九年级数学人教版-8“化斜为直”构造直角三角形的四种常用方法
人教版九年级下册数学第28章 锐角三角函数 “化斜为直”构造直 角三角形的四种常用方法
∠BAE＝∠1BAC. ∵∠BPC＝2∠1BAC，
∴∠BPC＝∠2BAE.
在Rt△BAE中，由勾股定理得：
AE＝＝3，
∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝.
AB2 BE2 52 42
BE 4
AE 3
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第二十八章锐角三角函数
28.2解直角三角形及其应用 第2课时 “化斜为直”构造直角三角形
的四种常用方法
1
2
3
4
方法 1 无直角、无等角的三角形作高
1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋，3∠B＝60°，∠C
＝45°，求AB的长．
解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D. 设BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD·tanB＝ x·tan60°＝x.
3
在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2，
∴DE＝EC·cos30°＝2×.
∴S四边形ABCD＝SRt△A23BE －3SRt△ECD＝AB·BE－
CD·ED＝
1
1
×1 2×2－×1×.1
2
32
2 33 3
2
2
返回
方法 3 有三角函数值不能直接利用时作垂线
3．如图，在△ABC中，点D为AB的中点，DC⊥AC，
2 ． 如 图 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， AB ＝ 2 ， CD ＝ 1 ， ∠ A ＝ 60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积．
解：如图，延长BC，AD交于点E. ∵∠A＝60°，∠B＝90°， ∴∠E＝30°.
在Rt△ABE中，BE＝＝A2B， 2 tan E tan 30
3
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，
∴∠CAD＝90°－∠C＝45°.
2022年中考数学总复习热点专题突破 专题四 化“斜”为“直”docx
专题四化“斜”为“直”化“斜”为“直”,通常在解直角三角形时用这种方法较多,即通过作垂线或平行线把斜三角形转化为直角三角形,通过解直角三角形达到解斜三角形的目的.其实化“斜”为“直”的方法还可以广而推之,用它来解决其他的数学问题也很有效.当然,化“斜”为“直”仍是转化思想的一种具体应用.因为我们平时储备的有关直角三角形的知识和方法较多,通过作垂线或平行线“构造”出直角三角形,把我们相对不熟悉的问题转化为熟知的问题,这样做必然利于解题.安徽中考中这类试题几乎每年都能遇到,如2017年第17题,2018年第19题,2020年第18题,2021年第17题等.目录类型1解直角三角形中化“斜”为“直”类型2平面直角坐标系中化“斜”为“直”类型3其他几何问题中化“斜”为“直”类型1解直角三角形中化“斜”为“直”典例1如图,小明从B处测得广告牌顶端A的仰角为45°,从C处测得广告牌底部D的仰角为30°.已知CE=10 m,BC=2 m,求广告牌的高度AD.(结果保留两位小数,参考数据:≈1.414,≈1.732)【答案】过点B作BF⊥AD,交AD的延长线于点F.在Rt△ABF中,∠ABF=45°,BF=10,∴AF=10.在Rt△DCE中,∠DCE=30°,CE=10,∴DE=CE·tan 30°=,∴AD=AF+EF－DE=10+2－≈6.23(m).答:广告牌的高度AD约为6.23 m.类型2平面直角坐标系中化“斜”为“直”典例2如图,一次函数y=kx+4的图象与坐标轴相交于A(6,0),B两点,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A,且它的顶点C在一次函数y=kx+4的图象上.(1)求二次函数的表达式;(2)若D(m,n)是二次函数图象OC段的一个动点,连接OD,CD,设四边形ODCA的面积为S,求S关于m 的函数关系式,并求当m为何值时,S的值最大.【答案】(1)把点(6,0)代入y=kx+4,解得k=－,∴一次函数的表达式为y=－x+4.∵二次函数的图象经过点A(6,0)和原点(0,0),∴二次函数的图象的顶点C的横坐标为3.又∵点C在一次函数的图象上,∴点C的坐标为(3,2).把点A(6,0),C(3,2)代入y=ax2+bx,得∴二次函数的表达式为y=－x.(2)过点D作DE⊥x轴,过点C作CF⊥x轴,垂足分别为E,F,可得OE=m,DE=n,EF=3－m,CF=2,AF=3, ∴S=S△ODE+S梯形CDEF+S△=n－m+6.ACF∵点D(m,n)在二次函数y=－x的图象上,∴n=－m,∴S=－.∵－时,S的值最大.在平面直角坐标系中,通过作两个坐标轴的垂线(或平行线)把位置是“斜”的图形转化为位置“平直”的图形,在解题中可以实现事半功倍的效果.类型3其他几何问题中化“斜”为“直”典例3(2020·合肥庐阳区二模)如图,水渠两边AB∥CD,一条矩形竹排EFGH斜放在水渠中,∠AEF=45°,∠EGD=105°,竹排宽EF=2米,求水渠宽.【答案】过点F作FP⊥AB于点P,延长PF交CD于点Q,则FQ⊥CD.∵在Rt△FPE中,∠AEF=45°,EF=2,∴PF=EF·sin 45°=.∵AB∥CD,∴∠AEG=∠EGD=105°,∴∠GEF=∠AEG－∠AEF=105°－45°=60°.∵四边形EFGH为矩形,∴∠EGF=30°,∴GF=EF·tan 60°=2.∵∠CGF=180°－105°－30°=45°,∴在Rt△FQG中,FQ=FG·sin 45°=,∴PQ=PF+FQ =()米.答:水渠宽为()米.针对训练1.如图,要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯,路灯的灯臂CD长为2米,且与灯柱BC成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直,当灯罩的中轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳.此时,路灯的灯柱BC的高度应该设计为( D )A.(11－2)米B.(11－2)米C.(11－2)米D.(11－4)米【解析】过点D作DE⊥AB,交AB于点E,过点C作CF⊥DE,交DE于点F.∵∠DCB=120°,CB⊥AB,OD ⊥CD,∴∠DOB=360°－∠DCB－∠CBO－∠ODC=360°－120°－90°－90°=60°,∠DCF=30°,∴CF=CD·cos30°=2×－4.2.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G.若AE=3ED,DF=CF,则的值是( C )A.B.C.D.【解析】过点F作FN∥AD,交AB于点N,交BE于点M.∵四边形ABCD是正方形,∴易得四边形ANFD 是矩形.∵AE=3ED,∴设ED=a,则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a.∵AN=BN,MN∥AE,∴BM=ME,MN=.3.如图,在△ABC纸片中,∠C=90°,AC=3,BC=4,在△ABC纸片中剪取一个△DEF,使得∠EDF=90°,DE=2DF,且D,E,F分别在AB,AC,BC边上,则AD的长为( A )A.3B.4C.D.【解析】过点D分别作DP⊥AC于点P,作DQ⊥BC于点Q.易得△DPE∽△DQF,∴=5,∴AD=3.4.如图,在菱形ABCD中,P为对角线AC上一点.若AB=4,PA=5,PC=2,则PB的长为( D )A. B. C. D.【解析】连接BD,交AC于点O,易得BD垂直平分AC.∵AC=7,∴AO=.5.如图,等腰Rt△DEF的斜边中点O与等腰Rt△ABC的斜边的中点重合,D,E两点分别在AB,BC上.若AB=4,AD=1,则△DEF的面积为5.【解析】连接CF,易证△AOD≌△COF,∴∠FCO=∠A=45°,∴∠FCE=90°.∵∠DEB+∠FEC=90°,∠DEB+∠BDE=90°,∴∠BDE=∠FEC.又∵DE=EF,∴Rt△BDE≌Rt△CEF,∴BD=EC.∵AB=4,AD=1,∴BD=3,BE=1,∴DE==5.6.某地铁站口的垂直截面图如图所示.已知∠A=30°,∠ABC=75°,AB=BC=4米,求点C到地面AD的距离.(结果保留根号)解:如图,过点B作BE⊥AD于点E,BF∥AD,过点C作CF⊥BF于点F.在Rt△ABE中,∵∠A=30°,AB=4,∴BE=2.∵BF∥AD,∴∠ABF=∠A=30°,∴∠CBF=∠ABC－∠ABF=75°－30°=45°,∴在Rt△CBF中,CF=BC·sin 45°=2,∴点C到地面AD的距离为(2+2)米.7.(2021·合肥包河区三模)如图,AB是☉O的直径,C为☉O上一点,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P,过点A作AD⊥PC的延长线于点D, AD与☉O交于点E.(1)求证:AC平分∠DAP;(2)若AB=10,sin ∠CAB=,求DE的长.解:(1)连接OC.∵PC为☉O的切线,∴OC⊥PC.又∵AD⊥PC,∴OC∥AD,∴∠DAC=∠OCA.∵∠OCA=∠OAC,∴∠DAC=∠OAC,∴AC平分∠DAP.(2)由(1)知∠DAC=∠CAB.∵AB是☉O的直径,C为☉O上一点,∴∠ACB=90°.∴∠ADC=∠ACB,∴△ADC∽△ACB,∴.在Rt△ABC中,∵AB=10,sin ∠CAB=,∴BC=4,∴AC2=AB2－BC2=84,∴AD=,∴CD2=AC2－AD2=.连接CE,BE.∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°.∵∠ADC=90°,∴BE∥CD,∴∠DCE=∠BEC.∵∠BEC=∠DAC,∴∠DCE=∠DAC,∴△CDE∽△ADC,∴,∴DE=.8.如图,一次函数y1=ax+b分别与x轴、y轴交于A(2,0),B(0,2)两点,与反比例函数y2=(x>0)的图象交于C,D两点,已知AB=2CD.(1)求一次函数y1=ax+b和反比例函数y2=(x>0)的表达式;(2)试比较y1,y2的大小.解:(1)将A,B两点的坐标代入y1=ax+b,易得一次函数的表达式为y1=－x+2,则△AOB是等腰直角三角形,AB=2.∵AB=2CD,∴CD=.分别作CE⊥y轴于点E,DF⊥x轴于点F,CE,DF交于点G.易得△CDG是等腰直角三角形,CG=DG=1,设点D的坐标为(t,－t+2),则点C的坐标为(t+1,－t+1).∵点D,C均在反比例函数y2=(x>0)的图象上,∴t(－t+2)=(t+1)(－t+1),解得t=,∴点D的坐标为,∴反比例函数y2=(x>0).(2)∵点C的坐标为,∴当时,y1>y2;当x=时,y1=y2;当0<x<时,y1<y2.9.已知P为平行四边形ABCD内一点,分别连接PA,PB,PC,PD.(1)如图1,若PA=AD,∠DAP=∠DCP=90°,求∠ABP的度数;(2)如图2,设△PAB的面积,△PBC的面积,△PCD的面积,△PAD的面积分别为S1,S2,S3,S4,求证:S1+S3=S2+S4;(3)如图3,若∠ABP=∠ADP,求证:∠PAB=∠PCB.解:(1)延长CP交AB于点E.∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠BAD=∠BCD,∴∠BAP=∠BCE,AD=BC=PA,∴△APE≌△CBE,∴BE=EP,即∠ABP=45°.(2)过点P作AB的平行线分别交AD,BC于点E,F,作BC的平行线分别交AB,CD于点M,N.易得四边形AMPE、四边形BMPF、四边形CNPF、四边形DNPE均为平行四边形,∴△AMP≌△PEA,△BMP≌△PFB,△CPF≌△PCN,△DNP≌△PED.∵S1=S△AMP+S△BMP,S3=S△DNP+S△PCN,S2=S△PFB+S△CPF,S4=S△PEA+S△PED,∴S1+S3=S2+S4.(3)过点P作AB的平行线分别交AD,BC于点E,F.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠ADC.∵∠ABP=∠ADP,∴∠CBP=∠CDP=∠EPD.∵∠PFB=∠PED,∴△PFB∽△DEP,∴.∵DE=CF,FB=AE,∴.又∵∠AEP=∠PFC,∴△AEP∽△PFC,∴∠PCB=∠EPA=∠PAB,∴∠PAB=∠PCB.。
专训“化斜为直”构造直角三角形的方法
3、别想一下造出大海，必须先由小河川 开始。 4、自信是所有成功人士必备的素质之一 ，要想 成功， 首先必 须建立 起自信 心，而 你若想 在自己 内心建 立信心 ，即应 像洒扫 街道一 般，首 先将相 当于街 道上最 阴湿黑 暗之角 落的自 卑感清 除干净 ，然后 再种植 信心， 并加以 巩固。 信心建 立之后 ，新的 机会才 会随之 而来。
在Rt△ABE中，BE＝ AB
2
2 3，
tan E tan 30
在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2，
∴DE＝EC·cos 30°＝2×
3＝ 2
3.
∴S四边形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD
1
ห้องสมุดไป่ตู้
1
＝ 2 AB·BE－ 2 CD·ED
＝ 1 ×2×2 2
3
－
1 2
×1×
3
＝3
3 .
2
本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°， ∠A＝60°，不难想到延长BC，AD交于点E， 构造出直角三角形，将所求问题转化为直角三 角形问题来解决．
21、怠惰是贫穷的制造厂。 22、先知三日，富贵十年。 23、自信是向成功迈出的第一步。——爱因斯 坦 24、一个人除非自己有信心，否则不能 带给别 人信心 ；已经 信服的 人，方 能使人 信服。 ——麦 修·阿诺 德 25、凡是挣扎过来的人都是真金不怕火 炼的； 任何幻 灭都不 能动摇 他们的 信仰： 因为他 们一开 始就知 道信仰 之路和 幸福之 路全然 不同， 而他们 是不能 选选择 的，只 有往这 条路走 ，别的 都是死 路。这 样的自 信不是 一朝一 夕所能 养成的 。你绝 不能以 此期待 那些十 五岁左 右的孩 子。在 得到这 个信念 之之前 ，先得 受尽悲 痛，流 尽眼泪 。可是 这样是 好的， 应该要 这样… …——罗 曼·罗 兰 26、一个人在科学探索的道路上，走过 弯路， 犯过错 误，并 不是坏 事，更 不是什 么耻辱 ，要在 实践中 勇于承 认和改 正错误 。——爱因斯 坦88我 们的理 想应该 是高尚 的。我 们不能 登上顶 峰，但 可以爬 上半山 腰，这 总比待 在平地 上要好 得多。 如果我 们的内 心为爱 的光辉 所照亮 ，我们 面前前 又有理 想，那 么就不 会有战 胜不了 的困难 。——普列姆 昌德 27、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计 分板上 。
专训2 “化斜为直”构造直角三角形的方法
方法
2
有直角、无直角的图形延长某些边
2．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝ 60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积． 解： 如图，延长BC，AD交于点E.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°. AB 2 = = 2 3， 在Rt△ABE中，BE＝ o tan E tan 30
习题课 阶段方法技巧训练（二）
专训2
“化斜为直”构造
直角三角形的方法
锐角三角函数是在直角三角形中定义的，解直 角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直 角三角形问题，要注意观察图形特点，恰当作辅助
线，将其转化为直角三角形来解．
方法
1
无直角、无等角的三角形作高
1．如图，在△ABC中，已知BC＝1＋ 3 ，∠B＝ 60°，∠C＝45°，求AB的长． 解： 如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.
在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2， 3 ∴DE＝EC· cos 30°＝2× ＝ 3. 2
∴S四边形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD
1 1 ＝ AB· BE－ CD· ED 2 2 1 1 3 3 ＝ ×2×2 3 － ×1× 3 ＝ . 2 2 2
本题看似是四边形问题，但注意到∠B＝90°， ∠A＝60°，不难想到延长BC，AD交于点E，
关系是解题的关键．
方法
4
求非直角三角形中角的三角函数值时构造直角三角形24
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝ 1 ∠BAC，求tan ∠BPC的值． 2 如图，过点A作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC＝5， 解： 1 1 1 ∴BE＝ BC＝ ×8＝4，∠BAE＝ ∠BAC. 2 2 2 1 ∵∠BPC＝ ∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE. 2 在Rt△BAE中，由勾股定理得AE＝
解直角三角形的方法,步骤与应用
解直角三角形的方法,步骤与应用
几何学中最常见的形状之一是直角三角形，它的特点是一个锐角90度，三
条边均不等的三角形。
学习有关直角三角形的方法有助于理解和应用几何学。
一、如何确定一个三角形是直角三角形？
若要确定一个三角形是否为直角三角形，可以使用斜边-直角定理：如果一个
三角形的斜边的平方等于另外两边相加的平方，则此三角形正是直角三角形。
另外，我们可以使用勾股定理快速判断一个三角形是否为直角三角形，即两个直角边的平方等于对角边的平方。
二、如何确定一个直角三角形的高度？
要计算直角三角形的高度，可以使用直角三角形高度公式：高度=斜边×正弦
度数，其中斜边是三角形斜边的长度；正弦度数是三角形斜边相对应的角度，也就是直角相对应的角度。
三、直角三角形的应用
直角三角形在工程学、护理学、机械学、建筑学等领域都有广泛应用。
在工程学中，直角三角形可以用来计算坡度，从而实现控制俯仰角；在护理学中，直角三角形可以帮助计算肌肉拉伸时的牵力；在机械学中，直角三角形的绘制可以帮助机械工程师确定轴的夹角；在建筑学中，直角三角形可以帮助建筑师设计建筑物的外形和内部空间结构。
综上所述，学习有关直角三角形的方法有助于我们更好地理解几何学知识，并将其应用于各个领域。
浅谈变“斜”为“直”的应用
‘ ．
Ａ Ｂ ￣ ２ ， Ｄ ＝ Ａ Ｂｓ ｎ６ 一 √ ｘ Ａ ｉ ０。
“ ” “ ”， 条 件 中 到 一 个 直 角 三 角 形 斜 为 直 使
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中 来 解 决 ．作 辅 助 线 Ｂ 使 非 特 殊 角 分 为 两 Ｅ，
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ＤＣ 一
个 特殊 角 ， 形 成两 个 直 角 三 角形 ， 而 为 运 并 从
【 明】 斜 三角 形 问题 通 过 作 高 巧 妙地 说 将
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又 。 Ｌ Ｃ＝ ４ 。 ． 。 ５，
。
转 化 为直 角三 角形 ， 用 勾 股 定 理 解 决 有 关 利 边 的 计 算 问 题 是 常 用 办 法 之 一 ．由 此 例 可 以
．
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ＥＤ Ｃ ＝ ４５ ， Ｅ ＝ ＥＣ． 。Ｄ
维普资讯
★方 法技 巧
浅谈变“ ’ 直’ 斜’ 为“ ’ 的应 用
浙 江绍 兴县 实验 中学（ １００ 樊 玲芝 ３ ２０ ）
转 化 思 想 在 数 学 中 应 用 十 分 广 泛 ．我 们 在 解 数 学 题 时 ， 到 陌 生 的 问 题 常 设 法 把 它 碰 转 化成 熟 悉 的 问题 ， 到 复 杂 的 问题 常 设 法 碰 把 它转 化 成 简 单 的 问题 ， 而 使 问题 获 得 解 从
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导 ｚ 一 吾 （值 去 ． 走 ± 负 舍 ） ，
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Ｂ Ｅ — Ｂ Ｃ— ＥＣ
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需 多少 钱 ？
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普￣ 是 ／ ． ２
九年级数学解直角三角形人教版知识精讲
初三数学解直角三角形人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：解直角三角形学习目的：1. 理解什么叫解直角三角形，并熟练掌握直角三角形的解法：依照题意画出符合条件的图形，写出正确的解题过程。
2. 会利用直角三角形解决一些斜三角形或四边形中的问题。
3. 进一步体会“转化的思想”，“方程的思想”在解直角三角形中的作用，提高分析问题，解决问题的能力。
通过本周的学习，我们知道，解直角三角形就是只要知道直角三角形中除直角以外的五个元素中的2个（其中至少有一个是边），去求出其它未知元素的过程，一般地就是这么四种情况：90∆∠=︒Rt ABC C在中，aC b A（1）已知：a、b，解这个三角形。
（2）已知：a、c，解这个三角形。
（3）已知：a，∠A，解这个三角形。
（4）已知：c，∠A，解这个三角形。
我们只须运用（1）勾股定理，（2）直角三角形两锐角互余，（3）锐角三角函数就可以轻松求出未知元素。
以下我们来看几道例题。
例1.∴在中，Rt DEB B DE DB∆sin ==12∴∠=︒∴∠=︒B B A C 3060，在中，，，Rt ABC C B AC ∆∠=︒∠=︒=90303 ∴=AB 6 由勾股定理B C =-=633322∴∠=︒∠=︒==B A AB BC 3060633，，，请大家注意该题条件是“AD 平分∠BAC ”我们利用了“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”这一重要性质，同学们也可试着过D 点作AC 的平行线来完成。
例在 c ∴42由勾股定理：D F CD CF =-=-=2222637292()在中，，，∆A BE AE BC DF BC DF AE ⊥⊥∴// BD AD DFAE BDAB=∴==334，∴=⋅=⨯=AE DF 4343926法2：过A 作AG//DC 交BC 延长线于G4∴∠=-∠=-=s i n c o s ()BCD BCD 11743422CD A GG BCD//∴∠=∠在中，Rt AEG G BCD AE AGAE ∆sin sin =∠===834∴=AE 6这两种做法都利用平行线转移比例关系，同时构造了必要的直角三角形。
化“斜”为“直”
化“斜”为“直”转化思想在数学中应用十分的广泛，我们在解决数学问题时，常将陌生的问题转化为熟悉的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，从而使问题获得解决，在解直角三角形时，许多问题中并不见直角三角形，而是通过构造直角三角形，即化“斜”为“直”的方法，将问题转化. 下面举例予以说明.例1 如图1，在四边形ABCD中，DC⊥BC，若AB=100，∠A=45°，∠ABD=75°，∠CBD=30°，求BC的长.【分析】此题含有两个三角形，其中一个不是直角三角形，可通过添加适当的辅助线（一般不破坏已知的特殊角），即过点B作BE⊥AD，垂足为E，从而化“斜”为“直”，将条件集中到Rt△ABE中来解决.解：过点B作BE⊥AD，垂足为E，在Rt△ABE中，∠A=45°，AB=100，sin45°=，所以BE=100×sin45°=50，∠ABE=45°，∵∠ABD=75°，∴∠DBE=∠CBD=30°，又BD=BD，∴△BCD ≌△BED，∴BC=BE=50.例2 如图2，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是AC 上的一点，且CD=3AD，求tan∠DBC的值.【分析】要求的∠DBC在斜三角形中，而tan∠DBC的值不能从给定的直角三角形中得到，故需将其转化到直角三角形中，作辅助线DE⊥BC，构造Rt△DBE来求tan∠DBC的值.在条件中没有给出有关线段的长度，于是将已知条件中的CD=3AD中的AD用参数k来表示，并对其“设而不求”，这是一种常用的方法，这样让字母来参与运算，应用方便.解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，并设AD=k，DC=3k，则AB=AC=4k，因为∠A=90°，所以BC=AC=4k，又因为∠C=45°，所以∠EDC=45°，DE=EC，在Rt△DEC中，sin45°=，所以DE=3k×sin45°=k，所以EC=DE=k，所以BE=BC-EC=4k-k=k，所以在Rt△DBE中，tan∠DBC==.例3 已知，如图3，某班数学兴趣小组为了测量河两岸建筑物AB和建筑物CD的水平距离AC，他们首先在A点处测得建筑物CD的顶部D点的仰角为25°，然后爬到建筑物AB的顶部B处测得建筑物CD的顶部D点的俯角为15°30′. 已知建筑物AB的高度为30米，求两建筑物的水平距离AC. （精确到0.1米）【分析】解题的关键是依据题意，通过作垂线构造两个直角三角形，利用三角函数将有关数据有机地联系起来.解：如图，过点D作DH⊥AB，垂足为H，设AC=x，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，∠DAC=25°，所以CD=AC tan∠DAC=xtan25°，在Rt△BDH中，∠BHD=90°.∠BDH=15°30′，所以BH=DHtan15°30′=AC tan15°30′=xtan15°30′，又因CD=AH，AH+HB=AB，所以x（tan25°+tan15°30′）=30.所以x=≈40.3（米）.答：两建筑物的水平距离AC为40.3米.说明：解直角三角形的实际问题要注意两个转化：一是将实际问题转化为数学问题，二是将数学问题转化为解直角三角形问题. 此外掌握仰角、俯角的概念和一些特殊角的三角函数值也是解题的关键.小试身手要在宽为28 m的海堤公路的路边安装路灯. 路灯的灯臂长为3 m，且与灯柱成120°的角（如图4所示），路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直. 当灯罩的轴线通过公路路面的中线时，照明效果最理想. 问：应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果？（精确到0. 01 m，≈1.732）（作者单位：江苏省泗洪县第一实验学校）。
专题5 化“斜”为“直”
∵∠DEB+∠FEC=90°,∠DEB+∠BDE=90°,∴∠BDE=∠FEC,
又∵DE=EF,∴Rt△BDE≌Rt△CEF,∴BD=EC.∵AB=4,AD=1,∴BD=3,BE=1,
∴DE=
10,∴△DEF
的面积为1
2
×
10 ×
10=5.
专题五
化“斜”为“直”
命题者说
典例精析
针对训练
-15-
6.如图,已知点O是矩形ABCD的对称中心,另一与矩形ABCD全等的矩形EFGO的一个顶 点与点O重合,从图1位置开始绕点O逆时针旋转(旋转角0°<α<180°).两矩形的边的 两个交点为M,N,已知AB=2BC=20 cm,当两个矩形的重叠部分△OMN为等腰三角形时, 则AM的长为 5或15 cm.
A.(11-2 2)米 B.(11 3-2 2)米
C.(11-2 3)米 D.(11 3-4)米
专题五
化“斜”为“直”
命题者说
典例精析
针对训练
-10-
【解析】过点 D 作 DE⊥AB 交 AB 于点 E,过点 C 作 CF⊥DE 交 DE 于点 F.
∵∠DCB=120°,CB⊥AB,OD⊥CD,
∴∠DOB=360°-∠DCB-∠CBO-∠ODC=360°-120°-90°-90°=60°,∠DCF=30°,
专题五
化“斜”为“直”
命题者说
典例精析
针对训练
-12-
3.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,
DF=CF,则
������������ ������������
的值是(
C
解直角三角形的基本类型及解法
解直角三角形的基本类型及解法解直角三角形的基本类型及解法解直角三角形方法很多,灵活多样.解直角三角形是探究直角三角形中边角关系的问题,是现实世界中应用广泛的关系之一，本文是店铺整理解直角三角形的基本类型及解法的资料，仅供参考。
解直角三角形注意事项1.尽量使用原始数据，使计算更加准确.2.有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，•但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题.3.一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题.4.解直角三角形的方法可概括为“有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦有切(正切、余切)，宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦;无斜边时，就用正切或余切;当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法;既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据.5.必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，•然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算.6.要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中.7.解含有非基本元素的直角三角形(即直角三角形中中线、高、角平分线、•周长、面积等)，一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解.直角三角形面积公式因为直角三角形的两条直角边分别相当于三角形的底和高，所以直角三角形的面积，可以用两条直角边的长度相乘再除以2。
s=(1/2)x底x高s=(1/2)xaxbxsinC (C为a,b的夹角)s=1/2acsinBs=1/2bcsinA直角三角形性质1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
若∠BAC=90°，则AB2+AC2=BC2(勾股定理)2、在直角三角形中，两个锐角互余。
如图，若∠BAC=90°，则∠B+∠C=90°3、直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半(即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R=C/2)。
手把手教你解直角三角形
手把手教你解直角三角形直角三角形是数学中最基本的几何形状之一，它的特点是其中一个角度为90度。
解直角三角形是解决各类三角函数问题的基础，下面将以手把手的方式来教你解直角三角形。
一、已知两边求第三边的长度当已知直角三角形的两条边的长度时，可以利用勾股定理来求得第三边的长度。
勾股定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2其中，c表示直角三角形的斜边，a和b分别表示直角三角形的两条直角边。
假设已知直角三角形的两条直角边分别为a=3，b=4，求斜边的长度c。
根据勾股定理，我们有：c^2 = 3^2 + 4^2c^2 = 9 + 16c^2 = 25两边开平方，得到：c = √25c = 5因此，斜边的长度为5。
二、已知一边和一个角度求另一条边的长度当已知直角三角形的一条边的长度和一个角度时，可以利用三角函数来求得另一条边的长度。
在直角三角形中，常用的三角函数有正弦、余弦和正切函数。
1. 已知一边和角度求另一边的长度（正弦函数）如果已知直角三角形的一条直角边长度a和角度θ，我们可以利用正弦函数来求另一条直角边的长度b。
sinθ = b/a假设已知直角三角形的直角边a=3，角度θ=30°，求另一条直角边的长度b。
sin30° = b/3根据正弦函数表，我们可以得到：b = 3 * sin30°b = 3 * 0.5b = 1.5因此，另一条直角边的长度为1.5。
2. 已知一边和角度求另一边的长度（余弦函数）如果已知直角三角形的一条直角边长度a和角度θ，我们可以利用余弦函数来求另一条直角边的长度b。
cosθ = b/a假设已知直角三角形的直角边a=5，角度θ=60°，求另一条直角边的长度b。
cos60° = b/5根据余弦函数表，我们可以得到：b = 5 * cos60°b = 5 * 0.5b = 2.5因此，另一条直角边的长度为2.5。
3. 已知一边和角度求另一边的长度（正切函数）如果已知直角三角形的一条直角边长度a和角度θ，我们可以利用正切函数来求另一条直角边的长度b。
直角三角形的计算方法
直角三角形的计算方法直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角为90度，即直角。
由于直角边之间的关系是固定的，因此可以使用不同的计算方法求解直角三角形的各个属性，包括两直角边的长度、斜边的长度以及其他角的度数。
下面将详细介绍直角三角形的计算方法。
一、勾股定理勾股定理是直角三角形最重要的计算公式之一，它描述了直角三角形两直角边和斜边之间的关系。
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
即a²+b²=c²，其中a和b表示两直角边的长度，c表示斜边的长度。
使用勾股定理可以求解以下情况：1.已知两直角边的长度，求解斜边的长度：将已知的两直角边的长度代入勾股定理中，使用平方根可以求得斜边的长度。
例如，若已知两直角边分别为3和4，那么斜边的长度可以计算为：√(3²+4²)=√(9+16)=√25=52.已知斜边和其中一条直角边的长度，求解另一条直角边的长度：将已知的斜边和直角边的长度代入勾股定理中，使用平方根可以求得另一条直角边的长度。
例如，若已知斜边为5，其中一条直角边为3，那么另一条直角边的长度可以计算为：√(5²-3²)=√(25-9)=√16=4二、特殊三角函数在直角三角形中，三角函数的使用可以帮助我们计算三角形的各个属性。
以下是几个重要的特殊三角函数：1. 正弦函数（sin）：在直角三角形中，正弦函数定义为斜边与斜边上的对边的比值。
即sinθ = 对边/斜边。
可以使用反正弦函数求得角的度数。
2. 余弦函数（cos）：在直角三角形中，余弦函数定义为斜边与斜边上的邻边的比值。
即cosθ = 邻边/斜边。
可以使用反余弦函数求得角的度数。
3. 正切函数（tan）：在直角三角形中，正切函数定义为斜边上的对边与邻边的比值。
即tanθ = 对边/邻边。
可以使用反正切函数求得角的度数。
使用特殊三角函数可以求解以下情况：1. 已知其中一角的度数和斜边的长度，求解其他两条边的长度：根据已知角的度数，可以使用sin、cos或tan函数计算所需的边长。
新人教部编版初中九年级数学解题技巧专题：构造直角三角形解题
即 sin18°＝
5－1 4.
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在
Rt△ADH
中，sin∠ADH＝AAHD＝
5 5.
∴∠ADC
的正弦值为
5 5.
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3．如图，在△ABC 中，AB＝BC＝5，tan∠ ABC＝34.
(1)求边 AC 的长；
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2．如图，AD 是△ABC 的中线，tanB＝51，cosC ＝ 22，AC＝ 2.求：
(1)BC 的长；
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解：(1)如图，作 AH⊥BC 于点 H. 在 Rt△ACH 中，cosC＝ 22＝CAHC，AC＝ 2， ∴CH＝1. ∴AH＝ AC2－CH2＝1.
5．如图，在△ABC 中，D 为 BC 边上的一点， 若∠B＝36°，AB＝AC＝BD＝2.
(1)求 CD 的长；
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解：(1)∵AB＝AC，∠ABC＝36°， ∴∠C＝∠ABC＝36°. ∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝108°. ∵AB＝BD，∠ABC＝36°，
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∵AB＝AC＝BD＝2， ∴C2D＝2＋2CD. 解得 CD＝ 5－1(负值舍去)．
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(2)利用此图求 sin18°的值． (2)如图，延长 CB 到 E，使 BE＝AB＝2，连接 AE，则∠E＝∠BAE＝18°.
构造直角三角形
构造直角三角形
学习了“解直角三角形”这一章以后，我们可以知道：在条件适当的前提下，所有的直角三角形都是可解的．
但是前面学过得更多的三角形是非直角三角形，所以如何利用解直角三角形的相关理论来解决非直角三角形的问题，就成为值得研究的一个课题了．
非直角三角形向直角三角形转化的途径和方法是十分重要的，可以参考下面所列出的一些方法进行研究．
作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形；
作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形；
连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形．。
三法宝助你构造直角三角形
三法宝助你构造直角三角形直角三角形具有很多重要的应用，如方程和勾股定理相结合求线段长度，由特殊角的三角函数得到各边之间的关系等．在圆中垂径定理、直径所对的圆周角是直角等相关性质均可得到直角三角形，但有时题目所给出的图形中并没有直角三角形，我们该怎么办呢？本文将向你展示三件法宝，帮你构造直角三角形，以达到解题的最终目的．法宝一：连半径例1（2010年山东潍坊）如图1-1，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于D 点，且AB ＝6cm ，OD ＝4cm ，则DC 的长为（ ）．A ．5cmB ．2.5cmC ．2cmD ．1cm【分析】本题中已经具备了直角的条件，所以只需连接半径就可得到直角三角形，再根据垂径定理与勾股定理，即可求解．【解】由垂径定理可知AD ＝BD ＝3cm ，如图1-2，连接OA ，则在Rt △AOD 中，OD ＝4cm ，OA5==cm ，则OC ＝OA ＝5cm ，则DC ＝OC －OD ＝5cm －4cm ＝1cm ．故答案选D ．【点评】在圆的基本性质中，垂径定理+勾股定理的组合在江湖上人称“双剑合璧，天下无敌”，在求线段长度时能发挥强大的威力．法宝二．作垂直例2（2010年湖北武汉）如图2-1，⊙O 的直径AB 长为10，弦AC 长为6，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，则CD 的长为（ ）．A ．7 B． C． D ．9【分析】因为CD 是∠ACB 的角平分线，易知∠BCD=45°，而45°只有在直角三角形中才能其巨大的作用，所以本题可设法将45°置于直角三角形中．而作垂直是最常用的A CBD O 图1-1C 图1-2D B A 图2-1 D B A 图2-2方法．【解】如图，连接BD 作BE ⊥CD 于E ，∵AB 是直径∴∠ACB=900，∵AC=6 AB=10，根据勾股定理，BC=8，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD=450，∵BE ⊥CD ，∴CE=BE ；∵BC=8根据勾股定理，∴CE=BE=24；∵AD=BD ，AB 是直径，∴BD=25．在RT △BDE 中BD=25，BE=24∴DE=23，∴CD=CE+DE=27．【答案】B【点评】此题的解题重点为正确的做出辅助线，并灵活地应用圆中的相关知识点现结合以前的知识进行求解．将线段CD 分割为两条线段，也体现转化的数学思想．法宝三．作直径，构造直径所对的圆周角例3（2010黑龙江哈尔滨）如图3-1，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长是（ ）．A ．22B ．32C ．5D ．23【分析】由题意易知∠OAB=30°，而30°要想发挥作用，必须置于直角三角形中，所以要设法将30°置于直角三角形中．而直径所对的圆周角是直角，因此可以作出直径，构造其圆周角即可．【解】如图3-2，作直径AC ，连接BC ，∵∠AOB=120°，OA=OB ，∴∠OAB=30°，∵AC 是直径，∴AC=4，∠ABC=90°，cos30°=234==AB AC AB ,解得：AB=32． 【答案】B【点评】涉及到圆中的边角计算，常转化为解直角三角形，因此在解题时常常先构造直角三角形．而构造直角三角形的一种常用方法就是利用直径的性质去构造．同学们再动脑思考一下本题用法宝二能解决吗？【附法宝二解题思路】过O 作O D ⊥AB ，垂足为D ，在Rt △AOD 中，∠A ＝30°, OA ＝2,OD=1,于是AD=3,AB=32．图3-1 C B A O 图3-2。
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方法
2
有直角、无三角形的图形延长某些边
2 ．如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ 2 ， CD ＝ 1 ，∠ A ＝ 60°，∠D＝∠B＝90°，求四边形ABCD的面积． 解：如图，延长BC，AD交于点E. ∵∠A＝60°，∠B＝90°， ∴∠E＝30°.
AB 2 在Rt△ABE中，BE＝ ＝2 3 ， tan E tan 30
∴CD＝DE，AC＝BE.
BE 1 ， 在Rt△CBE中，sin ∠BCE＝ BC 3 ∴BC＝3BE.∴CE＝ BC 2 BE 2 ＝2 2 BE. 1 ∴CD＝ CE＝ 2 BE＝ 2 AC. 2 CD 2 AC ∴tan A＝ 2 . AC AC
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方法
4
求非直角三角形中角的三角函数值时 构造直角三角形
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°， ∴∠CAD＝90°－∠C＝45°. ∴∠C＝∠CAD.∴CD＝AD＝ 3 x. ∵BC＝1＋ 3 ，∴ 3 x＋x＝1＋ 3 ， 解得x＝1，即BD＝1.
BD 在Rt△ABD中，∵cos B＝ ， AB BD 1 ∴AB＝ ＝2. cos B cos 60
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝ 1 ∠BAC，求tan ∠BPC的值． 2 解：如图，过点A作AE⊥BC于点E.
∵AB＝AC＝5， 1 1 ∴BE＝ BC＝ ×8＝4， 2 2
3 ．如图，在△ABC 中，点 D 为 AB 的中点， DC ⊥ AC ， 1 sin ∠BCD＝ ，求tan A的值． 3 解：如图，过点B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E. ∵点D是AB的中点， ∴AD＝BD.
又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，
∴△ACD≌△BED(AAS)．
2018-2019 2018-2019学年下册 学年下册
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1
2
3
4
方法
1
无直角、无等角的三角形作高
1．如图，在△ABC中，已知 BC＝1＋ 3 ，∠B＝60°， ∠C＝45°，求AB的长．
解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.
设 BD ＝ x ， 在 Rt△ABD 中 ， AD ＝ BD· tan B＝x· tan 60°＝ 3 x.
在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2，
3 3 . ∴DE＝EC· cos 30°＝2× 2 1 1 ∴S四边形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD＝ AB· BE－ CD· ED＝ 2 2 1 1 3 3 × 2× 2 3 － × 1× 3 . 返回 2 2用时作垂线