图论与代数结构
代数结构-图论
记作Nn，特别地，称N1为平凡图（Trivial graph）。 在图的定义中规定结点集V为非空集，但在图的运算
中可能产生结点集为空集的运算结果，为此规定结
点集为空集的图为空图（Empty Graph），并将空图
记为。阶为有限的图称为有限图(Finite Graph)，
否则称为无限图(Infinite Graph)。结点没有标号
的图称为非标号图（Unlabeled Graph），否则为标
号图（Labeled heory
10.2 图与图模型
如果图中存在某两条边的端点都相同，则称该
图为多重图(Multigraph)，该两条边称为平行边。
如果一条边关联的两个结点是相同的结点，则称该边 为圈或自环(Loop)。
请你思考？
如何找到物流运输的最优路径？ 如何找到最优的网络通信线路？ 如果你想周游全国所有城市，如何设计旅游线路？ 化学化合物分析：结构是否相同？ 程序结构度量：程序是否结构相似？ 如何为考试分配教室，使得资源利用率最优？ 如何安排工作流程而达到最高效率？ 如何设计为众多的电视台频道分配最优方案？ 如何设计通信编码以提高信息传输效率？ 操作系统中,如何调度进程而使得系统效率最优？
图的类型：
（1）有向图/无向图；简单图/多重图/伪图；零图，平凡图，空图； 有限图/无限图；带权图、标记图；
（2）特殊图：环图(Cn)、轮图(Wn)、立方图(Qn)、网格、正则图 (r-图)；偶图(G(V1,V2), 二分图/二部图, Bipartite graph) 、 完全偶图(Km,n)；
（3）特殊图：子图、完全图、补图 （4）特殊图：Euler图、Hamilton图、树图、平面图
主要内容
8
中国地质大学计算机学院
清华大学计算机系本科生全部课程详细介绍
Introduct theme, equal emphasis on theory and practice. It also introduces the basic methods an
ion learning, simulated annealing, genetic algorithm and artificial neural network.
讲
姓名
职称
课
教
主要教学和科研领域
师
白晓颖
讲师 软件工程，软件测试
课号：00240042 学分: 2 课程名称 中文
课程属性： 全校任选 开课学期: 人工智能导论
书名
春季
作者
英文
Artificial Intelligence：
Stuart Russell and
A Modern Approach
Peter Norvig
程 法，主要的知识表示和推理方法，以及几个应用领域中所涉及的人工智能问题和求解方法。课程以智能体
简 设计为主线，将人工智能中相互分离的领域与内容统一起来，注重理论与实际应用相结合。同时还简单介
介 、人工神经网络等算法思想及相关成果与进展。
This course is an introduction course to offer the basic principles and methods of art
evolution. The purpose is to improve the students’ engineering capabilities and development Based on the major activities in software lifecycle, the course introduces the basic theory
数理逻辑的推理及形式证明
第一讲引言一、课程内容·数理逻辑：是计算机科学的基础，应熟练掌握将现实生活中的条件化成逻辑公式，并能做适当的推理，这对程序设计等课程是极有用处的。
·集合论：数学的基础，对于学习程序设计、数据结构、编译原理等几乎所有计算机专业课程和数学课程都很有用处。
熟练掌握有关集合、函数、关系等基本概念。
·代数结构：对于抽象数据类型、形式语义的研究很有用处.培养数学思维,将以前学过的知识系统化、形式化和抽象化。
熟练掌握有关代数系统的基本概念，以及群、环、域等代数结构的基本知识。
·图论:对于解决许多实际问题很有用处，对于学习数据结构、编译原理课程也很有帮助。
要求掌握有关图、树的基本概念，以及如何将图论用于实际问题的解决，并培养其使用数学工具建立模型的思维方式。
·讲课时间为两个学期，第一学期讲授数理逻辑与集合论，第二学期讲授代数结构和图论。
考试内容限于书中的内容和难度，但讲课内容不限于书中的内容和难度。
二、数理逻辑发展史1。
目的·了解有关的背景，加深对计算机学科的全面了解,特别是理论方面的了解，而不限于将计算机看成是一门技术或工程性的学科.·通过重要的历史事件，了解计算机科学中的一些基本思维方式和一些基本问题。
2. 数理逻辑的发展前期·前史时期—-古典形式逻辑时期：亚里斯多德的直言三段论理论·初创时期——逻辑代数时期（17世纪末）·资本主义生产力大发展，自然科学取得了长足的进步,数学在认识自然、发展技术方面起到了相当重要的作用。
·人们希望使用数学的方法来研究思维，把思维过程转换为数学的计算。
·莱布尼兹(Leibniz, 1646～1716）完善三段论，提出了建立数理逻辑或者说理性演算的思想: ·提出将推理的正确性化归于计算,这种演算能使人们的推理不依赖于对推理过程中的命题的含义内容的思考，将推理的规则变为演算的规则。
自学考试：离散数学复习(一)
自学考试：离散数学复习(一)自学考试是一种能够让没有条件参加全日制学习的人继续学习的方式。
与传统的大学学习相比，它更为灵活和自由。
在自学考试中，离散数学是一门必修的科目，也是考试难点之一。
本文将从离散数学的定义、内容、复习方法以及注意事项等方面进行讲解。
一、离散数学的定义离散数学是研究数量的离散性质的数学分支学科，主要研究对象是离散的集合、函数、算法、逻辑、图论等。
它的研究对象并不是连续的，而是由一些个别的、离散的数量组成的。
二、离散数学的内容离散数学主要包括以下几个方面：1. 逻辑与集合论：又称数理逻辑，是离散数学的重要组成部分。
它主要涉及命题逻辑、谓词逻辑、逻辑推理等内容。
2. 离散数学的代数结构：主要包括半群、群、环、域等内容。
3. 布尔代数与逻辑设计：主要涉及布尔运算、代数基本定理、逻辑电路设计等方面。
4. 图论：涉及图的定义、图的类型、基本概念和定理、图的遍历等方面。
5. 计算机科学中的重要应用：涉及图论和逻辑设计等方面。
三、离散数学的复习方法1. 系统地复习课本，强调对每个概念和定理的理解和记忆。
2. 刻意练习，做大量的练习题，以此巩固知识点。
3. 找到与离散数学相关的书籍，进行阅读和学习，补充知识点。
4. 制定学习计划并严格执行，不断检查自己的学习进度。
四、注意事项1. 离散数学比较抽象，需要认真思考并理解其概念和定理。
2. 多做题，不要死记硬背，应该结合题目进行思考，理解知识点。
3. 有时间限制的考试需要注重时间管理，做题的时候应该合理分配时间。
4. 总结每次考试的弱点，找到自己的不足之处，并及时进行复习和巩固。
总之，离散数学是一门重要的学科，它具有广泛的应用领域，并且在计算机科学领域中具有重要地位。
对于自学考试的学生而言，掌握好离散数学的知识点是非常重要的。
希望本文对自学考试的离散数学复习有所帮助。
图论与代数结构 1.1 基本概念
V={a, b, c, d} E={e1,e2,e3,e4,e5,e6} |V|称为结点数，记为n 该值有限，有限图 |E|称为边数，记为m.该值有限。
有向图 无向图
如果每条边都有方向的，则为有向图。 如果每条边都没有方向，则为无向图。 某些边有方向，某些边没有方向，混合图
邻接 e1 A
e4
B
图论与代数结构
清华大学 戴一奇 胡冠章等
图的概念-直观定义
• 由结点和连结两个结点的连线所组成的对象 称为“图”。 • 至于结点的位置及连线的长度无紧要
A
e4 B
e1 e3 e2
D
e5
C
形式定义：三元组(V(G),E(G),M(E,V))称为图。 其中V(G)为点的集合(非空集)，E(G)是边集， M(E,V)=边与点连接关系。 常简化为二元组 (V(G),E(G))称为图。简记为 G=(V,E)。
边数=
n(n-1)/2
非空简单图一定存在度相同的结点
证明:图G的结点数记为n。 由于它是简单图,无重复边与自环, 每点的度 数取值范围是0～n-1. 当没有度数为0的结点时,每点度数的取值范 围是1～n-1，根据鸽巢原则，这n个点中至少有 2个点的度数相同。 当有度数为0的结点时,剔除所有度数为0的结 点,对剩下来的结点所组成的图使用前面的证明.
U3
1、可构作双射g: V(c)→V(d)，其中g(a)=u3， g(b)=u1，g(c)=u4，g(d)=u2。 2、<a,b>→<u3,u1>，<b,d>→<u1,u2>， <a,c>→<u3,u4>，<c,d>→<u4,u2>
e5 e2
离散数学 第三-四章
Ai
(f) A (A∪B ), B (A∪B )
集合与关系 >集合的运算
交与 并的关系 定理3-2.1 设A、B、C为三个集合,则下列分配律 成立。 a) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) b) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 定理3-2.2 设A、B为任意两个集合,则下列吸收律 成立 a) A∪(A∩B)=A b) A∩(A∪B)=A 定理3-2.3 A B 当且仅当 A∪B=B 或 A∩B=A。
集合与关系 > 集合的运算
本节重点掌握的概念: 集合, 集合相等,集合包含, 幂集。
本节重点掌握的方法: 集合的表示, 求幂集.
作业
3-1 （1）（a）,（c） ,（e）
（3） （4） （a）,（c） ,（e） (5) (6) （a）,（c） ,（e） (9)
集合与关系 >集合的概念和表示法
上节知识点: 1. 集合的概念 2. 集合的表示 3 集合之间的关系 4 空集和全集 5 幂集(power set)
A-B
E B
A
集合与关系 >集合的运算
• 绝对补 定义3-2.4 设E为全集,任一集合A关于E的补 E-A, 称为集合A的绝对补,记作~A。
即 ~ A={ x| xE ∧ xA}
集合与关系 >集合的运算
(3) 集合的补(complement) 定义3-2.3 设A、B为任意两个集合,所有属于A而 不属于B的一切元素组成的集合S称为B对于A的 补集,或相对补,记作A-B。 即 A-B={ x| xA ∧ xB} 或 xA-B xA但 xB
例如 A={2, 5, 6} B={1, 2, 4, 7, 9} A-B={5, 6} B-A={1,4,7,9} E - A?
图论和代数结构
欧拉道路与回路
欧拉道路与回路
定义2.3.1
无向连通图 GV,E中的一条经过所有边的简单
回路(道路)称为G的欧拉回路(道路)。 定理2.3.1
无向连通图G存在欧拉回路的充要条件是 G中各结 点的度都是偶数。
欧拉道路与回路
定理2.3.1的证明： 1. 必要性：若G中有欧拉回路 C，则C过每条边一
次且仅一次。对任一结点 v来说，如果 C经过 e i 进 入v，则一定通过另一条边 e i从 v离开。因此结点 v的度是偶数。
2. 充分性：由于G是有穷图，因此可以断定，从G 的任一结点 v 0 出发一定存在G的一条简单回路 C。 这是因为各结点的度都是偶数，所以这条简单道 路不可能停留在 v 0 以外的某个点，而不能再向前 延伸以致构成回路 C。
欧拉道路与回路
推论2.3.1 若无向连通图 G 中' 只有2个度为奇的结点。则 G 存' 在欧拉道路。
证明：设 v i 和 v j 是两个度为奇数的结点。作 G' G(vi,vj)，则 G '中各点的度都是偶数。由定 理2.3.1，G ' 有欧拉回路，它含边 (vi , v j ) ，删去该 边，得到一条从 v i 到 v j 的简单道路，它恰好经过 了 G的所有边，亦即是一条欧拉道路。
哈密顿回路是初级回路，是特殊的简单回路，因此它与欧拉 回路不同。当然在特殊情况下，G的哈密顿回路恰好也是其欧 拉回路。鉴于H回路是初级回路，所以如果G中含有重边或自 环，删去它们后得到的简单图G’，那么G和G’关于H回路（道 路）的存在性是等价的。因此，判定H回路存在性问题一般是 针对简单图的。
大学_《离散数学》课后习题答案
《离散数学》课后习题答案《离散数学》简介1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理离散数学被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。
教学方式以课堂讲授为主，课后有书面作业、通过学校网络教学平台发布课件并进行师生交流。
《离散数学》学科内容随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。
离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。
由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型;又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。
离散数学是传统的逻辑学，集合论(包括函数)，数论基础，算法设计，组合分析，离散概率，关系理论，图论与树，抽象代数(包括代数系统，群、环、域等)，布尔代数，计算模型(语言与自动机)等汇集起来的一门综合学科。
离散数学的应用遍及现代科学技术的诸多领域。
离散数学也可以说是计算机科学的基础核心学科，在离散数学中的有一个著名的典型例子-四色定理又称四色猜想，这是世界近代三大数学难题之一，它是在1852年，由英国的一名绘图员弗南西斯格思里提出的，他在进行地图着色时，发现了一个现象，“每幅地图都可以仅用四种颜色着色，并且共同边界的国家都可以被着上不同的颜色”。
代数的主要内容
代数的主要内容代数是现代数学的基础，其涉及的概念和理论广泛而深刻。
以下是对代数主要内容的概述，包括基础概念、线性代数、群与环域、集合与关系、泛代数、抽象代数、数论基础、算术代数、线性方程组与矩阵、多项式与分式、对数与指数、数理逻辑、组合数学、概率论基础以及统计基础等方面。
1.基础概念代数的基础概念包括数、向量、矩阵等。
数是指实数、复数等基本数值，向量是具有方向和大小的量，矩阵则是二维数组，它们在代数中扮演着重要的角色。
2.线性代数线性代数是代数的重要组成部分，主要研究线性变换、向量空间、特征向量、矩阵等。
线性变换是一个从向量空间到自身映射的运算，矩阵则可以描述线性变换的性质和结构。
3.群、环、域群是一个由集合和在其上定义的二元运算组成的代数结构，其研究的主要对象是抽象代数。
环是一个封闭的代数结构，其中包含加法、乘法等运算。
域是一个只有加法和乘法两种运算的代数结构。
群、环和域是代数学中重要的概念。
4.集合与关系集合论是研究集合及其性质的基础数学理论。
集合之间的关系包括包含关系、相等关系和拓扑关系等。
这些关系在代数学中也占有重要地位。
5.泛代数泛代数是代数学中的一个重要方向，主要研究代数结构、半群、凸集等。
代数结构是指由一个集合和一个在该集合上定义的二元运算组成的代数系统。
半群是一个只有二元运算的代数结构，其研究的主要对象是泛代数。
凸集是一个在实数空间中有特殊性质的集合，其在凸优化等领域有着广泛的应用。
6.抽象代数抽象代数是代数学发展的高级阶段，主要研究范畴、张量、同调理论等。
范畴是一个由对象和态射组成的代数结构，其用于描述数学对象之间的关系。
张量是一个多维数组，可以描述不同类型数学对象之间的关系。
同调理论是一种用于研究拓扑空间和代数对象之间关系的理论。
7.数论基础数论是代数的重要分支，主要研究整数、有理数、实数和复数等。
整数是指正整数、负整数和零，有理数是指两个整数之比，实数是指完备度量空间中的数，复数是指形如a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位。
ap课程数学内容
ap课程数学内容AP课程数学内容AP（Advanced Placement）课程是美国高中的一种高级课程，旨在为学生提供大学水平的学习经历。
其中，AP数学课程是一门重要的学科，涵盖了多个主题和概念，旨在培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
一、微积分微积分是AP数学课程中的重要内容之一。
它包括了函数、极限、导数和积分等概念。
学生需要掌握函数的图像、性质和变化规律，理解极限的概念和计算方法，掌握导数的定义和应用，以及积分的概念和计算方法。
通过学习微积分，学生可以深入理解数学的基本概念和方法，培养分析问题和解决问题的能力。
二、线性代数线性代数也是AP数学课程的重要内容之一。
它涉及向量、矩阵和线性变换等概念。
学生需要掌握向量的性质和运算法则，了解矩阵的基本运算和性质，理解线性变换的定义和特性。
线性代数的学习可以帮助学生理解多维空间中的几何关系和变换规律，为后续的高级数学学习打下坚实基础。
三、概率与统计概率与统计是AP数学课程中的另一个重要内容。
它包括了概率的基本概念和计算方法，以及统计的数据分析和推断方法。
学生需要掌握概率的概念与性质，了解概率模型和概率分布，掌握统计的数据收集和整理方法，以及统计推断的基本原理和方法。
通过学习概率与统计，学生可以理解和应用概率和统计在实际问题中的作用，培养数据分析和决策能力。
四、微分方程微分方程是AP数学课程中的一门高级数学课程。
它涉及了微分方程的基本概念和解法，以及常微分方程的应用。
学生需要掌握微分方程的基本类型和分类，了解微分方程的解法和特性，应用微分方程解决实际问题。
微分方程的学习可以帮助学生理解和描述自然现象的变化规律，培养模型建立和解决实际问题的能力。
五、离散数学离散数学是AP数学课程中的一门重要课程。
它涉及了数学逻辑、集合论、图论和代数结构等概念。
学生需要掌握逻辑推理和证明方法，了解集合的基本性质和运算法则，理解图的基本概念和算法，掌握代数结构的基本概念和性质。
离散数学 第五-六章
例 题4
设集合A={ ,}, A上定义的二元运算如表所示. 对*可分配吗? * 对 ?
代数结构 >运算性质
定义5-2.6 设,△是定义在集合A上的两个二元运 算,如果对 x y∈A,都有 x (x△y) = x x△(x y) =x 则称运算和运算△满足吸收律。
代数系统 >代数系统的引入
二元运算的例子 • N上 +, 是N上二元运算,而-, 不是. • 整数集I上 +,-, 是I上的二元运算, 而 不是. • R-{0}上的 , 是R-{0}上的二元运算,而+,-不是. • 矩阵的 +, 是N阶实矩阵集合上的二元运算,但不是 全体实矩阵集合上的二元运算. • ,,, 是真值集合{0,1}上 的二元运算. • ,, 是幂集P(A)上的二元运算. 一元运算的例子 • R上的 求绝对值|X|运算. • 整数 I上求负运算是一元运算,但不是N上的一元运算.
n 例如 实数集上的+, ; 集合上的运算, ;,命题 集合P上的,都是可结合的.
例题3
A为非空集合,*定义为:对任意的a,bA,有 a*b=b. 证*可结合的.
代数结构 >运算性质
定义5-2.4 设是定义在集合A上的一个二元运算, x∈A,若xx=x,称x是等幂元; 若对x∈A,都有
2 独异点(monoid)
定义5-3.3 含有幺元的半群称为独异点。 独异点的判定: 对给定集合S 及运算*, 1)是封闭的, 即对x,y∈S, 有 xy∈S (是代数系统) 2)是可结合的,即对x,y,z∈S, 有(x y) z= x (y z) 3) 有幺元,即e∈S, 对x∈S,有ex=xe=x. 例如 <R, +>是独异点,幺元为0, <I+,+ >不是. <R, * >, <I, * >都是独异点,幺元为1 <{0,1}, > , <{0,1}, >都是独异点,幺元分别为0和1. < P(S), >和 < P(S), >是独异点?
图论与代数结构
图论与代数结构
图论
图论是一种抽象的数学结构，用来描述复杂的关系。
它用一组节点和边的集合来表示，节点表示实体，边表示实体之间的关系。
图论是用来描述网络结构的理论，它可以用来解决许多实际问题，如路径规划、社交网络分析等。
代数结构
代数结构是一种抽象的数学结构，它用来描述一组元素之间的结构关系。
它是由一组元素和一些运算组成的，这些运算可以用来操作元素，从而得到新的元素。
代数结构可以用来描述群、环、域等数学概念，并可以用来解决许多实际问题，如密码学、编码理论等。
管理类联考综合—数学知识点汇总完整版
管理类联考综合—数学知识点汇总完整版一、线性代数1. 向量：向量的定义、加法、数乘、线性组合、线性无关、基、坐标表示、向量的模、单位向量、内积、投影、正交、叉积。
2. 矩阵：矩阵的定义、加法、数乘、矩阵乘法、矩阵的转置、矩阵的逆、行列式、矩阵的秩、高斯消元法、矩阵的特征值、特征向量、对角化、对称矩阵、正定矩阵、奇异值分解。
3. 线性方程组：线性方程组的定义、齐次线性方程组、非齐次线性方程组、齐次线性方程组的解集、非齐次线性方程组的通解、矩阵形式的线性方程组、线性方程组的解法、克拉默法则、伴随矩阵法、矩阵求逆法。
4. 向量空间：向量空间的定义、子空间、线性组合、基、维数、线性变换、基变换、矩阵表示、矩阵合同、正交变换。
二、概率统计1. 随机事件和概率：随机事件的基本概念、概率的公理、概率的计算、事件之间的运算、离散型随机变量、连续型随机变量、贝叶斯公式。
2. 随机变量和分布：随机变量的定义、随机变量的分布函数、离散型随机变量的概率质量函数、连续型随机变量的概率密度函数、常见离散分布、常见连续分布、分布的函数变换、中心极限定理。
3. 多维随机变量：二维随机变量、边缘分布、条件分布、独立性、协方差、相关系数、多维随机变量的分布、常见分布。
4. 统计推断：参数估计、点估计、区间估计、假设检验、显著性水平、拒绝域、p值、单样本检验、双样本检验、方差分析、卡方检验。
三、微积分1. 函数与极限：函数的概念、函数的运算、初等函数、极限的概念、极限的性质、极限的计算、无穷小量、无穷大量、单侧极限、函数的连续性、间断点的分类。
2. 导数与微分：导数的定义、导数的性质、可导与连续的关系、中值定理、极值和最值、导数的应用、微分的概念、微分近似与误差、高阶导数。
3. 积分：不定积分、基本积分公式、分部积分、换元积分法、定积分、黎曼积分、微积分基本公式、积分的计算、变限积分、积分的应用。
4. 微分方程：微分方程的定义、一阶微分方程、二阶线性齐次微分方程、变量分离、常系数非齐次线性微分方程、欧拉方程、高阶常系数线性微分方程、微分方程的解法。
上海交大考博参考书目
上海交大考博参考书目上海交大部分考试科目参考书目010船舶海洋与建筑工程学院2201流体力学《水动力学基础》，刘岳元等，上海交大出版社 2202声学理论《声学基础理论》，何祚庸，国防工业出版社2203高等工程力学（理力、材力、流力、数学物理方法）（四部分任选二部分做）《理论力学》，刘延柱等，高等教育出版社；《材料力学》，单祖辉，北京航空航天大学出版社；《流体力学》，吴望一，北京大学出版社；《数学物理方法》，梁昆淼，高等教育出版社 2204结构力学《结构力学教程》，龙驭球，高等教育出版社3301船舶原理《船舶静力学》，盛振邦，上海交大出版社；《船舶推进》，王国强等，上海交大出版社；《船舶耐波性》，陶尧森，上海交大出版社；《船舶阻力》，邵世明，上海交大出版社3302振动理论（I）《机械振动与噪声学》，赵玫等，科技出版社20213303海洋、河口、海岸动力学《河口海岸动力学》，赵公声等，人民交通出版社2000 3304高等流体力学《流体力学》，吴望一，北京大学出版社3305弹性力学《弹性力学》上、下册（第二版），徐芝纶，高等教育出版社 3306振动理论（Ⅱ）《振动理论》，刘延柱等，高等教育出版社20023307钢筋混凝土结构《高等钢筋混凝土结构学》，赵国藩编，中国电力出版社 3308地基基础《土工原理与计算》（第二版），钱家欢、殷宗泽，水利电力出版社020机械与动力工程学院2205计算方法《计算方法》，李信真，西北工业大学出版社 2206核反应堆工程《核反应堆工程设计》，邬国伟3309工程热力学《工程热力学》（第三版），沈维道；《工程热力学学习辅导及习题解答》，童钧耕3310传热学《传热学》（第三版），杨世铭3311机械控制工程《现代控制理论》，刘豹；《现代控制理论》，于长官 3312机械振动《机械振动》，季文美3313生产计划与控制《生产计划与控制》，潘尔顺，上海交通大学出版社3314机械制造技术基础《机械制造技术基础》，翁世修等，上海交通大学出版社1999；《现代制造技术导论》，蔡建国等，上海交通大学出版社2000 3315现代机械设计《高等机械原理》，高等教育出版社1990030电子信息与电气工程学院2207信号与系统《信号与系统》，胡光锐，上海交大出版社2208电子科学与技术概论《电子科学与技术导论》，李哲英，20212209信息处理与控制系统设计《线性系统理论》，郑大钟，清华大学出版社2002；或《数字图像－59－处理》(第二版)《Digital Image Processing》Second Edition (英文版)，R. C. Gonzalez, R. E. Woods，电子工业出版社2002（从“线性系统理论”或“图像处理”中选考其一） 2210计算机科学与技术方法论《数理逻辑与集合论》，石纯一，清华大学出版社2000；《图论与代数结构》，戴一奇，清华大学出版社1995；《组合数学》，Richard A. Brualdi著，卢开澄等译，机械工业出版社20012211数字信号处理（I）《数字信号处理（上）》，邹理和；《数字信号处理（下）》，吴兆熊，国防工业出版社2212电力系统分析与电力电子技术《电力电子技术基础》，金如麟，机械工业出版社，或《电力系统分析（上册）》，诸骏伟，中国电力出版社1995；《电力系统分析（下册）》，夏道止，中国电力出版社19953316网络与通信《数字通信》（第四版），Proakis，电子出版社（必考，占30％）：另按照专业加考70％：无线通信方向、信息安全方向，《数字通信》（第四版），Proakis，电子出版社；或光通信方向，《光纤通信系统》（第3版）, GovindP.Agrawal，国外大学优秀教材-通信系列（影印版）；或数据通信网络方向，《Computer Networks》（Fourth Edition），Pearson Education Andrew S.Tanenbaum，Vrije Universiteit，Amsterdam，The Netherlands，翻译版：潘爱民译，书号7302089779，清华大学出版社20213317信号与信息处理信号处理方向：《Discrete-Time Signal Processing》(Second Edition)， Alan V. Oppenheim, Prentice-Hall，1998；《现代信号处理》（第二版），张贤达，清华大学出版社2002；或图像处理方向：《数字图像处理》，余松煜等，上海交通大学出版社20213318微波与光波技术光波方向：《光电子学导论》（第1版），A.雅里夫，1983；或微波方向：《电磁场理论与微波技术基础》（下册），周希朗，东南大学出版社；《工程电动力学》，王一平，西电出版社3319电路与系统《大规模集成电路设计》，陈贵灿，高等教育出版社3320最优控制《最优控制的理论与方法》（第二版），吴沧浦，国防工业出版社2000 3321模式识别《模式识别》（第二版），边肇祺等，清华大学出版社20003322微机控制与接口技术《微型计算机控制技术》（第三版），谢剑英，国防工业出版社2001 3354运筹学《运筹学》（修订版），运筹学编写组，清华大学出版社20213323计算机软件《程序语言语言编译原理(第3版)》，陈火旺等，国防工业出版社2000；《Distributed Systems: Principles and Paradigm》，Tanenbaum and Steen，Prentice Hall 2021(清华大学出版社影印出版）3324数据库系统原理《数据库系统概念》（第四版，中译本），Silberschatz等著，杨冬青等译，机械工业出版社3325机器学习《机器学习》，曾华军、张银奎译，机械工业出版社20213326计算机网络与系统结构《Computer Network》（第四版），A. S. Taneubaum,清华大学出版社；《Computer Architecture: A Quantitative Approach》（3rd edition）， Patterson,D.and Hennessy,J.，San Mateo, California: Morgan Kaufman Publishers2002，机械工业出版社影印出版3327现代控制理论《现代控制理论》，刘豹，机械工业出版社 3328现代传感器技术《传感器技术》，贾伯平，东南大学出版社3329电力传动控制系统《电力拖动自动控制系统》，陈伯时，机械工业出版社－60－3330电力网络规划与电压稳定《电力网络规划的方法与应用》，程浩忠、张焰，上海科学技术出版社；或《电力系统无功与电压稳定性》，程浩忠、吴浩，中国电力出版社3331电气绝缘在线监测技术《电力设备在线监测与故障诊断》，肖登明，上海交通大学出版社20213332电机理论《交流电机数学模型及调速系统》，陈坚，国防工业出版社；《交流电机及其系统的分析》（第二版），高景德等，清华大学出版社2021036信息安全学院2213信息安全数学基础《信息安全数学基础》，陈恭亮，清华大学出版社20213333密码学基础《密码学理论与实践》（第二版），D.R. Stinson，电子工业出版社2021；《应用密码学》（第二版），Bruce Schneier，机械工业出版社2000050材料科学与工程学院2214材料科学基础及加工原理《材料科学基础》，胡赓祥等，上海交大出版社2021；《材料科学基础辅导与习题》，蔡��、戎咏华，上海交大出版社2021；或《材料加工原理》，徐洲等，科学出版社2021；或《材料加工原理》，李言祥等，清华大学出版社2021（材料科学基础、材料加工原理各100分考题，考生任选其一）3334材料热力学与动力学《材料热力学》（第三版），徐祖耀、李麟，科学出版社2021；或《材料热力学与动力学》，徐瑞、荆天辅，哈尔滨工业大学出版社20213335材料微结构分析《分析电子显微学导论》第一、三章，第五章中5.1和5.2节，戎咏华，高等教育出版社2021；或《金属X射线学》，范雄，机械工业出版社19963336凝固或焊接《凝固过程》（中译本），M. C. Flemings，冶金工业出版社1981；或《焊接过程现代控制技术》，陈善本等，哈尔滨工业大学出版社2001071数学系2215泛函分析《实变函数论与泛函分析》(第二版)，夏道行等，高等教育出版社3337近世代数《代数学基础》(群.环.域.模等部分)，孟道骥，南开大学出版社3338微分几何《微分流形初步》(第二版)，陈维桓，高等教育出版社；《微分几何讲义》(第二版)，陈省身、陈维桓，北京大学出版社072物理系2216量子力学《量子力学》卷I、卷II (第三版)，曾谨言2217物理光学《物理光学》，梁铨廷，机械工业出版社；或《物理光学与应用光学》，石顺祥等，西安电子科学技术大学出版社2000；或《物理光学》，范少卿等，1990；或《应用物理光学》，严瑛白，清华大学出版社19903339高等光学《光学原理》，M. Born，世界图书出版公司3340固体物理学《固体物理学》（上、下册），方俊鑫、陆栋，上海科学技术出版社3341电动力学《电动力学》（第二版），郭硕鸿等，高等教育出版社－61－3342半导体物理《半导体物理》，刘恩科等，国防工业出版社；或《半导体物理学》，刘恩科等，电子工业出版社3343工程光学《工程光学》，郁道银、谈恒英，机械工业出版社080生命科学技术学院2218生物化学（I）《生物化学》，沈同，高等教育出版社2219病理学《病理学》（七年制规划教材，临床医学专业用），李甘地，人卫版2240微机原理与微机接口《微型计算机原理与接口技术》，吴秀清，中国科技大学出版社 3304高等流体力学《流体力学》，吴望一，北京大学出版社 3375细胞生物学《细胞生物学》，翟中和，高等教育出版社 3344分子生物学《现代遗传原理》，徐晋麟等，科学出版社 3345微生物学（I）《微生物学》，沈萍，高等教育出版社20003346生理学《生理学》（七年制规划教材，临床医学专业用），姚泰，人卫版 3347数字信号处理（Ⅱ）《数字信号处理》（上、下），吴兆雄，国防工业出版社090人文学院2220科学史导论《科学史》，W.C.丹皮尔，商务印书馆1979或广西师范大学出版社2001；《科学的历程》（第二版），吴国盛，北京大学出版社2002；《中国科学技术史稿》（上下册），杜石然等，科学出版社19823348科学哲学导论《科学究竟是什么》，A.F.查尔莫斯，商务印书馆1982或河北科学技术出版社2002；《科学哲学：当代进阶教程》，亚历克斯・罗森堡，上海科技教育出版社2021110化学化工学院2221聚合物材料结构与性能《高聚物的结构与性能》，马德柱等，科学出版社；《高分子物理》，何曼君，复旦大学出版社2222物理化学（含结构与波谱化学）《物理化学》（第四版），傅献彩等，高等教育出版社1990；《结构化学基础》（第三版），周公度，北京大学出版社2002；《有机化合物结构鉴定与有机波谱学》（第二版），宁永成，科学出版社20003349高分子合成化学《高分子化学》，潘祖仁，化学工业出版社；《高分子化学》，自然科学基金委，化学工业出版社3350高等无机化学《普通无机化学》，严宣生，王长富，北京大学出版社1999；《催化原理》，吴越，高等教育出版社20013351化学反应工程与催化《化学反应工程与催化》，李绍芬，化学工业出版社；《催化原理》，吴越，高等教育出版社20013352高等有机化学《高等有机化学》，F. A凯里、R. J 森德伯格，人民教育出版社3376仪器分析《仪器分析教程》，北京大学化学系仪器分析组，北京大学出版社；《仪器分析》（第三版），朱明华，高教出版社2000120安泰经济与管理学院－62－2223经济学《微观经济学》（第四版），平狄克，鲁宾费尔德，中国人民大学出版社2000；《微观经济学：现代观点》（第六版），H・范里安，上海三联书店；《宏观经济学》（第五版），曼昆，中国人民大学出版社；《宏观经济学》（第二版），奥利维尔・布兰查德，清华大学出版社2224管理学《管理学》（第七版），（美国）斯蒂芬・P・罗宾斯，中国人大出版社2021；《管理学》（第十版），Koontz，经济科学出版社19983353统计学《概率论与数理统计教程》，魏宗舒，高等教育出版社1983；《概率论与数理统计》（第三版），盛骤等，高等教育出版社20013354运筹学《运筹学》（修订版），运筹学编写组，清华大学出版社20213355计量经济学《Introductory Econometrics：A Modern Approach 》，Jeffrey M. Wooldridge，South-Western College Publishing，清华大学出版社(影印本)；《计量经济学导论：现代观点》，J.M.伍德里奇，中国人民大学出版社3356农业经济学《资源、农业与食品经济学》（第2版），韦斯利・D・塞茨等，田志宏等译，中国人民大学出版社3374战略管理《战略管理》，王方华、吕巍，机械工业出版社2021130国际与公共事务学院2225中国特色社会主义理论与实践《邓小平文选》（第二、三卷），人民出版社1993/1994；《“三个代表”重要思想概论》，中华人民共和国教育部，中国人民大学出版社20213357当代中国政治与政策《政府过程》，胡伟，浙江人民出版社1998/上海人民出版社2021；《理解公共政策》，托马斯?戴伊，华夏出版社2021140外国语学院1102日语（二外）《日语中级阅读》、《日语高级阅读》，日本语教育教师协会（Jaltta），上海外语教育出版社1103法语（二外）《法语》（1―4册），马晓宏，外语教学与研究出版社1104德语（二外）《基础德语》，王志强等；《中级德语》，樊迪生，同济大学出版社2226语言学Linguistics: An Introduction，Andrew Radford，外语教学与研究出版社； Course in General Linguistics，F.de Saussure ，外语教学与研究出版社；Linguistic Theory:The Discourse of Fundamental Works，Robert de Beaugrande，外语教学与研究出版社3358英语写作不指定参考书目150农业与生物学院2227分子生物学原理《现代分子生物学》（第二版），朱玉贤、李毅，高等教育出版社2002；《基因工程原理》（第二版），吴乃虎，科学出版社20012228植物生物化学与分子生物学《植物生物化学与分子生物学》，B.B.布坎南等主编；瞿礼嘉等主译，科学出版社20212210计算机科学与技术方法论《数理逻辑与集合论》，石纯一，清华大学出版社2000；《图论与－63－感谢您的阅读，祝您生活愉快。
离散数学体的名词解释
离散数学体的名词解释离散数学是一门研究离散对象及其结构、性质和关系的数学学科。
它主要研究不连续、分离的数学结构，与连续数学形成鲜明对比。
离散数学的研究对象包括了整数、图论、集合、排列组合等。
本文将以简明扼要的方式解释离散数学体的一些重要名词。
1. 集合论集合论是离散数学领域中的基础，它研究的是集合的性质、运算和关系。
集合定义了不同元素之间的联系，并通过交集、并集等操作实现数学思维的抽象化。
例如，一个由整数构成的集合可以表示为{1, 2, 3, ...}，其中的元素不重复且没有顺序。
2. 图论图论是研究图及其应用的数学分支。
图由节点和边构成，节点代表对象，边表示节点之间的连接。
图论研究的问题包括路径搜索、最短路径、网络流等。
例如，社交网络可以用图模型表示，节点代表人，边代表人与人之间的关系。
3. 关系代数关系代数是一种操作关系的数学工具，用于处理关系型数据库中的运算。
关系是一个二维表，由行和列组成，每行表示一条记录，每列代表不同的属性。
关系代数通过运算符，如选择、投影、连接等，对关系进行查询和操作。
例如，选择运算符可以从一个关系中选择满足特定条件的记录。
4. 排列组合排列组合是研究对象的排列和组合方式的数学分支。
它涉及到对元素进行选择和排列的问题。
排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列，组合则是指从一组元素中选取若干个元素无序地组合。
排列组合在密码学、概率统计等领域有广泛的应用。
5. 数论数论研究的是整数及其性质和关系。
它探索整数的性质，如质数、最大公约数、同余等。
数论在密码学、编码理论等领域具有重要地位。
例如，RSA加密算法就是基于数论中的大素数分解难题而设计的。
6. 布尔代数布尔代数是由英国数学家乔治·布尔提出的，它研究的是逻辑表达式和逻辑运算的代数结构。
布尔代数可以用来构建逻辑电路，进行逻辑推理等。
它使用与（AND）、或（OR）和非（NOT）等逻辑运算符，通过符号和公式来描述逻辑关系。
《图论与代数结构》(戴一奇,清华大学出版社)习题解答
习题一1. 一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。
若每点的度数为3，则总度数为27，与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数，仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
2. 若存在孤立点，则m 不超过K n-1的边数, 故 m <= (n-1)(n-2)/2, 与题设矛盾。
3.4. 用向量(a 1,a 2,a 3)表示三个量杯中水的量, 其中a i 为第i 杯中水的量, i = 1,2,3.以满足a 1+a 2+a 3 = 8 (a 1,a 2,a 3为非负整数)的所有向量作为各结点, 如果(a 1,a 2,a 3)中某杯的水倒满另一杯得到 ( a’1, a’2, a’3 ) , 则由结点到结点画一条有向边。
这样可得一个有向图。
本题即为在此图中找一条由( 8, 0, 0 )到( 4, 4, 0 )的一条有向ni i ni in i ni ni ni i ini ini iii a an n a a a n n n a n a v v 1111121212/)1()1(2)1(])1[(。
， 所以 因为 ，＋ 的负度数，则为结点的正度数，为结点记－－－－－22 222i i C a a路，以下即是这样的一条：5. 可以。
7. 同构。
同构的双射如下：v V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 V 6 f (v) bacedf( 8, 0, 0 )( 5, 3, 0 ) ( 5, 0, 3 ) ( 2, 3, 3 ) ( 2, 5, 1 ) (7, 0, 1 )( 7, 1, 0 )( 4, 4, 0 )( 4, 1, 3 )8. 记e 1= (v 1,v 2), e 2= ( v 1,v 4), e 3= (v 3,v 1), e 4= (v 2,v 5), e 5= (v 6,v 3), e 6= (v 6,v 4), e 7= (v 5,v 3), e 8= (v 3,v 4), e 9 = (v 6,v 1), 则邻接矩阵为：关联矩阵为：边列表为：A= (1,1,3,2,6,6,5,3,6), B= (2,4,1,5,3,4,3,4,1). 正向表为：A= (1,3,4,6,6,7,10), B= (2,4,5,1,4,3,3,4,1).习题二1. 用数学归纳法。
代数几何系列选课指南
代数几何系列选课指南概述：代数几何系列面向全校博士、硕士研究生共开设5门数学课，《矩阵理论》，《矩阵分析》，《应用近世代数》，《图与网络》和《拓扑学概论》。
在微积分诞生之前，代数和几何就代表了整个数学。
即便与分析数学有关的各分支几乎占了数学的半壁河山的今天，代数和几何自身的发展仍是十分强劲，从内容到方法，都有了彻底的变化，其深刻的思想影响着其它数学分支，促进了整个数学的发展；并且加快了向其它分支的渗透和组合，形成了许多新的交叉领域。
代数学是研究代数运算的数学分支。
最简单的代数运算是算术运算，对象是正整数和正有理数，这是小学生的学习内容。
延续到17-18世纪，代数学演变为在代数符号上进行运算，出现了代数方程，今天中学生的代数就是解简单代数方程。
18-19世纪时，多项式和代数方程成为代数学的主旋律。
由一个变量的高次代数方程的研究伴随着多个未知数的代数方程，特别是线性方程组的研究导致了矩阵和行列式概念的引入，发展至现代，线性代数和矩阵代数已经成为研究有限维线性系统的强有力的武器。
一般称初等代数，高等代数和线性代数〔还含矩阵代数〕为经典代数。
19世纪中叶后，代数学发生了一次重大转变，它最终从方程论转向研究代数运算。
代数学与代数运算的近代观点在D.Hilbert 等人的影响下，于20世纪初得到明确，1930年，Waerder的《近世代数》的问世确定了近代代数学的主要内容：集合(或代数结构)和作为代数运算的载体的集合上的代数运算。
现在得到充分研究并得到广泛应用的代数集合有群、环和域，以及格，模等。
在这以后，代数学除了自身的深入发展外，它对其它学科领域迅速渗透，以代数为特色的边缘性学科和应用学科不断出现，例如，数论上有代数数论，代数几何，代数函数论等，代数拓扑上有同调代数等以及张量代数，李代数等，尤其是群和线性空间的概念的普及和渗透之广泛性，更是极大地为抽象的数学走向实际应用铺平了道路。
代数学不管在过去还是现在，其作用极端重要，当代数学的进一步“代数化”是一种趋势。
离散数学在人工智能中有哪些应用
离散数学在人工智能中有哪些应用在当今科技飞速发展的时代，人工智能已经成为了最具影响力和创新性的领域之一。
而离散数学，作为数学的一个重要分支，在人工智能的发展中发挥着不可或缺的作用。
尽管人工智能的常用算法和训练模式备受关注，但离散数学以其独特的理论和方法，为人工智能提供了坚实的基础和强大的支持。
离散数学所涵盖的内容十分广泛，包括集合论、数理逻辑、图论、代数结构等。
这些知识领域在人工智能的多个方面都有着具体而深入的应用。
首先，集合论在人工智能中有着重要的应用。
集合可以用来表示和处理对象的集合，例如在图像识别中，图像中的各种元素可以被看作是不同的集合。
通过对这些集合的操作和分析，可以提取出有用的特征和信息。
而且，集合论中的并集、交集、补集等概念在数据的分类和整合中也非常有用。
例如，在对大量文本数据进行分类时，可以将不同类型的文本看作不同的集合，通过集合的运算来确定它们之间的关系，从而实现准确的分类。
数理逻辑在人工智能中的作用也不可小觑。
逻辑推理是人工智能中智能决策和问题求解的关键。
通过数理逻辑，可以将复杂的问题转化为逻辑表达式，然后利用逻辑推理的规则和方法来求解。
例如，在专家系统中，基于规则的推理就是建立在数理逻辑的基础上。
专家系统通过一系列的逻辑规则来模拟专家的知识和经验，从而能够对特定领域的问题进行诊断和决策。
而且，命题逻辑和谓词逻辑可以帮助我们清晰地表达和理解问题的条件和结论，为人工智能系统的设计和实现提供了严谨的逻辑框架。
图论在人工智能领域的应用更是广泛而深入。
图可以用来表示各种关系和结构，比如社交网络中的人际关系、知识图谱中的概念关系、神经网络中的神经元连接等。
在路径规划问题中，比如自动驾驶中的最优路线选择，就可以将道路网络表示为图，然后利用图论中的算法来寻找最短路径或最优路径。
此外，图的遍历算法在搜索引擎的网页排名、社交网络中的影响力分析等方面也发挥着重要作用。
通过分析图的结构和性质，可以挖掘出隐藏在数据中的有价值信息，为人工智能系统的决策和预测提供依据。
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假如 G1 G2 ，则必须满足： (1) | V (G1) || V (G2 ) |, | E(G1 ) || E(G2 ) | ． (2) G1 和 G2 结点度的非增序列相同． (3)存在同构的导出子图．
图的概念
性质1.1.5 非空简单图G中一定存在度相同的结点． 证明：设在G中不存在孤立结点，则对n个结 点的简单图，每个结点度d(v)的取值范围是 1~(n-1),由抽屉原理，一定存在两个度相同的 结点．若存在一个孤立的结点，亦类似可证．
图的概念
定义1.1.4 如果图G=(V,E)的每条边 ek (vi , v j ) 都赋以一 个实数wk 作为该边的权，则称G是赋权图．特别 地，如果这些权都是正实数，就称G是正权图． 图1.5就是一个正权图．权可以表示该边的长度， 时间，费用或者容量等．
图的概念
性质1.1.1 设G=(V,E)有n个结点，m条边，则
v V (G )
d (v) 2m
证明：由于每条边e=(u,v)对结点u和v度的贡献 各为１，因此m条边对全部结点的总贡献率为 2m.
图的概念
性质1.1.2 G中度为奇数的结点必为偶数个． 证明： G中任一结点的度或为偶数或为奇数，设 Ve是度为偶 的结点集，Vo 是度为奇的结点集，于是有
vVe
d (v) d (v) 2m
vV0
因此上式左边第二项也为偶数，也即度为奇数的结点 必为偶数个
图的概念
性质1.1.3 有向图G中正度之和等于负度之和．这是因 为每条边对结点的正，负度贡献各为1. 性质1.1.4 K n 的边数是n(n-1)/2. 证明：K n 中各结点的度都是(n-1),由性质 1.1.1就可以得到
(v1 ) {v1, v4}, (v2 ) {v1, v3}.
而图1.5中：
(v1 ) {v2 , v3 , v4 , v5}, (v2 ) {v1, v3 , v5}.
图的概念
定义1.1.8 两个图 G1 (V1, E1 ),G2 (V2 , E2 ), 如果V1 和 V2 之间存 在双射f,而且 (u, v) E1 ,当且仅当 ( f (u), f (v)) E2 ,称 G1 和 G2 同构.记
图的概念
定义1.1.7 设v是有向图Ｇ的一个结点，则 (v) {u | (v, u) E} 称为v的直接后继集或者外邻集;相应地
(v) {u | (u, v) E}称为v的直接前趋集来自者内邻集.图的概念
在图1.6(a)中：
(v1 ) {v1, v2 , v5}, (v2 ) {v5};
图论
第一章 １．１
基本概念 图的概念
世界上许多事物以及他们之间的联系可以用图 形直观地表示.这时人们往往用结点表示事物, 用边表示它们之间的联系.这种结点和边构成 的图形就是图论所研究的对象.
图的概念
定义1.1.1 二元组(V(G),E(G))称为图。其中V(G)是非空 集合，称为结点集，E(G)是V(G)诸结点之间 边的集合。常用G=(V,E)表示图。 我们只讨论有限图,即V和E都是有限集.给定 某个图G=(V,E),如果不加特殊说名,就认为: V {v1, v2 ,...,vn }, E {e1 , e2,,...,em} 即结点数,| v | n 边数 |.E | m
图的概念
定义1.1.5 给定G=(V,E)，如果存在另一个G’=(V’,E’), 满足V’V，E’ E,则称G’是G的一个子图．特 别地，如果V’=V,就称G’是G的支撑子图或者生 成子图；如果V’V,且E’包含了G在节点子集V’ 之间的所有边，则称G’是G的导出子图．
图的概念
定义1.1.6 给定两个图G1=(V1,E1),G2=(V2,E2).令 G1G2=(V,E),其中V=V1V2,E=E1E2; G1G2=(V,E),其中V=V1V2,E=E1E2; G1G2=(V,E),其中V=V1 V2,E=E1E2; 分别称为G1和G2的并，交和对称差．
图的概念
定义1.1.2 G=(V,E)的某结点v所关联的边数称为该结点的 度，用d(v)表示。如果v带有自环，则自环对 d(v)的贡献为２。
图的概念
定义1.1.3 任意两结点间最多只有一条边，且不存在自环 的无向图称为简单图。 没有任何边的简单图叫空图，用 N n 表示；任何 两个结点间都有边的简单图称为完全图，用 K n 表示． K n 中每个结点的度都是n-1.