宁波市高一上学期期末数学试卷 含答案
2020-2021学年浙江省宁波市高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年浙江省宁波市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩（∁U T）＝（）A．{1，5}B．{1}C．{1，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A．B．πC．D．4．已知非零实数a，b满足a＞b，则（）A．B．C．2﹣a＜2﹣b D．ln（|a|）＞ln（|b|）5．已知函数，则＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．16．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1，∀x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜﹣1C．D．a≤﹣18．已知函数f（x）＝log a（x∈（r，a+2））的值域为（1，+∞），则（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．下列选项不正确的是（）A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）B．函数在定义域内是减函数C．所有的周期函数一定有最小正周期D．函数f（x）＝e lnx和函数有相同的定义域与值域10．如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系为：y＝a t．有以下几个判断，正确的是（）A．a＝2B．浮萍从5m2蔓延到15m2只需要经过1.5个月C．在第6个月，浮萍面积超过30m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t311．根据已给数据：x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.753x的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839在精确度为0.1的要求下，方程3x＝x+4的一个近似解可以为（）A．﹣1B．1.5C．1.562D．1.712．已知f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β为参数，若对∀x∈R，f（x）恒为定值，则下列结论中正确的是（）A．B．f（x）＝2C．α+β＝πD．满足题意的一组α，β可以是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sinα＝，则sin（α+β）＝．14．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），其部分图象如图所示，则f（x）＝．15．已知a，b都是正数，若a+b+ab＝3，则a+b的最小值为．16．已知1＜a＜4，函数f（x）＝x+，使得f（x1）f （x2）≥80，则a的取值范围．四、解答题（共6小题）.17．（Ⅰ）求值：若x log32＝1，求2x+2﹣x的值；（Ⅱ）化简：．18．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}，其中m∈R．（Ⅰ）若B＝{x|﹣5＜x＜1}，求实数m的值；（Ⅱ）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，且m＞0，求实数m的取值范围．19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上．（Ⅰ）求cos2α的值；（Ⅱ）若角β满足tan（2α﹣β）＝1，求tan（α﹣β）的值．20．已知函数f（x）＝sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求满足g（x）≥1的实数x的集合．21．为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式．（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？22．已知函数f（x）＝x2+（x﹣1）|x﹣a|．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）记函数f（x）在[﹣2，2]上最大值为g（a），求g（a）的最小值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，则S∩（∁U T）＝（）A．{1，5}B．{1}C．{1，4，5}D．{1，2，3，4，5}解：集合U＝{1，2，3，4，5}，S＝{1，4，5}，T＝{2，3，4}，所以∁U T＝{1，5}，所以S∩（∁U T）＝{1，5}．故选：A．2．“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解：对于一次函数f（x）＝ax+b，（a≠0），若函数f（x）单调递增，则a＞0，反之，“a＞0”能推出“函数f（x）＝ax+b单调递增”，故“a＞0”是“函数f（x）＝ax+b（a≠0）单调递增”的充分必要条件，故选：B．3．已知某扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为（）A．B．πC．D．解：∵扇形的圆心角α为，弧长l为，∴扇形的半径r＝＝2，∴扇形的面积S＝lr＝×2×＝．故选：A．4．已知非零实数a，b满足a＞b，则（）A．B．C．2﹣a＜2﹣b D．ln（|a|）＞ln（|b|）解：对于A，取a＝，b＝，可得a+＝，b+＝，a+＜b+，故A错误；对于B，若a＞0＞b，则＞，故B错误；对于C，由a＞b，可得﹣a＜﹣b，所以2﹣a＜2﹣b，故C正确；对于D，取a＝，b＝﹣2，则ln（|a|）＜ln（|b|），故D错误．故选：C．5．已知函数，则＝（）A．﹣2B．﹣1C．D．1解：因为函数，所以，故＝f（﹣1）＝（﹣1）2＝1．故选：D．6．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．解：函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除D，f（1）＝0，排除A，B，故选：C．7．已知函数f（x）＝4ax2+4x﹣1，∀x∈（﹣1，1），f（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．a＜﹣1C．D．a≤﹣1解：当a＝0时，f（x）＝4x﹣1＜0，解得，故当x＝时，f（x）＞0，故不符合题意；当a＞0时，则有，无解；当a＜0时，则有①，或②，或△＝16+16a＜0③，解得①无解，②无解，③a＜﹣1，故a＜﹣1，综上所述，实数a的取值范围是a＜﹣1．故选：B．8．已知函数f（x）＝log a（x∈（r，a+2））的值域为（1，+∞），则（）A．B．C．D．解：令，因为函数h（x）在（r，a+2）上单调递增，所以，当a＞1时，函数f（x）在（r，a+2）上单调递增，此时值域不可能为（1，+∞），当0＜a＜1时，函数f（x）在（r，a+2）上单调递减，要使得值域为（1，+∞），则有，解得r＝1，．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列选项不正确的是（）A．既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R）B．函数在定义域内是减函数C．所有的周期函数一定有最小正周期D．函数f（x）＝e lnx和函数有相同的定义域与值域解：对于A，若y＝f（x）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f（x）＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故A错误；对于B，函数的减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），但函数在定义域内不是减函数，故B错误；对于C，若一个函数是周期函数，那么它不一定有最小正周期，例如常数函数f（x）＝1是周期函数，但无最小正周期，故C错误；对于D，函数f（x）＝e lnx定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），函数定义域为（0，+∞），值域为（0，+∞），故D正确．故选：ABC．10．如图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y（m2）与时间t（月）的关系为：y＝a t．有以下几个判断，正确的是（）A．a＝2B．浮萍从5m2蔓延到15m2只需要经过1.5个月C．在第6个月，浮萍面积超过30m2D．若浮萍蔓延到2m2，4m2，8m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1+t2＝t3解：由题意，浮萍蔓延的面积y（m2）与时间（t月）的关系：y＝a t（a＞0且a≠1），由函数图象可知函数过点（1，2），∴a1＝2，a＝2，故A正确；函数的解析式为：y＝2t，由，得t1＝log25，由，得t2＝log215，而t2﹣t1＝log215﹣log25＝log23＝＞，故B错误；当t＝5 时，y＝26＝64＞30，故第6个月时，浮萍的面积超过30m2，故C正确；由，，，得t1＝1，t2＝2，t3＝6，则t1+t2＝t3成立，故D正确．故选：ACD．11．根据已给数据：x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.753x的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839在精确度为0.1的要求下，方程3x＝x+4的一个近似解可以为（）A．﹣1B．1.5C．1.562D．1.7解：令f（x）＝3x﹣x﹣4，由已知表格中的数据，可得：f（1.5）＝5.196﹣1.5﹣4＝﹣0.304＜0，f（1.53125）＝5.378﹣1.53125﹣4＝﹣0.15325＜0，f（1.5625）＝5.565﹣1.5625﹣4＝0.0025＞0，f（1.625）＝5.961﹣1.625﹣4＝0.336＞0，f（1.75）＝6.839﹣1.75﹣4＝1.089＞0．∵精确度为0.1，而f（1.5）•f（1.5625）＜0，且|1.5625﹣1.5|＝0.0625＜0.1，f（1.5）•f（1.625）＜0，且|1.625﹣1.5|＝0.125＞0.1，f（1.53125）•f（1.625）＜0，且|1.625﹣1.53125|＝0.09375＜0.1，f（1.53125）•f（1.75）＜0，且|1.75﹣1.53125|＝0.21875＞0.1，∴[1.5，1.625]内的任何一个数，都可以看作是方程3x＝x+4的一个近似解．结合选项可知，B、C成立．故选：BC．12．已知f（x）＝sin2x+sin2（x+α）+sin2（x+β），其中α，β为参数，若对∀x∈R，f（x）恒为定值，则下列结论中正确的是（）A．B．f（x）＝2C．α+β＝πD．满足题意的一组α，β可以是解：＝，由题意，，两式平方相加可得，所以或．当时，2α﹣2β＝符合题意，故选项A，D正确，B，C错误．故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知sinα＝，则sin（α+β）＝．解：sinα＝，所以cosα＝＝＝，sinβ＝＝＝，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ＝×（﹣）+×＝．故答案为：．14．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜），其部分图象如图所示，则f（x）＝2sin（x+）．解：由图象可知A＝2，＝7﹣3＝4，所以T＝8，所以ω＝＝，所以f（x）＝2sin（x+φ），由五点作图法可得×3+φ＝π，解得φ＝，所以f（x）的解析式为f（x）＝2sin（x+）．故答案为：2sin（x+）．15．已知a，b都是正数，若a+b+ab＝3，则a+b的最小值为2．解：∵a、b都为正数且满足a+b+ab＝3，∴a+b+≥3等号当a＝b时成立．∴（a+b）2+4（a+b）﹣12≥0∴a+b≥2或a+b≤﹣6（舍）a+b的最小值为2故答案为216．已知1＜a＜4，函数f（x）＝x+，使得f（x1）f （x2）≥80，则a的取值范围．解：f′（x）＝1﹣＝，令f′（x）＝0，得x＝±3，所以在（1，3）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，在（3，4）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，f（1）＝10，f（4）＝6.25，f（3）＝6，若∃x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得f（x1）f（x2）≥80，只需x1∈[1，a]，x2∈[a，4]，使得[f（x1）f（x2）]max≥80，而f（x1）max＝f（1）＝10，所以f（x2）max≥8，过点B作BC⊥y轴，与函数f（x）的图象交于点C，令x+＝6.25，解得x＝4或2.25，所以当x∈[2.25，4]时，f（x）∈[6，6.25]，所以x2∈（1，2.25），所以a∈（1，2.25），才能使得x2∈[a，4]时，f（x2）max≥8，即f（a）≥8，所以a+≥8，解得a≥4+（舍去）或a≤4﹣，所以1＜a≤4﹣，所以实数a的取值范围为（1，4﹣]，故答案为：（1，4﹣]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（Ⅰ）求值：若x log32＝1，求2x+2﹣x的值；（Ⅱ）化简：．解：（I）由题意，，得2x＝3，得．（Ⅱ）．18．已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{x|x2+4mx﹣5m2＜0}，其中m∈R．（Ⅰ）若B＝{x|﹣5＜x＜1}，求实数m的值；（Ⅱ）已知命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，且m＞0，求实数m的取值范围．解：（I）由题意，﹣5，1是方程x2+4mx﹣5m2＝0的两根，由韦达定理得：，解得m＝1，经检验符合条件．（Ⅱ）由题意，A＝{x|﹣1＜x＜4}，A⊆B，因为m＞0，则B＝{x|﹣5m＜x＜m}，由A⊆B得，，解得m≥4．所以实数m的取值范围是[4，+∞）．19．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上．（Ⅰ）求cos2α的值；（Ⅱ）若角β满足tan（2α﹣β）＝1，求tan（α﹣β）的值．解：（Ⅰ）由题意，因为α在第一象限，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线y＝2x（x≥0）上所以，所以．（Ⅱ）由题意，tanα＝2，则tan（α﹣β）＝tan（2α﹣β﹣α）＝．20．已知函数f（x）＝sin x cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期，并写出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，求满足g（x）≥1的实数x的集合．【解答】解（Ⅰ），所以，周期为T＝＝π，令，得，所以，函数f（x）的单调递增区间为：．（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到y＝sin（4x+）+，再把图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，即y＝sin[4（x﹣）+）+]＝sin（4x﹣）+，即，由，得，解得满足条件的x的集合为：．21．为了预防某流感病毒，某学校对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比：药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式．（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？解：（1）依题意，当0≤x≤0.1时，可设y＝kx，且1＝0.1k，解得k＝10，∴y＝10x，又由，解得a＝0.1，所以；（2）令，解得x＞0.6，即至少需要经过0.6h后，学生才能回到教室．22．已知函数f（x）＝x2+（x﹣1）|x﹣a|．（Ⅰ）若a＝1，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若函数f（x）在[﹣2，2]上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅲ）记函数f（x）在[﹣2，2]上最大值为g（a），求g（a）的最小值．解：（Ⅰ）a＝1时，，（1）当x≥1时，2x2﹣2x+1≤1，解得x＝1，（2）当x＜1时，2x﹣1≤1，解得x＜1，故不等式的解集为{x|x≤1}．（Ⅱ），（1）当，即时，符合条件，（2）当，即时，函数在R上为增函数，符合条件，（3）当，即时，需满足：，解得a≤﹣9；综上：或a≤﹣9．（Ⅲ）解法1：（1）当或a≤﹣9，则f（x）在[﹣2，2]上单调递增，所以g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|；（2）当﹣9＜a≤﹣2，则f（x）＝2x2﹣（a+1）x+a，又对称轴，所以g（a）＝f（2）＝4+|a﹣2|，（3）当﹣2＜a＜﹣1时，g（a）＝max{f（﹣2），f（2）}＝max{4﹣3|a+2|，4+|2﹣a|}＝4+|2﹣a|，（4）当时，g（a）＝max{f（a），f（2）}＝max{a2，4+|2﹣a|}，因a2﹣（4+|2﹣a|）＝a2+a﹣6＝（a+3）（a﹣2）＜0，所以g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，综上，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，当a＝2时，g（a）min＝4．解法2：（1）当a≤﹣2时g（a）＝max{f（2），f（﹣2）}＝f（2）＝4+|2﹣a|，（2）当﹣2＜a＜2时g（a）＝max{f（2），f（﹣2），f（a）}＝max{f（2），f（a）}，又f（a）﹣f（2）＝a2﹣（4+|2﹣a|）＝a2+a﹣6＜0，所以，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|：（3）当a≥2时，f（x）＝（a+1）x﹣a，所以，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，综上，g（a）＝f（2）＝4+|2﹣a|，当a＝2时，g（a）min＝4．。
浙江省宁波市2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)
【解析】
【分析】
化简不等式 ，分离常数 ，根据 的取值范围，求得 的取值范围.
【详解】
原命题等价于存在 ,使得 成立,
即存在 ,使得 成立，即 ,因此 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查不等式成立的存在性问题的求解，属于基础题.
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.
11.已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.
【答案】 (1). 2 (2). 1
【解析】
分析】
根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积.
【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为 ，由扇形的面积公式得 .
(Ⅰ)当 时,求 , ;
(Ⅱ)若 ,求实数m的取值范围.
【答案】(Ⅰ) , ; (Ⅱ)
【解析】
【分析】
（I）利用对数真数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合 ，由此求得 , .
（II）根据 列不等式组，解不等式组求得实数 的取值范围.
【详解】（Ⅰ）当 时,得 ,
由 ,得 ,
于是 ,
;
（Ⅱ）若 ,
1.设全集 , ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据补集的概念和运算，求得 .
【详解】根据补集的概念和运算可知 .
故选：D
【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，解题过程中要细心，容易错选B，属于基础题.
2.下列函数在其定义域上具有奇偶性,且在 上单调递增的是( )
浙江省宁波市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含解析)
高一数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为R ，集合[]2,2A =-，集合{}230B x x x =-≥，则()RA B ⋂=ð（）A.[]2,0-B.[]2,3-C.(]0,2 D.(][),23,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得()R A Bð【详解】()2330x x x x -=-≥，解得0x ≤或3x ≥，所以{|0B x x =≤或}3x ≥，所以{}R |03B x x =<<ð，所以()R A B ⋂=ð(]0,2.故选：C2.函数()3log 5f x x x =+-的零点所在的区间为（）A.()2,3 B.()3,4 C.()4,5 D.()5,6【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.【详解】()f x 在()0,∞+上单调递增，()()3310,4log 410f f =-<=->，所以()f x 的零点在区间()3,4.故选：B3.已知a ，b 为非零实数，则“01ab<<”是“a b <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】当01ab<<时，,a b 同号且非零，则01a b <<，所以a b <.当a b <时，如1,2a b =-=，则0b a<，无法得到01a b <<.所以“01ab<<”是“a b <”的充分不必要条件.故选：A4.函数π2tan 36y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域是（）A.ππ,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭ B.ππ,Z 12x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C.ππ,Z 63k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D.ππ,Z 93k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】利用整体代入法求得正确答案.【详解】由ππ3π62x k +≠+，解得ππ93k x ≠+，所以函数的定义域是ππ,Z 93k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.故选：D5.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()1f x f x +=-，则()2022f =（）A.-1 B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、周期性求得正确答案.【详解】()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，()()()()2111f x f x f x f x +=++=-+=，所以()f x 是周期为2的周期函数，所以()()202200f f ==.故选：B6.已知tan 3α=，则()()sin π2cos ππ3πsin cos 22αααα-++=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.12-B.14C.54D.12【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】()()sin π2cos πsin 2cos tan 2321π3πcos sin 1tan 134sin cos 22αααααααααα-++---====+++⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B7.已知,x y ∈R ，221x y xy ++=，则（）A.22x y+的最大值为23且x y +的最大值为3B.22x y +的最大值为23且x y +的最小值为0C.22x y +的最小值为23且x y +的最大值为3D.22x y+的最小值为23且x y +的最小值为0【答案】C 【解析】【分析】利用222x y xy +≥可求出22xy +的最小值，利用2()4x y xy +≥可求出x y +的最大值.【详解】利用222x y xy +≥，则22222212x x y xy x y y ++++=≤+，整理得2223x y +≥，当且仅当x y =，即2213x y ==时取得等号，即22x y +的最小值为23；利用2()4x y xy +≥，2221()x y xy x y xy ++==+-，即22()()14x y xy x y +=+-≤，整理得24()3x y +≤，即33x y -≤+≤，当且仅当3x y ==时取得等号，故x y +的最大值为3.故选：C 8.若关于x 的方程()()2221161x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，则()12311x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为（）A.-6B.-4C.-3D.-2【答案】A 【解析】【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.【详解】依题意可知0x ≠，由()()2221161x m x x x +-+=+整理得114201x m m x x x++--⋅=+①，即关于x 的方程恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，令1t x x=+，则2t ≤-或2t ≥，则①转化为1420t m m t+--⋅=，即()()222420,48160t m t m m m m +--=∆=-+=+>，根据对勾函数的性质可知1112t x x =+=-是方程()2420t m t m +--=的一个根，所以()()()224220,3m m m -+-⨯--==，所以260t t --=，解得2t =-或3t =，所以23,x x 是方程13x x+=的根，即2310x x -+=的根，所以233x x +=，所以()()12311236x x x x ⎛⎫++=-⨯=- ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】对于复杂方程的跟有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法正确的有（）A.若θ是锐角，则θ是第一象限角B.π1rad 180︒=C.若sin 0θ>，则θ为第一或第二象限角D.若θ为第二象限角，则2θ为第一或第三象限角【答案】ABD 【解析】【分析】根据象限角、弧度制、三角函数值等知识确定正确答案.【详解】A 选项，θ是锐角，即π02θ<<，所以θ是第一象限角，A 选项正确.B 选项，根据弧度制的定义可知π1rad 180︒=，B 选项正确.C 选项，当π2θ=时，πsin 12=，但θ不是象限角，C 选项错误.D 选项，θ为第二象限角，即πππ2π2ππ,ππ,Z 2422k k k k k θθ+<<++<<+∈，所以2θ为第一或第三象限角，D 选项正确.故选：ABD10.关于函数()11cos f x x=+，下列说法正确的是（）A.函数()f x 定义域为RB.函数()f x 是偶函数C.函数()f x 是周期函数D.函数()f x 在区间()π,0-上单调递减【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由于cos π1,1cos π0=-+=，所以()f x 的定义域不是R ，A 选项错误.由1cos 0x +≠得cos 1x ≠-，所以2ππ,Z x k k ∈≠+，所以()f x 的定义域是{}|2ππ,Z x x k k ≠+∈，()f x 的定义域关于原点对称，()()()111cos 1cos f x f x x x-===+-+，所以()f x 是偶函数，B 选项正确.()()()112π1cos 2π1cos f x f x x x+===+++，所以()f x 是周期函数，C 选项正确.当2ππ,Z x k k ∈≠+时，1cos 0x +>恒成立，1cos y x =+在()π,0-上单调递增，所以()11cos f x x=+在区间()π,0-上单调递减，D 选项正确.故选：BCD11.已知0a >且1a ≠，函数()()0axf x x ax =->的图象可能是（）A.B.C. D.【答案】AD 【解析】【分析】根据函数的单调性、特殊点的函数值确定正确答案.【详解】依题意0a >且1a ≠，0010a a -=-<，B 选项错误.()11f a=-当10,01a a -><<时，()10f >，且()=-axf x x a 在()0,∞+上递增，A 选项符合题意.当10,1a a -<>时，()10f <，在CD 选项中，C 选项错误，则D 选项正确.故选：AD12.已知实数a ，b 满足33log log 3log log 4b a a b +=+，则下列关系式可能正确的是（）A.(),0,a b ∃∈+∞，使1a b ->B.(),0,a b ∃∈+∞，使1ab =C.(),1,a b ∀∈+∞，有2b a b <<D.(),0,1a b ∀∈，有2b a b <<【答案】ABCD 【解析】【分析】由原方程可得333411log log log log b a b a-=-，构造函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A;令1ab =，代入原方程转化为判断2ln 3ln12(ln )2b ⋅=是否有解即可判断B ，条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出,a b 大小，判断CD ，【详解】对于A ，由33log log 3log log 4b a a b +=+得333411log log log log b a b a-=-，令331()log log f x x x =-，则()f x 分别在(0,1)和(1,)+∞上单调递增，令341()log log g x x x=-，则()g x 分别在(0,1)和(1,)+∞上单调递增，当(0,1)x ∈时，()f x 的值域为R,当(2,)x ∈+∞时，()g x 的值域为3(log 22,)-+∞，所以存在(0,1),(2,)b a ∈∈+∞，使得()()f b g a =；同理可得，存在(2,),(0,1)b a ∈+∞∈，使得()()f b g a =，因此,(0,)a b ∃∈+∞，使1a b ->，A 正确；对于B ，令1ab =，则方程33log log 3log log 4b a a b +=+可化为3log 3log 42log b b b +=，由换底公式可得2ln 3ln12(ln )02b ⋅=>，显然关于b 的方程在(0,)+∞上有解，所以(),0,a b ∃∈+∞，使1ab =，B 正确；对于C ，当(),1,a b ∈+∞时，因为333343111log log log log log log b a a b a a-=-<-，所以()()f b f a <，又()f x 在()1,+∞上单调递增，所以b a<.又334344111log log log log log log b a a b a a -=->-，令1()h x x x=-，则()h x 在(0,)+∞上单调递增，因为34(log )(log )h b h a >，所以34log log b a >，从而可得4233log log log log b a >=>，所以b >．综上所述可得2b a b <<，C 正确；对于D ，当(),0,1a b ∈时，因为333343111log log log log log log b a a b a a-=->-，所以()()f b f a >，又()f x 在()0,1上单调递增，所以b a>.又333444111log log log log log log b a a b a a -=-<-，令1()h x x x=-，则()h x 在(0,)+∞上单调递增，因为34(log )(log )h b h a <，所以34log log b a <，从而3423log log log log b a <=<，所以b <．综上所述可得2b a b <<，所以D 正确．故选：ABCD【点睛】关键点点睛：对于CD 选项的关键在于变形、放缩，恰当放缩后不等式两边可看做同一函数的两个函数值，据此构造函数，利用函数的单调性，建立自变量的大小关系，化繁为简，得出34log ,log b a 的关系，再利用对数性质放缩即可判断结论，本题难度较大，技巧性较强，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.化简求值：()439log 3log 2log 2⨯+=______.【答案】34##0.75【解析】【分析】根据对数的运算法则、性质，换底公式求解.【详解】()4394332311log 3log 2log 2log 3log 2log 2log 3log 22⎛⎫⨯+=⨯+=⨯ ⎪⎝⎭3221lg3lg 13log 22lg 2lg324=⨯⨯=⨯=.故答案为：3414.已知函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，当[]2,2x ∈-时，值域为[]22-,，且在[]22-,上有两个零点，请写出一个满足上述条件的()f x =______.【答案】22x -（答案不唯一，如22x -亦可）【解析】【分析】根据函数的自变量、值域、零点在学过函数中找到满足条件的函数即可.【详解】根据函数自变量[]2,2x ∈-时，函数值域为[]22-,，可考虑二次函数2()2f x x =-，根据二次函数性质可知[]2,2x ∈-时，min ()(0)2f x f ==-，max ()(2)(2)422f x f f ==-=-=，令()0f x =，解得x =[]22-,上有两个零点.故答案为：22x -（答案不唯一，如22x -亦可）15.炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC 面积为22100πcm ，则当该纸叠扇的周长最小时，AB 的长度为______cm.【答案】10π【解析】【分析】设扇形ABC 的半径为cm r ，弧长为cm l ，根据扇形ABC 的面积得到rl ，纸叠扇的周长2C r l =+，利用基本不等式求解即可.【详解】设扇形ABC 的半径为cm r ，弧长为cm l ，则扇形面积12S rl =.由题意得21100π2rl =，所以2200πrl =.所以纸叠扇的周长240πC r l =+≥==，当且仅当22,200π,r l rl =⎧⎨=⎩即10πr =，20πl =时，等号成立，所以此时AB 的长度为10πcm .故答案为：10π16.已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，若函数()f x 在区间ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭内没有零点，则实数ω的最大值是______.【答案】173【解析】【分析】化简函数解析式，先求出π6x ω+整体的范围，由在区间ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内没有零点得出不等式，解出ω的范围，再结合k 的取值，即可求解.【详解】()πcos 2sin(6f x x x x ωωω=+=+，由ππ,32x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得ππππ36626x ωωπω+<+<+，又()f x 在区间ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭内没有零点，则()πππ36,ππ1π26k k k ωω⎧≤+⎪⎪∈⎨⎪+≤+⎪⎩Z ，解得6165,23k k k ω-+≤≤∈Z ，又6165236102k k k -+⎧≤⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，解得11366k <<，又k ∈Z ，所以1k =或2k =，当1k =时，51123ω≤≤；当2k =时，111723ω≤≤；综上：ω的最大值为173.故答案为：173.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在①x A ∈是x B ∈的充分不必要条件；②A B ⊆；③A B ⋂=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合{}11A x m x m =-≤≤+，集合{}2B x x =≤.（1）当2m =时，求A B ⋃；（2）若______，求实数m 的取值范围.【答案】（1）[]2,3A B =-U （2）答案见解析【解析】【分析】（1）解绝对值不等式求得集合B ，由此求得A B ⋃.（2）通过选择的条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】222x x ≤⇔-≤≤，所以[]2,2B =-.当2m =时，[]1,3A =，所以[]2,3A B =-U .【小问2详解】由（1）得[]2,2B =-，选①，x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则1212m m +≤⎧⎨-≥-⎩且等号不同时成立，解得11m -≤≤.选②，A B ⊆，则1212m m +≤⎧⎨-≥-⎩，解得11m -≤≤.选③，A B ⋂=∅，则12m ->或12m +<-，解得3m >或3m <-.18.已知函数()sin cos f x x x =+，且()15f α=-，()0,πα∈.（1）求()f α-的值；（2）若()1cos 3αβ-=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β.【答案】（1）75-（2）415【解析】【分析】（1）利用平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.（2）利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【小问1详解】由题意()1sin cos 5f ααα=+=-，()0,πα∈，由于sin 0α>，所以cos 0α<，故由221sin cos 5sin cos 1αααα⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩可解得3sin 5α=，4cos 5α=-.所以()7sin cos 5f ααα-=-+=-.【小问2详解】由（1）可知：π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,παβ-∈因为()1cos 3αβ-=，所以()sin 3αβ-==，所以()()()()624cos cos cos cos sin sin 15βααβααβααβ-=--=⋅-+⋅-=.19.已知函数()()2213f x ax a x a =-+-+，a ∈R .（1）若()()()213g x f x a x a =--+-在()0,3上有零点，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2，求实数a 的值.【答案】（1）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）12a =或1a =【解析】【分析】（1）根据二次函数零点分布的知识求得a 的取值范围.（2）根据()f x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦端点或对称轴（二次函数时）处取得最小值进行分类讨论，由此求得a 的值.【小问1详解】()()()22121g x x a x x x a =-+=-+⎡⎤⎣⎦在()0,3上有零点，所以()()3210,3,10,2x a a ⎛⎫=+∈+∈ ⎪⎝⎭，所以11,2a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由于二次函数在闭区间上的最小值只可能在端点或对称轴处取到，所以只需考虑一下三种情况并检验即可：①若172224f a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴167a =.()f x 的图象开口向上，对称轴2316x =，而231162>，不成立，舍.②若()3232f a =-=-，∴12a =.此时()f x 的图象开口向上，对称轴3x =，成立.③若111122f a a a ⎛⎫+=--=- ⎪⎝⎭，∴12a =或1a =.此时()f x 的图象开口向上，对称轴11x a =+，而此时111,32a ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，成立.综上可知，12a =或1a =.20.已知函数()()()1sin 03f x x ωϕω=+>的图象如图所示.（1）求函数()f x 的对称中心；（2）先将函数()y f x =图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移π3个单位后得到函数()y g x =的图象.若()1g x t -≤对任意的5π,012x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】（1）ππ,0424k ⎛⎫-⎪⎝⎭，k ∈Z （2）[]0,1【解析】【分析】（1）根据函数图象求得()f x 的解析式，然后利用整体代入法求得()f x 的对称中心.（2）利用三角函数图象变换的知识求得()g x 的解析式，根据()g x 在区间5π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域转化不等式()1g x t -≤，由此求得t 的取值范围.【小问1详解】由图可知：πππ23124T =-=，所以π2π2T ω==，所以4ω=，()()1sin 43f x x ϕ=+，又π1π1πππsin ,sin 1,2π12333332f k ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π2π6k ϕ=+，k ∈Z .所以()1π1πsin 42πsin 43636f x x k x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令π4π6x k +=，k ∈Z ，则ππ424k x =-，k ∈Z .所以()f x 的对称中心为ππ,0424k ⎛⎫-⎪⎝⎭，k ∈Z .【小问2详解】由题()ππ5sin 2sin 2π366g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当5π5π5π,0,20,1266x x ⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，()[]0,1g x ∈.因为()1g x t -≤对任意的5π,012x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则()()max min11g x t g x t ⎧≤+⎪⎨≥-+⎪⎩.所以[]0,1t ∈.21.近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（按30天计），每件的销售价格()f x （单位：元）与时间x （单位：天）()*130,N x x ≤≤∈的函数关系满足()10kf x x=+（k 为常数，且0k >），日销售量()g x （单位：件）与时间x 的部分数据如下表所示：x 15202530()g x 105110105100设该文化工艺品的日销售收入为()M x （单位：元），且第15天的日销售收入为1057元.（1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型：①()g x ax b =+；②()g x a x m b =-+；③()xg x a b =⋅；④()log b g x a x =⋅.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量()g x 与时间x 的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）利用问题（2）中的函数()g x ，求()M x 的最小值.【答案】（1）1k =（2）选择函数模型②()g x a x m b =-+，()()*20110130,g x x x x =--+≤≤∈N（3）961【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程，由此求得k 的值.（2）根据函数的单调性选择模型并根据已知条件列方程，求得,,a b m ，从而求得()g x 的解析式.（3）结合基本不等式和函数的单调性求得正确答案.【小问1详解】因为第15天的日销售收入为1057元，所以()()()15151510105105715k M f g ⎛⎫==+⨯= ⎪⎝⎭，解得1k =.【小问2详解】由表中的数据知，当时间x 变化时，()g x 先增后减.而函数模型①()g x ax b =+；③()x g x a b =⋅；④()log b g x a x =都是单调函数，所以选择函数模型②()g x a x m b =-+.由()()()()152515*********g g g a b g b ⎧=⎪=+=⎨⎪==⎩，解得1a =-，110b =，20m =.所以日销售量()g x 与时间x 的变化关系为()()*20110130,g x x x x =--+≤≤∈N.【小问3详解】由（2）知()**90,120,N 20110130,2030,Nx x x g x x x x x ⎧+≤≤∈=--+=⎨-+<≤∈⎩所以()()()()**110(90),120,110130,2030,x x x x M x f x g x x x x x ⎧⎛⎫++≤≤∈ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎛⎫⎪+-+<≤∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N 即()**9010901,120,130101299,2030,x x x x M x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩N N .当120x ≤≤，*x ∈N 时，由基本不等式得，()9010901901961f x x x =++≥+=当且仅当9010x x=，即3x =时，等号成立.当20x 30<≤，*x ∈N 时，()130101299f x x x=-++单调递减，所以()()133********f x f ≥=+>.综上所述：当3x =时，()f x 取得最小值，最小值为961.22.定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的[)1,x k ∈+∞，都存在唯一的()2,x k ∈-∞，使得()()21f x f x =，则称函数()f x 是“()V k 型函数”.（1）判断()21f x x =+是否为“()1V -型函数”?并说明理由；（2）若存在实数k ，使得函数()()22log 1g x x ax =++始终是“()V k 型函数”，求k 的最小值；（3）若函数()1,1,1a x x h x x x a x ⎧+-≥⎪=⎨⎪-<⎩，是“()1V 型函数”，求实数a 的取值范围.【答案】（1）不是，理由见解析（2）1（3）1,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据“()V k 型函数”的定义，结合特殊值进行判断.（2）根据()g x 的定义域求得a 的范围，结合“()V k 型函数”的定义以及函数的单调性求得k 的取值范围.（3）对a 进行分类讨论，根据“()V k 型函数”的定义列不等式，由此求得a 的取值范围.【小问1详解】()21f x x =+是偶函数，且在(),0∞-递减，()0,∞+递增.当[)1,x ∈-+∞时，()[)1,f x ∈+∞；当(),1x ∈-∞-时，()(),2f x ∈-∞.若取10x =，则不存在()2,1x ∈-∞-，使得()()211f x f x ==.所以()21f x x =+不是“()1V -型函数”.【小问2详解】首先函数()()22log 1g x x ax =++定义域为R ，则240a ∆=-<，解得22a -<<.由复合函数单调性可知：()g x 在,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭a 单调递减，在,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭a 单调递增.所以只需2a k >-对()2,2a ∀∈-恒成立即可.所以1k ≥，即k 的最小值为1.【小问3详解】由题()1,1,1a x x h x x x a x ⎧+-≥⎪=⎨⎪-<⎩是“()1V 型函数”.当1a <时，()h x 在[)1,+∞上单调递增，()[)1,h x a ∈+∞.而()[)20,h x ∈+∞，要使2x 存在且唯一，则有01a a a≥⎧⎨-≤⎩，解得12a ≥.所以1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.当1a ≥时，()h x在(递减，)+∞递增，()11,h x ⎡∈-+∞⎣.而()()21,h x a ∈-+∞，要使2x 存在且唯一，则有11a -<-，解得4a <.所以[)1,4a ∈.综上可知：1,42a⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.【点睛】新定义问题的求解必须紧扣新定义，新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中.。
浙江省宁波市宁波十校2023届高一上数学期末经典试题含解析
要使得这两条曲线有交点，则使得直线 介于1与2之间，已知1与圆 相切，2过点（1，0），则b分别为 ，故 ，故选A.
【点睛】本道题目考查了圆与直线的位置关系，做此类题可以结合图像，得出b的范围．
4、B
【解析】对于ACD，举例判断即可，对于B，利用不等式的性质判断
【详解】解：对于A，令 ， ，满足 ，但 ，故A错误，
所以 的取值范围是 .
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，函数 的定义域为D，(1) 成立⇔ ；
(2) 成立⇔ .
21、答案见解析
【解析】由题设可得A不为空集， ，根据所选的条件，结合充分不必要关系判断A、B的包含关系，进而列不等式组求参数范围.
【详解】由题意知，A不为空集，
i．如果选① ，因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，
17、（1） . .（2）
【解析】
（1）由 求得 ，作出函数图象可知 的范围；
（2）由函数图象可知区间 所属范围，列不等式示得结论．
【详解】（1）因为 ，所以 .
函数 大致图象如图所示
令 ，得 .
故 有3个不同的零点.
即方程 有3个不同的实根.
由图可知 .
（2）由图象可知，函数 在区间 和 上分别单调递增.
0.0897
－0.007
那么函数 的一个零点的近似值（精确度为0.01）为（）
A.0.55B.0.57
C.0.65D.0.7
3．若曲线 与直线 始终有交点，则 的取值范围是
A. B.
C. D.
4．若 ，则下列不等式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
5．若函数 在区间 上单调递减，则实数 满足的条件是
，
，
2020-2021宁波市高一数学上期末试卷(带答案)
2020-2021宁波市高一数学上期末试卷(带答案)一、选择题1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0- B ．(],8∞-- C ．[)2,∞+ D ．(],0∞- 2．已知集合21,01,2A =--｛，，｝，{}|(1)(2)0B x x x =-+<,则AB =（ ） A ．{}1,0- B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,23．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（ ） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =- 4．已知131log 4a =，154b =，136c =，则（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >> 5．若函数()2log ,? 0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1e B ．e C ．21e D ．2e6．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0kt P P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=）A ．8B ．9C ．10D ．147．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ） A ．(1)(2)(0)f f f -<<B ．(1)(0)(2)f f f -<<C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<8．若函数ya >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a56＋log a 485＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．若0.33a =，log 3bπ=，0.3log c e =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >> 11．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1x x x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( )A ．13B ．14C ．3D ．4 12．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．0a ≥ B ．2a ≥- C ．52a ≥- D ．3a ≥-二、填空题13．已知1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集为______． 14．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．15．已知函数2,1,(){1,1,x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ．16．已知f （x ）是定义域在R 上的偶函数，且f （x ）在[0，+∞）上是减函数，如果f （m ﹣2）>f （2m ﹣3），那么实数m 的取值范围是_____.17．函数20.5log y x =________18．已知()f x ､()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()2x f x g x x -=-，则(1)(1)f g +=__________.19．已知函数1()41x f x a =+-是奇函数，则的值为________. 20．已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________. 三、解答题21．已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，(1)求g (x )的解析式及定义域；(2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21x g x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值. 23．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t .24．某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)y μ与排气时间(min)t 存在函数关系：12mt y c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（c ，m 为常数）。
2022-2023学年浙江省宁波市九校高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年浙江省宁波市九校高一（上）期末数学试卷1. 已知集合A={x|x−3x+2<0}，B={x|y=ln(x+1)}，则A∩B=( )A. {x|−1<x<3}B. {x|3<x}C. {x|x>−1}D. {x|−1≤x<3}2. 下列选项中满足最小正周期为π，且在(0,π4)上单调递增的函数为( )A. y=cos12x B. y=sin12x C. y=(12)cos2x D. y=(12)sin2x3. “a>1”是“函数f(x)=ax2−2x(a∈R)在(1,+∞)上单调递增”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知幂函数y=(a2−a−1)x b(a>1且a∈Z)过点(a,8)，则函数y=√x+blog a(x+3)的定义域为( )A. [−3,−2)∪(−2,+∞)B. (−3,−2)∪(−2,+∞)C. (−2,+∞)D. (−3,+∞)5. 已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过A(sin4π3,cos4π3)，则cos(5π2−θ)=( )A. −√32B. √32C. 12D. −126. 2022年11月15日，联合国宣布，世界人口达到80亿，在过去的10年，人口的年平均增长率为1.3%，若世界人口继续按照年平均增长率为1.4%增长，则世界人口达到90亿至少需要年(参考数据：lg2=0.301，lg3=0.477，lg1.014=0.00604)( )A. 8.3B. 8.5C. 8.7D. 8.97. 函数f(x)=e x+e−x4x2−4|x|的图像最有可能的是( )A. B.C. D.8. 已知x>y>0，且x2−y2=1，则2x2+3y2−4xy的最小值为( )A. 34B. 1 C. 1716D. 989. 下列不等式错误的是( )A. 若a<b<0，则1a−b >1aB. 若a<b<0，则ba>abC. 若a>b>0，则ba<1 D. 若a>b>0，则ac2>bc210. 以下命题正确的是( )A. 函数y=ln(√−x2+x)的单调递增区间为(0,12)B. 函数y=2cos2x+1cos2x+1的最小值为2√2−2C. A为三角形内角，则“A>45∘”是“sinA>sin45∘”的充要条件D. 设α是第一象限，则α2为第一或第三象限角11. 如图所示，角x∈(0,π2)的终边与单位圆O交于点P，A(1,0)，PM⊥x轴，AQ⊥x轴，M 在x轴上，Q在角x的终边上．由正弦函数、正切函数定义可知，sinx，tanx的值分别等于线段MP，AQ的长，且S△OAP<S扇形OAP<S△OAQ，则下列结论正确的是( )A. 函数y =sinx −x 有3个零点B. 函数y =tanx −x 在(−π2,π2)∪(π2,3π2)内有2个零点 C. 函数y =tanx +sinx +x 在(−π2,π2)内有1个零点D. 函数y =tanx +sinx −|tanx −sinx|在(−π2,π2)内有1个零点12. 已知正实数x ，y 满足ln x 2−4x+5y 2+1=x +y −2，则使方程xy+4x 2+y 2=m 有解的实数m 可以为( )A. 52B. 2C. 32D. 113. 命题“∀x ∈R ，x 2>0”的否定是______. 14. 计算√(1−√2)2+log 3(√2743)=______. 15. 已知sin2α=√33，则tan(α−π6)tan(α+π6)的值为______.16. 设函数f(x)={x 2+mx,x ≤0|2x +m|−|x +1|,x >0，若函数的最小值为m 2−1，则实数m 的取值范围为______.17. 已知p ：x 2−ax +4>0在R 上恒成立；q ：存在θ使得a +2≤sinθ；r ：存在x 0∈R ，使得3x 0+a =0，(1)若p 且q 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)若p 或r 是真命题，p 且r 是假命题，求实数a 的取值范围．18. 已知函数f(x)=x 2+(1−2a)x −2a.(1)求关于x 的不等式f(x)>0的解集；(2)若f(1)=6，求函数y =f(x)x−1在x ∈(1,+∞)上的最小值．19. 已知函数f(x)=√3tanxtan 2x+1+12(sin 2x −cos 2x).(1)化简f(x)，并求解f(−π12)；(2)已知锐角三角形内角A 满足f(A)=13，求cos2A 的值．20. 已知函数f(x)=log 3(9x +1)−x.(1)证明：函数g(x)=3f(x)在(0,+∞)上为增函数；(2)求使f(2cos 2θ−3)−f(2+sinθ)<0成立的θ的取值范围．21. 近期，宁波市多家医院发热门诊日接诊量显著上升，为了应对即将到来的新冠病毒就诊高峰，某医院计划对原有的发热门诊进行改造，如图所示，原发热门诊是区域ODBC(阴影部分)，以及可利用部分为区域OAD ，其中∠OCB =∠COA =π2，OC =30√3米，BC =30米，区域OBC 为三角形，区域OAB 为以OA 为半径的扇形，且∠AOD =π6.(1)为保证发热门诊与普通诊室的隔离，需在区域OABC 外轮廓设置隔离带，求隔离带的总长度；(2)在可利用区域OAD 中，设置一块矩形HGIF 作为发热门诊的补充门诊，求补充门诊面积最大值．22. 已知函数f(x)=(x +sin2θ+3)2+[x +asin(θ+π4)]2.(1)当θ=π4时，f(x)最小值为12，求实数a 的值；(2)对任意实数x 与任意θ∈[0,π2]，f(x)≥12恒成立，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：集合A ={x|x−3x+2<0}={x|−2<x <3}，B ={x|y =ln(x +1)}={x|x >−1}，则A ∩B ={x|−1<x <3}. 故选：A.先求出集合A ，B ，再结合交集的定义，即可求解． 本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：对于A ：函数y =cos 12x 的最小正周期为2π12=4π，故A 错误；对于B ：函数y =sin 12x 的最小正周期为2π12=4π，故B 错误；对于C ：函数y =(12)cos2x 的最小正周期为π，且函数f(x)=cos2x 在(0,π4)上单调递减， 根据复合函数的单调性，可知函数y =(12)cos2x 在(0,π4)上单调递增，故C 正确； 对于D ：函数y =(12)sin2x 的最小正周期为π，且函数f(x)=sin2x 在(0,π4)上单调递增， 根据复合函数的单调性，可知函数y =(12)sin2x 在(0,π4)上单调递减，故D 错误． 故选：C.利用周期公式求出各选项的周期，再结合函数的单调性判断各选项即可． 本题考查了三角函数的性质，复合函数的单调性，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：①当a =0时，则函数f(x)=ax 2−2x =−2x 在(1,+∞)上单调递减， ②当a ≠0时，若函数f(x)=ax 2−2x(a ∈R)在(1,+∞)上单调递增， 则{a >01a≤1，∴a ≥1，综上，函数f(x)=ax 2−2x(a ∈R)在(1,+∞)上单调递增时a 的取值范围为[1,+∞), ∴a >1是函数f(x)=ax 2−2x(a ∈R)在(1,+∞)上单调递增的充分不必要条件， 故选：A.利用一次函数，二次函数的单调性求出a ≥1，再利用充要条件的定义判定即可．本题考查了一次函数，二次函数的单调性，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：∵幂函数y=(a2−a−1)x b(a>1且a∈Z)，∴a2−a−1=1，即a=2(a>1)，则y=x b，又幂函数y=(a2−a−1)x b(a>1且a∈Z)过点(a,8)，∴8=2b，即b=3.∴函数y=√x+blog a(x+3)=√x+3log2(x+3)，由{x+3>0x+3≠1，解得x>−3且x≠−2.∴函数y=√x+blog a(x+3)的定义域为(−3,−2)∪(−2,+∞).故选：B.由已知求得a，b的值，再由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】D【解析】解：由题意可得sinθ=cos4π3=−12，所以cos(5π2−θ)=sinθ=−12.故选：D.由已知利用任意角的三角函数的定义可求sinθ的值，进而根据诱导公式即可求解．本题主要考查了任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：设世界人口达到90亿至少需要x年，由题意，得80×(1+1.4%)x≥90⇒1.014x≥98⇒lg1.014x≥lg98⇒xlg1.014≥lg9−lg8⇒xlg1.014≥lg32−lg23⇒xlg1.014≥2lg3−3lg2⇒x≥2lg3−3lg2lg1.014=2×0.477−3×0.3010.00604≈8.44，因此世界人口达到90亿至少需要8.5年．故选：B.根据题意列出不等式，通过取对数，根据对数函数的单调性进行求解即可．本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．7.【答案】A【解析】解：由4x2−4|x|≠0，知x≠0且x≠±1，所以函数的定义域关于原点对称，因为f(−x)=e −x +e x 4(−x)2−4|−x|=e x +e −x 4x 2−4|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数，排除选项B 和D ，又f(12)=e 12+e −124×14−4×12=−(e 12+e−12)<−2√e 12⋅e −12=−2，所以排除选项C.故选：A.根据函数的奇偶性可排除选项B 和D ，再比较f(12)与−2的大小，即可得解．本题考查函数的图象，一般从函数的奇偶性与单调性，特殊点处的函数值等方面着手思考，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：x >y >0，且x 2−y 2=(x +y)(x −y)=1， 设x +y =a ，x −y =b ，则x =a+b 2，y =a−b2，且ab =1，a >0，b >0，∴2x 2+3y 2−4xy =2(a +b 2)2+3(a −b 2)2−4⋅a +b 2⋅a −b2=a 2+9b 2−2ab4≥2√9a 2b 2−2ab4=6−24=1，当且仅当a =3b ，又ab =1，a >0，b >0， 即a =3b =√3时，等号成立， ∴2x 2+3y 2−4xy 的最小值为1. 故选：B.设x +y =a ，x −y =b ，则可得则x =a+b 2，y =a−b2，且ab =1，a >0，b >0，再将问题转化为a ，b 的式子，最后利用基本不等式即可求解． 本题考查换元法的应用，基本不等式的应用，属中档题．9.【答案】ABD【解析】解：对于A ，若a <b <0，不妨令a =−2，b =−1，则1a−b =−1<1a =−12，选项A 错误；对于B ，若a <b <0，则ab >0，即1b <1a <0，所以ba <1<ab ，选项B 错误； 对于C ，若a >b >0，则0<b a<1，选项C 正确；对于D ，若a >b >0，且c =0，则ac 2=bc 2，选项D 错误． 故选：ABD.利用特殊值即可判断选项A 、B 和D 错误，再判断选项C 正确．本题考查了不等式的性质与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．10.【答案】AD【解析】解：由−x 2+x >0，解得0<x <1，令t =−x 2+x ，其对称轴方程为x =12，图象是开口向下的抛物线， 则当x ∈(0,12)时，t =−x 2+x 单调递增，由复合函数的单调性可得，函数y =ln(√−x 2+x)的单调递增区间为(0,12)，故A 正确； 函数y =2cos2x +1cos 2x+1=2(cos2x +1)+1cos 2x+1−2=2[(cos 2x +1)+12cos 2x+1]−2，当cosx =0时，函数y =2cos 2x +1cos 2x+1的最小值为1，故B 错误；A 为三角形内角，当A =150∘>45∘时，sinA <sin45∘，∴“A >45∘”是“sinA >sin45∘”的不充分条件，故C 错误；设α是第一象限，则2kπ<α<π2+2kπ，可得kπ<α2<π4+kπ，k ∈Z ，∴α2为第一或第三象限角，故D 正确． 故选：AD.求出原函数的增区间判断A ；求得函数的最小值判断B ；举例说明C 错误；由象限角的概念判断D. 本题考查命题的真假判断与应用，考查复合函数的单调性与充分必要条件的判定，是中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对于选项A ，因为y =sinx −x ， 则y′=cosx −1≤0，即函数为减函数， 又当x =0时，y =0，即函数y =sinx −x 有1个零点， 即选项A 错误；对于选项B ，函数f(x)=y =tanx −x ，， 则f′(x)=1cos 2x −1，则函数在(−π2,π2)，(π2,3π2)为减函数，又f(0)=0，f(3π4)<0，x →(3π2)−limf(x)>0， 即函数在(−π2,π2)，(π2,3π2)各有一个零点，即函数y =tanx −x 在(−π2,π2)∪(π2,3π2)内有2个零点， 即选项B 正确；对于选项C ，函数g(x)=y =tanx +sinx +x 在(−π2,π2)为增函数， 又g(0)=0，即函数y =tanx +sinx +x 在(−π2,π2)内有1个零点， 即选项C 正确；对于选项D ，当x ∈(−π2,0)时，tanx <sinx ， 即y =2tanx ，显然无零点， 当x ∈(0,π2) 时，tanx >sinx ， 即y =2sinx ，显然无零点， 又当x =0时，y =0，即函数y =tanx +sinx −|tanx −sinx|在(−π2,π2)内有1个零点， 即选项D 正确， 故选：BCD.由三角函数的性质，结合导数的应用逐一判断即可得解． 本题考查了三角函数的性质，重点考查了导数的应用，属基础题．12.【答案】ABC【解析】解：x >0，y >0，∵ln[(x −2)2+1]−ln(y 2+1)=x +y −2， ∴ln[(x −2)2+1]−(x −2)=ln(y 2+1)+y ，设f(2−x)=f(y)，∴y =2−x ，2−x >0，∴2>x >0， m =xy+4x 2+y 2=x(2−x)+4x 2+(2−x)2=−x 2+2x+42x 2−4x+4=−(x 2−2x+1)+52(x 2−2x+1)+2=−(x−1)2+52(x−1)2+2，令t =(x −1)2，∵2>x >0，∴1>t ≥0， ∴m =−t+52t+2=−12+3t+1，设g(t)=−12+3t+1，则g(t)=m 有解等价于y =g(t)与y =m 有交点， 由题意得g(t)在[0,1)内单调递减，且g(0)≥g(t)>g(1)，∴1<m ≤52.故选：ABC.根据题意，化简为ln[(2−x 2)+1]+(2−x)=ln(y 2+1)+y ，设f(x)=ln(x 2+1)+x ，且x >0，根据单调性，得到f(x)在x >0时，单调递增，故f(2−x)=f(y)，得到y =2−x ，代入xy+4x 2+y 2=m ，得到m =−(x−1)2+52(x−1)2+2，设t =(x −1)2，得到m =−12+3t+1，再根据单调性，能求出m 的取值范围．本题考查对数性质、运算法则、构造法、换元法法、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】∃x ∈R ，x 2≤0【解析】解：命题“∀x ∈R ，x 2>0”的否定是∃x ∈R ，x 2≤0. 故答案为：∃x ∈R ，x 2≤0.根据已知条件，结合命题否定的定义，即可求解． 本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．14.【答案】√2−54【解析】解：√(1−√2)2+log 3(√2743)=√2−1+log 33−14=√2−1−14=√2−54.故答案为：√2−54. 利用对数的性质和运算法则求解．本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．15.【答案】−15【解析】解：∵sin2α=√33，tan(α−π6)tan(α+π6)=sin(α−π6)cos(α+π6)cos(α−π6)sin(α+π6)=(√32sinα−12cosα)(√32cosα−12sinα)(√32cosα+12sinα)(√32sinα+12cosα)=sinαcosα−√34sinαcosα+√34=12sin2α−√3412sin2α+√34=12×√33−√3412×√33+√34=−15，故答案为：−15.切化弦展开后化简代入计算即可．本题考查了同角三角函数关系式以及两角和与差的三角函数，属于基础题．16.【答案】{−1+√5}∪(−∞,0)【解析】解：当m =0时，f(x)={x 2,x ≤0|2x|−|x +1|,x >0，即f(x)={x 2,x ≤0x −1,x >0，作出函数图象如图所示：由图可知此时函数f(x)没有最大值，所以m ≠0； 当m >0时，f(x)={x 2+mx,x ≤0x +m −1,x >0，当x ≤0时，f(x)=x 2+mx ，对称轴为x =−m 2<0，所以f(x)在(−∞,−m2)上单调递减，在(−m2,0)上单调递增， 所以f(x)min =f(−m 2)=(−m 2)2+m ⋅(−m2)=−m 24<0，当x >0时，f(x)=x +m −1在(0,+∞)上单调递增，所以f(x)>f(0)=m −1， 由函数f(x)的最小值为m 2−1，此时(m −1)−(m 2−1)=m 2>0，所以函数最小值为−m 24， 所以−m 24=m2−1，解得m =−1+√5或m =−1−√5(舍)；当m <0时，由x ≤0时，f(x)=x 2+mx ，此时f(x)在(−∞,0]上单调递减，所以最小值为f(0)=0>m2−1， 由x >0时，f(x)=|2x +m|−|x +1|={−3x −m −1,0<x <−m2x +m −1,x >−m 2，此时函数在(0,−m2)上单调递减，在(−m2,+∞)上单调递增，所以f(x)min =f(−m 2)=−m 2+m −1=m2−1， 所以当m <0时，函数最小值为m2−l 满足题意，综上所述，当函数f(x)最小值为m2−l 时，实数m 的取值范围为{−1+√5}∪(−∞,0).故答案为：{−1+√5}∪(−∞,0).对m 分大于0，小于0，等于0，同时利用函数图像及函数单调性进行分析求解即可．本题主要考查分段函数的应用，函数最值的求法，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：命题p ：x 2−ax +4>0在R 上恒成立，则Δ=a 2−4×1×4<0，解得−4<a <4；命题q ：存在θ使得a +2≤sinθ，所以a +2≤1，解得a ≤−1； 命题r ：存在x 0∈R ，使得3x 0+a =0，所以a <0；(1)若p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围是{a|−4<a ≤−1}； (2)若p 或r 是真命题，p 且r 是假命题，则p 、r 一真一假， p 真r 假时，应满足{−4<a <4a ≥0，即0≤a <4；p 假r 真时，应满足{a ⩽−4或a ⩾4a <0，即a ≤−4；所以实数a 的取值范围是{a|a ≤−4或0≤a <4}.【解析】先求出命题p 、q 和r 分别为真命题时a 的取值范围，再根据复合命题的真假性求出(1)、(2)中实数a 的取值范围．本题考查了复合函数的定义与应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．18.【答案】解：(1)由f(x)=x 2+(1−2a)x −2a >0可得(x +1)(x −2a)>0，当a ≥−12时，解集为{x|x >2a 或x <−1}， 当a <−12时，解集为{x|x >−1或x <2a}， 当a =−12时，解集为{x|x ≠−1}； (2)因为f(1)=2−4a =6， 所以a =−1，f(x)=x 2+3x +2， 令t =x −1，则t >0， 函数y =f(x)x−1=(t+1)2+3(t+1)+2t=t +6t+5≥2√6+5，当且仅当t =√6，即x =1+√6时等号，故该函数在(1,+∞)上的最小值为5+2√6.【解析】(1)由已知结合二次不等式的求法，根据对应方程根的大小进行分类讨论可求； (2)先求出a ，可求f(x)，然后把所求函数解析式求出，再结合基本不等式可求．本题主要考查了含参二次不等式的求解，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)f(x)=√3tanxtan 2x+1+12(sin 2x −cos 2x)=√3×sinx cosx 1+sin 2x cos 2x−12cos2x =√32sin2x −12cos2x =sin(2x −π6)，所以f(−π12)=sin(−π3)=−√32； (2)因为锐角三角形内角A ，所以−π6<2A −π6<5π6， 因为f(A)=13=sin(2A −π6)∈(0,12)， 所以0<2A −π6<π2， 故cos(2A −π6)=2√23， cos2A =cos(2A −π6+π6)=√32cos(2A −π6)−12sin(2A −π6)=√32×2√23−12×13=2√6−16. 【解析】(1)结合同角基本关系及辅助角公式进行化简，然后把x =−π12代入即可求解； (2)由已知结合同角平方关系及两角和的余弦公式进行化简即可求解．本题主要考查同角基本关系，和差角公式及辅助角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：函数f(x)=log 3(9x+1)−x =log 39x +13x=log 3(3x +13x)， 函数g(x)=3f(x)=3x +13x， 设0<x 1<x 2， 则g(x 1)−g(x 2)=(3x 1+13x 1)−(3x 2+13x 2)=(3x 1−3x 2)+(13x 1−13x 2)=(3x 1−3x 2)(1−13x 113x 2)， 又由0<x 1<x 2，则1<3x 1<3x 2，故有g(x 1)−g(x 2)<0， 故函数g(x)=3f(x)在(0,+∞)上为增函数； (2)根据题意，设t =f(x)=3x +13x，函数y =3t 在R 上为增函数，而函数g(x)=3f(x)在(0,+∞)上为增函数， 故f(x)在(0,+∞)上为增函数， 又由f(x)=log 3(3x +13x)，其定义域为R ，而f(−x)=log 3(3x +13x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数，又由f(2cos 2θ−3)−f(2+sinθ)<0⇔f(2cos 2θ−3)<f(2+sinθ)⇔f(|2cos 2θ−3|)<f(|2+sinθ|)则有|2cos 2θ−3|<|2+sinθ|，即3−2cos 2θ<2+sinθ， 变形可得：2sin 2θ−sinθ−1<0， 解可得：−12<sinθ<1，则有2kπ−π6<θ<2kπ+π2或2kπ+π2<θ<2kπ+7π6，k ∈Z故θ的取值范围为{θ|2kπ−π6<θ<2kπ+π2或2kπ+π2<θ<2kπ+7π6，k ∈Z}. 【解析】(1)根据题意，求出g(x)的解析式，利用作差法分析可得结论；(2)根据题意，由复合函数单调性的判断方法可得f(x)在(0,+∞)上为增函数，再分析g(x)的奇偶性，由此可得原不等式等价于|2cos 2θ−3|<|2+sinθ|，即3−2cos 2θ<2+sinθ，变形解可得答案．本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及复合函数的单调性，属于基础题．21.【答案】解：(1)因为OC =30√3，BC =30，∠OCB =π2，所以tan∠BOC =BCOC =3030√3=√33，OA =OB =√OC 2+BC 2=60，因为∠BOC 为锐角，所以∠BOC =π6， 因为∠COA =π2，所以∠BOA =π3， 所以弧AB 的长为π3×60=20π，所以隔离带的总长度为30√3+30+60+20π=90+30√3+20π(米)； (2)连接OF ，设∠FOA =θ(0<θ<π6)，因为OF =60，所以FI =60sinθ=GH ，OI =60cosθ， 因为∠AOD =π6，所以OG =GH tan π6=60√3sinθ，所以GI =60cosθ−60√3sinθ，所以S =(60cosθ−60√3sinθ)⋅60sinθ=3600sinθcosθ−3600√3sin 2θ =1800[sin2θ−3(1−cos2θ)]=1800[2sin(2θ+π3)−√3]， 因为2θ+π3∈(π3,2π3)， 所以S ≤1800(2−√3)=3600−1800√3， 当θ=π12时取到最大值，所以补充门诊面积最大值为3600−1800√3(平方米).【解析】(1)在直角三角形OBC 中由已知条件可求出∠BOC 和OB ，则可求得<BOA ，从而可求出众的长，进而可求得结果；(2)连接OF ，设∠FOA =θ(0<θ<π6)，则结合已知条件表示出GI ，GH ，然后表示出矩形HGIF 的面积，化简变形后利用正弦函数的性质可求出其最大值． 本题考查三角函数在生活中的应用，属于中档题．22.【答案】解：(1)当θ=π4时，sin2θ=sin π2=1，sin(θ+π4)=sin π2=1，所以f(x)=(x +sin2θ+3)2+[x +asin(θ+π4)]2=(x +4)2+(x +a)2=2x 2+2(a +4)x +a 2+16=2[(x +a+42)2−(a+4)24]+a 2+16=2(x +a+42)2−(a+4)22+a 2+16≥a2+16−(a+4)22，又因为f(x)最小值为12， 即a2+16−(a+4)22=12，所以(a −3)(a −5)=0， 解得a =3或a =5；(2)f(x)=(x +sin2θ+3)2+[x +asin(θ+π4)]2=[(sin2θ+3)−(−x)]2+[asin(θ+π4)−(−x)]2，所以可以看成点(asin(θ+π4),sin2θ+3)与(−x,−x)的距离， 令{y =sin2θ+3x =asin(θ+π4)， 又因为x 2=a 2sin2(θ+π4)=a 2⋅1−cos(2θ+π2)2=12a 2(1+sin2θ)，所以点(asin(θ+π4),sin(2θ+3))在二次函数y =2a 2x 2+2的图像上， 点(−x,−x)在直线y =x 上，直线y =x 到抛物线y =2a 2x 2+2的最小距离的平方为12， 如图所示：所以|AB|2=|A 1B 1|2=12，所以|AB|=|A 1B 1|=√22，|OA 1|=1， 所以直线AA 1：y =x +1，即直线AA 1与二次函数y =2a 2x 2+2只有一个交点，即方程y =2a 2x 2+2=x +1⇔2a 2x 2−x +1=0只有一个解， 即Δ=1−4×2a 2=0，解得a =±2√2， 所以二次函数为y =14x 2+2，A(2,3)， 又因为θ∈[0,π2]，所以y =sin2θ+3∈[3,4]， 所以x 2∈[4,8]， 即x =asin(θ+π4)，x 2=12a 2(1+sin2θ)∈[a 22,a 2]，所以{a 22≤4a 2≥4，解得a ∈[−2√2,−2]∪[2,2√2].【解析】(1)求出sin2θ，sin(θ+π4)代入，变为只含有参数a 的二次函数，化简为顶点式函数，顶点纵坐标即为最小值．(2)把函数可以看成点(asin(θ+π4),sin2θ+3)与(−x,−x)的距离，即直线y =x 到抛物线y =2a 2x 2+2的最小距离的平方为12.本题考查了转化思想、数形结合思想、三角恒等变化，属于难题．。
2023-2024学年浙江省宁波市“十校”高一数学第一学期期末复习检测试题含解析
3、B
【解析】根据函数图像易得 A
2
，T
，求得
，再将点
7 12
,
2
代入即可求得
得值.
【详解】解：由图可知 A 2 ，
T 7 ，则T 2 ，所以 2 ，
4 12 3 4
所以 f x 2 sin 2x ，
将
7 12
,
2
代入得
2
sin
7 6
2，
所以 7 3 2k , k Z ，
域也为 A？若存在，求出 m，n 的值；若不存在，请说明理由.
21．已知函数 f x loga x （ a 0 且 a 1）的图象过点 9, 2 . （1）求函数 f x 的解析式； （2）解不等式 f 3x 1 f x 5 .
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A
2 13 13
， cos
3 13 13
．因为
f
x
A. 1, 2
B. 0,1
C. (1,0)
D. (2, 1)
7．如图，四边形 ABCD 是平行四边形，则
（）
A.
B.
C.
D.
8．设 a，b 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，则下列正确的是（ ）
A.若 a b ， a ，则 b / /
B.若 a / / ， ，则 / /
C.若 a ， ，则 a / /
又
tan
C
tan
A
B
tan
A
B
tan A tan B 1 tan A tan B
1，且
宁波市等九所重点学校高一上期末数学试卷(含解析)
2016-2017学年浙江省宁波市重点学校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知实数集R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|1＜x＜2}2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=log2（x+3）B．y=2|x|+1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=3﹣|x|3．（5分）已知，，，为非零向量，且+=，﹣=，则下列说法正确的个数为（）（1）若||=||，则•=0；（2）若•=0，则||=||；（3）若||=||，则•=0；（4）若•=0，则||=||A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（）A．log20.8＜0.993.3＜log3πB．log20.8＜log3π＜0.993.3C．0.993.3＜log20.81＜log3πD．log3π＜0.993.3＜log20.85．（5分）若角α∈（﹣π，﹣），则﹣=（）A．﹣2tanα B．2tanαC．D．6．（5分）若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可以为（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=7．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称8．（5分）若，，均为单位向量，且•=0，（﹣）•（﹣）≤0，则|+﹣2|的最大值为（）A．1 B．C．﹣1 D．2﹣二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，每空3分；单空每题4分，共36分）9．（6分）已知扇形的周长为30厘米，它的面积的最大值为；此时它的圆心角α=．10．（6分）已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα），若∥，则sinα=；若⊥，则cos（﹣α）+sin（π+α）=．11．（6分）设函数f（x）=，若a=，则函数f（x）的值域为；若函数f（x）是R上的减函数，求实数a的取值范围为．12．（6分）在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，若=x+y（x，y∈R），则2x+y=；若=λ+μ（λ，μ∈R），则3λ+3μ=．13．（4分）已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），则实数a+b=．14．（4分）函数f（x）=3sin（πx）﹣，x∈[﹣3，5]的所有零点之和为．15．（4分）已知函数f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn ＞0），给出下列四个命题：①当b=0时，函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；②函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；③存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；④关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣3，﹣1，0，1}．则正确命题的序号为．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．（14分）已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（﹣x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．17．（15分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+，﹣2）．（1）求函数y=f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若当0≤x≤时，方程f（x）﹣m=0有两个不同的实数根α，β，试讨论α+β的值．18．（15分）已知函数f（x）=为偶函数．（1）求实数t值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1，判断λ与E的关系；（3）当x∈[a，b]（a＞0，b＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣，2﹣]，求实数a，b 的值．19．（15分）如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B（﹣，），∠AOB=α．（1）求的值；（2）设∠AOP=θ（≤θ≤），=+，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（•﹣）2+2S2﹣，求f（θ）的最值及此时θ的值．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣2）|x+a|（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式．2016-2017学年浙江省宁波市余姚中学、镇海中学、慈溪中学、效实中学等九所重点学校高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知实数集R，集合A={x|1＜x＜3}，集合B={x|y=}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|1＜x＜3}C．{x|2≤x＜3}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：由x﹣2＞0得x＞2，则集合B={x|x＞2}，所以∁R B={x|x≤2}，又集合A={x|1＜x＜3}，则A∩（∁R B）={x|1＜x≤2}，故选A．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=log2（x+3）B．y=2|x|+1 C．y=﹣x2﹣1 D．y=3﹣|x|【解答】解：对于A：函数不是偶函数，不合题意；对于B：函数是偶函数，且x＞0时，y=2x+1递增；符合题意；对于C：函数是偶函数，在（0，+∞）递减，不合题意；对于D：函数是偶函数，在（0，+∞）递减，不合题意；故选：B．3．（5分）已知，，，为非零向量，且+=，﹣=，则下列说法正确的个数为（）（1）若||=||，则•=0；（2）若•=0，则||=||；（3）若||=||，则•=0；（4）若•=0，则||=||A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：，，，为非零向量，且+=，﹣=，（1）若||=||，可知以，为邻边的四边形的形状是菱形，则•=0；正确．（2）若•=0，可得：（+）（﹣）=0，即，则||=||；正确．（3）若||=||，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则•=0；正确．（4）若•=0，可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则||=||，正确．故选：D．4．（5分）三个数0.993.3，log3π，log20.8的大小关系为（）A．log20.8＜0.993.3＜log3πB．log20.8＜log3π＜0.993.3C．0.993.3＜log20.81＜log3πD．log3π＜0.993.3＜log20.8【解答】解：∵0＜0.993.3＜1，log3π＞1，log20.8＜0，∴log20.8＜0.993.3＜log3π，故选：A．5．（5分）若角α∈（﹣π，﹣），则﹣=（）A．﹣2tanα B．2tanαC．D．【解答】解：∵α∈（﹣π，﹣），第三象限，∴＜，由﹣=====．故选C．6．（5分）若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可以为（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=【解答】解：根据图象可知：函数是非奇非偶函数，∴B排除．函数图象在第三象限，x＜0，∴D排除．根据指数函数和幂函数的单调性：2x的图象比x3的图象平缓，∴A对．故选A．7．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于直线x=﹣对称D．关于直线x=对称【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为=π，∴ω=2．若其图象向左平移个单位后得到的函数为y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），再根据y=sin（2x++φ）为奇函数，∴+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ﹣，可取φ=﹣．故f（x）=sin（2x﹣）．当x=时，f（x）=≠0，且f（x）=不是最值，故f（x）的图象不关于点（，0）对称，也不关于直线x=对称，故排除A、D；故x=﹣时，f（x）=sin=1，是函数的最大值，故f（x）的图象不关于点（﹣，0）对称，但关于直线x=对称，故选：C．8．（5分）若，，均为单位向量，且•=0，（﹣）•（﹣）≤0，则|+﹣2|的最大值为（）A．1 B．C．﹣1 D．2﹣【解答】解：∵•=0，（﹣）•（﹣）≤0，∴﹣﹣•+≤0，∴（+）≥1，∴|+﹣2|2=（﹣）2+（﹣）2+2（﹣）•（﹣）=4﹣2（+）+2[﹣（（+）+1]=6﹣4（+）≤6﹣4=2，∴|+﹣2|的最大值故选：B二、填空题（本大题共7小题，多空每题6分，每空3分；单空每题4分，共36分）9．（6分）已知扇形的周长为30厘米，它的面积的最大值为；此时它的圆心角α=2．【解答】解：设扇形的弧长为l，∵l+2R=30，∴S=lR=（30﹣2R）R=﹣R2+15R=﹣（R﹣）2+，∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30﹣2R=15，α=2，故答案为，2．10．（6分）已知向量=（4，5cosα），=（3，﹣4tanα），若∥，则sinα=﹣；若⊥，则cos（﹣α）+sin（π+α）=﹣．【解答】解：∵∥，∴15cosα+16tanα=0，15（1﹣sin2α）+16sinα=0，即15sin2α﹣16sinα﹣15=0，sinα∈[﹣1，1]，解得sinα=﹣．∵⊥，∴•=12﹣20s inα=0，解得sinα=．则cos（﹣α）+sin（π+α）=﹣sinα﹣sinα=﹣，故答案为：﹣，﹣．11．（6分）设函数f（x）=，若a=，则函数f（x）的值域为R；若函数f（x）是R上的减函数，求实数a的取值范围为[，] ．【解答】解：若a=，当x＜1时，函数f（x）=x2﹣3x=﹣∈[﹣2，+∞）；当x≥1时，f（x）=≤0，故函数f（x）的值域为[﹣2，+∞）∪（﹣∞，0]=R．若函数f（x）=在R上单调递减，则，求得≤a≤，故答案为：R；[，]．12．（6分）在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，若=x+y（x，y∈R），则2x+y=2；若=λ+μ（λ，μ∈R），则3λ+3μ=4．【解答】解：如图所示，①=+=+，与=x+y（x，y∈R）比较可得：x=，y=1．则2x+y=2．②由②可得：=+，同理可得：=+，∴=λ+μ=λ（+）+μ（+）=+，又=，∴=1，=1．则3λ+3μ=4．故答案为：2，4．13．（4分）已知函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），则实数a+b=+1．【解答】解：∵函数f（x）=log a（0＜a＜1）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）=0，∴log a+log a=log a•=0，即•=1，∴4﹣x2=b2﹣x2，即b2=4，解得b=±2，当b=﹣2时，函数f（x）=log a=f（x）=log a（﹣1）无意义，舍去．当b=2时，函数f（x）=log a为奇函数，满足条件．∵=﹣1+，在（﹣2，+∞）上单调递减．又0＜a＜1，∴函数f（x）=log a在x∈（﹣2，2a）上单调递增，∵当x∈（﹣2，2a）时，函数f（x）的值域是（﹣∞，1），∴f（2a）=1，即f（2a）=log a=1，∴=a，即1﹣a=a+a2，∴a2+2a﹣1=0，解得a=﹣1±，∵0＜a＜1，∴a=﹣1，∴a+b=﹣1+2=+1，故答案为：+1．14．（4分）函数f（x）=3sin（πx）﹣，x∈[﹣3，5]的所有零点之和为8．【解答】解：设t=1﹣x，则x=1﹣t，原函数可化为：x∈[﹣3，5]，g（t）=2sin（π﹣πt）﹣=2sinπt﹣，其中，t∈[﹣4，4]，因g（﹣t）=﹣g（t），故g（t）是奇函数，观察函数y=2sinπt（红色部分）与曲线y=（蓝色部分）的图象可知，在t∈[﹣3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即t1+t2+…+t7+t8=0，从而x1+x2+…+x7+x8=8，故答案为：8．15．（4分）已知函数f（x）=（a≠0，b∈R，c＞0），g（x）=m[f（x）]2﹣n（mn ＞0），给出下列四个命题：①当b=0时，函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减；②函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称；③存在实数p和q，使得p≤f（x）≤q对于任意的实数x恒成立；④关于x的方程g（x）=0的解集可能为{﹣3，﹣1，0，1}．则正确命题的序号为②③．【解答】解：对于①，b=0时，f（x）==，因为a正负不定，所以单调性不定，故错；对于②，f（x）=是奇函数h（x）=左右平移得到，故正确；对于③，当x≠0时，函数h（x）=存在最大、最小值，且f（0）=0，∴函数f（x）也存在最大、最小值，故正确；对于④，关于x的方程g（x）=0的解⇔f（x）=±的解，∵函数f（x）的图象关于x轴上某点成中心对称，故解集不可能是{﹣3，﹣1，0，1}，故错；故答案为：②③．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．（14分）已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3}，函数f（x）=lg（﹣x2+2x+8）的定义域为B．（1）当m=2时，求A∪B、（∁R A）∩B；（2）若A∩B=A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，当m=2时，A={x|1≤x≤7}，B={x|﹣2＜x＜4}，则A∪B={x|﹣2＜x≤7}，又∁R A={x|x＜1或x＞7}，则（∁R A）∩B={x|﹣2＜x＜1}，（2）根据题意，若A∩B=A，则A⊆B，分2种情况讨论：①、当A=∅时，有m﹣1＞2m+3，解可得m＜﹣4，②、当A≠∅时，若有A⊆B，必有，解可得﹣1＜m＜，综上可得：m的取值范围是：（﹣∞，﹣4）∪（﹣1，）．17．（15分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+，﹣2）．（1）求函数y=f（x）的解析式和单调递增区间；（2）若当0≤x≤时，方程f（x）﹣m=0有两个不同的实数根α，β，试讨论α+β的值．【解答】（本题满分为15分）解：（1）由题意可得：A=2，由在y轴右侧的第一个最高点和最低点分别为（x0，2），（x0+，﹣2），可得：=（x0+）﹣x0=，可得：T=π，∴ω=2，可得：f（x）=2sin（x+φ），又∵图象与y轴的交点为（0，1），可得：2sinφ=1，解得：sinφ=，∵|φ|＜，可得：φ=，∴函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x+）…4分由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可解得f（x）的单调递增区间是：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z…8分（2）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+）和y=m（m∈R）的图象，由图可知，当﹣2＜m≤0或1≤m＜2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，当﹣2＜m≤0时，两根和为；当1≤m＜2时，两根和为…15分18．（15分）已知函数f（x）=为偶函数．（1）求实数t值；（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}，λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1，判断λ与E的关系；（3）当x∈[a，b]（a＞0，b＞0）时，若函数f（x）的值域为[2﹣，2﹣]，求实数a，b 的值．【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数，∴=，∴2（t﹣2）x=0，∵x是非0实数，故t﹣2=0，解得：t=2；（2）由（1）得，f（x）=，∴E={y|y=f（x），x∈{1，2，3}}={﹣3，0，}，而λ=lg22+lg2lg5+lg5﹣1=lg2+lg5﹣1=0，∴λ∈E；（3）∵f（x）=1﹣，∴f（x）在[a，b]递增，∵函数f（x）的值域是[2﹣，2﹣]，∴，∵b＞a＞0，解得：a=1，b=4．19．（15分）如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B、P在单位圆上，且B（﹣，），∠AOB=α．（1）求的值；（2）设∠AOP=θ（≤θ≤），=+，四边形OAQP的面积为S，f（θ）=（•﹣）2+2S2﹣，求f（θ）的最值及此时θ的值．【解答】解：（1）依题意，tanα═﹣2，∴==﹣；（2）由已知点P的坐标为P（cosθ，sinθ），又=+，|=|||，∴四边形OAQP为菱形，=sinθ，∴S=2S△OAP∵A（1，0），P（cosθ，sinθ），∴=（1+cosθ，sinθ），∴•=1+cosθ，∴f（θ）=（cosθ+）2+2sin2θ﹣=﹣（cosθ﹣）2+2∵﹣≤cosθ≤，∴当cosθ=，即θ=时，f（θ）max=2；当cosθ=﹣，即θ=时，f（θ）min=1．20．（15分）已知函数f（x）=（x﹣2）|x+a|（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）的最大值为g（a），求g（a）的表达式．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=（x﹣2）|x+1|，当x≤﹣1时，f（x）=﹣（x﹣2）（x+1）=﹣x2+x+2，此时函数为增函数；当x＞﹣1时，f（x）=（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2，此时函数在（﹣1，]上为减函数，在[，+∞）上为增函数；综上可得：当a=1时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1]，[，+∞）；（2）当x∈[﹣2，2]时，函数f（x）=，①当﹣a≤﹣2，即a≥2时，若x∈[﹣2，2]，则f（x）≤0，故g（a）=f（2）=0；②当﹣a≥2，即a≤﹣2时，若x∈[﹣2，2]，则f（x）≤0，故g（a）=f（2）=0；④当﹣2＜﹣a＜2，即﹣2＜a＜2时，若x∈[﹣2，2]，则f（x）≤0，故g（a）=f（2）=0；综上可得：g（a）=0。
浙江省宁波市2019-2020学年第一学期期末考试高一数学试卷及答案
A.x −2 x 2
B.x −2 x 2
C.−2, ?1, 0,1, 2
D.−1, 0,1
2.下列函数在其定义域上具有奇偶性，且在 (0, +) 上单调递增的是（ ）
，则
f
(x)
的单调递增区间为________，
f
(
x)
的值域为________.
15.在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 x 轴非负半轴为始边，它们的终边关于直线 y = x 对称.若
的终边经过点 P (1, 2) ，则 sin + sin = ________.
16.已知
12.已知函数 f ( x) = 2sin (x + ) （其中 0 ， ）的部分图象如图所示，则 = ________， =
________.
2
13.若
log2
a
=
log3
b
=
1 2
,则
ab
=
________，
log6
ab
=
________.
14.设函数
f
(x)
=
log2 ( x +1), x 3 ( x −1)2 − 2,x 3
为第四象限角，化简，
1+ 1+
sin sin
( (
− +
) )
+
1− sin (2 + ) 1− sin (− ) = ________.
( ) 17.非零平面向量 a ， b ，满足 b = 2 ，且 b b − a = b − a ，则 a 的最小值________.
2019-2020学年浙江省宁波市高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省宁波市高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集U Z =,{}2,2A x Z x x =∈≤-≥或,则U A =ð( ) A ．{}22x x -≤≤ B ．{}22x x -<<C ．{}2,?1,0,1,2-D ．{}1,0,1-【答案】D【解析】根据补集的概念和运算，求得U A ð. 【详解】根据补集的概念和运算可知U A =ð{}{}|221,0,1x Z x ∈-<<=-.故选：D 【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，解题过程中要细心，容易错选B ，属于基础题. 2．下列函数在其定义域上具有奇偶性,且在()0,∞+上单调递增的是( ) A ．ln y x = B ．3y x =C ．1y x=D ．1y x x=+【答案】B【解析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确选项. 【详解】对于A 选项，ln y x =为非奇非偶函数，不符合题意.对于B 选项，3y x =为奇函数，且在()0,∞+上递增，符合题意.对于C 选项，1y x=是奇函数，且在()0,∞+上递减，不符合题意. 对于D 选项，1y x x=+是奇函数，且在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，不符合题意. 故选：B 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题.3．在ABC V 中,点M 、N 分别在边BC 、CA 上,若2BC BM =u u u r u u u u r ,3CA CN =u u u r u u u r,则MN =u u u u r( )A ．1126AB AC -+u u u r u u u r B ．1126AB AC -u u ur u u u rC ．1162AB AC -u u ur u u u rD ．1162AB AC +u u ur u u u r【解析】根据向量加法、减法以及数乘运算，求得MN u u u u r的表达式. 【详解】依题意()2132MN AN AM AC AB AC =-=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 1126AB AC =-+u u ur u u u r . 故选：A【点睛】本小题主要考查利用基底表示向量，考查向量加法、减法以及数乘运算，属于基础题. 4．函数()()2 2.178283x f x e e x =+-≈的零点所在的区间是( )A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】利用零点存在性定理，判断出函数()f x 零点所在区间. 【详解】依题意()()()201,130,2220f f e f e ==->=+-<，当2x >时，()0f x <，根据零点存在性定理可知，()f x 零点所在区间是()1,2. 故选：B 【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，属于基础题.5．如图,在圆C 中弦AB 的长度为6,则AC AB ⋅=u u u r u u u r( )A ．6B ．12C ．18D ．无法确定【解析】取线段AB 的中点D ，得CD AB ⊥.利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得AC AB ⋅u u u r u u u r【详解】取线段AB 的中点D ，得CD AB ⊥.所以1cos 2AC A AD AB ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r，所以21cos 182AC AB AC A AB AB ⋅=⋅⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选：C【点睛】本小题主要考查向量数量积运算，考查圆的几何性质，属于基础题. 6．不等式tan 30x ≥的解集为( ) A ．,32k k ππππ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭,k Z ∈B ．,2232k k ππππ++⎡⎫⎪⎢⎣⎭,k Z ∈C ．,3k ππ++∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭,k Z ∈ D ．23,k ππ++∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭,k Z ∈ 【答案】A【解析】解正切型三角不等式求得不等式的解集. 【详解】 依题意tan 3x ≥ππππ32k x k +≤<+，故原不等式的解集为,32k k ππππ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭.k Z ∈. 故选：A 【点睛】本小题主要考查正切型三角不等式的解法，属于基础题.7．函数()2222x x f x x x --=++-大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】利用函数的奇偶性和定义域，确定正确选项. 【详解】依题意函数()f x 的定义域为R ，且()()2222x xf x x x f x --=-++-=-，所以函数为R上的奇函数，由此排除A,B,C 三个选项. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性和定义域，属于基础题. 8．已知角A 是ABC V 的内角,若sin 2cos 1A A -=-,则下列式子正确的是( ) A ．2sin cos 2A A -= B ．2sin cos 2A A +=- C ．3tan 4A = D ．12sin cos 25A A =-【答案】C【解析】结合sin 2cos 1A A -=-与22sin cos 1A A +=，求得sin ,cos A A ，由此判断出正确选项. 【详解】由于sin 2cos 1A A -=-，则sin 2cos 10,cos 0A A A =->>，所以A 为锐角，由22sin 2cos 1sin cos 1A A A A -=-⎧⎨+=⎩，即22sin 2cos 1sin cos 1A A A A =-⎧⎨+=⎩，解得34sin ,cos 55A A ==.所以22sin cos 5A A -=，2sin cos 2A A +=，sin 3tan cos 4A A A ==，12sin cos 25A A =.C 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.9．设函数()()cos 23f x x R x π⎛⎫ ⎪⎝⎭=+∈,则下列结论错误的是( )A ．设1263x x ππ-<<<,则有()()12f x f x >B ．对任意x ∈R ,都有()()f x f x π-=C ．对任意x ∈R ,都有()03f x f x π⎛⎫⎪⎭+ -⎝-=D ．对任意x ∈R ,都有66f x f x ππ-=--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】A 选项利用函数的单调性进行判断.B 选项利用函数的周期性进行判断.CD 选项通过计算证明等式是否正确. 【详解】 A ，由π02π3x ≤+≤解得ππ63x -≤≤，所以()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以1263x x ππ-<<<,则有()()12f x f x >，故A 选项正确.B ，函数()()cos 23f x x R x π⎛⎫⎪⎝⎭=+∈的最小正周期为2ππ2=，所以对任意x ∈R ,都有()()f x f x π-=，故B 选项正确. C ，当0x =时，()()ππππ0cos cos 2cos 1033333f x f x f f π⎛⎫⎛⎫-+-=-+=-+==≠ ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C选项错误. D ，πcos 2cos 2366x f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦--， 6f x π⎛--⎫ ⎪⎝⎭()ππcos 2cos 2cos 263x x x ⎡⎤⎛⎫=--+=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以对任意x ∈R ,都有66f x f x ππ-=--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以D 选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、周期性，考查三角恒等变换，属于中档题.10．已知a R ∈,函数()2f x ax x =-,若存在[]0,1t ∈,使得()()22f t f t +-≤成立,则实数a 的取值范围为( ) A ．[]0,1 B ．(],1-∞C ．0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,⎛-∞⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】化简不等式()()22f t f t +-≤，分离常数a ，根据t 的取值范围，求得a 的取值范围. 【详解】()()()()()22222442f t f t a t t at t at a ⎡⎤+-=+-+--=+-⎣⎦Q∴原命题等价于存在[]0,1t ∈,使得4422at a +-≤成立,即存在[]0,1t ∈,使得11a t ≤+成立，即max11a t ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭,因此1a ≤. 故选：B 【点睛】本小题主要考查不等式成立的存在性问题的求解，属于基础题.二、填空题11．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________. 【答案】2 1【解析】根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积. 【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为2，由扇形的面积公式得221121122S r α=⋅⋅=⨯⨯=.故答案为：(1). 2 (2). 1 【点睛】本小题主要考查弧度制的定义和扇形面积公式，属于基础题.12．已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（其中0>ω,ϕπ<）的部分图象如图所示,则ω=________,ϕ=________.【答案】2312π【解析】首先根据图像求得函数()f x 的周期，进而求得ω的值，再由点5π,28⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ的值.【详解】根据图像可知，11π5π3π4884T =-=，所以3πT =，即()2π3π0ωω=>，解得23ω=.所以()22sin 3f x x ϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则5π25π5π2sin 2sin 283812f ϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5πsin 112ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由于ϕπ<，所以5πππ,12212ϕϕ+==.故答案为：(1). 23(2). 12π【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求参数，属于基础题. 13．若231log log 2a b ==,则ab =________,6log ab =________. 612【解析】将对数式化为指数式，求得,a b 的值，进而求得ab 的值以及6log ab 的值. 【详解】由231log log 2a b ==得11222,3a b ==，所以()11112222232366ab =⨯=⨯==12661log log 62ab ==. 故答案为：(1). 6 (2).12【点睛】本小题主要考查对数式化为指数式，考查指数运算和对数运算，属于基础题.14．设函数()()()22log 1,312,3x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨--<⎪⎩,则()f x 的单调递增区间为________,()f x 的值域为________.【答案】[)1,+∞ [)2,-+∞.【解析】画出()f x 的图像，根据图像求得()f x 的单调递增区间和值域. 【详解】画出()f x 的图像如下图所示，由图可知，()f x 的单调递增区间为[)1,+∞，()f x 的值域为[)2,-+∞.故答案为：(1). [)1,+∞ (2). [)2,-+∞【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 15．在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以x 轴非负半轴为始边,它们的终边关于直线y x =对称.若α的终边经过点()1,2P ,则sin sin αβ+=________.【答案】5【解析】由α终边上一点的坐标，求得sin α，根据对称性求得β终边上一点的坐标，由此求得sin β，进而求得sin sin αβ+. 【详解】由于α的终边经过点()1,2P ，所以sin 5α==.点P 关于直线y x =对称点为()2,1，所以sin 5β==，所以sin sin 5αβ+=.【点睛】本小题主要考查根据角的终边上点的坐标求三角函数值，考查点关于y x =对称点的坐标的特点，属于基础题. 16．已知α为第四象限角,化简=________.【答案】2cos α【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所求表达式. 【详解】依题意α为第四象限角，所以=+=+1sin 1sin 1sin 1sin 2cos cos cos cos αααααααα+-++-=+==.故答案为：2cos α【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17．非零平面向量a r ,b r,满足2b =r ,且()b b a b a ⋅-=-r r rr r ,则a r 的最小值________.【答案】3【解析】首先求得b r与()b a -r r 的夹角，然后结合图像，解直角三角形求得a r 的最小值.【详解】2b =r Q ,()b b a b a ⋅-=-r r r r r ,设b r 与()b a -r r 的夹角为θ,因此()1cos 2b b a b a b θ⋅-==-⋅r r r r r r即b r 与()b a -r r 的夹角为3π（如图）,ar 的终点在射线BA 上,因此a r 的最小值为3sin 23b θ⋅=⨯=r . 故答案为：3【点睛】本小题主要考查向量夹角公式，考查向量数量积的运算，考查数形结合的思想方法，属于中档题.三、解答题18．已知集合{}51A x m x m =-<<-,函数()()2lg 6f x x x =-++,记()f x 的定义域为B .(Ⅰ)当2m =时,求A B U ,A B I ; (Ⅱ)若A B ⋂≠∅,求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ) {}33A B x x ⋃=-<<,{}21A B x x ⋂=-<<; (Ⅱ) 18m -<< 【解析】（I ）利用对数真数大于零以及一元二次不等式的解法，求得集合B ，由此求得A B U ,A B I .（II ）根据A B ⋂≠∅列不等式组，解不等式组求得实数m 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当2m =时,得{}31A x x =-<<,由260x x -++>,得{}23B x x =-<<, 于是{}33A B x x ⋃=-<<, {}21A B x x ⋂=-<<;（Ⅱ）若A B ⋂≠∅,则1253m m ->-⎧⎨-<⎩, 得18m -<<.【点睛】本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，考查集合交集、并集的概念和运算，考查根据交集的结果求参数，属于基础题.19．已知a r ,b r ,c r 是同一平面内的三个向量,且()1,2a =-r .(Ⅰ)若5c =r ,且//c a r r ,求c r 的坐标;(Ⅱ)若3b =r ,且3a b +r r 与3a b -r r 垂直,求向量a r 与b r 夹角的余弦值.【答案】(Ⅰ) c =-r ,或(c =r ; (Ⅱ) 【解析】（I ）利用c a λ=r r 设出c r 的坐标，根据5c =r 列方程，由此求得c r 的坐标.（II ）根据3a b +r r 与3a b -r r 垂直，则()()330a b a b +⋅-=r r r r ，化简后求得32a b ⋅=r r ，利用向量夹角公式，计算出向量a r 与b r 夹角的余弦值. 【详解】（Ⅰ）设()2,a c λλλ==-r r5c =r Q,5=,即λ=故c =-r ,或(c =r ; （Ⅱ）()()33a b a b +⊥-r r r r Q ,()()330a b a b ∴+⋅-=r r r r 即223830a a b b +⋅-=r r r r ,代入整理得32a b ⋅=r rcos 10a b a bθ⋅==⋅r r r r , ∴向量a r 与b r【点睛】本小题主要考查根据向量平行和模求参数，考查向量垂直的表示，考查向量夹角公式，属于基础题.20．已知函数()()sin 033x f x πωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=-<<,满足06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. (Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的单调递增区间;(Ⅱ)将函数()f x 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4π个单位,得到函数()y g x =的图象,求()g x 在344,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 【答案】(Ⅰ) 62k ω=+,k Z ∈.单调递增区间为51212,k k ππππ-++⎡⎤⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ (Ⅱ) ()1,2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【解析】（I ）利用06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合03ω<<，求得ω的值，再由三角函数单调区间的求法，求得函数()f x 的单调递增区间.（II ）根据图象变换的知识求得()g x 的解析式，再根据三角函数取值范围的求法，求得()g x 在344,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 【详解】（Ⅰ）因为()sin 3f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭,06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以63k ωπππ-=,k Z ∈ 因此62k ω=+,k Z ∈又03ω<<,2ω=,因为()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以222232k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈即51212k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈ 因此函数()f x 的单调递增区间为51212,k k ππππ-++⎡⎤⎢⎥⎣⎦,k Z ∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）得()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,因此()ππsin sin 4312y g x x x π⎛⎫==+-=⎛⎫ ⎪⎝-⎪⎝⎭⎭ ， 又344,x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,,21233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 所以()31,2g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查三角函数单调区间，考查三角函数图象变换，考查三角函数值域的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21．在直角梯形ABCD 中,//AB CD ,90DAB ∠=︒,2AB =,1CD =,P 是线段AD 上(包括端点)的一个动点.(Ⅰ)当3AD =时,(i )求AC AB ⋅u u u r u u u r 的值;(ⅱ)若54PB PC ⋅=u u u r u u u r ,求AP u u u r 的值; (Ⅱ)求2PB PC +u u u r u u u r 的最小值.【答案】(Ⅰ) （i ）2 （ⅱ）3AP =u u u r (Ⅱ) 最小值为5 【解析】建立平面直角坐标系.（I ）当3AD =时，（i ）利用向量数量积的坐标运算，求得AC AB ⋅u u u r u u u r. （ii ）设AP t =u u u r 得出P 点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合54PB PC ⋅=u u u r u u u r ，求得t ，也即求得AP u u u r的值.（II ）设()1,C c 、()0,P t ，而()2,0B ，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得2PB PC +u u u r u u u r 的表达式，由此求得2PB PC +u u u r u u u r 的最小值.【详解】 以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系.（Ⅰ）当3AD =时,（i ）2AB =Q ,()2,0AB ∴=u u u r ,(3AC =u u u r 因此21032AC AB ⋅=⋅+=u u u r u u u r ; （ⅱ）设AP t =u u u r ,即点P 坐标为()0,t ,则()2,PB t =-u u u r ,()3PC t =u u u r , ())2235213324PB PC t t t t t ⎛⋅=⋅+-⋅=+=+ ⎝⎭u u u r u u u r 当32t =时,54PB PC ⋅=u u u r u u u r ,即3AP =u u u r （Ⅱ）设()1,C c 、()0,P t ,又()2,0B则()()()222,15,,3PB PC t c t c t +=-+-=-u u u r u u u r ,()222535PB PC c t ∴+=+-≥u u u r u u u r ,当3t c =时取到等号, 因此2PB PC +u u u r u u u r 的最小值为5【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量模的运算，解决方法是坐标法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.22．设函数()()2a x f ax x =-+,其中a R ∈.(Ⅰ)当1a =时,求函数()f x 的零点;(Ⅱ)若对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-,求实数a 的取值范围.【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 0⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（I ）当1a =时，将()f x 表示为分段函数的形式，结合一元二次方程的解法，求得()f x 的零点.（II ）方法一：当0a ≥时，求得()f x 表达式，结合二次函数对称轴和单调性以及()1f x ≥-列不等式，解不等式求得a 的值.当0a <时，分成105a -<<和15a ≤-两种情况进行分类讨论，结合函数()f x 的单调区间和最值列不等式（组），由此求得a 的取值范围.方法二：利用()f x 在区间[],1a a +端点的函数值不小于1-列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围，再结合二次函数的性质，证明对所求得的a 的取值范围，恒有()1f x ≥-.【详解】（Ⅰ）当1a =时,()2231,01,0x x x f x x x x ⎧---≤=⎨--->⎩,（i ）当0x ≤时,令()0f x =,即2310x x ---=,解得32x -±=; （ⅱ）当0x >时,令()0f x =,即210x x ---=,此方程∆<0,无实数解.由（i ）（ⅱ）,得()f x 的零点为32--,32-+ （Ⅱ）方法1.（i ）当0a ≥时, 对于[],1x a a ∈+,得()2222324a a f x x ax a x =---=-+⎪⎭-⎛⎫ ⎝, 显然函数()f x 在[],1a a +上递减,要使()1f x ≥-恒成立,只需()()min 11f x f a =+≥-,即23311a a --≥--,得10a -≤≤,又0a ≥,所以0a =符合题意.（ⅱ）当0a <时,()2222,03,0x ax a x f x x ax a x ⎧---≤=⎨--->⎩ 22223,02435,024a a x x a a x x ⎧⎛⎫-+-≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-++> ⎪⎪⎝⎭⎩ 由3022a a ->->,知函数()f x 在32,a ⎛-∞-⎤ ⎥⎝⎦上递增,在,32a -+∞⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减.以下对a 再进行分类1︒当312a a -<+,即105a -<<时, 函数()f x 在2,3a a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦上递增,在31,2a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上递减. 此时()()(){}min min ,1f x f a f a =+, 只需()()111f a f a ⎧≥-⎪⎨+≥-⎪⎩, 即()()222411211a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥⎪⎩解得330a a ⎧-≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩,即03a -≤≤ 又105a -<<,所以105a -<<符合题意. 2︒当312a a -≥+,即15a ≤-时, 函数()f x 在[],1a a +上递增.要使()1f x ≥-恒成立,只需()()min 1f x f a =≥-,即2231a a ≥--,得33a -≤≤, 又15a ≤-所以135a -≤≤-符合题意.由（i ）（ⅱ）,得实数a的取值范围是0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 方法2.因为对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-,所以()()111f a f a ⎧≥-⎪⎨+≥-⎪⎩, 即()()222411211a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥-⎪⎩,解得0a ≤≤. 下面证明,当0,3a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-, （i ）当0a x ≤≤时,()2222324a a f x x ax a x =---=-+⎪⎭-⎛⎫ ⎝递增, 故()()231f x f a a ≥=--≥成立; （ⅱ）当01x a ≤≤+时,()223f x a x ax =---, ()221115515124f a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=---=-++≥-,()21013f a =-≥->-, 故()()(){}min 1,01f x f a f ≥+≥-成立.由此,对任意[],1x a a ∈+,恒有()1f x ≥-,【点睛】本小题主要考查分段函数的零点、单调性、最值，考查二次函数的性质，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.。
浙江省宁波中学2022-2023学年高一数学第一学期期末联考试题含解析
【详解】由 x2 5x 4 0 ，得1 x 4 ，
所以 B x 1 x 4，
因为 A 0,1, 2,3，
所以 A B 1, 2,3 ，
故选：D
4、D
【解析】由已知
，所以
考点：集合的运算 5、D
【解析】根据题意，集合 A 的所有子集个数 22 =4 ，选 D
6、D 【解析】利用幂函数的定义求得指数的值，得到幂函数的解析式，进而结合幂函数的图象判定单调性和奇偶性
万元，且
R
901x2
9450x x
10000
,
x
40
经测算，当生
产 10 千台空调需另投入的资金 R＝4000 万元．现每台空调售价为 0.9 万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完
（1）求 2022 年企业年利润 W（万元）关于年产量 x（千台）的函数关系式；
（2）2022 年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？
A.
y
2
sin
2x
2 3
B.
y
2
sin
2
x
3
C.
y
2
sin
x 2
3
D.
y
2
sin
x 2
3
3．已知集合 A 0,1, 2,3， B x x2 5x 4 0 ，则 A B （）
A. 1, 4
B. 1, 3
C. 2, 3
D.1, 2,3
4．已知集合 A x | 0 log4 x 1, B x | x 2，则A B
的 16．已知sin cos 1 ，则sin2 _______. 3
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
浙江省宁波市最新高一数学上学期期末考试试题新人教A版-经典通用宝藏文档
浙江省宁波市2012-2013学年高一数学上学期期末考试试题一、选择题：（本题一共10个小题，每题3分，共计30分）1、若3tan =α,5tan =β,则)tan(βα-的值为（ ） A ．81-B ．74-C ．21D ．71-2、以下函数中，图象关于原点对称的是（ ）A ．x y sin -=B ．x x y sin -=C ．)sin(x y -=D ．x y sin = 3、522)1(log )(x x x x f +-+=，若n m f =)(，则=-)(m f （ ） Ａ． n m + Ｂ． n m - Ｃ．－m Ｄ．－n 4、若函数)1,0()1()(≠>--=-a a a a k x f xx在R 上既是奇函数，又是减函数，则)(log )(k x x g a +=的影象是（ ）5、若函数的图象)0)(4tan(>+=ωπωx y 向右平移6π个单位长度后,与函数 )6tan(πω+=x y 的图象重合,则ω的最小值为( )A ．61 B ．41 C ．31 D ．216、已知0x 是函数1()21xf x x=+-的一个零点. 若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，则 ( )A ．()()120,0f x f x <<B ．()()120,0f x f x <>C ．()()120,0f x f x ><D ．()()120,0f x f x >> 7、已知()b x x f ++=)cos(2ϕω，对于任意实数x 都有()x f x f -=+)4(π成立，且1)8(-=πf ，则实数b 的值为（ ） A ．1± B ．3-或1 C ．3± D ．1-或38、已知函数()cos 2f x x π=+（x R ∈），则以下叙说错误的是（ ）A ．()f x 的最大值与最小值之和等于πB ．()f x 是偶函数C ．()f x 在[]4,7上是增函数D ．()f x 的影象关于点,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 9、若*,x Rn N∈∈，规定：(1)(2)(1)nxx x x x n H=++⋅⋅⋅⋅⋅+-，例如：（ ） 44(4)(3)(2)(1)24H -=-⋅-⋅-⋅-=，则52()x f x x H -=⋅的奇偶性为 A ．是奇函数不是偶函数 B ．是偶函数不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数10、设函数()1cos 2sin 3++=x x x f .若实数c b a ,,使得()()1=-+c x bf x af 对任意实数x 恒成立，则acb cos 的值为（ ） A ．1- B ．21 C ．1 D ．21-二、填空题：（本题一共7个小题，每题4分，共计28分）11、函数1lg(3)y x =+-的定义域是____ __ .12、比较以下数的大小：101sin ,47cos ,23cos -从小到大的按次是___________ .13、已知ααααsin cos cos sin 21-=-，则α取值范围是________________.14、幂函数ax x f =)(的图象经过点(2，4)，则x x a cos cos 2-的值域是 ．15、已知函数2log (0)()2(0)x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只需一个实根，则实数a 的取值范围是 .16、给出四个命题①若.,k 2-,cos cos Z k ∈==πβαβα则 ②函数)32cos(2π+=x y 的影象关于点)0,12(π对称.③函数x y sin =是周期函数.④函数()()R x x y ∈=sin cos 是偶函数.其中正确的是________________________ .17、对于函数,2)(2k x x x f +-=R k ∈，当2≤+b a 时，在定义域[]b a ,内值域也是[]b a ,，则实数k 的取值范围是_______________. 三、解答题：（一共5个大题，18，19每题10分，20，21每题12分，22题15分） 18、己知31)tan(-=+απ．(1)求22sin 2cos 2cos )2sin(2+++-ααααπ．(2)若α是钝角，βα-是锐角，且53)sin(=-βα，求βsin 的值．19、已知函数)1lg()1lg()(x x x f -++=． (1)求函数)(x f 的定义域； (2)判断函数)(x f 的奇偶性；(3)若)(lg )(x g x f =，判断函数)(x g 在(O ，1)内的单调性，并用定义证明．20、已知函数()()ϕωϕω+-+=x x x f cos )sin(3()0,0><<ωπϕ为偶函数，且函数()x f y =图象的两相邻对称轴间的距离为.2π（Ⅰ）求)8(πf 的值；（Ⅱ）将函数()x f y =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到本来的4倍，纵坐标不变，得到函数()x g y =的图象，求()x g 的单调递减区间. ．21、已知函数()()()sin 0,0f x A x B A ωϕω=++>>的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数()()0y f kx k =>周期为23π，当[0,]3x π∈时，方程()f kx m =恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围.22、设函数()f x xx a b =-+．（1）当1=a ，1=b 时，求一切使x x f =)(成立的x的值。
2021-2022学年浙江省宁波市镇海中学高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 300°化为弧度是( )A. 43πB. 53πC. 74πD. 76π2. 已知角α的终边经过点P(m,−6)，且cosα=−45，则m =( )A. 8B. −8C. 4D. −43. 已知sin(θ+π)<0，cos(θ−π)>0，则下列不等关系中必定成立的是( )A. sinθ<0，cosθ>0B. sinθ>0，cosθ<0C. sinθ>0，cosθ>0D. sinθ<0，cosθ<04. 要得到函数y =sin(2x −π3)的图象，只需将函数y =sin2x 的图象( )A. 向左平行移动π3 B. 向右平行移动π3 C. 向左平行移动π6D. 向右平行移动π65. 在[0,2π]上满足sinx ≥12的x 的取值范围是( )A. [0,π6]B. [π6,5π6]C. [π6,2π3]D. [5π6,π]6. 在△ABC 中，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −4AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，则cosA 的最小值为( ) A. 15B. 25C. 35D. 457. 已知α，β为锐角，且4sin 2α+2sin 2β=1，2sin2α−sin2β=0，则cos(2α+2β)=( )A. −14B. 14C. −√154D. −138. 已知函数f(x)=x 2+x|x −a|+a ，若函数f(x)恰有2个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，则x 2x 1的取值范围是( )A. [−12,0]B. [−12,0)C. [−12,12]D. [−12,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列函数中，周期为1的函数是( )A. y =cos(2πx)B. y =sin(2πx)C. y =tan(2πx)D. y =sin(2πx)cos(2πx)10. 对于任意向量a ⃗ ，b ⃗ ，c⃗ ，下列命题中不正确的是( ) A. 若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则a ⃗ 与b ⃗ 中至少有一个为0⃗ B. 向量a ⃗ 与向量b ⃗ 夹角的范围是[0,π) C. 若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则a ⃗ ⋅b ⃗ =0 D. [(b ⃗ ⋅c ⃗ )a ⃗ −(c ⃗ ⋅a ⃗ )b ⃗ ]⋅c ⃗ =0 11. 下列各式中值为1的是( )A. tan12°+tan33°1−tan12∘tang33∘B. sin π12cos π12 C. sin72°cos18°+cos72°sin18°D. √2(cos 2π8−sin 2π8)12. 已知函数f(x)=e |x+4|sin(bx)，若存在实数a ，使得y =f(x +a)是奇函数，则sinb的值可能为( )A. √22B. √32C. −√22D. −√32三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 一个扇形的弧长与面积的数值都是5，这个扇形中心角的弧度数是______． 14. 在▱ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为BC 的中点，则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ (用a ，b 表示)．15. 如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB =60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是______ ．16. 已知函数f(x)={|2x −1|,0<x ≤m2sin(π3x)+1,m <x ≤10恰有3个零点，则m 的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知θ∈(π,3π2)，且sin 4θ+cos 4θ=59． (1)求sin2θ的值； (2)求tanθ的值．18.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−35,−45).(1)求6sinα3cosα−sinα的值；(2)若角β满足sin(α+β)=513，求cosβ的值．19.已知|a⃗|=2，|b⃗ |=1，(a⃗−3b⃗ )⋅(a⃗+b⃗ )=3．(1)求|a⃗+b⃗ |的值；(2)求a⃗与a⃗−2b⃗ 的夹角．20.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π2)的某一周期内的对应值如表：x −π6 π3 5π6 4π3 11π6f(x) −1 1 3 1 −1(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y =f(nx)(n >0)的最小正周期为2π3，当x ∈[0,π3]时，关于x 的方程f(nx)=m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．21. 在如图所示的平面图形中，已知OM =1，ON =2，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求： (1)设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求x +y 的值； (2)若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且<OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >∈[π6,π3]，求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值及此时的夹角<OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >.22.已知函数f(x)=2a(sinx−cosx+tanx)2+(a−1)(sinx−cosx+tanx)−8，其中a>0．]，求g(x)的值域；(1)设g(x)=sinx−cosx+tanx，x∈[0,π4]，|f(x1)−f(x2)≤a2+1，求实数a的取值范围．(2)若对任意x1，x2∈[0,π4答案和解析1.【答案】B【解析】解：300°=300×π180=5π3．故选：B．根据已知条件，结合弧度制的定义，即可求解．本题主要考查弧度制的定义，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵角α的终边经过点P(m,−6)，且cosα=−45，∴√m2+(−6)2=−45，解得m=−8．故选：B．根据已知条件，结合三角函数的定义，即可求解．本题主要考查三角函数的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：因为sin(θ+π)<0，所以−sinθ<0，即sinθ>0；又因为cos(θ−π)>0，所以−cosθ>0，即cosθ<0．故选：B．由sin(θ+π)=−sinθ，cos(θ−π)=−cosθ化简即可．本题考查诱导公式的运用．4.【答案】D【解析】解：假设将函数y=sin2x的图象平移ρ个单位得到y=sin2(x+ρ)=sin(2x+2ρ)=sin(2x−π3 )∴ρ=−π6∴应向右平移π6个单位 故选D ．假设将函数y =sin2x 的图象平移ρ个单位得到，根据平移后y =sin(2x −π3)，求出ρ进而得到答案．本题主要考查三角函数的平移．属基础题．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查y =sinx 在[0,2π]上的图象，属于基础题．利用y =sinx 在[0,2π]上的图象，直接得到sinx ≥12的x 的取值范围，得到正确选项． 【解答】 解：在[0,2π]上，，解得或，由三角函数y =sinx 在[0,2π]上的图象可得， 当sinx ≥12时，解得x ∈[π6,5π6]，故选B ．6.【答案】D【解析】解：设△ABC 中，A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，由BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −4BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得−accosB −4abcosC =0， 由余弦定理得−aca 2+c 2−b 22ac −4aba 2+b 2−c 22ab=0， 整理得a 2=35c 2−35b 2代入cosA =b 2+c 2−a 2 2bc得cosA =85b2+25c 22bc≥2√85b 2⋅25c 22bc=45， 当且仅当85b 2=25c 2即c =2b 时等号成立，∴cosA 的最小值为45． 故选：D ．设△ABC 中，A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0得a 、b 、c 关系，代入cosA =b 2+c 2−a 2 2bc，再结合基本不等式可解决此题．本题考查平面向量数量积性质及运算、余弦定理，考查数学运算能力，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：已知α，β为锐角，且4sin2α+2sin2β=1，2sin2α−sin2β=0，则4×1−cos2α2+2×1−cos2β2=1，整理得2cos2α+cos2β=2；故4cos22α+4cos2αcos2β+cos22β=4，①；4sin22α−4sin2αsin2β+sin22β=0，②；①+②得：4+4(cos2αcos2β−sin2αsin2β)+1=4；故cos(2α+2β)=cos2αcos2β−sin2αsin2β=−14；故选：A．直接利用三角函数关系式的变换，同角三角函数的关系式的变换，和角的余弦的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数的关系式的变换，和角的余弦的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：当x≥a时，f(x)=x2+x|x−a|+a=2x2−ax+a=2(x−a4)2+a−a28，当x<a时，f(x)=x2+x|x−a|+a=ax+a，当a≥0时，当x≥a时，函数f(x)单调递增，即f(x)≥f(a)=a2+a，当x<a时，函数f(x)单调递增，即f(x)<f(a)=a2+a，∴当a≥0时，函数f(x)单调递增，且函数f(x)单调递增，且当x→+∞时，f(x)→+∞，当x→−∞时，f(x)→−∞，因此函数有一个零点，不符合题意，当a<0时，当a<x<a4时，函数单调递减，当x>a4时，函数单调递增，故函数有最小值，最小值为a−a28<0，当x<a时，函数f(x)单调递减，而f(a)=a2+a，当f(a)=a2+a≥0，因为a<0，所以有a≤−1，这时函数有两个零点，且x1+x2=a2，x1x2=a2，设x2x1=k，∴x2=kx1，显然k<0，∴有x1+kx1=a2，kx12=a2，∴(k+1)x1=a2，∴[(k+1)x1]2kx12=(a2)2a2，即2(k+1)2k=a，而a≤−1，∴即2(k+1)2k ≤−1，∴2k2+5k+2≥0，∴k≥−12或k≤−2，又k<0，∴−12≤k<0或k ≤−2，由x 1+kx 1=a2，kx 12=a2，∴(k +1)x 1=kx 22，∴k+1k=x 1，而x 1<0，∴k+1k<0，∴k >−1，故k ≤−2应舍去， ∴−12≤k <0，当f(a)=a 2+a <0时，因为a <0，∴a >−1，即−1<a <0， 当x <a 时，因为f(−1)=0，所以x 1=−1，此时x 2−a 4<a 4−(−1)，∴x 2<a2+1，∵−1<a <0，∴12<a 2+1<1，因此有0<x 2≤12，而x2x 1=−x 2，∴−12≤−x 2<0， 综上所述：x 2x 1∈[−12,0)．故选：B ．根据绝对值的性质，结合二次函数的性质，函数零点的定义，分类讨论进行求解即可． 本题考查利用分类讨论思想，结合二次函数的性质解题，属中档题．9.【答案】AB【解析】解：对于A ：y =cos(2πx)的最小正周期为T =2π2π=1，故A 正确； 对于B ：函数y =sin(2πx)的最小正周期为T =2π2π=1，故B 正确； 对于C ：函数y =tan(2πx)的最小正周期为T =π2π=12，故C 错误；对于D ：函数y =sin(2πx)cos(2πx)=12sin(4πx)，故函数的最小正周期T =2π4π=12；故D 错误． 故选：AB ．直接利用函数的关系式求出函数的最小正周期，进一步判定A 、B 、C 、D 的结论． 本题考查的知识要点：三角函数的性质，周期性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则若a ⃗ 与b ⃗ 可能垂直，∴A 中说法错； 向量a ⃗ 与向量b ⃗ 夹角的范围是[0,π]，∴B 中说法错；根据平面向量数量积性质可知C中说法对；根据平面向量数量积运算律可知(b⃗ ⋅c⃗ )a⃗与(c⃗⋅a⃗ )b⃗ 不一定相等，[(b⃗ ⋅c⃗ )a⃗−(c⃗⋅a⃗ )b⃗ ]与c⃗也不一定垂直，∴D中内容错误．故选：ABD．根据平面向量数量积定义及性质可解决此题．本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力及抽象能力，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：tan12°+tan33°1−tan12∘tan33∘=tan(12°+33°)=tan45°=1，选项A正确；sinπ12cosπ12=12sinπ6=12×12，选项B错误；sin72°cos18°+cos72°sin18°=sin(72°+18°)=sin90°=1，选项C正确；√2(cos2π8−sin2π8)=√2cosπ4=√2×√22=1，选项D正确．故选：ACD．利用两角和差的三角函数公式及倍角公式对选项逐一判断即可．本题考查两角和差的三角函数公式及倍角公式，考查学生基本的运算能力，属于基础题．12.【答案】AC【解析】解：根据题意，函数f(x)=e|x+4|sin(bx)，f(x+a)=e|x+a+4|sin(bx+ab)，若存在a∈R，使得f(x+a)为奇函数，即f(−x+a)=−f(x+a)，又f(−x+a)=e|−x+a+4|sin(−bx+ab)，所以−e|x+a+4|sin(bx+ab)=e|−x+a+4|sin(−bx+ab)，即e|x+a+4|sin(−bx−ab)=e|−x+a+4|sin(−bx+ab)，所以4+a=0且ab=kπ，k∈Z，所以a=−4，b=−kπ4，k∈Z，所以sinb=sin(−kπ4)，k∈Z，当k=1时，sinb=sin(−π4)=−√22；当k=2时，sinb=sin(−2π4)=−1；当k =3时，sinb =sin(−3π4)=−√22； 当k =4时，sinb =sin(−4π4)=0；当k =5时，sinb =sin(−5π4)=√22； 当k =6时，sinb =sin(−6π4)=1；当k =7时，sinb =sin(−7π4)=−√22； 当k =8时，sinb =sin(−8π4)=0；所以sinb 的值可能为−√22，√22−1，1，0． 故选：AC ．根据y =f(x +a)是奇函数，可得−f(x +a)=f(−x +a)，由此可求出a =−4，b =−kπ4，k ∈Z ，对k 进行取值，由此即可求出结果．本题主要考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及三角函数的求值，属于中档题．13.【答案】52【解析】解：设这个扇形中心角的弧度数为α，半径为r ． ∵一个扇形的弧长与面积的数值都是5， ∴5=αr ，5=12αr 2， 解得α=52． 故答案为：52．设这个扇形中心角的弧度数为α，半径为r.利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．本题考查了弧长公式、扇形的面积计算公式，属于基础题．14.【答案】−14a⃗ +14b ⃗【解析】解：由AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得4AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a ⃗ +b ⃗ )， 即AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(a ⃗ +b ⃗ )，又∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗ +12b ⃗ ， ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34(a ⃗ +b ⃗ )−(a ⃗ +12b ⃗ )=−14a ⃗ +14b ⃗ ．故答案为：−14a⃗ +14b ⃗ 本题是一个用一组基底表示向量的问题，根据两个向量之间的关系，表示出AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 两个向量，要求的向量是这两个向量之和，用向量的减法运算得到结果．用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，是解题的一个中间过程，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决数学问题．15.【答案】−116【解析】解：∵OA =OB =1，∠AOB =60°， ∴△OAB 为等边三角形，则AB =1， 设BP =x ，则AP =1−x ，(0≤x ≤1)， ∴OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ >+|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ > =1⋅x ⋅cos π3+(1−x)⋅x ⋅cosπ =x 2−12x =(x −14)2−116，∵0≤x ≤1，∴当x =14时，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为−116． 故答案为：−116．根据题意，可以得到△OAB 为等边三角形，则AB =1，设BP =x ，则AP =1−x ，(0≤x ≤1)，利用向量加法的三角形法则，将则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 向已知向量转化，运用向量数量积的定义，即可得到关于x 的二次函数，利用二次函数的性质，即可求得答案． 本题考查了平面向量数量积的运算，解决平面向量数量积的问题，一般有三种方法：向量转化法，坐标化法，特殊值法．解题的关键是运用向量加法和减法的三角形法则或平行四边形法则，将要求的向量一步一步向已知的向量转化．属于中档题．16.【答案】(0,12)∪[72,112)【解析】解：令|2x −1|=0，得x =12；令2sin(π3x)+1=0，得π3x =2kπ−π6或π3x =2kπ+7π6(k ∈Z)，即x =6k −12或x =6k +72(k ∈Z)， 又x ∈(0,10]，所以x =12或72或112或192，因为f(x)={|2x −1|,0<x ≤m2sin(π3x)+1,m <x ≤10恰有3个零点， 所以，当0<m <12时，f(x)有3个零点72,112,192； 当72≤m <112时，f(x)有3个零点12,112,192；所以m 的取值范围是(0,12)∪[72,112), 故答案为(0,12)∪[72,112)．先求出函数f(x)在区间(0,10]上的4个零点，然后结合已知及分段函数的定义，分两种情况讨论即可得答案．本题考查了函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．17.【答案】解：(1)由sin 4θ+cos 4θ=59，得(sin 2θ+cos 2θ)2−2sin 2θcos 2θ=59，即2sin 2θcos 2θ=49， ∴sin 22θ=89， 又θ∈(π,3π2)，∴2θ∈(2π,3π)，可得sin2θ=2√23； (2)∵sin2θ=2√23，∴2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2√23， 即2tanθtan 2θ+1=2√23，∴√2tan 2θ−3tanθ+√2=0，解得tanθ=√22或tanθ=√2．【解析】(1)把等式左边变形，结合倍角公式及角θ的范围即可求sin2θ的值； (2)由(1)中求得的sin2θ=2√23，利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．18.【答案】解：(1)∵α的终边过点P(−35,−45)，且点P 在单位圆上，∴sinα=−45，cosα=−35，∴6sinα3cosα−sinα=6×(−45)3×(−35)−(−45)=245；(2)由sin(α+β)=513，得cos(α+β)=±√1−sin 2(α+β)=±1213， 则cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα． 当cos(α+β)=1213时，cosβ=1213×(−35)+513×(−45)=−5665； 当cos(α+β)=−1213时，cosβ=−1213×(−35)+513×(−45)=1665．【解析】(1)由已知直接利用任意角的三角函数的定义求得sinα，cosα的值，则答案可求；(2)由已知求得cos(α+β)，再由两角差的余弦求解cosβ的值．本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义及两角和的余弦，是基础题．19.【答案】解∵|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，(a ⃗ −3b ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )=3， ∴22−3×12−2a ⃗ ⋅b ⃗ =3，解得a ⃗ ⋅b ⃗ =−1．(1)|a ⃗ +b ⃗ |=√(a ⃗ +b ⃗ )2=√22+2×(−1)+12=√3； (2)设a ⃗ 与a ⃗ −2b ⃗ 的夹角θ，则cosθ=a ⃗ ⋅(a ⃗ −2b⃗ )|a ⃗ ||a ⃗ −2b ⃗ |=22√(a ⃗ −2b⃗ )2=√22+4×12−2×2×(−1)=√32，又∵θ∈[0,π]，∴θ=π6．【解析】由|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，(a ⃗ −3b ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )=3可求得a ⃗ ⋅b ⃗ 然后可解决此题． 本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由表格提供的数据知：{A +B =3−A +B =−1，且T =2πω=11π6−(−π6)=2π， 解得A =2，B =1，ω=1， ∴f(x)=2sin(x +φ)+1，把(π3,1)代入，得：2sin(π3+φ)+1=1，解得φ=−π3， ∴f(x)=2sin(x −π3)+1．(2)y =f(nx)=2sin(nx −π3)+1， ∵函数y =f(nx)(n >0)的最小正周期为2π3， ∴T =2πn=2π3，解得n =3，∴y =f(nx)=2sin(3x −π3)+1， ∵x ∈[0,π3]，∴3x −π3∈[−π3,2π3]，sin(3x −π3)∈[−√32,1] y =f(nx)=2sin(3x −π3)+1)∈[1−√3,3] 当x =π3时，y =√3+1， ∴实数m 的取值范围是[1+√3,3)．【解析】(1)由表格提供的数据知{A +B =3−A +B =−1，且T =2πω=11π6−(−π6)=2π，由此得到f(x)=2sin(x +φ)+1，再把(π3,1)代入，能求出f(x)．(2)y =f(nx)=2sin(nx −π3)+1，由函数y =f(nx)(k >0)的最小正周期为2π3，得n =3，从而y =f(nx)=2sin(3x −π3)+1，由此能求出实数m 的取值范围．本题考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21.【答案】解：(1)因为BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x =−3，y =3， 所以x +y =0．(2)设CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，θ=<OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >∈[π6,π3]， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(3−λ)OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =[(3−λ)OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ]⋅(−λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−λ(3−λ)OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+3λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(λ2−3λ)|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+3λ|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cosθ=λ2−3λ+6λcosθ=λ2+(6cosθ−3)λ， 当λ=−6cosθ−32时，λ2+(6cosθ−3)λ取得最小值，为−(6cosθ−3)24，又θ∈[π6,π3]，所以6cosθ−3∈[0,3√3−3]，所以−(6cosθ−3)24∈[9√3−182,0]，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为9√3−182，此时<OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >为π6．【解析】(1)由向量的减法法则知BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合题意和平面向量共线定理，即可求得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得解； (2)设CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，θ=<OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >，根据平面向量加法法则和平面向量共线定理可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3−λ)OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −3ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再结合平面向量数量积，可将AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示成关于λ的函数，然后根据二次函数和余弦函数的性质，即可得解．本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性运算法则和数量积的运算法则是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)g(x)=sinx −cosx +tanx 得g′(x)=cosx +sinx +1cos 2x ，∵x ∈[0,π4]，∴g′(x)>0，∴g(x)=sinx −cosx +tanx 在x ∈[0,π4]时是单调递增函数， 而g(0)=−1，g(π4)=1，故g(x)的值域为[−1,1]； (2)令t =sinx −cosx +tanx ，x ∈[0,π4]，则t ∈[−1,1]，则f(x)=2a(sinx −cosx +tanx)2+(a −1)(sinx −cosx +tanx)−8，a >0， 即为f(t)=2at 2+(a −1)t −8，t ∈[−1,1]，所以其图象对称轴为t =1−a 4a=14(1a−1)>−14>−1，故f(−1)=a −7，f(1)=3a −9，f(1−a 4a)=−8−(a−1)28a，对任意x 1，x 2∈[0,π4]，|f(x 1)−f(x 2)|≤a 2+1，等价于|f(x 1)−f(x 2)|max ≤a 2+1， 当0<a <15时，t =1−a 4a=14(1a −1)>1，|f(x 1)−f(x 2)|max =f(−1)−f(1)=2−2a ，令2−2a ≤a 2+1，解得a >√2+1或a <−√2−1，与0<a <15矛盾，故不符合题意； 当15≤a <1时，0<t =1−a 4a=14(1a −1)<1，此时，|f(x 1)−f(x 2)|max =f(−1)−f(1−a4a )=a +1+(a−1)28a，令a+1+(a−1)28a ≤a2+1，整理得a−18a≥a，∵a−1≤0，故该式无解，不符合题意；当a>1时，t=1−a4a =14(1a−1)<0，此时，|f(x1)−f(x2)|max=f(1)−f(1−a4a)=3a−1+(a−1)28a，令3a−1+(a−1)28a ≤a2+1，整理得a−18a≥a−2，解得a≥17+√25716，符合题意；综上所述，实数a的取值范围为[17+√25716,+∞)．【解析】(1)求函数g(x)=sinx−cosx+tanx的导函数，根据导数的正负判断其单调性，求出函数的值域；(2)采用换元法，将f(x)=2a(sinx−cosx+tanx)2+(a−1)(sinx−cosx+tanx)−8，变换为f(t)=2at2+(a−1)t−8.再根据在给定区间上二次函数的最值问题的求解方法，求得|f(x1)−f(x2)|的最大值，解不等式求得结果．本题考查三角函数的最值，以及二次函数的最值的求法，属中档题．。
第一学期期末试卷高一数学
4.已知 则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用指数函数的性质比较 的大小 再利用幂函数的性质比较 的大小 即得解.
【详解】因为 是单调递增函数 所以
因为 是单调递增函数 所以
所以 .
故选：A.
5.已知函数 是定义在 上的奇函数 且满足 则 （）
A. B. 0C. 1D. 2022
四 解答题：本题共6小题．共70分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．
17.设 集合 ．
（1）若 求 ；
（2）若 求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接求出集合AB再求 ；
（2）先求出B由 对a进行分类讨论 求出a的取值范围．
【小问1详解】
当 时
所以 .
【小问2详解】
集合 所以 .
【答案】（1）函数 为奇函数 证明见解析
（2）3或
【解析】
【分析】（1）以奇函数定义证明函数 为奇函数即可解决；
（2）按底数a分类讨论 依据对数函数的单调性分别去求实数a的值即可解决.
【小问1详解】
函数 为奇函数 证明如下：
由 解得 则函数 定义域为
故函数 为奇函数
【小问2详解】
令
由 得 即
当 时 在 上单调递减 值城是[－11]
(1)直接求零点：令f(x)＝0如果能求出解 则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[ab]上是连续不断的曲线 且f(a)·f(b)＜0还必须结合函数的图象与性质(如单调性 奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差 画两个函数的图象 看其交点的横坐标有几个不同的值 就有几个不同的零点．
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．cos2024π3=（ ） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√322．已知|OA →|=√2，|OB →|=1，且OA →，OB →的夹角为3π4，则|AB →|=（ ）A ．1B ．√3C ．2D ．√53．为了得到y =sin(5x −π3)的图象，只要将函数y ＝sin5x 的图象（ ）A ．向右平移π15个单位长度 B ．向左平移π15个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度4．已知|a →|=2√3|b →|，且满足〈a →，b →〉=5π6，则a →在b →上的投影向量为（ ）A ．√3b →B ．−√3b →C ．3b →D ．−3b →5．已知tan(α−π4)=12，则cos2α+sin2α+2＝（ ）A ．75B ．85C ．95D ．26．若a =(12)1.2，b =cos 2π12−sin 2π12，c =2tan 3π81+tan 23π8，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a7．在△ABC 中，点D 为AC 边上的中点，点E 满足EC →=3BE →，点P 是直线BD ，AE 的交点，过点P 作一条直线交线段AC 于点M ，交线段BC 于点N （其中点M ，N 均不与端点重合）设CM →=mCA →，CN →=nCB →，则m +n 的最小值为（ ） A ．4+√35B ．4+2√35 C ．75D ．1658．已知cos （140°﹣α）+sin （110°+α）＝sin （130°﹣α），求tan α＝（ ） A ．√33B ．−√33C ．√3D ．−√3二、选择题：本题共4小题，每小迻5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，全部选错的得0分.9．已知函数f(x)=2sin(2x +π6)+1，则下列说法正确的是（ ）A ．相位为2x +π6B ．对称中心为(−π12+kπ，0)，k ∈Z C ．函数f （x ）的单调递减区间是(−π3+kπ，π6+kπ)，k ∈ZD ．将函数y ＝f （x ）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y =2sin(x +π6)+1的图象10．下列说法正确的是（ ）A ．已知a →，b →为平面内两个不共线的向量，则{a →+b →，−a →+3b →}可作为平面的一组基底 B ．若a →∥b →，则存在唯一实数λ，使得a →=λb →C ．两个非零向量a →，b →，若|2a →+3b →|=−2|a →|+3|b →|，则a →与b →共线且反向D ．△ABC 中，AB →⋅AC →=12|AB →||AC →|，(AB →−AC →)⋅(AB →+AC →)=0，则△ABC 为等边三角形11．已知函数f(x)=cos2x +4cosx，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）为偶函数C ．f （x ）的图象关于（π，1）对称D ．f （x ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）12．已知函数f(x)={|log 2(−x)|，−4＜x ＜04sin(π3x +π6)，0≤x ＜24，若g （x ）＝f （x ）﹣t （t ＞0）有2n 个零点，记为x 1，x 2，…，x 2n ﹣1，x 2n ，且x 1＜x 2＜…＜x 2n ﹣1＜x 2n ，则下列结论正确的是（ ） A ．t ∈（0，2） B ．.x 1+x 2∈（﹣∞，﹣2）C ．x 3x 4∈(12，554)D ．x 3+2（x 4+x 5+…+x 2n ﹣1）+x 2n ＝182三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知一个扇形的面积和弧长均为π，则该扇形的圆心角为 ． 14．设e 1→，e 2→为两个单位向量，且〈e 1→，e 2→〉=2π3，若e 1→+λe 2→与3e 1→+4e 2→垂直，则λ＝ ． 15．已知sin(x 2+5π24)=√55，且x ∈（π，2π），则cos(x +3π4)= ．16．函数f （x ）＝sin （ωx +3φ）﹣2sin φcos （ωx +2φ）（ω＞0，0＜φ＜π），设T 为函数f （x ）的最小正周期，f(T 4)=12，且函数f （x ）在（π，2π）上单调，则ω的取值范围为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）单位向量a →，b →满足(a →+2b →)⋅(a →−b →)=−23．（1）求a →与b →夹角的余弦值；（2）若ka →+b →与a →+3b →的夹角为锐角，求实数k 的取值范围． 18．（12分）已知f(α)=sin(3π−α)cos(π2+α)cos(2π−α)tan(π−α)cos(π+α)sin(−α)sin(3π2+α)tan(−π−α)． （1）化简f （α）；（2）若α∈(−π2，0)，且满足f(α)+1f(α)=−103，求√2sin(α+π4)的值． 19．（12分）如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形ABCD 所示），其中O 为生活区入口．已知有三条路AB ，BC ，AD ，路AD 上有一个观赏塘T ，其中AT ＝300m ，路BC 上有一个风雨走廊的入口L ，其中BL ＝200m ．现要修建两条路OT ，OL ，修建OT ，OL 费用成本分别为2λ/m ，3λ/m ．设∠TOA ＝α．（1）当AO ＝600m ，BO ＝200m 时，求张角∠TOL 的正切值；（2）当OT ⊥OL 时，求当α取多少时，修建OT ，OL 的总费用最少，并求出此时总费用．20．（12分）已知向量a →=(1，2)，b →=(cosα，sinα)，c →=(−1，0)． （1）求|b →+c →|的最大值，并求此时α的值；（2）若α∈(0，π3)，求a →⋅b →的取值范围．21．（12分）如图是函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象，其中ω＞0，0＜φ＜π．其中B 为图象最高点，C ，D 为图象与x 轴的交点，且△BCD 为等腰直角三角形，|CD |＝2，_____．（从下面三个条件中任选一个，补充在横线处并解答） ①f(x +12)=f(−x +12)；②f(x −12)是奇函数；③f(0)=√22．注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）设g(x)=f(2πx+12)，不等式m sin2x﹣g（x）≤4﹣6m对于∀x∈R恒成立，求m的取值范围．22．（12分）函数f(x)=2sin2x+2|2sin(x+π4)−t|+t+2，最大值为M（t），最小值为m（t）．（1）设g（t）＝M（t）﹣m（t），求g（t）；（2）设s∈R，若|f（x）+s|≤6对x∈R恒成立，求s+t的取值范围．2023-2024学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．cos2024π3=（ ） A ．−12B ．12C ．−√32D ．√32解：cos2024π3=cos （675π−π3）＝﹣cos π3=−12． 故选：A ．2．已知|OA →|=√2，|OB →|=1，且OA →，OB →的夹角为3π4，则|AB →|=（ ）A ．1B ．√3C ．2D ．√5解：|AB →|=|OB →−OA →|=√OB →2+OA →2−2OB →⋅OA →=√2+1−2×√2×1×(−22)=√5．故选：D ．3．为了得到y =sin(5x −π3)的图象，只要将函数y ＝sin5x 的图象（ ）A ．向右平移π15个单位长度 B ．向左平移π15个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解：为了得到y =sin(5x −π3)的图象，只要将函数y ＝sin5x 的图象向右平移π15个单位长度得到．故选：A ．4．已知|a →|=2√3|b →|，且满足〈a →，b →〉=5π6，则a →在b →上的投影向量为（ ）A ．√3b →B ．−√3b →C ．3b →D ．−3b →解：|a →|=2√3|b →|，且满足〈a →，b →〉=5π6， 则a →在b →上的投影向量为：|a →|cos ＜a →，b →＞×b→|b →|=2√3×(−√32)b →=−3b →．故选：D ．5．已知tan(α−π4)=12，则cos2α+sin2α+2＝（ ）A ．75B ．85C ．95D ．2解：由tan （α−π4）=tanα−11+tanα=12，解得tan α＝3，所以cos2α+sin2α+2＝2cos 2α+2sin αcos α+1 =3cos 2α+sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=3+tan 2α+2tanαtan 2α+1=3+9+2×39+1=95．故选：C ．6．若a =(12)1.2，b =cos 2π12−sin 2π12，c =2tan 3π81+tan 23π8，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a解：b =cos 2π12−sin 2π12= c os π6=√32，c =2tan 3π81+tan 23π8=2sin 3π8cos 3π8sin 23π8+cos 23π8= s in （2×3π8）＝sin 3π4=√22， 所以a =(12)1.2＜12＜√22＜√32，即a ＜c ＜b ．故选：B ．7．在△ABC 中，点D 为AC 边上的中点，点E 满足EC →=3BE →，点P 是直线BD ，AE 的交点，过点P 作一条直线交线段AC 于点M ，交线段BC 于点N （其中点M ，N 均不与端点重合）设CM →=mCA →，CN →=nCB →，则m +n 的最小值为（ ） A ．4+√35B ．4+2√35 C ．75D ．165解：因为B ，D ，P 三点共线，所以CP →=λCD →+(1−λ)CB →=λ2CA →+(1−λ)CB →，因为A ，P ，E 三点共线，所以CP →=μCA →+(1−μ)CE →=μCA →+34(1−μ)CB →，由平面向量基本定理可得：{λ2=μ1−λ=34(1−μ)，解得{λ=25μ=15， 所以AP →=15CA →+35CB →，因为CM →=mCA →，CN →=nCB →，且0＜m ＜1，0＜n ＜1，所以CA →=1m CM →，CB →=1nCN →，所以CP →=15m CM →+35nCN →， 因为M ，P ，N 三点共线，所以15m+35n=1，所以m+n=(m+n)(15m+35n)=n5m+3m5n+45≥2√n5m×3m5n+45=2√3+45，当且仅当n5m=3m5n，即m=1+√35，n=3+√35时等号成立，所以m+n的最小值为4+2√35．故选：B．8．已知cos（140°﹣α）+sin（110°+α）＝sin（130°﹣α），求tanα＝（）A．√33B．−√33C．√3D．−√3解：因为cos（140°﹣α）+sin（110°+α）＝sin（130°﹣α），所以﹣sin（50°﹣α）+cos（20°+α）＝sin（50°+α），即﹣sin50°cosα+cos50°sinα+cos（20°+α）＝sin50°cosα+cos50°sinα，所以cos20°cosα﹣sin20°sinα＝2sin50°cosα，即（cos20°﹣2sin50°）cosα＝sin20°sinα，所以tanα=cos20°−2sin50°sin20°=cos20°−2sin(30°+20°)sin20°=cos20°−2×12cos20°−2×√32sin20°sin20°=−√3．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小迻5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，全部选错的得0分.9．已知函数f(x)=2sin(2x+π6)+1，则下列说法正确的是（）A．相位为2x+π6B．对称中心为(−π12+kπ，0)，k∈ZC．函数f（x）的单调递减区间是(−π3+kπ，π6+kπ)，k∈ZD．将函数y＝f（x）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=2sin(x+π6)+1的图象解：函数f(x)=2sin(2x+π)+1，对于A ：相位为2x +π6，故A 正确；对于B ：当x =−π12+kπ，k ∈Z 时，f （−π12+kπ）＝1，故对称中心为（−π12+kπ，1），k ∈Z ．故B 错误；对于C ：令−π2+2kπ≤2x +π6≤2kπ+π2，（k ∈Z ），整理得：−π3+kπ≤x ≤kπ+π6，（k ∈Z ），故函数的单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，（k ∈Z ），故C 错误；对于D ：将函数y ＝f （x ）图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y =2sin(x +π6)+1的图象，故D 正确．故选：AD ．10．下列说法正确的是（ ）A ．已知a →，b →为平面内两个不共线的向量，则{a →+b →，−a →+3b →}可作为平面的一组基底 B ．若a →∥b →，则存在唯一实数λ，使得a →=λb →C ．两个非零向量a →，b →，若|2a →+3b →|=−2|a →|+3|b →|，则a →与b →共线且反向D ．△ABC 中，AB →⋅AC →=12|AB →||AC →|，(AB →−AC →)⋅(AB →+AC →)=0，则△ABC 为等边三角形解：由题意，a →，b →为平面内两个不共线的向量， 设a →+b →=λ(−a →+3b →)=−λa →+3λb →，则有{−λ=13λ=1，λ不存在，所以a →+b →与−a →+3b →不共线，则{a →+b →，−a →+3b →}可作为平面的一组基底，故A 对；只有当b →≠0→时，若a →∥b →，则存在唯一实数λ，使得a →=λb →，故B 错； 因为a →，b →为非零向量，设a →与b →夹角为α， 由|2a →+3b →|=−2|a →|+3|b →|，平方得4a →2+12a →⋅b →+9b →2=4|a →|2−12|a →|⋅|b →|+9|b →|2， 整理得a →⋅b →=−|a →|⋅|b →|，所以cos α＝﹣1，又α∈[0，π]，所以α＝π，则a →与b →共线且反向，故C 对； 在△ABC 中，AB →⋅AC →=12|AB →||AC →|，所以cosA =12，A ∈(0，π)，所以A =π3，由(AB →−AC →)⋅(AB →+AC →)=0，得|AB →|2−|AC →|2=0， 即|AB →|=|AC →|，则△ABC 为等边三角形，故D 对． 故选：ACD ．11．已知函数f(x)=cos2x +4cosx，则下列说法正确的是（ ） A ．f （x ）的最小正周期为π B ．f （x ）为偶函数C ．f （x ）的图象关于（π，1）对称D ．f （x ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞） 解：对于A ，∵f （x +π）＝cos2（x +π）+4cos(x+π)=cos2x −4cosx≠f （x ），故A 错误；对于B ，由cos x ≠0，得x ≠kπ+π2(k ∈Z)，∴f （x ）的定义域为{x|x ≠kπ+π2，k ∈Z }，且f(−x)=cos2(−x)+4cos(−x)=cos2x +4cosx−f(x)，∴f （x ）是偶函数，故B 正确； 对于C ，∵f （x ）+f （2π﹣x ）＝cos2x +4cosx +cos2（2π﹣x ）+4cos(2π−x)=2f （x ）不是定值，故C 错误；对于D ，f （x ）＝cos2x +4cosx =2cos 2x +4cosx−1， 令t ＝cos x ∈[﹣1，0）∪（0，1]，则g(t)=2t 2+4t −1，g ′(t)=4t −4t 2=4(t 3−1)t 2，当t ∈[﹣1，0）时，g ′（t ）＜0，g （t ）单调递减； 当t ∈（0，1]时，g ′（t ）＞0，g （t ）单调递增， 又g （﹣1）＝2﹣4﹣1＝﹣3，g （1）＝2+4﹣1＝5， 当x →0﹣时，g （t ）→﹣∞； 当x →0+时，g （t ）→+∞，∴g （t ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞），即f （x ）的值域为（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞），故D 正确． 故选：BD ．12．已知函数f(x)={|log 2(−x)|，−4＜x ＜04sin(π3x +π6)，0≤x ＜24，若g （x ）＝f （x ）﹣t （t ＞0）有2n 个零点，记为x 1，x 2，…，x 2n ﹣1，x 2n ，且x 1＜x 2＜…＜x 2n ﹣1＜x 2n ，则下列结论正确的是（ ）A ．t ∈（0，2）B ．.x 1+x 2∈（﹣∞，﹣2）C ．x 3x 4∈(12，554)D ．x 3+2（x 4+x 5+…+x 2n ﹣1）+x 2n ＝182解：将函数y ＝log 2x （0＜x ＜4）的图象沿y 轴对称并将x 轴下方部分翻折到x 轴上方， 即可得到y ＝log 2（﹣x ）（﹣4＜x ＜0）的图象；对于f （x ）＝4sin （π3x +π6）（0≤x ＜24），最小正周期为T =2ππ3=6，故[0，24）上有4个周期，令π3x +π6=k π+π2，k ∈Z ，则可得f （x ）＝4sin （π3x +π6）（0≤x ＜24）的对称轴为x ＝3k +1，k ＝0，1，2， (7)由此作出函数f(x)={|log 2(−x)|，−4＜x ＜04sin(π3x +π6)，0≤x ＜24的图象，如图：则g （x ）＝f （x ）﹣t （t ＞0）的零点问题即为f （x ）的图象与直线y ＝t 的交点问题， 由图象可知，当t ＞4时，f （x ）的图象与直线y ＝t 有1个交点，不合题意； 当t ＝4时，f （x ）的图象与直线y ＝t 有5个交点，不合题意； 当2≤t ＜4时，f （x ）的图象与直线y ＝t 有9个交点，不合题意；当0＜t ＜2，即t ∈（0，2）时，f （x ）的图象与直线y ＝t 有10个交点，符合题意，A 正确； 由题意可知﹣4＜x 1＜﹣1＜x 2＜0，满足|log 2（﹣x 1）|＝|log 2（﹣x 2）|，则log 2（﹣x 1）＝﹣log 2（﹣x 2），即log 2（﹣x 1）+log 2（﹣x 2）＝log 2[（﹣x 1）（﹣x 2）]＝0， 所以（﹣x 1）（﹣x 2）＝1， 所以（﹣x 1）+（﹣x 2）＝（﹣x 1）+1−x 1， 因为﹣4＜x 1＜﹣1，所以1＜﹣x 1＜4， 由对勾函数的性质可知（﹣x 1）+1−x 1∈（2，174）， 所以（﹣x 1）+（﹣x 2）∈（2，174），所以x 1+x 2∈（−174，﹣2），故B 不正确； 由函数图象可得x 3+x 4＝8，2＜x 3＜52， 故x 3x 4＝x 3（8﹣x 3）＝﹣（x 3﹣4）2+16∈（12，554），C 正确； 由图象可知f （x ）的图象与直线y ＝t 有10个交点，即n ＝5，且x 3，x 4关于直线x ＝4对称，故x 3+x 4＝8，同理得x 4+x 5＝14，x 5+x 6＝20，x 6+x 7＝26，x 7+x 8＝32，x 8+x 9＝38，x 9+x 10＝44，故x 3+2（x 4+x 5+x 6+…+x 2n ﹣1）+x 2n＝x 3+2（x 4+x 5+x 6+…+x 9）+x 10＝8+14+20+26+32+38+44＝182，D 正确．故选：ACD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知一个扇形的面积和弧长均为π，则该扇形的圆心角为 π2 ．解：设扇形的圆心角为α，半径为r ，则扇形的面积为12αr 2＝π，弧长为αr ＝π，解得r ＝2，α=π2， 所以扇形的圆心角为π2． 故答案为：π2． 14．设e 1→，e 2→为两个单位向量，且〈e 1→，e 2→〉=2π3，若e 1→+λe 2→与3e 1→+4e 2→垂直，则λ＝ −25 ． 解：e 1→，e 2→为两个单位向量，且〈e 1→，e 2→〉=2π3，则e 1→⋅e 2→=1×1×cos 2π3=−12， 若e 1→+λe 2→与3e 1→+4e 2→垂直， 则(e 1→+λe 2→)⋅(3e 1→+4e 2→)=3e 1→2+(4+3λ)e 1→⋅e 2→+4λe 2→2=3+（4+3λ）×(−12)+4λ=0，解得λ=−25． 故答案为：−25． 15．已知sin(x 2+5π24)=√55，且x ∈（π，2π），则cos(x +3π4)= 3+4√310． ． 解：因为x ∈（π，2π），所以x 2+5π24∈(π2+5π24，π+5π24)，则cos （x 2+5π24）＜0， 所以cos （x 2+5π24）=−√1−sin 2(x 2+5π24)=−2√55， 所以cos （x +5π12）＝2co s 2(x 2+5π24)−1=85−1=35，sin （x +5π12）＝2sin （x 2+5π24）cos （x 2+5π24）=−45， 所以cos （x +3π4）＝cos[（x +5π12）+π3 ]＝cos (x +5π12)cos π3−sin(x +5π12)sin π3=35×12−(−45)×√32=3+4√310． 故答案为：3+4√310． 16．函数f （x ）＝sin （ωx +3φ）﹣2sin φcos （ωx +2φ）（ω＞0，0＜φ＜π），设T 为函数f （x ）的最小正周期，f(T 4)=12，且函数f （x ）在（π，2π）上单调，则ω的取值范围为 （0，112]∪[16，712] ． 解：f （x ）＝sin （ωx +3φ）﹣2sin φcos （ωx +2φ）＝[sin （ωx +2φ）+φ]﹣2sin φcos （ωx +2φ）＝sin （ωx +2φ）cos φ+cos （ωx +2φ）sin φ﹣2sin φcos （ωx +2φ）＝sin （ωx +2φ）cos φ﹣cos （ωx +2φ）sin φ＝sin （ωx +φ），因为ω＞0，0＜φ＜π，所以T =2πω， f （T 4）＝f （π2ω）＝sin （π2+φ）＝cos φ=12， 所以φ=π3，f （x ）＝sin （ωx +π3）， 若f （x ）＝sin （ωx +π3）在（π，2π）上单调递增， 则{2kπ−π2≤ωπ+π32ωπ+π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，即2k −56≤ω≤k +112，k ∈Z ， 需满足2k −56≤k +112，k ∈Z ，所以k ≤1112，k ∈Z ， 而ω＞0，故k ＝0时，0＜ω≤112； 若f （x ）＝sin （ωx +π3）在（π，2π）上单调递减， 则{2kπ+π2≤ωπ+π32ωπ+π3≤2kπ+3π2，k ∈Z ，即2k +16≤ω≤k +712，k ∈Z ， 需满足2k +16≤k +712，k ∈Z ，所以k ≤512，k ∈Z ， 而ω＞0，故k ＝0时，16≤ω≤712； 故ω的取值范围为：（0，112]∪[16，712]．故答案为：（0，112]∪[16，712]． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）单位向量a →，b →满足(a →+2b →)⋅(a →−b →)=−23． （1）求a →与b →夹角的余弦值；（2）若ka →+b →与a →+3b →的夹角为锐角，求实数k 的取值范围．解：（1）因为|a →|=|b →|=1，(a →+2b →)⋅(a →−b →)=−23， 所以a →2+a →⋅b →−2b →2=−23，即1+a →⋅b →−2=−23， 则a →⋅b →=13， 则cos〈a →，b →〉=a →⋅b →|a →||b →|=13， 即a →与b →夹角的余弦值13； （2）因为ka →+b →与a →+3b →的夹角为锐角，所以(ka →+b →)⋅(a →+3b →)＞0且ka →+b →与a →+3b →不共线，当ka →+b →与a →+3b →共线时，有ka →+b →=λ(a →+3b →)，即ka →+b →=λa →+3λb →，由（1）知a →与b →不共线，所以{k =λ1=3λ，解得k =13， 所以当ka →+b →与a →+3b →不共线时，k ≠13， 由(ka →+b →)⋅(a →+3b →)＞0，得ka →2+(3k +1)a →⋅b →+3b →2＞0，即k +(3k +1)×13+3＞0，解得k ＞−53， 所以k ＞−53且k ≠13， 即实数k 的取值范围为(−53，13)∪(13，+∞)． 18．（12分）已知f(α)=sin(3π−α)cos(π2+α)cos(2π−α)tan(π−α)cos(π+α)sin(−α)sin(3π2+α)tan(−π−α)． （1）化简f （α）；（2）若α∈(−π2，0)，且满足f(α)+1f(α)=−103，求√2sin(α+π4)的值．解：（1）f(α)=sin(3π−α)cos(π2+α)cos(2π−α)tan(π−α)cos(π+α)sin(−α)sin(3π2+α)tan(−π−α)=sinα(−sinα)cosα(−tanα)(−cosα)(−sinα)(−cosα)(−tanα)=tanα；（2）若α∈(−π2，0)，则tanα＜0，因为f(α)+1f(α)=−103=tanα+1tanα，所以tanα＝﹣3或tanα=−1 3，√2sin(α+π4)=cos2α−sin2αsinα+cosα=cosα﹣sinα，当tanα＝﹣3，α∈(−π2，0)，则{sinα=−3cosαsin2α+cos2α=1，解得sinα=−3√310，cosα=√1010，则cosα﹣sinα=2√10 5；当tanα=−13时，{cosα=−3sinαsin2α+cos2α=1，解得cosα=3√310，sinα=√1010，则cosα﹣sinα=2√10 5；故√2sin(α+π4)=2√105．19．（12分）如图所示，镇海中学甬江校区学生生活区（如矩形ABCD所示），其中O为生活区入口．已知有三条路AB，BC，AD，路AD上有一个观赏塘T，其中AT＝300m，路BC上有一个风雨走廊的入口L，其中BL＝200m．现要修建两条路OT，OL，修建OT，OL费用成本分别为2λ/m，3λ/m．设∠TOA＝α．（1）当AO＝600m，BO＝200m时，求张角∠TOL的正切值；（2）当OT⊥OL时，求当α取多少时，修建OT，OL的总费用最少，并求出此时总费用．解：（1）设∠LOB＝β，β为锐角，则tanβ=LBOB=1，设∠TOA＝α，则tanα=TAOA=12，故tan∠TOL＝tan[π﹣（α+β）]＝﹣tan（α+β）=−tanα+tanβ1−tanαtanβ=−12+11−12×1=−3；（2）当OT⊥OL时，∠LOB=π2−α，α∈(0，π2)，故OT=300sinα，OL=200sin(π2−α)=200cosα，设修建OT ，OL 的总费用为y ，则y =300sinα×2λ+200cosα×3λ=600λ⋅(1sinα+1cosα)=600λ⋅sinα+cosαsinαcosα， 设t ＝sin α+cos α，则t =√2sin(α+π4)∈(1，√2]， 则sinαcosα=t 2−12， 所以y =600λ⋅sinα+cosαsinαcosα=600λ⋅2t t 2−1=1200λ⋅1t−1t， 因为y =t −1t 在(1，√2]上单调递增，所以0＜t −1t ≤√22，t =√2时取得等号， 所以y =1200λ⋅1t−1t 的最小值为1200λ1√22=1200√2λ，此时t =√2，即α=π4， 故当α=π4时，修建OT ，OL 的总费用最少，最少为1200√2λ． 20．（12分）已知向量a →=(1，2)，b →=(cosα，sinα)，c →=(−1，0)．（1）求|b →+c →|的最大值，并求此时α的值；（2）若α∈(0，π3)，求a →⋅b →的取值范围． 解：（1）∵a →=（1，2），b →=（cos α，sin α），c →=（﹣1，0），∴b →+c →=（cos α﹣1，sin α），∴|b →+c →|=√cos 2α−2cosα+1+sin 2α=√2−2cosα，当cos α＝﹣1时，|b →+c →|最大，此时|b →+c →|=2，α＝π+2k π，k ∈Z ；（2）∵a →=（1，2），b →=（cos α，sin α），∴a →⋅b →=cos α+2sin α=√5sin(α+φ)，tanφ=12，φ∈(0，π2)， ∵α∈(0，π3)，∴α+φ∈(φ，π3+φ)， 设θ＝α+φ，易知θ是第一象限角，故原式转化为f(θ)=√5sinθ，结合正弦函数性质得f （θ）在(0，π2)上单调递增， 当θ＝φ时，tanθ=12，易知θ是第一象限角，故sinθ=√55，a →⋅b →=1， 当θ=φ+π3时，sinθ=2√15+√510，a →⋅b →=√5×2√15+√510=12+√3，故f(θ)∈(1，12+√3)，即a →⋅b →∈(1，12+√3)． 21．（12分）如图是函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）的部分图象，其中ω＞0，0＜φ＜π．其中B 为图象最高点，C ，D 为图象与x 轴的交点，且△BCD 为等腰直角三角形，|CD |＝2，_____．（从下面三个条件中任选一个，补充在横线处并解答）①f(x +12)=f(−x +12)； ②f(x −12)是奇函数； ③f(0)=√22．注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）设g(x)=f(2πx +12)，不等式m sin 2x ﹣g （x ）≤4﹣6m 对于∀x ∈R 恒成立，求m 的取值范围．解：（1）∵△BCD 为等腰直角三角形，|CD |＝2，∴A ＝1，且T 2=2，∴T =2π|ω|=4，又ω＞0，∴ω=π2．则f(x)=sin(π2x +φ)． 选①由f(x +12)=f(−x +12)，得函数f （x ）的图像关于直线x =12对称， 则π2×12+φ=π2+kπ(k ∈Z)，∴φ=π4+kπ(k ∈Z)， ∵0＜φ＜π，∴φ=π4． 故函数f （x ）的解析式为f(x)=sin(π2x +π4)． 选②∵f(x −12)=sin(π2x −π4+φ)是奇函数， ∴−π4+φ=kπ(k ∈Z)，∴φ=π4+kπ(k ∈Z)， ∵0＜φ＜π，∴φ=π4． 故函数f （x ）的解析式为f(x)=sin(π2x +π4)． 选③则f(0)=sinφ=√22，结合图像和0＜φ＜π，可得φ=π4．故函数f（x）的解析式为f(x)=sin(π2x+π4)．（2）由（1），得g(x)=f(2πx+12)=sin(x+π2)=cosx，∴m sin2x﹣g（x）≤4﹣6m⇔m sin2x﹣cos x﹣4+6m≤0，∴m cos2x+cos x﹣7m+4≥0对于∀x∈R恒成立．令t＝cos x∈[﹣1，1]，则mt2+t﹣7m+4≥0对∀t∈[﹣1，1]恒成立，∴m≤−t+4t2−7对∀t∈[﹣1，1]恒成立．∵t2−7t+4=(t+4)2−8(t+4)+9t+4=t+4+9t+4−8，令n＝t+4∈[3，5]，则y=n+9n−8在n∈[3，5]时单调递增，∴y∈[−2，−65]，∴t2−7t+4∈[−2，−65]，∴−t+4t2−7∈[12，56]，∴m≤12，故m的取值范围为(−∞，12 ]．22．（12分）函数f(x)=2sin2x+2|2sin(x+π4)−t|+t+2，最大值为M（t），最小值为m（t）．（1）设g（t）＝M（t）﹣m（t），求g（t）；（2）设s∈R，若|f（x）+s|≤6对x∈R恒成立，求s+t的取值范围．解：（1）f(x)=2sin2x+2|2sin(x+π4)−t|+t+2=4sin x cos x+2|√2（sin x+cos x）﹣t|+t+2，设n=√2（sin x+cos x），则4sin x cos x＝n2﹣2，﹣2≤n≤2，则y（n）＝n2+2|n﹣t|+t，当t≤﹣1时，函数y（n）＝n2+2n﹣t在[﹣2，﹣1]上单调递减，在[﹣1，2]上单调递增，此时M（t）＝y（2）＝8﹣t，m（t）＝y（﹣1）＝﹣1﹣t，g（t）＝M（t）﹣m（t）＝9，当﹣1＜t≤0时，函数y（n）在[﹣2，t]上单调递减，在[t，2]上单调递增，此时M（t）＝y（2）＝8﹣t，m（t）＝y（t）＝t2+t，g（t）＝M（t）﹣m（t）＝﹣t2﹣2t+8；当0＜t≤1时，函数y（n）在[﹣2，t]上单调递减，在[t，2]上单调递增，此时M（t）＝y（﹣2）＝8+3t，m（t）＝y（t）＝t2+t，g（t）＝M（t）﹣m（t）＝﹣t2+2t+8；当t＞1时，函数y（n）在[﹣2，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，此时M（t）＝y（﹣2）＝8+3t，m（t）＝y（1）＝3t﹣1，g（t）＝M（t）﹣m（t）＝9．综上：g（t）={9，t≤−1−t2−2t+8，−1＜t≤0−t2+2t+8，0＜t≤19，t＞1；（2）|f（x）+s|≤6恒成立可化为﹣s﹣6≤y（n）≤﹣s+6，﹣2≤n≤2恒成立．①当t＞1时，M（t）＝y（﹣2）＝8+3t，m（t）＝y（1）＝3t﹣1，所以﹣s﹣6≤3t﹣1且8+3t≤﹣s+6，解得：s+t≤﹣2t﹣2＜﹣4；②当0＜t≤1时，M（t）＝y（﹣2）＝8+3t，m（t）＝y（t）＝t2+t，故﹣s﹣6≤t2+t且8+3t≤﹣s+6，解得：﹣7≤s+t＜﹣2；③当﹣1＜t≤0时，M（t）＝y（2）＝8﹣t，m（t）＝y（t）＝t2+t，故﹣s﹣6≤t2+t且8﹣t≤﹣s+6，解得：﹣7＜s+t≤﹣2；④当t≤﹣1时，M（t）＝y（2）＝8﹣t，m（t）＝y（﹣1）＝﹣1﹣t，故﹣s﹣6≤﹣t﹣1且8﹣t≤﹣s+6，解得：s+t≤﹣4，综上所述：s+t≤﹣2．所以s+t的取值范围为（﹣∞，﹣2]．。
2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知角θ的终边上一点()()1,0P a a <，则=sin θ（ ） A ．a BC ．D ．【答案】B【分析】根据三角函数定义求解即可.【详解】因为角θ的终边上一点()()1,0P a a <， 所以sin θ，故选：B2．下列式子的互化正确的是（ ）A ．()130yy =<B ．)130xx -=≠C ．)540xx -=> D ．()()120x x =->【答案】C【分析】根据根式与分数指数幂的互化可逐项分析. 【详解】根据分数指数幂的运算可知，1133||(0)y y y ==-<，)130xx -=≠，)540x x -=>，()()120x x =->，故选：C3．已知扇形的面积为2，扇形的圆心角的弧度数是1，则扇形的周长为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】根据扇形的面积公式及弧长公式求解即可. 【详解】由题知：22111222S r r α==⨯⨯=，解得2r .弧长212l =⨯=，所以扇形的周长为2226++=. 故选：C4．设集合{}02M x x =≤≤，{}02N y y =≤≤，给出如下四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：由函数的定义，集合{}M x |0x 2=≤≤中的每一个x 值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y 值与之对应，结合图象得出结论．从集合M 到集合能构成函数关系时，对于集合{}M x |0x 2=≤≤中的每一个x 值，在N={y|0≤y≤2}中都有唯一确定的一个y 值与之对应．图象A 不满足条件，因为当1x 2≤＜时，N 中没有y 值与之对应． 图象B 不满足条件，因为当x=2时，N 中没有y 值与之对应．图象C 不满足条件，因为对于集合M {x |0x 2}=≤＜中的每一个x 值，在集合N 中有2个y 值与之对应，不满足函数的定义．只有D 中的图象满足对于集合{}M x |0x 2=≤≤中的每一个x 值，在{}N y |0y 2=≤≤中都有唯一确定的一个y 值与之对应．【解析】函数的概念及其构成要素 5．已知集合{|23}A x cosx =≥，集合2{|20}B x x x =+-≤，则A B =（ ）A ．2,6π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,16π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．[]2,1-D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【分析】化简集合A ，B ，根据交集运算求解即可.【详解】由2cosx ≥cos 2x ≥， 解得22,66k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以{|2{|22,}66A x cosx x k x k k Z ππππ=≥=-≤≤+∈，当0k =时，{|}66A x x ππ=-≤≤ 又2{|20}{|21}B x x x x x =+-≤=-≤≤， 所以,66A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故选：D6．将函数()()10y tan x ωω=->的图像向左平移2个单位长度后，与函数()3y tan x ω=+的图象重合，则的最小值等于（ ）A ．22π-B ．1C ．2π-D ．2【答案】D【分析】平移函数图象后得tan(21)y x ωω=+-，根据与()3y tan x ω=+重合可求解. 【详解】函数()()10y tan x ωω=->的图像向左平移2个单位长度后可得，tan[(2)1]tan(21)y x x ωωω=+-=+-，与函数()3y tan x ω=+的图象重合， 由0>ω，所以213ω-=时，即=2ω时图象重合，且ω最小. 故选：D7．若函数()212815y log ax x =-+在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围（ ）A ．[]0,2B ．1,24⎛⎤⎥⎝⎦C ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】换元，令2815ax t x -+=，由题意，根据复合函数同增异减的判断方法可知函数2815ax t x -+=在()1,2上单调递减，并且28150ax x -+>在()1,2上成立，求解即可.【详解】令2815ax t x -+=，则12log y t =，因为函数()212log 815y ax x =-+在()1,2上单调递增，函数12log y t =在定义域上是减函数，所以函数2815ax t x -+=在()1,2上单调递减，并且28150ax x -+>在()1,2上成立；当2815ax t x -+=在()1,2上单调递减，则280ax t '-=≤在()1,2上成立，所以2a ≤；又28150ax x -+>在()1,2上成立，所以2815a x x >-在()1,2上成立，所以8151244a ≥-=，综上，a 的取值范围为1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.【点睛】关于复合函数的单调性问题，一是通过口诀判断，换元以后判断内函数与外函数的单调性，根据同增异减判断即可，但需要注意对数函数的定义域；二是利用求导法x u x y y u '''=⋅，换元以后分别求导再相乘计算.8．已知函数()221,0143,0x x f x x x x x ⎧+<⎪=-⎨⎪-+≥⎩，若方程11f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭恰有4个实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,2-B ．5,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．()51,0,24⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭D ．()51,0,24⎛⎫-⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】利用基本不等式计算得出(][)11,31,x x+-∈-∞-+∞，由题意可知，关于t的方程()f t a =有两个不等的实根1t 、2t ，且1t 、[]23,1t ∉-，然后作出函数()y f t =的图象，数形结合可得出实数a 的取值范围.【详解】()2132132111x x x x x -++==+---，()221,0143,0x x f x x x x x ⎧+<⎪=-⎨⎪-+≥⎩，设11t x x=+-. 当0x >时，由基本不等式可得1111t x x =+-≥=，当且仅当1x =时，等号成立，当0x <时，由基本不等式可得()()11111213t x x x x x x⎡⎤=+-=--+-≤--⋅-=-⎢⎥--⎣⎦， 当且仅当1x =-时，等号成立. 所以，(][)11,31,t x x=+-∈-∞-+∞.当3t时，()()21321213221111t t t f t t t t t -+++====+<----. 作出函数11t x x=+-的图象如下图所示：由于方程11f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭恰有4个实根，则关于t 的方程()f t a =有两个实根1t 、2t ，设12t t ≤.若13t =-，则54a =，此时关于t 的方程()f t a =的另一实根23t >， 直线1t t =与函数11t x x =+-的图象只有一个交点， 直线2tt =与函数11t x x=+-的 图象有两个交点，此时，关于x 的方程11f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭恰有3个实根，不合乎题意；若11t =，则0a =，则关于t 的方程()f t a =的另一实根23t =，直线1t t =与函数11t x x =+-的图象有且只有一个交点， 直线2tt =与函数11t x x=+-的 图象有两个交点，此时，关于x 的方程11f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭恰有3个实根，不合乎题意； 所以，关于t 的方程()f t a =有两个不等的实根1t 、2t ，且1t 、[]23,1t ∉-，由图象可知，10a -<<或524a <<. 故选：D.【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数与外层函数；（2）确定外层函数的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）然后确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数的交点个数()1,2,3,,i a i n =，最后得到原函数的零点个数为123n a a a a ++++.二、多选题9．若“()00,2x ∃∈，使得200210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ可能的值是（ ）A ．1B ．22C ．3D ．32【答案】AB【分析】由题意可知，命题“()0,2x ∀∈，2210x x λ-+≥成立”，利用参变量分离法结合基本不等式可求得λ的取值范围，由此可得结果.【详解】由题意可知，命题“()0,2x ∀∈，2210x x λ-+≥成立”， 所以，221x x λ≤+，可得12x xλ≤+，当()0,2x ∈时，由基本不等式可得12x x +≥=当且仅当x =时，等号成立，所以，λ≤故选：AB.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.10．设函数()|cos ||cos2|f x x a x b =+++，,a b ∈R ，则（ ） A ．()f x 的最小正周期可能为2π B ．()f x 为偶函数C ．当0ab 时，()f x D ．存a ，b 使()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 【答案】BCD【分析】A ．分析()2f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是否恒成立；B ．分析函数定义域，根据()(),f x f x -的关系判断是否为偶函数；C ．采用换元法，将()f x 写成分段函数的形式，然后分析每一段函数的取值范围，由此确定出最小值；D ．分析1a b ==-时的情况，根据复合函数的单调性判断方法进行分析判断. 【详解】A ．因为cos cos 2sin cos 2222f x x a x b x a x b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()011,12f a b f a b π⎛⎫=+++=-+ ⎪⎝⎭，所以()02f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭不一定成立，所以()2f x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭不恒成立，所以()f x 的最小正周期不可能为2π，故错误； B ．因为()f x 的定义域为R ，关于原点对称；又因为()()()()cos cos 2cos cos 2f x x a x b x a x b f x -=-++-+=+++=， 所以()f x 为偶函数，故正确； C ．因为0ab ，所以()cos cos2f x x x =+，所以()2cos 2cos 1f x x x =+-令[]cos 1,1x t =∈-，记[]221,1,1y t t t =+-∈-，所以222221,1,21,21,0,221,2t t t t t t y t t t t t t ⎧⎡--∈-⎪⎢⎪⎣⎭⎪⎡⎫⎪--+∈⎪⎢⎪⎪⎪⎣⎭=⎨⎡⎫⎪-++∈⎪⎢⎪⎪⎣⎭⎪⎪⎤⎪+-∈⎥⎪⎣⎦⎩，当1,2t ⎡∈--⎢⎣⎭时，22219192122482482y t t t ⎛⎫⎛⎫=--=-->---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2t ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭时，222191921224848y t t t ⎛⎫⎛⎫=--+=-++≥-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，22219192122482482y t t t ⎛⎫⎛⎫=-++=--+>--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当t ⎤∈⎥⎣⎦时，22219192122482482y t t t ⎛⎫⎛⎫=+-=+-≥+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 综上可知：()2cos 2cos 1f x x x =+-，取最小值时cos 2t x ==±，故正确； D ．取1a b ==-，所以()|cos 1||cos21|f x x x =-+-，所以()1cos 1cos2f x x x =-+-，所以()22cos cos 3f x x x =--+，所以()21252cos 48f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭， 又因为cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，且0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0,1x ∈，且2125248y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在()0,1t ∈时单调递减，根据复合函数的单调性判断方法可知：()21252cos 48f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以存在1a b ==-使()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故正确， 故选：BCD.【点睛】思路点睛：复合函数()()f g x 的单调性的判断方法：（1）先分析函数定义域，然后判断外层函数的单调性，再判断内层函数的单调性； （2）当内外层函数单调性相同时，则函数为递增函数； （3）当内外层函数单调性相反时，则函数为递减函数.三、填空题11．计算：cos7515sin75cos sin15︒+︒︒︒=____． 【答案】12【分析】根据两角差的余弦公式求解即可. 【详解】由两角差的余弦公式可知，cos sin 1cos7515sin 7515cos(7515)cos602︒︒︒︒+=︒-︒=︒=， 故答案为：1212．计算11281lg 2lg lg1252252-=____． 【答案】12【分析】根据对数的运算法则和性质结合对数恒等式lg 2lg51+=求解出原式的结果.【详解】原式3732211281121lg 2lg 22lg125lg 2lg 2lg 52252252=-+=-+()()13117lg 22lg53lg 2lg5lg 2lg52222=⨯--+=+=， 故答案为：12. 13．已知函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示：则函数()f x 的解析式为______．【答案】()2sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【分析】由函数图象的最值和周期可得A 和ω，然后将点(2代入解析式，利用ϕ的范围即可得到ϕ值，从而得到函数解析式．【详解】由图象得到()f x 2，周期为16，且过点(2 所以2A =又216T πω==，所以8πω=，将点(2代入()f x ，2πϕ<．得到4πϕ=，所以()2sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故答案为()2sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：．【点睛】本题考查由()sin y A x ωϕ=+的部分图象确定其解析式，注意函数周期的求法，考查计算能力，属于常考题型．14．若函数sin 223y x a x =++的最小值为1，则正实数a =____． 【答案】3【分析】由辅助角公式化简可得)3y x ϕ=++，根据最小值即可求出.【详解】由函数sin 223y x x =++，可得)3y x ϕ=++，所以min 31y ==， 解得3a = 故答案为：315．函数2y x =-+____．【答案】1312,⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域.【详解】设)0t t =≥，则273t x -=，所以原函数可化为：()211033y t t t =-++≥， 由二次函数性质，当32t =时，函数取最大值1312，由性质可知函数无最小值，所以值域为：1312,⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为：1312,⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 16．已知函数()()211(sin )sin 20,22f x x x R ωωωω=+->∈，若()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是_____．【答案】115(0,][,]16816【分析】化简函数解析式，由f (x ) =0，可得sin(2)04x πω-=，解得()2,28k x ππωωππ=+∉，结合102ω<≤即可得出结论. 【详解】()2111cos 211(sin )sin 2sin 222222x f x x x x ωωωω-=+-=+-)24x πω=-．由()0f x =，可得24k x πωπ-=，解得82k x ππωω=+，k Z ∈． 因为()f x 在区间(),2ππ内没有零点， 所以()2,28k x ππωωππ=+∉，且2T ≥π，即()2,28k x ππωωππ=+∉且102ω<≤， 因为0>ω，分别取0k =，1,2,3⋯，11599115(,)(,)(,)(,)(,)168168168168165ω∴∉⋃⋃⋃⋯=⋃+∞，115(0,][,]16816ω∴∈∴ω的取值范围是115(0,][,]16816，故答案为：115(0,][,]16816．【点睛】关键点点睛：由三角函数化简求出函数零点()82,2k ππωωππ+∉，k Z ∈，分别取0,1,2,k=⋯，可得ω不属于的集合，结合102ω<≤，可判断ω所在区间即可，属于难题.17．已知0x >，0y >，且2183x y x y ++≤+，则2xy x y+的最大值为____． 【答案】16【分析】由0x >，0y >2183x y x y ++≤+，2212121(8)()()3()x y x y x y x y+⋅+≤+-+ 利用均值不等式得22121()3()18x y x y+-+≥， 解得21x y+的取值范围，进而求得2xyx y +的最大值.【详解】由0x >，0y >2183x y x y ++≤+，得2183x y x y+≤+-， 即2212121(8)()()3()x y x y x y x y+⋅+≤+-+又2116(8)()101018y xx y x y x y+⋅+=++≥+=， 当且仅当16y xx y=，即4x y =时，取等， 故22121()3()18x y x y+-+≥， 解得216x y +≥或213x y+≤-（舍） 故111226xy x y y x=≤++，即2xy x y +的最大值为16， 故答案为：16.四、解答题18．已知集合4{|0}3x A x x -=>+，集合{|221}B x a x a =-≤≤+． （1）当3a =时，求A 和()R A B ；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{|3A x x =<-或}4x >，(){}|37RA B x x ⋃=-≤≤；（2）2a <-或6a >.【分析】（1）当3a =时，得出集合B ，解分式不等式即可得集合A ，再根据补集和并集的运算，从而可求出()R A B ；(2)由题意知BA ，当B =∅时，221a a ->+；当B ≠∅时，221213a a a -≤+⎧⎨+<-⎩或22124a a a -≤+⎧⎨->⎩，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）由题可知，当3a =时，则{}|17B x x =≤≤，{40|33x A x x x x ⎧⎫-=>=<-⎨⎬+⎩⎭或}4x >，则{}|34RA x x =-≤≤，所以(){}{}{}|34|17|37RA B x x x x x x ⋃=-≤≤⋃≤≤=-≤≤.（2）由题可知，x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则B A ，当B =∅时，221a a ->+，解得：3a <-； 当B ≠∅时，221213a a a -≤+⎧⎨+<-⎩或22124a a a -≤+⎧⎨->⎩，解得：32a -≤<-或6a >； 综上所得：2a <-或6a >. 【点睛】结论点睛：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．19．已知1tan 2α=-．（1）求1sin 2cos 21sin 2cos 2αααα+-++的值；（2）若()1tan 2αβ-=，求()tan 32αβ-的值． 【答案】（1）12-；（2）12．【分析】（1）根据221cos 22sin ,1cos 22cos αααα-=+=化简原式的分子分母，然后分式上下同除()2sin cos αα+，将原式变形为tan α的表示形式，由此计算出原式的值；（2）先根据正切的二倍角公式计算出()tan 22αβ-的值，然后根据角的关系：()3222αβαβα-=-+，结合两角和的正切公式求解出()tan 32αβ-的值.【详解】（1）因为1tan 2α=-，所以cos 0α≠且sin cos 0αα+≠，所以()()222sin sin cos 1sin 2cos 22sin 2sin cos 1tan 1sin 2cos 22cos 2sin cos 2cos sin cos 2ααααααααααααααααα++-+====-++++；（2）因为()1tan 2αβ-=，所以()()()22tan 4tan 221tan 3αβαβαβ--==--，()()()()tan tan 221tan 32tan 221tan tan 222ααβαβαβαααβ+--=-+==⎡⎤⎣⎦--.【点睛】关键点点睛：解答本题的第二问的关键是找到()32αβ-与,ααβ-的之间的关系，从而借助正切的两角和公式、二倍角公式完成求解. 20．已知定义在R 上的奇函数()2(01)1xf x b a a a =->≠+,． （1）求b 的值；（2）若()f x 在[]1,1-上的最大值为13，求a 的值． 【答案】（1）1b =；（2）2a =或12． 【分析】（1）根据()00f =先计算出b 的值，然后代入原函数中进行检验，最终确定出b 的值；（2）分类讨论：1,01a a ><<，结合指数型函数的单调性以及最大值求解出a 的值. 【详解】（1）由()20012f b b =-=⇒=，所以()211x f x a =-+，所以()211xf x a --=-+， 所以()()22222111111x x x x xa a f x f x a a a +--=-=-=-+=-+++，且定义域为R 关于原点对称，所以()f x 为奇函数，故1b =满足条件； （2）当1a >时，函数()211x f x a =-+单调递增， 故()()max 2111213f x f a a ==-=⇒=+， 当01a <<时，函数()211x f x a =-+单调递减，故()()1max 21111132f x f a a -=-=-=⇒=+ 故2a =或12. 【点睛】易错点睛：已知函数()f x 是奇函数，且定义域包含0，若通过()00f =求解函数中的参数值，求解出参数后需要验证()f x 是否为奇函数，这一点需要特别注意. 21．已知函数()2sin 22sin f x x x =+．（1）求()f x 的单调递增区间 （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()()()22210f x m f x m m ⎡⎤-+++=⎣⎦恰有三个不同的实数根，求m 的取值范围．【答案】（1）3,88k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k Z ∈；（2）1m ≤< 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式以及辅助角公式将函数化为()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的单调递增区间整体代入即可求解.（2）将问题转化为()f x m =或()1f x m =+共有三个不同实根，从而可得sin 24x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭或sin 24x π⎛⎫-=> ⎪⎝⎭共有三个不同交点，作出函数图象，数形结合即可求解.【详解】（1）()2sin 22sin sin 2cos 21214f x x x x x x π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭所以增区间为：22,2422x k k πππππ⎛⎫-∈-+ ⎪⎝⎭， 3,88k Z x k k ππππ⎛⎫∈⇒∈-+ ⎪⎝⎭k Z ∈（2）因()()()()()2221010f x m f x m m f x m f x m -+++=⇒---=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以()f x m =或()1f x m =+共有三个不同实根，即sin 24x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭或sin 24x π⎛⎫-=> ⎪⎝⎭共有三个不同交点， 因30,2,2444x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由图可得：12≤<1不合题意．1≤<且≤<，即1m ≤<【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的性质，由方程的根求参数的取值范围，解212≤<且222≤<考查了计算能力、转化能力以及数形结合的思想.22．设函数()()cos2cos 1cos 1f x a x x x =++--，()()2sin 21sin g x a x a x =-+-，其中0a >．（1）当2a =时，求函数()f x 的值域； （2）记()||f x 的最大值为M ， ①求M ；②求证：()||2g x M ≤．【答案】（1）17,416⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）①2123,05611,18532,1a a a a M a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩；②证明见解析． 【分析】（1）化简得24c )os c s 1(o f x x x +=-，配方求值域即可；（2）①设cos t x =，换元得()22161248a a a h t a t a a -++⎛⎫=--⎪⎝⎭，分类讨论即可求解；②利用绝对值不等式的性质求出()||g x 11,0511,1531,1a a a a a a ⎧+<≤⎪⎪⎪≤+<≤⎨⎪->⎪⎪⎩利用做差法与2M 比较大小即可求证.【详解】（1）()()cos21cos 1f x a x a x a =+-+-当2a =时，()221172cos 2cos 14cos cos 14cos 816f x x x x x x ⎛⎫=++=+-=+-⎪⎝⎭ 因为[]cos 1,1x ∈-， 所以()17,416f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）设cos t x =，[]1,1t ∈-，()22161248a a a h t a t a a -++⎛⎫=--⎪⎝⎭ 对称轴为14a a -，开口向上，()1h a -=，()132h a =-，216148a a a h a a -++⎛⎫=-⎪⎝⎭1）当105a <≤时，114a t a-=≥，32a a ≤-，所以23M a =- 2）当115a <≤时，[)10,14a t a-=∈，()114a h h a -⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以2618a a M a ++=3）当1a >时，()11,04at a-=∈-，()114a h h a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以32M a =- 综上所述：2123,05611,18532,1a a a a M a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩②()()()2sin 21sin 2sin 21sin 21g x a x a x a x a x a a =-+-≤-+-≤+-11,0511,1531,1a a a a a a ⎧+<≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪->⎪⎪⎩当105a <≤时，()()7122373305a a a +--=-≤-<所以()2g x M ≤当115a <≤时，()2261341313112110844444a a a a a a a a a ++--+-==--≤--<所以()2g x M ≤当1a >时，()()123255550a a a +--=-+<-<，所以()2g x M ≤ 综上所述：所以()2g x M ≤【点睛】关键点点睛：证明()||2g x M ≤时，先求出()||g x 的最大值是解题关键，应用绝对值不等式的性质，可求出max 1,01|()|31,1a a g x a a +<≤⎧=⎨->⎩，然后分类利用作差法比较大小即可，属于难题.。
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浙江省宁波市2013-2014学年高一上学期期末数学试卷 Word 版含答案说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．本次考试不得使用计算器．请考生将所有题目都做在答题卷上．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,2,3},{2,5}A B ==，则A B =（A ）{2}（B ）{2,3}（C ）{3}（D ）{1,3}2．)60sin(︒-的值是（A ）21-（B ）21（C ）23- （D ）233．函数sin(2)y x π=+是（A ）周期为π的奇函数 （B ）周期为π的偶函数（C ）周期为2π的奇函数 （D ）周期为2π的偶函数 4．下列函数在区间(0,)+∞是增函数的是（A ）1()1f x x =- （B ）1()12x y =- （C ）21y x x =-+ （D ）ln(1)y x =+ 5．设函数⎩⎨⎧>≤=),0(log ),0(4)(2x x x x f x 则))1((-f f 的值为（A ）2 （B ）1 （C ）1-（D ）2-6．已知函数0(log )(1>+=-a xa x f a x 且)1≠a 在区间[1,2]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为 （A ）14（B ）12（C ）2（D ）47．定义一种运算,(*),a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，则函数()(2*2)x xf x -=的值域为（A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）[1,)+∞（D ）(1,)+∞8．已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线，且,AD a BE b ==，则BC =（A ）4233a b + （B ）2433a b + （C ）2233a b - （D ）2233a b -+ 9．将函数4cos(2)3y x π=-的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位，所得图像关于轴对称，则ϕ的最小值为y（A ）6π （B ）3π （C ）23π （D ）43π 10．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （B ）,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（C ）2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（D ）,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．函数()lg(12)f x x =+-的定义域是 ▲ ．12．计算：31lg 25lg 2log 92+-= ▲ ． 13．已知向量,a b 满足1a b ==，且它们的夹角为60︒，则2a b -= ▲ ．14．已知2tan =θ，则=-----+)sin()2sin()cos()2sin(θπθπθπθπ▲ ． 15．函数2cos(2), [,]664y x x πππ=+∈-的值域为 ▲ ． 16．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22(xf x x bb =++为常数），则(2)f -= ▲ ．17．若函数(1)()(4)2(1)2x a x f x ax x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩对于R 上的任意12x x ≠都有 0)()(2121>--x x x f x f ，则实数a 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分14分）已知7sin cos 5αα-=-．求sin cos αα和tan α的值．19．（本小题满分14分）函数2()(4)42f x x a x a =+-+-． （I ）若()f x 是偶函数，求实数a 的值；（II ）当1a =时，求(2)xy f =在区间[1,1]-上的值域．20．（本小题满分14分）已知点(1,),(4,)M A N A 是函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0,22ππωϕ>-<<）一个周期内图象上的两点，函数()f x 的图象与y 轴交于点P ，满足1PM PN ．（I ）求()f x 的表达式； （II ）求函数()3y f x 在区间[0,6]内的零点．21．（本题15分）已知向量(1,2),(cos ,sin ),a b c a tb αα===-设（t 为实数）． （I ）1t = 时，若//c b ，求tan α ； （II ）若4πα=，求c 的最小值，并求出此时向量a 在c 方向上的投影．22．（本题15分）已知函数1(),()()f x x a g x a a R x=-=-∈ ． （I ）判断函数()()()h x f x g x =-在[1,4]x ∈的单调性并用定义证明；（II ）令()()()F x f x g x =+，求()F x 在区间[1,4]x ∈的最大值的表达式()M a ．宁波市201３学年第一学期期末考试高一数学参考答案11．1(2,)2- 12．1- 13 14．2-15．[1,2]- 16．7- 17．[4,8) 三、解答题18．（本小题14分）解：由249(sin cos )25αα-=，得4912sin cos 25αα-=， 所以12sin cos 25αα=-； （7分） 又125sin cos 12αα=-，即22sin cos 25sin cos 12αααα+=-，得125tan tan 12αα+=- 解得：3tan 4α=-或4tan 3α=-． （14分）19．（本小题14分）解：（I ）4a =；（4分） （II ）当1a =时，令12,[,2]2xt t =∈，（8分）则2(2)()32x y f f t t t ===-+ 值域为13[,]44- ． （14分） 20．（本小题14分）解：（I ）4132T ，26T，3πω=；（3分）(1)f A 得sin()3A A πϕ+= 0A >,22ππϕ-<< 6πϕ=； （6分）(0)sin 62A f A ，(0,)2A P ， 3(1,),(4,)22A PM PN A ，得23414A 2A ()2sin()36f x x． （9分）（II ）[0,6]x，13[,]3666x，()32sin()336y f x x，0y即 3sin()362x， 363x 或 2363x， 得12x或32x（14分）21．（本小题15分）解：（I ）1t =,(1cos ,2sin )c αα=--,//cos (2sin )sin (1cos )0c b αααα⇒---=,（4分） 得tan 2α= ；（6分） （II ）4πα=时，(1c=-=，（9分）当2t =时，min 22c =，（12分）此时11(,)22c =-，a 在c 方向上的投影22a c c⋅=． （15分）22．（本小题15分）解：（I ）1()2h x x a x=+-在[1,4]x ∈递增； （证明略）．（6分） （II ）若1a ≤，1()F x x x =-，在[1,4]x ∈递增，15()4M a =，若4a ≥，1()2(F x a x x=-+）在[1,4]x ∈递减，()22M a a =-， （9分） 若(1,4)a ∈，则1,4()12(),1x a x xF x a x x ax ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩（11分）当4a x ≤≤时，函数递增，max 15()4F x =， 当1x a ≤≤时，函数递减，max ()22F x a =-；（13分）152322244a a --=- ，当2318a <≤ 时，15()4M a =，当2348a <<时， ()22M a a =-．综上：238a ≤时，15()4M a =，当238a <时，()22M a a =-． （15分）。