分段函数ppt
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再比较它们的大小，确定最后的最值．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[归纳提升] 求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．
当出现f[f(x0)]的形式时，应从内到外依次求值．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[解析] (1)f(－4)＝－4＋2＝－2， f(3)＝2×3＝6，f(－2)＝－2＋2＝0， f[f(－2)]＝f(0)＝02＝0. (2)当 a≤－1 时，a＋2＝10，可得 a＝8，不符合题意； 当－1<a<2 时，a2＝10，可得 a＝± 10，不符合题意； 当 a≥2 时，2a＝10，可得 a＝5，符合题意； 综上可知，a＝5.
题型二 分段函数的图象及应用
例 2 已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示函数 f(x)； (2)画出函数 f(x)的图象； (3)写出函数 f(x)的值域． [分析] 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函 数，再利用描点法作出函数图象．
【对点练习】❶ 已知 f(x)＝fx[＋fx3＋x5>1]0x≤10 ，则 f(5)的值是( A )
A．24
B．21
C．18
D．16
[解析] f(5)＝f[f(10)]，f(10)＝f[f(15)]＝f(18)＝21, f(5)＝f(21)＝24.
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
x＋2x≤－1
例 1 已知函数 f(x)＝x2－1<x<2 . 2xx≥2
(1)求 f(－4)，f(3)，f[f(－2)]； (2)若 f(a)＝10，求 a 的值． [分析] 分段函数的解析式⇒求函数值或已知函数值列方程求字母的 值．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[解析] (1)由题意 f(x)＝6x，x∈[12,30]， g(x)＝920x＋，5x0∈，[1x2∈，2200，] 30] . (2)①12≤x≤20 时，6x＝90，解得：x＝15，即当 12≤x<15 时，f(x)<g(x)， 当 x＝15 时，f(x)＝g(x)，当 15<x≤20 时，f(x)>g(x)． ②当 20<x≤30 时，f(x)>g(x)，故当 12≤x<15 时，选 A 家俱乐部合算． 当 x＝15 时，两家俱乐部一样合算，当 15<x≤30 时，选 B 家俱乐部 合算．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经 验．
学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模 型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善 模型；能够提升应用能力，增强创新意识．
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[解析] (1)依题设，总成本为 20 000＋100x，
则 y＝－21x2＋300x－20 000，0<x≤400，且x∈N， 60 000－100x，x>400，且x∈N.
(2)当 0<x≤400 时，y＝－21(x－300)2＋25 000， 则当 x＝300 时，ymax＝25 000.
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(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)， 在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x) 与g(x)的解析式；
(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[错因分析] 错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数 f(x) ＝x2－1x≤0 是两个函数．
xx<0 [正解] 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪[0，＋∞)，即(－∞，＋
∞)，∴函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[归纳提升] 利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)首要条件：把文字语言转换为数学语言． (2)解题关键：建立恰当的分段函数模型． (3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
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第三章 函数的概念与性质
2．若 f(x)＝x－2xx≥x<00，. 则 f[f(－2)]＝( C )
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析] ∵－2<0，∴f(－2)＝－(－2)＝2，
又2>0，∴f[f(－2)]＝f(2)＝22＝4.
数学(必修 · 第一册 · RJA)
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第三章 函数的概念与性质
【对点练习】❸ 某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都 很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月 计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的 部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家 租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
误区警示
分段函数概念的理解错误 例 4 求函数 f(x)＝x2－1x≥0 的定义域． xx<0
[错解] ∵x≥0时，f(x)＝x2－1，x<0时， f(x)＝x， ∴当x≥0时，f(x)的定义域为[0，＋∞)， 当x<0时，f(x)的定义域为(－∞，0)．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
基础自测
1．函数 f(x)＝ xx－＋11的定义域为( A )
A．[－1,1)∪(1，＋∞) C．(－1，＋∞)
B．(1，＋∞) D．(－1,1)∪(1，＋∞)
[解析] 由函数解析式得xx＋ －11≥ ≠00， ， 解得 x≥－1，且 x≠1. 故函数的定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选 A．
第2课时 分段函数
第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
基础知识
知识点 分段函数 如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，则称这
样的函数为分段函数． 思考：分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分
段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数而不是几个函数．
件)，利润＝总收益－总成本． (1)试将自行车厂的利润 y 表示为月产量 x 的函数； (2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[分析] 总成本＝固定成本＋可变成本，本题中，固定成本为20 000 元，可变成本为100x元．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
学科素养 建模应用能力 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数 学知识与方法构建模型解决问题的过程． 主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析 问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题. 数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形 式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展 的动力．
[解析] ∵f(x)＝xx－＋44xx><00 ， ∴f(－3)＝1， ∴f[f(－3)]＝f(1)＝－3.
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
关键能力·攻重难
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
题型探究 题型一 分段函数的求值问题
Leabharlann Baidu
数学(必修 · 第一册 · RJA)
例 3 如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线 BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△APB的面 积为y.
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)画出y＝f(x)的图象； (3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围． [分析] (1)点P位置不同△ABP的形状一样吗？ (2)注意该函数的定义域．
第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
当x>400时，y＝60 000－100x是减函数，则y<60 000－100×400＝
20 000. 综上可知，当月产量x＝300件时，自行车厂的利润最大，最大利润
是为25 000元． [归纳提升] 求分段函数的最值，应分别计算各段函数的最值，然后
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第三章 函数的概念与性质
2x 0≤x≤4
[解析] (1)y＝8 4<x≤8
.
212－x 8<x≤12
(2)y＝f(x)的图象如图所示．
(3)即 f(x)≥2，当 0≤x≤4 时，2x≥2，
∴x≥1，当 8<x≤12 时，2(12－x)≥2，
∴x≤11，∴x 的取值范围是 1≤x≤11.
数学(必修 · 第一册 · RJA)
第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
【对点练习】❷ 已知函数 f(x)＝－ x2－2x2＋x1x≥x<11 . (1)画出函数的图象； (2)若 f(x)＝1，求 x 的值． [解析] (1)函数图象如图所示．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
(2)由 f(x)＝1 和函数图象综合判断可知，当 x∈(－∞，1)时，得 f(x) ＝－2x＋1＝1，解得 x＝0；
当 x∈[1，＋∞)时，得 f(x)＝x2－2x＝1，解得 x＝1＋ 2或 x＝1－ 2 (舍去)．
综上可知 x 的值为 0 或 1＋ 2 .
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第三章 函数的概念与性质
题型三 分段函数的应用问题
3．函数y＝|x|的图象是( B )
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[解析] 因为 y＝|x|＝－x，x，x≥x＜0，0， 所以 B 选项正确．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
4．(2020·江苏徐州高一期中测试)已知 f(x)＝xx－＋44xx><00 ，则 f[f(－3)] 的值为__－__3___.
第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
例 5 某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新 样式单车的固定成本为 20 000 元，每生产一件新样式单车需要增加投入 100 元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数 h(x)，
其中 h(x)＝400x－12x2，0<x≤400， x 是新样式单车的月产量(单位： 80 000，x>400，
数学(必修 · 第一册 · RJA)
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[归纳提升] 1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤 (1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类 型． (2)设函数式：设出函数的解析式． (3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段 内的解析式． (4) 下 结 论 ： 最 后 用 “ {” 表 示 出 各 段 解 析 式 ， 注 意 自 变 量 的 取 值 范 围． 2．作分段函数图象的注意点 作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象 在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点． 返回导航
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第三章 函数的概念与性质
[解析] (1)当 0≤x≤2 时，f(x)＝1＋x－2 x＝1； 当－2<x<0 时，f(x)＝1＋－x2－x＝1－x. 所以 f(x)＝11－0≤x－x≤2<2x<0 . (2)函数 f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
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第三章 函数的概念与性质
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[归纳提升] 求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．
当出现f[f(x0)]的形式时，应从内到外依次求值．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[解析] (1)f(－4)＝－4＋2＝－2， f(3)＝2×3＝6，f(－2)＝－2＋2＝0， f[f(－2)]＝f(0)＝02＝0. (2)当 a≤－1 时，a＋2＝10，可得 a＝8，不符合题意； 当－1<a<2 时，a2＝10，可得 a＝± 10，不符合题意； 当 a≥2 时，2a＝10，可得 a＝5，符合题意； 综上可知，a＝5.
题型二 分段函数的图象及应用
例 2 已知函数 f(x)＝1＋|x|－2 x(－2<x≤2)． (1)用分段函数的形式表示函数 f(x)； (2)画出函数 f(x)的图象； (3)写出函数 f(x)的值域． [分析] 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函 数，再利用描点法作出函数图象．
【对点练习】❶ 已知 f(x)＝fx[＋fx3＋x5>1]0x≤10 ，则 f(5)的值是( A )
A．24
B．21
C．18
D．16
[解析] f(5)＝f[f(10)]，f(10)＝f[f(15)]＝f(18)＝21, f(5)＝f(21)＝24.
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第三章 函数的概念与性质
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x＋2x≤－1
例 1 已知函数 f(x)＝x2－1<x<2 . 2xx≥2
(1)求 f(－4)，f(3)，f[f(－2)]； (2)若 f(a)＝10，求 a 的值． [分析] 分段函数的解析式⇒求函数值或已知函数值列方程求字母的 值．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[解析] (1)由题意 f(x)＝6x，x∈[12,30]， g(x)＝920x＋，5x0∈，[1x2∈，2200，] 30] . (2)①12≤x≤20 时，6x＝90，解得：x＝15，即当 12≤x<15 时，f(x)<g(x)， 当 x＝15 时，f(x)＝g(x)，当 15<x≤20 时，f(x)>g(x)． ②当 20<x≤30 时，f(x)>g(x)，故当 12≤x<15 时，选 A 家俱乐部合算． 当 x＝15 时，两家俱乐部一样合算，当 15<x≤30 时，选 B 家俱乐部 合算．
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经 验．
学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模 型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善 模型；能够提升应用能力，增强创新意识．
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[解析] (1)依题设，总成本为 20 000＋100x，
则 y＝－21x2＋300x－20 000，0<x≤400，且x∈N， 60 000－100x，x>400，且x∈N.
(2)当 0<x≤400 时，y＝－21(x－300)2＋25 000， 则当 x＝300 时，ymax＝25 000.
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(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)， 在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x) 与g(x)的解析式；
(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？
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第三章 函数的概念与性质
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[错因分析] 错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数 f(x) ＝x2－1x≤0 是两个函数．
xx<0 [正解] 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪[0，＋∞)，即(－∞，＋
∞)，∴函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
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[归纳提升] 利用分段函数求解实际应用题的策略 (1)首要条件：把文字语言转换为数学语言． (2)解题关键：建立恰当的分段函数模型． (3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．
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第三章 函数的概念与性质
2．若 f(x)＝x－2xx≥x<00，. 则 f[f(－2)]＝( C )
A．2
B．3
C．4
D．5
[解析] ∵－2<0，∴f(－2)＝－(－2)＝2，
又2>0，∴f[f(－2)]＝f(2)＝22＝4.
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【对点练习】❸ 某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都 很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月 计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的 部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家 租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时．
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第三章 函数的概念与性质
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误区警示
分段函数概念的理解错误 例 4 求函数 f(x)＝x2－1x≥0 的定义域． xx<0
[错解] ∵x≥0时，f(x)＝x2－1，x<0时， f(x)＝x， ∴当x≥0时，f(x)的定义域为[0，＋∞)， 当x<0时，f(x)的定义域为(－∞，0)．
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基础自测
1．函数 f(x)＝ xx－＋11的定义域为( A )
A．[－1,1)∪(1，＋∞) C．(－1，＋∞)
B．(1，＋∞) D．(－1,1)∪(1，＋∞)
[解析] 由函数解析式得xx＋ －11≥ ≠00， ， 解得 x≥－1，且 x≠1. 故函数的定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选 A．
第2课时 分段函数
第三章 函数的概念与性质
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基础知识
知识点 分段函数 如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，则称这
样的函数为分段函数． 思考：分段函数对于自变量x的不同取值区间对应关系不同，那么分
段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数而不是几个函数．
件)，利润＝总收益－总成本． (1)试将自行车厂的利润 y 表示为月产量 x 的函数； (2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
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[分析] 总成本＝固定成本＋可变成本，本题中，固定成本为20 000 元，可变成本为100x元．
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学科素养 建模应用能力 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数 学知识与方法构建模型解决问题的过程． 主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析 问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题. 数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形 式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展 的动力．
[解析] ∵f(x)＝xx－＋44xx><00 ， ∴f(－3)＝1， ∴f[f(－3)]＝f(1)＝－3.
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题型探究 题型一 分段函数的求值问题
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例 3 如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线 BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△APB的面 积为y.
(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)； (2)画出y＝f(x)的图象； (3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围． [分析] (1)点P位置不同△ABP的形状一样吗？ (2)注意该函数的定义域．
第三章 函数的概念与性质
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当x>400时，y＝60 000－100x是减函数，则y<60 000－100×400＝
20 000. 综上可知，当月产量x＝300件时，自行车厂的利润最大，最大利润
是为25 000元． [归纳提升] 求分段函数的最值，应分别计算各段函数的最值，然后
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2x 0≤x≤4
[解析] (1)y＝8 4<x≤8
.
212－x 8<x≤12
(2)y＝f(x)的图象如图所示．
(3)即 f(x)≥2，当 0≤x≤4 时，2x≥2，
∴x≥1，当 8<x≤12 时，2(12－x)≥2，
∴x≤11，∴x 的取值范围是 1≤x≤11.
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【对点练习】❷ 已知函数 f(x)＝－ x2－2x2＋x1x≥x<11 . (1)画出函数的图象； (2)若 f(x)＝1，求 x 的值． [解析] (1)函数图象如图所示．
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(2)由 f(x)＝1 和函数图象综合判断可知，当 x∈(－∞，1)时，得 f(x) ＝－2x＋1＝1，解得 x＝0；
当 x∈[1，＋∞)时，得 f(x)＝x2－2x＝1，解得 x＝1＋ 2或 x＝1－ 2 (舍去)．
综上可知 x 的值为 0 或 1＋ 2 .
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题型三 分段函数的应用问题
3．函数y＝|x|的图象是( B )
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[解析] 因为 y＝|x|＝－x，x，x≥x＜0，0， 所以 B 选项正确．
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4．(2020·江苏徐州高一期中测试)已知 f(x)＝xx－＋44xx><00 ，则 f[f(－3)] 的值为__－__3___.
第三章 函数的概念与性质
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例 5 某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新 样式单车的固定成本为 20 000 元，每生产一件新样式单车需要增加投入 100 元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数 h(x)，
其中 h(x)＝400x－12x2，0<x≤400， x 是新样式单车的月产量(单位： 80 000，x>400，
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第三章 函数的概念与性质
数学(必修 · 第一册 · RJA)
[归纳提升] 1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤 (1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类 型． (2)设函数式：设出函数的解析式． (3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段 内的解析式． (4) 下 结 论 ： 最 后 用 “ {” 表 示 出 各 段 解 析 式 ， 注 意 自 变 量 的 取 值 范 围． 2．作分段函数图象的注意点 作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象 在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点． 返回导航
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第三章 函数的概念与性质
[解析] (1)当 0≤x≤2 时，f(x)＝1＋x－2 x＝1； 当－2<x<0 时，f(x)＝1＋－x2－x＝1－x. 所以 f(x)＝11－0≤x－x≤2<2x<0 . (2)函数 f(x)的图象如图所示． (3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．