如何建立数学模型？

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零基础学会数学建模

数学建模知识‎——之新手上路一、数学模型的定‎义现在数学模型‎还没有一个统‎一的准确的定‎义，因为站在不同‎的角度可以有‎不同的定义。

不过我们可以‎给出如下定义‎：“数学模型是关‎于部分现实世‎界和为一种特‎殊目的而作的‎一个抽象的、简化的结构。

”具体来说，数学模型就是‎为了某种目的‎，用字母、数学及其它数‎学符号建立起‎来的等式或不‎等式以及图表‎、图像、框图等描述客‎观事物的特征‎及其内在联系‎的数学结构表‎达式。

一般来说数学‎建模过程可用‎如下框图来表‎明：数学是在实际‎应用的需求中‎产生的，要解决实际问‎题就必需建立‎数学模型，从此意义上讲‎数学建模和数‎学一样有古老‎历史。

例如，欧几里德几何‎就是一个古老‎的数学模型，牛顿万有引力‎定律也是数学‎建模的一个光‎辉典范。

今天，数学以空前的‎广度和深度向‎其它科学技术‎领域渗透，过去很少应用‎数学的领域现‎在迅速走向定‎量化，数量化，需建立大量的‎数学模型。

特别是新技术‎、新工艺蓬勃兴‎起，计算机的普及‎和广泛应用，数学在许多高‎新技术上起着‎十分关键的作‎用。

因此数学建模‎被时代赋予更‎为重要的意义‎。

二、建立数学模型‎的方法和步骤‎1. 模型准备要了解问题的‎实际背景，明确建模目的‎，搜集必需的各‎种信息，尽量弄清对象‎的特征。

2. 模型假设根据对象的特‎征和建模目的‎，对问题进行必‎要的、合理的简化，用精确的语言‎作出假设，是建模至关重‎要的一步。

如果对问题的‎所有因素一概‎考虑，无疑是一种有‎勇气但方法欠‎佳的行为，所以高超的建‎模者能充分发‎挥想象力、洞察力和判断‎力，善于辨别主次‎，而且为了使处‎理方法简单，应尽量使问题‎线性化、均匀化。

3. 模型构成根据所作的假‎设分析对象的‎因果关系，利用对象的内‎在规律和适当‎的数学工具，构造各个量间‎的等式关系或‎其它数学结构‎。

这时，我们便会进入‎一个广阔的应‎用数学天地，这里在高数、概率老人的膝‎下，有许多可爱的‎孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多‎许多，真是泱泱大国‎，别有洞天。

建立数学模型的方法

建立数学模型的方法数学模型是指用数学语言和符号描述现实世界中某个问题的方法。

它是一种把复杂的现实问题转化为数学问题来进行研究和解决的手段。

建立数学模型的过程不仅需要数学知识，还需要对实际问题的深刻理解和把握。

本文将从以下几个方面介绍建立数学模型的方法。

一、分析问题建立数学模型的第一步是分析问题，要明确问题的性质、特点、目的和限制条件。

在分析问题的过程中，需要了解问题的背景和相关知识，明确问题的主要矛盾和关键因素，确定问题的量化指标和评价标准，以及考虑问题的可行性和实际性。

例如，对于一个生产企业来说，它需要分析如何提高生产效率，减少成本，同时保证产品质量和员工安全。

这就需要考虑生产设备的利用率、员工的工作效率、原材料的采购成本、产品的质量检测等因素，以及企业的资源和技术条件。

二、建立数学模型在分析问题的基础上，可以建立数学模型。

数学模型是用数学语言和符号来描述现实问题的形式化表达。

数学模型可以是代数方程、微分方程、差分方程、概率统计模型、图论模型、优化模型等等。

例如，对于上述生产企业的问题，可以建立一个生产效率的数学模型。

设生产效率为E，设生产设备的利用率为x1，员工的工作效率为x2，原材料的采购成本为x3，产品的质量检测为x4，则可以建立以下数学模型：E=f(x1,x2,x3,x4)其中，f为生产效率的函数。

可以根据实际情况选择不同的函数形式，例如线性函数、指数函数、对数函数、多项式函数等等。

三、模型求解建立数学模型后，需要进行模型求解。

模型求解是指利用数学方法和计算机技术来求解数学模型，得到问题的解答或决策。

例如，对于上述生产效率的数学模型，可以利用优化方法来求解。

假设企业的目标是最大化生产效率，同时满足设备利用率≥80%、员工工作效率≥90%、采购成本≤100万元、产品合格率≥95%等限制条件。

则可以建立以下优化模型：Max E=f(x1,x2,x3,x4)s.t. x1≥0.8, x2≥0.9, x3≤100, x4≥0.95其中，s.t.表示限制条件。

2019如何建立一个数学模型.ppt

例2.4：AMCM-89A题要求对蠓虫加以分类。在采用概率判别方法建模之前，作了如下假设：
1、两类蠓虫的触角与翅膀长度的总体均值、标准差
和相关系数与学习样本所能反映的值是相符的， 2、触角长度x和y服从二维正态分布
这两条假设为从概率论的角度对蠓虫进行分类提供了根据，
由于统计方法的应用必须建立在对大量样本进行分析的基础上，而我们面临的问题是，题中所给的数据（15个学习样本）太少，因此优秀论文作者清醒指出，这些假设未必一定可靠，这显示了他们对实际问题及所用方法的深刻见解，
根据赛题的实际情况，对建立的模型作出合理的简化是解决问题的关键。
例4.1 CMCM-98B
根据题意，得到购买Si的金额为xi的交易费为
0, xi 0 ci ( xi ) pi ui ,0 xi ui p x ,x u i i i i
但因M相当大，Si若被选中，其投资额xi一般都超过ui，交易费可简化为
如何建立一个完整的数学模型
仇秋生
数理信息工程学院
一个完整的数学建模过程主要由三部分组成： 1、用适当的数学方法对实际问题进行描述 2、采取各种数学和计算机手段求解模型 3、从实际的角度分析模型的结果，考察其是否合理、是否具有实际意义？
一、模型准备
了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征
（3）统计分析模型
如AMCM-89A可以用统计学中的Fisher判别法对蠓虫加以分类。（4）插值与拟合模型这是离散数据连续化处理时常用的方法。如 AMCM-86A题海底地形的描绘，AMCM-91A水塔水流量的估计等。
（5）其它。如计算机模拟，神经网络等。
方法总结：
用的最多的方法是：微分方程、优化化方法和概率统计的方法. 插值与拟合，随机模拟在数据处理时很有必要。灰色系统理论、神经网络、模糊数学经常被乱用。层次分析只能做半定量分析

数学模型”建立的意义与方法

三、建立数学模型的思维方法
数学模型构造过程的本质是数学思维的活动，因此，讨论建立数学模型的方法，不能离开思维的方法。我们认为，分析与综合、比较与分类、抽象与概括、猜想与验证等既是思维的重要方法，同样是构建数学模型的重要方法。
1．分析与综合。
分析与综合是重要的思维方式，同样是重要的数学方法，是学习数学过程中建立数学模型的重要途径之一。应用题教学中用“分析法”与“综合法”来分析数量关系，寻求解答方法的过程，就是用这种思维方式来建立一个具有典型意义的数学模型的过程。分析是对所获得的数学材料或数学问题的构成要素进行研究，把握各要素在整体中的作用，找出其内在的联系与规律，从而得出有关要素的一般化的结论的思维方式。事实上，不少学生在掌握某些数学知识或方法的时候，常常表现为一种点式的、孤立的记忆，或者只感知了某些知识之间的浅层的联系，而缺乏对他们之间的内在本质联系的把握，即缺乏一种建构意义上的链式结构，因而，其头脑中的认知结构是很不合理的，很不完善的，这样的认知结构不具有模型的价值，即不能有效地促成一些较复杂的问题的解决。如果运用分析法深人研究，以上的认知结构就可以真正建立为有价值的模型。例如，学生都会判断“谁能被谁整除”，“某两个数是否互质数”，进而判断“某分数是否最简分数”，“谋个比是否最简整数比”……但是学生可能未必真正理解“为什么这两个数是互质数而另两个数不是互质数”，或者仅将它们之间的联系停留在“约数”与“公约数”上。毫无疑问，这的确是它们之间的联系，但并非是最本质的联系，实际上“两个自然数是否具有相同的质因数”才是它们最根本的连接点。分析如下：
2．比较与分类。
比较是对有关的数学知识或数学材料，辨别它们的共同点与不同点。数学中的比较是多方面的，包括多少与大小的比较，相同与不同的比较，结构与关系的比较，定律与性质的比较等。比较的目的是认识事物的联系与区别，明确彼此之间存在的同一性与相似性，以便揭示其背后的共同模型。分类是在比较的基础上，按照事物间性质的异同，将具有相同性质的对象归入一类；不同性质的对象归入另一类的思维方法。因此，比较与分类常常是联系在一起的，在建立数学模型的诸多思维方法中，比较与分类有着重要的作用，它往往是抽象概括、合情推理的前提，而正确地进行比较与分类的基础是仔细、深入地观察。例如，教学“乘法的初步认识”，其基本过程为：（l）计算并观察算式特征：3＋3＋3，2＋4＋3，4＋4＋4＋4＋4，1＋3＋6＋2，……（2）比较以上算式的特征并分类。（3）讨论、探索加数相同的这一类算式的简便计算方法。（4）建立基本的数学模型：“加数相同的连加算式”可以用“相同加数×相同加数的个数’这一简便的方法（乘法）来计算。

如何建立数学模型

如何建立数学模型建立数学模型是指将实际问题抽象化，通过数学语言和符号来描述和解决问题的过程。

数学模型的建立可以帮助我们更好地理解问题的本质，分析问题的规律，预测问题的结果，以及优化问题的解决方案。

以下是建立数学模型的一般步骤和方法。

一、明确问题：首先，需要明确所要解决的问题以及问题所涉及的背景和条件。

确保对问题的理解准确明确，同时将问题与数学建模相结合。

二、问题建模：1.确定变量：将问题中涉及的各种因素抽象为数学模型中的变量。

变量可以是数值、时间、物理量等，具体根据问题的特点进行确定。

2.建立关系：确定各个变量之间的关系，包括线性关系、非线性关系、概率关系等。

可以通过实际观测数据、统计分析等方法来确定变量之间的关系。

3.建立约束条件：确定对变量的约束条件，包括等式约束、不等式约束等。

这些约束条件可以是问题中固有的限制，也可以是为了使得模型更加逼真和实际而添加的额外限制条件。

三、数学描述：1.建立数学方程：将问题中的各个变量之间的关系用数学方程来表示。

可以根据问题的特点选择合适的数学公式和方程，如线性方程组、非线性方程、微分方程等。

2.建立目标函数：如果问题是优化问题，需要建立一个目标函数，该函数描述了所要优化的目标以及变量之间的关系。

目标函数可以是最大化、最小化或者使得一些条件满足的函数。

四、求解模型：建立完数学模型后，可以通过数学方法来求解模型。

具体的求解方法根据模型的特点和问题的要求而定，例如数值计算、迭代方法、优化算法等。

求解模型的目的是得到模型的解或近似解，以用于问题的研究和应用。

五、模型验证：对建立的数学模型进行验证是非常重要的。

通过将模型的解与实际数据进行比较，或者进行模拟实验来验证模型的有效性和准确性。

如果模型的结果与实际情况相符合或者较为接近，那么该模型可以被认为是有效的。

六、模型分析和应用：对于建立的数学模型，可以进行进一步的分析和应用。

例如，可以通过灵敏度分析，研究模型对于初始条件和参数变化的敏感度；通过稳定性分析，研究模型在不同情况下的行为；通过模型的推广和延伸，应用于解决其他类似问题等。

如何建立一个数学模型

如何建立一个数学模型建立一个数学模型是为了描述和解释现实问题而进行的一种抽象和形式化表示。

数学模型可以帮助我们理解现象背后的原理、预测和控制系统行为，以及进行决策和优化。

下面是一个关于如何建立一个数学模型的详细步骤。

1.确定问题：明确你要建立数学模型解决的问题。

这可能是一个实际问题，比如交通拥堵、疾病传播等，也可以是一个理论问题，比如优化问题、随机过程等。

2.收集数据：收集与问题相关的数据，并对数据进行整理和清洗。

数据可以来自实验、观测、调查等，尽量确保数据的准确性和可靠性。

3.定义假设：根据你对问题的理解和直觉，提出一些假设。

假设是对问题的简化和抽象，可以帮助我们建立数学模型。

假设可以是关于系统结构、参数、限制条件等方面的。

4.建立数学模型：选择适当的数学工具和方法来建立数学模型。

常用的数学工具包括微积分、线性代数、概率论、统计学等。

数学模型可以是方程、方程组、函数、图表等形式。

5.模型分析：分析数学模型的特性和行为。

这包括解析求解、数值求解、稳定性分析、敏感性分析等。

模型分析可以帮助我们理解和解释模型，以及对模型进行验证和调整。

6.模型验证：使用实际数据和观测结果来验证数学模型的准确性和适用性。

如果模型与实际情况相符，则可以进一步用于预测和决策。

7.模型优化：优化数学模型，使其更符合实际需求和目标。

优化可以包括调整模型参数、修正模型假设、改进模型算法等。

8.模型应用：将数学模型应用于实际问题，并进行预测、控制和优化。

根据模型的结果，制定合理的决策和行动方案。

9.模型评估：评估数学模型的效果和影响。

这包括模型的准确性、稳定性、可行性、可解释性等方面。

模型评估可以帮助我们改进和完善模型，以及对模型进行比较和选择。

总而言之，建立一个数学模型是一个复杂和系统的过程，需要深入理解问题、严谨的数据分析和数学推理能力。

一个好的数学模型可以帮助我们更好地理解和解决现实问题，促进科学研究和社会发展。

建立动态规划数学模型的步骤

建立动态规划数学模型的步骤动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，它将问题分为若干阶段，每个阶段采取一个最优决策，通过递推的方式得到问题的最优解。

建立动态规划数学模型的步骤主要包括以下几个方面。

第一步，明确问题：首先要明确要解决的问题是什么，分析问题的特点和要求，明确决策的目标和约束条件。

例如，我们可以考虑求解一个最优化问题，使一些目标函数取得最大（或最小）值。

第二步，定义状态：将问题的解表示为一个或多个状态变量。

状态是问题的一个关键特征，它描述了问题在每个阶段的情况，通常用一个或多个变量表示。

状态可以是离散的，也可以是连续的。

例如，假设我们要解决一个装箱问题，可以将状态定义为装箱剩余空间的大小。

第三步，确定决策变量：决策变量是问题中可以通过决策调整的变量，其取值将影响问题的解。

决策变量通常与状态有关，帮助我们在每个阶段做出最优决策。

继续以装箱问题为例，决策变量可以是选择放入的物品或物品的数量。

第四步，建立状态转移方程：通过分析问题的特点和约束条件，建立各个阶段之间的状态转移方程。

状态转移方程描述了问题中不同状态之间的关系，即通过做出一些决策后，当前状态如何转移到下一个状态。

状态转移方程通常由决策变量和前一阶段的状态变量表示。

在装箱问题中，状态转移方程可以描述为剩余空间等于前一阶段的剩余空间减去当前决策变量所占空间。

第五步，确定边界条件：边界条件是求解动态规划问题的关键，它们表示问题的起始状态和结束状态。

通常，起始状态是已知的，而结束状态需要根据问题的要求进行分析确定。

例如，装箱问题的起始状态可以是剩余空间等于货柜的总容量，结束状态可以是没有物品剩余可以放入货柜。

第六步，确定目标函数：目标函数是求解最优化问题时需要优化的目标。

在动态规划中，目标函数通常与状态有关，它表示在每个阶段的状态下所要最大（或最小）化的目标量。

例如，在装箱问题中，目标函数可以是放入货柜的物品总价值。

第七步，建立递推关系：根据状态转移方程和边界条件，可以利用递推的方法从起始状态逐步计算到结束状态。

数学模型的建立过程

数学模型方法函数关系可以说是一种变量相依关系的数学模型．数学模型方法是处理科学理论问题的一种经典方法，也是处理各类实际问题的一般方法．掌握数学模型方法是非常必要的．在此，对数学模型方法作一简述．数学模型方法（Mathematical Modeling)称为MM方法．它是针对所考察的问题构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使问题得以解决的一种数学方法．一、数学模型的含义数学模型是针对于现实世界的某一特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出必要的简化和假设，运用适当的数学工具，采用形式化语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构．它或者能解释特定对象的现实性态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制．数学模型既源于现实又高于现实，不是实际原形，而是一种模拟，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原物相近的一类问题，可以作为某事物的数学语言，可译成算法语言，编写程序进入计算机．二、数学模型的建立过程建立一个实际问题的数学模型，需要一定的洞察力和想像力，筛选、抛弃次要因素，突出主要因素，做出适当的抽象和简化．全过程一般分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实对象的循环．可用流程图表示如下：表述根据建立数学模型的目的和掌握的信息，将实际问题翻译成数学问题，用数学语言确切地表述出来．这一个关键的过程，需要对实际问题进行分析，甚至要做调查研究，查找资料，对问题进行简化、假设、数学抽象，运用有关的数学概念、数学符号和数学表达式去表现客观对象及其关系．如果现有的数学工具不够用时，可根据实际情况，大胆创造新的数学概念和方法去表现模型．求解选择适当的方法，求得数学模型的解答．解释数学解答翻译回现实对象，给实际问题的解答．验证检验解答的正确性．例如,哥尼斯堡一条普雷格尔河，这条河有两个支流，在城中心汇合成大河，河中间有一小岛，河上有七座桥，如图1所示．18世纪哥尼斯堡的很多居民总想一次不重复地走过这七座桥，再回到出发点．可是试来试去总是办不到，于是有人写信给当时著名的数学家欧拉，欧拉于1736年，建立了一个数学模型解决了这个问题．他把A、B、C、D这四块陆地抽象为数学中的点，把七座桥抽象为七条线，如图2所示．CB图1 图2人们步行七桥问题，就相当于图2的一笔画问题，即能否将图2所示的图形不重复地一笔画出来，这样抽象并不改变问题的实质．哥尼斯堡七桥问题是一个具体的实际问题，属于数学模型的现实原型．经过理想化抽象所得到的如图2所示的一笔画问题便是七桥问题的数学模型．在一笔画的模型里，只保留了桥与地点的连接方式，而其他一切属性则全部抛弃了．所以从总体上来说，数学模型只是近似地表现了现实原型中的某些属性，而就所要解决的实际问题而言，它是更深刻、更正确、更全面地反映了现实，也正由此，对一笔画问题经过一定的分析和逻辑推理，得到此问题无解的结论之后，可以返回到七桥问题，得出七桥问题的解答，不重复走过七座桥回到出发点是不可能的．数学模型，从广义上讲，一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式、各种函数关系，以及由公式系列构成的算法系统等等都可以叫做数学模型．从狭义上讲，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系的结构，才叫做数学模型．在现代应用数学中,数学模型都作狭义解释．而建立数学模型的目的，主要是为了解决具体的实际问题．三、模型的建立研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的．建立模型的步骤可分为：(1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示；(2) 根据所给条件，运用数学或物理知识，确定等量关系；(3) 具体写出解析式)(x f y =，并指明定义域．例重力为P 的物体置于地平面上，设有一与水平方向成α角的拉力F ，使物体由静止开始移动，求物体开始移动时拉力F 与角α之间的函数模型（图3）．解由物理知，当水平拉力与摩擦力平衡时，物体开始移动，而摩擦力是与正压力αsin F P -成正比的（设摩擦系数为μ），故有)sin (cos αμαF P F -=,即 αμαμsin cos +=P F （0°<α<90°）建立函数模型是一个比较灵活的问题，无定法可循，只有多做些练习才能逐步掌握．图3四、数学建模方法数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）．数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的数学模型的一种强有力的数学手段．常用的数学建模方法如下：（一）机理分析法从基本理论以及系统的结构数据来推导出数学模型的方法1. 比例分析法 —— 建立变量之间函数关系的最基本、最常用的方法.2. 代数方法——求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法.3. 逻辑方法——是数学理论研究的重要方法，用以解决社会学和经济学等领域的实际问题，在决策论，对策论等学科中得到广泛应用.4. 常微分方程——解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬时变化率”的表达式．5. 偏微分方程——解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律．（二）数据分析法从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型的方法1. 回归分析法——用于对函数()f x 的一组观测值(,())(1,2,)i i x f x i n ，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法．2. 时序分析法——处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法．(三)仿真和其他方法1. 计算机仿真（模拟）——实质上是统计估计方法，等效于抽样试验．① 离散系统仿真——有一组状态变量．② 连续系统仿真——有解析表达式或系统结构图．2. 因子试验法——在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构．3. 人工现实法——基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统．五、几个数学模型1.如何预报人口的增长人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报，说到未来某个时期全世界(或某地区)的人口将达到多少多少亿．你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字上常有较大的差别，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果．建立模型的目的: 在对出生和死亡的概率作出适当假设的基础上，寻求人口X (t )的变化规律，用它描述人口的发展状况．先看一种最简单的计算方法．要预报未来若干年的人口，最重要的影响因素自然是今年的人口和今后这些年的增长率(即人口出生率减去死亡率)，根据这两个数据进行人口预报是十分容易的．记今年人口为x 0，k 年后人口为x k ，年增长率为r ，则预报公式为x k ＝x 0(1+r )k显然，这个公式的基本前提是年增长率r 保持不变．这个条件在什么情况下才成立，如果不成立又该怎么办?历史上，人口模型的发展过程回答了这个问题．早在18世纪人们就开始进行人口预报工作了，一二百年来发展了许多模型，其中最简单的有两种.2.指数增长模型(马尔萨斯人口模型)英国人口学家马尔萨斯(Malthus l766—1834)根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了著名的人口指数增长模型．这个模型的基本假设是：人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比．记时刻t 的人口为x (t )，初始时刻(t ＝0)的人口为x 0，人口增长率为r ，r 是单位时间内x x (t )的增量与x (t )的比例系数．根据r 是常数的基本假设，t 到t+Δt 时间内人口增量为x (t+Δt ))(t x - = r x (t )Δt于是x (t )满足如下的微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==0)0(x x rxdt dx 由这个线性常系数微分方程容易解出rt e x t x 0)(=表明人口将按指数规律无限增长(r ＞0)．将t 以年为单位离散化，人口以re 为公比的等比数列增长．因为这时r 表示年增长率，通常r <<1，所以可用近似关系r e r +≈1,那么 tr x t x )1()(0+≈可见,前面给出的预报公式不过是指数增长模型离散形式的近似表示．由rt e x t x 0)(= 给出的模型，与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻合．一些人口增长率长期稳定不变的国家和地区用这个模型进行预报，结果也令人满意．但是当人们用19世纪以后许多国家的人口统计资料与指数增长模型比较时，却发现了相当大的差异．显然，用这个模型预报的结果远远超过了实际人口的增长．引起误差的原因是10年增长率r 估计过高．人们还发现，在地广人稀的加拿大领土上，法国移民后代的人口比较符合指数增长模型，而同一血统的法国本土居民人口的增长却远低于这个模型．产生上述现象的主要原因是:随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著．如果当人口较少时(相对于资源而言)人口增长率还可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少．许多国家人口增长的实际情况完全证实了这点．看来为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设了．3.阻滞增长模型(Logistic 模型)将增长率r 表示为人口x (t )的函数r (t ) (即增长率相对于固定的人口数x 来说是常数),按照前面的分析r (x )应是x 的减函数．一个最简单的假定是设r (x )为x 的线性函数r (x )= r –sx ， s ＞0，这里r 相当于x=0时的增长率，称固有增长率．它与指数模型中的增长率r 不同(虽然用了相同的符号)．显然对于任意的x ＞0，增长率r (x )＜r ．为了确定系数s ，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量x m ，称最大人口容量．当x=x m 时增长率应为零，即r (x m )＝0，由此确定出s .人口增长率函数r (x )可以表为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m x x r x r 1)(其中r 、x m 是根据人口统计数据或经验确定的常数．因子⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-m x x 1体现了对人口增长的阻滞作用．在此的假设下,指数增长模型应修改为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0)0(1 x x x x x r dt dx m 称为阻滞增长模型．此非线性微分方程可用分离变量法求解,结果为rtm me x x x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11)(其阻滞增长模型x (t )的曲线如图本世纪初人们曾用这个模型预报美国的人口．直到1930年计算结果都能与实际数据较好地吻合．后来的误差越来越大，一个明显的原因是到1960年美国的实际人口已经突破了用过去数据确定的最大人口容量x m ．由此看来，这个模型的缺点之一是x m 不易准确地得到．事实上，随着生产力的发展和人们认识能力的改变，x m 也是可以改变的．4. 随机性人口模型上面讨论的人口模型都是确定性的，已知初始人口并且给定了生育率、死亡率等数据后，可以确切地预测未来的人口．但是事实上，一个人的出生和死亡应该说是随机事件，无法准确预测．之所以能用确定性模型描述人口的发展，是因为考察的是一个国家或地区的数量很大的人口，用对总数而言的平均生育率、死亡率代替出生、死亡的概率，将人口作为连续变量处理．如果研究对象是一个自然村落或一个家族的人口，数量不大、需作为离散变量看待时，就要利用随机性人口模型来描述其变化过程了.时刻t 的人口用随机变量)(t X 表示，)(t X 只取整数值．记)(t P n 为n t X =)(的概率，=n 0,1,2,…，下面要在对出生和死亡的概率作出适当假设的基础上，寻求)(t P n 的变化规律，并由此得出人口)(t X 的期望和方差，用它们在随机意义下描述人口的发展状况．模型假设若n t X =)(，对人口在t 到t t ∆+的出生和死亡作如下假设(t ∆很小)：1．出生一人的概率与t ∆成正比，记作t b n ∆；出生二人及二人以上的概率为)(t o ∆．2．死亡一人的概率与t ∆成正比，记作t d n ∆；死亡二人及二人以上的概率为)(t o ∆．3．出生与死亡是相互独立的随机事件．4．进一步设n b 和n d 均与n 成正比，记n b n λ=，n d n μ=，λ和μ分别是单位时间内1=n 时一个人出生和死亡的概率.建模与求解为了得到)(t P n 的方程，考察随机事件n t t X =∆+)(．根据假设1—3，与出生或死亡一人的概率相比、出生或死亡二人及二人以上的概率，出生一人且死亡一人的概率均可忽略．这样，n t t X =∆+)(可以分解为仅仅三个互不相容的事件之和：1)(-=n t X 且t ∆内出生一人,其概率为t b n ∆；1)(+=n t X 且t ∆内死亡一人，其概率为t d n ∆；n t X =)( 且t ∆内人口未变，其概率为P {人口未变}=1-P{人口增加或减少1人}=t d t b n n ∆-∆-1．按照全概率公式有P {时刻t t ∆+有n 个人}=P {t ∆增加1人}P{时刻t 有n-1个人}+P {t ∆减少1人}P{时刻t 有n+1个人}+P {t ∆人口未变}P{时刻t 有n 个人}.即)1)(()()()(111t d t b t P t d t P t b t P t t P n n n n n n n n ∆-∆-+∆+∆=∆++-- (1)即)()()()()()(111t P d b d t P b t P tt P t t P n n n n n n n n n +-+=∆-∆++--令0→∆t ，可得关于)(t P n 的微分方程：)()()()(1111t P d b t P d t P b dtdP n n n n n n n n +-+=++-- (2) 特别地，在假设4(n b n λ=，n d n μ=)下方程为)()()()1()()1(11t nP t P n t P n dtdP n n n n μλμλ+-++-=+- (3) 若初始时刻(0=t )人口为确定数量0n ，则)(t P n 的初始条件为⎩⎨⎧≠==. ,0, ,1)0(00n n n n P n (4) (3)式对于不同的n 是一组递推方程，在条件(4)下的求解过程非常复杂，并且没有简单的结果．幸而，通常人们对(3)式的解)(t P n 并不关心，感兴趣的只是)(t X 的期望)}({t X E .以下简记期望)(t E )}({t X E =, 0)0(n E =,方差)(t D )}({t X D =. 0)0(=D .而它们可以由(3)、(4)直接得到，因为按照定义，∑∞==1)()(n n t nP t E (5)对(5)求导并将(3)代人得∑∑∑∞=∞=+∞=-+-++-=121111)()()()1()()1(n n n n n n t P n t P n n t P n n dt dE μλμλ (6) 注意到∑∑∑∞=∞=∞=-+=+=-1111)()1()()1()()1(n n k k n n t P n n t P k k t Pn n ∑∑∑∞=∞=∞=+-=-=+1111)()1()()1()()1(n n k k n n t P n n t P k k t Pn n 代入(6)式 ∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=+--++=11211)()()()()()1()()1(n n n n n n n n t nP t P n t P n n t P n n dt dE μλμλμλ 利用(5)式，则有)()()()(1t E t nP dt dE n n μλμλ-=-=∑∞= (7) 由于0)0(n E = (8)显然，方程(7)在(8)下的解为rt t e n e n t E 0)(0)(==-μλ,μλ-=r . (9)这个结果与1.4节(3)式表示的指数模型rt e x t x 0)(= (10)形式上完全一致．从含义上看，随机性模型(9)中出生概率λ与死亡概率μ之差r 可称为净增长概率,人口的期望值)(t E 呈指数增长．在人口数量很多的情况下如果将r 视为平均意义上的净增长率，那么)(t E 就可以看成确定性模型(10)中的人口总数)(t x 了。

构建小学数学模型的基本步骤与技巧

构建小学数学模型的基本步骤与技巧数学模型是数学与实际问题相结合的产物，它能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。

在小学阶段，培养学生的数学建模能力对于他们的数学学习和综合素质的提高都具有重要意义。

本文将介绍构建小学数学模型的基本步骤与技巧。

一、明确问题构建数学模型的第一步是明确问题。

在小学数学教学中，问题通常是以文字形式出现的，学生需要仔细阅读并理解问题的含义。

在明确问题时，学生需要思考问题的背景、条件和要求，以便能够准确地把握问题的关键点。

例如，一个典型的问题是：“小明有5个苹果，小红有3个苹果，他们一共有多少个苹果？”在明确问题时，学生需要理解问题的背景是小明和小红有苹果，条件是小明有5个苹果，小红有3个苹果，要求是计算他们一共有多少个苹果。

二、建立数学模型在明确问题后，学生需要根据问题的特点和要求，建立相应的数学模型。

数学模型是数学符号和表达式的组合，它能够准确地描述问题的关系和规律。

建立数学模型的关键是将问题中的信息转化为数学符号，并建立符合问题要求的数学关系。

以前面的问题为例，学生可以将小明有的苹果数表示为x，小红有的苹果数表示为y，他们一共有的苹果数表示为x+y。

因此，数学模型可以表示为x+y=5+3=8。

三、解决数学模型建立数学模型后，学生需要解决数学模型，即求解模型中的未知数。

解决数学模型的方法有多种，包括代入法、消元法、图像法等。

根据问题的特点和要求，选择合适的方法进行求解。

对于前面的问题，学生可以通过代入法求解。

假设小明有2个苹果，小红有6个苹果，代入数学模型x+y=8，得到2+6=8，符合题意。

因此，小明有2个苹果，小红有6个苹果。

四、检验解答解决数学模型后，学生需要对解答进行检验，以确保解答的准确性和合理性。

检验解答的方法有多种，包括代入原问题、逻辑推理、实际操作等。

对于前面的问题，学生可以通过代入原问题进行检验。

代入小明有2个苹果，小红有6个苹果，代入原问题“他们一共有多少个苹果”，得到2+6=8，与前面的解答一致。

数学建模方法

数学建模方法引言数学建模是一种应用数学工具解决实际问题的方法。

它通过建立数学模型来描述和分析现实世界中的各种现象，从而为决策提供科学依据。

本文将介绍几种常见的数学建模方法，帮助初学者了解如何运用数学知识解决实际问题。

确定问题与收集数据在进行数学建模之前，首先需要明确要解决的问题，并收集相关的数据。

这一步骤是建模过程中至关重要的一环，因为数据的质量和完整性直接影响到模型的准确性和可靠性。

问题定义清晰地界定问题的范围和目标是成功建模的第一步。

这包括理解问题的背景、目的以及期望通过建模达到的效果。

数据收集根据问题的需求，收集必要的数据。

这些数据可能来自于实验测量、历史记录、统计报告等。

在收集数据时，要注意数据的有效性和代表性。

建立模型建立数学模型是将现实问题转化为数学问题的过程。

根据问题的性质，可以选择不同的建模方法。

确定变量和参数在模型中，需要区分哪些是变量，哪些是参数。

变量通常是我们想要预测或解释的量，而参数则是模型中的固定值，用于描述系统的特性。

选择数学工具根据问题的特点选择合适的数学工具。

例如，对于连续变化的问题可以使用微分方程；对于优化问题可以使用线性规划或非线性规划等。

求解模型模型建立后，下一步是通过数学方法求解模型，得到问题的解答。

解析解法如果模型简单，可以尝试找到解析解，即用公式直接表示的解。

数值解法对于复杂的模型，通常需要使用数值方法求解，如有限差分法、有限元法等。

模型验证与改进求解完成后，需要对模型进行验证，确保其准确性和适用性。

模型验证通过与实际数据对比，检验模型的预测能力。

如果模型的预测结果与实际数据吻合良好，说明模型是有效的。

模型改进如果模型的预测结果与实际数据有较大偏差，需要对模型进行调整和改进，以提高其准确性。

结论数学建模是一个迭代的过程，涉及到问题定义、数据收集、模型建立、求解以及验证和改进等多个步骤。

通过不断优化模型，我们可以更好地理解和解决实际问题。

希望本文能为初学者提供一个数学建模的基本框架和方法指导。

数学中的数学模型建立

数学中的数学模型建立在数学领域中，数学模型被广泛应用于解决各种实际问题。

通过建立数学模型，我们能够简化真实世界的复杂情况，将其转化为数学问题，并通过分析和计算来获得预测结果。

本文将介绍数学中的数学模型建立的基本方法和应用领域。

一、数学模型的基本构成1.问题的抽象化在建立数学模型之前，首先需要对待解问题进行抽象化。

抽象化是将实际问题中的关键要素提取出来，并将其转化为数学符号和表达式。

通过这种方式，我们可以将复杂的问题简化为数学问题。

2.建立数学表达式在数学模型中，数学表达式是非常重要的部分。

数学表达式可以用来描述问题的特性、关系和约束条件。

常见的数学表达式包括方程、不等式、函数等。

通过合理选择和构建数学表达式，可以准确地刻画问题的本质和特点。

3.参数的确定数学模型中的参数是指那些在问题求解过程中需要给定的常量或变量。

参数的确定对于模型的有效性和准确性有重要影响。

参数的选择需要考虑实际问题的特点和要求，并通过实验、观察或数据分析等手段来确定。

4.模型的求解建立数学模型后，我们需要对模型进行求解，以获得问题的解答或预测结果。

模型的求解可以采用不同的方法，例如解析解、数值解或模拟仿真等。

根据问题的特点和要求，选择合适的求解方法对于模型的成功应用至关重要。

二、数学模型的应用领域1.物理学领域中的数学模型物理学是最早采用数学模型进行研究的学科之一。

在物理学中，很多现象都可以通过数学模型进行描述和解释。

例如，牛顿的力学定律可以通过建立动力学方程来描述；热传导现象可以通过建立热传导方程来描述。

数学模型在物理学中的应用不仅扩展了我们对自然世界的认识，也为科学技术的发展提供了重要的支持。

2.生物学领域中的数学模型生物学是研究生命现象和生物系统的学科，也离不开数学模型的应用。

生物学中的数学模型可以用来研究生物体的生长、繁殖、迁徙等行为，以及生物系统的动力学特性。

例如，建立动力学方程可以帮助我们理解种群数量的变化规律；建立生物过程的数学模型可以用来预测疾病的传播和控制。

数学建模的主要建模方法

主要建模方法1、类比法建模一般在具体分析该实际问题的各个因素的基础上，通过联想、归纳对各因素进行分析，并且与已知模型比较，把未知关系化为已知关系，在不同的对象或完全不相关的对象中找出同样的或相似的关系，用已知模型的某些结论类比得到解决该“类似”问题的数学方法，最终建立起解决问题的模型2、量纲分析是在经验和实验的基础上，利用物理定律的量纲齐次性，确定各物理量之间的关系。

它是一种数学分析方法，通过量纲分析，可以正确地分析各变量之间的关系，简化实验和便于成果整理。

在国际单位制中，有七个基本量：质量、长度、时间、电流、温度、光强度和物质的量，它们的量纲分别为M、L、T、I、H、J和N，称为基本量纲。

量纲分析法常常用于定性地研究某些关系和性质，利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系，在数学建模过程中常常进行无量纲化，无量纲化是根据量纲分析思想，恰当地选择特征尺度将有量纲量化为无量纲量，从而达到减少参数、简化模型的效果。

3.差分法差分法的数学思想是通过taylor级数展开等方法把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的方程组，将微分问题转化为代数问题，是建立离散动态系统数学模型的有效方法。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。

其基本的差分表达式主要有以下几种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。

通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

差分法的解题步骤为：建立微分方程；构造差分格式；求解差分方程；精度分析和检验4、变分法较少5、图论法数学建模中的图论方法是一种独特的方法，图论建模是指对一些抽象事物进行抽象、化简，并用图来描述事物特征及内在联系的过程。

图论是研究由线连成的点集的理论。

一个图中的结点表示对象，两点之间的连线表示两对象之间具有某种特定关系(先后关系、胜负关系、传递关系和连接关系等)。

数学建模的一般步骤和案例

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
..\Desktop\2010A\cumcm2010A.doc
好的假设：
1、模型建立过程中不考虑储油罐的腐蚀磨损情况。 2、本模型中把计算出的储油罐的容积近似为储油量。 3、数据是储油罐的内壁参数。 4、忽略温度、压力对汽油的密度的影响。 5、储油罐在偏移的过程中，油位探针始终与油罐底面垂直。 6、对卧式储油罐来说，不考虑其长期埋在地下所发生的蠕变。 7、累加进出油量数据是准确可靠的。
一般要求设计2~3个模型（一个简单的、再对模型进行改进，得到第二个模型，就会生动）
推导时，公式若很长，可放在附录中利用现成的软件计算模型数据讨论误差
B题 2010年上海世博会影响力的定量评估
2010年上海世博会是首次在中国举办的世界博览会。从1851年伦敦的“万国工业博览会”开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展望未来发展等的重要舞台。请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
本文是一个储油罐的变位识别与罐容表标定问题，通过对罐体容量的计算，得出罐体的储油量与油位高度的一个数学模型。
问题一：分别对不变位和变位两种情况建立模型，然后把理论储油量与实际储油量的差别建立一个跟油位高的函数关系式，整合到理论模型中，减少误差，从而得出：
不变位罐体的储油量与油位高度的一个数学模型为：

数学学习的模型如何建立数学模型解决实际问题

数学学习的模型如何建立数学模型解决实际问题数学模型是现实世界中问题的抽象表示，它是数学与现实问题相结合的产物。

数学模型的建立和解决方法可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。

本文将介绍数学学习的模型建立过程和如何使用数学模型解决实际问题。

一、数学学习的模型建立过程数学学习的模型建立过程分为以下几个步骤：1. 问题的理解与分析数学模型的建立源于对实际问题的理解与分析。

我们需要准确把握问题的背景、目标和约束条件，了解问题的相关要素和变量，以及它们之间的关系。

通过深入思考和收集信息，我们可以形成对问题的完整认识。

2. 变量的选择与定义在建立数学模型时，我们需要选择合适的变量并对其进行定义。

变量是数学模型的核心元素，它们代表了问题中的实际概念或量化指标。

选择变量要基于对问题的理解和需求，确保它们能够准确地描述问题的本质和特征。

3. 方程的建立与求解数学模型通常通过方程来表示问题中的关系和规律。

在建立模型时，我们需要根据变量之间的关系，建立相应的方程或不等式。

然后，通过数学方法求解这些方程，获得问题的解答或结论。

4. 模型的验证与修正建立数学模型后，我们需要进行模型的验证和修正。

模型的验证是通过与实际数据或经验进行比对，检验模型的准确性和适用性。

如果模型存在不足或错误，我们需要进行修正和改进，使其更好地符合实际问题的需求。

二、如何使用数学模型解决实际问题数学模型可以应用于各个领域的实际问题，例如经济学、物理学、生物学等。

使用数学模型解决实际问题的过程如下：1. 确定问题的研究对象和目标在解决实际问题时，我们首先要明确问题的研究对象和目标。

例如，在经济学中，我们可能需要研究市场供需关系，以及预测价格和销量的变化。

2. 建立数学模型根据问题的要求，我们建立数学模型，选择合适的变量和建立相应的方程。

例如，在研究市场供需关系时，我们可以选择价格和销量作为变量，并建立供需曲线的方程。

3. 数据收集与处理为了建立和求解数学模型，我们需要收集相关的数据，并对其进行处理和分析。

数学建模的一般步骤供学习用

一、问题重述：二、条件假设：三、符号说明：四、问题分析：五、模型建立：六、模型求解：七、结果分析：八、模型改进：九、模型评价：十、参考文献：数学建模的一般步骤数学模型是一种概念符号模型。

对数学模型可以做两种理解：一种是数理逻辑和数学基础中的；另一种是应用数学中的。

建立数学模型以解决现实问题一般要经过以下几个步骤：首先，要充分搜集现实原型的资料，数据，分析它的状态，性质，变化规律，特征，结构，建立经验定律，提出理论假说。

其次，建立数学模型。

这一过程包括什么是所需要解决的问题的主要方面，什么是次要方面，什么是本质，什么是无关紧要的，以及探寻用什么数学语言，符号，结构来表示所研究的问题或经验定律的结构，即要使数学模型结构（主要是概念，关系，公理等）尽可能与原型的概念，结构相吻合。

第三步，解决数学模型所提出的数学问题。

第四步，以原型的数据检验数学模型并对数学解决做出解释和评价。

一般认为，评价一个数学模型的科学价值取决于该模型的预测与观察数据的一致程度。

应该指出的是，正常情况下，建立模型是一个多次反复的过程，是在不断地根据原型修正模型的过程中使两者趋于一致。

另外，对于同一个客观事物可以有多种数学描述，即可建立不同的数学模型，因此有必要在若干模型中选择一个最简单，最恰当，最易于进行数学处理的模型。

可简写为：数学模型的建立和选择【关键字】【摘要】【正文】一、从信息原型到数学模型二、数学模型的建立§2.1 机理分析法§2.1.1直接建模法§2.1.2套用常用模型法§2.1.3针对修改常用模型法§2.1.4 综合创造法§2.2 统计分析法三、数学模型的选择四、总结【附录】【程序】【参考书目】【关键词】信息原型数学模型数学建模【摘要】本文主要探讨的是信息学竞赛中解题的关键：数学模型的建立和选择。

首先分析了从信息原型到数学模型的重要性，提出了解题的简单过程：现实——理论——现实。

如何进行数学建模

如何进行数学建模数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并使用数学方法进行分析和求解的过程。

它在现代科学研究和实际应用中起着举足轻重的作用。

本文将介绍如何进行数学建模，并提供一些实用的建模方法和技巧。

一、问题定义在进行数学建模之前，首先需要明确问题的定义和目标。

问题定义应该精确、明确，并且能够量化和可测量。

同时，需要明确需要哪些数据和假设，以便后续的建模和分析。

例如，我们想研究如何优化城市交通流量。

问题定义可以是：“如何最小化城市中的交通拥堵，提高交通运行效率？”在此定义中，我们需要考虑的因素可能包括道路网络结构、车辆分布、交通信号灯设置等。

二、模型构建在问题定义之后，接下来需要构建数学模型。

数学模型是对实际问题的抽象和描述，通过数学符号和方程来表示问题的关键因素和规律。

常见的数学模型包括线性模型、非线性模型、动态模型等。

选择合适的模型要根据具体的问题和实际情况进行判断。

在构建数学模型时，需要考虑以下几个方面：1. 变量的选择和定义：明确需要考虑的因素，并给出相应的变量定义；2. 假设的制定：根据实际情况，对模型中的关键假设进行制定；3. 方程的建立：利用已知信息和数学理论，建立数学方程来表示问题的关系；4. 参数的确定：对模型中的参数进行估计和确定。

三、模型求解模型求解是将数学模型转化为具体的数学问题，并采用数值计算或符号计算的方法进行求解。

常用的求解方法包括数学优化、数值计算、拟合与回归等。

根据具体的情况选择合适的方法进行求解。

在模型求解的过程中，需要注意以下几点：1. 数据的采集和处理：收集所需的数据，并对数据进行预处理和清洗，确保数据的准确性和可用性；2. 求解算法的选择：根据问题的特点，选择合适的求解算法，并对算法进行调优和优化；3. 结果的分析和验证：对求解结果进行分析和验证，确保结果的有效性和可靠性。

四、模型评价在模型求解的基础上，需要对模型进行评价和验证。

评价模型的好坏，可以从以下几个方面考虑：1. 模型的准确性：模型是否能够准确地描述实际问题；2. 模型的稳定性：模型在不同条件下是否具有稳定性和鲁棒性；3. 模型的可解释性：模型的结果是否能够被解释和理解，并且能够提供有用的信息。

如何建立数学模型

如何建立数学模型数学模型是将现实问题数学化的工具，用于描述和分析问题，并为问题提供解决方案。

下面是建立数学模型的基本步骤：1.理解问题：首先，我们需要全面理解给定问题的背景和要解决的目标。

明确问题的各个方面，确定我们要具体研究的内容。

2.收集数据：在建立数学模型之前，我们需要收集相关的数据。

这可以通过实地调查、文献研究、统计数据等方式进行。

数据的质量和准确性对模型的准确性和可靠性至关重要。

3.建立假设：在建立数学模型之前，我们通常需要进行一些假设。

假设可以简化问题，使之更易于数学处理。

但是，假设必须合理，并与实际情况密切相关。

4.确定变量：确定数学模型中所需的变量。

通常会有自变量和因变量。

自变量是我们要控制或调整的变量，而因变量是我们想要预测、分析或优化的变量。

5.建立数学方程：使用合适的数学工具来建立表示问题的数学方程。

这可能涉及代数方程、微分方程、概率分布等。

我们需要根据问题的特点选择合适的数学方法。

6.模型求解：解决建立的数学模型，通常可以使用解析方法或数值方法。

解析方法是通过数学公式推导获得解析解的方法，而数值方法是通过数值计算获得近似解的方法。

7.模型验证：验证数学模型的准确性和可靠性。

可以通过与已知数据进行比较或使用其他方法进行验证。

如果模型与现实相符，那么我们可以信任它，并进一步应用于问题的解决和分析。

8.模型分析和解释：对模型的结果进行分析和解释，提取有关问题的有用信息。

这可能涉及到观察模型中的趋势、寻找关联、确定影响因素等。

9.模型优化和改进：如果模型结果与实际情况存在显著差异，我们可以对模型进行优化和改进。

这可能包括重新建立模型、调整参数、增加变量等。

10.模型应用：将建立的数学模型应用于实际问题的解决和决策。

这可能包括预测未来趋势、优化决策、制定策略等。

总结起来，建立数学模型需要深入理解问题，收集数据，建立合理的假设，并使用适当的数学方法建立数学方程。

通过求解、验证、分析和优化模型，我们可以得到对问题的深刻理解，并为问题提供解决方案。

建立数学模型的方法、步骤、特点及分类

建立数学模型的方法、步骤、特点及分类[学习目标]1.能表述建立数学模型的方法、步骤；2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；；3.能表述数学建模的分类；4.会采用灵活的表述方法建立数学模型；5.培养建模的想象力和洞察力。

一、建立数学模型的方法和步骤—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱〞系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为根底运用统计分析方法，按照事先确定的准那么在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。

这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。

即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数．可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。

那么应该以机理分析方法为主．当然,假设需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理根本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，那么可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。

建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示．图16-5 建模步骤示意图模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能无视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料.模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或局部失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于区分问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出条件那样．模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．相似类比法，即根据不同对象的某些相似性，借用领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的一个原那么是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏.模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术．模型分析对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得结果给出数学上的预报，有时那么可能要给出数学上的最优决策或控制，不管哪种情况还常常需要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等．模型检验把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比拟，检验模型的合理性和适用性．这一步对于建模的成败是非常重要的，要以严肃认真的态度来对待．当然，有些模型如核战争模型就不可能要求接受实际的检验了．模型检验的结果如果不符合或者局部不符合实际，问题通常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模．有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意．模型应用应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的，这方面的内容不是本书讨论的范围。

数学模型的建立与分析

数学模型的建立与分析数学模型是指将实际问题抽象化和数学化，使用数学符号和方程进行描述和解决的工具。

它在各个领域的科学研究、工程设计等方面起着至关重要的作用。

本文将介绍数学模型的建立与分析的基本过程和方法。

一、数学模型的建立数学模型的建立一般分为四个步骤：问题的描述、选择适当的数学工具、建立数学模型、模型的求解和验证。

首先，问题的描述是建立数学模型的第一步。

需要准确地描述问题的背景、目标和具体的约束条件。

这有助于我们明确问题的关键因素和参数。

接下来，选择适当的数学工具是建立数学模型的关键。

根据问题的特点和要求，可以选择代数方程、微分方程、概率论、优化理论等数学工具。

需要对所选择的数学工具有充分的了解和掌握。

然后，建立数学模型是将问题转化为数学语言的过程。

可以利用方程、不等式、函数等数学符号来描述问题的关系。

需要注意的是，数学模型应该简化和抽象问题的实际情况，以便进行求解和分析。

最后，模型的求解和验证是数学模型建立的最后一步。

可以使用数值方法、解析解法或计算机模拟等手段来求解模型，并将结果与实际情况进行比较和验证。

如果模型的结果与实际情况吻合度较高，那么此模型就可以用来解决实际问题。

二、数学模型的分析数学模型的分析是对数学模型进行定性和定量分析的过程。

通过数学分析，可以揭示模型的内在规律和性质，理解问题的本质并提出解决方案。

在数学模型的分析中，一般会涉及到以下几个方面：解的存在性和唯一性、稳定性、收敛性、最优性等。

解的存在性和唯一性是分析模型是否有解以及解的数量和性质。

稳定性是对模型解的行为和变化趋势进行研究。

收敛性是研究模型的解是否趋向于某个特定值。

最优性是研究如何找到使目标函数取得最优值的解。

在进行数学模型的分析时，需要运用数学分析的方法和理论。

例如，可以使用微分方程的稳定性理论、最优化理论、变分法等。

同时，还可以利用计算机模拟和数值计算等方法对模型进行分析。

通过数值计算，可以得到模型的近似解，并对模型进行灵敏度分析和参数优化。