；
(3) 8 , 6 ；
(4) 7 , 7 。
5 、若解线性代数方程组的 Gauss 部分选主元方法第二步得到的系数矩阵的第三列向量为
(2
6 3 2 −5 4 2 ) ，则第三步主行是（
T
） (4) 第 6 行。
(1) 第 2 行；
1 − cos x , sin x
x ≠ 0且 x << 1 ；
（2）
1 1− x , − 1+ 2x 1+ x
数值分析第五章学习小结
数值分析第五章学习⼩结第五章学习⼩结姓名：张亚杰班级：机械1505班学号：S2*******⼀、本章学习体会本章的内容与实际关联很⼤，可以解决很多⼯程实际问题。
1、主要有两⽅⾯内容：插值与逼近。
插值即是由已知数据通过某种多项式求出在特定区间的函数值。
逼近即是⽤简单函数近似代替复杂函数，如何在给定的精度下，求出计算量最⼩最佳的多项式，是函数逼近要解决的问题。
2、插值中样条插值⽐较难，需要花⼀定的时间。
逼近主要是必须使选择的多项式计算出的误差最⼩。
3、我个⼈觉得本章的难点是样条插值与最佳平⽅逼近。
⼆、知识构图：因为本章内容较多，故本次知识架构图分为三部分：插值、正交多项式和逼近。
1、插值：2、正交多项式和逼近的知识总结采取以下⽅式：⼀、正交多项式1、正交多项式的概念与性质若在区间上⾮负的函数满⾜（1）对⼀切整数存在；（2）对区间上⾮负连续函数，若则在上，那么，就称为区间上的权函数。
常见的权函数有2、两个函数的内积定义：给定[](),(),,()f x g x C a b x ρ∈是上的权函数，称为函数()f x 与()g x 在[a,b]上的内积。
内积的性质：（1）对称性：()(),,f g g f =；（2）数乘性：(),(,)(,)kf g f kg k f g ==；（3）可加性：()()()1212,,,f f g f g f g +=+；（4）⾮负性：若在[a,b]上()0f x ≠，则。
(,)a b ()x ρ0,()bna n x x dx ρ≥?(,)ab ()f x ()0bn ax x dx ρ=?(,)a b ()0f x ≡()x ρ(,)ab 2()1,()11()11(),0(),x x x a x b x x x x x e x x e x ρρρρρ--≡≤≤=-<<=-≤≤=≤<∞=-∞<<+∞(,)a b (,)()()()ba f g x f x g x dx ρ=?(,)0f f >3、函数的正交（1）两个函数的正交与正交函数系若内积则称()f x 与()g x 在区间[a,b]上带权()x ρ正交若函数系.满⾜则称是上带权的正交函数系。
数值分析重点
百度文库•好好学习.天天向上数值分析重点第一章误差分析近似数误差大小的度量方法：绝对误差/相对误差帝效数字1、有效数字的判断定义：从末尾到第一个非零数字之间的所有数字的个数。
几个重点结论：(1) 、设数X 的近似值可以表示为 X* =±0.a {a 2 - a n xlO m其中m 是整数E,2,…，”)是0到9中的一个数字， 而6 H 0.如果其绝对误差限为< _ x 1"2(不超过其末尾数的半个单位)则称近似数x*具有"位有效数字。
(2) 、相对误差与有效数字的关系(课差：精确值与近似值的差值) x* = ±0.a }a 2 • • a” x 10" = a x .a 2a y a n x >a 1xl0//,"1A -/ S 丄xl （严得到相对误差限■Sr(讣知讣煤心—xl0〃i 2 ----------- =_Lx]0ZV - ---------- - = ------- a } x 10m_,2a,唱(r ；)+菁(一；)+•••+签GT)例如：E (X1+X2)= £(Xl)+ e(X2)e (xi*X2)=1x11 e(X2)+Ix2l e (xi)e (X1/X2) ={lxil 8 (X2)+IX2l e (Xi)}/IX2l2第二章代数插值通过一些实验所得的离散点找到函数的一个满足精度要求且便于计算的近似表达式(多项式)。
n+1个互异的节点可以唯一确定一个n次多项式。
填空1 •差商与微商的关系f[x9xo9xl9..9x j=--—例1：f(x) = x5-x + l，试求其如下差商：/[2°,2*,22,2\ 2\ 25] /[2°, 2*,22,23,24,25,26]例2：已知一个四阶差商和一个五阶差商，用定义反求另一个四阶差商。
一般地，称阶差商的一阶差商为R阶差商：为他)关于点“I,…心的k阶差商。
北航CAGD复习
CAGD 复习知识点第一章1 工业产品的形状大致可以分为两类：一种是可以由画法几何和工程制图清晰描绘的初等解析曲面；另一种则是不能有画法几何和工程制图描绘的自由型的曲线曲面。
2 CAGD 的原理：首先根据形状的几何信息，建立相应的曲线曲面方程，并通过在计算机上执行计算和处理程序，从而计算出曲线曲面上大量的点和其他信息。
3 形状信息的计算机表示的核心：形状信息的计算机表示，即找到既适合计算机处理且有效地满足形状的表达与几何设计的要求，又能方便形状信息的传递和产品数据的交换的形状描述的数学方法。
4 形状数学描述的思想：将传统的由标量表示的显函数转化为用参数表示的矢函数的形式。
5 形状几何的基础：微分几何。
6 形状数学描述基本要求：唯一性和几何不变性。
后续要求：易于定界、统一性和计算机处理简单易行。
从形状表示和处理的角度：具有丰富的表达力和灵活相应的能力；易于连接和光顺连接；易于实现对形状的控制；几何直观。
7 CAGD 长期待解决的问题：用于工业产品形状数学描述的标准形式，曲线曲面的形状控制、曲线曲面的光顺连接与统一表示。
8 微分几何与CAGD 的关系：微分几何与CAGD 都是用矢函数来描述曲线曲面的，不同的是前者是研究曲线曲面上某点附近的微分性质；而CAGD 则是研究符合形状数学描述要求的工业产品形状描述的数学方法。
9 曲线曲面用参数表示的形式：平面曲线：()()21;,t t t t y t x x ≤≤==；空间曲线：()()()21;,,t t t t z z t y y t x x ≤≤===； 曲面：2121,);,(),,(),,(v v v u u u v u z z v u y y v u x x ≤≤≤≤===；参数表示的矢函数的优缺点：优点：易于表示封闭曲线、多值曲线和无穷大斜率曲线，独立于坐标轴易于进行变换，易于生成复合曲线，易于控制，易于拟合和操作自由外形，同时还可以通过具有几何不行性的基函数将不具有几何不变性的函数转化为具有几何不变性的曲线曲面。
数值分析(秘籍考试必过个人整理)
例1：构造求解下列方程组收敛的Gauss-Seidel 迭代格式（不计算），并说明收敛的理由。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----456401-1-51-1-1-6645116401151321321x x x x x x 同解变换为GS 迭代格式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=++=++=+++++141151511616111133********k k kk k kk k x x x x x x x x ，k=0，1，2，…其中)0(3)0(2)0(1,,x x x 为初值。
因为变换后的系数矩阵为严格对角占优阵，所以GS 迭代格式收敛。
公式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=∑∑-≠=+=++111111i i j j ni j i k j ij k j ij ii k i b x a x a a x 收敛性：1.若A 主对角元占优，则收敛。
2.若A 对称正定，则收敛。
3.若1〈G ，则收敛 4.收敛1)(<⇔G ρ例2：用Doolittle （LU ）分解法求解如下线性方程组：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---203214511121321x x x 解：设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=203,214511121b A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==332322131211323121111u u u u u u l l l LU A 公式n k i u u l a l n k k j u l a u kk sk k s is ik ik sj k s ks kj kj ,...,1,/)(,,...,1,,1111+=-=+=-=∑∑-=-= 由矩阵相等得:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1263121,1374111U L由Ly=b ，解得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333321y y y ，由Ux=y, 解得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4/12/34/1321x x x注：Crout 分解：A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111231312333231222111u u u l l l l l l LU ),...,1,(11n k k i u l a l tk k t it ik ik +=-=∑-=，),,...,2,1(,/)(11n k n k k j l u l a u kk k t tj kt kj kj <++=-=∑-=例3：用Euler 法求初值问题：⎩⎨⎧==≤≤-=1.0,0)0(5.00,,h y x y x y 解：1)Euler 公式：⎩⎨⎧=-=+=+001)(1,...,1,0),,(y x y n i y x hf y y i i i i公式：))(,()(,i i i x y x f x y =，对于[]))(,()(,,,x y x f x y b a x =∈∀ 这里ih x y x y x f h b a y n i =-======,),(,1.0,5.0,0,0,50 注：因为x 最大能取到0.5，步长h=0.1，所以n=5i y y i y y i i i i 01.09.0)1.0(1.01+=-+=+2)算得：=====54321,,,,y y y y y例4：(Householder)设Ta )4,3,1,0,7(-=求H 使5,)0,,1,0,7(±=-=σσTHa解：设T b )0,,1,0,7(σ-=（取σ=5，（σ符号的选取应使2b a -的值尽可能大，σ与1+m a 同号））T b a )4,8,0,0,0(-=-∴, 54)4(8222=-+=-baT b a b a V )1,2,0,0,0(512-=--=, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=5/35/45/45/3235I VV I H T公式：设Ha=b ，计算T VV I H b a ba Vb a b a 2,,,22-=--=--（ , ||m a x ||||111∑=≤≤=ni ij nj a A （列范数） 的最大特征值矩阵A A A T =2||||）例5：利用householder 把下列矩阵化为拟上三角矩阵。
数值分析考试知识点总结
数值分析考试知识点总结数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科，它的研究对象是计算机数值计算和数值模拟方法的理论和技术。
一、误差分析数值计算是以实际问题为基础的分析过程，其目的是研究数值计算误差和误差的影响，以确保数值计算的准确性和可靠性。
数值计算误差主要包括截断误差和舍入误差两个部分。
1. 截断误差截断误差是由于在数值计算过程中，使用了近似代替精确值而引起的误差。
例如，在对连续函数的微分或积分进行数值计算时，所采用的近似公式都会引起截断误差。
截断误差可以通过增加计算步骤或者采用更加精确的计算方法来减小。
2. 舍入误差舍入误差是由于计算机对于无限小数进行截断或者舍入时引起的误差。
由于计算机是以有限的二进制数进行存储和运算，因此对于很小的数字或者非常大的数字，都会存在舍入误差。
舍入误差的大小与计算精度有关，可以通过提高计算精度来减小舍入误差。
二、插值和逼近插值和逼近是数值分析中常见的计算技术，用于利用已知的数据点来估计未知函数的值。
1. 插值插值是通过已知的数据点来估计未知函数在这些数据点之间的取值。
插值方法的目标是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在已知点上的取值与已知数据点的取值一致。
常见的插值方法包括拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
2. 逼近逼近是通过已知的数据点来估计未知函数的近似值，与插值不同的是，逼近方法不要求逼近函数必须在已知数据点上取特定的值。
常用的逼近方法包括最小二乘法逼近和样条逼近。
三、数值积分数值积分是通过数值计算来近似求解定积分的值，它是数值分析中的一个重要内容。
1. 复化数值积分复化数值积分是通过将积分区间划分成若干子区间，然后在每个子区间上进行数值积分来近似求解定积分的值。
复化数值积分方法包括复化梯形公式、复化辛普森公式以及复化辛普森三分法等。
2. 数值积分的误差分析在数值积分中，由于使用了近似方法，所以会引入数值积分误差。
要保证数值积分的准确性，需要对数值积分误差进行分析和评价。
数值分析期末复习要点总结省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
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Lagrange插值
Lagrange插值基函数
设 lk(x) 是 n 次多项式，在插值节点 x0 , x1 , … , xn 上满足
1, j k lk ( x j ) 0, j k
则称 lk(x) 为节点 x0 , x1 , … , xn 上旳拉格朗日插值基函数
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线性与抛物线插值
两种特殊情形
x0 ƒ(x0)
x1 ƒ(x1) ƒ[x0, x1]
x2 ƒ(x2) ƒ[x1, x2] ƒ[x0, x1, x2]
x3 ƒ(x3) ƒ[x2, x3] ƒ[x1, x2, x3] ƒ[x0, x1, x2, x3]
…
xn ƒ(xn) ƒ[xn-1, ƒ[xn-2, xn-1, ƒ[xn-3, xn-2, xn-1, … ƒ[x0, x1,2…7 ,
ln 0.54 旳精确值为：-0.616186···
可见，抛物线插值旳精度比线性插值要高
Lagrange插值多项式简朴以便，只要取定节点就可写 出基函数，进而得到插值多项式，易于计算机实现。
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Lagrange插值
lk(x) 旳体现式 由构造法可得
lk (
x)
( x x0 ) ( xk x0 )
Rn(x)
n1
Nn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )( x x1 ) an ( x xi )
i 1
其中 a0 f ( x0 ), ai f [x0 ,, xi ], i 1,2,, n
Nn(x) 是 n 次多项式
Rn( x) f [x, x0 , ... , xn]( x x0 )...( x xn1)( x xn )
若
e(x*) x x*
北航最优估计知识点提纲
第一章1）不同的最优估计准则是否会导致相同的估计结果2）参数估计与状态估计的区别是什么3）极大似然估计与极大验后估计的区别、联系是什么；4）怎样理解极大似然估计；5）多维随机变量下，对于MMSE,目标函数估计误差协方差阵最小、估计误差分量平方和最小，是否会导致有相同的估计效果；6） E{E [ x|Z]}的计算过程中对哪一随机变量进行积分？7）似然函数的构造思想是什么？最优估计解的求解方法怎样？8）多维随机向量的正态分布概率密度计算公式怎样？如何理解；9）矩阵微分的计算方法是怎样规定的？常用公式都有哪些？10）什么是马尔科夫估计？11）各种估计准则之间相互关系如何？12）造成最小二乘估计误差的主要因素有哪些？13）线性最小方差估计与最小方差估计的关系如何？第二章14）若噪声为零均值白噪声，连续线性系统离散化后噪声统计特性有何变化?15）离散化噪声统计特性获得的方法是什么？16）连续系统离散化的具体计算方法17）卡尔曼滤波的问题分类有哪些？18）卡尔曼滤波中的各种符号~、A、（k|k-1 ）的具体含义是什么？19）卡尔曼滤波的准则是什么？20）正交投影的定义是什么？21）正交投影的物理意义是什么？22）正交定理与正交投影的关系怎样？23）正交定理与线性最小方差估计之间的关系如何？24）最优预测滤波公式推导的原理与过程怎样25）最优预测问题滤波公式26）最优滤波问题公式的推导思路27）最优预测与最优滤波公式的对比，相同点、不同点以及原因28）卡尔曼滤波的重要特征或主要优点是什么29）卡尔曼滤波的通解形式怎样？出于什么样的考虑？关键问题是什么？30）最优滤波问题、最优预测问题中什么协方差阵会出现负项？为什么？31）最优增益阵与噪声统计特性之间的关系怎样？32）理解卡尔曼滤波中协方差阵内各种因素的构成及其原因33）理解卡尔曼滤波中状态估计值、估计误差与噪声的相关性，考虑不同时刻34）卡尔曼滤波是否具有无偏性？如果有，需要什么样的条件？35）系统、观测噪声相关情况下，卡尔曼滤波算法会发生什么样的变化？36）输入对卡尔曼滤波方程的影响怎样？37）成型滤波器的思想是什么？38）出现有色噪声时怎样进行卡尔曼滤波？39）控制系统、观测系统附着不同性质噪声情况下，如何求解？连续系统与离散系统处理方法是否一样？40）卡尔曼滤波中对R k、Q k的理解（统计的对象中的时间）第三章41）平滑问题的分类，各自处理的方法如何？42）为什么可以用极大验后估计推导卡尔曼平滑问题公式？43）平滑处理的意义在哪里？44）实际应用中是否平滑处理利用历史观测越多，获得的估计结果会越精确？45）平滑算法中平滑协方差在卡尔曼滤波计算上有什么作用？意义如何？46）固定区间平滑的解算过程如何？47）固定区间平滑算法中用于修正的因素有哪些？48）固定点平滑与固定滞后平滑公式的获得思想是什么？解算过程怎样？第四章49）滤波稳定性的意义是什么？50）滤波稳定性的判定准则是什么？是否是充要条件?51）滤波稳定性判别条件与线性系统可控、可观判定条件的区别是什么？为什么会不同？52）为什么可控性与可观性会影响到滤波的稳定性？53）滤波误差协方差阵的渐进性是怎样定义的？54）滤波误差协方差阵的有界性55）定常线性系统在滤波稳定性判别上有什么特殊之处？第五章56）滤波发散的原因有哪些？57）衰减记忆滤波的原理是什么，怎样实现的？58）限定记忆滤波的原理是什么，怎样实现？59）限定记忆滤波在开始限定记忆计算时有哪些考虑？60）Kalman滤波的估计误差协防阵P稳定且很小，能否说明滤波系统估计精度一定较高？61）平方根滤波算法的目的是什么，处理思想是怎样的？62）输出相关法的处理思想是什么？63）若Kalman滤波达到最优，具有什么样的性质，为什么？64）新息相关法的处理思想是什么？65）Sage-husa法的中遗忘因子的作用是什么？66）强跟踪滤波器的处理思想是什么？为什么能够达到跟踪的目的？67）序贯处理的思想是什么，每步计算中K的维数是多少？68）非线性系统线性化后采用经典Kalman滤波存在哪些问题？69）什么是标称轨道与标称轨道滤波？标称轨道滤波的滤波对象是什么?70）什么是雅可比阵，如何计算？71）EKF中针对非线性系统中哪些内容进行了线性化？72）EKF的滤波对象是什么？73）针对连续系统的EKF算法中，离散化后的状态转移阵是什么？74）近似条件均值滤波的思想是什么？75）非线性滤波中Kalman增益是否具有离线解算的性质，为什么？76）基于对称采样的UT变换的思想是什么?77) UKF的主要思想是什么？78) UKF是否具有增益阵离线解算的特点？79) UKF的主要优点有哪些？第七章80) 标准Kalman滤波的计算量与维数之间的关系怎样?81) 次优滤波器的设计思想有哪些？82) 什么是a、3滤波器？83) 一信号s(t)=a+bt+ct2能否用a、3滤波器滤波?。
数值分析-第五版-考试总结
第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差。
近似值的误差e∗（x为准确值）：e∗=x∗−x近似值的误差限ε∗：|x∗−x |≤ε∗近似值相对误差e r∗（e r∗较小时约等）：e r∗=e∗x≈e∗x∗近似值相对误差限εr∗：εr∗=ε∗|x∗|函数值的误差限ε∗(f(x∗))：ε∗(f(x∗))≈|f′(x∗)| ε∗(x∗)近似值x∗=±(a1.a2a3⋯a n)×10m有n位有效数字：ε∗=12×10m−n+1εr∗=ε∗|x∗|≤12a1×10−n+1第二章：插值法1.多项式插值P(x)=a0+a1x+⋯+a n x n 其中：P(x i)=y i ,i=0,1,⋯,n{a0+a1x0+⋯+a n x0n=y0 a0+a1x1+⋯+a n x1n=y1⋮a0+a1x n+⋯+a n x n n=y n 2.拉格朗日插值L n(x)=∑y k l k(x)nk=0=∑y kωk+1(x)(x−x k)ωn+1′(x k) nk=0n次插值基函数：l k(x)=(x−x0)⋯(x−x k−1)(x−x k+1)⋯(x−x n)(x k−x0)⋯(x k−x k−1)(x k−x k+1)⋯(x k−x n),k=0,1,⋯,n引入记号：ωn+1(x)=(x−x0)(x−x1)⋯(x−x n)余项：R n(x)=f(x)−L n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!ωn+1(x) ,ξ∈(a,b)3.牛顿插值多项式：P n(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+⋯+f[x0,x1,⋯,x n](x−x0)⋯(x−x n−1) n阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边）：f[x0,x1,⋯,x n−1,x n]=f[x1,⋯,x n−1,x n]−f[x0,x1,⋯,x n−1]x n−x0余项：R n(x)=f[x,x0,x1,⋯,x n]ωn+1(x) 4.牛顿前插公式（令x=x0+tℎ，计算点值，不是多项式）：P n(x0+tℎ)=f0+t∆f0+t(t−1)2!∆2f0+⋯+t(t−1)⋯(t−n−1)n!∆n f0n阶差分：∆n f0=∆n−1f1−∆n−1f0余项：R n(x)=t(t−1)⋯(t−n)ℎn+1(n+1)!f(n+1)(ξ) ,ξ∈(x0,x n)5.泰勒插值多项式：P n(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)nn阶重节点的均差：f[x0,x0,⋯,x0]=1n!f(n)(x0)6.埃尔米特三次插值：P(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+A(x−x0)(x−x1)(x−x2)其中，A的标定为：P′(x1)=f′(x1)7.分段线性插值：Iℎ(x)=x−x k+1x k−x k+1f k+x−x kx k+1−x kf k+1第三章：函数逼近与快速傅里叶变换1. S(x)属于 n维空间φ：S(x)=∑a jφjnj=02.范数：‖x‖∞=max1≤i≤n |x i| and maxa≤i≤b|f(x)|‖x‖1=∑|x i|ni=1 and∫|f(x)|badx‖x‖2=(∑x i2ni=1)12 and (∫f2(x)badx)123.带权内积和带权正交：(f,φk)=∑ω(x i)f(x i)φk(x i)mi=0 and ∫ρ(x)f(x)φk(x)badx(f(x),g(x))=∫ρ(x) f(x)g(x)dxba=0 4.最佳逼近的分类（范数的不同、是否离散）：最优一致（∞-范数）逼近多项式P∗(x)：‖f(x)−P∗(x)‖∞=minP∈H n‖f(x)−P(x)‖∞最佳平方（2-范数）逼近多项式P∗(x)：‖f(x)−P∗(x)‖22=minP∈H n‖f(x)−P(x)‖22最小二乘拟合（离散点）P∗(x)：‖f−P∗‖22=minP∈Φ‖f−P∗‖225.正交多项式递推关系：φn+1(x)=(x−αn)φn(x)−βnφn−1(x)φ0(x)=1,φ−1(x)=0αn=(xφn(x),φn(x))(φn(x),φn(x)),βn=(φn(x),φn(x))(φn−1(x),φn−1(x))6.勒让德多项式：正交性：∫P n(x)P m(x)dx 1−1={0 ,m≠n22n+1, m=n奇偶性：P n(−x)=(−1)n P n(x)递推关系：(n +1)P n+1(x )=(2n +1)xP n (x )−nP n−1(x)7．切比雪夫多项式：递推关系：T n+1(x )=2xT n (x )−T n−1(x )正交性：∫n m √1−x 21−1=∫cos nθcos mθπdx ={0 , m ≠n π2 , m =n ≠0π , m =n =0T n (x )在[−1，1]上有n 个零点：x k =cos2k −12nπ,k =1,⋯,n T n+1(x )在[a,b ]上有n +1个零点：（最优一致逼近）x k =b −a 2cos 2k +12(n +1)π+b +a2,k =0,1,⋯,n 首项x n 的系数：2n−18.最佳平方逼近：‖f (x )−S ∗(x)‖22=min S(x)∈φ‖f (x )−S(x)‖22=min S(x)∈φ∫ρ(x)[f (x )−S (x )]2dx ba法方程：∑(φk ,φj )a j nj=0=(f,φk )正交函数族的最佳平方逼近：a k ∗=(f,φk )(φk ,φk )9.最小二乘法：‖δ‖22=min S(x)∈φ∑ω(x i )[S (x i )−y i ]2mi=0法方程：∑(φk ,φj )a j nj=0=(f,φk )正交多项式的最小二乘拟合:a k∗=(f,P k )(P k ,P k )第四章 数值积分与数值微分1.求积公式具有m 次代数精度求积公式（多项式与函数值乘积的和），对于次数不超过m 的多项式成立，m +1不成立∫f(x)dx b a=∑A k f(x k )nk=02.插值型求积公式I n =∫L n (x)dx b a=∑∫l k (x)dx baf(x k )nk=0=∑A k f(x k )nk=0R [f ]=∫[f (x )− L n (x)]dx ba =∫R n (x)dx ba =∫f (n+1)(ξ)(n +1)!ωn+1(x)dx ba3.求积公式代数精度为m 时的余项R [f ]=∫f (x )dx ba −∑A k f (x k )nk=0=1(m +1)![∫x m+1dx ba−∑A k x k m+1nk=0]4.牛顿-柯特斯公式：将[a,b ]划分为n 等份构造出插值型求积公式I n =(b −a)∑C k (n)f(x k )nk=05.梯形公式：当n=1时，C 0(1)=C 1(1)=12T =b −a 2[f (a )+f(b)],R n (f )=−b −a12(b −a )2f ′′(η) 6.辛普森公式：当n=2时，C 0(2)=16,C 1(2)=46,C 2(2)=16S =b −a 6[f (a )+4f (a +b 2)+f(b)],R n (f )=−b −a 180(b −a 2)4f (4)(η) 7.复合求积公式：ℎ=b−a n,x k =a +kℎ,x k+1/2=x k +ℎ2复合梯形公式：T n =ℎ2[f (a )+2∑f(x k )n−1k=1+f(b)],R n (f )=−b −a 12ℎ2f ′′(η)复合辛普森公式：S n =ℎ6[f (a )+4∑f(x k+1/2)n−1k=0+2∑f(x k )n−1k=1+f(b)],R n (f )=−b −a 180(ℎ2)4f (4)(η)8.高斯求积公式（求待定参数x k 和A k ）：（1）求高斯点（x k ）：令 ωn+1(x )=(x −x 0)(x −x 1)⋯(x −x n )与任何次数不超过n 的多项式p(x)带权ρ(x)正交，即则∫p(x)ωn+1(x )ρ(x)dx ba =0，由n +1个方程求出高斯点x 0,x 1⋯x n 。
计算方法数值分析第五章考点总结CH.5
第六章数值逼近问题(I)—插值及其数值计算§ 1插值的基本概念插值方法是数值分析中一个很古老的分支，它有着悠久的历史。
插值理论和方法也是现代数值分析中最基本的内容之一，它在数值积分，曲线曲面拟合，求微分方程数值解等方面有着广泛的应用。
在工程技术与科学研究中，有时对一个函数只知道它在某些点上的数值，为了进一步研究其性质，需要用其他函数去近似代替它，这时就可以用插值方法。
有时候，虽然函数有解析表达式，但形式过于复杂，为了便于处理，先在某些点上取值作表格函数，再通过插值建立易于处理的新函数，这也是插值理论的一个应用。
先介绍一般的插值概念。
设f(x) , a,b lo已知它在n，1个互异的点x0，…，x n处的函数值y0,y i，…，y n，即：f (xj r , i =o, 1,…，n求解插值问题就是从函数类 G中求(x)使「(X)* , i =0 , 1,…,(1.1 ) 这里的f(x)称为被插函数，a,b 1称为插值区间，x i, i=0, 1,…，n,称为插值节点，(1.1 )式称为插值条件，而(x)和「分别为插值函数和插值函数类。
通常选定的插值函数类是有限维线性空间，它可看成是某一组基：[(x)二张成的线性空间：二Span「1(x)角对_ [ ：•：」，有＜a i笃使得n：(x)八3i ：i(x)i=0于是确定函数:(x)归结为确定数列E 寫。
从理论上看，插值问题包含以下内容：(1)确定门的基'；：i(x)^=o，一般地说基不唯一，选择合适的基可以简化问题的解法；(2)讨论满足(1.1 )的(x)的存在性，求法及唯一性；(3)寻找插值问题的截断误差，即余项：R(x)二f(x)-「(x)的表达式与估计。
§ 2多项式插值本节选取常用的多项式函数类作插值函数类。
多项式函数属于解析函数类，形式简单，计算方便，其导数与不定积分易于求出。
下面把不超过n次的多项式函数类记为P n2.1 Lagrange 插值设已知f(x) , a,b 1在相异节点X o ,治，…，X n上的函数值f(X i) = y i , i=0 , 1,…，n,取：•：」=P n,下面求f (x)的插值函数。
数值分析期末复习知识点
第一章（有效数字位数）1、经四舍五入取近似值，其绝对误差限不超过末尾数字的半个单位。
2、设X*为准确值，X为近似值，称e=X*-X为近似值X的绝对误差，简称误差（显然e可正可负，准确值X*未知，因此e的准确值无法求出）3、|e|=|X-X*|≤ŋ，则称ŋ为近似值X的绝对误差限，简称误差限。
4、e r=e/X*称为相对误差，由于准确值X*总是未知的，所以也把e r*=e/X称为近似值X的相对误差5、|e r*|=|e/X|≤ŋ*，则称ŋ*为近似值X的相对误差限6、设X是X*的近似值，如果|X*-X|≤1/2×10-k,则称用X近似值表示X*时准确到小数点后第k位，并称从小数点后第k位起，直到最左边的非零数字之间的所有数字为有效数字，称有效数字的位数为有效数位。
7、设X是X*的近似值，X=±10m×0.a1a2…,其中a i（i=2，3…）是0到9之间的自然数，a1≠0，m为整数，如果|X*-X|≤1/2×10m-n，那么称近似值有n位有效数字。
8、四舍五入所得到的数均为有效数字，但并不是说非四舍五入所得到的数不能为有效数字。
第二章、非线性方程求根（不动点迭代、牛顿法、弦截法、快速弦截法、局部收敛、全局收敛、收敛阶）1、不动点迭代法（迭代法）（单根区间求解方法）：将非线性方程f（x）=0化为一个同解方程x=ø（x），若要求f（x*）=0，则x*=ø（x*），称x*为f（x）的零点，为ø（x）的一个不动点。
2、定理：设迭代函数ø（x）在【a，b】上连续，且满足（1）当x∈【a，b】时，a≤ø（x）≤b，（2）存在一正数L，满足0<L<1,且∀x∈【a，b】,有|ø/（x）|≤L<1。
则1、方程x=ø（x）在【a，b】内有唯一解x*。
2、对于任意初值x0∈【a，b】,迭代法x k+1=ø（x k）均收敛x*3、设ø（x）有不动点x*，如果存在x*的一个邻域 S:|X*-X|< ŋ,对任意初值x0∈S,迭代过程x k+1=ø（x k）均收敛，则称迭代过程在根x*邻近局部收敛。
数值分析期末复习总结
定理
设 f(x) Cn[a, b] ( n 阶连续可微 )，且 f (n+1)(x) 在 (a, b) 内存在，则对 x[a,b]，有
f ( n1) ( x ) Rn ( x ) f ( x ) Ln ( x ) n1 ( x ) ( n 1)!
其中 x(a, b) 且与 x 有关, n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) 证明：（板书）
注：0.2300有4位有效数字，而0.23只有2位有效数字 12300如果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。
数字末尾的0不可以随意添加或省略！
6
有效数字
定理：设近似值 x* 可表示为
x* = a1.a2·al 10m (a10)， · · 若 x* 具有 n 位有效数字，则其相对误差限满足 1 r* 10-(n-1) 2a1 反之，若 x* 的相对误差限满足 1 r* 10-(n-1) 2(a1+1) 有效位数越多， 则 x* 至少有 n 位有效数字。 相对误差限越小 7
k 0
n1
问题
如何从 pn-1(x) 得到 pn(x) ? 怎样确定参数 a0 , … , an ? 需要用到 差商（均差）
21
差商
什么是差商
f [ xi , x j ]
设函数 f(x)，节点 x0 , … , xn
f ( x j ) f ( xi ) x j xi
xk xi
x* - x er* = x*
近似值的精确程度取决于 相对误差 的大小 实际计算中我们所能得到的是 误差限 或 相对误差限
4
有效数字
有效数字：若近似值 x* 的误差限是某一位的半个单
北航 数值分析 吕淑娟 知识考点总结
T
x 1 xi
i 1
n
x2
x
则 1 ， 2 和 都是向量范数。 定理 1.2 设
x
i 1
1i n
n
2 i
max xi
和
是 R 上的任意两种向量范数，则存在与向量 x 无关的常数 m 和
n
M(0<m<M)，使下列关系式成立
m x x
1.3.2 矩阵范数 定义 定义在 R 足：
1.3 向量范数与矩阵范数
1.3.1 向量范数 定义 定义在 R 上的实值函数 称为向量范数，如果对于 R 中的任意向量 x 和 y 满足：
n n
（1）正定性： x 0 ，当且仅当 x 0 时， x 0 ；
1
（2）齐次性：对任一数 k R ，有 kx k x ； （3）成立三角不等式： x y x y 。 定理 1.1 对 R 中的任一向量 x ( x1 , x2 ,..., xn ) ，记
1i n
定理 2.9 对任意的向量 d，迭代法收敛的充分必要条件是 (G) 1 。 定理 2.9 如果矩阵 G 的某种范数||G||<1，则 （1）方程组的解 x 存在且唯一； （2）对于迭代公式，有 lim x
k (k )
*
x* , x(0) R ，且下列两式成立
|| G ||k || x (1) x (0) || 1 || G || || G || || x ( k ) x* || || x ( k ) x ( k 1) || 1 || G || || x ( k ) x* ||
c1 a2 ...
c2 ... ...
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nn
Байду номын сангаас
M x , x R n
nn 上的实值函数 称为矩阵范数，如果对于 R 中的任意矩阵 A 和 B 满
（1） A 0 ，当且仅当 A 0 时， A 0 ； （2）对任一数 k R ，有 kA k A ； （3） A B A B ； （4） AB A B 。
1.3 向量范数与矩阵范数
1.3.1 向量范数 定义 定义在 R 上的实值函数 称为向量范数，如果对于 R 中的任意向量 x 和 y 满足：
n n
（1）正定性： x 0 ，当且仅当 x 0 时， x 0 ；
1
（2）齐次性：对任一数 k R ，有 kx k x ； （3）成立三角不等式： x y x y 。 定理 1.1 对 R 中的任一向量 x ( x1 , x2 ,..., xn ) ，记
... ... ... ... ln ,n 1
为节省空间，用 C(m,n)存储 A 的带内元素，其中 m=r+s+1，并且 aij ci j s 1, j 。 2.2.5 拟三对角线性方程组的求解方法
a1 d 2 A cn p1 d 2 r1
p2 ... ... ... ... ... d n 1 r2 ... rn 2
pn 1 rn 1
2.3 矩阵的条件数与病态线性方程组
2.3.1 矩阵的条件数与线性方程组的性态 定义 对非奇异矩阵 A，称量 || A |||| A || 为矩阵 A 的条件数，记作 cond( A) || A |||| A || 。 矩阵 A 的条件数与所取的矩阵范数有关，常用的条件数是
nn
是主对角线按行(或按列)严格占优阵，则 A 是非奇异矩阵。
5
定理 2.12 如果方程组的系数矩阵式主对角线按行(或按列)严格占优阵，则用 Jacobi 迭代法 求解必收敛。 2.4.3 Gauss-Seidel 迭代法
A D L U x ( k 1) ( D L) 1Ux ( k ) ( D L) 1 b(k 0,1,...) GG ( D L) 1U
2.4.2 Jacobi 迭代法
A D L U x ( k 1) D 1 ( L U ) x ( k ) D 1b(k 0,1,...) GJ D 1 ( L U )
定理 2.10 Jacobi 迭代法收敛的充分必要条件是 (GJ ) 1 。 定理 2.11 如果 ||GJ || 1 ，则 Jacobi 迭代法收敛。 引理 2.1 若矩阵 A R
n nn 定义 对于给定的向量范数 和矩阵范数 ， 如果对于任一个 x R 和任一个 A R 满
足 Ax A x ，则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的。 定理 1.3 设在 R 种给定了一种向量范数，对任一矩阵 A R
n
nn
，令 A = max Ax ，则由
x 1
此定义的 是一种矩阵范数，并且它与所给定的向量范数相容。 定理 1.4 设 A [aij ] R
2.1.2 列主元素 Gauss 消去法 定理 2.2 设方程组的系数矩阵 A 非奇异，则用列主元素 Gauss 消去法求解方程组时，各个 列主元素 aik k (k 1, 2,..., n 1) 均不为零。
(k )
2.2 直接三角分解法
2.2.1 Doolittle 分解法(单位下三角+上三角)与 Crout 分解法(下三角+单位上三角) 定理 2.3 矩阵 A [aij ]nn (n 2) 有唯一的 Doolittle 分解的充分必要条件是 A 的前 n-1 个顺 序主子式 Dk 0,(k 1, 2,..., n 1) 。 推论 矩阵 A [aij ]nn (n 2) 有唯一的 Crout 分解的充分必要条件是 A 的前 n-1 个顺序主子 式 Dk 0,(k 1, 2,..., n 1) 。 2.2.2 选主元的 Doolittle 分解法
n
T
x 1 xi
i 1
n
x2
x
则 1 ， 2 和 都是向量范数。 定理 1.2 设
x
i 1
1i n
n
2 i
max xi
和
是 R 上的任意两种向量范数，则存在与向量 x 无关的常数 m 和
n
M(0<m<M)，使下列关系式成立
m x x
1.3.2 矩阵范数 定义 定义在 R 足：
1.2 误差知识与算法知识
1.2.2 绝对误差、相对误差与有效数字 设 a 是准确值 x 的一个近似值，记 e x a ，称 e 为近似值 a 的绝对误差，简称误差。 如果 | e | 的一个上界已知，记为 ，即 | e | ，则称 为近似值 a 的绝对误差限或绝对误差 界，简称误差限或误差界。 记 er
1i n
定理 2.9 对任意的向量 d，迭代法收敛的充分必要条件是 (G) 1 。 定理 2.9 如果矩阵 G 的某种范数||G||<1，则 （1）方程组的解 x 存在且唯一； （2）对于迭代公式，有 lim x
k (k )
*
x* , x(0) R ，且下列两式成立
|| G ||k || x (1) x (0) || 1 || G || || G || || x ( k ) x* || || x ( k ) x ( k 1) || 1 || G || || x ( k ) x* ||
k ( )
( a )不 很
f ( k ) (a) k e( a ) k! 大，则有误差估计 。 (k ) ~ f (a) k (u ) ( a ) k! e(u )
~
e(u )
对于 n 元函数，有误差估计
i 1 n
~
n
f (a1 , a2 ,..., an ) e(ai ) xi f (a1 , a2 ,..., an ) (ai ) xi
a1, s 1 a11 ... ... ar 1,1 ... A ... ... 1 l 2,1 1 ... ... ... ... lr 1,1 ... ln , n r
... ... an ,n r
... an s ,n ... ... ... a u11 u12 ... u1, s 1 ... ... ... ... ... un s , n ... ... ... ... un 1,n 1 unn
1 ，其中 1 和 n 分别是矩阵 A 的 n
2.4 迭代法
2.4.1 迭代法的一般形式及其收敛性
x( k 1) Gx( k ) d (k 0,1,...)
定义 设 n n 矩阵 G 的特征值是 1 , 2 ,..., n ，称 (G) max | i | 为矩阵 G 的谱半径。
~
若 f '(a) 0 且 | f ''(a) | / | f '(a) | 不很大，则有误差估计
e(u ) f '(a )e(a )
~
(u ) f '(a) (a)
若 f '(a) f ''(a) ... f
( k 1)
~
。
(a) 0, f ( k ) (a) 0 ， 且 比 值 f ( k 1 )(a ) / f
(u )
i 1
~
；若一阶偏导全为零或很
小，则要使用高阶项。 1.2.4 算法及其计算复杂性 （1）要有数值稳定性，即能控制舍入误差的传播。 （2）两数相加要防止较小的数加不到较大的数中所引起的严重后果。 （3）要尽量避免两个相近的近似值相减，以免严重损失有效数字。 （4）除法运算中，要尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值。
nn
，则
2
A 1 max aij
1 j n i 1
n
A 2 max ( AT A)
A max aij
1i n j 1
n
其中 max ( A A) 表示矩阵 A A 的最大特征值（ A A 是正定或半正定矩阵，它的全部特征值
T
T T
非负） 。 还有一种常见的矩阵范数 A
F
i , j 1
a
n
2 ij
， 且与向量范数 2 相容， 但是不从属于任何
向量范数。单位矩阵 I 的任何一种算子范数 I = max Ix 1 。
x 1
定理 1.5 设矩阵 A R 范数时，还有 I A
nn
的某种范数 A 1 ， 则 I A 为非奇异矩阵， 并且当该范数为算子
1
1 成立。 1 A
2.1 Gauss 消去法
2.1.1 顺序 Gauss 消去法 定理 2.1 顺序 Gauss 消去法的前 n-1 个主元素 akk (k 1, 2,..., n 1) 均不为零的充分必要条
(k )
(1) a11 ... a1(1) k 件是方程组的系数矩阵 A 的前 n-1 个顺序主子式 Dk ... ... 0, (k 1, 2,..., n 1) (1) (k ) ak1 ... akk