数字信号处理习题讲解(第二版)

1-6 试判断 yn xn2 是否是线性系统？
并判断是否是移不变系统？
解：设 T x1(n) x1(n)2 T x2(n) x2(n)2
Q T x1 n x2 n x1 n x2 n2 x1 n2 x2 n2 2x1 n x2 n
T x1 n T x2 n 不满足可加性
或 T ax n ax n2 a2 x n2 aT x n
ag n x1 n bg n x2 n
aT x1 n bT x2 n 满足叠加原理
是线性系统
Q T x n m g n x n m y n m g n m x n m T x n m
不是移不变系统
T x n g n x n
因为系统的输出只取决于当前输入，与未 来输入无关。所以是因果系统
不是线性系统
不满足比例性
Q T x n m x n m2 y n m x(n m)2
是移不变系统
1-7 判断以下每一系统是否是（1）线性 （2）移不变（3）因果（4）稳定的？
（1）T x n g n x n 解：Q T ax1 n bx2 n g n ax1 n bx2 n
求y n x n h n x mh n m
m
当n 1时
y
n
anm
an
m0
1 a
当n 0时
y n
anm
a
m n 1
1 a
或 求y n h n x n h mx n m
m
当n 1时
y n n am am an
m
mn
1 a
当n 0时
1
yn am am
4）x n 2n u n 1，h n 0.5n u n
解：
yn
x mh n m
m
当n 1时
n
y n 2m 0.5nm
m
n
2n 4m
m
2n 4m
mn
2n
4n 1 41
4 2n 3
当n 0时
1
y n 2m 0.5nm
m
1
2n 4m
m
2n 4m
m1
2n
41 1 41
a
m
m1
1 a
yn an u n 1 a u n
1 a
1 a
1-4 判断下列每个序列是否是周期性的，若是周期 性的，试确定其周期
（1）x n
Acos
3
7
n
8
解：x(n)为正弦序列
其中0
3
7
2 14 是有理数 0 3
N 14是满足x(n N ) x(n)的最小正整数
x n为周期序列，周期为14
而当 n n0 时，输出还取决于未来输入
是非因果系统
当 xn M 时，
n
n
T x n x k x k n n0 1 M
k n0
k n0
当n
是不稳定系统
（3）T x n x n n0
Q T ax1 n bx2 n ax1 n n0 bx2 n n0
数字信号处理 习题讲解
目录
第一章 离散时间信号与系统习题 第二章 Z变换习题 第三章 离散傅里叶变换习题 第四章 快速傅里叶变换习题 第五章 数字滤波器的基本结构习题 第六章 IIR数字滤波器的设计方法习题 第七章 FIR数字滤波器的设计方法习题
第一章习题讲解
1-2 已知线性移不变系统的输入为 xn，系统的 单位抽样响应为hn ，试求系统的输出y n ，
并画图。
2）x n R3 n，h n R4 n
解：
y n x nhn R3 n R4 n n n 1 n 2 R4 n R4 n R4 n 1 R4 n 2
3）x n n 2，h n 0.5n R3 n
解：
yn xnhn n 2 0.5n R3 n 0.5n2 R3 n 2
1 2n 3
y n 4 2n u n 1 1 2n u n
3
3
1-3 已知h n anu n 1，0 a 1 ，通过直
接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响
应为 hn的线性移不变系统的阶跃响应。
解：LSI系统的阶跃响应是指输入为阶跃序列时 系统的输出，即
xn u n, hn anu n 1,0 a 1
解：
Q 当n 0时 h(n) 0
是非因果的
Q hn
n
0
3n
n
3n
n0
1 1 1
3 2
3
是稳定的
（5） 0.3n u n
解：
Q 当n 0时 h n 0
是因果的
若 xn 有界 x n M 则 T x n g n M 当 g n 时，输出有界，系统为稳定系统
当 g n 时，输出无界，系统为不稳定系统
n
（2）T x n x k
k n0
n
Q T ax1 n bx2 n ax1 k bx2 k
k n0
n
n
a x1 k b x2 k aT x1 n bT x2 n
（4）T x n exn Q T ax1 n bx2 n eax1nbx2n eax1n ebx2n
aT x1 n bT x2 n aex1n bex2n
不满足叠加原理 是非线性系统
Q T x n m exnm y n m
是移不变系统
输出只取决于当前输入，与未来输入无关
k n0
k n0
满足叠加原理
是线性系统
n
令k' k m nm
Q T x n m x k m
x k'
k n0
k ' nBaidu Nhomakorabea m
nm
y n m x k T x n m k n0
是移变系统
n
T x n x k k n0
当 n n0 时，输出只取决于当前输入和以前 的输入
是因果系统
Q 若 xn M
是稳定系统
则 exn e xn eM
1-8 以下序列是系统的单位抽样响应 hn ，
试说明系统是否是（1）因果的（2）稳定的
（3） 3n u n
解：
Q 当n 0时 h n 0 是因果的
Q h n 3n
n
n0
是不稳定的
（4） 3n u n
aT x1 n bT x2 n
满足叠加原理
是线性系统
Q T x n m x n m n0 y n m
是移不变系统
当 n0 0 时，输出与未来输入无关 是因果系统
当 n0 0 时，输出取决于未来输入 是非因果系统
Q 若 x n M 则 x n n0 M
是稳定系统