二次函数单元测试卷含答案

单元测试(二) 二次函数 (时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个正确的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
D
B
D
B
C
D
A
C
B
B
1．下列函数解析式中，是二次函数的是(D) A ．y ＝3x －1
B ．y ＝x 3
－2x －3 C ．y ＝(x ＋1)2
－x 2
D ．y ＝3x 2
－1
2．函数y ＝12x 2＋2x ＋1写成y ＝a(x －h)2
＋k 的形式是(B)
A ．y ＝12(x －1)2
＋2
B ．y ＝12(x ＋2)2
－1
C ．y ＝12
(x －1)2
－3
D ．y ＝12(x －1)2
＋12
3．已知关于x 的二次函数y ＝ax 2
－x ＋a 2
－4的图象过坐标原点，则a 的值是(D) A ．a ＝2
B ．a ＝－2
C ．a ＝－4
D ．a ＝2或a ＝－2
4．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ＜0)的图象如图所示，当－5≤x ≤0时，下列说法正确的是(B)
A ．有最小值－5、最大值0
B ．有最小值－3、最大值6
C ．有最小值0、最大值6
D ．有最小值2、最大值6
5．对于二次函数y ＝4(x ＋1)(x －3)，下列说法正确的是(C) A ．图象开口向下
B ．与x 轴交点坐标是(1，0)和(－3，0)
C ．x ＜0时，y 随x 的增大而减小
D ．图象的对称轴是直线x ＝－1
6．将二次函数y ＝x 2
＋2x －1的图象沿x 轴向右平移2个单位长度，得到的函数解析式是(D) A ．y ＝(x ＋3)2
－2 B ．y ＝(x ＋3)2
＋2 C ．y ＝(x －1)2＋2
D ．y ＝(x －1)2
－2
7．已知抛物线y ＝a(x －2)2
＋k(a>0，a ，k 为常数)，A(－3，y 1)，B(3，y 2)，C(4，y 3)是抛
物线上三点，则y 1，y 2，y 3由小到大依次排列为(A) A ．y 2<y 3<y 1
B ．y 2<y 1<y 3
C ．y 1<y 2<y 3
D ．y 3<y 2<y 1
8．二次函数y ＝a(x ＋m)2
＋n 的图象如图，则一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过(C) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限
D ．第一、三、四象限
9．心理学家发现：课堂上，学生对概念的接受能力s 与提出概念的时间t(单位：min)之间近似满足函数关系s ＝at 2
＋bt ＋c(a ≠0)，s 值越大，表示接受能力越强．如图记录了学生学习某概念时t 与s 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出当学生接受能力最强时，提出概念的时间为(B) A ．8 min
B ．13 min
C ．20 min
D ．25 min
10．小轩从如图所示的二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)的图象中，分析得出了下面五条信息：①abc ＜0；②a ＋b ＋c ＜0；③b ＋2c ＞0；④4ac －b 2
＞0；⑤a ＝32b.其中正确的信息有(B)
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．抛物线y ＝x 2
－2x ＋3的顶点坐标是(1，2)，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小． 12．二次函数y ＝x 2－2x －3的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，则△ABC 的面积为6．
13．若二次函数y ＝x 2－bx ＋1的顶点在x 轴上，则b ＝2或－2．
14．若二次函数y ＝2(x ＋1)2
＋3的图象上有三个不同的点A(x 1，4)，B(x 1＋x 2，n)，C(x 2，
4)，则n的值为5．
15．如图1，在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图2所示，则边BC的长是33．
图1 图2
三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)
16．(8分)已知抛物线L：y＝(m－2)x2＋x－2m(m是常数且m≠2)．
(1)若抛物线L有最高点，求m的取值范围；
(2)若抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同、开口方向相反，求m的值．
解：(1)∵抛物线L有最高点，
∴m－2＜0.∴m＜2.
(2)∵抛物线L与抛物线y＝x2的形状相同，开口方向相反，
∴m－2＝－1.
∴m＝1.
17．(9分)已知二次函数y＝－x2＋2x＋k＋2的图象与x轴有两个公共点．
(1)求k的取值范围；
(2)当k＝1时，求抛物线与x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标；
(3)在(2)的条件下，直接写出当x取何值时，y＞0.
解：(1)由题意，得Δ＝22－4×(－1)×(k＋2)＞0，
解得k＞－3.
(2)当k＝1时，二次函数为y＝－x2＋2x＋3，
令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
∴抛物线与x轴的公共点A和B的坐标分别是(－1，0)，(3，0)．
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线的顶点C的坐标是(1，4)．
(3)当－1＜x ＜3时，y ＞0.
18．(9分)二次函数y ＝x 2
＋bx ＋c 的图象经过点A(1，0)，C(0，3)． (1)求b ，c 的值；
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
(3)在所给的平面直角坐标系中画出二次函数y ＝x 2
＋bx ＋c 的图象，并根据图象在抛物线的对称轴上找点P ，使得△ACP 的周长最短(直接写出点P 的坐标)．
解：(1)将A ，C 坐标代入函数解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，
c ＝3.
(2)函数解析式为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2
－1， 图象的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x ＝2.
(3)如图，设抛物线与x 轴的另一个交点为点B ，则点A 与点B 关于对称轴对称， 连接BC ，与对称轴的交点即为点P. 求得直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3， 当x ＝2时，y ＝－2＋3＝1，即P(2，1)．
19．(9分)为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m 的栅栏围住(如图)．设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2
.
(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
解：(1)∵四边形ABCD 为矩形，BC ＝x ，
∴AB ＝CD ＝40－x
2
.根据题意，得
y ＝AB ·BC ＝x ·40－x 2＝－12x 2
＋20x(0＜x ≤25)．
(2)∵y ＝－12x 2＋20x ＝－12(x －20)2
＋200，
∴当x ＝20时，绿化带面积最大．
20．(9分)如图，直线AB 过x 轴上一点A(2，0)，且与抛物线y ＝ax 2
相交于B ，C 两点，B 点坐标为(1，1)．
(1)求直线AB 的解析式及抛物线y ＝ax 2
的解析式； (2)求点C 的坐标； (3)求S △COB .
解：(1)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b. ∵A(2，0)，B(1，1)都在y ＝kx ＋b 的图象上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝0，k ＋b ＝1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝－1，
b ＝2. ∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋2. ∵点B(1，1)在y ＝ax 2
的图象上， ∴a ＝1，抛物线的解析式为y ＝x 2
.
(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x 2
，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，
y ＝1. ∴点C 的坐标为(－2，4)．
(3)S △COB ＝S △AOC －S △AOB ＝12×2×4－1
2×2×1＝3.
21．(10分)如图所示，一位运动员在距篮下4 m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到
地面的距离为3.05 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；
(2)该运动员身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
解：(1)∵当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，
∴抛物线的顶点坐标为(0，3.5)．
∴设抛物线的解析式为y＝ax2＋3.5.
由图知图象过点(1.5，3.05)，
∴2.25a＋3.5＝3.05.
解得a＝－0.2.
∴抛物线的解析式为y＝－0.2x2＋3.5.
(2)设球出手时，他跳离地面的高度为h m，
∵y＝－0.2x2＋3.5，
而球出手时，球的高度为h＋1.8＋0.25＝(h＋2.05)m，
∴h＋2.05＝－0.2×(－2.5)2＋3.5.∴h＝0.2.
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2 m.
22．(10分)某品牌手机去年每台的售价y(元)与月份x之间满足函数关系：y＝－50x＋2 600，去年的月销量p(万台)与月份x之间成一次函数关系，其中1～6月份的销售情况如下表：
月份(x) 1月2月3月4月5月6月
销售量(p) 3.9万台 4.0万台 4.1万台 4.2万台 4.3万台 4.4万台
(1)求p关于x的函数关系式；
(2)求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？
(3)今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%.今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6 400万元，求m 的值．
解：(1)设p ＝kx ＋b.
把p ＝3.9，x ＝1；p ＝4.0，x ＝2分别代入p ＝kx ＋b 中，得
⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝3.9，2k ＋b ＝4.0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧k ＝0.1，b ＝3.8. ∴p ＝0.1x ＋3.8.
(2)设该品牌手机在去年第x 个月的销售金额为w 万元．根据题意，得 w ＝(－50x ＋2 600)(0.1x ＋3.8)＝－5x 2
＋70x ＋9 880＝－5(x －7)2
＋10 125. 当x ＝7时，w 最大＝10 125.
答：该品牌手机在去年七月份的销售金额最大，最大为10 125万元． (3)当x ＝12时，y ＝2 000，p ＝5.
1月份的售价为2 000(1－m%)元，则2月份的售价为[0.8×2 000(1－m%)]元； 1月份的销量为5(1－1.5m%)万台，则2月份的销量为[5(1－1.5m%)＋1.5]万台； ∴0.8×2 000(1－m%)×[5(1－1.5m%)＋1.5]＝6 400，整理，得3m 2
－560m ＋10 000＝0. 解得m 1＝500
3(舍去)，m 2＝20.
∴m ＝20. 答：m 的值为20.
23．(11分)如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与x 轴相交于A(1，0)，B(4，0)两点，与y 轴相交于点C(0，4)，点D 是直线BC 下方抛物线上一点，过点D 作y 轴的平行线，与直线BC 交于点E.
(1)求抛物线的解析式和直线BC 的解析式； (2)当线段DE 长度最大时，求点D 的坐标；
(3)在(2)的条件下，设点T(t ，0)是x 轴上的一个动点，当t 为何值时，△DOT 是等腰三角形，直接写出答案．
解：(1)∵抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与x 轴相交于A(1，0)，B(4，0)两点，与y 轴相交于点C(0，4)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝4. ∴该抛物线的解析式为y ＝x 2
－5x ＋4. 设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋m. 将B(4，0)，C(0，4)代入， 求得直线BC 的解析式为y ＝－x ＋4. (2)∵点D 在抛物线y ＝x 2
－5x ＋4上， ∴设点D 的坐标为(n ，n 2－5n ＋4)． ∵DE ∥y 轴，点E 在直线BC 上， ∴设点E 的坐标为(n ，－n ＋4)．
∴DE ＝－n ＋4－(n 2
－5n ＋4)＝－n 2
＋4n ＝－(n －2)2
＋4. ∵－1＜0，
∴DE 有最大值，当n ＝2时，DE 取最大值为4，此时点D 的坐标为(2，－2)． (3)∵点D 的坐标为(2，－2)，∴OD ＝2 2. ①当OT ＝OD 时，t ＝±22；
②当OT ＝DT 时，此时点T 在线段OD 的垂直平分线上，此时t ＝2； ③当OD ＝DT 时，t ＝4.
综上所述，符合条件的t 的值有4个：22，－22，2或4.。