初中数学 第二章 二次函数复习之数形结合课件
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二十二-二次函数复习课PPT课件
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=a(x＋1)(x－1）
y=ax2+bx+c
由条件得：
y
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
点M( 0,1 )在抛物线上
所以：a(0+1)(0-1)=1
x o
顶点式： y=a(x-h)2+k
得： a=-1 故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1)
.
23
4.求抛物线解析式的三种方法
例题精讲
例1.已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、
（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？
一般式： 解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
两根式： y=a(x-x1)(x-x2)
由条件得： a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7
有两个相等的
解
x1=x2=
b 2a
没有实数根
O
x
19
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是(D )
A y=2x2 – 3
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x
轴交点情况是( C )
（1）抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三
点。
yx2 x2
（2）抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴
的一个交点的横坐标是8。
y1(x6 )221x26x 1 6
人教版九年级年数学上册《二次函数的数形结合问题》精品课件
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。* *5/15/2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。*** 21.5.15
谢谢大家
•
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。21.5.1521.5.15Saturday, May 15, 2021
•
10、低头要有勇气，抬头要有低气。* **5/15/2021 4:45:38 PM
y a b c 0
y
yabc0
yabc0
o
x
yabc0
X=-1
练 习 ： 二 次 函 数 yax2bxc的 图 象 如 图 ， 用 (<,>,=)填 空 : a 0， b 0， c 0， a+b+c 0， a-b+c 0，
如遇到 2a+b,2a-b要与 对称轴联系等；
y
-1 o
1x
（5 ）二次函数有最大或最小值由a决定。
谢谢大家
•
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。21.5.1521.5.15Saturday, May 15, 2021
•
10、低头要有勇气，抬头要有低气。* **5/15/2021 4:45:38 PM
•
11、人总是珍惜为得到。21.5.15**May-2115- May-21
•
12、人乱于心，不宽余请。***Saturday, May 15, 2021
-1 o 1 x
8、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示， 下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④ （a+c)2＜b2，其中正确的个数是 （ B）
数学中考复习：数形结合思想PPT课件
距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。 （1）求这条抛物线的解析式； y
（2）若不计其它因素，水池
A
的半径至少要多少米，才能
使喷出的水流不至于落在池 外？
P 3
4
O 1B 水平面 x
5． 已知一次函数y＝3x/2＋m和 y＝－x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0），且与 y轴分别交于B、C两点，试求△ABC的面积。
∴S△ABC＝1/2×BC×AO＝4
6.某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时
后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）
与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根
据下图回答问题：
(1)机动车行驶几小时后加油？答：＿5＿小时
(2)加油前余油量Q与行驶时间t的函数关系式
是：＿Q＝＿＿42＿－＿6＿t Q（升）
中考复习
数形结合思想
2024/9/19
1
谈到“数形结合”，大多与函数问 题有关。
函数的解析式和函数的图象分别从
“数”和“形”两方面反应了函数的性 质，
函数的解析式是从数量关系上反应 量与量之间的联系；
函数图象则直观地反应了函数的各
种性质，使抽象的函数关系得到了形象 的显示。
“数形结合思想”就是通过数量与
B、M = 0
C、M < 0
D、不能确定
运用数形结合的方法，将 -1 0 1
x
函数的解析式、图象和性
质三者有机地结合起来
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所
示.下列关于a,b,c的条件中，
不正确的是 ( D ) y
(A)a＜0,b＞0,c＜0
(B)b2－4ac＜0
(C)a＋b＋c＜0
中考数学专题《二次函数》复习课件(共18张PPT)
（3）抛物线与y轴的交点坐标是（0，c） c决定抛物线与y轴的交点位置
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
（4）b2-4ac>0，抛物线与x轴有两个公共点 b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个公共点 b2-4ac<0，抛物线与x轴没有公共点
基础训练
• 如图,是y=ax2+bx+c的图像， 则a___<___0 b___<___0 c___>__0 , b2-4ac___>__0 a+b+c_ <__0 4a-2b+c__>__0 2a-b__=__0
桥面
-5 0 5
x/m
抛物线顶点的纵坐标是
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是__1_米__;
两条抛物线顶点间的距离是
⑵两条钢缆最低点之间的距离是__4_0_米_;
关于y轴对称的抛物线是
(3)右边的抛物线解析式是y_=__0_._0_2_2_5__(_x_-2__0_)__2.+1
高屋建瓴
——函数与几何的综合题
高屋建瓴
——求解析式
5、已知一条抛物线的对称轴是直线x=1，它 与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)且线 段AB的长是4，它还与过点C(1，-2)的直线有 一个交点是点D(2,-3)，求抛物线的解析式
模式识别： 顶点式
若这条抛物线有P点，使 S△ABP=12，求点P的坐标
高屋建瓴 ——实际应用
y
AO C
P Bx
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月5日星期六2022/3/52022/3/52022/3/5 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件
2
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2
二次函数中的数形结合。 ppt课件
小结：
回 1.二次函数的图象特征与系数符号的关系 头 一 2.二次函数图象与性质的应用 看 ， 3.巧妙地进行“数”与“形”的相互转化 我 想 4.重视图形信息的收集、整理和加工 说
5.培养思维能力,形成良好的数学思维习惯
二次函数中的数形结合。
…
提高题
1.(山西)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示. 有下列结论:
y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可
能为( A )
二次函数中的数形结合。
3. 二次函数增减性
例3 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，
若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的
两点，则y1与y2的大小关系是（ C）
A. y1＜ y2 B. y1＝ y2 ． C．y1 ＞y2 D．不能确定
平移：形状和开口方向不变，即a不变. 规律：“左加右减”；“上加下减”．
二次函数中的数形结合。
练习4把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平 移3个单位，再向下平移2个单位，所得 图象的解析式为y=x2－4x＋5，
则b、c的取值为（ A ）
（2010年贵州毕节改编题）
A．b=2，c=4
B．b=1，c=2
解法三 抛物线 y=x2+bx+c 与x轴交于A（-1，0）， B（3，0） 两点．
∴所求抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2﹣2x﹣3
二次函数中的数形结合。
练习5（四川成都） 如图所示的抛物线是二次函数
yax23xa21 的图象， 那么抛物线的解析式
为 yx2 3．x
二次函数中的数形结合。
北师大版初中九年级下册数学课件 《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT课件7
解：（1）当h=15时， t2－4t＋3=0 t1=1，t2=3
20t–5t2=15
当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.
15m
1s
3s
20m 2s
（2）当h=20时， t2－4t＋4=0 t1=t2=2
20t–5t2=20
当球飞行2s时，它的高度为20m.
（3）当h=20.5时，
20t–5t2=20.5
第二章二次函数
二次函数与一元二次方程
回顾旧知
二次函数的一般式：
y ax2 bx c （a≠0）
x y x ______是自变量，____是____的函数。
当y=0时，
ax²+bx+c=0
ax²+bx+c=0
这是什么方程？
一元二次方程与二次函数有什么 关系？
九年级上册中我们学习了 “一元二次方程”
实际问题
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛 物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h (单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间 具有关系：h=20t–5t2 考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到15m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到20m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到20.5m?为什么？ （4）球从飞出到落地要用多少时间?
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
探究
下列二次函数的图象与x轴有交点吗? 若有，求出交点坐标.
（1）y=2x2＋x－3
（2）y=4x2－4x+1
y
（3）y=x2–x+1
o
x
令y=0，解一元二次方程的根
中考二次函数复习课件
值 a＜0
当 x＝－2ba时， y 最小值＝4ac4－a b2 当 x＝－2ba时， y 最大值＝4ac4－a b2
当 x＝h 时，y 最小值＝k 当 x＝h 时，y 最大值＝k
数学·新课标（RJ）
当
x<－2ba时，y 的值随
x
的
当 x<h 时，y 的值随 x 的增大而 减小 ；当
a＞0 增大而 减小 ；当 x>－2ba时，x>h 时，y 的值随 x 的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图26－2所示，则下列结论．错误 的有( )
①ac>0；②b<0；③a－b＋c<0；④a＋b＋c<0；⑤2a＋b＝0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
数学·新课标（RJ）
练习：
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ<0
y
•
0
y
•0
y
•0 (0,0)
(1)a确定抛物线的开口方向：
x
上正下负
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
上正下负, 过原点则c=0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
2
3
顶点是_______________,对称轴是__________,
当x
时, y随x的增大而减小。
当x
时, y有最 值为
.
顶点式为y 1 (x 1)2 1
2
6
巩固练习:
当 x＝－2ba时， y 最小值＝4ac4－a b2 当 x＝－2ba时， y 最大值＝4ac4－a b2
当 x＝h 时，y 最小值＝k 当 x＝h 时，y 最大值＝k
数学·新课标（RJ）
当
x<－2ba时，y 的值随
x
的
当 x<h 时，y 的值随 x 的增大而 减小 ；当
a＞0 增大而 减小 ；当 x>－2ba时，x>h 时，y 的值随 x 的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图26－2所示，则下列结论．错误 的有( )
①ac>0；②b<0；③a－b＋c<0；④a＋b＋c<0；⑤2a＋b＝0. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
数学·新课标（RJ）
练习：
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数： Δ<0
y
•
0
y
•0
y
•0 (0,0)
(1)a确定抛物线的开口方向：
x
上正下负
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
上正下负, 过原点则c=0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
2
3
顶点是_______________,对称轴是__________,
当x
时, y随x的增大而减小。
当x
时, y有最 值为
.
顶点式为y 1 (x 1)2 1
2
6
巩固练习:
中考二次函数复习课件【优质PPT】
x=2，y最大值=3
练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。
(1)、图象经过(-1，3)， (1，3) ， (2，6) 三点；
(2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点
的纵坐标是3 。
顶点(6，3）
解法一设解析式为y=a(x-0)(x-12)
令y=1.4,则-0.2x2+3.2=1.4
B x解得x=-3或x=3 ∴M(-3,1.4),N(3,1.4) ∴MN=6 20 答：横向活动范围是6米。
练习、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大; (2)、当x为何值时，y<0。 (3)、求它的解析式和顶点坐标y ；
(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点 的纵坐标是3 。
2021/10/10
14
5一.待般定式系数y法=a求x解2+b析x式+c (a≠0) 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0)
交点式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
6–
3–
-2 -1
12
练习 根据下列条件，求二次函数的解析式。
二次函数的图象是一条 对称轴平行于 y 轴．
抛物线
，它是 轴
对称图形，其
2021/10/10
2
y 3.二次函数的图象及性质y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4acb2 4a
直线x b
2a
九年级数学下册第二章第二节二次函数图象的平移课件
二次函数y=ax2的图象与二次函数 y=a(x-h) 2的图象的关系
y Y=5(x+2)
2
Y=5x
2
y=5(x-2)
2
• 二次函数y=a(x-h) 2的图象可由二次函数y=ax2的图
• •
象向左（或向右）平移得到： 当h＞0时，抛物线y=ax2向右平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2 当h＜0时，抛物线y=ax2向左平移h的绝对值个单位， 得y=a(x-h) 2
口诀:左加右减,上加下减.Fra bibliotek学以致用
• 例1:已知函数Y=-5(X+6) -4 • (1)你能直接写出它的图象向右平移3个单位后的
2
• •
解析式吗？ 2 解：Y=-5(X+6-3) -4 2 Y=-5(X+3) -4
（2）如果向下平移2个单位呢？ 2 Y=-5(X+6) -4-2 2 • Y=-5(X+6) -6
抛物线 y
= a ( x-h)2 + k的特点：
向上 最 ____ 低 点是顶点; a＞0时，开口________, 高 向下 a＜0时，开口________, 最 ____ 点是顶点;
直线 x = h (h , k) 。 顶点坐标是 __________
对称轴是 _____________，
y = a( x – h )2 + k
左 右 平 移 上 下 平 移
y = ax2 + k
上下平移
y = a(x – h )2
左右平移
y=
ax2
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2形状相同,位置不同。
二次函数复习-完整版PPT课件
学练优九年级数学上（RJ） 教学课件
第二十二章 二次函数
复习课
知识网络
专题复习
课堂小结
课后训练
知识网络
二次函数的概念
定义 一般形式
y=a2bc
a,b,c是常数，a≠0
自变量的取值范围 全体实数
图象
一条抛物线
一般式
二
次 解析式形式 顶点式
函
数
交点式
y=a2bca≠0 y=a-h2 y=a-1-2
y=a2bc
1,2）；
y
C’
C
Q
B
OA x
图2
丙1,15
丁
0,1
4,1
1m
甲
2.5m
乙
1m
4m
解:如图建立平面直角坐标系，可设抛物a线的b 解1析1式.5,为y=a2b1
点（1,15）、（4,1）在抛物线上，得 16a 4b 1 1,
解得：a ， 所1 ,b以抛2 物线解析式为
63
y1x22x1(1≤ x≤ 4） , 63
当=25时，y=1625所以丁同学的身高为1625米
应
用
二次函数的概念 及图象特征
用数形结合 的方法去研 究和运用
建立二次函数模型， 将实际问题数学化， 运用二次函数知识 解决实际问题
课后训练
=-2-523 ，下列说法正确的是（ ）
A
A开口向下，顶点坐标5,3 B开口向上，顶点坐标5,3
C开口向下，顶点坐标-5,3 D开口向上，顶点坐标-5,3
>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=a2bc的是 （ A）
a ≠ 0 性 质 六点、一轴、一方及增减性与最值
第二十二章 二次函数
复习课
知识网络
专题复习
课堂小结
课后训练
知识网络
二次函数的概念
定义 一般形式
y=a2bc
a,b,c是常数，a≠0
自变量的取值范围 全体实数
图象
一条抛物线
一般式
二
次 解析式形式 顶点式
函
数
交点式
y=a2bca≠0 y=a-h2 y=a-1-2
y=a2bc
1,2）；
y
C’
C
Q
B
OA x
图2
丙1,15
丁
0,1
4,1
1m
甲
2.5m
乙
1m
4m
解:如图建立平面直角坐标系，可设抛物a线的b 解1析1式.5,为y=a2b1
点（1,15）、（4,1）在抛物线上，得 16a 4b 1 1,
解得：a ， 所1 ,b以抛2 物线解析式为
63
y1x22x1(1≤ x≤ 4） , 63
当=25时，y=1625所以丁同学的身高为1625米
应
用
二次函数的概念 及图象特征
用数形结合 的方法去研 究和运用
建立二次函数模型， 将实际问题数学化， 运用二次函数知识 解决实际问题
课后训练
=-2-523 ，下列说法正确的是（ ）
A
A开口向下，顶点坐标5,3 B开口向上，顶点坐标5,3
C开口向下，顶点坐标-5,3 D开口向上，顶点坐标-5,3
>0, b<0,c>0时,下列图象有可能是抛物线y=a2bc的是 （ A）
a ≠ 0 性 质 六点、一轴、一方及增减性与最值
第二章 二次函数-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
ax2+c≥kx+m的解集是____．
【答案】-4≤x≤1
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，
主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图
像的理解，谁大谁的图象在上面．
典例精析
12．仙桃市大力推进义务教育均衡发展，加强学校
标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和
设备进行全面改造，2020年市政府已投资7.5亿元人
D．2≤m≤3或m≥6
【答案】D
【详解】解：∵抛物线解析式为y=x2-4x+3，
∴对称轴为x=2，由二次函数的对称性可知，
当x=-1和x=5时，函数值y相等，
当x=1和x=3时，函数值y相等，
即当满足-1＜x＜1和3＜x＜5的函数值相同，
当-1＜x1＜1，存在一个正数m，当m-1＜x2＜m
时，都有y1≠y2，
知识点7 二次函数的应用
知识点总结
知识点一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝
c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
B，若点B关于( ,0)的对称点C恰好落在抛物线上，
则a值为_____．
【答案】−
【分析】先根据二次函数的性质及题意求出点B的
坐标，再根据对称的性质求出点C的坐标，最后将
点C的坐标代入二次函数解析式求解即可．
典例精析
11．如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交
于A(-4,y1),B(1,y2)两点，则关于x的不等式
【答案】-4≤x≤1
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，
主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图
像的理解，谁大谁的图象在上面．
典例精析
12．仙桃市大力推进义务教育均衡发展，加强学校
标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和
设备进行全面改造，2020年市政府已投资7.5亿元人
D．2≤m≤3或m≥6
【答案】D
【详解】解：∵抛物线解析式为y=x2-4x+3，
∴对称轴为x=2，由二次函数的对称性可知，
当x=-1和x=5时，函数值y相等，
当x=1和x=3时，函数值y相等，
即当满足-1＜x＜1和3＜x＜5的函数值相同，
当-1＜x1＜1，存在一个正数m，当m-1＜x2＜m
时，都有y1≠y2，
知识点7 二次函数的应用
知识点总结
知识点一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝
c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
B，若点B关于( ,0)的对称点C恰好落在抛物线上，
则a值为_____．
【答案】−
【分析】先根据二次函数的性质及题意求出点B的
坐标，再根据对称的性质求出点C的坐标，最后将
点C的坐标代入二次函数解析式求解即可．
典例精析
11．如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交
于A(-4,y1),B(1,y2)两点，则关于x的不等式
二次函数图像和性质复习课件精选全文
例4 已知抛物线 y x2 k 4 x k 7,
①k取何值时，抛物线经过原点； ②k取何值时，抛物线顶点在y轴上； ③k取何值时，抛物线顶点在x轴上； ④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。
解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y
＝0，所以 0 02 k 4 0 k 7，所以k＝
－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；
在对称轴右侧，y随x的增大而减小
y x
y x
4．二次函数 y ax2 bx c 的性质：
（1）顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值：
如果a＞0，当 x
b 2a
②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，
即
b
k 4
0
，所以k＝－4，所
2a
21
以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。
③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即 4ac b2 4 1 k 7 k 42 0 ，整理得
4a
4 1
k2 4k 12 0 ，解得：k1 2, k2 6 ，所 以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴 上。 ④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6 时，抛物线的顶点在坐标轴上。
2a
①若b＝0对称轴为y轴，
②若a，b同号对称轴在y轴左侧，
③若a，b异号对称轴在y轴右侧。
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。 (3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴 交点的位置。 当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c 与y轴有且只有一个交点(0，c)， ①c＝0抛物线经过原点； ②c＞0与y轴交于正半轴； ③c＜0与y轴交于负半轴。
北师大版九年级数学下册确定二次函数的表达式课件(第1、2课时20张)
+
顶点式 = ( − ) 能使问题简化。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型三 已知抛物线与轴交点的坐标，求二次函数的表达式
例3.已知二次函数的图象与 轴交于点M(-2,0)、N(3，
-0)，且抛物线经过P(2,4),求这个二次函数的表达式.
解：设函数的表达式为 = ( + )( − )
知
新
答一答
1.二次函数的达式有几种情势？
一般式： = + + (a≠0)
顶点式： = ( − ) + (a≠0)
交点式： = ( − )( − )(a≠0)
2.已知函数 = − − ，函数的开口方向 向上 ，
对称轴是直线 =1 ，顶点坐标是 (1,-7)
除了以上四种类型外，还有一些特殊方法。
对二次函数 = + + .
抛物线与轴交点(0,c）.
当 = ， = 时，抛物线顶点在原点，以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线顶点(0,c），以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线必过原点.
当 − = 时，抛物线顶点在轴上.
= −
所以，所求二次函数表达式为 = −
教学过程
方
法
总
结
记一记
方法总结：所求二次函数表达式有两个
待定系数时，需要两个独立条件或两个
点的坐标。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型二
已知抛物线顶点的坐标，求二次函数的表达式
例2.已知二次函数的图象以M(-2,3)为顶点，且经过点
N(-1，-3)，求这个二次函数的表达式.
顶点式 = ( − ) 能使问题简化。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型三 已知抛物线与轴交点的坐标，求二次函数的表达式
例3.已知二次函数的图象与 轴交于点M(-2,0)、N(3，
-0)，且抛物线经过P(2,4),求这个二次函数的表达式.
解：设函数的表达式为 = ( + )( − )
知
新
答一答
1.二次函数的达式有几种情势？
一般式： = + + (a≠0)
顶点式： = ( − ) + (a≠0)
交点式： = ( − )( − )(a≠0)
2.已知函数 = − − ，函数的开口方向 向上 ，
对称轴是直线 =1 ，顶点坐标是 (1,-7)
除了以上四种类型外，还有一些特殊方法。
对二次函数 = + + .
抛物线与轴交点(0,c）.
当 = ， = 时，抛物线顶点在原点，以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线顶点(0,c），以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线必过原点.
当 − = 时，抛物线顶点在轴上.
= −
所以，所求二次函数表达式为 = −
教学过程
方
法
总
结
记一记
方法总结：所求二次函数表达式有两个
待定系数时，需要两个独立条件或两个
点的坐标。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型二
已知抛物线顶点的坐标，求二次函数的表达式
例2.已知二次函数的图象以M(-2,3)为顶点，且经过点
N(-1，-3)，求这个二次函数的表达式.
《二次函数——二次函数的图象与性质》数学教学PPT课件(9篇)
在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3之间的大小
y3>y2>y1
关系为___________．
导引：因为a>1，所以0<a－1<a<a＋1, 所以这三个点
都在函数y＝x2的图象的对称轴的右侧．根据
“当x>0时，y随x的增大而增大”的性质，可得
y3>y2>y1.
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
当所比较的点都在抛物线的对称轴的同一侧时，
y值都随x值的增大而增大
D．当x<0时，函数y＝x2，y的值随x值的增大的变化情况与当x>0
时，函数y＝－x2，y的值随x值的增大的变化情况相同
（来自《典中点》）
知2－练
4 如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝
x2的图象交于A(－1，1)和B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取
值范围是( D )
1
(1，2
), 可知, 其中有两点在第一象限, 一
点在第四象限, 排除B,
1
C；在第一象限内,
y1的对应
2
点(1, 2)在上, y3的对应点(1， )在下, 排除A.
知1－练
1 关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( C )
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
可直接利用函数的增减性进行大小比较．
（来自《点拨》）
知2－练
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象
上的两点，当x1<x2<0时，y1与y2的大小关系为
y1＜y2
________．
y3>y2>y1
关系为___________．
导引：因为a>1，所以0<a－1<a<a＋1, 所以这三个点
都在函数y＝x2的图象的对称轴的右侧．根据
“当x>0时，y随x的增大而增大”的性质，可得
y3>y2>y1.
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
当所比较的点都在抛物线的对称轴的同一侧时，
y值都随x值的增大而增大
D．当x<0时，函数y＝x2，y的值随x值的增大的变化情况与当x>0
时，函数y＝－x2，y的值随x值的增大的变化情况相同
（来自《典中点》）
知2－练
4 如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝
x2的图象交于A(－1，1)和B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取
值范围是( D )
1
(1，2
), 可知, 其中有两点在第一象限, 一
点在第四象限, 排除B,
1
C；在第一象限内,
y1的对应
2
点(1, 2)在上, y3的对应点(1， )在下, 排除A.
知1－练
1 关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( C )
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
可直接利用函数的增减性进行大小比较．
（来自《点拨》）
知2－练
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象
上的两点，当x1<x2<0时，y1与y2的大小关系为
y1＜y2
________．
中考数学专题《二次函数》复习课件(共54张PPT)
当x b 时, y最小值为 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对 称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, y最大值为 4ac b2
2a
例1： 已知二次函数 y 1 x2 x 3
2
2
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两
点，求C，A，B的坐标。
（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，
y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？
（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
写出满足此条件的抛物线的解析式.
解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同
a=1或-1 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,
二次函数复习
二次函数知识点：
• 1、二次函数的定义 • 2、二次函数的图像及性质 • 3、求解析式的三种方法 • 4、a，b，c及相关符号的确定 • 5、抛物线的平移 • 6、二次函数与一元二次方程的关系 • 7、二次函数的应用题 • 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0）
a= ___. -2
2、二次函数的图像及性质
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴
中考数学复习 二次函数的图象与性质 复习课 课件
二次函数
二次函数的图象与性质
知识总览 主要知识内容回顾 典型例题分析 小结
二次函数
一、 知识总览
二次函数
概念 图象和性质 用函数观点看方程与不等式
应用
1. 二次函数的定义
一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c为 常数，且a≠0)的函数， 叫做二次函数. 其中x是自 变量， a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、 一次项系数和常数项.
最大值为4ac b. 2 4a
【温馨提示】判断函数图象增减性时，可在旁边画出大致图象，数形结合更直观.
2. 二次函数的图象和性质
（4）根据函数图象判断相关结论
图象(示意图)
结论
＞
a_____0
b__＞___0
c<0 b2－4ac > 0
a_＜____0
b＝0 c>0
b2－4ac_＞____0
a>0
B E
D
二次函数的对称性
例3.如图，在平面直角坐标系网格中，点Q，R，S，T 都在格点上，过点
P(1，2)的抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＜0)可能还经过( D )
A. 点Q
B. 点R
C. 点S
D. 点T
分析：由y＝ax2＋2ax＋c得到对称轴为
P'
x b 2a 1 2a 2a
b_＜____0
c_＞____0
b2－4ac > 0
a<0
b_＜____0
c<0
b2－4ac_=____0
2. 二次函数的图象和性质
图象(示意图) _________
_________
y=ax2+bx
二次函数的图象与性质
知识总览 主要知识内容回顾 典型例题分析 小结
二次函数
一、 知识总览
二次函数
概念 图象和性质 用函数观点看方程与不等式
应用
1. 二次函数的定义
一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c为 常数，且a≠0)的函数， 叫做二次函数. 其中x是自 变量， a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、 一次项系数和常数项.
最大值为4ac b. 2 4a
【温馨提示】判断函数图象增减性时，可在旁边画出大致图象，数形结合更直观.
2. 二次函数的图象和性质
（4）根据函数图象判断相关结论
图象(示意图)
结论
＞
a_____0
b__＞___0
c<0 b2－4ac > 0
a_＜____0
b＝0 c>0
b2－4ac_＞____0
a>0
B E
D
二次函数的对称性
例3.如图，在平面直角坐标系网格中，点Q，R，S，T 都在格点上，过点
P(1，2)的抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＜0)可能还经过( D )
A. 点Q
B. 点R
C. 点S
D. 点T
分析：由y＝ax2＋2ax＋c得到对称轴为
P'
x b 2a 1 2a 2a
b_＜____0
c_＞____0
b2－4ac > 0
a<0
b_＜____0
c<0
b2－4ac_=____0
2. 二次函数的图象和性质
图象(示意图) _________
_________
y=ax2+bx
中考数学专题复习——数形结合思想PPT课件
2 无论 m 为何实数，直线 y ＝ x ＋ 2m 与 y ＝－x＋4的交点不可能在 （ C） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
y
O
x
y＝－x＋4
3 已 知 二 次 函 数 y1 ＝ ax2 ＋ bx ＋ c （a≠0)与一次函数 y2＝kx ＋m(k≠0) 的 图 象 相 交 于 点 A( － 2,4) ， B(8,2) （如图所示），则能使 y1 ＞ y2成立的 x＜－2或x＞8 x的取值范围是＿＿＿＿＿
24 24 18 (3)中途加油＿＿升 (4)如果加油站离 12 目的地还有230公里， 6 车速为40公里/小时， 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （小时） t
要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由 .
7、思考题：
已知：如图，直线y＝－√3 x/3＋1和x 轴、 y 轴分别相交于 A、 B 两点，以线段 AB 为 边在第一象限内作一个等边三角形ABC，点P 在第一象限内，且使△ABP与△ABC的面积相 y 等。（1）求C点坐标； （2）求直线PC的解析式； D （3）若点Q的坐标为 C (√3 m,m2－3),问点Q在 P B x 不在直线PC上？ A E O
2 例3：已知二次函数 y ax bx c 的图象如图所示
1、试判断a , b , c 的符号 2、点（b , 2a-b）在第
二
象限
3、若M= a b c a b c 则 （ A ） A、M > 0 B、 M = 0 C、M < 0 D、不能确定
2a b 2a b y
运用数形结合的方法，将 函数的解析式、图象和性 质三者有机地结合起来
-1
0
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（1）若（2010，y1),(－2010,y2)是该抛物线 上的两点，请比较y1与y2的大小
问：怎样平移抛物线可使y1=y2?
y
－2 －1 O 1
Hale Waihona Puke x练习3：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交 点在点（－2，0）和（－1，0）之间，
（2）若此抛物线与y轴的交点为（0，2）， M(x1, －2010),N(x2, －2010)是图象上的两点， 则x=x1+x2时，二次函数的值是多少？
练习2：
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交 点在点（－2，0）和（－1，0）之间，
（4）若抛物线与y轴的 交点为（0，2），求当 y<2时，x的取值范围。
y
变式：若p(n,y1),Q(2,y2) 是抛物线上的两点，且
y1>y2，求实数n的取值 范围。
－2 －1 O 1
x
练习3：
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交 点在点（－2，0）和（－1，0）之间，
y
思考：观察结果，当 自变量
取 x x1 x2时，函数值与
原解析式哪个系数有关？如
－2 －1 O 1
x
何解释？
练习4：
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交 点在点（－2，0）和（－1，0）之间，
问当x>2时，y随 x 的变化情况。 y
－2 －1 O 1
提升训练： 若抛物线y=mx2+(2m—1)x+1(m≠0),对任意
x
D
练习2：
如图，两条抛物线
y1
1 2
x2
1、 y 2
1 2
x2
1与分
别经过点(—2,0),(2,0)且平行于y轴的两条平行线
围成的阴影部分的面积为
Ａ．8
Ｂ．6
Ｃ．10
Ｄ．4
、
(9题图)
变式2：
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象如图 所示，Q(n,3)是图象上一点，且 AQ⊥BQ,则a的值是多少。
二次函数复习之数形结合
练习1：
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交 点在点（－2，0）和（－1，0）之间，
（1）求当y=0时，方程ax2+bx+c=0的两根的取 值范围。
（2）若顶点坐标为（1，2.5）,
根据图象求方程ax2+bx+c－2=0
y
的根的情况。
请归纳方程ax2+bx+c=k －2 －1 O 1
y
Q
A
BOx
y
1A
B
O 12
xx
变式1：
如图，点A，B的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,
抛物线 y a(x m)2 n 的顶点在线段AB上运动，
与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横
坐标最小值为—3，则点D的横坐标最大值为
()
A．－3
B．1 y C．5
D．8
A(1,4) B(4,4)
O
C
（第10题）
x
的根的情况。
练习2：
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交 点在点（－2，0）和（－1，0）之间（不包 括该两点），
(1)求下列各式的取值范围
①abc
②4a—2b+c ③ 2a+b
y
④ 4a+2b+c
（2）请比较2c与3b 的大小 －2 －1 O 1
x
（3）请比较a+b与 m(am+b) 的大小 (m≠1的实数）
正实数m,当x<—2时，问y随x的变化情况。
变式1：
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交 点A在点（－2，0）和（－1，0）之间(包括 这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界 和内部）的一个动点，求a的取值范围。
变式2：
如图，四边形ABCD为正方形，A(1，1)， B（2，1），抛物线y=ax2(a>0)若要与正 方形有交点，求a的取值范围。